algebra-lineal-2018-1

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MATEMÁTICA BÁSICA 
-2da PARTE- 
 2018 
 EQUIPO DOCENTE 
Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni 
Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano 
Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto 
Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno) 
 
Algebra Lineal y 
Aplicaciones 
2da Edición 
Teoría de los juegos, 
Cadenas de Markov, 
Criptografía 
Material Elaborado por: Claudia Zanabria, 
Cristina Rogiano y Gabriela Roldán 
 
 
 
 
 
UNL FCE 
Extraído de la película: Una mente brillante. 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Yo siempre he creído en los números. En 
las ecuaciones y lógicas que llevan a la 
razón. Pero tras una vida de tales 
actividades, pregunto: ¿Qué es 
realmente la lógica? ¿Quién decide qué 
es la razón? Mi búsqueda me ha llevado 
a través de lo físico... metafísico... 
alucinatorio... y de regreso. Y he hecho el 
descubrimiento más grande de mi 
carrera. El descubrimiento más 
importante de mi vida: Solo en las 
misteriosas ecuaciones de amor puede 
uno encontrar lógica y razón”. 
John Nash 
Zanabria, Claudia 
Algebra lineal y Aplicaciones, 2da edición : Teoría de los juegos, Cadenas de Markov, 
Criptografía / Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 2a ed mejorada. – Santa 
Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016. 
Libro digital, PDF 
 
 Archivo Digital: descarga y online 
 ISBN 978-987-692-099-5 
 
 1. Álgebra. 2. Economía. 3. Matemática Aplicada. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título 
 CDD 512.5 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
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El presente es el fascículo del tema “Algebra Lineal” de la colección bibliográfica de Matemática Básica. En él se 
abordan tres situaciones contextuales centrales, dos de ellas son problemas de decisión en el marco de: Teoría 
de los Juegos y Cadenas de Markov y una tercera situación relaciona la codificación y decodificación de datos, 
criptografía. El análisis y resolución de estas tres situaciones requiere la producción de modelos matemáticos 
que involucran conceptos fundamentales del Algebra Lineal como los son: Matrices y Sistemas de Ecuaciones 
La red conceptual del capítulo es: 
 
 
 
 
 
 
El material se organiza en tres bloques: 
Bloque 1: TEORIA DE LOS JUEGOS Y MATRICES (CONCEPTO Y OPERACIONES) 
Bloque 2: CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE ECUACIONES 
Bloque 3: CRIPTOGRAFIA, MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES 
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial, 
clasificación, operaciones y 
propiedades, matriz inversa.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Resolución por metodo de Gauss y 
determinantes. Clasificación. 
Teorema del Rango
TEORIA DE LOS 
JUEGOS
CADENAS DE 
MARKOV
CRIPTOGRAFIA
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
3 
 BLOQUE 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE LOS JUEGOS
MATRICES
Concepto, lenguaje 
matricial, clasificación, 
operaciones y propiedades. 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
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TEORIA DE LOS JUEGOS 
 
Un juego es cualquier situación en la cual, los que participan de él, deben tomar decisiones estratégicas y en 
la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. (Nicholson, 1997). 
 En este sentido, la teoría de los juegos trata del estudio de los problemas de decisión y propone modelos 
matemáticos para su resolución. 
 
Dicha teoría fue elaborada en 1939 por el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern, 
con el fin de realizar análisis económico de ciertos procesos de negociación. 
 
En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las 
situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de los 
diferentes agentes o jugadores que intervienen con el fin de lograr un “premio”, por ejemplo la máxima utilidad, 
el mayor bienestar o el menor riesgo, entre otras. 
 
Los jugadores pueden ser personas, equipos, empresas, países, etc. y, como en todo juego, es necesario definir: 
Reglas, Estrategias y Recompensas o Resultados. Las reglas compartidas por todos los juegos establecen que los 
jugadores obran racionalmente y ambos conocen la información cierta de la situación. Asimismo, en la situación 
de juego es fundamental el comportamiento estratégico de cada uno de los participantes o tomadores de 
decisiones. 
 
En el marco de La economía es importante conocer y aplicar esta teoría a fines de entender qué estrategias 
podrían ofrecer beneficios monetarios más grandes o menores riesgos. Algunas aplicaciones de la Teoría de 
Juegos son: Contratos, Negociaciones en general, guerras militares o comerciales, marketing para la 
competencia en los mercados, alianzas, entre otras. 
 
La siguiente red conceptual muestra las categorías conceptuales a partir de las cuales se aborda la teoría de los 
juegos y su intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática. 
Cada una de estas categorías será tratada a través de distintas situaciones de juegos que se irán presentando a 
medida que se avance en la lectura del mismo. 
 
 
 
 
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Si bien existen gran variedad de juegos, en el presente material se abordarán solamente juegos estáticos con 
información completa, es decir, los jugadores toman sus decisiones simultáneamente y una sola vez sin conocer 
las decisiones de los otros y, a continuación, reciben sus ganancias, que dependen de la combinación de 
decisiones tomadas. Desde el inicio del juego todos los jugadores conocen las estrategias disponibles y las 
ganancias resultantes de cada combinación. 
 
La siguiente situación presenta el caso más sencillo, el juego de dos jugadores con dos estrategias, como se 
muestra en la siguiente situación: 
 
Situación 1: Dos empresas de telefonía móvil deben decidir si instalan nuevas sucursales en el mismo centro 
comercial. 
 
Se acercan los períodos de mayores ventas de telefonía móvil y dos empresas competidoras identificadas por P 
y C deben decidir si abren cada una nueva sucursal, en el mismo centro comercial. De no abrir la nueva sucursal 
invertirían más en publicidad para promover las ventas en los locales que ya poseen. 
Por lo tanto, ambas empresas deben tomar la decisión de instalar o no la nueva sucursal en el mismo centro 
comercial. Las estrategias que se presentan son: 
 
Teoria de los Juegos
Tipos de Juegos:
ESTÁTICOS de:
SUMA CERO
SUMA NO CERO
ESTRATEGIAS PURAS
Técnicas de Resolución:
Estrategias DOMINANTES
MEJOR RESPUESTA
MAXINIM -MINIMAX
Equilibrio de NASH
Elementos del Juego:
Reglas
Jugadores
Estrategias
Beneficio
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1- Las empresas P y C deciden instalar las sucursales: las ventajas competitivas de la empresa P le darán todo 
el mercado del centro comercial e incluso se beneficiará de las inversiones publicitarias y de los clientes de la 
empresa C. En este caso P gana 60 millones de pesos, mientras que C pierde esa misma cantidad. 
2- La empresa P decide abrir la nueva sucursal y la empresa C no: P se queda con el mercado del centro 
comercial, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de C, su inversión no compensa sus ventas. En 
este caso P pierde 10 millones de pesos y C gana la misma cantidad al promover más sus ventas en sus 
tradicionales locales. 
3- La empresa P decide no abrir la nueva sucursal, pero la empresa C si la abre: C se queda con todo el mercado 
del nuevo centro comercial, pero su inversión no supera sus ventas y pierde 20 millones mientras que P gana la 
misma cantidad por promover sus ventas ensus tradicionales locales. 
4- Ambas empresas P y C deciden no abrir la sucursal en el mismo centro comercial: en este caso, ninguna de 
las dos compañías gana o pierde. 
La información dada respecto a las ganancias o pérdidas para las dos empresas P y C, pueden organizarse por 
medio de las siguientes tablas: 
 
Respecto a P: 
 C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal 
P decide abrir sucursal 60 -10 
P decide no abrir sucursal 20 0 
 
Respecto a C: 
 C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal 
P decide abrir sucursal -60 10 
P decide no abrir sucursal -20 0 
 
O bien empleando un arreglo o estructura rectangular ordenada en filas y columnas encerradas entre paréntesis 
o corchetes llamada MATRIZ de la siguiente manera: 
 
Para P: (
60 −10
20 0
) y para C: (
−60 10
−20 0
) 
 
 A continuación se presenta la definición de “matriz” que se utilizará para resolver problemas de la teoría de 
juego. 
 
Definición de MATRIZ 
Dados dos números enteros positivos m y n, una matriz de orden mxn, es una disposición rectangular de m.n 
números reales encerrados entre corchetes o paréntesis. 
Se llama orden o tamaño de una matriz al número de filas y de columnas que la conforman. 
Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha. 
Los números o símbolos que se encuentran dentro de la matriz se llaman elementos de dicha matriz. 
 
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En símbolos: Si A es una matriz de orden mxn, entonces A puede representarse así: 
 
A = 




















mnmjm2m1
iniji2i1
2n2j2221
1n1j1211
a...a...aa
..................
a...a...aa
..................
a...a...aa
a...a...aa
 
 
El elemento que se encuentra en la fila i y en la columna j se denota por aij y se lee “a sub i j”. 
Simplificando esta notación se puede escribir: 
 A = (aij) con 1  i  m y 1  j  n donde aij  R 
o también 
 A = (aij)  i =1,…, m y  j = 1,…, n donde aij  R 
 
Se lee: A es una matriz de orden mxn cuyo elemento genérico es aij. El subíndice i, que representa el número de 
fila varía entre 1 y m, siendo m la cantidad de filas de la matriz. El subíndice j, que representa el número de 
columna varía entre 1 y n, siendo n el número de columnas de la matriz. 
 
Por lo mencionado: 
El símbolo aij representa un elemento genérico de la matriz A y el símbolo (aij) representa a la matriz A. 
El conjunto de las matrices de orden o tamaño mxn con elementos reales se indica: Rmxn, Rmxn o Mmxn 
 
En la Situación 1 se expresa mediante: P =(pij) y C =(cij) a las matrices (
60 −10
20 0
) y (
−60 10
−20 0
), 
respectivamente. 
 
