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Ejercicios resueltos 1 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww Bloque 4. Cálculo Tema 6 Integración básica Ejercicios resueltos 4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas: ) ) ) ) ) ) ) 2 4 2 3 2 2 2 2 1 5 3 3 5 5 4 9 9 x a x dx b dx x x x c dx x d e senx dx e x dx f dx x g dx x Solución ) 2 2 2 3 2 3 2 2 4 4 4 4 4 4 2 4 3 2 3 a x dx x x dx x dx xdx dx x x x x C x x C ) 3 4 4 3 1 1 1 3 3 xb dx x dx C C x x ) ln 2 2 5 5 1 1 5 5 2 x xc dx x dx xdx dx dx x x x x x x C ) cos3 3 3 x x xd e senx dx e dx senxdx e x C ) 5 3 3 3 32 2 3 5 3 5 23 3 3 5 3 5 5 5 xe x dx x dx C x C x C x x C ) 2 2 3 3 1 3 5 5 5 1 5 f dx dx arctagx C x x ) 2 2 2 4 4 1 4 1 2 9 9 9 1 9 31 g dx dx dx arcsenx C x x x Ejercicios resueltos 2 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww 4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de variable apropiado: ) ) cos ) ) ) ln ) ) cos 2 3 4 4 2 1 2 3 2 1 x x tagx a x x dx senx b dx x x c dx x d e e dx x e dx x x f dx x e g dx x Solución ) 5 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 5 2 3 25 2 3 2 1 1 1 5 2 3 2 2 2 2 2 1 1 5 3 5 3 t x a x x dx t tdt t tdt tdt dt dx t t t t dt t dt t dt t dt C t t C x x C cos ) cos cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 t xsenx dt b dx dt t dt dt senxdx tx t t C t C t C x C ) ln ln 32 3 3 2 2 1 1 1 2 2 3 3 33 t xx dtc dx t C x C x tdt x dx ) 5 54 4 33 3 5 5 xx x x x et e t d e e dx t dt C C dt e dx ) 2 2 4 2 2 1 1 12 t xxe dx dt arctagt C arctag x C x tdt xdx ln lnln ) 2 2 1 2 2 t x xx t f dx tdt C C x dt dx x ) cos cos 2 2 1 tagx t t tagx t tagx e g dx e dt e C e C x dt dx x Ejercicios resueltos 3 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww 4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes: ) ln ) ln ) ) ) ) ) 2 2 x x x a xdx b x xdx c xe dx d x e dx e arcsenxdx f e senxdx g x senxdx Solución ln ) ln ln ln ln dx u x du dx a xdx x x x x x dxx x dv dx v x x x x C ln ) ln ln ln ln ln 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 dx u x du x dxx b x xdx x x xx dv xdx v x x x x x x xdx x C x C ) x x x x xx x u x du dx c xe dx xe e dx xe e C dv e dx v e ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x u x du xdx d x e dx x e xe dx dv e dx v e u x du dx x e xe e dx dv e dx v e x e xe e dx x e xe e C Ejercicios resueltos 4 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww ) 2 2 2 1 22 1 2 1 2 1 22 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 dx u arcsenx du x e arcsenxdx xarcsenx dxx xdv dx v x t x xarcsenx x x dx dt xdx t xarcsenx t dt xarcsenx C xarcsenx x C xarcsenx x C ) cos cos cos cos cos cos cos 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x u e du e dx f e senxdx e x e xdx dv senxdx v x u e du e dx dv xdx v senx e x e senx e senxdx e senxdx e x e senx e senx x e senxdx C ) cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u x du xdx g x senxdx x x x xdx dv senxdx v x u x du dx dv xdx v senx x x xsenx senxdx x x xsenx x C Ejercicios resueltos 5 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww 4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales: ) ) ) ) ) ) ) x a dx x x x x b dx x x x c dx x x x x x d dx x x x e dx x x x x f dx x x x x x g dx x 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 2 1 2 1 6 12 8 4 5 7 3 3 2 9 8 4 2 1 8 16 3 2 1 5 Solución ) 2 3 2 2 3 2 1 2 2 1 2 2 xa dx x x x x x x x x x x x x 2 3 2 1 2 1 2 x A B C x x x x x x 2 1 1 2 2 1x A x x Bx x Cx x : : : 0 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 5 6 5 6 x A A x B B x C C ln ln ln 2 3 2 1 1 2 5 2 2 3 1 6 2 1 2 5 1 2 2 3 6 x dx dx dx dx x x x x x x x x x C ) 2 33 2 3 2 1 6 12 8 2 6 12 8 xb dx x x x x x x x 2 3 2 3 1 22 2 2 x A B C xx x x 22 21 2 2 4 4 2x A x B x C Ax Ax A Bx B C Ejercicios resueltos 6 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww : : : 2 1 0 1 1 0 4 4 1 4 2 5 x A A x A B B x A B C C ln 2 2 33 2 2 1 4 5 6 12 8 2 2 2 4 5 2 2 2 2 x dx dx dx dx x x x x x x x C x x )c dx x x x x x x x x 23 2 3 2 4 5 7 3 1 3 5 7 3 A B C x xx x x 2 2 4 1 31 3 1 A x x B x C x 24 1 3 3 1 : : : x B A x C B x A B C C 1 4 2 1 3 4 4 2 0 4 3 3 1 ln ln dx dx dx dx x x x x xx x x C x 23 2 4 2 5 7 3 1 31 2 1 3 1 ) x xd dx x x x x x 2 2 2 2 3 2 3 2 1 9 3 11 9 x x xdx dx dx x x x x x 2 2 2 2 3 2 3 11 9 3 3 9 9 x A B x x x 2 3 11 9 3 3 x A x B x 3 11 3 3 : : x A A x B B 3 2 6 1 3 3 20 6 10 3 ln ln x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x C 2 2 2 3 2 3 11 1 10 9 9 3 3 3 3 1 10 3 3 3 3 Ejercicios resueltos7 Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel GonzálezGG33ww ) x xe dx x x x x x x 2 3 2 2 3 2 8 4 4 4 x x A B C x x x x x 2 3 2 2 8 4 4 x x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx 2 2 2 28 4 4 4 4 : : : x A C A x A B B x B C 2 1 0 1 1 4 1 4 2 8 4 3 4 ln ln x x dx dx dx dx x x x x x x x C x 2 3 2 2 8 1 1 1 3 1 2 4 4 4 4 1 2 3 4 4 4 ) x xf dx x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 1 2 8 16 17 31 8 16 x x xdx dx dx x x x x x x x 2 22 2 2 2 1 17 31 2 8 16 4 8 16 8 16 x A B xx x 2 2 17 31 44 4 x A x B 17 31 4 : : Ax A Bx A B 1 0 1717 3731 4 ln x x dx dx dx dx x x x x x x C x 2 22 2 1 1 1 2 17 37 8 16 4 4 37 2 17 4 4 ) x x xg dx x 4 3 23 2 1 5 x x x x x x x 4 3 2 3 23 2 1 2 8 40 5 201 ln x x x dx x x x dx dx x x x x x x x C 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 1 201 2 8 40 5 5 2 8 40 201 5 4 3 2