GUIA-8-VIRGINIA-GOMEZ

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GUÍA DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE No 2 
Área: MATEMÁTICAS 
Asignatura: 
MATEMATICA 
Docente: Lisseth Díaz 
 
Periodo: 2° 
Nombre del estudiante: Grado: 8° Fecha delimitación: 
TEMÁTICA GENERAL 
Expresiones algebraicas – triángulos y propiedades – Gráficos de barras compuestas- Probabilidad 
ESTÁNDAR 
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada 
Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos, en la resolución y formulación 
de problemas. 
Reconocer las diferentes maneras de presentar la información puede dar origen a distintas 
interpretaciones. 
Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. 
DBA 
Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba 
conjeturas en diversas situaciones o contextos. 
Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el diseño 
de un objeto 
Interpreta información presentada en tablas de frecuencia y gráficos cuyos datos están agrupados en 
intervalos. 
Hace predicciones sobre la posibilidad de ocurrencia de un evento compuesto e interpreta la predicción 
a partir del uso de propiedades básicas de la probabilidad. 
COMPETENCIAS 
Utilizar adecuadamente las operaciones con expresiones algebraicas, y sus propiedades básicas para 
resolver situaciones problema en distintos contextos. 
Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de 
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes. 
Organiza información en tablas de frecuencia de datos agrupados y hace lecturas a partir de gráficos 
compuestos 
Calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento 
CONTENIDOS 
Teoría de los números - Geometría 
- Expresiones algebraicas - Triángulos 
- Polinomios- Reducción de términos en un polinomio - Propiedades de los triángulos 
- Adición de polinomios - Construcción de triángulos 
- Sustracción de polinomios - Congruencia de triángulos 
- Multiplicación de polinomios - Criterio de congruencia de triángulos 
- Productos notables - Teorema de Pitágoras 
- División de un polinomio entre un monomio - Área de triángulos 
- División de polinomios - Estadística 
- División sintética - Gráfico circula- agrupación de datos 
- Teorema del residuo - Distribución de frecuencias por intervalo- 
Histogramas – Grafico de barras compuesto 
- Cocientes notables - Probabilidad 
CRITERIOS DE EVALUACIÓN 
La conservación de la guía hasta final de periodo 
Actividades grupales e individuales 
Comportamiento en clase 
Compromiso, cumplimiento y entrega de las actividades 
1 
2 
 
 Expresiones algebraicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una 
constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y, 45m En todo término algebraico podemos distinguir: 
Signo, coeficiente numérico y factor literal. 
 
 2. Grado de un término: 
 
- Grado absoluto: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los 
exponentes de su factor literal por ejemplo: 3 es 5. 
- Grado relativo: Mientras que su grado relativo con respecto a x es 2 
 
Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente 
numérico, factor literal y grado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresiones algebraicas: Es la combinación de variables y números mediante las operaciones de 
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación 
Términos semejantes de una expresión algebraica: 
 
Valorar una expresión algebraica 
 
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos 
y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo: 
Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1 
 
 
1. Reemplazar cada variable por el valor asignado. 
2. Calcular las potencias indicadas 
3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones 
4. Realizar las adiciones y sustracciones 
 
 
Veamos el ejemplo propuesto: 
5 y – 8x – 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reducción de Términos semejantes: 
 
Se denominan términos semejantes de 
una expresión algebraica todos aquellos 
términos que tienen igual factor literal. 
Ejemplos: 
 
 En la expresión 5 b + 3abx + 6 – 7 
 b, 5 b es semejante con – 7 b 
 
En la expresión – 8x + 
 
 
 , 
es semejante con 
 
 
 
 
Reducir términos semejantes consiste en 
sumar los coeficientes numéricos, 
conservando el factor literal que les es 
común. 
 
 
 
 
 
1 Reduce 
 
a. 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x = 
 
b. 4,5a – 7b – 1,4 b + 0,6a + 5,3b + b = 
 
c. 
 
 
 – 2mn + 
 
 
 - 
 
 
 mn + 2mn – 2 = 
 
d. 
 
 
 + 31 + 
 
 
 - 
 
 
 - 
 
 
 - 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
Uso de paréntesis:       
 
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar 
paréntesis debes fijarte en el signo que tengan: 
 
 Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él. 
 Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. 
 
 
4 
 
Ejemplos: 
1) 2a   x  a 1 a  x  3 2a  x  a 1  a  x  3  2a  2x  2 
2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )= 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4 
 
Observación: Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a 
eliminar desde el más interior. 
 
 - * ⌊ ( )⌋+ = 
 - * ⌈ ⌉+ = 
 - * + = 
 + = 2 + 4mn + 3 
 
2. Desarrolla en tu cuaderno 
a. -4 – (x – y ) – 5 +( x+ 3y) – 2 -* ⌊ ( )⌋+ = 
b. - * ,( )-+ + * ,( )-+ - ,* ( )+-= 
 
 Polinomios 
 
Es una expresión algebraica formada por sumas o restas entre monomios. Los monomios que 
conforman un polinomio se les llama términos de polinomios. 
 
- Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de 
alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. 
 
- Clasificación según la cantidad de términos. 
 
 Según el número de términos que posea una 
expresión algebraica se denomina: 
 
Monomio: Un término algebraico: ; - 35z 
Binomio: Dos términos algebraicos: x + y; 3 – 5b 
Trinomio: Tres términos algebraicos a + 5b -19 
Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 
6z – 8x2 5. 
 
 
Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones 
algebraicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Adición y sustracción de polinomio 
 
 
 
 
 
 
La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o 
restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en 
vertical y en horizontal o en fila. 
A 
En la figura el área de la zona A es 8xy + 𝑥 - 6𝑦 y la del 
rectángulo B es 𝑥 - 𝑦 + 6 xy 
¡Cual es la expresión que representa el área total del jardín? 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Elimina los paréntesis y halla las sumas de los siguientes polinomios 
a. (2ab + 3 ) + (-11ab - 3 )=_________________________________________________________________ 
b. (3ab + 6b) + (2a + 5b) =________________________________________________________________ 
c. (2m + 5 )+ (6m - 3 )=______________________________________________________________ 
d. (10x + 4 ) + (12x + 4 )=____________________________________________________________ 
2.2 Halla las diferencias 
a. (3x + 4y) – (2x + y)=_____________________________________________________________________ 
b. (10 + 3 )- (7 + 8 )=____________________________________________________________________ 
c. (8a + 9ab)- (6a + 3ab)=_________________________________________________________________ 
d. (6mn + 4 )- (8mn -2 )___________________________________________________________________ 
2.3 Organiza los polinomios en columna luego encuentra cada suma 
a. (6x – 5 ) + (2x + + ) b. (5a+ 8 b + ) + (2a+ 4 b + 6 ) 
c. (4y + 2 + ) + (- 2y + + 6 ) d. (7m - 5 -15 ) + ((2 - 2 +9 ) 
6 
 
 
 
 
1.1 Agrupa términos semejantes y obtén cada suma 
a. (6a + 5b + 3ab) + (4a + 8b -2ab)= 
b. (2x – 3xy + 4 ) + (8x + 3xy - 2 ) 
c. (4m + 6 + ) + (6m - 3 + 5 )= 
d. (5m + 3 + 9 ) + (9m - 4 + 2 )= 
 
1.2 Halla la suma de los siguientes polinomios 
a. (4 yz + 3xy + 8 ) + (6xy - 2 + 6 yz) 
b. (-3 + 5 ab + 3 ) + (6 + 2ab) 
c. (2 + 4 b + ) + (2 + 3a - 2 b - 7 ) 
d. ( - +4 ) + (6 + 2m + 6 - 10 ) 
e. (
 
 
 a + 
 
 
 b - ) + ( 
 
 
 a + 
 
 
 b) 
f. ( 
 
 
 m + 
 
 
 + 
 
 
 )+ ( 
 
 
 - 
 
 
 n+ ) 
g. ( 
 
 
 x + 
 
 
 – 5y + z) + (
 
 
 x + 
 
 
 – 8z) 
h. ( y + 
 
 
 + 5y) + (-x + 
 
 
 y - 
 
 
 + 5y) 
1.3 Realiza las siguientes restas 
a. (6 – 3x + 8) – (8 + 7x + 5) 
b. (-4 – 6 mn - 2) – (-3 + 5mn - 8) 
c. (9y – 7x + 9w) – (3w – 4x + 2z) 
d. (12xyz - 4 yw) – (13xyz - 14 yw) 
e. (5 - 9 ) - (4 - 5 ) 
f. (-6x + 8 ) – ( 
 
 
 - 
 
 
 ) 
g. (6m + 2n -3) – (-5m -2n -4) 
 
1.4 Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q (x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula: 
 
a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x) 
b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x) 
c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x) 
 
 
 
 
7 
 
10 𝑥 𝑦 𝑧 
5 𝑥 𝑦 𝑧 
 
 Multiplicación de polinomios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 (x + 5)(x - 5) 
2.2 (2x + 5)(2x - 5) 
2.3 (5xy - 6)(5xy + 6) 
2.4 (12 + 9ab)(12 – 9ab) 
2.5 (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab) 
2.6 (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2) 
2.7 (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4) 
2.8 (5.32 + 4)(5.32 - 4) 
2.9 [(a+4) - b][(a+4) + b] 
2.10 [(x - y) + z][(x - y) - z] 
2.11 (2c + d + e)(2c + d - e) 
2.12 (a + b + 5)(a + b - 5) 
2.13 (a – b + 5)(a + b + 5) 
2.14 (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab) 
2.15 (10 + 2a + 3b)(10 – 2a - 3b) 
2.16 (3 – x + y)(3 + x + y) 
2.17 (a + b + 7)(a – b + 7) 
2. 18 (-a –b + 7)(a + b + 7) 
2.19 (10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)
En la figura las dimensiones del rectángulo se representan 
por monomios 
5𝑥 𝑦 𝑧 
8 
 
 
 
 
2.1 Halla el producto en cada caso. 
a) (-2x2)(
 
 
 ) 
 
b) (-3m2)(4m3+1) 
 
c) (-5a3)(2 a2-7+3) 
 
d) (-4x)(-w4+3x2w3-xw2+2w-3) 
 
e) (2x+3)(x2-1) 
 
f) (-4x2-7)(-x+5) 
 
g) (2x-y)(3x+y) 
 
h) (x+3)(x-3) 
 
i) √ x2(-5x+2√ x2+√ x3) 
 
j) .
 
 
 / (
 
 
 
 
 
) 
 
k) (−8 ) .
 
 
 / (
 
 
 ) 
 
l) . 
 
 
 / .
 
 
 / 
 
m) ( )( )( ) 
 
2.2 Realizo la multiplicación y escribo el grado 
del polinomio producto, en cada caso. 
 
a) ( )( ) 
 
b) ( )( ) 
 
c) ( )( ) 
 
d) .
 
 
 
 
 
/ (
 
 
 
 
 
 ) 
 
e) ( )( ) 
 
f) (√ 
 
 )(√ 
 
 ) 
 
g) ( )( ) 
 
h) ( )( ) 
 
i) ( )( ) 
 
j) .
 
 
 
 
 
 / ( 6 ) 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Halla, en cada caso, el resultado. 
 
a) (2x-3)(4 ) ( )( ) 
 
b. (2 a+3b)( ) ( )( ) 
b) (3t-1)(t-1)(t+1) 
 
c) ( )( )( ) 
 
 
 
2.4 Si en el ejercicio 3 se dan los siguientes 
valores: a=-2, b=3, t=2, x=-1, halla en cada 
caso el valor del polinomio producto. 
 
2.5 Represento el rectángulo que tiene las 
dimensiones indicadas y halla su área. 
 
a) Largo: 3x+4, ancho: 2x+5 
b) Largo: 4x+3, ancho 3x+1 
c) Largo: 2x+5, ancho: 3x+2 
d) Largo: x+6, ancho: 3x+1 
 
2.6 Hallo una expresión algebraica para 
indicar el área de la región de color blanco en 
cada figura. 
 
9 
 
 PRODUCTOS NOTABLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Cuadrado de un binomio 
 
El cuadrado de un binomio es equivalente al cuadrado del primer término, más (o menos, según la 
operación entre los términos) el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado 
del segundo término. 
 
 
 
 
 
 
- Producto de la suma por la diferencia de dos términos 
 
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es equivalente a la diferencia entre el 
cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término 
 
 
 
 
- Producto de la forma (x +a ) ( x+ b) 
 
El producto de la forma (x + a) (x + b) es equivalente al cuadrado del termino común, más el 
producto de dicho término por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no 
comunes. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
(7m + 1) = (7m) + 2 (7m) (1) + (1) 
 =49𝑚 + 14 m + 1 
(3x – 5y ) = (3x) - 2 (3x) (5y) + (5y) 
 = 9𝑥 – 30xy + 25𝑦 
Ejemplo: 
(7m + 3n) (7m – 3n) = (7m) – (3𝑛) =49 𝑚 - 9𝑛 
 
Ejemplo: 
( y + 8) (Y – 3) = (y) + y (8 – 3) + (8) (-3) 
 = 𝑦 + 5y - 24 
 
10 
 
- Cubo de un binomio 
 
El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, mas (o menos, según la 
operación) el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto 
del primer término, mas (o menos) el cubo del segundo termino 
 
 
 
 
 
 
a. Cuadrado de una suma 
 
 
 
 
 243
222
2
2
83.4
.3
32.2
117.1
ba
byxa
yx
x




 
 
b.- Cuadrado de la diferencia 
 
 
 
 
 225
223
2
2
3.4
53.3
14.2
32.1
ayx
ba
ax
ba




 
 
c.- Producto de la suma por la diferencia 
 
  
  
  
  axax
aa
axax
yxyx
3131.4
2112.3
.2
.1
2222




 
 
 
d.- Producto del cubo de un binomio 
 
11 
 
  
  
  
  129.4
65.3
63.2
95.1
22
33
22




xyxy
abab
nn
aa
 
 
e- CUBO DE UN BINOMIO (SUMA Y DIFERENCIA) 
 
 
 
 3
3
3
3.3
1.2
2.1



m
x
a
 
 
 
 
3.1 Observa el siguiente polinomio: 3x4+2x3+x2-2x4+2x-3x2+2 Si lo simplificamos, ¿qué expresión 
algebraica obtenemos? 
 
a) –x4+2x3+2x2+2x+2 b) 5x4+2x3-2x2-2x+2 
c) -5x4+2x3+2x2-2x+2 c) x4+2x3-2x2+2x+2 
3.2 ¿En cuál de las siguientes operaciones se expresa el cociente de 
3
2
x
x
? 
a) x b) 
x
1
 c) x-5 d) 
5
1
x
 
3.3 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? (2x3+6x2-5x)(4x) 
a) 8x2+24x-20 b) 6x4+10x3-x2 c) 8x4+24x3-20x2 d) 2x7+6x6-5x5 
 
3.4 Lee el siguiente problema: Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos 42 
unidades. ¿Cuál es ese número? ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas expresa el 
problema anterior? 
a) 2x-6=42 b) 2x+6=42 c) 2x+42=6 d)2x-42=6 
3.5 Observa la siguiente figura. ¿En cuál opción se expresa su área? 
 
 
 
 
3.6 En un rectángulo el largo es 3 unidades mayor que su ancho. Si su área es igual a 30, ¿cuál es la 
ecuación que permite calcular los lados del rectángulo? 
 
a) x2+3x-30=0 b) x2+3x+30=0 c) x2-3x-30=0 d) x2-3x+30=0 
 
3.7 El áreade un rectángulo es de 4x2+6x. Si el ancho mide 2x, ¿cuál de las siguientes expresiones 
representa la medida de su largo? 
 
a) 8x3+12x2 b) 4x2+8x c) 2x2+3x d) 2x+3 
12 
 
3.8 Al identificar, agrupar y simplificar los términos semejantes que aparecen en el siguiente 
recuadro, ¿cuál es la expresión resultante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Juan tiene “x” cantidad de canicas y Abraham tiene 4 canicas menos que Juan. El cuadrado 
del número de canicas de Juan más el cuadrado de número de canicas de Abraham es 328. ¿Cuál 
de las siguientes ecuaciones modela la situación anterior? 
 
a) x2+(x-4)2=328 b) x2-(x-4)2=328 c) x2+(x+4)2=328 d) x2(x-4)2=328 
 
 
 
 
3.10 Observa la siguiente figura. Si queremos encontrar el valor de 
x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos de 
resolver? 
a)4x2+12x-10=0 
b) 4x2+12x+5=0 
c) 4x2+12x+10=0 
d) 4x2+12x=0 
 
3.11 Observa la siguiente figura construida a partir de rectángulos y 
cuadrados. ¿Cuál es la representación del área del cuadrado ABCD? 
a) (x+5)2 c) (x+5)(x-5) 
b) b) x2+5x+25 d) x2+52 
 
 
 
3.12 El largo de una cancha de futbol es 45 metros más grande que su ancho. Si el área es de 4050 
m2, ¿cuál es la ecuación que permite calcular los lados del rectángulo? 
 
a) X2-45x-4050=0 b) x2 +45x+4050=0 c) x2 -45+4050=0 d) x2+45x-4050=0 
 
 
 
3.13 Observe la siguiente figura. Si queremos calcular 
numéricamente el área total del triángulo rectángulo, ¿cuál de las 
siguientes ecuaciones debemos de resolver? 
 
a) 8x2+8x+2=0 c) 4x2+4x+1=0 
b) 8x2+4x+2=0 d) 4x2+4x+2=0 
 
 
 
3.14 Juan tiene un terreno cuadrado de lados a y planea construir una 
casa utilizando el terreno de lados b, como se muestra en la siguiente 
figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que denota el área del terreno 
sobrante? 
a) a2-b2 
b) a2-2ab2-b2 
c) a2+2ab2+b2 
13 
 
d) a2+b2 
 
 
3.15 Ricardo compró un terreno rectangular de 64 u2. Él quiere 
saber el largo y el ancho del mismo. Ayúdale a descubrirlo 
indicando cuál es la ecuación que tiene que resolver para 
encontrar los datos. 
 
a) x2+4x-64=0 c) 2x+4=64 
b) x2-4x-64=0 d) 
 
 
 6 
 
3.16 Observa el rectángulo de la siguiente figura. Si el valor del área 
es 6x2-7x-5, ¿cuánto vale la altura? 
 
a) 26 u c) 7.5 u 
b) 
 
 
 d) -7.5 u 
 
 
3.17 La diferencia 5502-4502, ¿a cuál de las siguientes expresiones aritméticas es equivalente? 
 
a) (550-450)2 b) (550+450)(550-450) c) 550-2(550)(450)+450 d) (550-450)(550-450) 
 
3. 18 A Pedro su amigo le vendió un terreno como el que se muestra a 
continuación. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones le dará el valor de las 
dimensiones del terreno al resolverla? 
 
a) x2+20x+8000=0 
b) x2-60x-8000=0 
c) x2+60x+88000=0 
d) x2+60x-7200=0 
 
 
3.19 Observa la siguiente figura. Si el área sombreada está dada por la 
expresión x2-16, ¿cuál de las siguientes opciones presenta la factorización 
correcta de esta expresión? 
a) (x+4)(x-4) c) (4-x)(4+x) 
b) (x-4)(x-4) d) (4+x)(4+x) 
 
 
 
3.20 Doña Sofía compró un pequeño terreno cuadrado, el cual utilizó para sembrar algunas semillas 
como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el 
área que ocupa todo el terreno de Doña Sofía? 
 
a) x2+30 
b) x2 -225 
c) x2+30x+225 
d) x2-30x+225 
 
 
 
3.21 Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja 
de papel. ¿Qué expresión ha sido cubierta por la mancha? 
 
a) x+3 c) x+5 
b) x-3 d) x-5 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 División de un polinomio entre un monomio 
 
Es una operación que tiene por objeto, dado 
el producto de dos factores (dividendo) y uno 
de los factores (divisor), hallar el otro factor. 
Para efectuar divisiones es importante 
recordar: 
1. Ley se signos. - 
 
2. Ley de exponentes. 
 
3. Ley de coeficientes. 
a) División de monomios. 
 
Para dividir monomios, se dividen los coeficientes entre si y se 
simplifica la parte literal, para ello, se aplica la propiedad de 
potenciación del cociente de potencias de igual base. 
 
 b) División de polinomio entre monomio. 
 
Se divide cada uno de los términos del polinomio entre 
el monomio separando los cocientes parciales con sus 
propios signos. 
 
 
c) División de polinomio entre polinomio. 
 
Para dividir un polinomio por otro polinomio, se procede de la siguiente manera. 
 
1. Se ordenan los términos de 
ambos polinomios según las 
potencias descendientes de 
una de las letras comunes a los 
dos polinomios (en el caso de 
que el dividendo sea un 
polinomio incompleto, se dejan 
los espacios del término que 
falta). 
 
2. Se divide el primer término 
del polinomio dividiendo por el 
primer término del polinomio 
divisor, con lo que se obtiene el 
primer término del cociente. 
 
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo. Si el grado de 
esta diferencia es menor que el grado del divisor, esta diferencia es el resto de la división. 
 
4. Se repite el proceso anterior hasta obtener un resto igual a cero o de grado menor que el divisor. 
 
 
 
5.1 Desarrolla en tu cuaderno 
 
15 
 
a. 
 
 
 = b. 
 
 
 = c. 
 
 
 = d. 
 
 
 = e. 
 
 
 = f. 
 
 
 = 
g. 
 
 
 = h. 
 
 
 = i. 
 
 
 j. 
 
 
 = k. 
 
 
 l. 
 
 
 
5.2 Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios. 
 
a. 

a
aba 2
 
 
b. 


a
baaba
2
653 3223
 
 
c. 

a
abbaa
3
963 223
 
 
d. 


m
mnnmm
2
2086 223
 
 
e. 

2
34
7
1428
x
xx
 
 
f. 

2
23
10
10520
x
xxx
 
 
g. 

5
510 yx
 
 
h. 


2
23
4
16328
y
yyy
 
 
i. 

1
2
6
810
x
xx
 
 
 
j. 



2
23
5
1015
x
xx
 
 
 
5. 3 Divide los siguientes polinomios 
 
a. Dividir x2 + 2x – 3 entre x + 3 
 
b. Dividir x2 – 20 + x entre x + 5 
 
c. Dividir m2 – 11m + 30 entre m – 6 
 
d. Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 División sintética 
 
Es un procedimiento abreviado 
que se aplica en la division de 
polinomios cuando el divisor es de 
la forma 
( x + a). 
Los pasos para obtener el cociente 
 
( + 3x + 8 ) ÷ ( x + 2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Teorema del residuo 
 
El residuo de dividir un polinomio entre un divisor de la forma x + a es equivalente al valor 
que se obtiene reemplazando el valor x = -a en el polinomio 
 
Ejemplo 
 
En la operación 
 
(2 + 3x + 4) ÷ (x +2) 
 
Se reemplaza x por -2, así: 
2 (-2) + 3 (-2) + 4 
= 8 - 6 +4 
= 6 es el resultado de la división 
 
 
 
 
Determina si cada división es exacta o no. 
a. (3 - 3m + 2) ÷ (m + 1) 
b. (4 – 6b + 8) ÷ (b – 2) 
c. (3 + 2 + 4a – 5) ÷ (a -3) 
d. (4 + 5 + 6) ÷ (a + 3) 
e. (5 – 2 + 8) ÷ (b + 2) 
f. (3 – 8 + 5 + 4) ÷ (n + 4) 
e. ( – 1 ) ÷ (x - 1) 
g. ( +a +14) ÷ (a + 2) 
 
 
17 
 
 
 Cocientes notables 
 
Los cocientes Notables son ciertos cocientes 
que obedecen a reglas fijas y que pueden ser 
escritas por simple Inspección. Los más 
importantes son: 
1. Cociente de la Diferencia de los 
Cuadrados de dos cantidades entre la 
suma de las cantidades 
 
 
 
Al realizar la Respectiva División de 
Polinomios, encontramos que el Cociente 
de dicha División es: 
es 
 
 
 
Ejemplo 1. Dividir entre 
 
 
Solución 
2. Cociente de la Diferencia de los 
Cuadrados de dos cantidades entre la 
Diferencia de las cantidades 
 
 
Al realizar la Respectiva División de Polinomios, 
encontramos que el Cociente de dicha 
División es a + b 
 
 
 
 
3. Cociente de la Suma de los cubos de dos 
cantidades, entre La suma de las cantidades 
Ejemplo 2. Dividirentre 
 
 
Solución 
 
 
 
 
Al realizar la Respectiva División de Polinomios, 
encontramos que el Cociente de dicha 
División es 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 Dividir entre 
 
Solución 
 
 
4. Cociente de la Diferencia de los cubos de 
dos cantidades, entre la Diferencia de las 
cantidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4. Dividir entre 1- 4a 
 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ba
ba

 22
ba
ba
ba


 22
229 yx 
yx
yx
yx



3
3
9 22
yx 3
ba
ba

 22
ba
ba
ba


 22
2
2
4
1
1
1
x
x
x



41 x 21 x
22
33
baba
ba
ba



338 yx  yx 2
22
22
33
24
)(2)2(
2
8
yxyx
yyxx
yx
yx




ba
ba

 33
22
33
baba
ba
ba



3641 a
2
3
1641
41
641
aa
a
a



ba
ba

 33
18 
 
 
 
 
 
1 2. 3. 4. 
 
 
 
5. 6. 7. 
 
 
 
8. 9. 10. 
 
 
11. 12. 13. 
 
 
 
14. 15. 16. 
 
 
 
17. 18. 19. 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
a


1
1 3
a
a


1
1 3
yx
yx

 33
12
18 3


a
a
yx
yx
32
278 33


nm
nm
532
12527 33


74
34364 3


a
a
y
y
56
125216 3


ab
ba


1
1 33
b
b
89
512729 3


bax
bxa

 333
mxn
xmn

 333
yx
yx
3
27
2
3
6


33
99
2
8
ya
ya


4
12
1
1
x
x

 5
15
75
343125
x
x


1
1
2
6


n
n
13
127
2
6


x
x
3
93
4
64
ba
ba


22
66
ba
ba


19 
 
 
GEOMETRIA 
 Triángulos 
 
El triángulo es el conjunto formado por tres 
segmentos que unen, respectivamente, tres 
puntos no colineales. Estos dividen el plano 
en tres subconjuntos: el interior del triángulo, 
el exterior del triángulo y el mismo triangulo. 
 
 
 
1.1 Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados 
 
1.2 Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos 
 
1.3 Identifica los elementos pedidos en cada uno de los triángulos 
 
 
 
1.4 Relaciona cada triangulo con su clasificación 
 
 
20 
 
 
 1.5 Julián diseño una cometa 
como la de la ilustración 
a. ¿Cuántos triángulos se 
distinguen en el diseño ¿Cuáles 
Son? 
b. Qué clase de triángulo es el 
que determina los puntos A, B, y 
D? 
c. Julián afirma que en su cometa los puntos A, B y c 
determina los vértices de un triángulo ¿Es cierta esta 
afirmación? Explica. 
 
 
 
 
 Propiedades de los triángulos 
 
“En todo triángulo la suma de las medidas 
de dos de sus lados es siempre mayor que la 
medida del tercero” Por lo tanto, dicho 
triangulo existe. 
 
 
 
 
 
 
1 Encuentra el valor de la incógnita en cada triángulo 
 
 
 
 
 
2. Escribe verdadero (v) o falso (F), según corresponda en cada caso. 
a. En el triángulo formado por los segmentos a = 3 cm, b= 4 cm y c = 5 cm, el ángulo con mayor 
apertura es el opuesto al lado b 
b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8cm, 3 cm y 7 cm. 
c. En un triángulo, los ángulos interiores pueden medir 45°, 32° y 50° 
d. Los ángulos exteriores de un triángulo cuyos ángulos internos miden 60°, 50° y 70°, son 120°, 130° y 
110° respectivamente. 
e. Es posible construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 11 cm y 6 cm. 
21 
 
3. Selecciona un trío de segmentos con los cuales sea posible formar un triángulo en cada caso 
 
3. Lee la información y luego, resuelve. 4. Encuentra los elementos desconocidos en 
 cada triangulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Pablo desea comprar enchapes de forma triangular para su cocina. Para esto, en el almacén le 
han mostrado un catálogo con los siguientes modelos 
 
a. Si en la primera tableta, uno de los 
ángulos congruentes mide 73° ¿Cuánto 
miden los otros dos? 
b. Pablo se ha percatado de que el 
catalogo tiene un error ¿de qué se trata? 
Explica 
c. Explica a qué se debe que el ángulo de 
mayor amplitud en la tableta roja sea el 
A 
 
 
 
22 
 
 
 Construcción de triángulos 
 
Con regla y compas puede construirse diferentes triángulos conociendo algunos de 
sus elementos 
 
1. Cuando se conocen sus tres lados: Teniendo esta opción se pueden construir 
triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. Así para construir un triángulo escaleno 
de medidas d = 3, e= 2 cm y f = 4 cm se realizan las siguientes instrucciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Cuando se conoce un lado y los ángulos adyacentes 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para esta actividad procura utilizar hojas milimetradas, regla compás y / o transportador) 
Construye los siguientes triángulos, usando los materiales necesarios: (Regla, Compás y/o 
Transportador) 
 ABC, donde a = 3 cm, = 60º, b = 3 cm 
 ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm 
 ABC, donde = 60º, c = 7 cm, = 60º 
 ABC, donde c = 3 cm, b = 90º, a = 3 cm 
 ABC, donde c = 4 cm, b = 5 cm, c = 4 cm 
 ABC, donde = 25º, c = 3 cm, = 25º 
 ABC, donde a = 3 cm, = 45º, b = 4 cm 
 ABC, donde a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm 
 ABC, donde = 20º, c = 4 cm, = 110º 
 Líneas notables en el triángulo 
Altura: Es el segmento perpendicular desde uno de los vértices hasta el lado opuesto. 
 
Bisectriz de un ángulo: Es una semirrecta que tiene el mismo origen del ángulo (Vértice) y que divide 
a este en 2 ángulos congruentes. Los bisectrices se interceptan en un punto llamado Incentro. 
24 
 
 
 
 
1. Traza en cada uno de los siguientes triángulos, las alturas, medianas y bisectrices, señala el 
ortocentro, el baricentro y el incentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Traza el triángulo y las líneas notables que se indican en cada caso 
 a. b. c. 
 
 
 
 
 
 
 
Encuentra los puntos solicitados en los triángulos dados. 
Un triángulo equilátero, y 
respecto a un mismo lado, 
la mediana, la altura y la 
mediatriz. 
Un triángulo rectángulo y la 
mediatriz de la hipotenusa 
Un triángulo obtusángulo y 
las alturas respecto a los 
lados opuestos de los 
ángulos agudos. 
25 
 
La siguiente es la estructura de cierta ala Delta, la cual está diseñada con base en dos triángulos y 
varios tubos transversales más livianos, dispuestos de forma que determinan líneas notables en 
dichos triángulos. 
a. ¿Cuál es la línea notable determinada por el tubo rojo? 
b. ¿Cuál es la línea notable que representa el tubo azul? 
c. Si se ponen tubos determinando las alturas de los triángulos ABD Y CBD, ¿Todos estarán dentro de 
la estructura? Explica 
 Congruencia de triángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Al trazar una diagonal en cierto tipo de cuadriláteros, se generan dos triángulos congruentes 
 
 
 
 
 
 
Algunas estructuras de torres de comunicación están compuestas por figuras triangulares 
26 
 
 
5.2 Traza cualquier diagonal a cada uno de 
los siguientes cuadriláteros, e identifica e 
identifica en cuales se generan dos triángulos 
congruentes. 
 
 
 
 
5.3 ¿Para qué tipo de cuadriláteros se cumple 
esta propiedad? Explica 
5.4 En los movimientos realizados sobre la 
figura se cometieron algunoserrores. Usa el 
compás y el transportador para verificar 
cuales de los triángulos son congruentes con el 
original. 
 
 
5.5 Traslada el triángulo ABC, 5 unidades hacia 
la derecha. Luego, reflejo sobre la recta I. 
 
 
 
 
5.6 Dados los siguientes triángulos, determina 
cuáles son congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
a. Solo I y II 
b. Solo I y III 
c. Solo II y III 
d. I, II y III 
e. Ninguno 
 
5.7 Un alumno para 
demostrar en el cuadrado 
de la figura que ∆ ABC ∆ 
BCD, determino que AB 
BD, que AC DC y que el 
 CAB BDC, por ser 
rectos. ¿Qué criterio de 
congruencia utilizó? 
 
a. LLL 
b. LAL 
c. ALA 
d. AAL 
e. LLA 
 
5.8 ¿Qué parejas de triángulos son 
congruentes? 
 
 
 
 
 
 
 
a. Solo II 
b. Solo I y II 
c. Solo I y III 
d. Solo II y III 
e. I, II y III 
 
 
 
 
 
27 
 
Justifica 
 
5.9 En los triángulos siguientes se verifica que 
AB DE, que BC EF y que el CAB FDE. 
¿Qué criterio permite demostrar que estos 
triángulos son congruentes? 
 
 
a. LLL 
b. LAL 
c. ALA 
d. LLA 
e. Falta información. 
 
5.10 Los triángulos de la figura, son 
congruentes según el criterio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. LAL 
b. LLA 
c. ALA 
d. LLL 
e. AAA 
 
5. 11 En la figura, el ∆ ABC ∆ DEF, entonces 
se verifica 
 
 
 
a. AB DE 
b. AB FE 
c. AC FE 
d. AC DF 
e. AF FD 
 
5. 12 Para demostrar que los triángulos AOB Y 
COD de la figura, son congruentes, es 
necesario saber que: 
 
 
 
 
 
 
a. BAO DCO 
b. AB // CD 
c. AO DO y AB CD 
d. AB DC 
e. BO CO y AO DO 
 
 
 
5.13 Marca la alternativa de la proposición 
verdadera. 
 
a. Dos triángulos rectángulos son congruentes 
si sus ángulos agudos respectivos son 
congruentes. 
b. Dos triángulos son congruentes si sus lados 
homólogos miden lo mismo. 
c. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos 
respectivos son iguales. 
d. Para demostrar que dos triángulos son 
congruentes se puede utilizar el criterio AAL 
e. Todos los triángulos equiláteros son iguales. 
 
5.14 Los triángulos ABC y DEF de la figura son 
congruentes, entonces la medida de EF es: 
 
 
 
 
 
 
 
a.9 
b.15 
c.17 
d.40 
e. Falta información 
 
 
5.15 En la figura, ABCD es rectángulo y el 
 DEA CFB. ¿Qué criterio permite 
demostrar que el ∆EAD FBC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. LLL 
b. LLA 
c. ALA 
d. LLA 
e. Falta información 
 
5.16 En el triángulo ABC informa isósceles, ̅̅ ̅̅ 
 ̅̅ ̅̅ y ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . Se puede probar que ∆ ADC 
∆ BEC por el criterio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. LLL 
b. LAL 
c. ALA 
d. LLA 
e. B o C 
28 
 
ESTADISTICA 
 
REPRESENTACION GRAFICA DE LA INFORMACIÓN 
 
Diagrama circular: Presenta las categorías de la variable 
en un círculo. Por lo general muestra los porcentajes de 
cada categoría. Para determinar la parte del círculo o el 
ángulo que corresponde a cada categoría se multiplica 
la frecuencia relativa por 36 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta las tablas de frecuencias elaboradas en clase presenta de forma gráfica 
(Diagrama Circular y de barras) la información organizada en la tabla de frecuencias. 
 
 
 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS CON INTERVALOS 
 
En algunas situaciones los datos recogidos presentan frecuencias muy pequeñas entonces es útil 
construir una distribución de frecuencias que permita agrupar los datos por intervalos que tengan la 
misma longitud.} 
 
Ejemplo 
 
Un nadador de 200 metros registra el tiempo de sus ultimos 14 entrenamientos los resultados en 
segundos son 
 
125 120 130 135 125 115 116 122 117 115 132 121 133 119 
 
Para construir la distribución de frecuencias con intervalos se realiza el siguiente procedimiento. 
 
 
1. Se encuentra la longitud de distribución que recibe el nombre de rango R y se calcula 
restando del dato mayor, el dato menor R = 135 – 115 = 20 
 
2. Se determina el enumero de intervalos que va a tener la tabla. Este criterio puede ser definido 
por la persona que realiza el estudio, pero una buena aproximación es la raíz cuadrada del 
total de datos n y aproximar su resultado al entero más cercano. 
 
3. Como n = 14, √ = 3,74 4, El número de intervalo es 4 
 
4. Se halla la longitud de cada intervalo realizando el cociente entre el rango y el número de 
intervalos, es decir 
 
 
 =
 
 
 5 
 
5. Finalmente se realiza la tabla de distribución de frecuencia. En esta tabla la primera columna 
corresponde a los intervalos. Estos intervalos tienen un límite inferior cerrado [115 -120) es 
decir toma el dato 115 y un límite superior abierto donde no se toma el 120, excepto en el 
último intervalo donde ambos límites son cerrados 
 
6. En el primer intervalo el límite inferior es el dato menor de la muestra 115 y el límite superior 120 
resulta de sumar el límite inferior con la longitud de cada intervalo (115 +5) 
 
7. Para el segundo intervalo se inicia con el límite superior del primer intervalo, y el límite superior 
se obtiene sumando el límite inferior con la longitud del intervalo. Se sigue el mismo 
procedimiento hasta el último intervalo donde el límite superior es cerrado y coincide con el 
dato más grande de la muestra. 
 
8. La frecuencia fr, % F Y Fr se calculan de la misma forma como una distribución de 
frecuencias sin intervalos 
 
9. La marca de clase m es el punto medio del intervalo, es decir, es el punto que representa 
todos los datos que pertenecen al intervalo. 
10. Se calcula m=
 
 
 para el segundo intervalo m=
 
 
 Entonces la 
tabla de distribución de frecuencias es: 
29 
 
 
 
Tiempo(s) f fr F Fr % m 
[115 – 120) 5 
[120 - 125) 3 122,5 
[125 - 130) 2 
[130– 135] 4 
Total n = 14 1 100% 
 
- Histogramas y polígonos de frecuencia 
 
Son gráficos usados para la distribución de frecuencias 
con intervalos. En el eje horizontal del histograma se 
ubican los límites de los intervalos teniendo en cuenta que 
el límite superior se escribe solo una vez y los rectángulos 
que los componen van unidos del límite a límite. 
 
 
 
 
Los siguientes datos representan el número de horas que ven televisión, durante el fin de semana, 16 
niños de primaria: 5, 5, 13, 8,13, 8, 13, 20,15,15,15,10,15, 7, 10, 10 
 
-Elabora una tabla de frecuencias sin intervalos y una tabla de frecuencias con intervalos. Luego 
obtener conclusiones de cada uno de ellos y realizar el histograma. 
 
 GRAFICO DE BARRAS COMPUESTO 
 
Las gráficas de barras compuestas muestra la relación de varios elementos en distintos momentos. 
Cada barra representa el 100% de los individuos de cada clase y se divide proporcionalmente, en 
los porcentajes del otro criterio de clasificación. En estas gráficas se pueden dibujar horizontal o 
vertical, y se utilizan sombreados, colores o patrones para distinguir los segmentos. 
 