Cada una de estas matrices se denomina Matriz de Beneficio o Pago de cada jugador. 
 
Tanto las matrices P como C pertenecen al conjunto de las matrices de m filas y n columnas denominado Rmxn y 
cada uno de sus elementos pij y cij representan los beneficios que obtiene cada una de las empresas P y C, 
cuando seleccionan la estrategia i y j, respectivamente. 
Los beneficios de cada empresa, en cada una de sus estrategias, se pueden escribir en una sola matriz especial 
denominada bimatriz, de la siguiente manera: 
 
(
60; −60 −10; 10
20; −20 0; 0
) 
 
Los elementos que se encuentran a la izquierda del punto y coma, en cada fila, corresponden a los beneficios 
del jugador P y los que se encuentran a la derecha corresponden a los beneficios del jugador C. 
 
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CLASIFICACIÓN DE LOS JUEGOS: 
Existen diversas formas de clasificar los juegos, los más usuales son: 
 
 Por el número de jugadores: existen juegos de 2 jugadores, de tres jugadores o de más jugadores. 
 Por la simultaneidad de las decisiones a tomar: Si los jugadores toman las decisiones al mismo tiempo 
sin conocer la decisión del otro, el juego se denomina estático, en caso contrario el juego se clasifica 
como dinámico. 
 Por la suma de los pagos: 
- Suma Cero: El premio es único y lo que un jugador gana coincide con lo que pierde otro. 
- Suma no Cero: Lo que gana un jugador no necesariamente está vinculado con lo que pierde otro, o 
los premios pueden ser obtenidos simultáneamente. 
 Por el número de estrategias: los juegos pueden incluir 2 o más estrategias, que representan las 
decisiones que pueden tomar cada uno de los jugadores. 
 Por el tipo de estrategias: 
- Juegos de Estrategia Pura: La estrategia pura es una decisión que se toma con certeza. Si un juego 
no se puede resolver por estrategia pura puede pensarse como de estrategia mixta. 
- Juego de Estrategia Mixta: Las estrategias de un juego son mixtas cuando es necesario asignar a cada 
estrategia pura una probabilidad de ocurrencia y se interpreta como la incertidumbre de un jugador 
respecto a lo que hará el otro. 
 
El juego presentado en la situación 1, como todos lo que se abordarán en el presente material, es estático. Si se 
clasifica de acuerdo a la cantidad de jugadores es un juego de dos jugadores, empresas P y C; de acuerdo a la 
suma de pagos es de suma cero pues lo que gana uno de los jugadores es igual a lo que pierdo el otro jugador. 
Es un juego de dos estrategias, abrir o no abrir la sucursal y dichas estrategias son puras. 
 
TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN DE JUEGOS: 
 
Las técnicas de resolución nos permiten encontrar la solución de un juego, si existe, es decir determinar las 
estrategias por las que decide cada jugador y los beneficios o pagos que percibe por dicha decisión, dichos 
pagos se denominan valor del juego. 
 
Para resolver cada juego (problemas de decisión) se aplican distintas técnicas como: Equilibrio de Nash, 
Dominancia, Mejor Respuesta, Maximin y Minimax. La aplicación de una u otra técnica depende en general 
de las expectativas de los jugadores. Si son optimistas, es decir que su objetivo es tomar decisiones que generen 
las mayores ganancias se aplican técnicas de Dominancia o Mejor Respuesta. No obstante, si son pesimistas y 
su objetivo es tomar decisiones que generen las mínimas pérdidas se aplican técnicas de Maximin y Minimax. 
En ambos caso se optará por encontrar como solución aquellas que representen un equilibrio de Nash. 
 
Equilibro de Nash: Es un perfil o combinación de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse 
unilateralmente, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de 
los jugadores, pues si las cambiaran obtendrían menores beneficios empeorando su situación. Por lo tanto a 
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ninguno de los jugadores les conviene cambiar de decisión optando por otra estrategia, situación que provoca 
que el equilibrio de Nash sea estable en el tiempo. 
Esto no significa que en un equilibrio de Nash cada jugador esté alcanzando el mejor resultado posible, sino el 
mejor resultado condicionado por el hecho de que los demás jugadores jueguen las estrategias indicadas por 
ellos en dicho perfil. 
El Equilibrio de Nash, como estrategia de juego consiste en comparar todos los perfiles de estrategias hasta 
encontrar la o las que cumplen la condición establecida. Sin embargo, en algunos casos conviene determinar 
dicho equilibrio aplicando las otras técnicas nombradas. 
 John Forbes Nash, creador de esta teoría, es un matemático que recibió un premio nobel de economía y su 
vida fue interpretada por Crowe Russell en la película “Una mente brillante”. 
 
Dominancia de estrategias: Consiste en identificar qué estrategias (filas o columnas) dominan a otras o qué 
estrategias son dominadas por otras. Ésta estrategia resulta óptima para un jugador independientemente de 
los que hagan su(s) adversario(s). Matemáticamente, una estrategia domina estrictamente a otra cuando cada 
uno de los elementos de la fila o columna que representa a la estrategiaes mayor que cada elemento de la 
misma posición de otra fila o columna, respectivamente. Una vez identificada las estrategias dominantes, se 
eliminan las estrategias dominadas hasta obtener el resultado del juego. 
 
Maximin y Minimax: Esta técnica sólo se aplica en juegos de suma cero y su objetivo es minimizar la máxima 
pérdida de cada jugador. 
 
Aclaración sobre la solución de los problemas de decisión: La solución de los problemas de decisión, depende 
de las decisiones que tomen los jugadores. En algunos casos los participantes pueden decidir maximizar sus 
beneficios, y aplicarán técnicas de dominancia, o en otros conformarse sólo con minimizar sus pérdidas y 
elegirán técnicas de maximin y minimax, que no siempre conducen al mismo resultado. Sin embargo lo más 
recomendable en todas es encontrar, si es posible, el equilibrio de Nash, porque aporta estabilidad en la 
solución, dado que la solución se obtiene pensando en lo que sea óptimo para los dos. 
 
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Dominancia 
 
Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar la estrategia que más le conviene a la 
empresa P (si es que existe), se comparan los elementos de cada una de las dos filas de la matriz 
correspondiente. 
Los beneficios para le empresa P son: 
P = (pij) = (
60 −10
20 0
) 
Se observa que no existe estrategia dominante y que por lo tanto el beneficio de la empresa P depende de la 
decisión que tome C. 
Los beneficios para le empresa C son: 
 C = (cij) = (
−60 10
−20 0
) 
 
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Aplicando la técnica de Dominancia de estrategias, para determinar, si existe, la estrategia que más le conviene 
a la empresa C, se comparan los elementos de cada una de las dos columnas de la matriz correspondiente. Se 
observa que la estrategia: “No abrir la sucursal”, columna 2, domina a la estrategia “Abrir la sucursal”, pues 
ganar 10 millones es mejor que perder 60 millones y no ganar ni perder es mejor a perder 20 millones. 
Pues se cumple que: 
c12 > c11 y c22 > c21 
Por lo tanto se elimina la estrategia representada en la columna 1 de la matriz de pagos de C y dicha matriz se 
reduce al vector columna: 
(
10
0
) 
 
Luego, la decisión óptima de C es “No abrir la sucursal” en el nuevo centro comercial, y en este contexto, la 
decisión óptima para P es también “No abrir dicha sucursal” pues, para P, es preferible no ganar y no perder 
(beneficio 0), que perder 10 millones de pesos. 
 
Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada 
jugador es 0, este valor se denomina, valor del juego, pues representa la ganancia obtenida como consecuencia 
de la resolución. Para este juego, el valor del juego es cero y en estas condiciones el juego se denomina 
socialmente justo. 
 
Si se trabaja con la bimatriz: 
(
60; −60 −10; 10
20; −20 0; 0
) 
 
Para decidir una estrategia dominante para la empresa P, se comparan los elementos de la fila 1 con los 
elementos de la fila 2. 
 
Para la empresa C, se comparan los elementos de la columna 1 con los de la columna 2. 
De esta manera se arriba al mismo resultado. 
 
Además se observa que: 
La combinación de estrategias (0, 0) es un equilibrio de Nash, pues si cada jugador decide cambiar su estrategia 
empeora su situación. Por lo tanto, la solución (0, 0) se denomina Solución estable. 
 
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Mejor Respuesta 
 
Es otra alternativa para resolver problemas de decisión y consiste en determinar perfiles o parejas de estrategias 
que constituyan equilibrios de Nash. Cada jugador busca la estrategia que representa la mejor respuesta (el 
máximo beneficio) ante las posibles estrategias de su contrincante. 
 
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Esta técnica consiste en comparar los pagos que un jugador obtendrá si jugara con una de sus estrategias, y se 
destaca (subraya) el pago (o los pagos) máximo alcanzable, que corresponde a la estrategia (o estrategias) de 
respuestas óptimas a dicha combinación. 
 
Una combinación de estrategias es un Equilibrio de Nash, si los valores que la componen están subrayados. 
 
En la siguiente tabla se ejemplifica este procedimiento: 
 
 JUGADOR 2 
 E1 E2 
JUGADOR 1 E1 0, 0 1, 1 
E2 2, 2 0, 0 
 
La posición del Jugador 1 es: Suponiendo que el jugador 2 elige la estrategia E1, se comparan los pagos 0 y 2 del 
jugador 1, y se subraya el máximo que es 2. Si el jugador 2 elige la estrategia E2, se comparan los pagos 1 y 0 del 
jugador 1 y se subraya el máximo que es 1. 
 
