3 1 Conducción de calor en estado estacionario

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Conducción de calor en 
estado estacionario
Ing. Jesús D. Rhenals
Contenido
1. Conducción de calor en estado estacionario en paredes planas
2. Resistencia térmica por contacto
3. Redes generalizadas de resistencias térmicas
4. Conducción de calor en cilindros y esferas
Conducción de calor en estado estacionario 
en paredes planas
 La TDC en una dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección.
No habrá TDC en una dirección donde no hay cambio en la temperatura.
 Considerando las paredes con comportamiento isotérmico, no habrá TDC a través de la
pared de la parte superior hacia abajo, o de izquierda a derecha
 Si las temperaturas dentro y fuera permanecen constantes, entonces la TDC a través de la
pared se puede considerar estacionaria y unidimensional.
ሶ𝑄𝑒𝑛𝑡 − ሶ𝑄𝑠𝑎𝑙 =
𝑑𝐸𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
𝑑𝑡
 Pero en estado estable (𝑑𝐸𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑)/𝑑𝑡 = 0
 Para la conducción unidimensional de calor en estado estacionario a través de la pared,
tenemos T(x). Entonces, la ley de Fourier de la conducción de calor para la pared se
puede expresar como:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = −𝑘𝐴
𝜕𝑇
𝜕𝑥
W
Conducción de calor en estado estacionario 
en paredes planas
 Donde la razón de la transferencia de calor por conducción ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 y el
área 𝐴 de la pared serán constantes, por lo tanto 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 lo que
significa que la temperatura a través de la pared varía linealmente con x.
Es decir, la distribución de temperatura en la pared, en condiciones
estacionarias, es una línea recta.
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = 𝑘𝐴
𝑇1 − 𝑇2
𝐿
W
 La razón de la conducción de calor a través de una pared plana es
proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la pared y a la
diferencia de temperatura, pero es inversamente proporcional al espesor de
la pared.
Analogía eléctrica: Conducción
 La razón de la transferencia de calor a través de una capa corresponde a la
corriente eléctrica, la resistencia térmica a la resistencia eléctrica y la diferencia
de temperatura a la caída de voltaje en la capa
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Flujo de Calor Flujo de corriente eléctrica
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
𝑊 𝐼 =
𝑉1 − 𝑉2
𝑅𝑒
𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 =
𝐿
𝑘𝐴
(°𝐶/𝑊) 𝑅𝑒 =
𝐿
𝜎𝑒𝐴
Concepto de resistencia térmica: 
Convección
 Considere la transferencia de calor por convección de una
superficie sólida de área 𝐴𝑠 y temperatura 𝑇𝑠 hacia un fluido cuya
temperatura en un punto suficientemente lejos de la superficie es
𝑇∞, con un coeficiente de transferencia de calor por convección h.
 La ley de Newton del enfriamiento para la razón de transferencia 
de calor por convección,
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇∞
 La cual se puede reacomodar así:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣
W
Donde:
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
ℎ𝐴𝑠
°𝐶/𝑊
Concepto de resistencia térmica: 
Radiación
 La razón de la transferencia de calor por radiación entre una superficie y las superficies circundantes a
alguna temperatura promedio
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎𝐴𝑠 𝑇𝑠
4 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑
4 = ℎ𝑟𝑎𝑑𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑 =
𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑
𝑅𝑟𝑎𝑑
(𝑊)
 Donde:
𝑅𝑟𝑎𝑑 =
1
ℎ𝑟𝑎𝑑𝐴𝑠
 El coeficiente de transferencia de calor por radiación es:
ℎ𝑟𝑎𝑑 =
ሶ𝑄𝑟𝑎𝑑
𝐴𝑠 𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑
= 𝜀𝜎 𝑇𝑠
2 + 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑
2 𝑇𝑠 + 𝑇𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑 𝑊/𝑚
2 ⋅ 𝐾
 Las temperaturas deben estar en unidades absolutas
 El coeficiente por radiación tiene alta dependencia con la temperatura, mientras en convención no
tiene tanta dependencia
 La definición del coeficiente de transferencia de calor por radiación permite expresar la radiación en
forma conveniente, de manera análoga a la convección, en términos de una diferencia de temperatura.