 
ALUMNOS MATRICULADOS EN LA ESCUELA (2007-2011) 
Años Preescolar Primaria Total 
2010 121 138 259 
2011 110 143 253 
2012 115 125 240 
2013 128 119 247 
2014 103 111 214 
 
 PREESCOLAR PRIMARIA 
 2010 121 /259 = 0,467 x 100 = 46,7% 2010 138 /259 = 0,532 x 100 = 53,2% 
 2011 110 /253 = 0,439 x 100 = 43,4% 2011 143 /253 = 0,565 x 100 = 56,5% 
 2012 115 /240 = 0,479 x 100 = 47,9% 2012 125 /240 = 0,520 x 100 = 52,08% 
 2013 128 /247 = 0,518 x 100 = 51,8% 2013 119 /247 = 0,481 x 100 = 48,17% 
 2014 103 /214 = 0,481 x 100 = 48,1% 2014 111 /214 = 0,518 x 100 = 51,8% 
 
 
 
 
30 
 
 
ALUMNOS MATRICULADOS 
 PREES. PRIMARIA TOTAL % 
2010 46,7% 53,2% 
 
99.9% 
2011 43,4% 56,5%99,9% 
2012 47,9% 52,08% 
 
99,9% 
2013 51,8% 48,17% 
 
99,9% 
2014 48,1% 51,8% 
 
99,9% 
 
 
 
Elabora el grafico de barras compuesto a partir de la siguiente tabla, la cual contiene información 
sobre la cantidad de madres comunitarias en la ciudad de ciénaga y santa marta. 
 
MADREC OMUNITARIAS DE SANTA MARTA Y CIÉNAGA 
Años Santa Marta Ciénaga Total 
2011 290 265 
2012 290 296 
2013 322 320 
2014 339 328 
2015 354 338 
2016 362 346 
 
 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN GRAFICA 
 
Se entrevistó a un grupo de personas y con los datos recogidos se 
elaboró la siguiente grafica 
 
En la gráfica se puede deducir que la mayoría de las persona 
duermen 6h y que el promedio de horas de sueño estaría 
alrededor de las 5h, exponiendo así, según el estudio, la mayoría 
de ellas sufran molestias o trastornos. Con estos datos se puede 
organizar una campaña para mejorar su calidad de vida. 
 
En el caso dado, los estudios han comprobado que existe una 
estrecha relación entre las horas de sueño que una persona 
logra conciliar durante la noche con su estado de ánimo y nivel 
de rendimiento intelectual a lo largo del dia; en otras palabras, si 
el periodo de descanso nocturno es demasiado breve y no 
alcanza 7 a 8 horas diarias como promedio una persona puede 
exponerse a varios trastornos. 
 
 
 
 
Analiza la información y luego contesta. 
 
Un colegio desea saber cuál es el riego que tienen los estudiantes de 15 
a 18 años, con una estatura promedio de 1,60 m, de sufrir sobrepeso 
(Mayor que 55 kg); para ello, se les pregunto por su peso y la 
información recogida fue la siguiente. 
 
¿Cuántos estudiantes se analizaron? 
 
¿Tienen riesgo de sufrir sobre peso estos estudiantes? 
 
¿Qué decisión tomarías, de acuerdo con estos resultados, sobre la 
 
31 
 
 
¿Cuántos estudiantes sufren de sobrepeso? 
 
¿Si la dieta del almuerzo de los estudiantes continua igual, ¿Aquellos que actualmente sufren sobre 
peso están exentos de sufrirlo? 
 
 ¿En el grupo de encuestado hay más estudiantes normales o con sobrepeso? 
 
 
 PROBABILIDAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea E el experimento “Sacar una carta al azar de la bajara francesa” y A , el evento “as” 
 
Puesto que E tiene 52 resultados posibles y A tiene cuatro resultados favorables, la probabilidad del 
evento A es: 
 
P(A) = 
 
 
 = 0,0 77 -- Aproximación a las milésimas 
 
 
 
 
 
 
5.1 Considera el experimento de sacar a balota al azar, de la urna que se muestra a continuación, 
luego completa la tabla. 
 
5.2 Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul 
(A), y una gran caja vacía. Echamos en la caja 1 R, 50 V y 200 A. Removemos y extraemos una al 
azar. Asocia con flechas: 
 
P [R] Imposible 
P [V] Muy poco probable 
P [A] Poco probable 
P [N] Muy probable 
 
5.3 Razona de cuál de las bolsas siguientes es más probable sacar bola roja: 
 
I. Roja, roja, azul y azul. 
II. Roja, roja, roja, azul y azul. 
III. Roja, roja, roja, roja, roja, azul, azul y azul 
 
 
 
 
 
5.4 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos 
el número obtenido. 
 
a) ¿Cuál es el espacio muestral? 
b) Escribe los sucesos: 
 
A= “Menos de 5”:____________________________ 
B= “Más de 4”
:______________________________ 
C = “Número par”:___________________________ 
D = “No múltiplo de 3”:_______________________ 
 
5.6 Halla la probabilidad de obtener un 2 y la probabilidad de obtener un 5, al lanzar un dado 
correcto en cada uno de estos casos: 
 
La baraja francesa consta de un conjunto de 52 cartas, 
compuesto de cuatro palos (Cuatro grupos de cartas de una 
misma figura). En cada palo hay un as (A) y cartas del dos al diez, 
además de o Q y un valet o J. 
32 
 
5.7 Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos 
caras? ¿Y la de obtener al menos dos caras? 
 
5.8 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada 
color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el 
color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. Durante unos días hacemos 1 000 
veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos 
obtenido estos resultados: 
 
 ¿Cuántas bolas hay de cada color? 
 
7. Responde verdadero o falso a estas afirmaciones: 
 
a) La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. 
_____ 
b) Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5. 
____ 
c) Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1. 
____ 
d) Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es más 
probable que salga CRUZ. 
____