Practica 3 Teorema de Bernoulli

Vista previa del material en texto

Practica 3 “Teorema de Bernoulli”
Objetivo.
Demostración experimental de la ecuación de Bernoulli.
Introducción.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli,
describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de
agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido
ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía
que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en
cualquier momento consta de tres componentes:
1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.
La siguiente ecuación conocida como “Ecuación de Bernoulli” (Trinomio de Bernoulli) consta de
estos mismos términos.
donde:
 = velocidad del fluido en la sección considerada.
 = densidad del fluido.
 = presión a lo largo de la línea de corriente.
 = aceleración gravitatoria
 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:
Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se
aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido.
Caudal constante
Flujo incompresible, donde ρ es constante.
La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo rotacional
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en
primer lugar por Leonhard Euler.
Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.
Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan
formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y
se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli
los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del
inglés hydraulic head; el término se suele agrupar con (donde ) para dar lugar a
la llamada altura piezo métrica o también carga piezométrica. Características y consecuencia
También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la
ecuación por \gamma, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica,
los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática. 
Material y Equipo.
Consta de un ventilador acoplado a un motor de corriente alterna, un ducto para que se desarrolle
el flujo, un Venturi y en él una serie de manómetros diferenciales para tomar las lecturas.
Dibujo de la instalación. 
Desarrollo. 
1. Encienda el ventilador y espere 2 minutos para que estabilice el flujo de aire.
2. Coloque los aparatos de medición requeridos y espere que la lectura se estabilice antes de
hacer anotaciones.
3. En los piezómetros se leen las presiones en cada punto considerado, la energía de posición
se tomará con respecto a un nivel de referencia que puede ser el centro del Venturi.
4. Entre el piezómetro ubicado inmediatamente antes de la entrada a diferencia de presión h.
Esta utilizaremos para determinar el caudal que circula a través de Venturi.
Repita los puntos 2 y 3 tantas veces como lecturas se deseen tomar.
Formulas y cálculos
Tabla de lecturas.
Datos:
Densidad del aire ( aire)=0.90kg/m^3 
Peso específico del aire ( del aire)= (0.90 N/m^3)(9.81m/s^2)=8.84N/m^3
Datos Generales
Temp. (ºC) Aire h (mts. col. Agua) Peso específico / Agua N/m³
Lect. Presión Relativa Mts.
Col. agua
Área m²
1 0.03 m 0.0095 m²
2 0.025 m 0.009025 m²
3 0.015 m 0.006677 m²
4 -0.03 m 0.0040 m²
5 -0.03 m 0.0040 m²
6 0.008 m 0.006295 m²
7 0 m 0 m²
8 0.007 m 0.0085 m²
Tabla de resultados.
Lectura P / ɤ mts. Velocidad mts. Bernoulli.
1 8857.23 m 15.78 m 8869.62 m
2 8851.65 m 16.62 m 8865.72 m
3 8838.34 m 22.46 m 8864.02 m
4 8789.71 m 37.5 m 8861.18 m
5 8789.71 m 37.5 m 8861.18 m
6 8813.92 m 23.82 m 8842.85 m
7 0 m 0 m 0 m
8 8830.57 m 12.64 m 8846.44 m
Graficas.
1 2 3 4 5 6 7 8
8740
8760
8780
8800
8820
8840
8860
8880
P / ɤ mts.
1 2 3 4 5 6 7 8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Velocidad mts.
1 2 3 4 5 6 7 8
8810
8820
8830
8840
8850
8860
8870
8880
8890
8900
8910
Bernoulli.
Conclusiones.
Como conclusión podríamos decir que las energías (de presión, cinética y de posición) son
intercambiables, es decir; una le puede ceder energía a la otra, pero la energía nunca se elimina
más bien se va convirtiendo en todo el proceso, pero ¿y cómo se pudo ver esto en la práctica?, pues
muy sencillo solo es necesario comparar los puntos 1 y 5 de la primera lectura, en ambas las
energías de presión y cinética son distintas pero al sumarlas nos da el mismo valor de carga total y
aquí es donde se demuestra el principio de conservación de la energía.
Cuestionario.
1. Explique el teorema de Bernoulli y su utilidad práctica.
El teorema de Bernoulli establece que si las pérdidas son despreciables (por el momento), la
energía que posee una partícula en la trayectoria de una línea de corriente en cualquier sección
de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir:
Dónde: 
𝐻𝑇 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 
𝑃 /𝛾 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 
𝑣² / 2𝑔 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 
𝑧 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎
2. ¿Cómo se afecta el teorema de Bernoulli cuando se aplica a fluidos compresibles?
Sabemos que el teorema de Bernoulli es aplicable para fluidos incompresibles para fluidos
compresibles, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:
3. Si el fluido fuera viscoso e incompresible como se escribiría para poder explicarlo.
En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto del fluido con el contorno (tubería,
canal, etc.) como de las partículas del fluido entre sí. Entonces la ecuación de Bernoulli (de la
pregunta 1) no se cumple. Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación de
la energía. Esta fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovechable y solo en
este sentido la llamaremos energía perdida, o bien expresada en forma de altura, altura perdida𝐻𝑟 . Ahora bien diremos que: 𝐿𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 − 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 2 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 , o sea:
4. ¿Cómo podría deducir el teorema de Bernoulli a partir de las ecuaciones de Euler?
Las ecuaciones de Euler en forma sintetizada son las siguientes:
Multiplicando la primera ecuación por dx, la segunda por dy y la tercera por dz. Tendremos:
Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores tendremos:
Ahora bien, como:
El primer miembro de la ecuación 1 se transforma así:
En efecto, si se diferencia el segundo miembro se obtiene el primero, lo que demuestra la
validez del primer signo igual. Por otra parte, el cuadrado de la diagonal 𝑣 de un paralelepípedo
es igual a la suma de los cuadrados de sus aristas 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 𝑦 𝑣𝑧 , lo que demuestra la validez
del segundo signo igual. Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t, y su
diferencia total será:
Con lo cual la ecuación 1 se transforma en:
Integrando esta última ecuación, entre dos puntos cualesquiera 1 y, situados en una misma
línea de corriente, que en régimen permanente coincide con la trayectoria del movimiento y
siguiendo con la hipótesis de un fluido incompresible (𝜌 = 𝐶), se tiene:
	donde:
	 = velocidad del fluido en la sección considerada.
	 = densidad del fluido.
	 = presióna lo largo de la línea de corriente.
	 = aceleración gravitatoria