Clase-2-matematica-Módulo-5

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CLASE 2 – MÓDULO V 
En esta clase nos proponemos conocer las expresiones algebraicas que 
llamamos polinomios. Reconocer sus elementos, obtener el valor 
numérico de un polinomio y aprender a realizar sumas y restas con ellos. 
 
¿Cómo citar esta clase? 
Programa Oportunid@des, Dirección de Educación de Jóvenes y Adultos, 
Consejo General de Educación de Entre Ríos, 2018. Matemática, Clase 2, 
Módulo V. 
 
 
 
2 
 
 
 
 
La manera de comunicar matemática es a través de un lenguaje particular que 
incluye símbolos, signos y gráficos. Los símbolos son los números y algunas 
letras y los signos establecen relaciones entre los símbolos. Por ejemplo 𝞹, el 
número 2, la letra x, entre otros, son símbolos, y son signos >; √ , +; ≠;… 
Esta forma de expresión comenzó a desarrollarse con el fin de poder escribir 
en pocas líneas lo que en el lenguaje corriente llevaría mucho más espacio. La 
expresión 2x+1 en el lenguaje corriente sería algo así:” dos veces alguna cosa 
más uno” o x2+y3, “la suma entre un número elevado al cuadrado y otro 
número elevado al cubo” 
Como en cualquier lenguaje, existen reglas para poder expresarnos. Esas 
reglas las vamos aprendiendo durante cada clase de matemática, pero en esta 
clase las estudiaremos en forma especial. 
Trabajaremos con un tipo de expresiones algebraicas, que reciben el 
nombre de polinomios. 
Los polinomios tienen muchas aplicaciones en diversas ramas de la ciencia, 
como la física, la medicina, la meteorología, la ingeniería, entre otras. 
Por ejemplo: 
En una empresa que se dedica a la instalación de piletas de natación han 
hallado la manera de determinar el costo de una pileta usando la siguiente 
“fórmula polinómica”, en ella la variable x expresa el ancho de la pileta. 
𝑃(𝑥) = 50𝑥3 + 375𝑥2 + 280𝑥 + 100 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS 
 
 
3 
Donde: 
 50𝑥3 representa el costo de excavación y colocación. 
 375𝑥2, el costo de materiales. 
 280𝑥, el costo de soldadura. 
 Y 100 es el costo de traslado. 
Los polinomios están formados por: 
 números a los que llamaremos coeficientes. 
 letras que serán las variables. 
 y los signos que representan a la suma, multiplicación y 
potenciación con números naturales como exponentes. 
Aprenderemos a resolver operaciones como la suma, multiplicación, división, 
donde las cosas que se suman, multiplican o dividen son polinomios. 
Es decir, las mismas operaciones que hasta ahora hacíamos con números las 
haremos con polinomios. 
Ya hablamos bastante de ellos, pero aún no los hemos presentado: 
Señoras y Señores…, con ustedes..., ¡un POLINOMIO! 
𝑷(𝒎; 𝒑; 𝒒) = 𝟐. 𝒎 + 𝟓. 𝒑𝟐 −
𝟒
𝟑
. 𝒒𝟓 
Aquí vemos: 
 los coeficientes 𝟐; 𝟓; −𝟒/𝟑 
 las variables 𝐦; 𝐩; 𝐪 
 y los signos que indican las operaciones entre variables y coeficientes. 
 
Los polinomios se designan con letras mayúsculas agregando entre paréntesis 
la variable. Ejemplos: 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 7𝑥3 − 4𝑥 
 
 
4 
𝑄(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥3 −
3
7
 𝑥2 − 8 
Son don polinomios de variable 𝑥. 
Los polinomios se clasifican según el número de términos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También es importante conocer el grado de un polinomio: el grado está 
determinado por el mayor exponente de la variable. 
𝑃(𝑥) = 3𝑥 −
2
3
𝑥3 es un polinomio de tercer grado porque el mayor exponente 
de x es 3. Se escribe: 𝐺𝑟(𝑃(𝑥)) = 3 
𝑄(𝑥) = 𝑥5+7𝑥3 − 4𝑥 es un polinomio de quinto grado porque el mayor 
exponente de x es 5. Se escribe: 𝐺𝑟(𝑄(𝑥)) = 5 
El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado. 
El coeficiente principal de 𝑃(𝑥) = 3𝑥 −
2
3
𝑥3 es −
2
3
. 
El coeficiente principal de 𝑄(𝑥) = 𝑥6+2𝑥3-
3
7
𝑥2-8 es 1. El coeficiente 1 no se 
escribe. 
• un solo término
• 2x; 3x2; -
2
5
𝑥4
Monomios
• dos términos
• 3𝑥 −
2
3
𝑥3Binomios 
• tres términos
• 𝑥5+7𝑥3 − 4𝑥
Trinomios
• cuatro términos
• 𝑥6+2𝑥3 −
3
7
𝑥2 −8
Cuatrinomios
 
