AyA - PRO - ETSIA - Aerodinámica I - Problemas Moodle

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AERODINÁMICA I 
aa01 
1
EJERCICIO 
 
En la figura se ha representado un torbellino tridimensional de intensidad Γ que discurre según los 
ejes x e y del triedro de referencia. Calcule y represente la velocidad vertical inducida por cada uno 
de los tramos del torbellino, AO y OB, a lo largo de la recta CD situada a una distancia a del eje x, 
en el plano z = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
( ) ( )1 2 3 4cos cos cos cos4 4V a xθ θ θ θπ π
Γ Γ
= − + −
2 2 2 2
1 1
4 4
x a
a xx a x aπ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( )2 24 x a x aaxπ
Γ
= + + + 
 
 
EJERCICIO 
 
Considere un perfil de ala, de cuerda c = 2 m, formado por tres tramos rectos, como se indica en la 
figura, volando a través del aire en calma con velocidad UB∞ B y ángulo de ataque nulo. Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible, calcule el valor de la 
velocidad de vuelo para la que la sustentación generada por el perfil sea l = 540 N·mP−1 P. Determine 
el ángulo que forma la línea de sustentación nula del perfil con la cuerda del mismo (dibuje, sobre 
el esquema de la línea de curvatura, la línea de sustentación nula). 
Suponga 45
3
δ
π
= grados y ρ = 1,2 kg·mP−3 P. 
 
 
Solución 
 
Como z(x) = z(−x) es AB0 B = AB2B = 0. Por tanto, teniendo en cuenta que 
45
3
δ
π
= grados, o bien 
1
4 3
δ = radianes, resulta 
/3
1
0 0 2 /3
2 d 2 2 3 1cos d cos d cos d
d 2
zA
x
π π π
π
δ δθ θ θ θ θ θ
π π π π
⎛ ⎞
= − = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ , de 
modo que 1
1
2l
c Aπ= = , de donde se obtiene 2
l
lU
ccρ∞
= = 30 m·sP−1 P. Obviamente 3 1
4sn
δα
π π
= = . 
 
θB1 B θB2 B 
θB3 B 
θB4 B 
a 
(x,a) 
y 
z 
C B 
a 
D 
O 
A x 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 UB∞ B 
x/c 
z/c 
AERODINÁMICA I 
aa01 
2
 
EJERCICIO 
 
Considere un ala de alargamiento Λ=6 de forma en planta rectangular, y envergadura b = 6 m, 
cuyos perfiles tienen una línea de curvatura formada por tres tramos rectos, el tramo central paralelo 
al eje x, y los extremos formando un ángulo δ(y) << 1 con dicho eje, como se indica en la figura. 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen incompresible, calcule el 
valor de la distribución de δ(y) 
para que el ala tenga resistencia 
inducida mínima cuando el 
coeficiente de sustentación del 
ala vale cBL B = 1/2. 
 
Solución 
En el problema del perfil se sabe que 3( ) ( )sn y yα δπ
= . En el ala, de 12L
c AπΛ= se obtiene 
1
1
6
A
π
= , de modo que, de la ecuación de Prandtl, resulta 2
1 1( ) sin
12
α θ θ
π π
= + , y la torsión vale 
por tanto ( )2
1( ) sin 1ε θ θ
π
= − , de manera que ( )1( ) sin 1
3
δ θ θ
π
= − 
 
EJERCICIO 
 
Considere la configuración fluida bidimensional esquematizada en la figura formada por dos placas 
planas, ambas de cuerda c, separadas entre sí una distancia c/2, volando en régimen supersónico 
(MB∞ B > 1) con ángulo de ataque α << 1. Dentro de 
la validez de la teoría potencial linealizada de 
perfiles en régimen supersónico calcule el valor 
del coeficiente de sustentación y el del 
coeficiente de resistencia aerodinámica, cBl B(MB∞ B) y 
cBdB(MB∞ B) respectivamente, correspondientes a la 
placa plana cuyo esqueleto está en Z = 0. 
Suponga MB∞ B > 2 . 
 
Solución 
De acuerdo con la geometría del problema, cuando 1 ≤ β ≤ 2, con 
2M 1β ∞= − , las características que parten del borde de ataque de 
cualquiera de las placas se reflejan en la otra, mientras que para 
 β > 2 no hay interferencia entre placas. En este último caso es 
cBl B = 4α/β, y cBdB = 4αP2 P/β. Cuando hay interferencias, la soluciones en la zonas 1 y 2 son inmediatas: 
cBp1B = 2α/β, y cBp2B = −2α/β; para resolver la zona 3 basta con saber que a esta zona llegan las 
características de la zona 4, y como estas características que llegan de 4 ya cumplen la condición de 
contorno en 3 (la misma que en 4), no hará falta considerar características reflejadas (son nulas) y el 
coeficiente de presión en 3 es el mismo que en 4, que a su vez es idéntico al de la zona 1, es decir 
cBp3B = cBp4B = cBp1B = 2α/β. Por tanto, como la característica reflejada incide en xBo B = XBo B/c = ½(−1+β), será 
cBl B(x) = 4α/β, en −½ ≤ x ≤ xBoB, y cBl B(x) = 0, en xBo B, ≤ x ≤ 1, de modo que, en este rango de valores de β, 
el coeficiente de sustentación global vale cBl B = 2α y el coeficiente de resistencia cBd B = 2αP2 P. 
 
δ δ 
1/4 1/2 −1/2 −1/4 UB∞ B 
x/c 
z/c 
2 3 
1 
4 
M B∞ B 
c/2 
c/2 −c/2 X 
Z 
AERODINÁMICA I 
aa01 
3
EJERCICIO 
 
Un ala de forma en planta elíptica y alargamiento Λ = 16/π, está provista de una torsión 
antisimétrica, ε(y) = −ε(−y). Sabiendo que en cierta situación de vuelo tanto el coeficiente de 
sustentación como los coeficientes de momento de guiñada y de balance son no nulos, y en la 
hipótesis de que en esta situación el coeficiente de momento de guiñada vale cBMz B = 2P5/2Pδ P2 P, con 
δ << 1, determine, dentro de la validez de la teoría del ala larga de Prandtl, los valores de los 
coeficientes de sustentación y de balance, con la condición de que el coeficiente de resistencia 
inducida sea mínimo. 
 
Solución 
 
Como la torsión es antisimétrica es IB2n−1B = 0, n = 1,2,3,...., como cBMxB ≠ 0 es AB2B ≠ 0, y como el ala es 
de forma en planta elíptica en la adicional unitaria sólo hay término en aB1 B. Así pues, en a 
distribución adimensional de circulación sólo puede haber AB1 B = aB1B y términos pares: AB2 B, AB4B, .... 
En consecuencia, como cBMz B es conocido: cBMzB = −AB1 BAB2 B = 2P5/2 Pδ P2 P, se tiene una ligadura entre estos dos 
coeficientes que condiciona el valor del coeficiente de resistencia inducida, será pues: 
 
 ( )
5 4
2 2 2
1 2 22
2
22 4 2
4Di
c A A A
A
π δ⎛ ⎞Λ
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
 
para que cBDi B sea mínimo habrá que determinar el valor de AB2 B para el que dcBDi B/dAB2 B = 0, que resulta ser 
AB2 B = ±2δ, y por tanto 3/ 21 2A δ= ∓ , 
9 / 22Lc δ= ∓ , 4Mxc δ= ± , 
5 / 22Mzc δ= y finalmente 
6 22Dic δ= . 
 
EJERCICIO 
 
Un ala plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10, vuela a través del aire en calma en 
régimen compresible subsónico. Sabiendo que el ángulo de ataque del ala es α = 1/20 radianes, y 
sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cBL B= π/10, determine, dentro de la validez de 
la teoría potencial linealizada, el valor del número de Mach de vuelo. 
 
 
Solución 
 
El ala a resolver en incompresible ha de tener un alargamiento ΛBi B = βΛ, siendo 21 Mβ ∞= − ; si se 
mantiene el valor del coeficiente de sustentación, cBLi B = cBL B, el ángulo de ataque del ala tendrá que ser 
αBi B = α/β. Así pues, como en el caso de un ala plana de forma en planta elíptica es aB1 B = 4/(Λ+2), 
será: 4 4
2 2 2 2
i
Li i L
i
c cπ πβ αα
β β
Λ Λ
= = =
Λ + Λ +
, de donde se deduce 2 L
L
c
c
παβ Λ −=
Λ
, que, con los 
datos numéricos del enunciado, proporciona los valores MB∞ B = 0,8 (β = 0,6), si α = 1/25 radianes, o 
bien MB∞ B = 0,6 (β = 0,8), en el caso en el que el ángulo de ataque del ala vale α = 1/20 radianes. 
 
AERODINÁMICA I 
aa01 
4
EJERCICIO 
 
Considere la configuración fluida esquematizada en la figura formada por un torbellino potencial 
bidimensional de intensidad Γ, situado a una altura h sobre un suelo plano en presencia de una 
corriente incidente de velocidad UB∞ B. Determine la fuerza sobre el torbellino en el caso Γ = 12 mP2 P/s, 
h = 3/π m, ρ = 1,2 kg/mP3 P y UB∞ B = 11 m/s. Determine también para qué valor de la velocidad de la 
corriente incidente se presenta un punto de remanso en el suelo plano, justo en la vertical del 
torbellino (suponga, igual que antes Γ = 12 
mP2 P/s, h = 3/π m y ρ = 1,2 kg/mP3 P), y, en este 
caso, esquematice las líneas de corriente 
divisorias, indicando claramente los valores 
de los ángulos que forman estas líneas 
divisorias con el suelo cerca del punto de 
remanso considerado. 
 
Solución 
 
Para satisfacer la condición de contorno en el suelo plano se puede aplicar el método de las 
imágenes, de modo que el enunciado propuesto es equivalente a una corriente uniformeen 
presencia de dos torbellinos separados verticalmente entre sí una distancia 2h, el de arriba de 
intensidad Γ y el de abajo de intensidad –Γ. La velocidad en el ojo del torbellino considerado será 
pues:
4
U U
hπ∞
Γ
= − , y la fuerza sobre el torbellino F = ρΓU. Con los datos del enunciado la 
velocidad inducida por el torbellino imagen es Γ/(4πh) = 1 m/s, de modo que la fuerza pedida vale 
144 N/m. El punto de remanso sobre el eje estará en el lugar pedido 
cuando sea U
hπ∞
Γ
= , es decir UB∞ B = 4 m/s, y en tal caso las líneas de 
corriente divisorias son como se indica en el esquema (el punto de 
remanso es doble). 
 
EJERCICIO 
 
Considere un ala larga, recta, de alargamiento Λ=6 y con una superficie en planta de 10 mTP2 TP, que se 
desplaza horizontalmente a través del aire en calma con velocidad UTB∞ TB=80 m/s. De medidas 
realizadas se deduce que la velocidad vertical inducida en la línea de puntos 1/4 es constante y vale 
−1 m/s. Calcule el peso del ala y su resistencia inducida. Suponga que la densidad del aire es ρ = 
1.2 kg.mP−3 P 
 
Solución 
 
El ángulo de ataque inducido vale 1/80 radianes. Como el ángulo de ataque inducido es constante, 
la distribución de circulación adimensional es elíptica, de modo que AB1 B = 1/40. Conocido AB1 B es 
12L
c AπΛ= , 
2
L
Di
cc
πΛ
= , L = qScBL B, y DBi B = qScBDi B, con 2
1
2
q Uρ ∞= . Aplicando los valores numéricos del 
enunciado se obtiene: L = 2880π N y DBi B = 36π N. 
 
 
60º 60º 
h 
Γ 
UB∞ B 
z 
x 
AERODINÁMICA I 
aa02 
1
EJERCICIO 
 
Suponga un perfil de ala, de cuerda c, caracterizado por sus línea de curvatura y distribución de 
espesores. La línea de curvatura, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ c/2, está formada por dos 
tramos rectos que se unen en el punto (−c/4, εc), con ε << 1. La distribución de espesores, tal como 
se indica en el esquema adjunto, tiene una parte elíptica, definida en el intervalo –c/2 ≤ ξ ≤ ξB1 B (que 
corresponde a una elipse de semiejes c/4 y εc, y con centro en (−c/4, 0)), y una parte lineal en el 
intervalo ξB1 B ≤ ξ ≤ c/2, siendo ξ B1B el punto del eje ξ donde la tangente a la elipse pasa por el borde de 
salida. 
Supuesto el perfil volando en 
régimen compresible, dentro de la 
validez de la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen 
compresible, calcule la variación 
con el número de Mach de vuelo 
del ángulo formado entre la línea de 
sustentación nula del perfil y su 
cuerda, αBsn B(MB∞ B). Acote en la 
solución anterior el o los rangos de 
valores de número de Mach donde 
no es válida la solución obtenida. 
 
