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266
9.6 PROBLEMAS RESUELTOS DE 
HIDRODINÁMICA 
 
1.- Considérese una manguera de sección 
circular de diámetro interior de 2,0 cm, por 
la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por 
cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en 
la manguera?. El orificio de la boquilla de la 
manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. 
 ¿Cuál es la velocidad de salida del agua? 
 
Solución: 
Disponemos del flujo de agua que circula por la 
manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal manera 
que según la ec (27): 
 
G = A v 
por lo que : 
 
( )
 
 
 = = =
3
3
m 2 2
cm0,25x10
sG cmv 79,6
A s3,14x1 cm
 
 
Ahora, la ecuación (18) permite calcular la 
velocidad de salida del agua por la boquilla, 
puesto que el flujo que pasa por la manguera es 
el mismo que pasa por la boquilla. 
 
Es decir, se debe cumplir la relación: 
 
Am vm = Ab vb 
 
de donde se tiene: 
 
 
= =
= =
m m
b
b b
3
3
b 2 2
A V Gv
A A
cm0,25x10 cmsv 316,5
3,14x0,5 cm s
 
 
Este ejemplo es interesante, puesto que 
muestra el mecanismo mediante el cual al 
disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que 
el agua salga con una velocidad que permite 
regar a distancias convenientes. Note que ha 
disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo 
la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a la 
relación cuadrática de las áreas. 
 
2.- Por una tubería inclinada circula agua a 
razón de 9 m3/min, como se muestra en la 
figura: En a el diámetro es 30 cm y la presión 
es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto 
b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el 
centro de la tubería se halla 50 cm más bajo 
que en a? 
 
 
 
 
 267
Solución: 
Entre los puntos a y b se puede usar la 
ecuación de continuidad, de manera tal que: 
 
AA vA = AB vB = G 
 
de donde se pueden calcular las velocidades en 
a y en b : 
 
= = = =
3
A 2 2
A
9m
G m cm60sv 2,14 214
A 3,14x0,15 m s s
 
 = = = =
3
B 2 2
B
9m
G m cm60sv 8,33 833
A 3,14x0,075 m s s
 
 
También se puede ocupar la ecuación de 
Bernouilli para relacionar ambos puntos, de la 
que se puede calcular la presión en b: 
 
PA + ρ g hA + ½ ρ vA2 = PB + ρ g hB + ½ ρ vB2 
 
PB = PA + ρ g [hA - hB] + ½ ρ [v2 - vB2] 
 
( )
= + +
 
+ − 
 
=
6
B 2 3 2
2
3 2
B 2
gDinas cmP 10 1 980 50cm
cm cm s
g1 cm1 45796 693889
2 cm s
DinasP 724953,5
cm
 
 
 
 
 
 3.- Un tubo que conduce un fluido 
incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 
Kg/m3 es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un 
obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, 
hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El 
tubo tiene área transversal constante. Si la 
presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, 
calcule la presión P1 en la parte superior. 
 
Solución: 
Según lo que predice la ecuación de continuidad, 
al tener área transversal constante, no debe 
cambiar la velocidad del fluido en su interior, 
por tanto: v0 = v1 = v 
 
En consecuencia, aplicando la ecuación de 
Bernouilli a puntos en la parte superior y la 
parte inferior, se tiene : 
 
P0 + ρ g h0 + ½ ρ v2 = P1 + ρ g h1 + ½ ρ v2 
 
P0 + ρ g h0 = P1 + ρ g h1 
 
de donde : 
 
P1 = P0 + ρ g [h0 - h1] 
 
P1 = 1,5 [1,01 X 105 Pa] + [1,30X103 Kg/m3] [9,8 
m/s2][0 m - 1.0 m] 
 
P1 = 151 500 Pa - 12 740 Pa 
 
 268
P1 = 138 760 Pa = 1,38 atm 
 
¡La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm!. 
 
Esta conclusión parece contradecir lo 
encontrado en el efecto Venturi, donde las 
presiones eran inversamente proporcionales a 
las velocidades. Sin embargo, ha de 
recordarse que aquel era cierto bajo la 
restricción de líneas de flujo horizontales, en 
las que no hubiera diferencias significativas en 
la energía potencial del fluido en movimiento. 
 
4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a 
derecha por un tubo cilíndrico como el que se 
muestra en la figura. La densidad de la 
sustancia es de 105 utm/m3. Su velocidad en el 
extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s, y la 
presión allí es de P0 = 1,75 Kgf/cm2, y el radio 
de la sección es r0 = 20 cm. El extremo de 
salida está 4,5 m abajo del extremo de 
entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5 
cm. Encontrar la presión P1 en ese extremo. 
 
 
 
 
Solución: 
La presión se puede encontrar mediante la 
ecuación de Bernouilli ; sin embargo, 
previamente necesitaremos calcular la 
velocidad v1 con la ecuación de continuidad : 
 
A0 v0 = A1 v1 
 de donde : 
 
= = π =
π
2 20 0 0
1 0 0 02 2
1 1 1
v v vv A r r
A r r
 
 
( )−
−
 
 
 = =
2 4
1 4
m20 x10 m 1,5 msv 10,7
s7,5x10 m
 
 
Ahora, según Bernouilli : 
 
 P0 + ρ g h0 + ½ ρ V02 = P1 + ρ g h1 + ½ ρ V12 
 
 P1 = P0 + ρ g [h0 - h1] + ½ ρ [V02 - V12] 
 
( )
= + +
 
+ − 
 
= =
4
1 2 3 2
2
2 2
3 2
B 2
2
Kf utm mP 1,75x10 105 9,8 4,5m
m m s
1 utm m105 1,5 10,7
2 m s
Kf KfP 16237,9 1,62
m cm
 
 
Note que si ponemos una válvula y cortamos el 
flujo de agua, P1 = 2,21 Kgf/m2 : sube ! 
 
 
 269
5.- Un tanque cilíndrico de 1,80 m de diámetro 
descansa sobre una plataforma de una torre a 
6 m de altura, como se muestra en la figura. 
Inicialmente, el tanque está lleno de agua, 
hasta la profundidad h0 = 3 m. 
 
De un orificio que está al lado del tanque y en 
la parte baja del mismo, se quita un tapón que 
cierra el área del orificio, de 6 cm2. 
¿Con qué velocidad fluye inicialmente el agua 
del orificio?. 
¿Cuánto tiempo necesita el tanque para 
vaciarse por completo?. 
 
P2
P1
dh
v2
v1
v3P3y=0
h0 h
H
 
 
Solución: 
Este problema es muy importante, puesto que 
por una parte revisaremos numéricamente 
algunos conceptos y por otra parte, aún cuando 
no trata de conceptos directamente 
considerado en la teoría aquí expuesta, contiene 
otros elementos que son relevantes para los 
alumnos. 
 
Al soltar el tapón, se tiene una situación 
regulada por la ec de Bernouilli; de tal manera 
que se puede calcular la velocidad con que sale 
inicialmente el agua por el orificio, como hemos 
hecho hasta ahora : 
 
 P1 + ρ g h1 + ½ ρ V12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ V22, 
 
Consideraremos la referencia en el piso; 
además tanto en 1 como en 2 la presión es la 
atmosférica, y V1 = 0, puesto que la relación 
entre las áreas del tanque y del orificio permite 
despreciarlo a través de la ecuación de 
continuidad. 
 
(Note que: π= =
2
1 1
2
2
A r 4239
A 6cm
, 
 
¡la velocidad en 2 será 4239 veces mayor que la 
velocidad en 1! ). 
 
De lo anterior : 
 
P0 + ρ g [H + H0] + ½ ρ [0]2 = P0 + ρ g H + ½ ρ V22 
 
de donde : 
 
 270
½ ρ V22 = ρ g [H + H0] - ρ g H 
 
V22 = 2 g H0, 
 
tal como lo habíamos previsto según Torricelli. 
 
Es interesante esta expresión, puesto que la 
velocidad no depende de la densidad del 
líquido, tal como la caída de un objeto no 
depende de su masa en ausencia de aire. 
 
 Por lo tanto : 
 
( ) = = 
 2 2
m mv 2 9,8 3m 7,7
s s
 
 
Luego, aplicando nuevamente Bernouilli para los 
puntos 2 y 3, podemos calcular la velocidad con 
que llega el agua al suelo : 
 
P2 + ρ g h2 + ½ ρ V22 = P3 + ρ g h3+ ½ ρ V32 
 
con P2 = P3 = P0 : 
 
P0 + ρ g H + ½ ρ V22 = P0 + ρ g [0]+ ½ ρ V32 
 
de donde : 
 
V32 = V22 + 2 g H 
 
 V3 = √ 58.8 m2/s2 + 2 [9,8 m/s2][ 6 m] 
V3 = 13,3 m/s 
Hasta aquí, el problema es resuelto como ha 
predicho la teoría expuesta. Sin embargo, 
calcular el tiempo que demora el tanque en 
vaciarse requiere de consideraciones distintas, 
puesto que la profundidad no será constante, 
como en los casos anteriores. Esto producirá 
que la velocidad con que baja el fluido en el 
tanque, así como la velocidad con que sale el 
líquido por el orificio, no sean constantes en el 
tiempo. 
 