 
5 
El término independiente no tiene variable. 
El término independiente de 𝑅(𝑥) = 𝑥6+2𝑥3-
3
7
𝑥2-8 es -8. 
El término independiente de 𝑄(𝑥) = 3𝑥 −
2
3
𝑥3 es 0. El término independiente 
0 no se escribe. 
Si un polinomio no tiene todas las potencias de la variable, se dice que es un 
polinomio incompleto. 
El polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥5+7𝑥3 − 4𝑥 está incompleto, para completarlo 
agregamos las potencias de x que faltan con coeficiente cero. 
El polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥5+0𝑥4 +7𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0 está completo. 
Un polinomio está ordenado cuando las potencias de la variable están 
ubicadas en orden. 
𝑄(𝑥) = 𝑥5+0𝑥4 +7𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0 es un polinomio ordenado en forma 
decreciente. 
 
Mira este video para repasar el tema. Control clic sobre la imagen 
 
 
 
 
https://youtu.be/f5iwj1ZEFDI
 
 
6 
ACTIVIDAD 1 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
Completa los siguientes cuadros teniendo en cuenta lo anterior: 
Polinomio 
𝑄(𝑥) = −2𝑥4 +
4
3
𝑥2 + 9 
Clasificación 
Completo y ordenado 
Grado de 𝑄(𝑥) 
Coeficiente principal 
Término independiente 
 
Polinomio 𝑅(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥3 + 7𝑥 −
1
3
 
Clasificación 
Completo y ordenado 
Grado de 𝑅(𝑥) 
Coeficiente principal 
Término independiente 
 
Polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 1 
Clasificación 
Completo y ordenado 
Grado de 𝑃(𝑥) = 
Coeficiente principal 
Término independiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
En el ejemplo de la semana anterior, x es la variable del polinomio y 
representa el ancho de la pileta medido en metros. Es decir, si reemplazamos x 
por algún valor posible para el ancho de la pileta, obtendremos el costo de su 
instalación. 
𝑃(𝑥) = 50𝑥3 + 375𝑥2 + 320𝑥 + 100 
Para una pileta de 4m de ancho, resulta: 
𝑃(4) = 50. 43 + 375. 42 + 320.4 + 100 = 
𝑃(4) = 50.64 + 375.16 + 320.4 + 100 = 
𝑃(4) = 3200 + 6000 + 1280 + 100 = 
𝑃(4) = 10580 es el costo de instalar una pileta 
de 4m de ancho. 
Se lee “P de 4 es igual a 10580” 
 
 
Otro ejemplo: 
Hallemos el valor numérico para x= -3 en 𝑄(𝑥) = 3𝑥 −
2
3
𝑥3 
𝑄(−3) = 3. (−3) −
2
3
. (−3)3 
𝑄(−3) = 3. (−3) −
2
3
. (−27) 
𝑄(−3) = −9 + 18 
𝑄(−3) = 9 
Remplazamos la x por 4 y 
resolvemos las operaciones 
combinadas. Primero se 
resuelven las potencias, luego 
las multiplicaciones y 
divisiones y por último las 
sumas y restas. 
 
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO 
Ten presente las reglas de 
signos de las operaciones. 
 
 
8 
 
 
 
Si al hallar el valor numérico de un polinomio para un determinado valor de x, 
obtenemos como resultado cero, decimos que ese valor de x es cero del 
polinomio. 
Observa el siguiente ejemplo: 
Considera el polinomio 𝑃(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 + 15 
Calculemos el valor de 𝑃(𝑥) para x=5 
𝑃(5) = −3. 52 + 12.5 + 15 
𝑃(5) = −3.25 + 12.5 + 15 
𝑃(5) = −75 + 60 + 15 
𝑃(5) = 0 
Obtenemos 𝑃(5) = 0, cuando ocurre esto, decimos que 5 es cero del 
polinomio 𝑃(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CERO DE UN POLINOMIO 
 
 
9 
 
ACTIVIDAD 2 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
 
1. Determina si 𝑥 = 2 es cero del siguiente polinomio: 
 
 
 