 
Solución 
 
En régimen subsónico el ángulo pedido será el que se obtenga al aplicar la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible (en el ejercicio propuesto el problema de espesor 
es, obviamente irrelevante), y por tanto αBsnB(M B∞ B)/α Bsn B(0) = 1. En régimen supersónico el único efecto 
sustentador es el de la placa plana, de modo que αBsn B(MB∞ B)/αBsnB(0) = 0. Estas soluciones dejan de valer, 
evidentemente, cerca de MB∞ B = 1, donde es de aplicación la limitación transónica ⎟1− M B∞ B⎟ P3/2P >> ε ó δ 
(el mayor de ambos). Respecto a αBSN B(0) = −αBi B+AB1 B/2, el proceso de cálculo es del todo semejante al 
empleado en cualquier problema de perfiles que se resuelva por el método de Glauert (por ejemplo, 
el ejercicio 7.1). En nuestro caso es dzBcB/dx = −4ε/3, 0 ≤ θ ≤ 2π/3, y dzBcB/dx = 4ε, 2π/3 ≤ θ ≤ π, de 
modo que se tiene 4
9i
εα = y 1
16 3
3
A ε
π
= , y así se obtiene ( ) 8 3 40
3 9SN
α ε
π
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 
ζ 
ξ 
εc 
−c/2 c/2 ξB1B 
−c/4 
αBSN B 
AERODINÁMICA I 
aa02 
2
EJERCICIO 
 
Calcule la velocidad en el punto x=0, 
z=aπ/2 que produce un torbellino de 
intensidad Γ situado en x = aln2, z = aπ/2 
situado en el interior de un semicanal de 
anchura aπ tal como se indica en la 
figura. 
 
Solución 
 
Se sabe (ejercicio 5.1) que la transformación τ = aePt/aP, transforma un canal de altura aπ en el plano t 
(esquema 1) en un semiplano en el plano τ. El problema en el plano transformado es el indicado en 
el esquema 2: un torbellino en presencia de un suelo plano con un obstáculo semicircular, y se desea 
conocer la velocidad en el transformado del punto A’, que es (0,ia). El problema del esquema 2 es 
equivalente al representado en el esquema 3, dos torbellinos en presencia de un cilindro circular de 
radio a. Aplicando en teorema del círculo el potencial complejo es el correspondiente al 
representado en el esquema 4. La velocidad debida a estas singularidades en el punto A es 
1 2 2 1 4
2 3 3 3
U
a a a a aτ π π
Γ Γ⎛ ⎞= − − + − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y por tanto, la velocidad en el punto A’ es 
A A A
d d d d 4i i
d d d d 3
f fU W U
t t t aτ
τ τ
τ π′ ′ ′
Γ
= − = = = − , es decir 4
3
W
aπ
Γ
= 
 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
A’ 
Esquema 1 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 
Esquema 2 
A 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
a 2a 
−Γ 
A 
Esquema 3 
Γ 
ζ 
ξ 
2a 
2a 
−Γ 
a/2 
a/2 
A 
Esquema 4 
aln2 
Γ 
z 
x 
aπ/2 
aπ/2 
AERODINÁMICA I 
aa02 
3
EJERCICIO 
 
Considere la configuración bidimensional representada en la figura formada por un suelo plano 
sobre el que se levanta una colina cuya forma es un arco de circunferencia. Se desea conocer el 
valor de la velocidad sobre la colina en función de la altura de la misma. Para determinar el valor de 
dicha velocidad, transforme el problema propuesto en otro de solución conocida aplicando 
consistentemente una transformación bilineal y las transformaciones auxiliares que sean necesarias. 
Calcule el potencial complejo del problema transformado y el potencial complejo en el plano del 
problema inicial. Calcule la velocidad conjugada en el problema inicial y esquematice la función 
U(0,h)/UB∞ B, donde h = 2H/L. Para expresar los resultados utilice los siguientes parámetros: 
 πβ
π γ
=
−
 
 1 2
2tan
1
h
h
γ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
Nota: para 
adimensionalizar utilice 
como longitud 
característica la distancia 
L/2. 
 
Solución 
 
El ejercicio propuesto es formalmente análogo al ejercicio 5.2 (Aerodinámica I). Sean x = 2X/L, 
z = 2Z/L, t = x+iz; la transformación bilineal τ = (t−1)/(t+1) transforma el problema propuesto en un 
doblete de intensidad 2UB∞ B situado en (1,0) en presencia de un contorno como el indicado (plano τ), 
y la transformación τ’ = τ Pβ P, transforma este segundo problema en un doblete de intensidad 2βUB∞ B 
situado en el punto (1,0) del plano τ’. Así pues: 
( ) 2
1
Uf βτ
τ
∞′ =
′−
, ( ) 2
1
Uf β
βτ
τ
∞=
−
, ( ) 2
11
1
Uf t
t
t
β
β ∞=
−⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠
. 
Por tanto ( ) ( )
( ) ( )
12
2
2
1
i 4
1 1
t
f t u w U
t t
β
β β
β
−
∞
−
= − =
⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦
, que en t = 0+ih vale 
2
21
Uw
h
β ∞=
+
. 
 
 
 
 
 
 
 
Para esquematizar la variación de U(0,h)/UB∞ B = w(0,h)/UB∞ B con la altura adimensional h basta con 
tener en cuenta que cuando h = 0 no existe colina, con lo que será U(0,h)/UB∞ B = 1, y que cuando 
h = 1 la colina es una semicircunferencia, en cuyo caso es bien conocido que U(0,h)/UB∞ B = 2 
(recuérdese que, en un flujo potencial, el mínimo del coeficiente de presión sobre un cilindro 
circular vale –3). 
 
2UB∞ B γ 
Plano τ 
2βUB∞ B 
Plano τ’ 
X 
H 
Z 
−L/2 L/2 
UB∞ B γ 
AERODINÁMICA I 
aa02 
4
EJERCICIO 
 
Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, 
responde a la expresión: 
( )( )21 1 4 1 22cz x xπ= − − , 
 –1/2 ≤ x ≤ 1/2, 
volando a través del aire en 
calma en régimen incompresible 
con velocidad UB∞ B. Si es kπ el 
coeficiente de peso del perfil (el peso por unidad de envergadura dividido por la presión dinámica 
de la corriente incidente y la cuerda del perfil), que se supone aplicado en el punto medio de la 
cuerda, y supuesto que el perfil está articulado en el borde de ataque a un punto fijo, determine el 
ángulo de ataque de equilibrio, αBeq B, aplicando consistentemente la teoría potencial linealizada de 
perfiles en régimen incompresible. 
 
Suponga ahora que la línea de curvatura vuela con ángulo de ataquenulo. Sabiendo que en las 
condiciones de vuelo la velocidad del sonido vale aB∞ B = 300 m/s, dentro de la validez de la teoría 
potencial linealizada de perfiles calcule y represente esquemáticamente en el gráfico adjunto la 
variación con el número de Mach de vuelo (0 < MB∞ B < 2) del coeficiente de sustentación y del 
coeficiente de resistencia de la línea de curvatura. 
 
SOLUCION 
En incompresible es ( )21 1 1 31 4 12 2cos cos 22 2
cdz x x
dx
θ θ
π π
⎛ ⎞= − + − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 0
1
2
A
π
= − , 
1
2A
π
= y 2
3
2
A
π
= − . Por tanto 2 1lc πα= + y 
1
8mac
c = − , y tomando momentos respecto al borde 
de ataque, 1 1 0
2 4 l mac
k c cπ − + = , se obtiene 3
4eq
kα
π
= − . La resistencia aerodinámica en 
supersónico, con ángulo de ataque nulo, es: 
( )
1 2
22
2 2 2 2
1 2
4 1281 4 12
1 15 1
dc x x dx
M Mπ π−∞ ∞
= + − =
− −
∫ . 
En resumen 
MB∞ B<1 MB∞ B>1 
2
1
1
lc
M∞
=
−
 cBlB = 0 
 
cBdB = 0 2 2
128
15 1
dc
Mπ ∞
=
−
 
 
UB∞ B 
z 
x 
−1/2 1/2 
AERODINÁMICA I 
aa03 
1
EJERCICIO 
 
Considere una herradura de torbellinos como la representada en la figura. Calcule el punto o puntos 
del eje x en los que la velocidad inducida por la herradura de torbellinos es nula. 
 
Solución 
 
Este ejercicio es análogo al ejercicio 3.6 de Aerodinámica I. Sea ξ = x/b y sea w = 4πW/Γ, donde W 
es la velocidad inducida por el hilo de torbellinos. En la parte negativa del eje ξ las tres ramas, AB, 
BC y CD inducen velocidades con el mismo sentido, por lo que es imposible que en esta parte del 
eje exista un punto de velocidad nula. En la parte positiva del eje la velocidad inducida por las 
ramas AB y CD se opone a la velocidad inducida por la rama BC. 
Así pues, en un punto (ξ,0), los módulos de las velocidades valen 
wBAB B = wBCDB =1 − cosθB1B =
2
1
1
ξ
ξ
−
+
, 
wBBC B = 2cosθB2 B =
2
2
1ξ ξ+
 
y como para todo valor de ξ > 0 es 
wBBC B > (wBAB B + wBCDB), la velocidad vertical en 
el eje sólo se anula cuando ξ → +∞. 
 
EJERCICIO 
 
Se pretende ensayar un perfil de ala de cuerda c = 0,5 m en un túnel aerodinámico criogénico 
presurizado (régimen supersónico). Sabiendo que el perfil estará situado cerca del suelo de la 
cámara de ensayos del túnel y que la velocidad de ensayo es de 420 m/s, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada correspondiente, determine la altura mínima del perfil sobre el suelo de 
la cámara para que no existan interferencias entre túnel y perfil. Las propiedades y magnitudes que 
caracterizan el fluido de trabajo son: 
 
Relación de calores específicos, γ = 1,4 Temperatura, T = 225 K 
Constante del gas, R = 280 J·kgP−1 P·KP−1 P Viscosidad cinemática, ν = 2×10P−5 P mP2 P·sP−1 P 
Densidad, ρ = 2 kg·mP−3 P 
 
Solución 
La altura h ha de ser 
2
ch
β
≥ , con 2M 1β ∞= − , y 
2 2
2
2M
U U
TRa γ
∞ ∞
∞
∞
= = , haciendo aplicación de los 
datos numéricos resulta h ≥ c/2 si T = 225 K. 
 
ξ 
η 
1 
1 Γ 
1 
1 A 
C 
B 
D 
θB2 B 
θB1 B 
AERODINÁMICA I 
aa03 
2
EJERCICIO 
 
Un perfil de cuerda c = 1,4 m vuela con ángulo de ataque α = 0,05 rad a través del aire en calma 
(ρ = 1,2 kg·mP−3 P) con una velocidad de 90 m/s. En estas condiciones la distribución de coeficiente de 
sustentación a lo largo de la cuerda vale 
 cBl B(θ) = k(1 – cosθ), con cos2
cx θ= , 
2
cx ≤ , 
donde k es una constante adimensional de valor k = 0,2. Determine el valor de la circulación sobre 
el perfil. 
 
Solución 
 
El coeficiente de sustentación global del perfil, integrando, por ejemplo, en la variable x 
(2x/c = cosθ), vale 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
1 2( )d 1 d
c c
l l
c c
k xc c x x x k
c c c
− −
⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ , así pues, de la igualdad 
21
2 l
l U cc Uρ ρ∞ ∞= = Γ , se obtiene 
1 1
2 2l
U cc U ck∞ ∞Γ = = . 
EJERCICIO 
 
Considere una familia de perfiles de forma 
elíptica, tal como se indica en la figura. 
Determine, en función del parámetro k, 
(0 ≤ k ≤ 1/2) el valor de la velocidad máxima 
sobre el perfil. 
 
Solución 
 
La transformación de Yukovski, τ = t + aP2 P/t, transforma una circunferencia del plano t, de radio ma, 
con m ≥ 1 en una elipse en el plano τ. Analizando los puntos de corte con los ejes se tiene, para el 
eje horizontal: 1 1
2
cm
m a
+ = , y 1 cm k
m a
− = , para el vertical. De estas dos expresiones se obtienen 
los valores de m y c/a, que resultan ser 
2
4
1 4
c
a k
=
−
, 
2
1 2
1 4
km
k
+
=
−
. La velocidad máxima en el 
plano t (la solución de una corriente incidente con un doblete) es bien conocida y vale UBmax B = 2UB∞ B. 
En el plano de la elipse es ( )
2
max 2
i i
d 12 2 2 1 2
d d d 1kc t ma
t mU U U U k U
t mττ τ
∞ ∞ ∞ ∞
= =
= = = = +
+
. 
Nótese que cuando k = 0 (placa plana) la velocidad vale UB∞B, y que en el caso k = 1/2 (cilindro 
circular) la velocidad máxima vale 2UB∞B, como era de esperar. 
 
c 
kc 
x 
z 
UB∞B 
AERODINÁMICA I 
aa03 
3
EJERCICIO 
 
Un perfil de cuerda c m, de intradós plano y extradós parabólico, cuyo espesor relativo máximo, 
δ <<1, se alcanza en el punto medio de la cuerda, está articulado en el borde de ataque a un punto 
fijo. Sabiendo que la masa del perfil es m kg/m, que la densidad del perfil es uniforme, y supuesto 
que el perfil está en el seno de una corriente incidente supersónica de intensidad MB∞B = 3,0, 
determine, dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen supersónico, 
el ángulo de ataque de equilibrio. 
 
Solución 
 
Tomando, por ejemplo, el origen de coordenadas en el borde de ataque del perfil, la ecuación de la 
línea de curvatura, en variables adimensionalizadas con la cuerda, es C(x) = 2δx(1 – x). La 
distribución de coeficiente de sustentación a lo largo de la cuerda es por tanto 4 d( )
dl
Cc x
x
α
β
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
es decir ( )4( ) 2 4lc x xα δ δβ= − + , y el coeficiente de momento respecto al borde de ataque 
1
0
4 1 1( ) d
2 3mba l
c c x x x α δ
β
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ , con 2 2β = . Este coeficiente de momento ha de compensar el 
coeficiente de momento debido al peso del perfil: 
1
2
2 21
2
mg
cmg
c
U cρ ∞
= , de donde se obtiene el valor del 
ángulo de ataque 2 12
2 3mg
cα δ
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
EJERCICIO 
 
Considere un ala larga de forma en planta elíptica, cuya torsión, simétrica (ε(y) = ε(−y)) es tal que la 
línea de sustentación nula del ala coincide con la línea de sustentación nula del perfil central, 
volando en régimen incompresible a través del aire en calma (ρ = 1,2 kg·mP−3 P) con ángulo de ataque 
α = 2 grados y velocidad UB∞B = 100 m/s. Sabiendo que la envergadura del ala es b = 6 m y su 
superficie en planta S = 6 mP2 P, calcule el coeficiente de sustentación del ala así como el coeficiente 
de momento de guiñada. 
 
Solución 
 
Como la línea de sustentación nula del perfil central coincide con la del ala es IB1B = 0, y como la 
torsión es simétrica también es nulo I B2 B. Así pues, al ser el ala de forma en planta elíptica, será 
AB2 B = 0. Por tanto cBMzB = 0, y el coeficiente de sustentación vale 1
2
2 2L
c aπ πα αΛ Λ= =
Λ +
; como el 
alargamiento es Λ = 6, y el ángulo de ataque del enunciado está expresado grados en vez de 
radianes, llamando α a este ángulo en grados, finalmente queda 
23
2 180 120L
c π π πα α= = . 
 
AERODINÁMICA I 
aa03 
4
EJERCICIO 
 
Considere un perfil de ala de cuerda c = 1,6 m cuya línea de curvatura es un polinomio de segundo 
grado: 
 
2
0
n
c
n
n
z xa
c c=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ , 12
x
c
≤ . 
Determine la flecha máxima de la línea de curvatura y el ángulo de ataque del perfil cuando éste 
vuela a MB∞B = 0,6 con velocidad UB∞B siguiendo una trayectoria horizontal y rectilínea a través del aire 
en calma (densidad ρ). Suponga que la masa del perfil es M kg/m, y que el centro de masas está en 
el punto medio del perfil. 
 
Solución 
 
En variables adimensionalizadas con la cuerda c, la ecuación del perfil es zBcB = δ(1 – 4xP2 P). En 
régimen incompresible (haciendo 2x/c = cosθ, de modo que d 8 4 cos
d
cz x
x
δ δ θ= − = − ) se obtiene que 
el coeficiente de sustentaciónvale cBl,iB = 2π(α + 2δ), y que el coeficiente de momento respecto al 
centro aerodinámico vale c Bmac,iB = −πδ. 
 Llamando 21
2
M
Mgc
U cρ ∞
= , las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos en régimen 
compresible son βcBMB = 2π(α + 2δ) y βcBMB = 4πδ, respectivamente, siendo 21 M 0,8β ∞= − = , y de 
estas ecuaciones resulta 
4
Mcβδ
π
= y α = 0. 
EJERCICIO 
 
Considere la configuración fluida 
bidimensional formada por una corriente 
uniforme de intensidad UB∞B paralela al eje x 
y un doblete de eje horizontal, de intensidad 
−kUB∞BaP2 P. Determine la posición de los 
puntos de remanso y haga un esquema de 
las líneas de corriente divisorias. 
 
Solución 
El potencial complejo es ( )
2kaf t U t
t∞
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y la velocidad conjugada 
2
2
d 1
d
f kaU
t t∞
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, que se 
anula en it a k= ± . 
 
x 
z 
UB∞B 
doblete 
AERODINÁMICA I 
aa04 
13
EJERCICIO 
 
En la figura se ha representado una 
configuración bidimensional formada por un 
cilindro de sección elíptica (de semiejes de 
longitud 5a/2 y 3a/2) y un manantial 
potencial de intensidad Q situado en el punto 
(0,15/4), del que emana fluido de densidad ρ. 
Calcule la fuerza, F, ejercida por el manantial 
sobre el cilindro de sección elíptica. 
 
SOLUCIÓN 
La fuerza sobre el cilindro elíptico es igual y contraria a la fuerza sobre el manantial, y la fuerza 
sobre éste, en módulo, es ρWQ, donde W es la velocidad (vertical) inducida en el ojo del manantial 
por todas las singularidades del problema excepto por ella misma. 
Para calcular esta velocidad, mediante la transformación de Yukovski τ = t+aP2 P/t, se transforma el 
problema propuesto (plano τ) en un manantial en presencia de un cilindro circular centrado en el 
origen, de radio ka con k>1 (plano t). Transformando cualquiera de los puntos de corte de la 
circunferencia con los ejes se obtiene el valor de k; por ejemplo, en t = ika es τ = ia(k−1/k) = 3ia/2, 
de donde resulta k = 2. Como el homólogo de τ = 15ia/4 es t = 4ia, el problema a resolver en el 
plano t es un manantial de gasto Q, situado en (0,4ia), en presencia de un cilindro circular en el 
origen de radio 2a, cuyo potencial complejo es 
 ( ) ( ) ( ) ( )ln 4 ln ln
2
Qf t t ia t ia t
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ . 
Así pues, la velocidad en el plano τ debida a todas las singularidades del problema, en el entorno 
del ojo del manantial, es 
 
2
2 215
44 4
( ) ( ) 1 1 1 1' '
2 4ia t iat ia
dF df t Q tU iW dd dt t ia t ia t t adtτ
τ
ττ π→ →→
⎛ ⎞= − = = + −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
, 
y excluyendo la propia singularidad 
 
2
2 2
4
15
4
1 1 1 1
152 4
4
t ia
ia
Q tU iW iat ia t ia t t a
τ
π τ→
→
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎛ ⎞⎢ ⎥− = + − −⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
. 
o bien, en la variable t: 
2
2 2 2
4i
1 1 1i
2 4i i 15i
4 t a
Q t tU W
t a t a t t a a at
t
π
→
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎛ ⎞− = + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2
4i
4i
1 1 1
i2 4i 2 i
4
t a
t a
Q t t Q t
at a t a tt a t atπ π →
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− −⎝ ⎠⎜ ⎟+
⎝ ⎠
. 
El primer sumando proporciona una indeterminación del tipo 0/0, mientras que el límite del 
segundo sumando vale -2Qi/(51πa). Resolviendo la citada indeterminación se obtiene que el límite 
del primer sumando es -2Qi/(17P2 Pπa), de modo que finalmente se tiene 
(0,−3/2) 
(0,3/2) 
(5/2,0) (−5/2,0) 
z/a 
x/a 
Q (0,15/4) 
AERODINÁMICA I 
aa04 
14
 
3
2
5 2 40
8673 17
Qi QiU iW
a aπ π
⋅
− = − = −
⋅
, 
es decir 40
867
QW
aπ
= , y, por tanto, el módulo de la fuerza vale: 
240
867
QF
a
ρ
π
= . 
 
EJERCICIO 
 
Considere un ala plana de forma en planta elíptica, con una superficie en planta de 10 mP2 P y una 
envergadura de 10 m, volando a través del aire en calma con una trayectoria horizontal, rectilínea y 
uniforme, con velocidad UB∞ B = 200 m/s (MB∞ B = 0,6). Si el peso del ala es W = 2,4×10P4P N, y 
suponiendo que la densidad del aire vale ρ = 1,2 kg/mP3 P, determine el valor del ángulo de ataque del 
ala 
 
SOLUCION 
De los datos del enunciado se obtiene Λ = 10 y c BL B = 0,1. Aplicando ahora la analogía de Prandtl-
Glauert (cBLi B = c BLcB, ΛBi B = βΛBcB, αBi B = αBcB/β), en régimen incompresible habrá que resolver un ala también 
plana y de forma en planta elíptica, pero de alargamiento ΛBi B = 8 (pues β = 0,8). Este es un problema 
bien conocido (aB1 B = 2/5), de modo que de la expresión del coeficiente de sustentación del ala, 
12
i
L ic a
πΛ α= , se obtiene que en incompresible el ángulo de ataque vale 1
16i
α
π
= radianes, y en 
consecuencia el ángulo de ataque pedido (αBcB = βα BiB), es 
1
20c
α
π
= radianes. 
EJERCICIO 
 
Considere una edificación bidimensional, cuya forma externa es una semicircunferencia de radio a, 
situada sobre un suelo plano y sometida a una corriente potencial de intensidad UB∞ B. En una cierta 
posición θB0 B hay una pequeña ranura que 
comunica el interior de la edificación con el 
exterior. Determine el valor de θB0 B para el que la 
carga aerodinámica global sobre la edificación es 
nula. 
 
SOLUCION 
El coeficiente de presión sobre la edificación es el mismo que el de un cilindro circular de radio a, 
para el que, como es sabido, es f(t) = UB∞ B(t+aP2 P/t), U−iW = UB∞ B(1−aP2P/t P2P). 
En t = aePiθP se tiene U−iW = UB∞ B(1−e P−2iθP); ⏐(U−iW )/UB∞ B⏐P2 P = (1−cos2θ)P2P+sinP2 P2θ = 4sinP2Pθ , de modo 
que cp = 1−⏐(U−iW )/UB∞ B⏐ P2P = 1−4sinP2 Pθ . 
La carga aerodinámica sobre la superficie exterior de la edificación es 
 ( )2 2 2 2
0 0
1 1 5( )sin 1 4sin sin
2 2 3p
l U a c d U a d U a
π π
ρ θ θ θ ρ θ θ θ ρ∞ ∞ ∞= − = − − =∫ ∫ , 
y la carga sobre la superficie interior es 2 0
1 2
2 p
U acρ ∞− . Así pues, igualando ambas cargas se 
obtiene que el valor del coeficiente de presión en el interior ha de ser cBp0B = −5/3, de donde se 
obtiene el resultado pedido: 0sin 2 3θ = (o bien θB0 B ≅ 54,7º). 
 
θB0 B 
a 
UB∞B 
AERODINÁMICA I 
aa04 
15
EJERCICIO 
Considere la configuración bidimensional 
formada por una placa plana de cuerda c 
situada en un túnel supersónico de altura 2c, 
tal como se indica en la figura. La placa está 
articulada en el borde de ataque a un punto 
fijo ligado al túnel. Si el peso de la placa por 
unidad de longitud perpendicular al papel es 
W N/m determine, en función del número de 
Mach de la corriente, MB∞B, el valor del ángulo de ataque de equilibrio. Suponga M 17 4 1,03∞ ≥ ≈ . 
 
Solución 
En el intervalo ¼ ≤ β ≤ ½ las características reflejadas en las paredes 
del túnel inciden sobre el perfil, y para β > ½ la configuración en el 
perfil es idéntica a la de un perfil volando aislado (c BlB = 4α/β). En el 
caso ¼ ≤ β ≤ ½ se tiene: en la zona 1 es 1
2
pc
α
β
= − , 
( )1
U x zαϕ β
β
∞= − , por tanto, en la zona 2 es 
( ) ( )2 2
U x z G x zαϕ β β
β
∞= − + + , y de la condición de contorno en el 
techo del túnel (ϕB2zB = 0) se obtiene 2 0
dGU
d
α β
η∞
− + = , de donde resulta 
( ) ( )2
UG x z x zαβ β
β
∞+ = + . De igual modo, en la zona 3 se tiene 
( ) ( )3 2
UG x z x zαϕ β β
β
∞= − + + , y de la condición de contorno en el perfil (ϕB3zB = −αUB∞B) se obtiene 
3dFU U
d
α β α
ξ∞ ∞
− = − , y así, ( ) ( )3
2UF x z x zαβ β
β
∞− = − ; el potencial ϕB3B es pues 
( ) ( )3
2U Ux z x zα αϕ β β
β β
∞ ∞= − + + , y el coeficiente de presión cBp3 B = −6α/β. Procediendo de forma 
análoga en el intradós se tiene cBp4B = 4α/β y cBp6 B = 6α/β, de forma que la distribución de sustentación 
vale cBlB = 4α/β en el intervalo 0 ≤ x/c ≤ 2β, y cBlB = 12α/β en 2β ≤ x/c ≤ 1. 
El coeficiente de momento respecto al borde de ataque es ( )268 1 4mbac ααβ ββ= + − = 
32 8α β
β
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
de modo que, igualando con el momento producido por el peso del perfil: 
2 2 21 3 1M 2 8
2 2
a c cWρ α β
β∞ ∞
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se obtiene el valor del ángulo de ataque de equilibrio: 
 
( ) ( )
2
2 22 2 2 2
M 1
2 23 8 M 11 8M M
W W
a c a c
βα
ρ ρβ
∞
∞ ∞∞ ∞ ∞
−
= =
− −
, para 217 5M
16 4∞
≤ ≤ , y 
 
2
2 2
M 1
2 M
W
a c
α
ρ
∞
∞ ∞
−
= , para 2 5M
4∞
≥ . 
6 
1 
2 
3 
4 
5 
c 
c 
c 
MB∞B 
AERODINÁMICA I 
aa04 
16
EJERCICIO 
 
Considere la configuración bidimensionalformada por un perfil de cuerda c situada en una corriente 
supersónica (MB∞B>1). El perfil, tal como se indica en la figura, es de intradós plano, y su extradós 
está formado por dos segmentos rectilíneos que se unen en el punto XB0 B (c/4<XB0 B<3c/4); además, el 
perfil está articulado en el borde de ataque a un punto fijo. Suponiendo que el perfil es macizo, y 
que está hecho con un material con peso específico uniforme de valor k N/mP3 P, determine, en función 
del número de Mach de la corriente, M B∞B, el valor del ángulo de ataque de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Llamando z = Z/c, x = X/c y xB0B = XB0 B/c, las ecuaciones de la línea de curvatura del perfil son: 
 
02
xz
x
ε
= , para 0 ≤ x ≤ xB0B, y 
 
0
1
2 1
xz
x
ε −
=
−
 para xB0 B ≤ x ≤ 1. 
El coeficiente de sustentación local en cada uno de estos tramos vale 
0
2 1
lc x
ε
β
= − , para 0 ≤ x ≤ xB0 B, 
y 
0
2 1
1l
c
x
ε
β
=
−
 para xB0 B ≤ x ≤ 1, de modo que el coeficiente de momento respecto al borde de 
ataque, teniendo en cuenta el ángulo de ataque, vale 00 0
12 2 2
2mba
xc x xα ε ε α ε
β β β β
− +⎛ ⎞− = − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
Por otro lado, el momento debido al peso es 
 ( ) ( )
0
0
1
3 2 3
0
0 00
1 1 11 1
1 6
x
x
M c k x dx x xdx c k x
x x
ε ε
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + − = +
⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , 
de modo que, estableciendo el equilibrio de momentos: 
 ( )2 2 2 3 0
1 2 1M 1
2 6
a c c k xα ερ ε
β∞ ∞
+
= + , 
se obtiene 
 
( ) ( ) 20 0
2 2 2 2
1 1 M 1
1 1
2 23 M 3 M
ck x ck x
a a
ε β εα
ρ ρ
∞
∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
 
 
0 XB0 B c X 
Z 
εc, ε <<1 UB∞B 
AERODINÁMICA I 
aa05 
1
EJERCICIO 
 
 Considere un ala cuya forma en planta es como la representada 
en la figura, de envergadura b = 12 m y cuerda en la raíz cB0 B = 2 m, 
volando a través del aire en calma (ρ = 1 kg·mP−3 P) con velocidad 
UB∞ B = 50 m·s P−1 P. 
 Sabiendo que el peso que ha de sustentar el ala es P = 7500 N, y 
supuesto que la geometría del ala es tal que al ángulo de ataque de 
vuelo la resistencia inducida es mínima, dentro de la validez de la 
teoría potencial linealizada de alas largas, determine el ángulo de 
ataque de la línea de sustentación nula del perfil central. 
 Determine también el ángulo que forma la línea de sustentación 
nula de cualquiera de los perfiles de los bordes marginales respecto a 
la línea de sustentación nula del perfil central. 
 Como el ala no tiene motor, para mantener la velocidad de 
vuelo constante su trayectoria habrá de ser descendente. Supuesto que 
el ala está inicialmente a una altitud h = 300/π m y a una distancia 
horizontal d = 9000 m de la pista de aterrizaje, calcule si el ala 
alcanzará o no dicha pista (desprecie el posible efecto de la 
proximidad del suelo). 
 Nota: la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles 
vale dcBl B/dα = 2π. 
 
Solución 
 
De los datos del enunciado se deduce que S = 18 mP2 P y Λ = 8, por tanto: 
 21
2
1
3L
Pc
U Sρ ∞
= = , 1
2 1
12
LcA
π π
= =
Λ
. Como G(θ) = AB1Bsinθ (resistencia 
inducida mínima), de la ecuación de Prandtl se obtiene 
 ( ) 1
1sin
( ) 2
bA
c
α θ θ
π θ
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 
 
( )1
1 1 6 1
2 2 2 12 2
bA
c
πα
π π π π
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
radianes, 
 ( ) ( ) 1
10
2
Aα α π= = radianes, 
y en consecuencia ( ) ( )1 2
10
2 2 2
bA
c
πα α
π π π
⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 radianes. 
En el vuelo de planeo será: L ≈ P, Pβ ≈ DBiB, pues tanβ ≈ sinβ ≈ β << 1; 
1sin
24
Di L
L
c c
c
β
π π
= = =
Λ
,la distancia recorrida horizontalmente antes de 
llegar al suelo es 300 24hd π
β π
= = = 7200 m < 9000 m. Así pues, el ala 
llega al suelo antes de alcanzar la pista. 
 
 
 
DBiB 
L 
P 
Pβ 
β 
β 
b/2 
cB0B/2 
cB0B 
x 
y 
UB∞ B 
b/2 
AERODINÁMICA I 
aa05 
2
 
EJERCICIO 
Conocida la ecuación de Euler-Bernoulli: ( )21 d
2
p F t
t
Φ Φ
ρ
∂
+ ∇ + =
∂ ∫ , calcule el valor mínimo de 
la velocidad local del sonido, a, sobre una línea de curvatura parabólica que se mueve con ángulo 
de ataque nulo en régimen estacionario, con un número de Mach MB∞ B = 0,6 a través de un gas 
perfecto, sabiendo que la velocidad del sonido corriente arriba, lejos del perfil, es aB∞ B = 300 m/s. 
 
Para determinar de forma sencilla las magnitudes necesarias del campo fluido sobre la línea de 
curvatura, de ecuación z = εc[1−(2x/c)P2P], con ε = 1/30, c = 0,75 m y –1 ≤ 2x/c ≤ 1, suponga 
aplicable la teoría potencial linealizada de perfiles. 
 
Solución 
 
Resolviendo el perfil dado en régimen incompresible, aplicando el método de Glauert, se tiene 
d 24 4 cos
d
z x
x c
ε ε θ= − = − , de forma que AB1 B = 4ε, y por tanto uBiB = 4εUB∞ Bsinθ, que es máxima en 
θ = π/2, donde vale uBimax B = 4εUB∞ B. La velocidad de perturbación máxima al número de Mach dado es 
pues maxmax 2 2
4 M 0,1
1 M 1 M
iuu a aε ∞ ∞ ∞
∞ ∞
= = =
− −
, y en consecuencia UBmax B = UB∞ B+ uBmax B = aB∞ B(MB∞ B+0,1) = 
0,7aB∞ B. En el caso de un gas perfecto, en régimen estacionario, de la ecuación de Euler-Bernoulli se 
obtiene: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2min max1 11 0,6 0,7 0,9742 2a a U U a a
γ γ
∞ ∞ ∞ ∞
− −⎧ ⎫⎡ ⎤= + − = + − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭
, habiendo 
tomado γ = 1,4. Así pues es aBmin B ≅ 0,987aB∞ B ≅ 296 m/s. 
 
EJERCICIO 
 
Como es sabido, el potencial complejo f(t) = BtP1/2 P, siendo t = rePiθP y B un parámetro real, representa 
el flujo de rebordeo alrededor del extremo de una placa plana. Sabiendo que la densidad del fluido 
es ρ, determine la fuerza que aparece sobre la placa, indicando claramente su magnitud, dirección y 
sentido. 
Compare el campo de velocidades dado por el potencial complejo anterior con el que resulta de 
aplicar la transformación de Yukovski para determinar el flujo potencial alrededor de una placa 
plana, definida en el intervalo [−2a,2a] como se indica en la figura, que vuela a través del aire en 
calma en régimen estacionario con un ángulo de ataque α; el campo de velocidades de este segundo 
problema es: 
1 tan
2
U U θα∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, siendo ξ = 2acosθ, y α << 1. 
Determine el valor del parámetro B y demuestre que 
se cumple la paradoja de D´Alembert en el flujo 
potencial estacionario alrededor de una placa plana que vuela con ángulo de ataque pequeño en un 
medio fluido en reposo. 
 
Solución 
UB∞ B ξ 
η 
α 
−2a 2a 
Plano τ 
AERODINÁMICA I 
aa05 
3
La velocidad conjugada vale 1/ 2d 1 cos i sin i
d 2 2 22
f BBt U W
t r
θ θ− ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Estableciendo el 
balance de cantidad de movimiento en la dirección del eje x en un volumen de control como el 
indicado, como n = icosθ+jsinθ, se tiene: 
 
1
( )dF U sρ− = =∫ V ni 
 
22
0
cos cos cos sin sin d
4 2 2 2
B r
r
π
ρ θ θ θθ θ θ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 
 ( )
22
2
0
11 cos d
8 4
B B
π
ρ θ θ πρ= + =∫ . 
 
Por otra parte, cerca del borde de ataque de la placa plana, en la solución de Yukovski, tal como se 
explica en el apartado 6.2 (Aerodinámica I), la velocidad en el intradós se comporta como 
 1 cos 2tan 2
2 1 cos 2
a aU U U U
a
θ θ ξα α α α
θ ξ ε∞ ∞ ∞ ∞
− −
= =
+ +
, 
siendo ε = 2a+ξ la distancia al borde de ataque. De aquí se obtiene B = 4αUB∞ BaP1/2 P, y el resto es 
análogo a lo explicado en el mencionado apartado 6.2. 
 
EJERCICIO 
 
Considere un ala de envergadura b = 10 m volando horizontalmente a través del aire (ρ = 1 kg/mP3 P) 
en calma con una velocidad de 80 m/s. Sabiendo que el peso del ala es de (2π/3)×10P4 P N y que las 
cuerdas del ala siguen la ley: 
 ( ) ( )sin sin 3
2
bc θ θ δ θ
π
= + 
con δ<<1 y θ = cosP−1 P(2y/b), determine el ángulo de ataque del perfil central, α(π/2), y la torsión del 
ala, ε(θ), para que ésta tenga resistencia inducida mínima. Calcule el valor del parámetro δ sabiendo 
que la torsión en los bordes marginales vale ε(±b/2) = −1/32 radianes. 
 