Coeficiente de transferencia de calor combinado
 Una superficie expuesta al aire circundante comprende
convección y radiación de manera simultánea y la transferencia
de calor total en la superficie se determina al sumar (o restar, si
tienen direcciones opuestas) las componentes de radiación y de
convección.
 Para evitar todas las complicaciones asociadas con la radiación,
utilizaremos un coeficiente combinado:
ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 = ℎ𝑐𝑜𝑛𝑣 + ℎ𝑟𝑎𝑑 𝑊/𝑚
2 ⋅ 𝐾
 Donde ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 es el coeficiente de transferencia de calor
combinado
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Red de resistencias térmicas
 Considerando la TDC unidimensional en estado estacionario a través de una
pared plana, expuesta a convección sobre ambos lados hacia fluidos a
temperaturas y coeficientes de transferencia definidos
 Es decir
ሶ𝑄 = ℎ1𝐴 𝑇∞1 − 𝑇1 = 𝑘𝐴
𝑇1 − 𝑇2
𝐿
= ℎ1𝐴 𝑇2 − 𝑇∞2
La cual se puede reacomodar como:
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇1
1/ℎ1𝐴
=
𝑇1 − 𝑇2
𝐿/𝑘𝐴
=
𝑇2 − 𝑇∞2
1/ℎ2𝐴
=
𝑇∞1 − 𝑇1
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1
=
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
=
𝑇2 − 𝑇∞2
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2
Red de resistencias térmicas
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Donde:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2 =
1
ℎ1𝐴
+
𝐿
𝑘𝐴
+
1
ℎ2𝐴
(°𝐶/𝑊)
Red de resistencias térmicas
 La rapidez de la TDC estacionaria entre dos superficies es igual a la diferencia
de temperatura dividida entre la resistencia térmica total entre esas dos
superficies
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
(𝑊)
 La caída de temperatura a través de cualquier capa es igual a la razón de la
TDC multiplicada por la resistencia térmica de esa capa
Δ𝑇 = ሶ𝑄𝑅 (°𝐶)
 A veces resulta conveniente expresar la transferencia de calor a través de un
medio de una manera análoga a la ley de Newton del enfriamiento, como:
ሶ𝑄 = 𝑈𝐴 Δ𝑇 (𝑊)
 donde U es el coeficiente de transferencia de calor total con la unidad
𝑊/𝑚2 · 𝐾.
 La ecuación revela que:
𝑈𝐴 =
1
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
(𝑊/°𝐶)
 Por lo tanto, para una unidad de área, el coeficiente de transferencia de calor 
total es igual al inverso de la resistencia térmica total.
Paredes planas de capas múltiples
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Donde:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑,1 + 𝑅𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑,2 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2
=
1
ℎ1𝐴
+
𝐿1
𝑘1𝐴
+
𝐿2
𝑘2𝐴
+
1
ℎ2𝐴
Una vez que se conoce ሶ𝑄, se puede determinar una
temperatura superficial desconocida 𝑇𝑗 en cualquier superficie
o interfase j, a partir de:
ሶ𝑄 =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑗
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,𝑖−𝑗
Para hallar 𝑇1: ሶ𝑄 =
𝑇∞1−𝑇1
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1
Para hallar 𝑇2: ሶ𝑄 =
𝑇∞1−𝑇2
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1+𝑅1
Para hallar 𝑇3: ሶ𝑄 =
𝑇3−𝑇∞2
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2
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Ejemplo 1
 Considere una pared gruesa de 3 𝑚 de alto, 5 𝑚 de ancho y 0.30 𝑚 de espesor, cuya
conductividad térmica es 𝑘 = 0.9𝑊/𝑚 · °𝐶. Cierto día, se miden las temperaturas de
las superficies interior y exterior de esa pared y resultan ser de 16°C y 2°C,
respectivamente. Determine la razón de la pérdida de Calor a través de la pared en
ese día.