Procediendo del mismo modo, la postura del jugador 2 respecto a las estrategias del jugador 1, se llega a la 
conclusión que existen dos equilibrio de Nash, que son las combinaciones de estrategias (E2, E1) y (E1, E2), 
siendo sus pagos (2,2) y (1,1), respectivamente. Observar que si los jugadores cambian de estrategia empeoran 
su situación, por lo que las soluciones son equilibrios de Nash y son estables. 
 
Para la bimatriz de la situación 1 resulta: 
(
60 ; −60 −10; 10 
20; −20 0 ; 0 
) 
 
Por lo tanto la decisión óptima para ambas es no abrir la sucursal, y para esta decisión el beneficio para cada 
jugador es 0, El perfil de estrategias (0:0) es un equilibrio de Nash. 
 
Resolución de la Situación 1 aplicando le técnica de Técnica de Maximin y Minimax 
 
Es una técnica de decisión para minimizar la pérdida máxima esperada y por lo tanto aplicarla implica que los 
jugadores tomarán una decisión pensando en minimizar el riesgo. Se aplica en juegos de suma cero. 
El algoritmo, para un juego de estrategias puras es el siguiente: 
 Identificar los valores mínimos de cada fila y seleccionar el mayor de ellos (Maximin). 
 Identificar los valores máximos de cada columna y seleccionar el menor de ellos (Minimax). 
 
Si el valor maximín del primer jugador (fila) y el minimax del segundo jugador (columna), coinciden en la misma 
celda, este se denomina punto de equilibrio. 
 
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Si ningún jugador encuentra beneficio al cambiar su estrategia, la solución encontrada es la óptima y representa 
un equilibrio de Nasch. En estas condiciones el juego es estable pues a los jugadores no les conviene cambiar 
de estrategia por lo que la mantendrán. Si el maximin y el minimax no coinciden en la misma celda, no existe 
equilibrio y por tanto no es posible asegurar estabilidad en las decisiones. 
 
 C decide 
abrir sucursal 
C decide 
no abrir sucursal 
Mínimos de cada fila 
P decide abrir sucursal 60 -10 -10 
P decide no abrir 
sucursal 
20 0 0 
Maximos de cada 
Columna 
60 0 
 
Luego, Maximin = 0 y Minimax = 0. 
 
En la tabla se observa que: 
El valor Minimax representa el menor de los máximos beneficios que obtendría C, que a su vez, es el mínimo 
de las máximas pérdidas de P (minimiza pérdida de P). 
 
El valor Maximin representa el mayor de los mínimos beneficios de P, que a su vez es la menor de las máximas 
pérdidas de C (minimiza pérdida de C). 
 
Dado que el valor maximín de P y el mInimax de C coinciden. Esta combinación de estrategias es un punto de 
equilibrio. Además como ambos son iguales a cero, dicho punto se denomina: Silla de Montar. 
Por lo tanto, en la Situación 1, ambos jugadores deciden “No abrir la sucursal” y el valor del juego es cero. 
 
Observar que aplicando las técnicas de dominancia, de mejor respuesta y de maximin-minimax se llegó, en esta 
situación, al mismo resultado. 
 
 
A continuación se resolverá un juego en el que la suma de los pagos no es cero. Para tal fin se ha seleccionado 
uno de los juegos más significativos de la teoría de los juegos: El dilema del prisionero. 
 
 
 
 
 
 
 
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Situación 2: El dilema del prisionero 
 
Pedro y Juanson detenidos por la policía, en la cercanía de un robo por portar armas. Se sospecha que por lo 
menos uno de los dos malhechores participó además de dicho robo. Una vez en el destacamento policial se 
separan a estas dos personas para que sean interrogadas en forma individual y, por separado, se les propone lo 
siguiente: 
 
Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total de diez años por robo y por portar 
armas y el que confiesa será liberado por cooperar con la investigación policial. 
Si ambos confiesan, a los dos se les reducirá la pena a la mitad, 5 años a cada uno. 
Si ambos lo niegan, estarán encarcelados dos años por portación de armas”. 
Para la representación de los años de cárcel se considerará que si está 5 años en la cárcel figurará en la tabla 
el valor -5. Luego: 
 
 Juan Confiesa Juan no Confiesa 
Pedro Confiesa -5 
-5 
 -10 
0 
Pedro no Confiesa 0 
-10 
 - 2 
-2 
 
El dilema del prisionero es un juego de dos jugadores, con dos estrategias puras y de suma no nula. 
Análisis para la toma de decisiones: 
 
Estrategias Dominantes: Se observa que para ambos jugadores la decisión de confesar, independientemente 
de los que opine el otro, domina a la de no confesar, pues así corresponde menos años de prisión. 
Si eliminamos las estrategias dominadas, para Pedro la segunda fila y para Juan la segunda columna la matriz se 
reduce a: 
 Juan Confiesa 
Pedro Confiesa -5 
-5 
 
Por lo tanto, si los dos deciden confesar tendrían una pena de 5 años, que no es una elección óptima. Si ambos 
prisioneros piensan en cooperar el uno con el otro, ninguno confesaría, pero tendrían una pena de 2 años, sin 
embargo esta elección tampoco es óptima. 
El beneficio óptimo es quedar en libertad. Es decir, para ambos prisioneros el mayor beneficio sería que sólo 
uno confiese y de esta manera sería liberado. Pero si los dos son egoístas y piensan de la misma manera, ambos 
elegirán confesar. 
 
Por lo tanto, como ambos deciden lo mismo, la condena es de 5 años para cada uno. 
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Este resultado es la clave del dilema, porque representa un resultado que no es el óptimo si se piensa en el 
propio beneficio, que sucede también si ambos decidieran no confesar. 
 
La combinación de estrategias (-5, -5) del juego es un equilibrio de Nash pues todos los jugadores toman una 
decisión y, si la cambian, empeoran su condena de 5 a 10 años, por esta razón se dice que este punto de 
equilibrio es de Nash. Si bien la combinación de estrategias (-2,-2) es también un punto de equilibrio, este no 
es de Nash y se denomina inestable, porque si cambia de decisión, de no confesar a confesar, se reduce su 
condena. 
 
Situación 3: El dilema del prisionero en economía: Un caso de la competencia de dos empresas por un 
mercado. 
 
Dos empresas, N y A, productoras de zapatillas deportivas forman un duopolio local en el sector de los centros 
comerciales. Cuando llega la época de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran a realizar 
inversiones en publicidad tan altas que pueden implicar la pérdida de todo el beneficio. 
 
Ambas han acordado no hacer publicidad por el presente año, por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede 
obtener ganancias de $ 50 millones. 
 
Si una de ellas traiciona el acuerdo, puede preparar su campaña publicitaria y lanzarla en el último momento 
atrayendo a los consumidores y generando un beneficio de $60 millones mientras que la empresa competidora 
perdería $40 millones. 
Si ambas no cumplen el acuerdo obtendrán beneficio es $0. 
Los pagos se representan en la siguiente tabla: 
 
 A cumple el acuerdo A no cumple el acuerdo 
N cumple el acuerdo 50 
50 
 60 
-40 
N no cumple el acuerdo -40 
60 
 0 
0 
 
Aplicando la técnica de estrategias dominantes se observa que la decisión de no cumplir el acuerdo domina a la 
de cumplir. Este caso, al igual que el dilema del prisionero, muestra las dificultades para establecer la 
colaboración en cualquier situación en la que no accionar con honestidad beneficia a las partes que intervienen 
en el juego. Por lo tanto (0, 0) es un equilibrio de Nash. 
 
 
 
 
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ACTIVIDADES. TEORIA DE LOS JUEGOS para realizar en TALLER 
 
Actividad 1: El lenguaje de la Teoría de los juegos. 
Para realizar esta actividad, revisa la red conceptual que muestra las categorías conceptuales (elementos del 
juego, tipos de juegos y técnicas de resolución) a partir de las cuales se aborda la teoría de los juegos y cuya 
intención es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temática. 
 
1) Para cada uno de los siguientes juegos: 
a) Indica cuantos jugadores intervienen y cuáles son las estrategias que tienen que decidir tomar. 
b) Expresa la matriz de pagos. 
c) Indica si son de suma cero o de suma no cero. 
Juego 1: Lucrecia y Benjamín deben decidir quién se queda con una tablet que ganaron en un premio. Sólo uno 
de los dos puede quedarse con ella, y deciden por azar quién se quedará con el premio. Cada uno tiene en su 
billetera una moneda de un peso y una de dos pesos. Con la mano derecha cada jugador debe elegir y mantener 
oculta una moneda. Si las dos monedas son iguales, Lucrecia se queda con el premio. Si las dos monedas son 
diferentes, Benjamín se quedará con la tablet. Es decir que si uno gana, el otro pierde. 
Juego 2: A y B deben decidir simultáneamente sobre un caso. Si A se decide por su primera opción y B también 
lo hace, tanto A como B pierden dos mil dólares. Si A se decide por su primera opción y B se decide por su 
segunda opción, A gana tres mil dólares y B pierde esa cantidad. Si A se decide por su segunda opción y B se 
decide por su primera opción, A pierde tres mil dólares y B los gana. Finalmente, si A y B se deciden por sus 
segundas opciones, tanto A como B ganan, cada uno, dos mil dólares. 
 
2) Considerando el juego: “Piedra, Papel o Tijera” y los pagos: 1 para el que gana, -1 para el que pierde y 0 para 
el empate. 
a) Elabora la matriz de Beneficio o Pago de dicho juego. 
b) Este juego ¿posee estrategias dominantes? ¿Tiene equilibrio de Nash? 
 
3) La siguiente matriz es la matriz de pagos del jugador fila de un juego de suma cero 
A= (aij) =(
−1 0 −2
3 2 1
0 −1 0
 
 4
 3
 5
) 
 
a) ¿Cuántos jugadores hay y cuantas estrategias tiene cada uno? 
b) Indica el significado de: a2j y a14. 
c) Si los jugadores son optimistas, ¿qué técnicas pueden aplicar? ¿Y si son pesimistas? 
d) Resuelve el juego en ambas situaciones, optimistas y pesimistas. 
 
4) Determinar un valor de k para que el siguiente juego tenga un equilibrio de Nash y otro para que no tenga 
equilibrio. (
−3; 3 7; 5
−5; k 8; 8
) 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
16 
5) La bimatriz de pagos de un juego es: 
(
4; 4 1; 8
8; 1 2; 2
) 
a) ¿Cuántos jugadores participan es este juego y cuantas estrategias tiene cada uno para optar? 
b) Indica el significado de los elementos de esta bimatriz 
c) Explica por qué el par de estrategias (2;2) es un equilibrio estable 
 
Actividad 2: Resolución de juegos mediante aplicación de distintas técnicas. 
 
6) Para cada uno los siguientes juegos expresados en las tablas I y II: 
a) Expresa la bimatriz de pagos de cada uno e indica el significado de sus elementos. 
b) ¿Existen estrategias dominantes en cada uno de los siguientes juegos? 
c) Aplica técnicas de “máximos pagos” para determinar losequilibrios de Nash en cada uno de los siguientes 
juegos expresados matricialmente. 
 
I) II) 
 
 
 
7) Considera el siguiente problema: “Dos negocios de fotocopiadoras, F1 y F2, se encuentran una al lado de 
otra y enfrente de una universidad. Los estudiantes están pendientes del precio de cada fotocopia y las 
fotocopiadoras deben decidir si les conviene establecer un precio bajo o alto”. 
La bimatriz de pagos es la siguiente: 
 F2 precio alto F2 precio bajo Mínimos de F2 
F1 precio alto 0 
0 
 20 
-20 
 
F1 precio bajo -20 
20 
 0 
0 
 
Máximos de F1 
 
a) Resuelve aplicando técnicas de estrategias dominantes y luego aplicando el criterio Maximin y Minimax. 
b) Determina si el resultado del mismo es un equilibrio de Nash. 
 
8) Aplica la técnica de estrategias dominadas al siguiente juego, ¿qué estrategias podemos estar seguros de 
que nunca se jugarán? 
8, 2 1, 1 4,0 
0,2 5, 1 1,0 
1,3 0, 100 9,0 
 L R 
 U 0, 0 2,2 
 D 10,11 -1,0 
 A B 
D 0, 1 5,4 
E 3,6 -1,0 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
17 
 
9) Dos empresas automovilísticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de coche de gama 
intermedia. Cada una de ellas se está planteando si ofrecer o no financiación a los clientes, lo cual le supondría 
captar mayor cuota de mercado, pero llevaría consigo ciertos costos. Ambas empresas prefieren no ofertar dicha 
financiación, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, por tanto, acapare mayor número de compradores. 
Supongamos que los beneficios esperados por las empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiación, 
400 millones para cada una; si ninguna lo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana 
800 y la segunda 300. Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash. 
 
10) La siguiente matriz es la bimatriz de pagos de un juego: 
(
100; 100 −40; 30 60, −50
80; 120 30; −80 −100; 150
70; 80 −50; 70 70; 70
 
120; 80
70: −50
 100: 100 
) 
 
Determina las relaciones de dominancia entre las distintas estrategias y, si es posible, resuelve el juego. 
 
11) Indicar los equilibrios de Nash de los juegos determinados por las siguientes matrices, utilizando la técnica 
de mejor respuesta. 
a) (
𝟎 −𝟓
𝟓 𝟏𝟎
) b) (
−𝟏𝟎 𝟑
𝟑 𝟏𝟎
) c) (
𝟎 𝟑 𝟕
−𝟑 𝟎 −𝟑
−𝟕 𝟑 𝟎
) 
12) Dos ciudades turísticas vecinas deben decidir entre realizar publicidad vía internet, hacerlo, vía canales de 
televisión, o no hacer publicidad. Si ambas ciudades toman la misma decisión, cada una obtiene un beneficio 
de 200 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra vía televisión, la primera gana 500 millones 
mientras que la segunda gana 300 millones; si una elige publicitar vía internet y la otra no realiza publicidad, la 
primera gana 800 millones y la segunda pierde 100 millones; y por ultimo si una publicita vía televisión y la 
otra no realiza publicidad, la primera gana 400 millones y la segunda gana 100 millones. 
Representa el juego en forma matricial y calcula los equilibrios de Nash. 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
18 
 
RESPUESTAS. TEORIA DE LOS JUEGOS 
Actividad 1 
1) Juego 1: 
 
 
 
 
 
El valor 1 indica que gana la Tablet y el valor -1 que pierde la Tablet. 
El juego es de suma cero pues lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde el otro. 
Juego 2: 
 
 
 
 
 
El pago se mide en miles de dólares. El juego no es de suma cero. 
2) 
 Jugador 2 
 PIEDRA PAPEL TIJERA 
 
Jugador 1 
PIEDRA 0; 0 -1; 1 1; -1 
PAPEL 1; -1 0,0 -1,1 
TIJERA -1; 1 1,-1 0,0 
 
Si enumeramos las estrategias piedra, papel y tijera como 1, 2 y 3, respectivamente, la matriz de pagos será 
 
Este juego es de suma cero. No posee estrategias dominantes ni equilibrio de Nash. 
 
3) a) Hay 2 jugadores. El jugador fila posee 3 estrategias y el jugador columna posee 4. 
b) a2j representa la fila de pagos que obtiene el jugador fila si opta por su segunda estrategia, y a14 es el pago 
que obtiene si él elige su estrategia 1 y el jugador columna elige su estrategia 4. 
c,d) Si los jugadores son optimistas utilizan técnicas de dominancia o mejor respuesta. El jugador fila elige su 
estrategia 2 y el jugador columna elige la 3 siendo el valor del juego es (1,-1). 
Si son pesimistas utilizan técnicas de maximin-minimax. El maximin y el minimax coinciden en la misma celda y 
por lo tanto el valor del juego es (1,-1). 
 
 BENJAMÍN 
 Elige $1 Elige $2 
LUCRECIA Elige $1 1, -1 -1, 1 
 Elige $2 -1, 1 1, -1 
 Jugador B 
 Elige 1ra opción Elige 2da opción 
 Elige 1ra opción -2, -2 3, -3 
 Elige 2da opción -3, 3 2, 2 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
19 
 
4) Si k<8, por ejemplo k=0, hay equilibrio de Nash. Si k>8, por ejemplo k=10, no hay equilibrio de Nash. 
 
5) a) En el juego participan dos jugadores y cada uno debe decidir entre dos estrategias. 
b) Los elementos de la bimatriz indican los pagos que recibe cada jugador al optar por una de las estrategias. La 
primer componente en cada celda es el pago del jugador fila y la segunda componente el del jugador columna. 
c) (2, 2) es un equilibrio estable porque al cambiar de estrategia cada uno de los dos jugadores empeoran su 
situación y esta situación provoca que no la cambie su decisión. 
 
 
Actividad 2: Técnicas de Resolución 
 
6) Ninguno de los dos juegos tienen estrategias dominantes. Aplicando máximos pagos, se obtienen los 
siguientes equilibrios de Nash: 
 
 
 
I) (D,L) (U,R) II) (E,A) (D, B) 
 
7) Al tratarse de un problema de suma cero la matriz de pagos se puede escribir: (
0 −20
20 0
) 
Evidentemente la fila 2, domina a la fila 1 y la matriz se reduce a: (20 0). Análogamente el jugador columna 
elimina la columna 1 que es dominada por la 2. Por tanto se obtiene como solución 0. Es decir que a ambas 
fotocopiadoras les conviene decidir por “precios bajos” y el beneficio para ambas es 0 y (0;0) es equilibrio de 
Nash, porque si cambian de estrategia empeoran su situación. 
Se obtiene el mismo resultado aplicando Maximin y Minimax : 
 
 F2 precio alto F1 precio bajo 
F1 precio alto 0 -20 -20 
F1 precio bajo 20 0 0 
 20 0 Max=Min = 0 
 
 
8) El jugador “Columna” elegirá C1 y “Fila” finalmente elegirá F1, que es mejor que F2 como respuesta a C1, 
siendo el valor del juego es (8; 2) 
 
9) Ambas empresas deben decidir si ofrecen o no la financiación. 
 
 
 
 L R 
 U 0, 0 2,2 
 D 10,11 -1,0 
 A B 
D 0, 1 5,4 
E 3,6 -1,0 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
20 
 
 
 
 
 
 
Por dominancia (eliminando fila 2 y columna 2) 
la solución es (400, 400) y es equilibrio de Nash. La misma conclusión se obtiene aplicando máximos pagos 
(subrayado) 
 
10) El valor del juego es (100;100) 
11) a) Estrategias 2 y 1. (5,-5). b) Estrategias 2 y 1. (3,-3). c) Estrategias 1 y 1. (0,0). 
12) Estrategias 2 y 1 o estrategias 1 y 2 generan equilibrios de Nash. 
 
 Empresa 2 
Ofrece 
Empresa 2 
No ofrece 
 Empresa 1 
Ofrece 
400, 400 800, 300 
 Empresa 1 
No Ofrece 
300, 800 600, 600 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
21 
AUTOEVALUACIÓN: TEORIA DE LOS JUEGOS 
 
Problema 1: Japón y EEUU estánanalizando normas de actuación para abrir o cerrar sus mercados de 
importación. La matriz de beneficios en millones de dólares es: 
 JAPÓN 
 ABRIR CERRAR 
EEUU ABRIR 500, 500 1100, 0 
CERRAR 0, 1100 1000,1000 
 
a) Considera que cada país conoce la matriz de beneficio y cree que el otro país actuará en su propio 
interés, es decir, por la decisión que maximiza su beneficio. ¿Cuál estrategia elegiría? ¿Existe un valor del 
juego? 
b)¿Existe alguna combinación de estrategia que represente un equilibrio de Nash? ¿Es único? 
 
Problema 2: La siguiente es la matriz de beneficios de un juego de suma cero: 










511
342
413
 
 a) Expresa el juego empleando una bimatriz. 
b) Si cada jugador es optimista y su decisión es optar por la estrategia que corresponde a generar su 
óptimo beneficio. ¿Existe alguna estrategia que cada jugador nunca elegirá? 
c) Si en el inciso b) se obtiene una solución, responde: Dicha solución, ¿es equilibrio de Nash? 
d) Si en el inciso b no se obtiene una solución, los jugadores se tornan pesimistas y para resolver el juego 
optan por minimizar sus pérdidas 
¿Cuál es la solución para cada jugador? ¿Es un equilibrio de Nash? 
 
La resolución de estas actividades de Autoevaluación se encuentran en el aula virtual. 
 
BIBLIOGRAFIA 
-ANZIL, Federico (2005). “Teoría de Juegos”. Universidad Nacional de Córdoba- Argentina. Econlink, 
disponible en: http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml 
-ARNTZ,W & CHASSE,B & VINCENT,M (2006);”¿¡ Y tú qué sabes!?”Ed KIER SA, Buenos Aires, argentina. 
-D’ANDREA, CARLOS. “Juegos Matemáticos y análisis de estrategias ganadoras” Departamento de Álgebra y 
Geometría, Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona. Gran Via 505, 08007, Barcelona. España 
-PEREZ, JOAQUIN ET AL. (2004), Teoria de los juegos. Ed. Pearson. Madrid. 
 - Epositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7243/2/118745.pdf 
 -http://www.eco.uc3m.es/docencia/new_juegos/doc/Problemas%20Esta%CC%81ticos.pdf 
- RUFASTO, AUGUSTO. Teoria de los Juegos. Disponible en: 
 http://www.geocities.com/arufast/juegos.html 
 
http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml
http://www.eco.uc3m.es/docencia/new_juegos/doc/Problemas%20Esta%CC%81ticos.pdf
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
22 
MATRICES. ALGEBRA MATRICIAL 
 
La teoría de los juegos mostró la utilidad de representar en forma organizada información, suministrada a través 
de datos numéricos, empleando matrices. 
En otros contextos como sociales, económico, administrativos, etc, también es conveniente exhibir, organizar 
y realizar una rápida lectura de la información a través de las matrices. 
 
En esta sección se presentan distintos tipos de matrices, que por su forma se identifican con distintos nombres. 
 
MATRICES ESPECIALES 
Tipo de matriz Ejemplos 
Matriz columna o vector columna: Es una matriz de 
orden mx1. 
 
A5x1 = 


















2
1
3
0
2
 y B4x1 = 
















0
1
2
1
 
Matriz fila o vector fila: Es una matriz de orden 1xn. A1x3 = (3 2 1) y B1x4 = (4 10 -5 172) 
Matriz nula o matriz cero: Es una matriz de orden 
mxn donde todos sus elementos son ceros. 
Usualmente la designamos con las letras O o N 
N2x4 = 





0000
0000
 N2x2= 





00
00
 
N2x1= 





0
0
 
Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada cuando el 
número de filas coincide con el número de columnas. 
Los elementos de estas matrices que cumplen la 
condición que número de fila es igual al número de 
columna forman la diagonal principal de la matriz. 
Decimos que A es de orden nxn o que A es de orden 
n. 
 
M = 





 31
2/12
 B =













032
301
210
 
 
Matriz opuesta: Llamamos matriz opuesta de A de 
orden mxn a una matriz del mismo orden que A, que 
se obtiene multiplicando todos los elementos de A 
por 1. La indicamos –A (leemos opuesta de A). 
 
Sea A = 




 
50
52
 , la opuesta es –A = 







50
52
 
 
Matriz Diagonal: Sea D una matriz cuadrada. La 
matriz D es una matriz diagonal si y solo si todos los 
elementos que están fuera de la diagonal principal 
son iguales a cero. La cantidad de elementos de la 
diagonal principal nos da el orden de la matriz. 
 
Son matrices diagonales: 
T=











300
010
002
; G = 





50
00
 ; H = 





20
02
; N = 





00
00
 
Notación: T= Diag(2, 1, 3), G = Diag(0, 5), 
H = Diag(2, 2) y N = Diag(0, 0) 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
23 
Matriz escalar: Una matriz es escalar si y solo si es una 
matriz diagonal que tiene todos los elementos de la 
diagonal principal iguales a una constante. 
 
A =










300
030
003
 y B =
2 0
0 2
 
 
 
 N = 





00
00
 
 
Matriz identidad (o matriz unidad): Una matriz es 
una matriz identidad si es una matriz diagonal cuyos 
elementos de la diagonal principal son iguales a 1 
 
I2 = 





10
01
 y I3 =










100
010
001
 
 
Matriz triangular superior: Una matriz U = (uij) de 
orden mxn es triangular superior si y solo si 
 uij = 0 si i > j para 1  i m; 1  j  n 
F = 














000
100
200
432
 V = 





10
11
 
 
Matriz triangular inferior: Una matriz L = (lij) de orden 
mxn es triangular inferior si y solo si lij = 0 si i < j para 
1  i  m; 1  j  n. 
 
L = 











0110
0012
0001
 y F =










 301
026
000
 
 
Matriz triangular inferior unidad: Una matriz es una 
matriz triangular inferior unidad si y solo si es 
triangular inferior y sus elementos diagonales son 
iguales a 1. 
 
V =










143
012
001
 D =














304
125
013
001
 
Matriz triangular superior unidad: Una matriz es una 
matriz triangular superior unidad si y solo si es 
triangular superior y sus elementos diagonales son 
iguales a 1. 
T =









 
2100
1010
0121
 S =
1 2 3
0 1 4
0 0 1
 
 
 
 
 
 
MATRICES IGUALES 
 
Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden 
y los elementos ubicados en la misma posición o correspondientes son iguales 
 
Ejemplos 
1- Las matrices A = (
1 2 −4
0 4
1
2
) y B = (
1 2 −4
0 4
1
2
) son iguales porque tienen el mismo orden, ambas son de 
orden 2x3 y los elementos correspondientes son iguales: 
a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13 , a21 = b21 , a22 = b22, a23 = b23 
 
2- Dadas las matrices: C= (2 a
0 5
) y E= (2 4
b 5
) Para que C = E se debe cumplir que: a = 4 y b = 0 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
24 
 
ACTIVIDADES: MATRICES 
1- Considerando las siguientes matrices, donde x, y, z, m  R: 
A = 




 
2/17812
1531
 B =









 
103793
1412
z34x
2
3
1 C =  7576xy12 D = 











12
yx
58
 E = 















xz
6745
m139
x36
 
G =













 
0000
2m00
x78150
x4535123
 H = 





0010
0001
 M = 










000
000
35100
 H = 










000
000
000
 
a) Establecer el orden de las matrices. 
b) Clasificarlas en: cuadradas, diagonales, triangulares, nulas, etc 
 
2- Dada la siguiente matriz A = 













1129835
1103487
2315 356
3
 
a) Identificar los elementos: a23, a33, a12, a21. 
b) ¿Cuáles son los elementos que forman ladiagonal principal? 
 
3- Completa los siguientes enunciados para que resulten verdaderos: 
a) A = (aij) es una matriz 3x3. A es escalar si y sólo si  i = j : aij = 2 y  i  j: …………… 
b) B es una matriz 4x5. B es triangular inferior si y sólo si  i < j : bij =………….. 
c) C es una matriz 2x4. C es triangular superior si y sólo si  i >j : cij =………….. 
 
 4- Explicitar las matrices A, B y C dadas a continuación 
A2x3 = (aij) / aij = 





ji si ji
ji si 1
 B3x3 = (bij) / bij = 





ji si 2i
ji si j-i
 
C3x3 = (cij) / cij = 





ji si i-j
ji si j+2i
 D3x4 = (dij) /dij = 





ji si j . i
ji si j : i
 
5- Indicar si las siguientes matrices son triangulares superiores, inferiores o ninguna de las anteriores: 
N =










000
000
000
 ; A =













1129835
1103487
2315 356
3
 ; B =
















00
00
00
20
012
 ; C = 





005
004
 M =













064
601
410
; R = 





000
100
; S = 










100
010
000
 
 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
25 
RESPUESTAS ACTIVIDAD: MATRICES 
 1.a) A es de orden 2x3 ; B es de orden 3x3; C es de orden 1x4; D es de orden 3x1; E es de orden 4x2; G es 
de orden 4x4; H es de orden 2x4; M es de orden 3x3; H es de orden 3x3 
 
b) A es rectangular, B es cuadrada, C es matriz fila, D es matriz columna 
E es matriz rectangular, G es cuadrada y triangular superior. 
H es rectangular, triangular superior unidad y triangular inferior unidad. 
M es cuadrada y triangular superior. 
H es cuadrada y nula 
 
2. a23 = 110, a33 = 11, a12 = 3/56, a21 = -87 b) {15, 34, 11} 
 
3. a) aij = 0 si i  j b) bij = 0 si i < j c) cij = 0 si i > j 
 
4. A = 







111
211
; B = 










066
404
220
; C = 












912
161
213
; D = 










12163
8612
4321
 
5. N es triangular superior e inferior, A ninguna de las anteriores, B es triangular superior e inferior, C es 
triangular inferior, M ninguna de las anteriores, R triangular superior, S triangular superior e inferior 
 
OPERACIONES MATRICIALES 
 
En diversas situaciones como la que se muestra a continuación es de utilidad emplear operaciones matriciales 
para su resolución en forma organizada. Dicha resolución dará cuenta del sentido y significado de cada una de 
las operaciones matriciales para luego formalizar cada concepto. 
 
Situación: Una empresa nacional tiene cuatro distribuidoras, una en cada región (norte, centro, sur y cuyo). 
Las ventas de tres de sus productos por región, expresadas en millones de dólares, fueron: 
 
Año 2014 Año 2015 
Región 1, producto 1: 2.6 Región 1, producto 1: 3.6 
Región 1, producto 2: 3.2 Región 1, producto 2: 4.5 
 Región 1, producto 3: 2.4 Región 1, producto 3: 2.9 
Región 2, producto 1: 4.8 Región 2, producto 1: 2.5 
Región 2, producto 2: 4.4 Región 2, producto 2: 5.0 
Región 2, producto 3: 3.6 Región 2, producto 3: 3.0 
Región 3, producto 1: 1.8 Región 3, producto 1: 3.0 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
26 
Región 3, producto 2: 2.5 Región 3, producto 2: 3.5 
Región 3, producto 3: 3.8 Región 3, producto 3: 4.6 
Región 4, producto 1: 0.9 Región 4, producto 1: 2.5 
Región 4, producto 2: 2.8 Región 4, producto 2: 3.8 
Región 4, producto 3: 2.5 Región 4, producto 3: 4.0 
I- Organizar los datos anteriores de modo que la información se presente en forma más clara. 
Denotando con A a la matriz del año 2014 y con B a la correspondiente al año 2015, y representando en cada 
fila las ventas por regiones 1, 2, 3 y 4 respectivamente y en cada columna las ventas por producto 1, 2 y 3 
respectivamente, los datos se organizan: 
A = 














5.28.29.0
8.35.28.1
6.34.48.4
4.22.36.2
 B = 














48.35.2
6.45.30.3
0.30.55.2
9.25.46.3
 
II- Siendo A la matriz de ventas del año 2014 y B la del año 2015. 
a) Expresar el significado de los elementos a23 y b21 
a23 = 3.6 representa las ventas correspondientes al producto 3 en la región 2. 
 b21 = 2.5 representa las ventas correspondientes al producto 1 en la región 2. 
b) Calcular las ventas totales de los dos años de cada producto y cada región. 
Calcular las ventas totales discriminadas por producto y región, significa que por ejemplo de la región 1 
(fila1) de cada año, sumo las ventas generadas por los productos 1: a11 + b11 , de los productos 2: a12 + 
b12 y de los productos 3: a13 + b13 . Análogamente se procede con las otras tres regiones. Luego, los 
cálculos se organizan expresando: 
 
A+ B = 
2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9
4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0
1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6
0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4
   
 
   
   
 
   
 = 














5.66.64.3
4.80.68.4
6.64.93.7
3.57.72.6
 
c) Calcular e interpretar A- B 
 
A-B = A+ (-B) = 
2.6 3.6 3.2 4.5 2.4 2.9
4.8 2.5 4.4 5.0 3.6 3.0
1.8 3 2.5 3.5 3.8 4.6
0.9 2.5 2.8 3.8 2.5 4
   
 
   
   
 
   
 = 


















5.116.1
8.012.1
6.06.03.2
5.03.11
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
27 
 A-B representa la variación (incremento o disminución) en las ventas del año 2014 al 2015 
d) La gerencia de la empresa había proyectado para el año 2015 un 30 % de incremento en las ventas de 
los productos en todas las regiones respecto al año 2014. ¿Se cumplió este objetivo? 
 
Para resolver esta situación se debe calcular el incremento del 30% en cada venta del 2014 y luego 
compararlos con los elementos del año 2015. Es decir que se debe multiplicar la matriz A, cada eleento 
de ella, por el número 1.3. Los cálculos se organizan como se muestra 
 
 (A + 0.30 A) = 1.30 A = 
(1.3)2.6 (1.3)3.2 (1.3)2.4
(1.3)4.8 (1.3)4.4 (1.3)3.6
(1.3)1.8 (1.3)2.5 (1.3)3.8
(1.3)0.9 (1.3)2.8 (1.3)2.5
 
 
 
 
 
 
 = 
3.38 4.6 3.12
6.24 5.72 4.68
2.38 3.25 4.94
1.17 3.68 3.25
 
 
 
 
 
 
 
 Comparando con los elementos de B, se concluye que no se cumple el objetivo. 
 
e) Si para el año 2016, se espera triplicar las ventas del producto 1 y duplicar las de los productos 2 y 3 
respecto al año 2015. Determinar las ventas totales para cada una de las cuatro regiones para el 
año 2016. 
La venta total esperada para la región 1, si se triplica la venta del producto 1, y se duplican las 
ventas de los productos 2 y 3 es: (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2  . 
 Análogamente para la región 2, se obtiene: (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2  . 
De la misma manera se procede con las otras regiones. 
Todos estos cálculos se organizan como se muestra: 
 
3.6 4.5 2.9 (3.6)3 (4.5)2 (2.9)2 25.6
3
2.5 5.0 3.0 (2.5)3 (5.0)2 (3.0)2 23.5
2
3.0 3.5 4.6 (3.0)3 (3.5)2 (4.6)2 25.2
2
2.5 3.8 4 (2.5)3 (3.8)2 (4)2 23.1
      
      
                
      
      
 
 
La resolución de esta situación da cuenta del sentido y el significado de las operaciones matriciales: , adición, sustracción, 
producto de una matriz por un escalar y producto entre dos matrices. A continuación se formalizarán los correspondientes 
conceptos. 
 
 
 
 
 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
28 
Definiciones: 
 
Operación Ejemplo Propiedades 
Adiciónde matrices 
Dadas dos matrices A = (aij) y 
B = (bij) de orden mxn , se 
define A más B y se indica 
como A + B a una nueva matriz 
S = (sij) de orden mxn tal que 
cada elemento de S se obtiene 
sumando a cada elemento de 
A el correspondiente elemento 
de B. 
 
 
 
A = 




 
23
117
, B = 




 
28-
56
 
 
A + B = 







22-8)(3
(-5)1-617
 
A+ B = 





45-
6-23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
b) Conmutativa: A + B = B + A 
c) Existencia de elemento neutro: 
Existe la matriz nula N de orden mxn 
tal que para toda matriz A de orden 
mxn se cumple que A más la matriz 
N es igual a la matriz N más A, y esta 
suma es igual a la matriz A. 
En símbolos: 
 N /  A: A + N = N + A = A 
d) Existencia de matriz opuesta: Para 
toda matriz A de orden mxn existe la 
opuesta A tal que A más su opuesta 
es igual a la matriz nula. 
En símbolos: 
 A:  A / A +( A) = (A) + A = N 
Sustracción de matrices 
Restar a la matriz A la matriz 
B, es lo mismo que sumar a la 
matriz A la opuesta de la 
matriz B, es decir, 
 A  B = A + (B) 
A = 




 
23
117
 y B = 




 
28-
56
 
A  B = A + (B) = = 




 
23
117
+
-6 5
8 -2
 
 
 
= 
11 4
11 0
 
 
 
 
 
Multiplicación entre un 
número real y una matriz 
Sea A una matriz de orden 
mxn y r un número real. La 
multiplicación entre un 
número real r y una matriz A 
da como resultado una matriz 
de orden mxn cuyos 
elementos se obtienen 
multiplicando cada elemento 
de la matriz A por el número 
real r. 
En símbolos: Sean A = (aij) de 
tamaño mxn y r  R 
 r . A = r. ( aij )=(r aij) 
Sea la matriz A =










1400
2100
750
 que 
representa las ventas de 3 
productos para el año actual. Si se 
prevee un aumento de las ventas de 
un 20% 
B = 










1400
2100
750
 + 0,20 










1400
2100
750
 = 
= 1,20










1400
2100
750
= 










1680
2520
900
 representa 
la proyección para el año siguiente 
 
Sean A, B, N matrices de orden mxn; 
N una matriz nula y r, s números 
reales entonces: 
a) (𝑟 + 𝑠)𝐴 = 𝑟𝐴 + 𝑠𝐴 
b) 𝑟(𝑠𝐴) = (𝑟𝑠)𝐴 
c) 𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵 
d) (−1)𝐴 = −𝐴 
e) 0𝐴 = 𝑁, 0 ∈ 𝑅 
f) 𝑟𝑁 = 𝑁 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
29 
Multiplicación de matrices 
Dadas dos matrices 
A = (aij) y B = (bij) de órdenes 
mxq y qxn, respectivamente, 
llamamos matriz producto de 
A con B a la matriz C de 
orden mxn tal que cada 
elemento cij de esta matriz 
producto se obtiene como el 
producto anteriormente 
definido entre la matriz fila i 
de A con la matriz columna j 
de B. 
En símbolos Amxq . Bqxn=Cmxn 
El producto A.B se indica A B 
Para que el producto AB esté 
bien definido el número de 
columnas de la matriz A debe 
coincidir con el número de filas 
de la matriz B. De esta manera 
que A y B son conformables 
para el producto. 
A = 
35 28 25
35 30 24
32 28 24
 
 
 
 
 
 y B = 










5
5
8
 
 
 8 
 A.B 5 
 5 
35 28 25 35.8+28.5+25.5 
35 30 24 35.8+30.5+24.5 
32 28 24 32.8+28.5+24.5 
 
El resultado de A.B es la matriz 
 C = 










516
550
545
de orden 3x1. 
 
Sean A, B y C matrices conformables 
para el producto. Se cumple: 
a) Propiedad Asociativa 
 A (B C) = (A B) C 
b) Propiedad Distributiva 
 A (B + C) = A B + A C 
(A + B) C = A C + B C 
c) Existencia de elemento neutro 
Si A es una matriz de orden nxn 
entonces A In = In A = A. 
La matriz In se llama elemento 
neutro para la multiplicación de 
matrices cuadradas de orden nxn. 
d) c(A B) = (c A) B = A (c B) c  R 
e) Existencia de elemento absorbente 
Si A es una matriz de orden nxn 
entonces A N = N A = N. 
La matriz N se llama elemento 
absorbente para la multiplicación de 
matrices. 
Potencia de matrices 
En función de la operación 
multiplicación de matrices se 
define la potencia enésima de 
una matriz. 
Sean A una matriz cuadrada y 
n  Z+ definimos 
 A0 = I 
A1 = A 
An+1 = An . A1 
Ejemplo: 
A = 





2/14
13
. A0 = 





10
01
 
A1= 





2/14
13
 A2= A A= 
= 





2/14
13






2/14
13
=








4/1710
2/513
 
A3 = A2A = 







8/6347
4/4749
 
Am An = Am + n = An Am n, m  Z+ 
Transposición de matrices 
Transponer una matriz 
consiste en crear una nueva 
matriz a partir de una dada, 
donde las filas de la nueva 
matriz son las columnas de la 
original, y donde las columnas 
de la nueva matriz son las filas 
Si A = 




 
120
121
 entonces 
 At = 










 11
22
01
 
 
 
a) (At )t = A 
b) (A + B)t = At + Bt 
c) (c A)t = c At siendo c R 
d) (A B)t = Bt At 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
30 
de la original, cambio que 
debe efectuarse de acuerdo al 
orden en que aparecen las filas 
y columnas en la matriz 
original. 
Multiplicación entre una 
matriz fila y una matriz 
columna 
Sean A = (a1, a2,…, an) y 
B =(b1, b2,…bn)t . 
Definimos el producto AB de la 
siguiente manera 
AB =a1.b1+ a2b2+…+anbn, 
obteniendo una matriz de 
orden 1x1 
Sean A =(1 3 5) y B = (1 3 7)t 
Luego, AB= (1 . 1 + 3.3 + 5 .7)= (45) 
 
 
Reflexiones sobre las propiedades de la multiplicación de matrices 
 
En la lista de propiedades que verifica la multiplicación de matrices, no se han mencionado las propiedades 
conmutativa y cancelativa. 
 
¿Se cumple que A B = B A? Los siguientes ejemplos permitirán dar respuesta a esta pregunta: 
 
1) Si A = (1 2) y B = 




 
84
63
 el producto AB está bien definido, es decir es posible pues el número de 
columnas de A coincide con el número de filas de B, pero BA no puede efectuarse ya que el número de columnas 
de B no coincide con el número de filas de A. 
 
2) Si A = 





11
21
 y B = 





 11
10
 los productos AB y BA están bien definidos, pero A B = 





01
32
es distinto de B 
A = 







30
11
 
En este ejemplo A B y B A están bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen el 
mismo orden, pero A B  B A 
 
3) Si A = (1 2) y B = 





4
3
, AB y BA están definidos, AB = ( 5 ) y BA = 




 
84
63
 . En este ejemplo A B y B A están 
bien definidos y las matrices que resultan de estas multiplicaciones tienen distinto orden, por lo tanto también 
en este ejemplo A B  B A 
Luego se afirma que: 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
31 
La multiplicación de matrices NO verifica la propiedad conmutativa 
 
Respecto a la propiedad cancelativa, el siguiente ejemplo muestra que: 
 
 Si A = 





00
02
 , B = 





00
02
 y C = 





40
00
 de orden 2x2. 
 
Resulta que: A B = 





00
00
= A C pero B  C 
 
La multiplicación de matrices NO se cumple la propiedad cancelativa 
 
Si A B = A C (o B A = C A) no implica que B = C 
 
 
ACTIVIDADES: OPERACIONES MATRICIALES 
 
6- Realizar, si es posible, las siguientes operaciones: A + B, A – C, A + D – B, –A + B, E + C 
siendo A =












129
23045
2/1213
 , B =













13/11
007
42115
 , C = (13 –4 1 5), D = 












2/123
000
7215
 y E = 















2
5/4
2
3
 
 
7- Hallar la opuesta de a) A = 













2/13/23
90100
7521b) B = (15 –25 11/5) 
 
8- Calcular x, n, z, w y m  R para que sea cierta la siguiente igualdad: 












n542
362x
1123
 + 










63w1
241-3
02z1
 = 












2m01
51012
1114
 
 
9- Dadas las siguientes matrices: 
A2x2 = 




 
10
12
 B2x1 = 





0
1
 C1x2 =  12  D2x3= 




 
210
121
 
Calcular todos los posibles productos tomando las matrices de a dos. 
 
10- Dadas las matrices: 
a) A = 




 
121
101
 y B =











10
12
21
 . Calcular y comparar A B con B A. 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
32 
b) ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar? Justificar. 
 
11- Sea A = 





31
12
 
a) Hallar: A2 – 2A b) Comprobar que: A2 – 2A = A (A – 2I ) 
 
12- Dada la matriz A = 





34
21
 
a) Calcular f(A) si f(X) = 2 X3 - 4X + 5 
(Nota: En esta expresión polinómica matricial el término independiente 5 significa el producto del número real 
5 por la matriz identidad, es decir, 5 I y f(A) es la función f(X) evaluada en X = A, es decir, f(A) = 2 A3 - 4A + 5 I) 
b) Muestra que A es un cero o raíz del polinomio P(X) = X2 + 2 X - 11I, es decir, que la función P evaluada en X 
= A da como resultado la matriz nula. 
 
13- Sea A = 




 
2/11
36
 , B = 




 
605
211
 C = 





 221
403
 . Verifica que: AB = AC pero B  C. 
 
RESPUESTAS ACTIVIDADES OPERACIONES MATRICIALES 
 
6. A + B = 












23/710
23038
2/74212
 , A  C y E + C no son posibles, 
A + D – B = 












2/13/1111
23052
2/523
; A + B =













03/58
23052
2/9018
 
 
7. a) –A = 













2/13/23
90100
7521
 b) –B = (15 25 11/5) 
8. z = 3, x = 1, w = 4, m = 8, n = 8 
 
9. AB = 





0
2
 , AD = 




 
210
432
 , BC = 




 
00
12
 , CD = (2 3 -4) 
CB = (2), CA = (4 -3) 
10. a) AB = 





15
11
 BA = 











121
321
143
 
b) Si. Por ejemplo, dos matrices de orden 4x3 se pueden sumar, pero no multiplicar. 
 
11. a) 





43
31
 12. f(A) = 







117104
5213
 
14- MATRICES EN CONTEXTO. 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
33 
Resolver los siguientes problemas: 
 (Para ello: organiza todos los datos que aportan empleando matrices, en los casos en los que no estén dados 
con esta disposición, y luego resuelve aplicando operaciones matriciales) 
 
Problema nº1: Los consumos anuales de cuatro familias (f1, f2, f3, f4) en tres alimentos básicos (a1,a2,a3), 
vienen dados en la siguiente matriz A . Los precios de esos mismos productos en los últimos cinco años están 
dados en la siguiente matriz B. Calcular el gasto por alimento de cada familia en cada año, empleando 
matrices. 
 















01186
38012
12154
81543
A B = 










1512796
1161154
10151231
 
 
Problema nº2: Un empresario del espectáculo planea construir un cine, sala de fiestas y pabellón de deportes 
en tres localidades L1, L2, L3. Según un muestreo previo, las preferencias de dichos ciudadanos (en tanto por 
ciento) se plasman en la siguiente matriz: 
 
 Cine fiestas deportes 
 











404218
503515
404020
A 
 Si el total de habitantes, mayores de 16 años, de las ciudades citadas vienen dado por la matriz fila: 
 L1 L2 L3 
 H = ( 72 000 14 500 39 200) 
Investigar qué tipo de espectáculo tendrá mayor número clientes. 
 
Problema nº3: Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene 
interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las 
matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años. 
 M F M F 
 
a) Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años. 
b) Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% con 
respecto al último año en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la 
nueva matrícula en el colegio? 
c) Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes 
a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco 
estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es: 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
34 
 
Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (30 30 40). 
Calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes. 
 
Problema nº4: Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad 
en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica de Nueva York está dada por la 
siguiente tabla 
 Modelo I Modelo II Modelo III 
Tamaño 32” 5 3 2 
Tamaño 37” 7 4 5 
Tamaño 40” 10 8 4 
(En otras palabras, la capacidad de la fábrica es de 5,000 televisores del Modelo I de 32 pulgadas, 8,000 
televisores del Modelo II de 40 pulgadas y así sucesivamente). 
 
La capacidad de producción en la fábrica de California está dada por la siguiente tabla. 
 Modelo I Modelo II Modelo III 
Tamaño 32” 4 5 3 
Tamaño 37” 9 6 4 
Tamaño 40” 8 12 2 
a) Representa los datos matricialmente. 
b) ¿Cuál es el total de capacidad de producción en las dos fábricas? 
c) ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica de Nueva York si se decide aumentar por lo menos la 
producción en un 20%? 
 
Problema nº5: Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony de varios tamaños. Tiene 5 de 40 
pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $6500 los 
de 37 pulgadas a $4400, los de 32 pulgadas a $3100 y los de 26 pulgadas a $2200. Expresa el total de venta de 
los televisores como un producto de dos matrices e indica el ingreso total. 
 
Problema nº6: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g 
de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los 
tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de 
camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la 
cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. 
 
Problema nº7: Una fábrica produce tres tipos de artículos, A1, A2 y A3, distribuyendo su producción entre cuatro 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
35 
clientes. En el mes de marzo el primer cliente ha adquirido 9 unidades de A1, 5 de A2 y 2 de A3; el segundo cliente 
3, 8 y 0, respectivamente; no compró nada el tercer cliente y el cuarto 6, 7 y 1 unidades, respectivamente. 
 En abril, el cuarto cliente no hizo pedido alguno, el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, 
mientras que los otros dos duplicaron el número de unidades adquiridas en marzo. 
a) Construye las matrices 4 x 3 correspondientes a las ventas de los meses de marzo y abril. 
b) Si los precios de los artículos son (en cientos de pesos por unidad) 10, 8 y 9, respectivamente, calcular lo 
que factura la fábrica acada cliente por sus pedidos en los meses de marzo y abril. 
 
Problema nº 8: Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los costos de cada unidad son $600, $920 
y $1430, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son $1800, 
$2800 y $4000. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente. 
Sabiendo que las matrices de costo C y precio de venta P, son diagonales y que la matriz de cantidad vendida, 
Q, es una matriz fila, se pide: 
a) Determinar las matrices C, P y Q. 
b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tres 
artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales. 
Respuestas de los problemas de la actividad 14. Matrices en contexto 
1 . AB = 
151 276 737 831 715
144 276 886 948 786
350 463 1045 696 1045
130 313 1153 1356 981
 
 
 
 
 
 
 
2.  517305033923631HA
100
1
 la que tiene mayor número de clientes es deportes. 
3. a) A +B = 





150165
600760
 b) 1.2 B = 





10896
372480
 c) 

















9.74
3.81
7.67
8.95
5.81
AB
100
1 t 
4. a) 
 Modelo I Modelo II Modelo III 
Tamaño 32” 9 8 5 
Tamaño 37” 16 10 9 
Tamaño 40” 18 20 6 
 
 
 Modelo I Modelo II Modelo III 
Tamaño 32” 6 4 3 
Tamaño 37” 9 5 6 
Tamaño 40” 12 10 5 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
36 
 
Aclaración: producción mínima para cubrir el aumento de 20 % por lo menos 
 
5.   )102100(
2200
3100
4400
6500
10485 














 
6. Se necesita 26.6 kg de manchego, 25.6 kg de roquefort y 21.6 kg de camembert. 
 
7. a) 




























000
444
0166
41018
176
000
083
259
; b) 




























0
108
188
296
125
0
94
148
 
 
8.a) 
 842625.1240.2Q
,
000.400
0800.20
00800.1
P,
143000
09200
00600
C























 
 
 
 
) 4032000 4550000 3368000 ,
1344.000 1495000 1204060 ,
2688000 3055000 2163940
b
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
37 
 BLOQUE 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADENAS DE MARKOV
SISTEMAS DE ECUACIONES 
LINEALES 
Resolución por metodo de Gauss y 
determinantes. Clasificación. 
Teorema del Rango
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
38 
CADENAS O PROCESOS DE MARKOV 
 
Introducción: Uso de las cadenas de Markov para tomar mejores decisiones. 
 
Las cadenas de Markov proporcionan un sistema muy útil para crear e implementar un proceso de toma de 
decisiones que aprecie posibles escenarios permitiendo predecir comportamientos futuros. Precisamente, el 
trabajo teórico del matemático Andrey Markov, consiste en un proceso de decisión de control estocástico, es 
decir con componente aleatoria, en las que el valor de la variable en el futuro depende del valor de la variable 
en el presente. En este sentido, una cadena de Markov consiste en una serie de estados, en los cuales la 
probabilidad de que un evento ocurra depende del estado inmediatamente anterior, y no de la secuencia de 
estados que le preceden. Estos cambios de estados se llaman transiciones. Cada proceso tiene un estado inicial 
y una matriz de transiciones que muestra todas las posibles transformaciones futuras a partir de él. 
 
Las cadenas de Markov tienen muchas aplicaciones en el mundo real, destacando su uso en negocios, política, 
finanzas, deportes, salud, genética, física, economía, como: 
 análisis de los movimientos de los precios de artículos de consumo 
 preferencias de los clientes 
 procesos físicos 
 procesos meteorológicos 
 
A modo de presentación del tema se analiza la siguiente situación: 
 
Situación 1: “Competencia en el mercado entre tres proveedores de marcas identificadas por: A, B, C” 
Un estudio de mercado obtiene la siguiente información relativa a las preferencias de los compradores respecto 
a tres marcas identificadas como A, B y C: los compradores que hoy compran un producto de la marca A, en un 
determinado periodo de tiempo un 30% volverá a comprar esta marca, un 40% cambiará a la marca B y un 30% 
a la marca C. Estos datos juntos a los de B y C se muestran en la siguiente matriz: 
 A B C 
 
A
B
C
 (
0.30 0.40 0.10
0.40 0.10 0.30
0.30 0.50 0.60
) 
 
Esta matriz se denomina MATRIZ DE TRANSICIÓN la llamaremos matriz P = (pij) y cada uno de sus elementos pij 
representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i. 
Por ejemplo: p32 = 0.50 indica que en un determinado período de tiempo los compradores de la marca B pasarán 
de consumir la marca C. 
 
A modo de predecir la participación en el mercado de las marcas A, B y C en un período siguiente, dicho estudio 
de mercado informa sobre las participaciones actuales en el mercado de A, B y C, resultando: 40%, 50% y 10%, 
respectivamente. Esto significa que, actualmente, el 40% del total de compradores eligen la marca A; 
análogamente para la marca B y C. 
http://www.datascienceassn.org/content/online-structure-learning-markov-logic-networks
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
39 
 
Organizando estos datos en la siguiente matriz: 𝑋0 = (
0.40
0.50
0.10
) 
 
En un periodo de tiempo siguiente, las participaciones en el mercado de A, B y C será: 
Para A: 0,3 ⋅ 0,4 + 0,4 ⋅ 0,5 + 0,1 ⋅ 0,1 = 33% 
Para B: 0,4 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,5 + 0,3 ⋅ 0,1 = 24% 
Para C = 0,3 ⋅ 0,4 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0,6 ⋅ 0,1 = 43% 
 
Empleando notación matricial y operaciones entre matrices se expresa la situación en este nuevo período de 
la siguiente manera: 
 X1 = P X0 = (
0.30 0.40 0.10
0.40 0.10 0.30
0.30 0.50 0.60
)(
0.40
0.50
0.10
) = (
0.33
0.24
0.43
) 
 
Si se necesita predecir la situación en un segundo período, se debe considerar como situación inicial a la 
matriz: 
X1 = (
0.33
0.24
0.43
) 
Luego: 
 X2 = P X1 = (
0.30 0.40 0.10
0.40 0.10 0.30
0.30 0.50 0.60
)(
0.33
0.24
0.43
) = (
0.238
0.285
0.477
) 
o bien 
 
 X2 = P X1 = P(P X0) = P
2 X0 = (
0.30 0.40 0.10
0.40 0.10 0.30
0.30 0.50 0.60
) (
0.30 0.40 0.10
0.40 0.10 0.30
0.30 0.50 0.60
)(
0.40
0.50
0.10
) = (
0.238
0.285
0.477
) 
En general: 
 
 Xt+1 = P Xt o Xt = P
t X0 
 
Se formalizarán los conceptos surgidos en la situación 1 mediante las siguientes definiciones: 
 
-CADENA DE MARKOV es un proceso con las siguientes características 
 Existe un número finito “n” de estados posibles 1, 2,....., n dentro de un mismo sistema. 
 En un tiempo dado el proceso está en uno y solamente en uno de los estados dados. 
 Que el proceso se encuentre en un determinado estado, depende únicamente del estado 
inmediatamente anterior en el que estuvo. 
 
 
 
UNL-FCE. Matemática Básica. Algebra Lineal 
 
40 
-MATRIZ DE TRANSICIÓN: Se denomina matriz de transición de estados a la matriz: 
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
p p ... p
p p ... p
. . . .
 
. . . .
. . . .
p p ... p
P
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
Donde cada elemento pij de la matriz representa la probabilidad de que el proceso pase del estado j al estado i. 
En particular, si i = j, pij representa la probabilidad de que estando el proceso en el estado i, siga permaneciendo 
en dicho estado. 
 
Los elementos de una matriz de transición de estados cumplen dos condiciones: 
 a) 0  pij  1  i = 1,..., n y  j = 1,...,