Solución 
El área de la forma en planta es ( ) ( )
/ 2 2 2
/ 2 0
d sin sin 3 sin d
4 8
b
b
b bS c y y
π
θ δ θ θ θ
π
−
= = + =∫ ∫ , el 
coeficiente de sustentación vale
21 6
2
L
Lc
U S
π
ρ ∞
= = , y por tanto 1 2 2 2
2 2 4 1
24
L Lc c S WA
b U bπΛ π πρ ∞
= = = =(nótese que no es estrictamente necesario calcular S). De la ecuación de Prandtl: 
( ) ( )1 1
1 1sin sin sin 3
2 2
A Aθ θ δ θ α θ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se obtiene ( ) 1
2sin 1
sin sin 3 2
A θα θ
θ δ θ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
, de donde 
resulta 1
2 1
2 1 2
Aπα
δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 y ( ) 1
sin 12
sin sin 3 1
A θε θ
θ δ θ δ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
, cuyo valor, por ejemplo, en 
θ = 0 es ( ) 1
1 1 10 2
1 3 1 32
Aε
δ δ
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
, de donde se obtiene 1
9
δ = . 
 
x 
z 
θ 
n 
r 
1 
2 
AERODINÁMICA I 
aa05 
4
EJERCICIO 
 
Considere un doblete bidimensional de intensidad kaP2 P 
mP3 P/s, situado en el centro de un dominio fluido circular 
de radio a m. Sabiendo que el eje del doblete forma un 
ángulo π/2 con el eje x, determine la posición de los 
puntos del contorno donde la velocidad es mínima y 
donde la velocidad es máxima, indicando los valores 
vectoriales (módulo, dirección y sentido) de dichas 
velocidades mínima y máxima. Determine también la 
fuerza que el doblete ejerce sobre el contorno del 
dominio fluido 
 
Solución 
 
El potencial complejo de un doblete bidimensional aislado de intensidad kaP2 P, cuyo eje forma un 
ángulo π/2 con el eje x, es ( )
2ikaF t
t
= . Al considerar la existencia de un contorno circular de radio 
a que rodea al doblete será ( )
2ikaF t
t
−
= , y entonces 
2
iaF kt
t
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que el potencial 
complejo del problema propuesto es ( )
2
i af t k t
t
⎛ ⎞
= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, que representa un doblete como el 
propuesto en presencia de una corriente uniforme vertical de intensidad k, problema conocido cuya 
velocidad conjugada vale 
2
2
d i i 1
d
f aU W k
t t
⎛ ⎞
= − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, que se anula en t = ±ia (puntos de remanso) 
y es máxima en t = ±a, donde la velocidad vale W = 2k. La fuerza sobre el contorno es la misma, en 
módulo, que la fuerza sobre el doblete en la corriente uniforme, que, 
obviamente, es cero. 
 
EJERCICIO 
 
Considere la configuración fluida bidimensional formada por un 
torbellino de intensidad Γ = 3π mP2 P/s, situado en (0,2a), en presencia de 
un círculo de radio a = 2 m. Sabiendo que la circulación alrededor del 
cilindro es nula, determine la diferencia entre las presiones en los 
puntos B(0,−a) y A(0,a), ∆p = pBBB−pBAB. Suponga que la densidad del 
fluido vale ρ = 1 kg/mP3 P. 
 
Solución 
El potencial complejo es ( ) ( )12( ) ln 2 ln ln2
if t t ia t t iaΓ
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ , y la velocidad conjugada: 
x 
z 
2a 
a 
Γ 
B 
A 
x 
z 
a 
a 
a 
kaP2P 
AERODINÁMICA I 
aa05 
5
1
2
1 1 1
2 2
df iU iW
dt t ia t t ia
Γ
π
⎛ ⎞
= − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. En t = ia (punto A) será U
a
Γ
π
= − , y en t = −ia (punto B) 
se tiene 
3
U
a
Γ
π
= − , de modo que, aplicando Bernoulli, resulta
2
B A 2 2
4
9
p p
a
ρΓ
π
− = , o bien, tomando 
los valores de Γ y ρ propuestos: 24p a∆ = Pa. 
AERODINÁMICA I 
aa06 
1
EJERCICIO 
 
Considere un ala de forma en planta rectangular, de alargamiento Λ>>1, volando a través del aire en 
calma con velocidad UB∞ B. Suponiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale c BL B = πP3 P/180, y 
suponiendo que la resistencia inducida del ala es mínima, calcule, dentro de la validez de la teoría 
del ala larga de Prandtl, el ángulo formado entre la dirección de sustentación nula de cualquiera de 
los perfiles de las puntas del ala y la dirección de sustentación nula del perfil central. 
 
Solución 
 
Que el coeficiente de resistencia inducida sea mínimo para un valor dado del coeficiente de 
sustentación implica AB1 B ≠ 0 y ABn B = 0 para n>1. Así pues la ecuación de Prandtl 
queda: 1 1
1 1 1sin 2 ( )
2 2
A Aθ π α θ
Λ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, de modo que 1
1( ) sin
2
A Λα θ θ
π
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. La diferencia entre 
las líneas de sustentación nula de los perfiles correspondientes a θ = 0 y θ = π/2 es por tanto 
∆α = ΛAB1 B/π = 2c BL B/πP2 P (radianes) = 360c BL B/πP3 P (grados), pues como se sabe cBL B = πΛAB1 B/2. 
 
EJERCICIO 
 
Considere un perfil de intradós plano y extradós parabólico (cuya forma viene dada por la expresión 
z Bex B = εc[1−(2x/c)P2P], −c/2 ≤ x ≤ c/2, ε<<1) volando con ángulo de ataque α<<1 en régimen 
supersónico (MB∞ B = 2 ). Calcule el coeficiente de momento respecto al punto medio del perfil en el 
caso c = 2 m, ε = 0,03, α = 0,02 radianes. 
 
Solución 
 
Sea x=x/c y z=z/c; en variables adimensionales la línea de curvatura del perfil, la única que 
contribuye al momento pedido, es zBcB = ½ε(1−4x P2P), de modo que 
d4 16( )
d
c
l
z xc x
x
ε
β β
= − = . El 
coeficiente de momento pedido, tomando β = 1, es:
1 2
2
0
-1 2
416 d
3m
c x x εε= − = −∫ . 
 
EJERCICIO 
 
Considere una placa plana volando en régimen compresible (MB∞ B = 0,6). Calcule el valor del ángulo 
de ataque para el que el coeficiente de momento respecto al borde de salida valga cBmcB = 3/4. 
 
Solución 
 
El coeficiente de momento respecto al borde de salida de un placa plana en régimen incompresible 
es 3 3
4 2mi l
c c πα= = . En régimen compresible subsónico, llamando 21 Mβ ∞= − , será 
3
2mc
c πα
β
= , 
de modo que 2 8
3 15
mc mcc cβα
π π
= = radianes, pues β = 4/5. 
 
AERODINÁMICA I 
aa06 
2
EJERCICIO 
 
Considere un perfil idealizado por una placa plana de cuerda 
c = 3 m volando en régimen incompresible con velocidad 
UB∞ B = 60 m/s. El perfil está provisto de un flap simple de 
cuerda c/2. Sabiendo que en régimen de crucero, con el flap 
sin deflectar, el coeficiente de sustentación del perfil vale 
cBlB = 1/3 y que la velocidad de despegue es UB∞ B/2, determine el 
ángulo de deflexión del flap en el despegue suponiendo que la 
parte fija del perfil mantiene el mismo ángulo de ataque que 
en vuelo de crucero. Desprecie el efecto de la cercanía del 
suelo sobre la sustentación. 
 
Solución 
 
Si en régimen de crucero, con velocidad UB∞ B, el coeficiente 
de sustentación vale cBl cruc.B = k, en el despegue, con 
velocidad UB∞ B/2, habrá de ser cBl desp.B = 4k. En el primer caso 
se tiene 2πα = k, de donde resulta α = k/(2π), y en el segundo será cBl desp.B = cBl cruc.B +∆cBl flap B, o bien 
∆cBl flap B = 3k. ∆cBl flap B se debe únicamente a la deflexión del flap, y es la solución del problema de la 
figura adjunta. 
Aplicando el método de Glauert (dz/dx = 0 para π/2≤θ≤π, y dz/dx = −δ para 0≤θ≤π/2) será 0 2
A δ= , 
2
1
0
2 2cos dA
π
δ δθ θ
π π
= =∫ , de modo que ∆c Bl flap B = 3k = δ(2+π), y por tanto 32
kδ
π
=
+
. 
 
EJERCICIO 
 
Determine el valor del coeficiente de sustentación 
producido por una línea de curvatura (un arco de 
circunferencia de cuerda c = 1 m y flecha máxima 
f = c/20), que vuela con ángulo de ataque nulo a través 
del aire en calma con velocidad UB∞ B = 30 m/s. 
 
Solución 
 
La transformación de Yukovski τ = t+aP2 P/t transforma una 
circunferencia de centro t B0 B = iδa y radio R = a(1+δP2 P)P1/2 P 
situada en el plano t en un arco de circunferencia de flecha 
2δa en el plano τ, de modo que será δ = f/(2a) = c/(2ak). El 
potencial complejo en el plano t es: 
( )
2
0 0
0
( ) ln
2
R if t U t t t t
t t
Γ
π∞
⎛ ⎞
= − + + −⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
y expresando que el homólogo del borde de salida del perfil 
ha de ser punto de remanso se obtiene 
Γ = 4πUB∞ Baδ = 2πUB∞ Bc/k, de modo que la sustentación del perfil vale l = ρΓUB∞ B y el coeficiente de 
sustentación c BlB = 4π/k.B 
UB∞ B 
α 
UB∞ B/2 
α 
δ 
c 
f 
UB∞ 
δ 
f 
R 
θB0 B f/2 
AERODINÁMICA I 
aa06 
3
EJERCICIO 
 
Ensayos en túnel con un perfil simétrico de cuerda c = 0,5 m y de espesor relativo 0,06 indican que 
la sustentación máxima producida por el perfil vale 480 N/m. Sabiendo que en los ensayos la 
densidad del aire valía ρ = 1,2 kg/mP3 P y que la velocidad era UB∞ B = 40 m/s, aplicando 
consistentemente la teoría potencial linealizada de perfiles indique cuanto valdrá el máximo 
coeficiente de sustentación del perfil cuando vuele a MB∞ B = 0,6 (suponga aB∞ B = 340 m/s). 
 
Solución 
 
La relación entre los coeficientes de sustentación en régimen compresible e incompresible es 
c BlcB = c BliB/β, donde ( )212licl U cρ ∞= y 21 Mβ ∞= − . 
 
EJERCICIO 
 
Calcule la fuerza que sería preciso ejercer sobre un torbellino 
bidimensional de intensidad Γ = π mP2 P/s en presencia de paredes rectas 
semi-infinitas, tal como se ha representado en la figura, para que el 
torbellino se mantenga fijo en su posición tB0B = ae Piπ/4P. Suponga que la 
densidad del fluido vale ρ = 1 kg/mP3 P y que la distancia al origen, a, vale 1 
m. 
 
Solución 
 
Para reproducir las paredes rectas se aplica el método de las imágenes, de 
modo que el problema propuesto es análogo al formado por cuatro 
torbellinos dispuestos como se indica en la figura. Para determinar la 
fuerza sobre el torbellino habrá que calcular la velocidad inducida por las 
singularidades imagen en el eje del torbellino. Estas velocidades valen 
Γ/(2πd), siendo d la distancia desde el eje del torbellino de interés y el eje 
de cualquiera de los otros (d = 2a en el caso del torbellino imagen situado 
en la bisectriz del tercer cuadrante y 2d a= para los otros dos 
torbellinos imagen). Sumando vectorialmente las distintas velocidades, el módulo de la resultante es 
4
V
a
Γ
π
= , de modo que el módulo de la fuerza vale 
2
4
F V
a
ρΓρΓ
π
= = 
 
 
EJERCICIO 
 
Considere un obstáculo bidimensional cuya sección recta, tal como se 
indica en la figura, es un triángulo equilátero de lado L = 0,1 m, 
sometido a una corriente incidente de densidad ρ = 1,2 kg/mP3 P y de 
velocidad UB∞ B = 50 m/s. Suponiendo que en cada una de las caras del 
obstáculo la distribución de presión es constante y de valor pB1 B = 11,2 
kPa, pB2B = 9,4 kPa, y pB3B = 11,2 kPa, donde los subíndices 1, 2 y 3 
indican la cara correspondiente, determine el valor del coeficiente de 
resistencia aerodinámica del obstáculo sabiendo que la presión estática corriente arriba del 
obstáculo vale 10 kPa. 
 
1 
2 
3 
UB∞ B 
π/4 
a 
Γ 
AERODINÁMICA I 
aa06 
4
Solución 
 
Como los coeficientes de presión son constantes y el ángulo que forman las caras anteriores del 
prisma con la vertical es π/6, será 
( )1 3 2 1 3 21 1cos cos6 6 2d p p p p p pc c L c L c L c c cL
π π⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
y teniendo en cuenta que c Bp1B = c Bp3B resulta finalmente cBd B = cBp1 B−c Bp2B, donde 21
2
i
pi
p pc
Uρ
∞
∞
−
= . 
EJERCICIO 
 
En la figura se ha representado un torbellino plano, de intensidad Γ = 2π 
mP2 P/s, con forma de triángulo equilátero de lado L = 1 m. Calcule el 
módulo de la velocidad inducida por el torbellino en el circuncentro del 
triángulo. 
 
 
Solución 
 
Obviamente la velocidad inducida por el torbellino será el 
triple de la velocidad debida a cada uno de los segmentos 
que forman el triángulo equilátero. Tras unas sencillas 
operaciones de geometría elemental se encuentra que el 
circuncentro está a una distancia 3 / 6d L= del lado 
considerado, de modo que será 
1
5 3cos cos
4 6 6 2
V
d L
Γ π π Γ
π π
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
, y la velocidad total 1
93
2
V V
L
Γ
π
= = . Tomando Γ = 2π se tiene 
finalmente V = 9/L. 
 
 
 
EJERCICIO 
 
Considere el movimiento potencial bidimensional de un líquido 
de densidad ρ = 2 kg·mP−3 P alrededor de un cilindro circular sin 
circulación de radio R = 1 m. Sabiendo que la velocidad UB∞ B del 
fluido es uniforme corriente arriba y que las presiones sobre el 
cilindro en los puntos A y B valen PBAB = 1500 Pa y PBBB = 600 Pa, 
calcule el valor de la velocidad UB∞ B. 
 
Solución 
 
El potencial complejo del problema es f(t) = UB∞ B(t+RP2 P/t), de modo que la velocidad conjugada vale 
df/dt = UB∞ B(1−RP2 P/tP2P). Así pues en t = −R (punto A) la velocidad es nula (punto de remanso) y en 
t = −iR (punto B) vale 2UB∞ B. Por tanto: ( )21 22A BP P Uρ ∞= + , de donde se deduce que 
( )21
2
A BP PU
ρ∞
−
= . 
Γ 
UB∞ 
x 
z 
B 
A 
π/6 
5π/6 
L 
d 
AERODINÁMICA I 
aa08 
1
EJERCICIO 
 
Un ala de forma en planta elíptica, envergadura b = 5 m, alargamiento Λ = 8 y torsión 
ε(y) = εB0 B(2y/b) P2P, con ε B0B = 6º, vuela a través del aire en calma en régimen incompresible con 
velocidad UB∞ B. Sabiendo que la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles vale 2π, calcule 
el coeficiente de sustentación del ala cuando la corriente no perturbada incide según la dirección de 
sustentación nula del perfil central. 
 
Solución 
 
En la variable θ la torsión se expresa como ε(θ) = εB0Bcos P2 Pθ. Introduciendo esta expresión en la 
ecuación de Prandtl se obtiene: 
 20
1 1
1 4 1sin 2 sin cos sin
2 2sinn n
A n nA nθ π θ ε θ θ
πΛ θ
∞ ∞⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ , o bien 
 ( )20 0
1
1sin cos sin sin sin 3
4 2 4n
n A nΛ θ ε θ θ ε θ θ
∞
⎛ ⎞+ = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ . 
Así pues AB1B = ε B0B/10, y el coeficiente de sustentación del ala (cBL B = πΛAB1B/2) vale cBL B = απ P2 P/450 
 
 
EJERCICIO 
 
Considere un perfil de cuerda c = 1,5 m, de 
intradós plano y cuyo extradós está formado por 
dos rectas que se unen en el punto medio del 
perfil, tal como se indica en la figura. Si el perfil 
se desplaza a través del aire en calma en régimen 
supersónico, con ángulo de ataque nulo y 
velocidad UB∞ B = 500 m·sP−1 P (suponga M B∞ B = 2P1/2 P y 
ρ B∞ B = 1 kg·mP−3 P), determine el valor del parámetro ε para que la resistencia de onda del perfil sea 
d = 2400 N.mP−1 P. 
 
Solución 
 
Como (dz BextB/dx)P2 P = 4ε P2P sea x positivo o negativo (−c/2 ≤ x ≤ c/2), el coeficiente de resistencia del 
perfil vale 
c/2 2 2
2
-c/2
d2 8d1 d
2
ext
d
zd xc
x cU c
ε
β βρ ∞
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ , de modo que 
1
2
d
U c
βε
ρ∞
= . 
 
EJERCICIO 
 
Considere el movimiento potencial bidimensional generado por 
un manantial de gasto Q = 4 mP2 P·sP−1 P situado a una altura h = 1/π m 
sobre un suelo plano, en el que existe otro manantial que inyecta 
el mismo gasto Q en el semiplano considerado. Si la densidad de 
fluido es ρ = 1,2 kg·mP−3 P, calcule la fuerza sobre el manantial 
situado en (0,h). 
 
x 
z 
Q 
Q 
h 
x 
z 
−c/2 
εc 
c/2 
UB∞ 
AERODINÁMICA I 
aa08 
2
Solución 
 
Al aplicar el método de las imágenes se obtienen tres manantiales, uno en el origen de intensidad 
2Q, y otros dos, ambos de intensidad Q, situado uno en (0,h) y el otro en (0,−h). La velocidad 
inducida por los dos manantiales inferiores en (0,h) es: 2 1 1 5
2 2 2 4
Q Q Qw
h h hπ π π
= + = , de forma que la 
fuerza sobre el manantial en consideración es, en módulo: 
25
4
QF Qw
h
ρρ
π
= = . 
 
EJERCICIO 
 
La transformación de Yukovski τ = t+aP2 P/t convierte la 
circunferencia centrada en el origen de radio R = ka, con k = 3/2 
en una cierta elipse en el plano τ. Supuesto que la elipse está 
sometida a una corriente incidente uniforme de velocidad 
UB∞ B = 26 m·sP−1 P, paralela al eje ξ, calcule la velocidad en el punto 
A sobre la elipse (intersección de la elipse con el eje η). 
 
Solución 
 
Sobre la circunferencia de radio R la velocidad en el homólogo del punto A (t = iR = ika) vale 2UB∞ B, 
de modo que sobre la elipse será 2 2
1 1( ) ( ) ( )
d d 1
V V t V t
t a t
τ
τ
= =
−
, expresión que en t = ika queda 
2
2
2( )
1
kV U
k
τ ∞== +
. 
 
EJERCICIO 
 
Considere la configuración de torbellinos 
representada en la figura (Γ = 2π mP2 P·sP−1 P, k = 3, 
h = 1 m). Calcule el módulo de la velocidad 
generada por esta herradura en el punto del eje x 
(∞,0,0). 
 
Solución 
 
Sean Γ y kΓ (con k>1) las 
intensidades de los torbellinos 
de la cabeza. Las intensidades 
de los torbellinos de las colas 
habrán de ser Γ la de la cola 
situada en y = −h, (k−1)Γ la 
intensidad del hilo situado en 
y = h, y kΓ la intensidad del hilo situado en y = 3h. El problema a resolver para calcular la velocidad 
en el punto solicitado es pues un problema bidimensional, con tres torbellinos, como se indica en el 
esquema. La velocidad en (∞,0,0) es por tanto 
( )2 61 1
2 3 6
kk kw
h h h h
ΓΓ
π π
−−⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
UB∞ 
ξ 
η 
A 
plano τ 
y 
z 
−h h 3h 
Γ (k−1)Γ kΓ 
x Γ 
y 
kΓ 
h 
h 
2h 
AERODINÁMICA I 
aa08 
3
EJERCICIO 
 
Considere un hilo de torbellinos de intensidad 
Γ mP2 P·s P−1P, como el representado en la figura, formadopor dos torbellinos rectos contenidos en el plano 
z = 0 unidos por una semicircunferencia de radio 
a m, también contenida en el plano z = 0. Calcule el 
vector velocidad en el punto del eje z situado a una 
distancia a del origen (0, 0, a). 
 
Solución 
 
La contribución a la velocidad vertical del tramo 
curvo, teniendo en cuenta que 3
d
4
ox rV
r
Γ
π
×
= ∫ es, en 
módulo, , 3
0
2 2· d 2
8 162 2v c
a aV
aa
π
Γ θ Γ
π
= =∫ , mientras que 
la debida a los hilos rectos es la mitad de la producida 
por dos hilos de torbellinos bidimensionales 
,
1 1 22
2 2 2 42v r
V
aaπ π
Γ Γ
= = . Por tanto la velocidad 
vertical total es ,
2 1
4 4v r
V
a π
⎛ ⎞Γ
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. La horizontal es debida únicamente al tramo curvo, y se 
obtiene proyectando en la dirección del eje x: , 3
0
2 2· sin d 2
8 82 2h c
a aV
aa
π
Γ θ θ Γ
π π
= =∫ . 
 
EJERCICIO 
 
La exploración de la estela de un ala larga plana, de envergadura b = 8 m y superficie en planta 
S = 8 mP2 P, que vuela en régimen incompresible a través del aire en calma (ρ = 1,2 kg·mP−3 P) con 
ángulo de ataque α = 2 grados y velocidad UB∞B = 100 m/s, indica que la distribución en la estela de 
la intensidad de los torbellinos libres se ajusta a la ley: 
B ( ) 2y kUγ ∞= , 02
b y− ≤ ≤ , ( ) 2y kUγ ∞= − , 0 2
by≤ ≤ ,B 
siendo k una constante conocida de valor k = 2. Calcule la sustentación generada por el ala. 
 
Solución 
 
Como γ = dΓ/dy, la distribución de circulación a lo largo de la envergadura vale Γ = 2kUB∞B(y + b/2) 
en –b/2 ≤ y ≤ 0, y Γ = −kUB∞B(y − b/2) en el intervalo 0 ≤ y ≤ b/2. En consecuencia, la sustentación 
pedida vale 
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
1( )d ( )d
2
b b
b b
L l y y U y y U kbρ ρ∞ ∞
− −
= = Γ =∫ ∫ . 
 
Γ x 
y 
a 
a 
a 
dxBo B π/4 
VBh B 
VBvB r 
AERODINÁMICA I 
aa08 
4
EJERCICIO 
 
Un perfil simétrico de cuerda c = 3 m se desplaza con velocidad UB∞ B = 200 m·s P−1 P a través de un 
fluido en reposo cuyas propiedades físicas corriente arriba valen ρB∞ B = 1 kg·mP−3 P, aB∞ B = 250 m·s P−1 P. Si 
en estas condiciones la sustentación producida por el perfil es de 20 kN·mP−1 P, determine el valor de 
su ángulo de ataque. 
 
Solución 
 
El número de Mach vale 4/5 y por tanto β = 3/5. El coeficiente de sustentación del perfil en régimen 
incompresible, cBliB, es c BliB = βcBlB = 2πα. De este modo resulta 22
lc l
U c
β βα
π πρ ∞
= = , 
 
EJERCICIO 
 
Considere la línea de curvatura dada, en variables adimensionalizadas con la cuerda c, por la 
expresión: 
 ( ) ( )2 4 11 2 8 ;18 2c
kz x x x x
π
= − − ≤ , k = 5 
Calcule el ángulo de ataque ideal, αBiB, de esta línea de curvatura. 
 
Solución 
Como z BcB(x) = z BcB(−x) será dzBcB(x)/dx = −dz BcB(−x)/dx, lo que asegura que la integral 
0
d d
d
cz
x
π
θ∫ es nula y 
en consecuencia el ángulo de ataque ideal es nulo 
 
 
AERODINÁMICA I 
aa09 
 
1
EJERCICIO 
Dado el dominio fluido representado en la figura y dada la transformación 
conforme: ( )2ln 1a t tτ π= + − ,calcule los puntos singulares de la transformación y transforme el 
dominio fluido del plano t biunívocamente en otro 
dominio fluido en el plano τ. 
SOLUCIÓN 
2
2 2
11
1d 1
d π π1 1
ta a
t t t t
τ
+
−= =
+ − −
; 
puntos singulares: t = ±1; t → ∞ 
A: 1 ln(1) 0π
at τ= → = = 
D: i i1 ln( ) iπ
at e e aπ πτ= − = → = = 
AB: } 2ln( 1) (0, )(1, ) πt x a x xx τ τ= ∈ = + − ∈ ∈ ∞∈ ∞ 
BC: 
i
i 2 i2 i i 2
2
e 1ln( e e 1) ln (e eπ π(0,π)
(ln 2 i ) ( i )π πR R
t R a aR R R R
R
a aR
θ
θ θ θ θτ
θ
θ θ
→∞ →∞
⎫= ⎡ ⎤⎪→ ∞ = + − = + −⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦∈ ⎪⎭
→ + → ∞ +
 
CD: 
iπ iπ 2 i 2π 2e ln( e e 1) ln( 1) iπ i (0, )π π(1, )
a at r r r r r ar τ α α
⎫= ⎡ ⎤= + − = + − + = + ∈ ∞⎬ ⎢ ⎥∈ ∞ ⎣ ⎦⎭
 
DA: 2 i
cos
(0,π)
az ln( 1 ) ln(e ) i i (0, )π π πz ( 1,1) z
t z a az i z aθ
θ
θ
τ θ ξ ξ
=
∈
= ⎫⎪∈ = + − = = = ∈⎬
∈ − ⎪⎭
 
EJERCICIO 
Dada la siguiente configuración fluida, formada por una 
placa plana de cuerda 4a con un manantial en el borde 
derecho de la placa, que inyecta Q mP2 P/s en el campo 
fluido, considere el problema que se obtiene al aplicar la 
transformación de Youkovsky que transforma la placa plana 
en un círculo. ¿Qué gasto inyecta el manantial del plano 
transformado en el dominio fluido transformado? Razone la 
respuesta. 
SOLUCIÓN 
( ) ( , ) i ( , )f t x z x zϕ ψ= + ; ( ) ( , ) i ( , )F τ ξ η ξ η= Φ + Ψ 
 