Ejemplo 2
 Considere una ventana de vidrio de 0.8 m de alto y 1.5 m de ancho, con
un espesor de 8 mm y una conductividad térmica de 𝑘 = 0.78 𝑊/𝑚 · °𝐶.
Determine la razón estacionaria de la transferencia de calor a través de
esta ventana de vidrio y la temperatura de su superficie interior para un
día durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la
temperatura del exterior es de -10°C. Tome los coeficientes de
transferencia de calor de las superficies interior y exterior de la ventana
como ℎ1 = 10𝑊/𝑚
2 · °𝐶 y ℎ2 = 40𝑊/𝑚
2 · °𝐶 , los cuales incluyen los
efectos de la radiación.
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Ejemplo 3
 Considere una ventana de hoja doble de 0.8 m de alto y 1.5 m de
ancho que consta de dos capas de vidrio de 4 mm de espesor
(𝑘 = 0.78 𝑊/𝑚 · °𝐶) separadas por un espacio de aire estancado
de 10 mm de ancho (𝑘 = 0.026𝑊/𝑚 · °𝐶). Determine la razón de
transferencia de calor estacionaria a través de la ventana de
hoja doble y la temperatura en la superficie interior para un día
durante el cual el cuarto se mantiene a 20°C, en tanto que la
temperatura del exterior es de 10°C. Tome los coeficientes de
transferencia de calor por convección en las superficies interior y
exterior como ℎ1 = 10𝑊/𝑚
2 · °𝐶 y ℎ2 = 40𝑊/𝑚
2 · °𝐶 ,
respectivamente, los cuales incluyenlos efectos de la radiación.
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Resistencia térmica por contacto Rc
 En la realidad incluso las superficies planas que aparentan estar
lisas a simple vista resultan estar más bien ásperas cuando se
examinan con un microscopio.
 Como resultado, una interfase contendrá numerosas brechas de
aire de tamaños variables que actúan como aislamiento debido
a la baja conductividad térmica del aire.
ሶ𝑄 = ℎ𝑐𝐴Δ𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒
 Δ𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒 es la diferencia efectiva de temperatura en dicha
interfase. La cantidad ℎ𝑐, que corresponde al coeficiente de
transferencia de calor por convección, se llama conductancia
térmica por contacto y se expresa como
ℎ𝑐 =
ሶ𝑄/𝐴
Δ𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒
𝑊/𝑚2 ⋅ °𝐶
 Está relacionada con la resistencia térmica por contacto por
𝑅𝑐 =
1
ℎ𝑐
=
Δ𝑇𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑠𝑒
ሶ𝑄/𝐴
𝑚2 ⋅ °𝐶/𝑊
 Es decir, la resistencia térmica por contacto es la inversa de la 
conductancia térmica por contacto. 23
Resistencia térmica por contacto Rc
 El valor de la resistencia térmica por contacto depende
de la aspereza de la superficie y de las propiedades
de los materiales, así como de la temperatura y de
la presión en la interfase y del tipo de fluido
atrapado en ésta.
