Apunte6

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Descenso del paracaidista en una atmósfera 
uniforme 
Cuando un paracaidista se lanza desde el avión suponemos que su caída es 
libre, el peso es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración es constante, 
y las ecuaciones del movimiento son las estudiadas en la página caída de los 
cuerpos. 
Cuando abre el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento 
proporcional al cuadrado de la velocidad. 
Caída libre antes de la apertura del paracaídas 
El paracaidista está sometido a la acción de su propio peso. El empuje del aire 
se considera despreciable ya que la densidad del aire es mucho menor que la 
del cuerpo. Por otra parte, consideramos que el rozamiento del paracaidista 
con el aire es pequeño. 
 
 Las ecuaciones del movimiento serán (se toma como origen el 
lugar de lanzamiento y el eje X apuntando hacia arriba). 
a=-g v=-gt x=x0-gt2/2 
 
Cuando se ha abierto el paracaídas 
 
El paracaidista está sometido a la acción de su peso y de una 
fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. 
ma=-mg+kv2 
 
La constante de proporcionalidad k=?Ad/2 
• ρ es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este 
cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m3. 
• A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, 
• δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto 
En la siguiente tabla, se proporcionan los coeficientes de arrastre para varios 
objetos 
Forma del objeto Valor aproximado de δ 
Disco circular 1.2 
Esfera 0.4 
Avión 0.06 
Como el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más 
aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el 
promedio de los valores dados para estas dos formas en la tabla, es decir, 
δ=0.8. 
Cuando el paracaidista en caída libe abre el paracaídas, reduce bruscamente 
su velocidad hasta alcanzar una velocidad límite constante vl, que se obtiene 
cuando el peso es igual a la fuerza de rozamiento, es decir, cuando la 
aceleración es cero. 
-mg+kv2=0 
El valor de la velocidad límite es independiente de la velocidad inicial del 
paracaidista en el momento de abrir el paracaídas, tal como podemos ver en 
las figuras. 
 
 
Ecuación del movimiento 
La ecuación del movimiento cuando se ha abierto el paracaídas la podemos 
escribir de la forma 
 
Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad v del móvil en 
cualquier instante t. Las condiciones iniciales son: v0 es la velocidad del 
paracaidista en el instante t0 en el que abre el paracaídas. 
 
Para integrar se hace el cambio v=z·vl. 
 
Se deshace el cambio y se despeja v en función del tiempo (t-t0), Se llega 
después de algunas operaciones a la expresión. 
 
Podemos obtener también la expresión de la posición del móvil en función de la 
velocidad, haciendo un cambio de variable 
 
La ecuación del movimiento se transforma en 
 
Que se puede integrar de forma inmediata 
 
La altura x del paracaidista en función de su velocidad v es 
 
Despejamos la velocidad v en función de la posición x del paracaidista. 
 
 
Ejemplo: 
• Masa del paracaidista de m=72 kg, 
• Área del paracaídas A=0.6 m2 
• El paracaidista parte del reposo desde la posición x=2000 m 
• Abre el paracaídas en la posición x=1000 m, sobre el suelo. 
Calcular la velocidad con la que llega al suelo 
Los datos para calcular la velocidad límite vl son: 
• Densidad del aire ρ=1.29 kg/m3 
• Coeficiente de forma δ =0.8 
 
Aplicando las ecuaciones de caída de los cuerpos, calculamos la velocidad 
cuando el paracaidista alcanza la posición x=1000 m 
1000=2000-9.8·t2/2 
v=-9.8·t 
v=-140 m/s 
Esta es la velocidad inicial para la siguiente etapa del movimiento, v0=-140 m/s 
en la posición x0=1000 m 
La velocidad del paracaidista en la posición x=0, cuando llega al suelo, es 
 
v=-47.7 m/s 
Descenso de un paracaidista en una atmósfera no 
uniforme. 
Habremos comprobado que un paracaidista que abre el paracaídas en la 
posición de partida, su velocidad va creciendo con el tiempo hasta que alcanza 
la velocidad límite constante. 
Vamos a comprobar que en una atmósfera no uniforme el comportamiento es 
más complejo. La velocidad del paracaidista va creciendo hasta alcanzar una 
velocidad máxima y luego, decrece hasta que llega al suelo. 
Variación de la presión con la altura 
En una atmósfera isotérmica, la variación de la presión en función de la altitud x está 
dada por la ley de Laplace. 
 
