EJERCICIOS RESUELTOS CARGAS ELECTRICAS FISICA II

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Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 1 
 
REPARTIDO N°1 
Ejercicio 1.- Todos los objetos que nos rodean cotidianamente son eléctricamente neutros. Esto no 
nos permite apreciar el alcance y la magnitud de la fuerza electrostática. Para poner de manifiesto 
esto realice el siguiente cálculo. Determine la fuerza electrostática entre dos personas de 70 kg 
ubicadas a un metro si se quita a cada una el 0,01% de sus electrones. Ayuda: suponga que las 
personas están compuestas por agua (Peso molecular 18 g/mol) y utilice la relación 
molecularpeso
gramosenmasa

AN
N
, donde N representa el número de partículas (moléculas de agua) y NA el 
número de Avogadro. 
 
La fuerza de repulsión valdrá: 2
2,1
21
12
r
qq
kF  
Moléculas de agua de la persona: 


mol
g 18
g70.00010 6,022 23
mol
moléculas
NN A 2,342×10
27 moléculas 
Carga de cada persona q = 0,01%N e =(1,00×10-4)( 1,602×10-19)( 2,342×1027)= ) 3,752×104 C 
 
2
2,1
21
12
r
qq
kF  = 


2
44
9
1
)10752,3)(10752,3(
)10988,8( 1,27×1019 N 
 
El peso de la Tierra es de 5,86×1025 N y el de la 
Luna 7,22×1023 N , por lo que si en lugar de ser 
haber sido 0,01% los electrones quitados a cada 
molécula, se hubiese quitado el 1%, la fuerza 
sería 1,27×1023 N (del orden del peso de la 
Luna) 
 
 
Ejercicio 2.- (R.H.K 27.3) En el trayecto de 
retorno de un rayo típico (véase la figura) fluye 
una corriente de 2,5 ×10
4
A durante 20 µs. 
¿Cuánta carga se transfiere en este proceso?. 
 
tIQ
t
Q
I 


 = (2,5×104A) (205×10-6s)= 0,50 C 
 
Ejercicio 3.- (R.H.K 27.3) ¿Qué cantidades iguales de carga positiva tendrían que ponerse sobre 
la Tierra y sobre la Luna para neutralizar su atracción gravitatoria? ¿Necesita usted conocer la 
distancia a la Luna para resolver este problema? 
Fuerza gravitatoria 2
.
d
MM
GF LTG  (de atracción) 
Fuerza electrostática 2
2
2
.
d
q
k
d
qq
kF LTE  (de repulsión si la carga es del mismo signo) 
Igualando ambas fuerzas: 
k
MGM
q
d
q
k
d
MM
G LTLT
..
2
2
2
 
229
22242211
/.)10988,8(
)1036,7).(1098,5)(/.10673,6(
CmN
kgkgkgmN
q




= 5,72×1013C 
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Repartido Nº 1 2 
Ejercicio 4.- (R.H.K 28.4) En el experimento de Millikan, una gota de 1,64 µm de radio y 0,851g/cm3 de 
densidad se encuentra en equilibrio cuando se aplica un campo eléctrico de 1,92 × 105 N/C. Determine la carga 
en la gota, en términos de la carga de un electrón. 
 
Densidad  = 0,851g/cm3 = 851 kg/m3 
Hay equilibrio entre el peso de la gota y la fuerza eléctrica: mg = FE= qE  E
mg
q 
La masa de la gota vale  3
3
4
RVm  
 
E
gR
q
3
4 3
 =
)1092,1(3
)8,9()851()1064,1(4
5
36

 
=8,03×10-19 C = 5e 
 
Ejercicio 5.- (R.H.K- 27.7) Tres partículas cargadas se encuentran en una línea recta y están separadas por 
una distancia d como se muestra en la figura. Las cargas q1 y q2 se mantienen fijas. La carga q3, la cual puede 
moverse libremente, está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas eléctricas. Halle q1 en términos de q2. 
Como q3 está en equilibrio, las fuerzas debido a q1 y q2 (sobre q3) deben ser iguales y opuestas. 
 03,23,1 FF 2
3,2
32
2
3,1
31
r
qq
k
r
qq
k   2
32
2
31
)2( d
qq
k
d
qq
k   2
1
4
q
q
  21 4qq  
 
Ejercicio 6.- Suponga tres cargas como en la figura del ejercicio anterior. Las caras q1 y q3 son positivas e 
iguales. 
a) Si q2 es negativa, ¿Está en equilibrio?, Si q2 es positiva, ¿Está en equilibrio? 
b) ¿El equilibrio es estable o inestable? Considere que q2 se puede mover 
en cualquier dirección. 
c) Si q2 está confinada a moverse sobre la recta que une las tres cargas, 
¿qué tipo de equilibrio tiene? 
 