2
( , )
 m /s = 
( , )
A A A
A B
B B B
x z
Q -
x z
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
' ' 2
' ' ' '
' '
( , )
m /s 
( , )
A A A
A B A B A B AB
B B B
- Q - Q Q
ξ η
ξ η
Ψ = Ψ ⎫⎪ Ψ Ψ = = Ψ Ψ = =⎬
Ψ = Ψ ⎪⎭
 
 
plano t 
−1 +1 
C D A B 
C´ D´ 
A´ B´ 
plano τ 
2a 
plano t 
−2a 
A 
B 
plano τ 
A´ 
B´ 
AERODINÁMICA I 
aa09 
 
2
EJERCICIO 
El potencial complejo del flujo alrededor de un cilindro de radio R sometido a una corriente que se 
acelera desde una velocidad UB0 B con aceleración a es ( ) ( ) 20 /f t U a t R tτ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ , donde τ representa 
el tiempo transcurrido. Supuesto el fluido incompresible, de densidad ρ, calcule la diferencia de 
presiones entre el punto x = −R, z = 0 y el punto x = 0, z = R. 
SOLUCIÓN 
2 2
( ) ( ) ( )o oR Rf t U a t U a x izt x izτ τ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2 2
( )( )o
R x izU a x iz i
x z
τ
⎡ ⎤−+ + + = Φ + Ψ⎢ ⎥
+⎣ ⎦
 
2 2
2 2 2 2( ) 1 ( ) 1o o
R RU a x U a z
x z x z
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = + + Ψ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
2
2 21
Rax
x zτ
⎡ ⎤∂Φ = +⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
, 
2
2
d ( ) 1d o
f RU at t
τ ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
A: d 0 2d
fv aRt τ
∂Φ= = = −∂
 
 
B: d 2( ) 0d o
fv U at τ τ
∂Φ= = + =∂
 
 
21
2 U p cteρ ρτ
∂Φ + + =∂ , 
212 4( )2A o BaR p U a pρ ρ τ− + = + + , 
22 2 ( )A B op p aR U aρ ρ τ− = + + 
 
EJERCICIO 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de perfiles, calcule la fuerza por unidad de 
longitud que se ejerce sobre cada uno de los dos apoyos de la cubierta bidimensional representada 
en la figura (supuesta suficientemente lejos del suelo) cuando incide sobre ella un viento horizontal 
con velocidad UB ∞ B en una atmósfera de densidad ρB∞ B. Suponga que los apoyos no perturban el campo 
fluido y que es δ << 1. 
SOLUCIÓN 
2 0d 2 2
d 2 0 02 2
c xz
cx x
πδ θ π
πδ θ
⎧ − ≤ ≤ ≤ ≤⎪
⎨
− ≤ ≤ ≤ ≤⎪⎩
 
0
1 d d 0do
zA x
π
θπ= − =∫ , 
/ 2
1
0 / 2
2 8( 2 )cos d (2 )cos dA
π π
π
δδ θ θ δ α θπ π
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , AB2 B = 0. 
21 8 1 12 2 8 82 2 2l o
AC A l U cδπ π δ ρ δπ ∞
⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
( ) 2 21 2 8 12 ( 2 )4 4 2m acacC A A m U c
π π δ δ ρ δπ ∞= − + = − = − = − 
Estableciendo el equilibrio de momentos respecto al borde de ataque 
(A) y al borde de salida (B) 
04B ac
cf c l m− + = , 21 (2 2 )2Bf U cρ δ δ∞= + , 
21 42Bf U cρ δ∞= 
3 04A acf c l c m− − = , 
21 (6 2 )2Af U cρ δ δ∞= − , 
21 42Af U cρ δ∞= 
 
A(−R,0) 
B(0,R) 
UB∞ B 
c/2 c/2 
δc 
l 
mBacB 
f BBB f BAB 
AERODINÁMICA I 
aa09 
 
3
EJERCICIO 
En el flujo generado por una corriente incidente de un fluido de densidad ρ, con velocidad UB∞B 
paralela al eje x, un torbellino de intensidad Γ situado en el punto (−a,0), un manantial de intensidad 
Q situado en (−a,0) y un sumidero de misma intensidad en (a,0), hay una línea de corriente divisoria 
cerrada que encierra a las tres singularidades y que se puede asociar a la forma de un perfil 
bidimensional (Γ, Q y UB∞ Ba, son magnitudes del mismo orden). Calcule, en función de las variables 
anteriores, las fuerzas aerodinámicas sobre dicho cuerpo, así como el momento de dichas fuerzas 
respecto al origen. 
SOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues: L Uρ ∞= Γ (circulación en el infinito), 0d = (paradoja de D’Alembert) y 
2o
Qm U a ρρ π∞
Γ= Γ + . 
 
 
EJERCICIO 
A partir de la expresión del desarrollo en serie de la distribución de circulación adimensional 
unitaria que se utiliza en la teoría del ala larga de Prandtl: gBa B(θ) = ΣaBn Bsinnθ, deduzca la expresión 
del parámetro τ que aparece en la expresión de la pendiente de la curva de sustentación del ala para 
el caso de una ala larga de forma en planta rectangular, alargamiento Λ = 8, cuya distribución de 
circulación adimensional unitariavale gBa B(θ) = aB1 Bsinθ + aB3 Bsin3θ, habiéndose supuesto que los demás 
términos del desarrollo de gBaB(θ) son despreciables. 
SOLUCIÓN 
El parámetro τ se calcula según se explica en Aerodinámica I (vea el apartado 11.5, donde se 
detalla lo que se tendría que haber respondido). Para el ala propuesta, será 
 ( ) 3 3
2 0 0
1 1sin d 3 sin 3 d
4 4 2n
na n a a
π π
τ κ θ θ θ θ θ
∞Λ Λ
= = =
Λ∑ ∫ ∫ . 
 
 
Γ Q −Q 
UB∞ B 
UB∞ B UB∞ B 
Q/(4πa) Q/(4πa) 
Γ/(4πa) 
Velocidades 
( )4
QU aρ π∞Γ + 
( )4
QQ U aρ π∞ +
( )4
QQ U aρ π∞ +
4
Q
a
ρ
π
Γ
Fuerzas 
AERODINÁMICA I 
aa09 
 
4
EJERCICIO 
El ala de un avión está formada por una parte central, de forma rectangular, y dos elementos 
exteriores de forma trapezoidal. La parte rectangular tiene una semienvergadura bBi B = 4,0 m y una 
cuerda cBr B = 4,0 m; cada uno de los elementos trapezoidales tiene una envergadura bBt B = 8 m y la 
cuerda en el extremo exterior, cBt B, es un 50% de la del interior. La torsión de este ala es tal que, 
cuando el coeficiente de sustentación c BL B vale 0,7, la distribución de circulación adimensional es 
elíptica. 
Dibuje una semiala en la cuadrícula adjunta, 
sabiendo que es una ala recta de acuerdo con 
el modelo de Prandtl, y calcule el momento 
en el encastre para una presión dinámica de 
vuelo de 6000 Pa. 
SOLUCIÓN 
1( ) sinG Aθ θ= , 1( ) sinbU Aθ θ∞Γ = , 
2
1( ) sinl bU Aθ ρ θ∞= , 
/ 2 / 2 3 2
2 1
1
0 0
1( ) d sin cos sin d2 2 4 3
b
x
b U Ab bM l y y y bU A
π
ρρ θ θ θ θ ∞∞= = =∫ ∫ 
1 1
2
2
L
L
CC A Aπ π
Λ= ⇒ = Λ , 
3 2 21 1
6 3 2
L
x L
CM b U bSU Cρρ π π∞ ∞= =Λ 
21 6000 Pa2 Uρ ∞ = , 
280 mS = , 7,2Λ = , 0,7LC = , 3,33 mc = , 
6 62,688 10 N.m = 0,856 10 N.mxM π= × × 
 
EJERCICIO 
Considere una pareja de perfiles iguales situados en una corriente 
supersónica (M B∞ B = 5P1/2 P) sometidos a la acción de la gravedad y 
sujetos en el borde de ataque a un soporte por medio de sendas 
articulaciones sin fricción. Los perfiles son macizos y están 
limitados por una superficie plana y otra parabólica, cuyo espesor 
máximo es de 0,005 m y está situado en el punto medio de la 
cuerda, de valor c = 0,1 m. Ambos perfiles están unidos por medio 
de una barra de longitud c articulada en sus extremos a los bordes 
de salida, de forma que las cuerdas de ambos perfiles se mantienen 
paralelas en todo instante. Sabiendo que la masa por unidad de envergadura de cada perfil es de 
1 kg/m, y que la densidad del material es uniforme, y sabiendo también que la densidad del fluido 
es 0,01 kg/mP3 P y la velocidad del sonido 200 m/s, calcule el ángulo de ataque α que determina la 
posición de equilibrio. 
SOLUCIÓN 
Las fuerzas aerodinámicas sobre cada uno de los perfiles, A y B, se concentran en una resultante, la 
sustentación (situada en el centro aerodinámico), y el momento respecto al centro aerodinámico. El 
equilibrio de momentos del conjunto respecto a cualquiera de los dos apoyos da 
2 02 2 2ca A ca BA B
c c cM L M L mg− + − + = . Como ca caA BM M= − y 
21 4
2A BL L U c
αρ β∞
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, se 
obtiene 2 22
mg
M a c
βα
ρ ∞ ∞
= . 
 
20 4 6 8 10 12
4
2
0
UB∞ B 
c 
c 
α 
α 
g 
A 
B 
AERODINÁMICA I 
aa09 
 
5
EJERCICIO 
Determine el valor de los parámetros (reales) A, B, D y E, para que la velocidad conjugada, df/dt, 
dada por la expresión 
 d 1i ( i) ; i
d
f A B D E t x z
t t
= + + + = + 
represente el flujo bidimensional alrededor 
de un perfil de cuerda c de un fluido deB 
Bdensidad ρ que incide con velocidad UB∞ B y 
ángulo α con la dirección del eje x, como 
se indica en la figura. El perfil proporciona 
una sustentación l. Exponga claramente las 
condiciones que impone para determinar 
los parámetros pedidos. 
SOLUCIÓN 
La velocidad conjugada es d 1( )d
f B Di E Hit t= + + + . Las condiciones que deben cumplirse son que 
el potencial lejos del perfil puede describirse como una corriente incidente más un torbellino 
relacionado con la sustentación. Como el perfil es una línea de corriente cerrada no puede aparecer 
ningún término de tipo manantial. Así pues, 1) Corriente incidente: ieB Di U α−∞+ = , es decir, 
cos ; sinB U D Uα α∞ ∞= = − . 2) Manantial nulo: E = 0 y b3) Sustentación: Γ2π 2π
lH Uρ ∞
= = . 
 