Para resolver esto, consideraremosque la 
altura h del líquido disminuye en dh durante un 
intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, 
la velocidad con que baja el fluido en el tanque 
V1, queda determinada por la expresión: 
 
= −1
dhv
dt
 
 
negativa puesto que h disminuye en el tiempo. 
 
Adicionalmente, se tiene que 
 
V1 A1 = V2 A2 
 
como ya sabemos, expresión que es cierta para 
todo t, de donde : 
 
= 21 2
1
Av v
A
 
 
al igualar ambas expresiones, se tiene: 
 271
 
− = 22
1
Adh v
dt A
 
 
además, según torricelli como hemos visto : 
 
=2v 2gh 
 
por lo que : 
 − =  
2
1
Adh 2gh
dt A
 
 
que se puede expresar como : 
 
 − =  
2
1
Adh 2g dt
Ah
 
 
integrando la expresión para el intervalo entre 
t = 0, donde la profundidad es h0 y el tiempo 
t = t, donde la profundidad es h, se tiene : 
 
−  − =  ∫ ∫
1
22
1
Ah dh 2g dt
A
 
 
integrando : 
 
   − − =    
1 1
22 20
1
A2 h h 2g t
A
 
 
despejando t : 
 
 
− − 
 =
  
1 1
2 21 0
2
2A h h
t
2g A
 
 
cuando el tanque se vacíe, h = 0, por lo que : 
 
 
 − −  =
1
21 0
2
2A h
t
2gA
 
 
 
 π −  =
12
21 0
2
2 r h
t
2gA
 
 
remplazando valores : 
( )( ) ( )
( )
=
 
 
 
12
2
2
2
2 3,14 0,9m 3m
t
m2 9,8 0,0006m
s
 
 
t = 3 263,3 segundos 
 
Se recomienda revisar con especial cuidado la 
lógica seguida en la solución de este problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 272
6.- Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro 
se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. 
El espacio encima del agua está ocupado con 
aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105 
N/m2. De un orificio en el fondo se quita un 
tapón que cierra un área de 2,5 cm3 . Calcular 
la velocidad inicial de la corriente que fluye a 
través de este orificio. Encontrar la fuerza 
vertical hacia arriba que experimenta el tanque 
cuando se quita el tapón. 
 
P2
P1
v2
v1
h
A1
A2
 
 
Solución: 
Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al 
tercer principio de Newton, reacciona con una 
fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual 
magnitud, pero de dirección opuesta a la 
fuerza con que es expulsado. 
Por otro lado, el segundo principio de Newton 
establece que el impuso que recibe el fluido 
expulsado, debe ser equivalente al cambio en 
su cantidad de movimiento. 
Justo al ser soltado la cantidad de movimiento 
del líquido es cero, pero dt segundos más tarde, 
habrá sido expulsado un elemento de líquido de 
masa dm, que tendrá una velocidad v2 en 
dirección hacia abajo. 
 
En consecuencia: 
 
dp = v2 dm = v2 [ρ dv] = v2 ρ [A2 dy] 
 
dp = v2 ρ A2 [v2 dt] = v22 ρ A2 dt 
 
Esta cantidad de movimiento dirigida hacia 
arriba será la comunicada al tanque, la que debe 
ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre 
él, de modo que : 
 
F dt = v22 ρ A2 dt 
 
de donde : 
F = v22 ρ A2 
 
La velocidad de salida puede calcularse con la 
ecuación de Bernouilli: 
 
P1 + ρ g h1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v22 
 
pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y 
h2 = 0, usándola como referencia : 
 
de aquí : 
 273
( )−
= +
ρ
1 22
2 1
2 P P
v 2gh 
 
por lo que : 
 
( ) −
= ρ + ρ 
1 2
2 1
2 P P
F A 2gh 
 
reemplazando : 
 
( )( )
( )
( )( )
 −
 = +
  
6 62 2,026x10 1,013x10
F 1 2,5 2 980 30
1
 
 
F = 5 212 000 D = 52,12 Newton 
 
Cuando la presión P1 es suficientemente 
grande, este es básicamente el mecanismo de 
propulsión de un cohete