Primeramente veamos en qué posiciones q2 puede estar en equilibrio. 
Como la fuerza coulombiana entre dos cargas eléctricas es central (la dirección de la misma es 
según la recta que une las 2 cargas), para que F12 y F32 se puedan anular, las tres cargas deben 
estar alineadas, de lo contrario no hay equilibrio. 
El punto de equilibrio, será por tanto el punto medio del segmento que une a las cargas q1 y q3. 
 
Si q2 puede moverse en cualquier dirección, el equilibrio no puede ser estable, como se verá en los 
análisis siguientes. 
 
Supongamos que q2 está restringida a moverse en la mediatriz (perpendicular que pasa por el punto 
medio). 
Si q2 es positiva, las fuerzas entre las cargas son repulsivas. Si desplazo a q2 en sentido de la 
mediatriz, la fuerza neta tiende a alejarla, por lo que en este caso el equilibrio es inestable. 
Si q2 es negativa, y se restringe a moverse sobre la mediatriz, entonces el equilibrio es estable (la 
fuerza neta es de restauración). 
 
Supongamos que q2 se restringe a moverse en la dirección de la recta de las cargas. 
Si es positiva (fuerzas entre las cargas de repulsión), y la acerco hacia q3 (disminuye su distancia 
con respecto a la de q1), prima la fuerza que ejerce q3 sobre la que ejerce q1, entonces la fuerza 
neta será hacia la izquierda (fuerza de restauración). 
Si por el contrario q2 es negativa (fuerzas entre las cargas de atracción) y la muevo hacia la 
derecha (la acerco a q3), prima la fuerza que ejerce esa carga, por tanto la atrae y la sigue alejando 
del punto de equilibrio. 
Nota: De acuerdo al teorema de Earnshaw (se probará más adelante, luego de ver la ley Gauss): en 
una región en la que hay un campo eléctrico creado por cargas fijas, ningún punto es de equilibrio 
estable, excepto sobre una de las cargas creadoras del campo). 
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Repartido Nº 1 3 
Ejercicio 7.- (R.H.K. 27.16 y18) Dos diminutas bolas semejantes de masa m están 
colgando de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales q como en la figura. 
Suponga que θ es tan pequeño que tan θ puede ser reemplazado por su igual 
aproximado, sen θ. 
a) Para esta aproximación demuestre que, para el equilibrio, que 
3
1
0
2
2 








mg
Lq
x
 
en donde x es la separación entre las bolas. Si L = 122 cm, m= 11,2g, y x=4,70 cm, 
¿cuál es el valor de q? 
b) Suponga ahora que cada bola está perdiendo carga a razón de 1,20 nC/s. ¿Con qué 
velocidad relativa instantánea (=dx/dt) se acercan entre sí las bolas inicialmente? 
 
a) En equilibrio, la sumatoria de fuerzas es nula. 
x: Tsin = FE 
y: Tcos  = mg  
mg
F
tg E 
Por hipótesis 
L
x
tg
2
sin   
2
2
x
kq
FE   2
2
2 mgx
kq
L
x
 