2. Considera los polinomios: 
𝑄(𝑥) = −2𝑥4 +
4
3
𝑥2 + 9 𝑦 𝑅(𝑥) = 𝑥
3
− 3𝑥2 + 7𝑥 −
1
4
 
y calcula: 𝑄(−3) 𝑦 𝑅 (
1
2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
En una empresa se usa una fórmula polinómica para determinar el precio 
unitario de venta 𝑃(𝑥) y el costo de producción 𝐶(𝑥) de un producto que ellos 
fabrican. Estos polinomios son: 
𝑃(𝑥) = 8 − 0,7𝑥 
𝐶(𝑥) = 6 + 1,3𝑥 
El ingreso 𝐼(𝑥) se obtiene multiplicando la cantidad de artículos vendidos, 
𝑥, por el precio unitario 𝑃(𝑥). 
𝐼(𝑥) = 𝑃(𝑥). 𝑥 
𝐼(𝑥) = (8 − 0,7𝑥). 𝑥 
𝐼(𝑥) = 8𝑥 − 0,7𝑥2 
La ganancia 𝐺(𝑥) es la diferencia entre el ingreso 𝐼(𝑥) y el costo 𝐶(𝑥). 
𝐺(𝑥)= 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
𝐺(𝑥) = (8𝑥 − 0,7𝑥2) − (6 + 1,3𝑥) 
𝐺(𝑥) = −0,7𝑥2 + 6,7𝑥 − 6 
Como vemos podemos realizar operaciones con polinomios. 
A continuación, aprenderemos algunas reglas para lograrlo. 
 
 
 
OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
 
11 
 
 
Antes de aprender a sumar polinomios es necesario incorporar una idea 
nueva, la de monomios semejantes. 
Dos o más monomios son semejantes si tienen las mismas variables y 
éstas están elevadas al mismo exponente. 
Los monomios 5x3; −2x3; 
7
5
x3 son semejantes porque todos ellos tienen la 
misma variable elevada a la misma potencia, x3. 
Los monomios semejantes se pueden sumar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMA DE POLINOMIOS 
5𝑥3 + (−2𝑥3) = 3𝑥3, 
5 + (−2) = 3 
Se suman los 
coeficientes y se 
conserva la variable 
con el mismo 
exponente. 
 
Para sumar o restar polinomios se deben sumar o 
restar los términos semejantes de cada uno de los 
polinomios. 
 
 
 
12 
Considera los polinomios 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2 y 𝑄(𝑥) = 3𝑥 −
𝑥3 + 4𝑥2 
 
 Calculamos𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) 
 
 
 Calculamos𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) 
 
 
 
ACTIVIDAD 3 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
1) Suma los siguientes monomios semejantes: 
𝑎)4𝑥3 + (−5𝑥3) + 6𝑥3 = 
𝑏) − 𝑥7 + 3𝑥7 = 
𝑐) 2𝑥 + (−5𝑥) + 6𝑥 + (−7𝑥) = 
 
2) Considera los polinomios: 
𝑄(𝑥) = −2𝑥4 +
4
3
𝑥2 + 9 y 𝑅(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥3 + 7𝑥 − 1
3
 y calcula: 
a) 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) = 
b) 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥) = 
 
 Se completan y ordenan los 
polinomios. 
 Se ubican en la misma columna los 
términos semejantes de los distintos 
polinomios. 
 Se suman los términos semejantes. 
Restar dos polinomios es equivalente a 
sumar el opuesto del sustraendo. 
El opuesto de 𝑄(𝑥) = −𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 0 
Es −𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 0 
 
2𝑥3 + 𝑥2 + 0𝑥 − 2 
𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 0 
3𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 − 2 
 
+ 
2𝑥3 + 𝑥2 + 0𝑥 − 2 
−𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 0 
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 − 2 
 
+ 
 
 
13 
 
 
1. Un edificio necesita un tanque de agua con forma de prisma recto de base 
cuadrada. Su volumen se ha determinado mediante el siguiente polinomio 
donde x representa la longitud del lado de la base. 
 
 𝑉1(𝑥) =
1
4
𝑥3 + 0,1𝑚. 𝑥2 
 
 
Calcula el volumen del tanque si la longitud del lado de la base mide: 
a) 1 metro 
b) 2,5 metros 
 
2. Considera el polinomio del ejercicio anterior y determina el coeficiente 
principal, el término independiente, el grado, clasifícalo y exprésalo de 
manera completa y ordenada. 
3. Los vecinos del edificio deciden instalar un segundo tanque cuyo volumen 
se determina del siguiente modo: 
𝑉2 = 2𝑥
3 − 0,2𝑚. 𝑥2 + 0,1𝑚2𝑥 
Obtén el polinomio que expresa: 
a) El volumen de agua que cabe en ambos tanques. 
b) La diferencia de volumen entre el segundo y el primer tanque. 
 
 
 
 
 
𝑥 
𝑥 
 
 
14 
 
 
 
 Altman, Silvia y otros. Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2. 
Tinta Fresca. Buenos Aires 2012. 
 Altman, Silvia y otros. Matemática 2 Funciones 2. Longseller. Buenos 
Aires 2005. 
 Bocco, Mónica. Funciones elementales para construir modelos 
matemáticos. Ministerio de educación. Buenos aires. 2010. 
 Kaczor, Pablo y otros. Matemática I. Santillana. Polimodal. Buenos Aires. 
2007. 
 Laurito, Liliana y otros. Matemática Activa 9. Puerto de Palos. Buenos 
Aires 2001. 
 Mérega, Herminia. Actividades de Matemática 9. Santillana. Buenos Aires. 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
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