c UB∞ B 
α x 
z 
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
1
 Para ciertos valores de n y m la función 1( , ) n nx z x mxzφ += − representa el potencial de 
velocidades de un flujo bidimensional de un líquido ideal. Determine en ese caso la ecuación de las 
líneas de corriente divisorias. 
Solución 
El potencial de velocidades debe cumplir ∆φ = 0, es decir 1 2( 1) ( 1) 0n nn nx mnx n zφ − −∆ = + − − = , 
que se cumple para n = 2 y m = 3, luego 3 23x xzφ = − . 
La función de corriente se obtiene de la condición 2 2 2 23 3 3( )z x x z x zψ φ= = − = − , de modo que 
2 33 ( )x z z g xψ = − + , y aplicando la condición x zψ φ− = se obtiene g(x) = cte. 
El punto de remanso es x = 0 y z = 0 y la ecuación de la línea de corriente que pasa por ese punto es 
2 33 0x z zψ = − = , es decir, las líneas de corriente divisorias son z = 0 y 3z x= ± . 
******************* 
 Calcule la velocidad generada por dos hilos de 
torbellino de intensidad Γ, en forma de anillo cuadrado de 
lado a, en el punto medio entre ambos (x = y = z = 0). Los 
anillos son paralelos entre sí y están separados una 
distancia 2l, uno en el plano x = l y otro en el plano x = −l, 
como se representa en la figura. 
Solución 
La velocidad inducida por un segmento es 
1 1 2 1
/ 2(cos cos ) 2cos4π 4π 2π 4π
a aV h h h d hdθ θ θ
Γ Γ Γ Γ= − = = = 
con 2 2 2( / 2)d h a= + y 2 2 2( / 2)h l a= + . La resultante 
tiene sólo componente según el eje x (negativa) y vale 
2
1 2
/ 28 cos 8 4π 4T
a a aU V hd h h d
ϕ π
Γ Γ= = = 
******************* 
 Considere una línea de curvatura cuya ecuación, en variables adimensionalizadas con la cuerda c 
es zBcB(x) = ε(a − x)(1 − 4x P2P), con ε << 1, |x| ≤ 1/2. Dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de perfiles en régimen incompresible determine el valor del parámetro adimensional a 
para que el centro de presiones coincida con el centro aerodinámico. 
Solución 
Se tiene ( ) ( )2 2d 1 31 8 12 1 4 cos 3cos 4 cos cos 2d 2 2
cz ax x a a
x
ε ε θ θ ε θ θ⎛ ⎞= − − − = − − + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; de 
modo que AB1 B = 4a, AB2B = −3/2, y de la condición cBmacB = 0, AB1 B + AB2 B = 0 resulta a = 3/8. 
******************* 
 Considere un ala plana, de forma en planta elíptica, alargamiento Λ = 10, que vuela a MB∞ B = 0,6 a 
través del aire en calma. Sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala vale cBL B = π/10, 
determine el valor del ángulo de ataque del ala. 
Nota: suponga que la pendiente de la curva de sustentación de los perfiles en régimen incompresible 
vale 2π. 
Solución 
Llamando 21 Mβ ∞= − , que en nuestro caso es β = 0,8, por la analogía de Prandtl-Glauert se sabe 
que en régimen incompresible el ala a resolver tiene un alargamiento ΛBi B = βΛBcB = 8. Por otra parte, 
suponiendo que se conserva el ángulo de ataque, lo que significa tomar A = β en la analogía de 
x 
y 
z 
Γ Γ 
2l a 
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
2
M
100 5
100 5
100 5
100
5
100 10
M
M
M
M
2
5l
c
β
= 
0lc = 
2
5l
c
β
= 
2
5l
c
β
= 
0lc = 
Prandtl-Glauert, el coeficiente de sustentación en incompresible ha de ser cBLi B = βcBLcB = 8π/100, y 
como la pendiente de la curva de sustentación del ala vale 8π/5, resulta a = 1/20 rad. 
******************* 
 En las figuras se han representado diversos perfiles volando en régimen supersónico, M > 1. 
Indique en cada uno de los recuadros el valor correspondiente del coeficiente de sustentación. 
Nota: cotas en cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Un avión de masa m, está provisto de un ala plana, recta, de forma en planta elíptica, de 
alargamiento Λ y superficie S. Este avión vuela a través del aire en calma con movimiento 
horizontal, rectilíneo y uniforme, en condiciones tales que la densidad del aire es ρ y la velocidad 
del sonido aB∞ B. 
Suponiendo que la mencionada ala es la única superficiesustentadora del avión, relacione el ángulo 
de ataque del ala, α, con el número de Mach de vuelo, MB∞ B, en el intervalo 0,3 < M B∞ B <0,6. 
Solución 
Se tiene 2 21
2 M
L
mgc
a Sρ ∞ ∞
= , y definiendo el ala homóloga en incompresible tal que: 
αBi B = α/β, ΛBi B = Λβ, c BLi B = c BL B, será ∂cBL B/∂αBi B = 2πΛβ/(2+Λβ), es decir ∂cBL B/∂α = c BL B/α = 2πΛ/(2+Λβ), de 
donde resulta
2
2 21
2
2 1 M
M 2π
mg
a S
α
ρ ∞ ∞
+ Λ −
=
Λ
 
******************* 
 Un perfil de cuerda c, cuya línea de curvatura es una 
parábola de flecha máxima εc, vuela a ángulo de ataque 
nulo y número de Mach MB∞ B = 0,8 en el seno de la 
atmósfera en reposo. El perfil dispone de un timón que 
está articulado en el punto medio del perfil. Calcule el 
momento que se debe aplicar en dicho timón para mantenerlo sin deflectar. 
−c/2 −c/2 
x 
z 
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
3
Solución 
La línea de curvatura en régimen incompresible es ( )221c xz c cε ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ , de modo que 
d 8 4 cosd
cz x
x cε ε θ= − = − , obteniéndose AB0B = 0 y AB1 B = 4ε, 4 sin
U
U ε θ∞
= , 4 16 sinl Uc U ε θ∞
= = . 
En régimen incompresible el momento MB0 B vale 
/ 2 0 / 2
20
0 / 2 0
( ) d 16 sin cos ( sin )d 2 sin 2 sin d2 2
c
l
M c cc x x x cq
π
π
ε θ θ θ θ ε θ θ θ= = − = =∫ ∫ ∫ 
 ( )
/ 2 / 22 2 2
0
0
1 1 42 (cos cos3 )d sin sin 32 3 3c c c
π π
ε θ θ θ ε θ θ ε= − = − =∫ , 
y por tanto, en régimen compresible el momento es 243
oMM q cεβ β= = 
******************* 
 Considere un cilindro circular de radio a en presencia de una corriente uniforme de intensidad 
UB∞ B. El cilindro está girando con velocidad angular Ω. Sabiendo que la circulación sobre el cilindro 
vale Γ = 2πaP2 PΩ, dentro de la validez de la teoría potencial, calcule en función del parámetro 
k = aΩ/UB∞ B la expresión del coeficiente de presión sobre el cilindro, y represente dicha expresión en 
el gráfico adjunto en el caso k = 1/2. 
Solución 
( )
2 i ln
2π
af t U t t
t∞
⎛ ⎞ Γ
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
2 2 2
2 2 2
d i i1 1 1 i
d 2π 2π
f a a a a a aU U U k
t t a t t aU t t t∞ ∞ ∞∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= − + = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
( ) ( )
i
2i i i i i i
e
1 d 1 e i e e e e i ie 2sin
d t a
f k k k
U t θ
θ θ θ θ θ θ θ− − − − −
∞ =
= − + = − + = + , 
( )
2
21 d1 1 2sin
dp
fc k
U t
θ
∞
= − = − + , 
Puntos de remanso: cBpB(θ) = 1, o bien 
sinθ = k/2 = 1/4 si k = 1/2, es decir θ ≈ 15º. 
Además con este valor de k se tiene: 
cBpB(90º) = –5/4 = –1.25, y 
cBpB(270º) = –21/4 = –5.25, 
de modo que la representación es la de la 
figura 
******************* 
 Sea un avión de masa m, provisto de un ala 
plana, recta, de forma en planta elíptica, 
alargamiento Λ >> 1, superficie S y 
coeficiente de sustentación máximo de los 
perfiles en régimen incompresible, cBlmax 0 B. Este avión vuela a través del aire en calma, en 
condiciones tales que la densidad del aire es ρ y la velocidad del sonido aB∞ B. 
Suponiendo que el mencionado ala es la única superficie sustentadora del avión y que la entrada en 
pérdida de los perfiles se produce cuando se alcanza un cierto cBpmin PB* P, siempre el mismo para 
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 60 120 180 240 300 360
θ [grados] 
cBpB 
UB∞ B 
2a Ω 
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
4
cualquier número de Mach e igual al de MB∞ B = 0, relacione la sustentación y el ángulo de ataque 
máximos del ala, LBmax ByB BαBmax B, con el número de Mach de vuelo, en el intervalo 0,3 < MB∞ B <0,6. 
Exprese los resultados pedidos, LBmax ByB BαBmaxB, como funciones de los parámetros (ρ, aB∞ B, MB∞ B, S, Λ, 
cBlmax 0 B). 
Solución 
Como las distribuciones de presión al variar el número de Mach son homólogas, se mantiene el 
cBlmax B de los perfiles, independiente del Mach de vuelo. Además, como el ala es de forma en planta 
elíptica, ese valor de cBlmax B coincide con el cBLmax B ala, por tanto: 2 2max max
1 M
2 l
L a Scρ ∞ ∞= . 
Por otra parte, el ala homóloga en incompresible está definida por: αBi B= α/β, ΛBi B=Λβ, de modo que 
2π
2
L
i
c β
α β
∂ Λ
=
∂ + Λ
, 2π
2
Lc
α β
∂ Λ
=
∂ + Λ
, y en consecuencia, 2 2 2 2max max
1 2π 1M M
2 2 2 l
a S a Scρ α ρ
β∞ ∞ ∞ ∞
Λ
=
+ Λ
, de 
donde se obtiene 
2
max max max
2 1 M2
2π 2πl l
c cβα ∞
+ Λ −+ Λ
= =
Λ Λ
 
******************* 
 En la figura adjunta se ha representado en función del número de Reynolds, Re = 2aUB∞ B/ν, el 
coeficiente de resistencia cBDB de esferas de radio a sometidas a una corriente uniforme UB∞ B. La línea 
de puntos representa el comportamiento real y la línea continua gruesa la aproximación que se 
propone utilizar en este ejercicio. En el esquema se ha dibujado un mecanismo formado por dos 
esferas, de radios a y ka, con k>1, unidas entre sí mediante una varilla (irrelevante desde el punto de 
vista aerodinámico). La varilla está anclada a un punto fijo mediante una articulación. Supuesto que 
a = 0,15 m, UB∞ B = 10 m/s, y ν = 1,5×10P–5P mP2 P/s, determine el valor de k para que la configuración del 
esquema (con la varilla que une las esferas perpendicular a UB∞ B) sea de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Para que sea posición de equilibrio las dos fuerzas de resistencia han de ser iguales, es decir 
2 2 2 2 2
1 2
1 1π π
2 2D D
U a c U k a cρ ρ∞ ∞= , de donde se deduce k = (cBD1 B/cBD2 B) P
1/2
P. Como el número de Reynolds 
de la bola de arriba es 2×10P5P y el de la de abajo es 2k×10P5 P, siempre que este último sea mayor de 
4×10P5P hay equilibrio, pues entonces cBD1 B/cBD2 B = 5 y por tanto k = 5P1/2P > 2. 
******************* 
 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
10P4 P 10P5 P 10P6 P Re 
cBDB 
UB∞ B 
2a 
2ka 
20a 
20a 
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
5
 Una placa plana bidimensional, de cuerda c = 2 m, volando en régimen incompresible a 
velocidad UB∞ B = 100 m/s en el seno de una atmósfera en reposo de densidad ρ = 1 kg/mP3 P, 
proporciona una sustentación l = 6280 N/m. 
Considere que esa misma placa vuela a la misma velocidad y ángulo de ataque en el seno de un 
fluido que tiene la misma densidad que en el caso anterior, pero ahora el número de Mach de vuelo 
es MB∞ B = 0,6. Calcule la fuerza de succión que actúa en el borde de ataque de la placa. 
Solución 
La fuerza de succión (ver “Paradoja de D’Alembert”) es sf lα= , donde l es la sustentación y α el 
ángulo de ataque. El ángulo de ataque es el mismo que en incompresible: 0,628 0,1 rad2π 2π
licα = = 
donde cBliB es el coeficiente de sustentación en régimen incompresible, 2 0,6281
2
i
li
lc
U cρ ∞
= = . 
La sustentación a MB∞ B = 0,6 es 2 21 1 8000 N/m2 2
li
l
cl U cc U cρ ρ β∞ ∞= = , con 
21 0,8Mβ ∞= − = y 
li
l
cc β= . Por lo tanto 8000 N/m 0,1 800 N/msf × 
******************* 
 Un ala recta, de forma en planta elíptica, envergadura b y alargamiento Λ = 6 vuela con velocidad 
uniforme UB∞ B en el seno de una atmósfera en reposo de densidad ρ, siguiendo una trayectoria 
horizontal y rectilínea. Sabiendo que el coeficiente de sustentación del ala es cBL B = π/4 y que la 
distribución de torsión está dada por la expresión 
 
2
0 0
2 2( ) , 1, 1y yy
b b
ε ε ε⎛ ⎞= − << ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
suponiendo aplicable la teoría de alas largas en régimen incompresible, calcule el momento flector 
en la raíz del ala. Suponga que la pendiente de la curva de coeficiente de sustentación de los perfiles 
vale 2π. 
Solución 
El momento flector es 
/ 2 / 2
32
0 0
( ) d ( ) cos sin d4
b
f
bM l y y y U G
π
ρ θ θ θ θ∞= =∫ ∫ . Para determinar G(θ) se 
utiliza la ecuación de Prandtl, con la torsión ( )2 2( ) 2 coso oy bε θ ε ε θ= − = − : 
2 sin1 4sin sin 2 cos2 π 2sin
n
n o
nA n
A n
θ
θ θ π α ε θ θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − =Λ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑∑ 
 
sin4 sin sin sin 34 4 2
no o
nA nθε εα θ θ θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − − −Λ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ 
de donde resulta 3 6
oA ε= − + Λ . El coeficiente AB1B se obtiene de cBL B=π/4, además 
1 1
π 1
2 12Lc A A
Λ= → = . El resto de ABn B son nulos. Por tanto 
/ 2
2 3 2 3
1 3
0
1 1 1( sin sin 3 )sin 2 d8 48 3 5
o
fM U b A A U b
π
ερ θ θ θ θ ρ∞ ∞
⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ . 
*******************
AERODINÁMICA I 
aa10 
 
6
 Con la ayuda de la transformación