 Es significativa e incluso puede dominar la TDC para
buenos conductores de calor como los metales, pero
puede descartarse para los malos conductores de calor,
como los aislamientos
 Se puede minimizar aplicando un líquido térmicamente
conductor, (e.g. aceite de silicona). utilizando un gas
más conductor
 La mayor parte de los valores de la resistencia térmica
por contacto determinados experimentalmente caen
entre 5𝑥10−6 y 5𝑥10−4 𝑚2 · °𝐶/𝑊
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Resistencia térmica por contacto Rc
25
Ejemplo 4
26
Ejemplo
27
Ejemplo
28
Redes generalizadas de resistencias 
térmicas
 También se puede usar el concepto de resistencia térmica o la analogía
eléctrica para resolver problemas de transferencia de calor en estado
estacionario que comprenden capas en paralelo o configuraciones
combinadas serie-paralelo
ሶ𝑄 = ሶ𝑄1 + ሶ𝑄2 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅1
+
𝑇1 − 𝑇2
𝑅2
= (𝑇1 − 𝑇2)
1
𝑅1
+
1
𝑅2
Si se utiliza la analogía eléctrica, se obtiene
ሶ𝑄 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Donde
1
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⟶
𝑅1𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
Ejemplo
 Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta de ladrillos de 16 × 22 cm
de sección transversal horizontal (k = 0.72 W/m · °C) separados por capas de
mortero (k = 0.22 W/m · °C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas de
mortero de 2 cm de espesor sobre cada lado del ladrillo y una espuma rígida
(k = 0.026 W/m · °C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared,
como se muestra en la figura. Las temperaturas dentro y fuera son de 20°C
y 10°C, respectivamente, y los coeficientes de transferencia de calor por
convección sobre los lados interior y exterior son h1 = 10W/m
2 · °C y h2 =
25W/m2 · °C , respectivamente. Si se supone transferencia de calor
unidimensional y se descarta la radiación, determine la razón de la
transferencia de calor a través de la pared.
Conducción de calor en cilindros y 
esferas
 Considere la conducción estacionaria y unidimensional de calor a través de un tubo de agua caliente.
 La ley de Fourier de la conducción del calor para la transferencia de calor a través de la capa cilíndrica
se puede expresar como:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
W
Donde 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿
 Note que A depende de r y, en consecuencia, varía en la dirección de la transferencia de calor. Al
separar las variables de la ecuación antes dada e integrar desde 𝑟 = 𝑟1, donde 𝑇 𝑟1 = 𝑇1 hasta 𝑟 = 𝑟2, en
donde 𝑇 𝑟2 = 𝑇2 da:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙 = 2𝜋𝐿𝑘
𝑇1 − 𝑇2
ln(𝑟2/𝑟1)
 La cual se puede reacomodar para que quede así:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑐𝑖𝑙 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑐𝑖𝑙
W
Donde:
𝑅𝑐𝑖𝑙 =
ln(𝑟2/𝑟1)
2𝜋𝐿𝑘
=
ln(radio exterior/radio interior)
2π × longitud × (Conductividad térmica)
Conducción de calor en cilindros y 
esferas
 Repitiendo el análisis para una capa esférica, al tomar 𝐴 = 4𝜋𝑟2 y realizar la integración en la ecuación
apropiada. El resultado se puede expresar como:
ሶ𝑄𝑐𝑜𝑛𝑑,𝑒𝑠𝑓 =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑒𝑠𝑓
W
Donde
𝑅𝑒𝑠𝑓 =
𝑟2 − 𝑟1
4𝜋𝑟1𝑟2𝑘
=
radio exterior − radio interior
4π × radio exterior × radio interior × (Conductividad térmica)
 Considere ahora el flujo unidimensional de calor en estado estacionario a través de una capa cilíndrica o
esférica que está expuesta a la convección en ambos lados hacia fluidos que están a las temperaturas 𝑇1 y 𝑇2
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
W
Donde, en el caso de una capa cilíndrica:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑐𝑖𝑙 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2 =
1
2𝜋𝑟1𝐿 ℎ1
+
ln(𝑟2/𝑟1)
2𝜋𝐿𝑘
+
1
2𝜋𝑟2𝐿 ℎ2
Para el caso de una capa esférica:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑒𝑠𝑓 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2 =
1
4𝜋𝑟1
2 ℎ1
+
𝑟2 − 𝑟1
4𝜋𝑟1𝑟2𝑘
+
1
4𝜋𝑟2
2 ℎ2
Cilindros y esferas con capas múltiples
 La transferencia de calor estacionaria a través de capas
cilíndricas o esféricas múltiples se puede manejar como en el
caso de las paredes planas de capas múltiples que se discutió
antes, simplemente al sumar una resistencia adicional en
serie por cada capa adicional.
 Expresemos la TDC así:
ሶ𝑄 =
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 Donde 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 es la resistencia térmica total, expresada como:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1 + 𝑅𝑐𝑖𝑙,1 + 𝑅𝑐𝑖𝑙,2 + 𝑅𝑐𝑖𝑙,3 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2
=
1
ℎ1𝐴1
+
ln(𝑟2/𝑟1)
2𝜋𝐿𝑘1
+
ln(𝑟3/𝑟2)
2𝜋𝐿𝑘2
+
ln(𝑟4/𝑟3)
2𝜋𝐿𝑘3
+
1
ℎ2𝐴4
Ejemplo
 Se usa un tanque esférico con diámetro interno de 3 𝑚 hecho de acero
inoxidable de 2 𝑐𝑚 de espesor (𝑘 = 15𝑊/𝑚 · °𝐶) para almacenar agua con
hielo a T∞1 = 0°𝐶. El tanque está ubicado en un cuarto cuya temperatura es
T∞2 = 22°𝐶 . Las paredes del cuarto también están a 22°C. La superficie
exterior del tanque es negra y la transferencia de calor entre la superficie
exterior del mismo y los alrededores es por convección natural y radiación.
Los coeficientes de transferencia de calor por convección en las superficies
interior y exterior del tanque son ℎ1 = 80𝑊/𝑚2 · °𝐶 y ℎ2 = 10𝑊/𝑚2 · °𝐶 ,
respectivamente. Determine: a) la razón de la transferencia de calor hacia el
agua con hielo que está en el tanque y b) la cantidad de hielo a 0°C que se
funde durante un periodo de 24 h.
Ejemplo
 En un tubo de hierro fundido (𝑘 = 80𝑊/𝑚 · °𝐶 ), cuyos diámetros interior y
exterior son 𝐷1 = 5 𝑐𝑚 y 𝐷2 = 5.5 𝑐𝑚, respectivamente, fluye vapor de agua a
𝑇∞1 = 320°𝐶. El tubo está cubierto con un aislamiento de fibra de vidrio de
3 𝑐𝑚 de espesor, con 𝑘 = 0.05 𝑊/𝑚 · °𝐶. Se pierde calor hacia los alrededores que
están a 𝑇∞2 = 5°𝐶 por convección natural y radiación, con un coeficiente
combinado de transferencia de calor de ℎ2 = 18𝑊/𝑚
2 · °𝐶. Si el coeficiente de
transferencia de calor dentro del tubo es ℎ1 = 60𝑊/𝑚
2 · °𝐶, determine la razón
de la pérdida de calor del vapor por unidad de longitud del tubo. Asimismo,
determine la caída de temperatura a través de la pared de éste y a través de la
capa de aislamiento.
35
quiz
Conducción de calor a través de una capa esférica
 Considere un recipiente esférico de radio interior 𝑟1 = 8 𝑐𝑚, radio
exterior 𝑟2 = 10 𝑐𝑚 y conductividad térmica 𝑘 = 45𝑊/𝑚 · °𝐶 ,
como se muestra en la figura. Las superficies interior y exterior
del recipiente se mantienen a las temperaturas constantes de
𝑇1 = 200°𝐶 y 𝑇2 = 80°𝐶 , respectivamente, como resultado de
algunas reacciones químicas que ocurren en su interior. Obtenga
una relación general para la distribución de temperatura dentro
de la capa esférica, en condiciones estacionarias, y determine la
razón de la pérdida de calor del recipiente.