3
1
22









mg
Lkq
x  
3
1
0
2
2 








mg
Lq
x
 
mg
Lq
x
0
2
3
2
  
L
mgx
q
3
02
 
 
22,1
)0470,0)(8,9)(102,11)(10854,8(2 3312
 
q= 2,28×10-8 C 
 
b) 
3
23
1
02
q
mg
L
x 







 
dt
dq
q
x
dt
dq
q
q
x
dt
dq
q
mg
L
dt
dx
3
2
3
2
3
2
2
3
1
3
2
3
13
1
0














 
 9
8
1020,1
1028,2
0470,0
3
2
3
2 




dt
dq
q
x
dt
dx
 = 1,65×10-3 m/s 
 
Ejercicio 8.- (R.H.K. 28. 8) Halle el campo eléctrico (módulo dirección y sentido) 
en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que q=11,8nC y a = 5,20 cm. 
Sugerencia: Coloque su sistema de referencia en una posición conveniente. 
El campo que crea la carga +2q tiene la misma dirección y sentido 
contrario al que crea la carga +q. Además su módulo es el doble. 
Análogamente sucede con las cargas -2q y –q. 
Por tanto la configuración resulta, como se muestra en la figura, además 
sus módulos son iguales. 
El campo resultante será por tanto en la dirección vertical (según el versor 
ĵ ). 
La distancia d de cada una de las cargas al centro del cuadrado vale 
2
2
2
222 adad  
El módulo del campo que crea la carga +q vale: 220
2
a
kq
d
kq
E  
ET= E+q + E-2q + E+2q + E-q = (E-2q + E+2q)/2 = E0((cos 45º i + sen 45º j) +(-cos 45º i +sen45ºj)) 
ET= 2E0(sen 45º j) = 2
24
2a
kq
j= 2
22
a
kq
 j = ĵ
2
2
2
0 a
q

= ĵ
)0520,0(
)108,11(
)10854,8(2
2
2
9
12




=1,11 ×103 N/C j 
mg 
T 

FE 
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Repartido Nº 1 4 
Ejercicio 9.- (R.H.K. 28. 11) a) En la figura de la izquierda, considere un punto a una 
distancia z desde el centro de un dipolo a lo largo de su eje. 
Demuestre que, para valores grandes de z, el campo eléctrico está dado por 
3
02
1
)(
z
p
zE

 
b) Compare con el campo en un punto de la bisectriz perpendicular 
c) ¿Cuál es la dirección de E? 
a)        
kkEEE ˆ
11ˆ)()()()(
2222 






















 
azaz
kq
az
qk
az
kq
zzz qq 
kkE ˆ11ˆ
1
1
1
1
)(
22
2222 












 




 



















 






 


z
a
z
a
z
kq
z
a
z
az
kq
z 
Desarrollo en serie de: ...
!3
)2)(1(
!2
)1(
1)1( 32 

  u
mmm
u
mm
muu m  con 01  mu 
Para nuestro caso: 
.4321...
6
24
2
6
21)1( 32322   uuuuuuu 
.4321...
6
24
2
6
21)1( 32322   uuuuuuu 
 
Desarrollando hasta el término de u2, resulta: 
 



























































 




 

kkE ˆ321321ˆ11)(
22
2
22
2 z
a
z
a
z
a
z
a
z
kq
z
a
z
a
z
kq
z 
 
kkkE ˆ
4
22ˆ4ˆ4)(
3
0
32 z
qa
z
kqa
z
a
z
kq
z












 = k̂
2 30z
p

 
 
b) Según la figura que se muestra 
 
 
kEEE ˆcos2)()()( qqq Exxx   
 
 222 xa
kq
r
kq
E q

 
22
cos
xa
a
r
a

 
 
   
kkE ˆ
2ˆ2)(
2
3
22
2222
xa
kaq
xa
a
xa
kq
x



 
kkE ˆ1
2ˆ
1
2
)(
2
3
2
3
2
3
2
2






































x
a
x
kaq
x
a
x
kaq
x
≈ k̂
2
3x
kaq
 = k̂
4 30x
p

 
 
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 5 
Ejercicio 10.- (R.H.K. 28. 13) Un tipo de cuadripolo eléctrico esta 
formado por cuatro cargas colocadas en los vértices de un cuadrado de 
lado 2a. El punto P se encuentra a una distancia x del centro del 
cuadripolo en una línea paralela a los lados del cuadrado como se 
muestra en la figura. Para x>>a, demuestre que el campo eléctrico en P 
está dado, aproximadamente, por 
4
0
2
2
)2(3
)(
x
qa
xE

 . Sugerencia: considere el cuadripolo como dos dipolos. 
 
Consideremos a las dos cargas de la derecha como el dipolo 1 que apunta hacia arriba (situado a 
una distancia x-a), y las dos cargas de la izquierda como el dipolo 2 que apunta hacia abajo y a una 
distancia x+a. 
 
   
kkEEE ˆ
4
ˆ
4 30
3
0
21
ax
p
ax
p
T





=    
k̂
11
4 330 











axax
p
 
kE ˆ11
4
33
3
0
































x
a
x
a
x
p
T

 
 
Desarrollando hasta el primer orden: 
kE ˆ11
4
33
3
0
































x
a
x
a
x
p
T

≈ 















 




 
x
a
x
p
x
a
x
a
x
p
6ˆ
4
3131ˆ
4 30
3
0
kk

 
 
kkE ˆ
2
23
3ˆ
2
)2(
4
0
2
3
0 x
qa
x
a
x
qa
T






 
 
kE ˆ
2
23
4
0
2
x
qa
T

 
 
 
Ejercicio 11.- (R.H.K. 28. 31) Una varilla no conductora de 
longitud finita L contiene una carga total q, distribuida 
uniformemente a lo largo de ella. 
a) Demuestre que E en el punto P sobre la bisectriz perpendicular 
en la figura está dado por 
 
 2
1
22
0 42
)(
yLy
q
yE



 
b) Intente repetir el cálculo para un punto P’ cualquiera. 
 
 
 
 
 
Consideremos un elemento de carga dq situado a una 
distancia x’ del origen (situado en el punto de medio de la 
varilla) 
dq = dx’ 
rE
3
)(
r
kdq
yd  
jir ˆˆ' yx  
22' yxr  
r 
x’ 
dq 
y 
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Repartido Nº 1 6 
 
 jiE ˆˆ'
'
'
)(
2
3
22
yx
yx
dxk
yd 



 
 
 






2/
2/ 2
3
22
2/
2/
0
'
''
L
L
L
L
xx
yx
dxxk
dEE

 ya que el integrando es una función impar y se integra entre –L/2 
y +L/2. 
   







2/
2/ 2
3
22
2/
2/ 2
3
22
2/
2/ '
'
'
'
L
L
L
L
L
L
yy
yx
dx
yk
yx
ydxk
dEE 
 
 

2/
0 2
3
22'
'
2
L
yx
dx
yk (ya que el integrando es 
par) 
Usando la siguiente expresión: 
  


222
2
3
22 aua
u
au
du
 
222
2
2
2
2/
0
222 4
2
2
22
'
'
2
yLy
L
yk
y
L
y
L
yk
yxy
x
ykE
L
y


















 
 
22
0
220 4244
1
2
yLy
L
yLy
L
Ey












 jE
ˆ
42 220 yLy
q



 
b) Para un punto P cualquiera¸ jir ˆ)̂'( yxx  
 




22
2
3
22
1
auau
udu
 
 
      













2/
2/ 2
3
22
2/
2/ 2
3
22
2/
2/ 2
3
22
2/
2/
)(
'
')'(
Lx
Lx
Lx
Lx
L
L
L
L
xx
yu
udu
k
yu
duu
k
yxx
dxxxk
dEE  






















 






 












 2
2
2
2
2/
2/
22
2
1
2
11
y
L
xy
L
x
k
yu
kE
Lx
Lx
x 
    











22220 42
2
42
2
4 yLxyLx
Ex 

    











22220 42
1
42
1
2 yLxyLx
Ex 

 
 
      





2/
2/ 2
3
22
2/
2/ 2
3
22
2/
2/ '
'
'
'
L
L
L
L
L
L
yy
yxx
dx
yk
yxx
ydxk
dEE  
 
   
2/
2/
222
2/
2/ 2
3
22
2/
2/ 2
3
22
)()(
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
y
yuy
u
y
yu
du
y
yu
du
ykE




















   
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 7 





















 





 






 





 






















 





 






 





 

2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
Lx
Lx
y
Lx
Lx
y
k
y
L
x
L
x
y
L
x
L
x
y
yk
Ey

 
 
 
 
 
  













22220 42
2
42
2
4 yLx
Lx
yLx
Lx
y
Ey 

 
 
Ejercicio 12.- (R.H.K. 27. 19) Dos cargas puntuales positivas 
iguales q se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga 
puntual de prueba se localiza en un plano que es normal a la línea que 
une a estas cargas y a la mitad entre ellas. 
Determine el radio r del círculo en este plano para el cual la fuerza 
sobre la partícula de prueba tiene un valor máximo. 
 
 
Equivale a determinar el R para el cual el campo total debido a 
las dos cargas es máximo. 
Las componentes horizontales del campo se cancelan entre sí. 
El campo total resultante es: 
 
yT E2E j 
 
yT EE 2 =  2
3
22
3
22
322
2222sin2
aR
R
kq
aR
R
kq
r
R
kq
r
R
r
kq
r
kq






 
 
     
 
    
    








































2
3
22
22
322
2222
1
22
322
2
1
222
3
22
2
2
3
2
2
2
3
2
aR
Ra
kq
aR
RaRaR
kq
aR
RaRRaR
kq
dR
dET
 
 
  aaRRa
dR
dET
2
2
2
020
2
22  
 
Ejercicio 13.- (R.H.K. 28. 46) Un electrón está limitado a moverse a lo largo del eje del anillo de carga. 
Demuestre que el electrón puede realizar oscilaciones pequeñas, cuando pasa por el centro del anillo, con una 
frecuencia dada de 3
04 mR
eq

 
 
Para que el electrón realice pequeñas oscilaciones en un 
M.A.S. debe verificar la ecuación del oscilador armónico:02  xx  (o una constante) 
 
Calculemos el campo que crea un anillo de carga. 
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 8 
Por la simetría del problema, la componente de dE perpendicular al eje del anillo (dE ) se anula, 
como se muestra en la segunda figura. 
 
 iiiiE ˆcosˆˆˆ   dEdEEE xx 
 2
1
222222 xRxRxar  
 






 iiiiiiiiE ˆ
)
2
(
ˆ)(ˆˆˆcosˆˆˆ
3332 r
Rd
R
q
kx
r
Rdkx
r
kxdq
r
x
r
kdq
dEdEEE xx

 
iiiiiE ˆˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
)
2
(
3
2
03
2
0
333 r
kxq
r
kxq
d
r
kxq
r
kxqd
r
Rd
R
q
kx







  








 
 
iiE ˆ
4
ˆ
2
3
22
0
3
xR
qx
r
kxq



 
Sobre el electrón, al apartarlo del centro del anillo, experimentará 
una fuerza de restauración que tiende a llevarlo nuevamente. 
Haciendo x<<1. 
 
iEF )̂( oxeEe  
  iE ˆ
4
0
3
0R
qx
x

 por lo que la ecuación de movimiento resulta 
x
R
eq
xm
3
04
  0
4 30
 x
mR
eq
x

  3
04 mR
eq

 
 
Ejercicio 14.- Considere un aro de material plástico de radio R tal que, una carga q1 positiva está distribuida 
uniformemente en una mitad del aro, mientras que en la otra mitad se distribuye otra carga q2 también positiva 
(q2 ≠ q1) también uniforme. 
a) Calcule el vector campo eléctrico en un punto sobre el eje perpendicular al plano del anillo que pasa por su 
centro (eje de simetría). 
b) Se coloca una carga -q sobre el eje del anillo, a una distancia z=l de su plano. Calcule el trabajo que debe 
realizar un agente externo para mover la carga sobre el eje hasta z=0 y dejarla ahí en reposo. ¿En qué 
dirección y sentido tiene que actuar la fuerza externa para que este movimiento sea posible? 
c) ¿Cuál sería la fuerza externa de módulo mínimo necesaria para que al liberar la carga en z=l, su 
movimiento sea sobre el eje? ¿En qué sentido se movería? 
 
a) El campo del anillo lo consideramos como la suma de una componente según la dirección del eje 
del anillo (z) (E) y otra perpendicular a dicho eje (E, paralelo al 0xy) E = E + E 
E = Ek 
Consideraremos que la mitad superior tiene la carga q1 y la inferior q2 (q1> q2) 
A su vez E = E1+ E2 
Análogamente a lo visto en el ejercicio anterior: dE1= dE1 cos = 3
1
2
1
r
kzdq
r
z
r
kdq
 
22 zRr  



 d
q
Rd
R
q
Rddq 1111  
d
q
dq 22  
E=   3 23 13 23 1 r
kzdq
r
kzdq
r
kzdq
r
kzdq
=  













2
2
3
0
1
3
2
2
3
0
1
3
d
q
r
kz
d
q
r
kz
d
q
r
kz
d
q
r
kz
 
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 9 
E=    
2
2013
qq
r
kz
  )2()0( 213 
 qq
r
kz
=  213 qqr
kz
 
E= 
 
 2
3
22
0
21
4 zR
zqq



 
q1 se extiende desde  = 0 a  =  
dE1= dE1.sin 3
1
2
1
r
kRdq
r
R
r
kdq
 que tiene dirección radial, pero por simetría la componente x 
(dE.cos) se anula, y solo aporta la componente según la dirección y (dE.sin). Además un 
elemento simétrico de q2, tendrá una componente que se opondrá al correspondiente a q1, por tanto 
deberemos integrar entre 0 y  la siguiente expresión 
 




d
r
qqkR
r
d
qq
kR
r
dqdqkR
sin
sin
sin)(
3
21
3
21
3
21 





 


 
E=
         0coscoscossinsin
3
21
03
21
0
3
21
0
3
21 







 


r
qqkR
r
qqkR
d
r
qqkR
d
r
qqkR
 
E=
    
 
 
 2
3
22
0
2
21
2
3
22
0
21
3
21
24
2
2
zR
qqR
zR
qqR
r
qqkR








 (si q1> q2 entonces E= -Ej) 
E= 
 
 2
3
22
0
21
4 zR
zqq



 k - 
 
 2
3
22
0
2
21
2 zR
Rqq



 j 
 
b) El desplazamiento será según la dirección z, por lo que la fuerza perpendicular a esta dirección 
será nulo (sólo importará la fuerza según el versor k). Ante la acción del campo del anillo, la carga 
-q experimentará una fuerza de origen eléctrico que la acelerará en el sentido –k (por ser la carga 
negativa). Por tanto para que la carga no se acelere, el agente externo debe realizar una fuerza 
igual y contraria a la de origen eléctrico (es decir igual a qE k). 
Como el desplazamiento va desde z=l a z= 0 (en dirección –k), y la fuerza del agente externo es 
según +k, el trabajo efectuado por el agente externo es negativo. 
 
dzqEdzqEddW llll  )ˆ).(ˆ(. kksF 
 
 
    






0
2
3
22
0
21
0
2
3
22
0
21
4
4 ll
zdzzR
qqq
dz
zR
zqq
qW


 
Para calcular esta primitiva hacemos: u= R2+z2  du = 2z dz 
 
22
2
12
1
2
3
2
3
2
3
22 1
2
12
1
2
1
2 zR
u
u
duu
du
uzdzzR












 
       

























 

220
21
0
220
21
0
2
3
22
0
21 11
4
1
44 lRR
qqq
zR
qqq
zdzzR
qqq
W
ll
 
 












220
21 11
4 lRR
qqq
W
 
 
c) La fuerza mínima que debe hacer el agente externo para empezar el movimiento es qE(z=l). 
Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011 
 
Repartido Nº 1 10 
Ejercicio 15.- (R.H.K. 28. 47) Un electrón es proyectado 
como en la figura con una velocidad de vo = 5,83×10
6 
m/s 
y a un ángulo de θ =39,0º; E=1870 N/C (dirigido hacia 
arriba), d= 1,97 cm, y L=6,20 cm. ¿Golpeará el electrón a 
cualquiera de las placas? Si golpea a una placa, ¿a cuál de 
ellas golpeará y a qué distancia del extremo izquierdo? 
 
 
Las fuerzas que actuarán sobre el electrón son el peso (mg hacia abajo) y la debida al campo 
eléctrico (eE también hacia abajo, pues el campo es hacia arriba pero la carga es negativa). 
ma = mg +eE  E
m
e
E
m
e
g
m
eEmg
a 

 (debido a la diferencia de órdenes) 
 
Movimiento del proyectil 
2
00 2
sin)(cos)( t
a
tvtytvtx   
t* instante en que alcanza la altura máxima: 
eE
mv
a
v
t
 sinsin
* 00  
Altura máxima: 
eE
mv
a
v
a
va
a
v
vtyy
2
sin
2
sinsin
2
sin
sin*)(
22
0
22
0
2
00
0max

 











 






)1870/)10602,1(2
)0,39(sin)1083,5)(10109,9(
2
sin
19
2263122
0
max eE
mv
y

2,14×10-2 m > d= 1,97×10-2 m 
 
 ymax > d choca con la placa superior 
2
0 2
sin t
a
tvd    0
2sin2 02 
a
d
t
a
v
t

 
 






























eE
md
eE
mv
eE
mv
a
d
a
v
a
v
t
2
4
sin2sin2
2
12
4
sin2sin2
2
1
2
00
2
00 
 
Debo tomar el menor de los dos… 
















eE
md
eE
mv
eE
mv
t
2
4
sin2sin2
2
1
2
00 
8,9987×10-9 s 
Distancia de impacto: x*= x(t)= tv cos0 = 4,0771×10
-2 m 
 
Distancia de impacto: x*= 4,08×10-2 m 
 
 
Ejercicio 16.- (R.H.K. 28. 52) Suponga un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme. Las 
dos cargas del dipolo están unidas por una varilla rígida y de masa despreciable comparada con las 
masas de las cargas. Determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del dipolo en función de 
su momento dipolar p, su inercia rotacional I, y la magnitud del campo eléctrico E. 
 
Segunda cardinal: Epτθ I  sinpEθI  
 
Para pequeñas oscilaciones sin 
 

I
pE
θ   
I
pE
2  
I
pE
f
2
1
