Metodos_fundamentales_de_economia_matema

Vista previa del material en texto

Métodos 
fundamentales 
de economía 
matemática
Cuarta edición
Alpha C. Chiang
Profesor emérito 
University of Connecticut
Kevin Wainwright
British Columbia Institute of 
Technology and 
Simon Fraser University
Traducción
Francisco Sánchez Fragoso 
Raúl Arrioja Juárez 
Traductores profesionales
Revisión técnica 
Andrés González Nucamendi 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey 
Campus Ciudad de México
Filadelfo León Cázares 
Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMAL A • LISBOA 
MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI 
SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Contenido
PARTE UNO
INTRODUCCIÓN 1
Capítulo 1
Naturaleza de la economía 
matemática 2
1.1 Economía matemática v e r s u s economía no 
matemática 2
1.2 Economía matemática v e r s u s 
econometría 4
Capítulo 2
Modelos económicos 5
2.1 Elementos de un modelo 
matemático 5
V a r ia b le s , c o n s t a n t e s y p a r á m e t r o s 5 
E c u a c i o n e s e i d e n t i d a d e s 6
2.2 Sistema de números reales 7
2.3 Concepto de conjuntos 8
N o ta c i ó n d e c o n j u n t o s 9 
R e l a c i o n e s e n t r e c o n j u n t o s 9 
O p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s 1 1 
L e y e s d e o p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s 1 2 
E je r c i c i o 2 .3 1 4
2.4 Relaciones y funciones 15
P a r e s o r d e n a d o s 1 5 
R e l a c i o n e s y f u n c i o n e s 1 6 
E je r c i c i o 2 .4 1 9
2.5 Tipos de función 20
F u n c i o n e s c o n s t a n t e s 2 0 
F u n c i o n e s p o l i n o m ia l e s 2 0 
F u n c i o n e s r a c i o n a l e s 2 1 
F u n c i o n e s n o a l g e b r a i c a s 2 3 
D ig r e s i ó n a c e r c a d e e x p o n e n t e s 2 3 
E je r c i c i o 2 .5 2 4
2.6 Funciones de dos o más variables 
independientes 25
2.7 Niveles de generalidad 27
PARTE DOS
ANÁLISIS ESTÁTICO 
(O DE EQUILIBRIO) 29
Capítulo 3
Análisis de equilibrio en economía 30
3.1 El significado de equilibrio 30
3.2 Equilibrio de mercado parcial: un modelo 
lineal 31
C o n s t r u c c i ó n d e l m o d e l o 3 1
S o l u c i ó n m e d i a n t e e l im i n a c i ó n d e v a r ia b l e s 3 3
E je r c i c i o 3 .2 3 4
3.3 Equilibrio de mercado parcial: un modelo no 
lineal 35
E c u a c i ó n c u a d r á t i c a v e r s u s f u n c i ó n
c u a d r á t i c a 3 5
F ó r m u l a c u a d r á t i c a 3 6
O t r a s o l u c i ó n g r á f i c a 3 7
E c u a c i o n e s p o l i n o m ia l e s d e g r a d o s u p e r i o r 3 8
E j e r c i c i o 3 .3 4 0
3.4 Equilibrio general de mercado 40
M o d e l o d e m e r c a d o d e d o s a r t í c u l o s 4 1 
E je m p l o n u m é r i c o 4 2 
C a s o d e n a r t í c u l o s 4 3
S o l u c ió n d e u n s i s t e m a g e n e r a l d e e c u a c io n e s 4 4 
E je r c i c i o 3 .4 4 5
3.5 Equilibrio en el análisis de ingreso nacional 46
E je r c i c i o 3 .5 4 7
Capítulo 4
Modelos lineales y álgebra de matrices 48
4.1 Matrices y vectores 49
M a t r i c e s c o m o a r r e g l o s 4 9 
V e c to r e s c o m o m a t r i c e s e s p e c i a l e s 5 0 
E je r c i c i o 4 .1 5 1
4.2 Operaciones con matrices 51
S u m a y r e s t a d e m a t r i c e s 5 1 
M u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r 5 2
xi
x¡¡ Contenido
M u l t i p l i c a c ió n d e m a t r i c e s 5 3 
E l a s u n to d e la d iv i s i ó n 5 6 
N o ta c ió n E 5 6 
E je r c i c i o 4 .2 5 8
4.3 Notas sobre operaciones con vectores 59
M u l t i p l i c a c ió n d e v e c t o r e s 5 9
I n te r p r e ta c ió n g e o m é t r i c a d e o p e r a c i o n e s
c o n v e c to r e s 6 0
D e p e n d e n c ia l i n e a l 6 2
E s p a c io v e c t o r i a l 6 3
E je r c i c i o 4 .3 6 5
4.4 Leyes conmutativa, asociativa y distributiva 67
S u m a d e m a t r i c e s 6 7 
M u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s 6 8 
E je r c i c i o 4 .4 6 9
4.5 Matrices identidad y matrices nulas 70
M a t r i c e s i d e n t i d a d 7 0 
M a t r i c e s n u l a s 71
C a r a c te r í s t i c a s d e l á lg e b r a d e m a t r i c e s 7 2 
E je r c i c i o 4 .5 7 2
4.6 Transpuestas e inversas 73
P r o p ie d a d e s d e l a s t r a n s p u e s ta s 7 4 
I n v e r s a s y s u s p r o p i e d a d e s 7 5 
M a t r i z i n v e r s a y s o l u c i ó n d e s i s t e m a s 
d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s 7 7 
E je r c i c i o 4 . 6 7 8
4.7 Cadenas de Markov finitas 78
C a so e s p e c ia l : c a d e n a s a b s o r b e n te s d e M a r k o v 81 
E je r c ic io 4 . 7 8 1
Capítulo 5
Modelos lineales y álgebra de matrices 
(continuación) 82
5.1 Condiciones de la no singularidad de una 
matriz 82
C o n d i c i o n e s n e c e s a r i a s v e r s u s s u f i c i e n t e s 8 2 
C o n d ic io n e s d e n o s i n g u l a r i d a d 8 4 
R a n g o d e u n a m a t r i z 8 5 
E je r c ic io 5 .1 8 7
5.2 Prueba de no singularidad mediante el uso del 
determinante 88
D e te rm i n a n t e s y n o s i n g u l a r i d a d 8 8 
E v a l u a c i ó n d e u n d e t e r m in a n t e 
d e te r c e r o r d e n 8 9
E v a l u a c ió n d e u n d e te r m i n a n t e d e n - é s im o o r d e n 
m e d ia n te la e x p a n s i ó n d e L a p l a c e 9 1 
E je r c i c i o 5 .2 9 3
5.3 Propiedades básicas de determinantes 94
C r i t e r i o d e l d e t e r m i n a n t e e n r e la c ió n 
c o n la n o s i n g u l a r i d a d 9 6 
R e d e f i n i c i ó n d e l r a n g o d e u n a m a t r i z 9 7 
E je r c i c i o 5 .3 9 8
5.4 Obtención de la matriz inversa 99
E x p a n s i ó n d e u n d e t e r m i n a n t e p o r c o f a c t o r e s 
a j e n o s 9 9
I n v e r s i ó n d e m a t r i z 1 0 0 
E je r c i c i o 5 .4 1 0 2
5.5 Regla de Cramer 103
D e d u c c i ó n d e l a r e g l a 1 0 3
N o t a a c e r c a d e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s
h o m o g é n e o s 1 0 5
T ip o s d e s o l u c i ó n p a r a u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s 
l i n e a l e s 1 0 6 
E je r c i c i o 5.J 1 0 7
5.6 Aplicación a modelos de mercado y de ingreso 
nacional 107
M o d e l o d e m e r c a d o 1 0 7 
M o d e l o d e i n g r e s o n a c i o n a l 1 0 8 
M o d e l o I S - L M : e c o n o m ía c e r r a d a 1 0 9 
A lg e b r a d e m a t r i c e s v e r s u s e l im i n a c i ó n d e 
v a r i a b l e s 1 1 1 
E je r c i c i o 5 .6 1 1 1
5.7 Modelos de Leontief de insumo-producto 112
E s t r u c tu r a d e u n m o d e l o d e i n s u m o - p r o d u c to 1 1 2
M o d e l o a b i e r t o 1 1 3
U n e j e m p l o n u m é r i c o 1 1 5
E x i s t e n c i a d e s o l u c i o n e s n o n e g a t i v a s 1 1 6
S i g n i f i c a d o e c o n ó m i c o d e l a c o n d i c i ó n d e
H a w k i n s - S im o n 1 1 8
M o d e l o c e r r a d o 1 1 9
E j e r c i c i o 5 .7 1 2 0
5.8 Limitaciones del análisis estático 120
PARTE TRES
ANÁLISIS ESTÁTICO 
COMPARATIVO 123
Capítulo 6
Estática comparativa y el concepto de 
derivada 124
6.1 Naturaleza de la estática comparativa 124
6.2 La tasa de cambio y la derivada 125
C o c i e n t e d e d i f e r e n c i a s 1 2 5
Contenido xiii
D e r i v a d a 1 2 6 
E je r c i c i o 6 .2 1 2 7
6.3 Derivada y pendiente de una curva 128
6.4 Concepto de límite 129
L ím i t e i z q u ie r d o y l ím i t e d e r e c h o 1 2 9
I l u s t r a c i o n e s g r á f i c a s 1 3 0
E v a l u a c i ó n d e u n l ím i t e 1 3 1
P u n t o d e v i s t a f o r m a l d e l c o n c e p t o d e l ím i te 1 3 3
E j e r c i c i o 6 .4 1 3 5
6.5 Digresión acerca de desigualdades y valores 
absolutos 136
R e g l a s d e d e s i g u a l d a d e s 1 3 6 
V a lo r e s a b s o l u t o s y d e s i g u a l d a d e s 1 3 7 
S o luc i ó n d e u n a d e s i g u a l d a d 1 3 8 
E je r c i c i o 6 .5 1 3 9
6.6 Teoremas de límites 139
T e o r e m a s e n l o s q u e i n t e r v i e n e u n a s o l a 
f u n c i ó n 1 3 9
T e o r em a s e n lo s q u e i n te r v ie n e n d o s f u n c i o n e s 1 4 0 
L ím i t e d e u n a f u n c i ó n p o l i n o m ia l 1 4 1 
E je r c i c i o 6 .6 1 4 1
6.7 Continuidad y diferenciabilidad 
de una función 141
C o n t i n u i d a d d e u n a f u n c i ó n 1 4 1 
F u n c i o n e s p o l i n o m ia l e s y r a c i o n a l e s 1 4 2 
D i f e r e n c i a b i l i d a d d e u n a f u n c i ó n 1 4 3 
E je r c i c i o 6 .7 1 4 6
Capítulo 7
Reglas de diferenciación y su uso en estática 
comparativa 148
7.1 Reglas de diferenciación para una función de 
una variable 148
R e g la d e f u n c i ó n c o n s t a n t e 1 4 8 
R e g l a d e l a f u n c i ó n p o t e n c i a 1 4 9 
R e g la g e n e r a l i z a d a d e l a f u n c i ó n p o t e n c i a 1 5 1 
E je r c i c i o 7 .1 1 5 2
7 . 2 Reglas de diferenciación con dos o más 
funciones de la misma variable 152
R e g la d e l a s u m a o d e la d i f e r e n c i a 1 5 2 
R e g l a d e l p r o d u c t o 1 5 5
D e te r m i n a c ió n d e l a f u n c i ó n d e i n g r e s o m a r g i n a l 
a p a r t i r d e la f u n c i ó n d e i n g r e s o p r o m e d i o 1 5 6 
R e g l a d e l c o c i e n t e 1 5 8
R e la c i ó n e n t r e l a s f u n c i o n e s d e c o s t o m a r g i n a l y 
c o s to p r o m e d i o 1 5 9 
E je r c ic io 7 .2 1 6 0
7.3 Reglas de diferenciación para funciones de 
variables diferentes 161
R e g l a d e l a c a d e n a 1 6 1 
R e g l a d e l a f u n c i ó n i n v e r s a 1 6 3 
E je r c i c i o 7 .3 1 6 5
7 . 4 Diferenciación parcial 165
D e r i v a d a s p a r c i a l e s 1 6 5
T é c n i c a s d e d i f e r e n c i a c i ó n p a r c i a l 1 6 6
I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l a s d e r i v a d a s
p a r c i a l e s 1 6 7
V e c to r g r a d i e n t e 1 6 8
E j e r c i c i o 7 .4 1 6 9
7.5 Aplicaciones al análisis estático 
comparativo 170
M o d e l o d e m e r c a d o 1 7 0 
M o d e l o d e i n g r e s o n a c i o n a l 1 7 2 
M o d e l o d e i n s u m o p r o d u c t o 1 7 3 
E je r c i c i o 7 .5 1 7 5
7 . 6 Nota acerca de los determinantes 
jacobianos 175
E je r c i c i o 7 .6 1 7 7
Capítulo 8
Análisis estático comparativo de modelos 
con funciones generales 178
8.1 Diferenciales 179
D i f e r e n c i a l e s y d e r i v a d a s 1 7 9 
D i f e r e n c i a l e s y e l a s t i c i d a d p u n t u a l 1 8 1 
E je r c i c i o 8 .1 1 8 4
8.2 Diferenciales totales 184
E je r c i c i o 8 .2 1 8 6
8.3 Reglas de diferenciales 187
E je r c i c i o 8 .3 1 8 9
8.4 Derivadas totales 189
D e te r m i n a c i ó n d e la d e r i v a d a 
t o t a l 1 8 9
U n a v a r i a c i ó n s o b r e e l m i s m o t e m a 1 9 1 
O t r a v a r i a c i ó n s o b r e e l m i s m o t e m a 1 9 2 
A lg u n a s o b s e r v a c i o n e s g e n e r a l e s 1 9 3 
E je r c i c i o 8 .4 1 9 3
8.5 Derivadas de funciones implícitas 194
F u n c i o n e s im p l í c i t a s 1 9 4 
D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s im p l í c i t a s 1 9 6 
E x t e n s i ó n a l c a s o d e e c u a c i o n e s 
s i m u l t á n e a s 1 9 9 
E je r c i c i o 8 .5 2 0 4
xiv Contenido
8.6 Estática comparativa de modelos de funciones 
generales 205
M o d e lo d e m e r c a d o 2 0 5
M é to d o d e e c u a c io n e s s im u l t á n e a s 2 0 7
U so d e d e r i v a d a s t o t a l e s 2 0 9
M o d e l o d e i n g r e s o n a c i o n a l ( I S - L M ) 2 1 0
A m p l ia c i ó n d e l m o d e l o : e c o n o m ía a b i e r t a 2 1 3
R e s u m e n d e l p r o c e d im i e n t o 2 1 6
E j e r c i c i o 8 .6 2 1 7
8.7 Limitaciones de la estática comparativa 218
PARTE CUATRO
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 219 
Capítulo 9
Optimización: una variedad especial de 
análisis de equilibrio 220
9.1 Valores óptimos y valores extremos 221
9.2 Máximo y mínimo relativo: criterio de la 
primera derivada 222
E x t r e m o r e l a t i v o e n r e l a c i ó n c o n e x t r e m o 
a b s o l u t o 2 2 2
C r i te r i o d e l a p r i m e r a d e r i v a d a 2 2 3 
E je r c i c i o 9 .2 2 2 6
9.3 Derivada segunda y derivadas de orden 
superior 227
D e r i v a d a d e u n a d e r i v a d a 2 2 7 
I n t e r p r e t a c ió n d e l a s e g u n d a d e r i v a d a 2 2 9 
U n a a p l i c a c ió n 2 3 1 
A c t i tu d e s h a c ia e l r i e s g o 2 3 1 
E je r c ic io 9 .3 2 3 3
9.4 Criterio de la segunda derivada 233
C o n d i c io n e s n e c e s a r ia s e n r e la c ió n c o n 
s u f i c i e n t e s 2 3 4
C o n d i c i o n e s p a r a la m a x im i z a c i ó n d e la 
g a n a n c i a 2 3 5
C o e f i c ie n te s d e u n a f u n c i ó n d e c o s t o t o ta l 
c ú b ic a 2 3 8
C u r v a d e i n g r e s o m a r g i n a l c o n p e n d i e n t e 
a s c e n d e n t e 2 4 0 
E je r c i c i o 9 .4 2 4 1
9.5 Series de Maclaurin y series de Taylor 242
S e r i e d e M a c l a u r i n d e u n a f u n c i ó n 
p o l i n o m ia l 2 4 2
S e r ie d e T a y lo r d e u n a f u n c i ó n p o l i n o m i a l 2 4 4 
E x p a n s ió n d e u n a f u n c i ó n a r b i t r a r i a 2 4 5
F o rm a d e L a g r a n g e d e l r e s i d u o 2 4 8 
E je r c i c i o 9 .5 2 5 0
9.6 Criterio de la A-é sima derivada para el extremo 
relativo de una función de una variable 250
E x p a n s i ó n d e T a y lo r y e x t r e m o r e la t i v o 2 5 0 
A lg u n o s c a s o s e s p e c í f i c o s 2 5 1 
C r i te r io d e l a N - é s im a d e r i v a d a 2 5 3 
E je r c i c i o 9 .6 2 5 4
Capítulo 10
Funciones exponenciales y logarítmicas 255
10.1 Naturaleza de las funciones exponenciales 256
F u n c i ó n e x p o n e n c i a l s im p l e 2 5 6 
F o rm a g r á f i c a 2 5 6 
F u n c i ó n e x p o n e n c i a l g e n e r a l i z a d a 2 5 7 
U n a b a s e p r e f e r i d a 2 5 9 
E je r c i c i o 1 0 .1 2 6 0
10.2 Funciones exponenciales naturales y el 
problema de crecimiento 260
E l n ú m e r o e 2 6 0
U n a i n t e r p r e t a c i ó n e c o n ó m i c a d e e 2 6 2 
I n t e r é s c o m p u e s t o y l a f u n c i ó n A e rt 2 6 2 
T a sa d e c r e c im i e n t o i n s t a n t á n e a 2 6 3 
C r e c im i e n t o c o n t i n u o e n r e l a c i ó n c o n c r e c im i e t o 
d i s c r e t o 2 6 5
D e s c u e n t o y c r e c im i e n t o n e g a t i v o 2 6 6 
E je r c i c i o 1 0 .2 2 6 7
10.3 Logaritmos 267
S ig n i f i c a d o d e l o g a r i tm o 2 6 7 
L o g a r i tm o c o m ú n y l o g a r i tm o n a t u r a l 2 6 8 
R e g l a s d e l o s l o g a r i tm o s 2 6 9 
U n a a p l i c a c i ó n 2 7 1 
E je r c i c i o 1 0 .3 2 7 2
10.4 Funciones logarítmicas 272
F u n c i o n e s l o g a r í tm i c a y e x p o n e n c i a l 2 7 2 
F o rm a g r á f i c a 2 7 3 
C o n v e r s i ó n d e b a s e 2 7 4 
E je r c i c i o 1 0 .4 2 7 6
10.5 Derivadas de funciones exponenciales y 
logarítmicas 277
R e g l a d e l a f u n c i ó n l o g 2 7 7
R e g l a d e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l 2 7 8
R e g l a s g e n e r a l i z a d a s 2 7 8
C a s o d e b a s e b 2 8 0
D e r i v a d a s s u p e r i o r e s 2 8 0
A p l i c a c i ó n 2 8 1
E je r c i c i o 1 0 .5 2 8 2
Contenido xv
10.6 Fecha óptima 282
P r o b le m a d e a lm a c e n a j e d e v i n o 2 8 2 
C o n d i c i o n e s d e m a x im i z a c i ó n 2 8 3 
P r o b le m a d e l c o r t e d e m a d e r a 2 8 5 
E je r c i c i o 1 0 .6 2 8 6
10.7 Más aplicaciones de derivadas exponenciales 
y logarítmicas 286
D e te r m i n a c i ó n d e l a t a s a d e c r e c im i e n t o 2 8 6 
T a s a d e c r e c im i e n t od e l in a c o m b i n a c i ó n d e 
f u n c i o n e s 2 8 7
D e t e r m i n a c i ó n d e la e l a s t i c i d a d p u n t u a l 2 8 8 
E je r c i c i o 1 0 .7 2 9 0
Capítulo 11
El caso de más de una variable 
de elección 291
11.1 Versión diferencial de condiciones de 
optimización 291
C o n d i c ió n d e p r i m e r o r d e n 2 9 1 
C o n d i c ió n d e s e g u n d o o r d e n 2 9 2 
C o n d i c i o n e s d i f e r e n c i a l e s c o n t r a c o n d i c i o n e s d e 
d e r i v a d a s 2 9 3
11.2 Valores extremos de una función de dos 
variables 293
C o n d i c i ó n d e p r i m e r o r d e n 2 9 4 
D e r i v a d a s p a r c i a l e s d e s e g u n d o o r d e n 2 9 5 
D i f e r e n c i a l t o t a l d e s e g u n d o o r d e n 2 9 7 
C o n d ic ió n d e s e g u n d o o r d e n 2 9 8 
E je r c i c i o 1 1 .2 3 0 0
11.3 Formas cuadráticas, una incursión 301
D i fe r e n c i a l t o t a l d e s e g u n d o o r d e n c o m o u n a
f o r m a c u a d r á t i c a 3 0 1
F o rm a s c u a d r á t i c a s p o s i t i v a s d e f i n id a s y
n e g a t i v a s d e f i n i d a s 3 0 2
P r u e b a d e l o s d e t e r m i n a n t e s p a r a l a d e f i n i c i ó n
d e s i g n o 3 0 2
F o rm a s c u a d r á t i c a s d e t r e s v a r ia b l e s 3 0 5 
F o rm a s c u a d r á t i c a s d e n v a r ia b l e s 3 0 7 
P r u e b a d e la r a í z c a r a c t e r í s t i c a p a r a d e f i n i c i ó n 
d e s i g n o d e u n a f o r m a c u a d r á t i c a 3 0 7 
E je r c i c i o 1 1 .3 3 1 2
11.4 Funciones objetivo con más de dos 
variables 313
C o n d ic ió n d e p r i m e r o r d e n p a r a e l e x t r e m o 3 1 3 
C o n d ic ió n d e s e g u n d o o r d e n 3 1 3 
C a s o d e n v a r i a b l e s 3 1 6 
E je r c i c i o 1 1 .4 3 1 7
11.5 Condiciones de segundo orden en relación con 
la concavidad y la convexidad 318
C o m p r o b a c ió n d e c o n c a v i d a d o c o n v e x i d a d 3 2 0 
F u n c i o n e s d i f e r e n c i a b l e s 3 2 4 
F u n c i o n e s c o n v e x a s c o n t r a c o n j u n t o s 
c o n v e x o s 3 2 7 
E je r c i c i o 1 1 .5 3 3 0
11.6 Aplicaciones económicas 331
P r o b l e m a d e u n a e m p r e s a m u l t i p r o d u c t o 3 3 1
D i s c r im i n a c i ó n d e p r e c i o 3 3 3
D e c i s i o n e s d e u n a e m p r e s a r e l a c i o n a d a s c o n l o s
i n s u m o s 3 3 6
E j e r c i c i o 1 1 .6 3 4 1
11.7 Aspectos estáticos comparativos de la 
optimización 342
S o l u c i o n e s d e f o r m a r e d u c i d a 3 4 2 
M o d e l o s d e f u n c i ó n g e n e r a l 3 4 3 
E je r c i c i o 1 1 .7 3 4 5
Capítulo 12
Optimización con restricciones 
de igualdad 347
12.1 Efectos de una restricción 347
12.2 Cómo encontrar los valores estacionarios 349
E l m é t o d o d e l o s m u l t i p l i c a d o r e s 
d e L a g r a n g e 3 5 0
E l e n f o q u e d e l a d i f e r e n c i a l t o t a l 3 5 2 
U n a i n t e r p r e t a c i ó n d e l o s m u l t i p l i c a d o r e s 
d e L a g r a n g e 3 5 3
C a s o s d e n v a r i a b l e s y d e r e s t r i c c i o n e s 
m ú l t i p l e s 3 5 4 
E je r c i c i o 1 2 .2 3 5 5
12.3 Condiciones de segundo orden 356
D i f e r e n c i a l t o t a l d e s e g u n d o o r d e n 3 5 6 
C o n d i c i o n e s d e s e g u n d o o r d e n 3 5 7 
E l h e s s i a n o o r l a d o 3 5 8 
E l c a s o d e n v a r i a b l e s 3 6 1 
E l c a s o d e l a s r e s t r i c c i o n e s m ú l t i p l e s 3 6 2 
E je r c i c i o 1 2 .3 3 6 3
12.4 Cuasiconcavidad y cuasiconvexidad 364
C a r a c t e r i z a c i ó n g e o m é t r i c a 3 6 4
D e f i n i c i ó n a l g e b r a i c a 3 6 5
F u n c i o n e s d i f e r e n c i a b l e s 3 6 8
U n a m i r a d a a d i c i o n a l a l h e s s i a n o o r l a d o 3 7 1
E x t r e m o s a b s o l u t o s c o n t r a e x t r e m o s
r e l a t i v o s 3 7 2
E j e r c i c i o 1 2 .4 3 7 4
xv¡ Contenido
12.5 Maximización de utilidad y demanda del 
consumidor 374
C o n d ic ió n d e p r i m e r o r d e n 3 75 
C o n d ic ió n d e s e g u n d o o r d e n 3 7 6 
A n á l i s i s e s t á t i c o c o m p a r a t i v o 3 7 8 
C a m b io s p r o p o r c i o n a l e s d e l o s p r e c i o s y d e l 
i n g r e s o 3 8 1 
E je r c i c i o 1 2 .5 3 8 2
12.6 Funciones homogéneas 383
H o m o g e n e i d a d l i n e a l 3 8 3 
F u n c i ó n d e p r o d u c c i ó n d e C o b b -D o u g l a s 3 8 6 
E x t e n s i o n e s d e l o s r e s u l ta d o s 3 8 8 
E je r c i c io 1 2 .6 3 8 9
12.7 Combinación de insumos de costo mínimo 390
C o n d i c ió n d e p r i m e r o r d e n 3 9 0 
C o n d i c ió n d e s e g u n d o o r d e n 3 9 2 
L a t r a y e c t o r i a d e e x p a n s i ó n 3 9 2 
F u n c i o n e s h o m o té t i c a s 3 9 4 
E la s t i c i d a d d e l a s u s t i t u c i ó n 3 9 6 
L a f u n c i ó n d e p r o d u c c i ó n d e C E S 3 9 7 
L a f u n c i ó n d e C o b b -D o u g l a s c o m o u n c a s o 
e s p e c i a l d e la f u n c i ó n C E S 3 9 9 
E je r c i c i o 1 2 .7 4 0 1
Capítulo 13
Temas adicionales de optimización 402
13.1 La programación no lineal y las condiciones 
de Kuhn-Tucker 402
P a s o 1 : E f e c t o d e l a s r e s t r i c c i o n e s d e n o 
n e g a t i v i d a d 4 0 3
P a s o 2 : E f e c t o d e l a s r e s t r i c c i o n e s d e 
d e s i g u a l d a d 4 0 4 
I n t e r p r e ta c ió n d e l a s c o n d i c i o n e s 
d e K u h n - T u c k e r 4 0 8
E l c a s o d e n v a r i a b le s , m r e s t r i c c i o n e s 4 0 9 
E je r c ic io 1 3 .1 4 1 1
13.2 Calificación de la restricción 412
I r r e g u la r i d a d e s e n l o s p u n t o s d e f r o n t e r a 4 1 2 
C a l i f i c a c ió n d e u n a r e s t r i c c i ó n 4 1 5 
R e s t r i c c io n e s l i n e a l e s 4 1 6 
E je r c i c i o 1 3 .2 4 1 8
13.3 Aplicaciones económicas 418
R a c io n a m ie n to e n t i e m p o d e g u e r r a 4 1 8 
F i ja c ió n d e p r e c i o s a m e r c a d o s n o p l a n e a d o s 
o r ig in a lm e n te 4 2 0 
E je r c ic io 1 3 .3 4 2 3
13.4 Los teoremas de suficiencia en la programación 
no lineal 424
E l t e o r e m a d e s u f i c i e n c i a d e K td in - T u c k e r :
l a p r o g r a m a c i ó n c ó n c a v a 4 2 4
E l t e o r e m a d e s u f i c i e n c i a d e A r r o w - E n t h o v e n :
l a p r o g r a m a c i ó n c u a s i c ó n c a v a 4 2 5
U n a p r u e b a d e c a l i f i c a c i ó n d e r e s t r i c c i ó n 4 2 6
E je r c i c i o 1 3 .4 4 2 7
13.5 Funciones de valor máximo y el teorema 
de la envolvente 428
E l t e o r e m a d e l a e n v o l v e n t e p a r a l a o p t im i z a c i ó n
s i n r e s t r i c c i o n e s 4 2 8
L a f u n c i ó n d e g a n a n c i a 4 2 9
L a c o n d i c i ó n d e r e c i p r o c i d a d 4 3 0
E l t e o r e m a d e l a e n v o l v e n t e p a r a l a o p t im i z a c i ó n
r e s t r i n g i d a 4 3 2
I n te r p r e ta c ió n d e l m u l t i p l i c a d o r
d e L a g r a n g e 4 3 4
13.6 La dualidad y el teorema de la envolvente 435
E l p r o b l e m a p r i m a l 4 3 5 
E l p r o b l e m a d u a l 4 3 6 
D u a l i d a d 4 3 6 
L a i d e n t i d a d d e R o y 4 3 7 
E l l e m a d e S h e p h a r d 4 3 8 
E je r c i c i o 1 3 .6 4 4 1
13.7 Algunas observaciones finales 442
PARTE CINCO
ANÁLISIS DINÁMICO 443
Capítulo 14
La dinámica económica y el cálculo 
integral 444
14.1 La dinámica y la integración 444
14.2 Integrales indefinidas 446
L a n a t u r a l e z a d e l a s i n te g r a le s 4 4 6 
R e g l a s b á s i c a s d e la i n te g r a c i ó n 4 4 7 
R e g l a s d e o p e r a c ió n 4 4 8 
R e g l a s q u e i n c l u y e n l a s u s t i t u c i ó n 4 5 1 
E je r c i c i o 1 4 .2 4 53
14.3 Integrales definidas 454
S ig n i f i c a d o d e l a s i n te g r a le s d e f i n i d a s 4 5 4 
L a i n t e g r a l d e f i n i d a c o m o e l á r e a b a j o 
l a c u r v a 4 5 5
A l g u n a s p r o p i e d a d e s d e l a s i n t e g r a l e s 
d e f i n id a s 4 5 8
Contenido xvii
O t r a v i s i ó n d e l a i n t e g r a l i n d e f i n i d a 4 6 0 
E je r c i c i o 1 4 .3 4 6 0
14.4 Integrales impropias 461
L im i t e s i n f i n i t o s d e i n t e g r a c ió n 4 6 1 
I n t e g r a n d o i n f i n i t o 4 6 3 
E je r c i c i o 1 4 .4 4 6 4
14.5 Algunas aplicaciones de las integrales a la 
economía 464
D e s d e u n a f u n c i ó n m a r g i n a l a u n a f u n c i ó n 
t o t a l 4 6 4
L a i n v e r s i ó n y la f o r m a c i ó n d e c a p i t a l 4 6 5 
E l v a l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o d e e f e c t i v o 4 6 8 
E l v a l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o p e r p e t u o 4 7 0 
E je r c i c i o 1 4 .5 4 7 0
14.6 El modelo de crecimiento de Domar 471
M a r c o d e a n á l i s i s 4 7 1 
E n c o n t r a n d o l a s o l u c i ó n 4 7 2 
E l f i l o d e l a n a v a j a 4 7 3 
E je r c i c i o 1 4 .6 4 7 4
Capítulo 15
Tiempo continuo: ecuaciones diferenciales 
de primer orden 475
15.1 Ecuaciones diferenciales lineales de primer 
orden con coeficientes constantes y términos 
constantes 475
E l c a s o h o m o g é n e o 4 7 6 
E l c a s o n o h o m o g é n e o 4 7 6 
V e r i f i c a c ió n d e l a s o l u c i ó n 4 7 8 
E je r c i c i o 1 5 .1 4 7 9
15.2 La dinámica del precio de mercado 479
E l m a r c o d e r e f e r e n c i a 4 8 0 
L a t r a y e c t o r i a d e t i e m p o 4 8 0 
L a e s t a b i l i d a d d i n á m i c a d e l e q u i l i b r i o 4 8 1 
U n u s o a l t e r n o d e l m o d e l o 4 8 2 
E je r c i c i o 1 5 .2 4 8 3
15.3 Coeficiente variable y término variable 483
E l c a s o h o m o g é n e o 4 8 4 
E l c a s o n o h o m o g é n e o 4 8 5 
E je r c i c i o 1 5 .3 4 8 6
15.4 Ecuaciones diferenciales exactas 486
E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s e x a c t a s 4 8 6
M é to d o d e s o l u c i ó n 4 8 7
E l f a c t o r d e i n te g r a c i ó n 4 8 9
S o l u c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s
d e p r i m e r o r d e n 4 9 0
E je r c i c i o 1 5 .4 4 9 1
15.5 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer 
orden y primer grado 492
E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s e x a c t a s 4 9 2 
V a r ia b le s s e p a r a b l e s 4 9 2 
E c u a c i o n e s r e d u c i b l e s a l a f o r m a 
l i n e a l 4 9 3 
E je r c i c i o 1 5 .5 4 9 5
15.6 El enfoque cualitativo gráfico 495
E l d i a g r a m a d e f a s e s 4 9 5 
T i p o s d e t r a y e c t o r i a d e t i e m p o 4 9 6 
E je r c i c i o 1 5 .6 4 9 8
15.7 El modelo de crecimiento 
de Solow 498
E l m a r c o d e r e f e r e n c i a 4 9 8 
A n á l i s i s c u a l i t a t i v o - g r á f i c o 5 0 0 
U n a i l u s t r a c i ó n c u a n t i t a t i v a 5 0 1 
E je r c i c i o 1 5 .7 5 0 2
Capítulo 16
Ecuaciones diferenciales de orden 
superior 503
16.1 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo 
orden con coeficientes constantes y término 
constate 504
L a i n t e g r a l p a r t i c u l a r 5 0 4 
L a f u n c i ó n c o m p l e m e n t a r i a 5 0 5 
L a e s t a b i l i d a d d i n á m i c a d e l e q u i l i b r i o 5 1 0 
E je r c i c i o 1 6 .1 5 1 1
16.2 Números complejos y funciones 
circulares 511
N ú m e r o s im a g i n a r i o s y c o m p l e j o s 5 1 1 
R a í c e s c o m p l e j a s 5 1 2 
F u n c i o n e s c i r c u la r e s 5 1 3 
P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s s e n o 
y c o s e n o 5 1 5 
L a s r e l a c i o n e s d e E i d e r 5 1 7 
R e p r e s e n t a c i o n e s a l t e r n a s d e n ú m e r o s 
c o m p l e j o s 5 1 9 
E je r c i c i o 1 6 .2 5 2 1
16.3 Análisis del caso de las raíces 
complejas 522
L a f u n c i ó n c o m p l e m e n t a r i a 5 2 2 
U n e j e m p l o d e s o l u c i ó n 5 2 4 
L a t r a y e c t o r i a d e t i e m p o 5 2 5 
L a e s t a b i l i d a d d i n á m i c a d e l e q u i l i b r i o 5 2 7 
E je r c i c i o 1 6 .3 5 2 7
xvüi Contenido
16.4 Un modelo de mercado con expectativas 
de precio 527
L a t e n d e n c ia d e p r e c i o s y l a s e x p e c t a t i v a s 
d e p r e c io s 5 2 7 
U n m o d e lo s im p l i f i c a d o 5 2 8 
L a t r a y e c to r i a d e t i e m p o d e l o s p r e c i o s 5 2 9 
E je r c i c i o 1 6 .4 5 3 2
16.5 La interacción de la inflación 
y el desempleo 532
L a r e la c ió n d e P h i l l i p s 5 3 2 
L a r e la c ió n d e P h i l l i p s a u m e n t a d a c o n 
e x p e c ta t i v a s 5 3 3
L a r e t r o a l im e n t a c iá n d e la i n f l a c i ó n h a c i a e l 
d e s e m p le o 5 3 4
L a t r a y e c to r i a d e t i e m p o d e n 5 3 4 
E je r c ic io 1 6 .5 5 3 7
16.6 Ecuaciones diferenciales con un término 
variable 538
M é to d o d e l o s c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s 5 3 8 
U n a m o d i f i c a c ió n 5 3 9 
E je r c i c i o 1 6 .6 5 4 0
16.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden 
superior 540
C ó m o e n c o n t r a r la s o l u c i ó n 5 4 0 
L a c o n v e r g e n c ia y e l t e o r e m a d e R o u th 5 4 2 
E je r c i c i o 1 6 .7 5 4 3
Capítulo 17
Tiempo discreto: ecuaciones en diferencias 
de primer orden 544
17.1 Tiempo discreto, diferencias y ecuaciones 
en diferencias 544
17.2 Solución de una ecuación en diferencias 
de primer orden 546
M é to d o i te r a t i v o 5 4 6 
M é to d o g e n e r a l 5 4 8 
E je r c ic io 1 7 .2 5 5 1
17.3 La estabilidad dinámica del equilibrio 551
L a im p o r ta n c ia d e b 5 5 1 
L a f u n c i ó n d e A 5 5 3 
C o n v e r g e n c ia a l e q u i l i b r i o 5 5 4 
E je r c ic io 1 7 .3 5 5 4
17.4 El modelo de la telaraña 555
E l m o d e lo 5 5 5 
L a s te la r a ñ a s 5 5 6 
E je r c ic io 1 7 .4 5 5 8
17.5 Un modelo de mercado con inventario 559
E l m o d e l o 5 5 9 
L a t r a y e c to r i a d e t i e m p o 5 6 0 
R e s u m e n g r á f i c o d e l o s r e s u l t a d o s 5 6 1 
E je r c i c io 1 7 .5 5 6 2
17.6 Ecuaciones en diferencias no lineales. Método 
gráfico cualitativo 562
D ia g r a m a d e f a s e 5 6 2 
T ip o s d e t r a y e c t o r i a d e t i e m p o 5 6 4 
U n m e r c a d o c o n p r e c i o m á x im o 5 6 5 
E je r c i c i o 1 7 .6 5 6 7
Capítulo 18
Ecuaciones en diferencias de orden 
superior 568
18.1 Ecuaciones en diferencias lineales de segundo 
orden con coeficientes constantes y término 
constante 569
L a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r 5 6 9 
L a f u n c i ó n c o m p l e m e n t a r i a 5 7 0 
L a c o n v e r g e n c i a d e la t r a y e c t o r i a 
d e t i e m p o 5 7 3 
E je r c i c io 1 8 .1 5 7 5
18.2 Modelo de interacción de multiplicador con 
acelerador de Samuelson 576
E l m a r c o d e r e f e r e n c ia 5 7 6 
L a s o l u c i ó n 5 7 7
C o n v e r g e n c ia c o n t r a d i v e r g e n c i a 5 7 8 
U n r e s u m e n g r á f i c o 5 8 0 
E je r c i c i o 1 8 .2 5 8 1
18.3 La inflación y el desempleo en tiempo 
discreto 581
E l m o d e l o 5 8 1
L a e c u a c i ó n e n d i f e r e n c i a s e n p 5 8 2 
L a t r a y e c t o r i a d e t i e m p o d e p 5 8 3 
E l a n á l i s i s d e U 5 8 4 
L a r e la c ió n d e P h i l l i p s d e l a r g o p l a z o 5 8 5 
E je r c i c i o 1 8 .3 5 8 5
18.4 Generalizaciones a ecuaciones con términos 
variables y de orden superior 586
E l t é rm in o v a r i a b l e c o n f o r m a d e c m ' 5 8 6 
E l t é r m i n o v a r i a b l e c o n f o r m a d e c t" 5 8 7 
E c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s l i n ea l e s d e o r d e n 
s u p e r i o r 5 8 8
L a c o n v e r g e n c i a y e l t e o r e m a d e S c h u r 5 8 9 
E je r c i c io 1 8 .4 5 9 1
Contenido xix
Capítulo 19
Ecuaciones diferenciales y ecuaciones 
en diferencias simultáneas 592
19.1 Génesis de los sistemas dinámicos 592
L o s p a t r o n e s i n t e r a c t u a n t e s d e l c a m b i o 5 9 2 
T r a n s fo rm a c ió n d e u n a e c u a c i ó n d in á m i c a 
d e o r d e n s u p e r i o r 5 9 3
19.2 Solución de ecuaciones dinámicas 
simultáneas 594
E c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s s im u l t á n e a s 5 9 4 
N o ta c i ó n m a t r i c i a l 5 9 6 
E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s s im u l t á n e a s 5 9 9 
C o m e n ta r i o s a d i c i o n a l e s s o b r e l a e c u a c i ó n 
c a r a c t e r í s t i c a 6 0 1 
E je r c i c i o 1 9 .2 6 0 2
19.3 Modelos dinámicos de insumo-producto 603
E l d e s f a s a m ie n t o d e t i e m p o
e n l a p r o d u c c i ó n 6 0 3
L a d e m a n d a e x c e d e n t e y e l a j u s t e d e la
p r o d u c c i ó n 6 0 5
L a f o r m a c i ó n d e c a p i t a l 6 0 7
E j e r c i c i o 1 9 :3 6 0 8
19.4 Modelo de inflación-desempleo, una vez 
más 609
E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s s im u l t á n e a s 6 1 0 
T r a y e c t o r i a s d e s o l u c i ó n 6 1 0 
E c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s s im u l t á n e a s 6 1 2 
T r a y e c t o r i a s d e s o l u c i ó n 6 1 3 
E je r c i c i o 1 9 .4 6 1 4
19.5 Diagramas de fase de dos variables 614
E s p a c i o d e f a s e 6 1 5
C u r v a s d e d e m a r c a c i ó n 6 1 5
L í n e a s d e c o r r i e n t e 6 1 7
T i p o s d e e q u i l i b r i o 6 1 8
L a i n f l a c i ó n y l a r e g l a m o n e t a r i a s e g ú n
O b s t 6 2 0
E j e r c i c i o 1 9 .5 6 2 3
19.6 Linealización de un sistema de ecuaciones 
diferenciales no lineales 623
E x p a n s i ó n d e T a y lo r y l i n e a l i z a c i ó n 6 2 4
L i n e a l i z a c i ó n r e d u c i d a 6 2 5 
A n á l i s i s l o c a l d e e s t a b i l i d a d 6 2 5 
E je r c i c i o 1 9 .6 6 2 9
Capítulo 20
Teoría de control óptimo 631
20.1 Naturaleza del control óptimo 631
E je m p l o : u n m o d e l o m a c r o e c o n ó m i c o 
s im p l e 6 3 2 
E l p r i n c i p i o d e l m á x im o 
d e P o n t r y a g in 6 3 3
20.2 Condiciones terminales 
alternativas 639
P u n t o t e r m i n a l f i j o 6 3 9 
L í n e a t e r m i n a l h o r i z o n t a l 6 3 9 
L í n e a t e r m i n a l v e r t i c a l t r u n c a d a 6 3 9 
L í n e a t e r m i n a l h o r i z o n t a l t r u n c a d a 6 4 0 
E je r c i c i o 2 0 .2 6 4 3
20.3 Problemas autónomos 644
20.4 Aplicaciones económicas 645
M a x im i z a c i ó n d e u t i l i d a d a l o l a r g o d e t o d o 
e l t i e m p o d e v i d a 6 4 5 
R e c u r s o tro r e n o v a b l e 6 4 7 
E je r c i c i o 2 0 .4 6 4 9
20.5 Horizonte de tiempo infinito 649
M o d e l o n e o c l á s i c o d e c r e c im i e n t o 
ó p t im o 6 4 9
E l h a m i l t o n i a n o a v a l o r p r e s e n t e 6 5 1 
C o n s t r u c c i ó n d e u n d i a g r a m a d e f a s e 6 5 2 
A n á l i s i s d e l d ia g r a m a d e f a s e 6 5 3
20.6 Limitaciones del análisis 
dinámico 654
El alfabeto griego 655
Símbolos matemáticos 656
Breve lista de lecturas 659
Respuestas a ejercicios 
seleccionados 662
índice 677