• P0 es la presión de la atmósfera a nivel del mar 
• M es el peso molecular del aire 28.8 g/mol=0.0288 kg/mol 
• g es la aceleración de la gravedad 
• k=1.3805·10-23 J/K es la constante de Boltzmann 
• T es la temperatura de la atmósfera en kelvin 
• NA=6.0225·1023 es el número de Avogadro, número de moléculas que caben en 
un mol 
Aunque la atmósfera no es isotérmica, la variación de presión con la altura se puede 
aproximar a una exponencial decreciente, para una temperatura efectiva de 254 K. 
 
donde P0= 1 atm es la presión a nivel del mar. La presión a una altura de x=10000 m es 
de solamente 0.26 atm. 
Ecuación del movimiento 
La ecuación del movimiento es 
 
Podemos escribir esta ecuación de forma alternativa 
 
Donde k0 es el valor de la constante de proporcionalidad de la fuerza de rozamiento, al 
nivel del mar, donde la presión es P0, y la constante ?=7482.2.m-1. 
Esta ecuación admite una solución en términos de una serie infinita, véase el artículo 
citado en las referencias. El programa interactivo la resuelve por procedimientos 
numéricos. 
Máxima velocidad alcanzada por el paracaidista. 
Observamos que el paracaidista va incrementando su velocidad a medida que cae, 
alcanzando un máximo y luego, la velocidad disminuye hasta que llega al suelo. 
Cuando se alcanza la máxima velocidad dv/dx=0. La relación entre la velocidad máxima 
vm y la altura xm a la que se produce es 
 
donde vl es la velocidad límite que alcanzaría un paracaidista en una atmósfera 
uniforme. 
 
Ejemplo: 
• Masa del paracaidista de m=72 kg, 
• Área del paracaídas A=0.6 m2 
• El paracaidista parte del reposo desde la posición x0=30000 m 
La velocidad límite vl que alcanzaría el paracaidista en una atmósfera uniforme es 
 
vl=47.7 m/s 
Observamos que a la altura de xm=23996 m se alcanza la máxima velocidad. De la 
ecuación que relaciona xm y vm obtenemos vm. 
 
vm=237.3 m/s 
Tiro parabólico con rozamiento 
 
Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el 
medio al movimiento del cuerpo. 
• Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del 
número de Reynolds 
• Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos 
números de Reynolds. 
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con 
la misma velocidad inicial v0 pero con ángulos de tiro θ distintos. 
Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleración constante de la 
gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de θ =45º tiene un 
alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el 
proyectil (por ejemplo, una pelota de golf) se mueve en un medio como el aire. 
 
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad 
Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m 
son: 
 
• El peso mg 
• La fuerza de rozamiento Fr, que es 
sentido contrario al vector velocidad 
(tangente a la trayectoria). Fr=-mbv. 
Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto. 
 
La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, 
vy=v0y, son 
 
Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos 
 
Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro θ . Las 
velocidades iniciales son 
v0x=v0·cosθ 
v0y=v0·senθ 
Alcance del proyectil 
El proyectil llega al suelo y=0, a una distanciax=R del origen. R se denomina alcance 
del proyectil. 
En la primera ecuación ponemos x=R y despejamos t, sustituyéndola en la segunda 
ecuación con y=0. 
 
Aproximaciones 
Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en 
serie hasta potencias de tercer orden en b. 
 
Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R 
 
Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire. 
Ejemplo: Sea v0=60 m/s. y ?=45º 
Cuando no se considera rozamiento el alcance es 
 
Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene 
resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m 
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la 
velocidad. 
Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m 
son como hemos visto ya 
• El peso mg 
• La fuerza de rozamiento Fr, que es de sentido contrario al vector velocidad 
(tangente a la trayectoria). Fr=-bmv·v. 
Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto. 
 
Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando 
procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta.