Algebra Lineal

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Vivian Libeth Uzuriaga López (Colombia, 1970). Doctora 
en Ciencias Pedagógicas del Instituto Pedagógico Latinoamericano y 
Caribeño, IPLAC, de la República de Cuba. Magíster en Matemáticas de la 
Universidad del Valle. Especialista en Matemáticas Aplicadas con 
énfasis en Matemática Computacional y Licenciada en Educación con 
especialidad en Matemáticas de la Universidad del Cauca. Profesora titular del 
Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Básicas 
de la Universidad Tecnológica de Pereira. 
Autora de los libros: Lecciones de álgebra lineal. Libro de trabajo para 
estudiantes y guía didáctica del docente (2010). Introducción a la Programación 
Orientada a Objetos y el lenguaje Java (2004). Programando con Java -un 
recorrido rápido- (2000). Ha publicado artículos en revistas 
especializadas nacionales e internacionales. 
Pertenece al grupo de investigación Estudios metodológicos para la 
enseñanza de la matemática incorporando las tecnologías de la información 
y las comunicaciones, EMEMATIC. 
vuzuriaga@utp.edu.co 
Alejandro Martínez Acosta (Bolívar, Cauca, Colombia, 1963). 
Licenciado en Educación con especialidad Matemática de la Universidad 
del Cauca. Candidato a Magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la 
Universidad Tecnológica de Pereira. Profesor asociado del 
Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Básicas de la 
Universidad Tecnológica de Pereira 
Autor de los libros: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Una 
Introducción (2012). Temas de Cálculo Diferencial en Varias Variables (2010). 
Temas de Cálculo Integral en Varias Variables (2010). Lecciones de Álgebra 
Lineal. Libro de trabajo para Estudiantes y Guía didáctica del Docente (2010) 
entre otros. Ha publicado artículos en revistas especializadas 
nacionales e internacionales. 
Pertenece al grupo de investigación Estudios Metodológicos para la 
Enseñanza de las Matemáticas y el uso de las nuevas Tecnologías 
(EMEMATIC). 
amartinez@utp.edu.co 
Álgebra Lineal
desde un enfoque desarrollador
Vivian Libeth Uzuriaga López
Alejandro Martínez Acosta
Colección Textos Académicos
Facultad de Ciencias Básicas
Año 2015
© Vivian Libeth Uzuriaga López, 2015
© Alejandro Martínez Acosta, 2015
Universidad Tecnológica de Pereira
Primera edición
Pereira, Colombia 
Texto Académico
Universidad Tecnológica de Pereira 
Vicerrectoría de Investigaciones, Innovación y Extensión 
Editorial Universidad Tecnológica de Pereira 
Coordinador editorial:
Luis Miguel Vargas Valencia
luismvargas@utp.edu.co
Conmutador 321 2221 Ext. 381
Edificio 1 Bloque A
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Universidad Tecnológica de Pereira
Impresión y acabados: 
Publiprint SAS
Reservados todos los derechos
Uzuriaga López, Vivian Libeth
 Algebra lineal desde un Enfoque desarrollador / Vivian Libeth Uzuriaga López; 
Alejandro Martínez Acosta. – Pereira : Universidad Tecnológica de Pereira, 2014.
 243 p.: il
 ISBN 978-958-722-209-8
1. Algebra lineal 2. Ecuaciones lineales 3. Vectores 4. Transformaciones matemáticas 5. 
Matrices (Matemáticas) 6. Espacios vectoriales.
 CDD512.5 Ed.23
Contenido
PRESENTACIÓN 9
1. CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 15
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Coordenadas cartesianas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. La ĺınea recta en el plano (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Sistemas 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Sistemas m× n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6. Métodos de eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9. Autoevaluación Caṕıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2. CAPÍTULO 2. VECTORES, RECTAS Y PLANOS 53
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Coordenadas y vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1. Coordenadas en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2. Vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.3. Longitud y dirección de un vector de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.4. Operaciones fundamentales con vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.5. Producto punto o producto escalar en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3. Vectores en R3 y en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.1. Coordenadas cartesianas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2. Coordenadas cartesianas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3. Longitud y dirección de un vector en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.3.4. Operaciones básicas con vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3.5. Producto escalar o producto punto en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.6. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3.7. Aplicaciones del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.8. Rectas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.9. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de un plano . . . . . . . . . 114
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5. Autoevaluación Caṕıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3. CAPÍTULO 3. MATRICES 127
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2. Definiciones y terminoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6. Autoevaluación Caṕıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4. CAPÍTULO 4. DETERMINANTES 145
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4. Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6. Autoevaluación Caṕıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5. CAPÍTULO 5. ESPACIOS VECTORIALES 163
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4. Combinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.6. Espacios fundamentales de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.7. Coordenadas y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.8. Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 194
5.9. Proyecciones y bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.11. Autoevaluación Caṕıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6. CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES LINEALES 207
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.2. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.3. Núcleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.4. Representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.5. El espacio vectorial de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.5.1. Operaciones con transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.7. Autoevaluación Caṕıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7. CAPÍTULO 7. VALORES Y VECTORES PROPIOS 227
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.2. Definiciones y terminoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.3. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.4. Diagonalización ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.5. Formas cuadráticas y secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.7. Autoevaluación Caṕıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
BIBLIOGRAFÍA 243
Presentación
9
Desde la antigüedad, la matemática ha sido uno de los fundamentos teóricos para el desa-
rrollo cient́ıfico y tecnológico de la humanidad, posibilitando la modelación y solución de diferen-
tes y numerosos problemas y aplicaciones en la vida real y cotidiana. Ha brindado la posibilidad
de construir modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia, la tecnoloǵıa, la inge-
nieŕıa o de la técnica.
Los cursos universitarios de matemáticas que apoyan la formación básica en los programas
de pregrado y posgrado tienen, entre otros, el propósito de contribuir al desarrollo del pensamien-
to lógico y sentar las bases para el aprendizaje de otros conocimientos, tanto en matemáticas
como en otras disciplinas.
El álgebra lineal es una de las áreas de la matemática, que de manera significativa, con-
tribuye al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes, permitiéndoles avanzar de lo
concreto a lo abstracto mediante la evolución de actividades mentales generales, tales como: ra-
zonar, pensar, analizar, representar, sintetizar, generalizar, particularizar, comparar y clasificar.
Su aporte en la solución de diferentes aplicaciones y problemas de f́ısica, ingenieŕıa, tecnoloǵıa,
qúımica, ciencias naturales, sociales y de la salud, biomédica, procesamiento y reconocimien-
to de imágenes, entre otras, la ha convertido en herramienta fundamental para un ingeniero o
cient́ıfico.
Además, ha jugado un papel significativo en los avances tecnológicos y ha llegado a ser es-
tudiada y usada desde lo numérico, implicando la utilización de herramientas computacionales
y algunos tópicos de la matemática clásica y moderna, como el álgebra abstracta y el análi-
sis funcional. Igualmente, es un fundamento teórico en la consolidación de conceptos en otras
áreas de la matemática: geometŕıa anaĺıtica y vectorial, cálculo en varias variables, ecuaciones
diferenciales, etc., con las cuales guarda una estrecha relación.
Teniendo en cuenta la importancia del álgebra lineal dentro de las diferentes disciplinas
del saber y su aporte en la formación de los estudiantes, es necesario tener un texto que per-
mita acceder de manera rápida, didáctica y sistematizada a su contenido, para aumentar las
posibilidades de aprender tanto en clase como fuera de ella, siendo este una fuente permanente
de información y consulta que potenciará el trabajo autónomo de los alumnos.
El uso de textos de estudio ha sido objeto de diferentes investigaciones sobre poĺıticas
educacionales. Por ejemplo, investigaciones realizadas en la Universidad de Harvard mostraron
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
que los alumnos que utilizaron textos gúıas se desempeñaron significativamente mejor en las
pruebas de rendimiento al final del periodo escolar.
Lo anterior es una de las razones que motivó la elaboración y diseño del texto que hoy
se presenta: “Álgebra lineal desde un enfoque desarrolllador”, resultado del proyecto
de investigación “Estudios metodológicos para contribuir a mejorar el proceso de enseñanza-
aprendizaje del álgebra lineal, incorporando las nuevas tecnoloǵıas de la información y las co-
municaciones”, desarrollado por el grupo “Estudios Metodológicos para la Enseñanza de
la Matemática y el uso de las Nuevas Tecnoloǵıas (EMEMATIC)”, con el propósito
de ser el libro gúıa para los estudiantes de un primer curso de álgebra lineal en las carreas de
ingenieŕıa, tecnoloǵıa, economı́a, qúımica, licenciatura en matemáticas y ciencias afines.
El contenido teórico es el clásico, la diferencia radica en la forma sistémica como se pre-
sentan, desarrollan y relacionan los temas, los cuales se muestran de manera progresiva y entre-
lazada, permitiendo al estudiante avanzar en el conocimiento e integrarlo para hacer de él un
todo; posibilitándole la solución exitosa de muchos problemas en el desarrollo de su carrera y,
posteriormente, en su actividad profesional.
Para la organización del contenido se tuvo en cuenta el concepto de combinación lineal
como célula generadora de muchos otros, el cual se introduce desde el segundo caṕıtulo.
La metodoloǵıa, fundamentada teóricamente en el aprendizaje desarrollador, se concreta en
la forma como está escrito y presentado el contenido y es otro de los aspectos que lo hace diferente
de textos similares. Además, se han tenido en cuenta las experiencias positivas obtenidas con el
libro Lecciones de álgebra lineal, libro de trabajo para estudiantes y guia didáctica del docente
(2010), de los mismos autores, y que ha sido usado desde el 2010 por alumnos de la Universidad
Tecnológica de Pereira.
Aunque el álgebra lineal se fundamenta esencialmente en la teoŕıa de los espacios vectoria-
les, las transformaciones lineales y los valores y vectores propios, el texto inicia con sistemas de
ecuaciones lineales porque permite al estudiante continuar con el desarrollo de sus conocimientos
y establecer continuidad a partir de lo visto y aprendido en los cursos previos. Además, propor-
ciona las herramientas algebraicas necesarias para el desarrollo numérico de otros conceptos.
Desde el segundo caṕıtulo se introduce el concepto de espacio vectorial a partir de ejemplos
y, posteriormente, en el caṕıtulo cinco, se da la fundamentación rigurosa de ese concepto, uno
de los más abstractos del curso.
El contenido está distribuido en siete caṕıtulos para ser desarrollado completamente en un
semestre académico de 16 semanas con una intensidad de cuatro horas semanales; la mayoŕıa de
ellos se inicia con una situación problema y en el desarrollo de cada uno, se presentan diferentes
aplicaciones que contextualizan la teoŕıa desarrollada.
Caṕıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Se inicia con el estudio de la ĺınea recta
con el fin de relacionar los conceptos vistos en un curso de cálculo diferencial y proporcionar
al alumno las herramientas necesarias para el desarrollo de los caṕıtulos posteriores. Se incluye
el uso de una versión preliminar del software ALTIC,el cual se encuentra en desarrollo por el
10
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
grupo de investigación.
Caṕıtulo 2. Vectores, rectas, planos. Comienza con el estudio de los vectores en
R2, desde el punto de vista geométrico y anaĺıtico. Se definen las operaciones básicas: suma
y multiplicación por un escalar y sus propiedades, las cuales llevan a la definición de espacio
vectorial. Aśı mismo, se introduce el concepto central de combinación lineal como célula
generadora y a partir de este, se definen dependencia e independencia lineal, espacio generado
y conjunto generador. Esta parte del libro continúa con los vectores en R3 y Rn, siguiendo la
misma organización de R2. Se estudia el producto escalar y vectorial y se finaliza con la ĺınea
recta y el plano en R3.
Caṕıtulo 3. Matrices. Se introduce el concepto de matriz, ejemplificándolo con datos
numéricos y con aplicaciones que requieren de estas para su modelado. Se continúa con las ope-
raciones básicas de suma y multiplicación por un escalar y sus propiedades, las cuales permiten
definir el conjunto de matrices como un espacio vectorial. Se define combinación lineal y los
conceptos que se deriven tales como: dependencia e independencia lineal y espacio generado.,
para concluir con los conceptos de transpuesta, producto e inversa de matrices, al igual que sus
propiedades.
Caṕıtulo 4. Determinantes. Aqúı se aborda la definición de determinante mediante
cofactores, se ilustran sus propiedades que serán usadas en el caṕıtulo 7 y se culmina con
ejercicios que permiten relacionarlas con las de matrices.
Caṕıtulo 5. Espacios vectoriales. Se generaliza el concepto de espacio vectorial estu-
diado en los caṕıtulos dos y tres, se analiza su estructura, propiedades, leyes y regularidades.
Caṕıtulo 6. Transformaciones lineales. Corresponde este caṕıtulo al estudio de una
clase especial de funciones, las transformaciones lineales que aparecen con frecuencia en álgebra
lineal, en otras ramas de las matemáticas y que tienen gran variedad de aplicaciones. Se estudian
sus propiedades y se finaliza con su representación matricial.
Caṕıtulo 7. Valores y vectores propios. El caṕıtulo final se dedica al estudio de
los valores y vectores propios de una matriz cuadrada. Se continúa con la diagonalización, en
particular, de matrices simétricas y se termina con aplicaciones a las secciones cónicas.
En esta edición del libro, el software ALTIC solo se ha implementado en el primer caṕıtulo.
Se espera que en una futura edición se pueda realizar la implementación de una versión mejorada
de dicho software para cada uno de los caṕıtulos.
11
CAPÍTULO UNO
Sistemas de ecuaciones lineales
15
1.1. Introducción
Los sistemas de ecuaciones lineales ya eran tratados en la antigüedad. Los babilonios es-
tudiaron problemas que involucraban ecuaciones lineales simultáneas y algunos de estos se con-
servan en tabletas de arcilla que han permanecido en el tiempo. Una tableta que data alrededor
de 300 años AC contiene el siguiente problema:
“Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una
proporción de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una
proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas,
¿cuál es el tamaño de cada terreno?”
Mucho antes, los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, plantearon un problema que
involucra sistemas de ecuaciones lineales en el texto “Nueve Caṕıtulos de Arte Matemático”,
escrito durante la Dinast́ıa Han, el cual es similar al ejemplo anterior dado en Babilonia:
“Hay tres tipos de cereal, de los cuales un fardo del primero, dos del segundo y tres del
tercero hacen 26 medidas. Dos del primero, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas.
Y tres del primero, dos del segundo y uno del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de
cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?”
Lo más sorprendente de este estudio es que el autor utiliza un tablero contador en el que
coloca los coeficientes y da además, instrucciones para resolverlo, lo que hoy en d́ıa constituye
el método de eliminación gaussiana. Extractado de [14].
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Una gran variedad de problemas que surgen en diferentes áreas del conocimiento como
ingenieŕıas, ciencias exactas, naturales y sociales, ciencias médicas, entre otras, se reducen a
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
resolver un sistema de ecuaciones lineales. El interés en la solución de dichos sistemas es muy
antiguo, como lo referencia el problema del ganado de Arqúımedes. Ver [7] p. 1.
Además de la teoŕıa que aportan los sistemas de ecuaciones lineales, estos se convierten
en herramientas y bases fundamentales para el desarrollo de los temas de un curso de Álgebra
Lineal. Por tal razón, este libro se inicia con el estudio de la ĺınea recta con el fin de fortalecer
y reforzar los conceptos previos que tiene el estudiante desde su bachillerato y la matemática
universitaria previa al curso, y a la vez, ofrecerle un ambiente conocido y comprensible.
Se analizan problemas en cuyo modelado intervienen varias rectas con el fin de realizar
un acercamiento a los sistemas de ecuaciones lineales de una manera natural y contextualizada.
Posteriormente, se estudian diferentes métodos que permiten la solución de sistemas de ecua-
ciones lineales para, finalmente proponer situaciones que permiten contextualizar el tema en
diferentes áreas.
1.2. Coordenadas cartesianas en el plano
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre
filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad
de tomar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Como creador de la
geometŕıa anaĺıtica, también comienza tomando un punto de partida: el sistema de referencia
cartesiano.
Con el fin de representar la geometŕıa plana, se toman como referencia dos rectas perpen-
diculares entre śı (a las cuales se les ha asignado previamente las direcciones positivas) que se
cortan en un punto llamado origen, ideando aśı las denominadas coordenadas cartesianas.
Las direcciones positivas de los ejes están indicadas por la flecha. Sea P un punto arbitrario
del plano. Por el punto P se trazan paralelas a los ejes coordenados x y y, denominando Px y Py
a los puntos donde dichas paralelas se encuentran con los ejes x y y respectivamente, tal como
se ilustra en la Figura 1.1(a).
x
y
b
b b
x
1
y
1
P (x1 , y1)Py(0, y1)
Px(x1 , 0)
(a) Sistema rectangular
(0, 0)
b
x
y
I
{
x > 0
y > 0
II
{
x < 0
y > 0
III
{
x < 0
y < 0
IV
{
x > 0
y < 0
(b) Cuadrantes
Figura 1.1 Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares
16
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Las coordenadas cartesianas de P son los números x1 y y1 dados por:
x1 =
{
|OPx| si Px está a la derecha de O
−|OPx| si Px está a la izquierda de O
y1 =
{
|OPy| si Py está encima de O
−|OPy| si Px está debajo de O
donde |OPx| y |OPy| denotan la medida de los segmentos OPx y OPy respectivamente a partir
del segmento unidad. Se denota P (x1 , y1). Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes, numerados como se muestra en la Figura 1.1(b).
Aśı, los puntos situados en el primer cuadrante tienen coordenadas positivas; los puntos
situados en el segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva; los puntos en el
tercer cuadrante tienen coordenadas negativas y los puntos del cuarto cuadrante tienen abscisa
positiva y ordenada negativa. Los puntos en el eje x tienen coordenadas de la forma (x1 , 0) y
para los puntos del eje y sus coordenadas son de la forma (0, y1). Las coordenadas del origen
son (0, 0).
1.3. La ĺınea recta en el plano (R2)
Para determinar la ecuación de la recta se debe conocer uno de los datos contempladosa
continuación:
• Dos puntos diferentes. Sean P (x0 , y0) y Q(x1 , y1) dos puntos distintos del plano.
b
b
b
P (x
0
, y
0
)
Q(x
1
, y
1
)
R(x, y)
O x
y
Figura 1.2 Recta por dos puntos
Si x0 6= x1 , la ecuación de la recta que los contiene, en su forma punto–pendiente es
y − y0 = m(x− x0) o y − y1 = m(x− x1), donde m =
y1 − y0
x1 − x0
.
Si x0 = x1 y y0 6= y1 , la ecuación de la recta es x = x0 .
17
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
• Un punto y la pendiente. Si la pendiente es m y el punto es P (x0 , y0), la ecuación es
y − y0 = m(x− x0).
• La pendiente y el intersecto con el eje y. Si la pendiente es m y el intersecto con el
eje y es el punto P (0, k), la ecuación es y = mx+ k. Figura 1.3(a).
• La derivada de una función y = f(x) en un punto dado. Si f ′(x0) es la derivada
de y = f(x) en el punto P (x0 , f(x0)), Figura 1.3(b), la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de y = f(x) en el punto P es
y = f(x0) + f
′(x0)(x− x0).
b P (0, k)
O x
y
(a) Pendiente-intersecto
b P (x
0
, f(x
0
))
O
y = f(x)
x
y
(b) Recta tangente
Figura 1.3 Pendiente-intersecto y recta tangente
En general, la ecuación de una recta se puede escribir en la forma
ax+ by = c, (1.1)
donde a, b, c ∈ R, con a y b no simultáneamente nulos. La expresión (1.1) se conoce como
ecuación lineal en las variables x y y.
Ejemplo 1.1. Sea la ecuación lineal 3x+ 2y = 8.
• La ĺınea recta tiene pendiente m = −3
2
, pues al escribirla en la forma y = mx + k, se
obtiene y = −3
2
x+ 4.
• Los intersectos con los ejes coordenados son (8
3
, 0) y (0, 4).
• Su gráfica es
18
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
1
2
3
4
5
−1
1 2 3 4 5−1−2 x
y
3x+ 2y = 8
• Los puntos (−2, 7), (1, 5
2
), (2, 1) satisfacen la ecuación de la recta porque al sustituir sus
coordenadas en la ecuación, resulta una identidad. Los puntos (1, 5), (0, 0) no la satisfacen.
¿Qué relación se puede establecer con la gráfica de la recta y los puntos que no satisfacen
la ecuación?
Ejemplo 1.2. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones
x+ 2y = 4 y ax+ 3y = c no se corten.
Solución. Dos rectas en el plano no se cortan si son paralelas no coincidentes. Es decir,
tienen sus pendientes iguales e intersectos con el eje y diferentes. Al escribir cada ecuación en
la forma y = mx+ k, se tiene:
L1 : y = −12x+ 2, L2 : y = −a3x+ c3 .
La recta L1 tiene pendiente m1 = −12 y ordenada al origen k1 = 2. La recta L2 tiene
pendiente m2 = −a3 y ordenadas al origen k2 = c3 . Como L1 y L2 son paralelas y no se cortan,
entonces m1 = −12 = −a3 = m2 y k1 = 2 6= c3 = k2 . De ah́ı, a = 32 y c 6= 6. La figura ilustra dos
rectas que no se cortan.
1
2
3
−1
1 2 3 4 5−1−2−3−4 x
y
y = − 1
2
x+ 2
y = − 1
2
x+ 5
4
19
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
El software ALTIC
En la Figura 1.4 se muestra la ventana principal del software ALTIC usado como uno de
los recursos didácticos para el curso, el cual permite comprobar, explorar y concluir sobre varios
temas del mismo. En el texto, solo se muestra su uso en el Caṕıtulo 1.
Figura 1.4 Ventana principal de ALTIC
Ejemplo 1.3. En un juego de video se observa un aeroplano que vuela de izquierda a derecha
a lo largo de la trayectoria y = 1 + 1
x
, x > 0 y dispara proyectiles en dirección tangente a la
trayectoria, a blancos que están ubicados a lo largo del eje x en las posiciones x = 1, 2, 3, 4, 5,
Figura 1.5. Determine si los proyectiles darán en algún blanco si el avión los dispara cuando
está en los puntos P (1, 2) y Q(3
2
, 5
3
). Ejercicio 63, p. 150 de [9].
1 2 3 4 5
1
2
3
60
f(x) = 1 + 1
x
, x > 0
Figura 1.5 Pantalla del juego
Solución usando ALTIC. La Figura 1.6 muestra una simulación del ejemplo dado,
usando el software ALTIC.
20
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Figura 1.6 Simulación en ALTIC
Ahora surge una pregunta natural. ¿Qué teoŕıa matemática se debe saber para solucionar
el problema? La respuesta es también natural y sencilla, se debe recordar cómo se halla la
ecuación de la recta tangente a la curva y = 1 + 1
x
en los puntos P y Q respectivamente.
Figura 1.7 Disparando desde P
La Figura 1.7 muestra la situación que se presenta al disparar desde el punto P . la ventana
que aparece en esta figura, ALTIC la genera cuando se hace clic sobre el botón Disparo en P y
pedir ayuda para comprobar que en efecto se impactó en el blanco ubicado en x = 3.
21
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Como se observa, al disparar desde P se impacta en el blanco localizado en x = 3. Las
preguntas que aparecen en la ventana ayudan a verificarlo.
• El valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P (1, 2) es m = −1.
Para verificarlo, se necesita el concepto de derivada.
• La ecuación de la recta a la curva en el punto P (1, 2) es y = −x + 3, esta ecuación se
obtiene de la siguiente manera: La ecuación de una recta en su forma punto pendiente es
y − y0 = m(x− x0).
Al reemplazar las coordenadas de P y m se obtiene
y − 1 = −1(x− 2).
Al hacer los cálculos correspondientes, se tiene la ecuación de la recta tangente
y = −x+ 3.
• El proyectil da en el blanco cuando y = 0, porque los blancos están ubicados sobre el eje
x, es decir en el punto ubicado en x = 3.
¿Qué sucede si se dispara desde Q? La siguiente figura ilustra la respuesta.
Figura 1.8 Disparando desde Q
Como se observa en la Figura 1.8, no se impacta blanco al disparar desde Q, pues el punto
alcanzado es x = 21
4
= 5.25. Para comprobarlo, basta con responder cada una de las preguntas
que aparecen en la ventana.
22
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
El ejemplo anterior exhibe una situación que lleva a retomar el concepto de derivada
estudiado en los cursos previos, aśı como su interpretación geométrica. Con esta aplicación se
pretende que el alumno inicie contextualizaciones de conceptos de álgebra lineal, aśı como su
relación con otras áreas del conocimiento.
Al retomar el estudio de la ecuación de la ĺınea recta ax+ by = c, esta se puede ver como
una función lineal escribiéndola en la manera
y = −a
b
x+
c
b
, b 6= 0.
La forma funcional es
y = f(x) = a0 + a1x,
donde a1 = −ab y a0 = ca .
La función queda completamente determinada por los valores de las constantes a1 y a0 no
simultáneamente nulas.
Para b = 0, no se obtiene una función de la forma y = f(x), ¿por qué?
Ejemplo 1.4. Halle la función lineal de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 3).
Solución. Sea y = f(x) = a0 + a1x la función a determinar. Para ello se deben conocer
los valores de a0 y a1 . Como la gráfica de la función debe pasar por los puntos dados, ellos
satisfacen la ecuación y = f(x), es decir,
Punto (x1 , y1) = (1, 1). f(1) = 1 : a0 + a1 · 1 = 1
a0 + a1 = 1 (1.2)
Punto (x2 , y2) = (4, 3). f(4) = 3 : a0 + a1 · 4 = 3
a0 + 4a1 = 3 (1.3)
Las expresiones (1.2) y (1.3) son ecuaciones lineales en las variables a0 y a1 , resultando el
siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
a0 + a1 = 1
a0 + 4a1 = 3.
(1.4)
Su solución es a0 =
1
3
y a1 =
2
3
. Aśı, f(x) = 1
3
+ 2
3
x.
Plantear el problema desde el punto de vista funcional permite llegar al análisis de dos
ecuaciones lineales simultáneamente, como aparece en 1.4.
Geométricamente, la solución se obtiene al graficar cada una de las rectas en un mismo
plano. El punto donde se cortan es el que satisface las dos ecuaciones y se denomina solución
del sistema.
Al conjunto de las dos ecuaciones (1.4) se le denomina sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, o simplemente sistema 2× 2.
23
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
ALTIC tiene una opción para trabajar con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
La siguiente ventana ilustra la solución del ejemplo (1.4).
Figura 1.9 Solución gráfica del sistema (1.4) con ALTIC
La Figura 1.10 muestra una ventana de ALTIC con la gráficade la función lineal buscada.
Figura 1.10 Gráfica de la función f(x) = 1
3
+ 2
3
x
El software permite introducir los valores de los puntos por donde se desea que pase
la gráfica de la función lineal, aśı como las opciones para obtener el sistema y la gráfica de las
ecuaciones que lo conforman, en los botones Graficar Sistema y Graficar f(x) , respectivamente.
24
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Cuando se hace clic en el botón Graficar f(x) se despliega una ventana en la que se muestra la
función y su gráfica, como se ve en la Figura 1.10.
Abscisas distintas, ordenadas iguales. Al digitar, por ejemplo P1(4, 3) y P2(1, 3), se
obtiene un sistema con solución única como en el ejemplo 1.4.
Figura 1.11 Gráfica de las ecuaciones
Figura 1.12 Gráfica de la función
Abscisas iguales, ordenadas distintas. El sistema no tiene solución debido a que las
rectas son paralelas no coincidentes, tal como sucede en el ejemplo 1.2.
25
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Figura 1.13 Gráficas de las ecuaciones
¿Qué se puede decir de la función buscada? En la siguiente ventana se ilustra esta situación.
Figura 1.14 Recta vertical
La gráfica indica que con los puntos dados no es posible determinar una función de y en términos
de x.
Puntos iguales. Hay una sola recta, esto indica que el conjunto solución es infinito, pues
existen infinitos puntos que satisfacen el sistema.
26
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Figura 1.15 Gráfica de las ecuaciones
¿Qué relación existe entre esta situación y la función a determinar?
Figura 1.16 Un punto
Y como es de esperarse, con la información dada no se puede encontrar la recta, de hecho,
¿por un punto cuántas rectas pasan?
27
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
1.4. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Definición 1.1 (Sistema 2× 2). Un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x y y o
sistema 2× 2, es un conjunto de ecuaciones de la forma
a11x+ a12y = b1
a21x+ a22y = b2
(1.5)
donde a11 , a12 , a21 , a22 son números reales no simultáneamente nulos denominados coeficientes
del sistema y b1 , b2 ∈ R, llamados los términos independientes.
Notación. En aij, i representa la i–ésima ecuación, j, la j−ésima variable.
Definición 1.2. Una solución del sistema (1.5) es una pareja ordenada
(
s1
s2
)
de números reales,
que al ser sustituidos en cada una de las ecuaciones (1.5), se obtiene un enunciado verdadero.
Cuando se tiene un sistema 2 × 2 y se grafican las rectas en un mismo plano, siempre
sucede uno y solo uno de los casos siguientes:
b
x
y
a
21
x+ a
22
y = b
2
a
11
x+ a
12
y = b
1
(a) Solución única
x
y
a
21
x+ a
22
y = b
2
a
11
x+ a
12
y = b
1
(b) Infinitas soluciones
x
y
a
21
x+ a
22
y = b
2
a
11
x+ a
12
y = b
1
(c) Ninguna solución
Figura 1.17 Sistemas 2× 2
A partir de lo anterior se concluye:
• Si las rectas se cortan en un solo punto, anaĺıticamente significa que hay un único punto
cuyas coordenadas satisfacen las dos ecuaciones. En este caso se dice que el sistema tiene
solución única. Figura 1.17(a).
• Cuando las rectas se cortan en infinitos puntos, anaĺıticamente hay infinitos puntos
cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones, en cuyo caso se dice que el sistema tiene
infinitas soluciones. Figura 1.17(b).
• Si las rectas no se cortan, es decir, las rectas son paralelas, anaĺıticamente el sistema no
tiene solución. Figura 1.17(c).
Definición 1.3. Cuando un sistema tiene solución única o infinitas soluciones se dice que es
consistente o compatible. En otro caso, el sistema es inconsistente o incompatible. Los
28
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
sistemas compatibles son determinados cuando tienen solución única e indeterminados cuando
tienen infinitas soluciones.
Ejemplo 1.5. Determine el conjunto solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones si-
guientes
a)
x+ 2y = 3
2x+ 3y = 7
b)
x− 3y = 5
−2x+ 6y = −10
c)
−2x+ 5y = 8
2x− 5y = 7
Solución. Mediante eliminación para el caso a) se tiene
x+ 2y = 3 Ec.1
2x+ 3y = 7 Ec.2
Multiplicando Ec.1 por −2
y sumando Ec.2
−2x− 4y = −6
2x+ 3y = 7
− y = 1
De ah́ı, y = −1. Al sustituir en Ec.1 y despejar se obtiene x = 5. Los demás se dejan para
que los verifique el lector. Aśı, los conjuntos de puntos donde se intersecan cada uno de los pares
de rectas son.
a)
{(
5
−1
)}
b)
{(
x
y
)
| x− 3y = 5
}
=
{(
5 + 3y
y
)
| y ∈ R
}
c)
{ }
Con ALTIC se verifica para el primer caso:
Ejemplo 1.6. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones
x+ 2y = 4 y ax+ 3y = c se corten en infinitos puntos.
Solución. Mediante eliminación se tiene:
x+ 2y = 4
ax+ 3y = c
Ec2← Ec2− aEc1
x+ 2y = 4
(3− 2a)y = c− 4a
29
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Para que el sistema tenga infinitas soluciones:
3− 2a = 0 y c− 4a = 0,
de donde, a = 3
2
y c = 6.
Ejemplo 1.7. Una compañ́ıa va a comprar y almacenar dos tipos de art́ıculos A y B. El precio
por unidad de un art́ıculo A es $3 y de un art́ıculo B es $2.5. Cada art́ıculo A ocupa dos pies
cuadrados del espacio del piso y cada art́ıculo B ocupa un pie cuadrado. ¿Cuántas unidades de
cada art́ıculo pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de $400 y 240 pies cuadrados de
espacio?
Solución. La información se resume en la siguiente tabla:
Art́ıculo A Art́ıculo B Recursos
Valor en pesos 3 2.5 400
Espacio ocupado en pie3 3 1 240
Al definir las variables:
x = No. de art́ıculos A, y = No. de art́ıculos B,
se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x+ 2.5y = 400
2x+ y = 240
Al resolver el sistema se obtiene x = 100 y y = 40. Es decir, se pueden adquirir 100
art́ıculos del tipo A y 40 del tipo B.
ALTIC ofrece la ventana como opción para resolver el sistema:
Ejemplo 1.8 (La adivinanza del granjero). Un granjero posee una colección de gallinas y de
conejos. Estos animales tienen en total 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos
conejos tiene el granjero?
30
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Solución. Sean
x = No. de gallinas,
y = No. de conejos.
Entonces se tiene el sistema de ecuaciones lineales:
x+ y = 50 (Número total de cabezas)
2x+ 4y = 140 (Número total de patas)
La solución es x = 30, y = 20. Es decir, hay 30 gallinas y 20 conejos.
1.5. Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Definición 1.4. Una ecuación lineal en las variables x1 , x2 , . . . , xn es una expresión de la forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, (1.6)
donde a1 , a2 , . . . , an ∈ R no son simultáneamente nulos, se denominan coeficientes y b ∈ R es el
término independiente.
Definición 1.5. Una solución de la ecuación (1.6) es una n−tupla ordenada




s1
s2
...
sn




de números
reales, que al ser sustituidos en la ecuación, se obtiene un enunciado verdadero.
Ejemplo 1.9. La ecuación −3x1 + 8x2 − 72x3 = 8 es una ecuación lineal en las variables x1 , x2
y x3 .
Algunas soluciones de la ecuación son:


−8/3
0
0

 ,


37
3
−3

 ,


−7/6
1
1

.
ALTIC ofrece la opción Ecuación en 3 variables que permite explorar con otras ecuaciones y
puntos para saber si son o no solución de la ecuación.
31
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Figura 1.18 Ejemplo 1.9
En el ejemplo que sigue se emplean las dos definiciones anteriores con las cuales se llega
al concepto de sistema de ecuaciones lineales con n variables.
Ejemplo 1.10. Encuentre una función polinomial de grado 3 que pase por los puntos
P1(−1, 2), P2(1, 3), P3(2, 2) y P4(4, 5).
Solución. La función es de la forma: f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 y queda determinada
cuando se conocen los valores de los coeficientes a0 , a1 , a2 y a3 . Como cada uno de los puntos
satisface la función, se tiene
Punto P1 . f(−1) = 2 : a0 − a1 + a2 − a3 = 2
Punto P2 . f(1) = 3 : a0 + a1 + a2 + a3 = 3
Punto P3 . f(2) = 2 : a0 + 2a1 +4a2 + 8a3 = 2
Punto P4 . f(4) = 5 : a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 5
Las ecuaciones se pueden escribir juntas, aśı:
a0 − a1 + a2 − a3 = 2
a0 + a1 + a2 + a3 = 3
a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2
a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 5
Como se puede observar en el ejemplo 1.10, resultó un conjunto de cuatro ecuaciones
lineales cada una con cuatro incógnitas. A este conjunto se le denomina sistema de cuatro
ecuaciones lineales con cuatro incógnitas. La solución se puede comprobar con ALTIC.
32
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Figura 1.19 Ejemplo 1.10
Definición 1.6. Un sistema de m ecuaciones lineales en las n variables x1 , x2 , . . . , xn (sistema
m× n) es de la forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(1.7)
donde los coeficientes aij ∈ R no son simultáneamente nulos y bi ∈ R son los términos inde-
pendientes. Si todos los bi son cero, se denomina sistema homogéneo. El sub́ındice i indica la
i−ésima ecuación, mientras que el sub́ındice j se refiere a la j−ésima variable. Aśı, la i−ésima
ecuación es:
ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi
Definición 1.7 (Matriz asociada de un sistema). El arreglo





a11 a12 . . . a1n | b1
a21 a22 . . . a2n | b2
...
...
. . .
... | ...
am1 am2 . . . amn | bm





recibe el nombre de matriz asociada o aumentada del sistema (1.7).
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn





, b =



b1
...
bm


 y x =



x1
...
xn


 son: la matriz de coeficientes, el
vector de términos independientes y el vector de variables, respectivamente. En forma abreviada
se puede escribir Ax = b.
33
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Notación y observaciones
1. En el tamaño de la matriz A, m es el número de filas y n es el número de columnas.
2. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, P , etc. Para abreviar se escribe
A = (aij)m×n, donde aij representa el elemento que está en la i–ésima fila con j–ésima
columna.
3. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada de orden n.
4. Las componentes de la diagonal principal de A son a11 , a22 , . . . , akk; en donde k =
mı́n {m,n}.
5. Las componentes de la fila i−ésima de A son ai1, ai2, . . . , ain y forman un vector fila de
tamaño n. Es decir, Ai = fi = (ai1, ai2, . . . , ain).
Ejemplo 1.11. Para cada sistema, escriba la matriz de coeficientes, el vector de términos
independientes y el vector de variables.
a)
x− 2y + 3z = 11
4x+ y − z = 4
2x− y + 3z = 10
b)
x+ 2y − 3z + 2w = 3
−2x− 5y + 5z − w = −8
x − 2z + 5w = 5
c)
x+ y = 7
4x− y = 3
3x− 2y = 5
Solución. Para cada sistema se tiene:
a) A =


1 −2 3
4 1 −1
2 −1 3

de tamaño 3× 3, x =


x
y
z

 y b =


11
4
10


b) A =


1 2 −3 2
−2 −5 5 −1
1 0 −2 5

de tamaño 3× 4, x =





x
y
z
w





y b =


3
−5
8


c) A =


1 1
4 −1
3 −2

de tamaño 3× 2, x =
(
x
y
)
y b =


7
3
5


Definición 1.8. Una matriz A, m× n está en forma escalonada reducida por filas (ferf)
si cumple las siguientes condiciones (definición dada en [3]).
1. Todos las filas que constan solo de ceros, si las hay, están en las últimas filas de la matriz.
2. Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila no nula es
1, y se le denomina pivote.
3. Si fi y fi+1 son dos filas sucesivas que no constan completamente de ceros, entonces la
entrada principal (o pivote) de la fila fi+1 está a la derecha del pivote de la fila fi.
34
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
4. Si una columna contiene un pivote de alguna fila, entonces el resto de las componentes de
esa columna son iguales a cero.
Si solo se cumplen las condiciones 1 a 3, se dice que A está en forma escalonada por filas
(fef).
Ejemplo 1.12. Matrices dadas en forma escalonada reducida por filas:
a)


1 0 2
0 1 0
0 0 0

 b)


1 0 0 −2
0 1 0 −1
0 0 1 2

 c)
(
1 −2 0 1
0 0 1 2
)
Ejemplo 1.13. Las siguientes matrices se hallan en forma escalonada por filas:
a)


1 2 2
0 1 0
0 0 0

 b)


1 0 3 −2
0 1 0 −1
0 0 1 2

 c)
(
1 −2 3 4
0 0 1 2
)
Operaciones elementales con filas
Las operaciones elementales de fila de una matriz son:
1. cfi, c ∈ R, c 6= 0: multiplicar una fila por una constante no nula.
2. fj + cfi, c ∈ R, c 6= 0: sumar a una fila un múltiplo de otra.
3. fi ↔ fj o fij: intercambiar las filas i y j para i 6= j.
Ejemplo 1.14. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x− 2y + 3z = 11
4x+ y − z = 4
2x− y + 3z = 10
Solución. Hay varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, el más
usado es eliminación. La tabla siguiente muestra un paralelo entre la solución del sistema con
las ecuaciones y la solución usando la matriz asociada:
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MATRIZ ASOCIADA AL SISTEMA
x− 2y + 3z = 11 Ec 1
4x+ y − z = 4 Ec 2 (1)
2x− y + 3z = 10 Ec 3


1 −2 3 | 11
4 1 −1 | 4
2 −1 3 | 10

 (1a)
35
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MATRIZ ASOCIADA AL SISTEMA
Operación en las ecuaciones 2 y 3, con base en la ecuación
1, para volver cero el coeficiente de x en ambas ecuaciones
Operación en las filas 2 y 3, tomando como base la
fila 1, para volver cero las componentes a21 y a31
Ec 2′ ←− Ec 2− 4Ec 1 f2 ←− f2 − 4f1
−4x+ 8y − 12z = −44
4x+ y − z = 4
9y − 13z = −40 Ec 2′


1 −2 3 | 11
0 9 −13 | −40
2 −1 3 | 10


Ec 3′ ←− Ec 3− 2Ec 1 f3 ←− f3 − 2f1
−2x+ 4y − 6z = −22
2x− y + 3z = 10
3y − 3z = −12 Ec 3′


1 −2 3 | 11
0 9 −13 | −40
0 3 − 3 | −12


El sistema resultante equivalente es
x− 2y + 3z = 11 Ec 1
9y − 13z = −40 Ec 2′
3y − 3z = −12 Ec 3′
Operación en Ec.3, tomando como base Ec.2, renombrada
como Ec. 2′, para volver cero el coeficiente de y en dicha
ecuación
Operación en la fila 3, tomando como base la fila 2
de la nueva matriz, para volver cero la posición a32
Ec 3′′ ←− 3Ec 3′
9y − 9z = −36 Ec 3′′′
f3 ←− 3f3


1 −2 3 | 11
0 9 −13 | −40
0 9 − 9 | −36


Ec 3′′′ ←− Ec 3′′ − Ec 2′ f3 ←− f3 − f2
9y − 13z = −40
9y − 9z = −36
4z = 4 Ec 3′′′


1 −2 3 | 11
0 9 −13 | −40
0 0 4 | 4


Sistema equivalente Matriz equivalente
x− 2y + 3z = 11
9y − 13z = −40 (2)
4z = 4


1 −2 3 | 11
0 9 −13 | −40
0 0 4 | 4

 (2a)
Determinando la solución: despejando en la última ecua-
ción la variable z y haciendo sustitución hacia atrás:
Hallando la solución: de la última fila se encuentra
el valor de z y se hace sustitución hacia atrás:
4z = 4,⇒ z = 1
9y − 13(1) = −40,⇒ y = −3
x− 2(−3) + 3(1) = 11,⇒ x = 2
4z = 4,⇒ z = 1
9y − 13(1) = −40,⇒ y = −3
x− 2(−3) + 3(1) = 11,⇒ x = 2
Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1. Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1
En notación conjuntista:






2
−3
1






También:






2
−3
1






36
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Los sistemas de ecuaciones lineales (1) y (2) son equivalentes porque tienen la misma
solución y las matrices asociadas (1a) y (2a) son equivalentes por filas, puesto que la matriz (2a)
se obtiene de (1a) aplicando un número finito de operaciones de fila.
Nuevamente con ALTIC se puede comprobar la solución del sistema anterior, como se
muestra en la siguiente figura.
1.6. Métodos de eliminación para resolver sistemas de
ecuaciones lineales
1. Eliminación
Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:
(
A | b
)
.
Paso 2. Aplicar operaciones de fila para llevar la matriz A a una forma escalonada U :
(
A | b
)
7→
(
U | b′
)
, donde los pivotes no necesariamente son 1.
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución o no. El sistema no tendrá solución si U tiene al
menos una fila de ceros y el correspondiente término independiente b′i es distinto de
cero. Si el sistema tiene solución se utiliza sustitución hacia atráspara hallarla.
2. Eliminación gaussiana
Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:
(
A | b
)
.
Paso 2. Aplicar operaciones de fila hasta llevar la matriz A a su forma escalonada por filas
F :
(
A | b
)
7→
(
F | b′
)
.
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución o no. El sistema no tendrá solución si la forma
escalonada de A tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente término in-
dependiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solución se utiliza sustitución
hacia atrás para encontrarla.
Las variables que corresponden a los pivotes se llaman variables principales o pivotales,
las demás son parámetros.
37
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Ejemplo 1.15. Resolver los sistemas mediante eliminación gaussiana.
a)
x+ 2y − 3z + 2w = 3
−2x− 5y + 5z − w = −8
x − 2z + 5w = 5
b)
x+ y = 7
4x− y = 3
3x− 2y = 5
Solución. Escribiendo la matriz asociada de cada sistema y efectuando las operaciones
a)


1 2 −3 2 | 3
−2 −5 5 −1 | −5
1 0 −2 5 | 8


f2 ← f2 + 2f1
f3 ← f3 − f1


1 2 −3 2 | 3
0 −1 −1 3 | 1
0 −2 1 3 | 5


f3 ← f3 − 3f2


1 2 −3 2 | 3
0 −1 −1 3 | 1
0 0 3 −3 | 3


f2 ← −f2
f3 ← 13f3


1 2 −3 2 | 3
0 1 1 −3 | −1
0 0 1 −1 | 1


El sistema equivalente es
x+ 2y − 3z + 2w = 3 (Ec.1)
y + z − 3w = −1 (Ec.2)
z + w = 1 (Ec.3)
Ahora se determina la solución del sistema con sustitución hacia atrás. De (Ec.3) se tiene que
z = 1−w, con w ∈ R. Al sustituir este valor de z en (Ec.2) y despejar se tiene que y = −2+4w.
Finalmente, al reemplazar los valores de y y z en (Ec.1) y despejar se obtiene x = 2− 3w. Aśı,
el sistema tiene infinitas soluciones, que en notación de conjuntos se puede escribir como








2− 3w
−2 + 4w
1− w
w





| w ∈ R



=








2
−2
1
0





+ w





−3
4
−1
1





| w ∈ R



.
b)


1 1 | 7
4 −1 | 3
3 −2 | 5


f2 ← f2 − 4f1
f3 ← f3 − 3f1


1 1 | 7
0 −5 | −25
0 −5 | −16


f3 ← f3 − f2


1 1 | 7
0 −5 | −25
0 0 | 9

 .
De la última fila de la matriz resultante se obtiene la ecuación 0y = 9, un enunciado falso. Por
lo tanto, el sistema dado no tiene solución.
38
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
3. Eliminación de Gauss–Jordan
Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:
(
A | b
)
.
Paso 2. Aplicar operaciones de fila hasta llevar la matriz A a su forma escalonada reducida
por filas E:
(
A | b
)
7→
(
E | b′
)
.
Paso 3. Decidir si el sistema tiene solución o no. El sistema no tiene solución si la forma
escalonada reducida de A tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente
término independiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solución, se determina
directamente de la matriz aumentada.
Ejemplo 1.16. Resuelva mediante eliminación de Gauss–Jordan
x− 2y + 3z = 1
4x+ y + 2z = 1
2x− y + 3z = 2
Solución. Esribiendo la matriz ampliada y operando con filas se tiene:


1 −2 3 | 1
4 1 2 | 1
2 −1 3 | 2


f2 ← f2 − 4f1
f3 ← f3 − 2f1


1 −2 3 | 1
0 9 −10 | −3
0 3 − 3 | 0


f2 ↔ f3


1 −2 3 | 1
0 3 − 3 | 0
0 9 −10 | −3


f2 ← 13f2


1 −2 3 | 1
0 1 − 1 | 0
0 9 −10 | −3


f1 ← f1 + 2f2
f3 ← f3 − 9f2


1 0 1 | 2
0 1 −1 | 0
0 0 −1 | −3


f3 ← −f3


1 0 1 | 1
0 1 −1 | 0
0 0 1 | 3


f1 ← f1 − f3
f2 ← f3 + f3


1 0 0 | −2
0 1 0 | 3
0 0 1 | 3


La solución se lee directamente de la última matriz: x = −2, y = 3, z = 3.
Ejemplo 1.17. Halle el valor (o valores) de λ para que el sistema de ecuaciones lineales
x− 2y = 1
−2x+ λ2y = λ
39
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
a) Sea consisitente. Escriba la solución en cada caso.
b) sea inconsistente.
Solución. Usando el método de eliminación se tiene:
(
1 −2 | 1
−2 λ2 | λ
)
f2 ← f2 + 2f1
(
1 −2 | 1
0 λ2 − 4 | λ+ 2
)
El sistema equivalente es
x− 2y = 1 (1.8a)
(λ2 − 4)y = λ+ 2 (1.8b)
Hay dos posibilidades para el coeficiente de y en la ecuación (1.8b):
1. λ2 − 4 6= 0, es decir, λ 6= −2 y λ 6= 2, el sistema tiene solución única. Despejando y de
(1.8b) y haciendo sustitución hacia atrás se obtiene:
x =
λ− 1
λ− 2 , y =
1
λ− 2
2. λ2 − 4 = 0, es decir, λ = −2 o λ = 2. Puede ocurrir lo siguiente:
a) λ = −2: se obtiene un sistema con infinitas soluciones, pues el sistema se reduce a
x− 2y = 1. El conjunto solución es
{(
x
y
)
| x = 1 + 2y, y ∈ R
}
=
{(
1 + 2y
y
)
| y ∈ R
}
=
{(
1
0
)
+ y
(
2
1
)
| y ∈ R
}
.
b) λ = 2: sistema inconsistente porque la segunda ecuación se reduce a 0z = 4.
Ejemplo 1.18. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: I, II y III. Los
camiones están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. Cada camión
tipo I puede transportar dos máquinas de clase 1 y ninguna de clase 2; cada camión de tipo
II puede llevar una máquina de cada tipo y para el camión tipo III, la capacidad es de una
máquina de clase 1 y dos de clase 2. La firma consigue una orden para 36 máquinas de la clase
1 y 14 de la clase 2.
a) Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden,
asumiendo que cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de
máquinas pedidas es el que se debe despachar.
b) Si la operación de cada camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál es la solución
más económica?
40
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Solución. Sea x, y y z el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la
orden. Además, x, y, z ∈ Z y son no negativas. Aśı,
2x+ y + z = 36 : número total máquinas de clase 1
y + 2z = 14 : número total máquinas de clase 2
Considerando la matriz asociada del sistema y usando el método de eliminación para resolverlo,
se tiene:
(
2 1 1 | 36
0 1 2 | 14
)
f1 ← f1 − f2
(
2 0 −1 | 22
0 1 2 | 14
)
f1 ← 12f1
(
1 0 −1
2
| 11
0 1 2 | 14
)
El sistema reducido equivalente es
x− 1
2
z = 11
y + 2z = 14,
de donde
x = 11 + 1
2
z (Ec.1)
y = 14− 2z, con z “arbitrario”. (Ec.2)
Interpretación de resultados. El sistema tiene infinitas soluciones, sin embargo para este
caso, las variables solo pueden tomar un número finito de valores, ya que ellas representan
número de camiones. De (Ec.1), z debe ser par. Además, como y ≥ 0, de (Ec.2), z ≤ 7. Es decir,
el número de camiones que se deben enviar depende de z y están dados por la condición
0 ≤ z ≤ 7, en donde z es número entero par.
En la siguiente tabla se escriben todas las soluciones posibles:
Número de camiones
Solución Tipo I: x Tipo II: y Tipo III: z Total
1 11 14 0 25
2 12 10 2 24
3 13 6 4 23
4 14 2 6 22
Como el costo de operación de cada camión es el mismo para la empresa, la solución más
económica es la 4. Es decir, la empresa debe enviar 14 camiones de tipo I, 2 de tipo II y 6 de
tipo III.
El siguiente ejemplo requiere conocimientos de circuitos y está dirigido especialmente a
estudiantes que cursen asignaturas que incluyan su estudio.
41
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Ejemplo 1.19. Encuentre las corrientes en el circuito siguiente
b
b
i
1
i
2
i
3
a
b c d
f e
E
1
= 40V E
2
= 120V E
3
= 80V± ± ∓
R
1
= 5Ω R
2
= 20Ω
R
3
= 10Ω
R
4
= 30Ω
Figura 1.20 Circuito
Solución. Las cantidades f́ısicas utilizadas son la corriente I, la resistenciaR y la diferencia
de potencial eléctrico en una bateŕıa E.
Bateŕıa Resistor Cable
−+
La diferencia de potencial en una bateŕıa se considera positiva si se mide la terminal
negativa a la positiva, y negativa en el otro sentido. La diferencia de potencial eléctrico en una
resistencia V depende de la corriente que fluye por ella y la resistencia que en efecto ofrece y
está dada por la ley de Ohm: V = ±IR. El signo negativo se usa cuando la diferencia se mide
en la dirección del flujo de la corriente, y se utiliza el signo positivo en el otro caso. Todos los
circuitos eléctricos constan de ciclos de voltajey de nodos de corriente. Un ciclo de voltaje es
una conexión cerrada dentro del circuito y un nodo de corriente es un punto donde se encuentran
tres o más segmentos de cable. El circuito de la Figura 1.20 contiene los ciclos de voltaje:
a→ b→ c→ f → a, c→ d→ e→ f → c y a→ b→ c→ d→ e→ f → a.
El último ciclo es redundante, pues está incluido en los dos ciclos anteriores y por lo tanto no
se considera. Además, hay dos nodos de corriente: c y f .
Las ecuaciones que rigen el circuito se establecen con las leyes de Kirchhoff :
1. Conservación de la enerǵıa. En cualquier ciclo de voltaje, la diferencia total del
potencial eléctrico es igual a cero.
2. Conservación de la carga. En cualquier nodo de corriente, el flujo de las corrientes
que van hacia el nodo es igual al flujo de las que salen de él.
De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, en el nodo c (o f) se tiene:
i1 + i2 = i3 (Ec.1)
42
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Ahora, por la primera ley de Kirchhoff, en el ciclo a → b → c → f → a se obtiene la ecuación
40− 5i1 − 120 + 10i2 = 0, la cual se simplifica a
i1 − 2i2 = −16. (Ec.2)
En el ciclo c→ d→ e→ f → c se obtiene −20i3 + 80− 30i3 − 10i2 + 120 = 0, ó
i2 + 5i3 = 20. (Ec.3)
Al escribir las tres ecuaciones (Ec.1), (Ec.2) y (Ec.3) juntas se obtiene
i1 + i2 − i3 = 0
i1 − 2i2 = −16
i2 + 5i3 = 20 ,
un sistema de ecuaciones lineales en i1 , i2 e i3 cuya solución es i1 = −3.5 A, i2 = 6.24 A e
i3 = 2.75 A. El signo menos en i1 , significa que la verdadera dirección es opuesta a la asignada
en la Figura 1.20.
1.7. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Definición 1.9. Un sistema de ecuaciones lineales de la forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
(1.9)
se denomina sistema homogéneo. Los coeficientes aij ∈ R.
La solución x1 = x2 = · · · = xn = 0 de (1.9) se denomina solución trivial. Si al menos
una de las variables xi es diferente de cero, es una solución no trivial.
Ejemplo 1.20. Resuelva el sistema homogéneo
x+ 2y + 3z = 0
2x− y − 4z = 0
3x+ y − z = 0
Solución. Usando eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás se tiene



1 2 3 | 0
2 −1 −4 | 0
3 1 −1 | 0



f2 ← f2 − 2f1
f3 ← f3 − 3f1



1 2 3 | 0
0 −5 −10 | 0
0 −5 −10 | 0


 f3 ← f3 − f2



1 2 3 | 0
0 −5 −10 | 0
0 0 0 | 0



43
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
f2 ← −15f3



1 2 3 | 0
0 1 2 | 0
0 0 0 | 0


 f1 ← f1 − 2f2



1 0 −1 | 0
0 1 2 | 0
0 0 0 | 0



De la última matriz se obtiene el sistema
x− z = 0
y + 2z = 0
, z arbitrario.
El sistema tiene infinitas soluciones de la forma



z



1
−2
1


 | z ∈ R



.
Sea Ax = 0 un sistema homogéneo, donde A es una matriz de tamaño m × n. Si m < n
entonces el sistema tiene soluciones no triviales.
Teorema 1.1.
Si xh es la solución general de Ax = 0 y xp es una solución particular de Ax = b, entonces
la solución general de Ax = b es x = xh + xp.
Teorema 1.2.
Ejemplo 1.21. Para el sistema de ecuaciones lineales
x+ 2y + 3z = −6
2x− y − 4z = 8 ,
3x+ y − z = 2
en el ejemplo 1.20 se encontró que la solución general del sistema de ecuaciones lineales ho-
mogéneo asociado Ax = 0 es



z


1
−2
1

 | z ∈ R



. Una solución particular del sistema no
homogéneo es


1
−2
−1

. Por lo tanto, la solución general está dada por





1
−2
−1

+ z


1
−2
1

 | z ∈ R



.
Se finaliza este caṕıtulo enunciando el siguiente teorema en el que se dan los principales resul-
tados:
44
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. El sistema Ax = b tiene solución única para cada n-vector b.
2. El sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución única, dada por x = 0.
3. La forma escalonada reducida por filas de A es I.
4. A es equivalente por filas a la matriz I.
5. La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes.
Teorema 1.3. Teorema resumen
1.8. Ejercicios
1. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones 5x−3y = 4
y ax+ 7y = c no se corten.
2. Determine cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales:
(a) 23x−
√
3 y + z − 1
2
w = log 2 (b) (log 5)x+ 2y = 3
(c) log(5x) + 2y = 3 (d) e2x− 3xy + w = −22
(e) e2x− 3x+ y + w = −22 (f) e2x − 3x− 3y + w = −27
3. Encuentre un valor de r, si existe, de modo que la terna dada sea una solución del sistema
de ecuaciones lineales:
2x+ 3y − z = −2
x− y + 2z = −1
4x+ y + 3z = −4
(a) (r, 2,−1)
(b) (2, r,−3)
(c) (−1, 1, r)
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
(a)
x+ 2y − z = 2
2x+ 5y − 2z = 5
x− 2y + 2z = 1
(b)
x+ 3y − 2z + 2w = 3
2x+ 3y + 2z − w = 4
− x− 3y + 6z − 5w = −2
(c)
x+ 2y − 4z = 4
2x+ 5y − 2z = 5
3x+ 2y − 3z = 3
x+ 3y + 2z = 1
(d)
x+ 3y − 2z + w = 3
3x+ 3y + 6z − 3w = 3
− x− 3y + 6z − 5w = −2
2x+ 3y − 4z + 2w = −3
(e)
x+ 2y − 2z = 0
2x+ 7y + 2z = 0
x− 2y − z = 0
(f)
x+ 2y − 2z = 0
2x+ 7y + 2z = 0
x− y − 8z = 0
45
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
5. Determine el valor (o valores) de k para el cual el sistema de ecuaciones lineales repre-
sentado por la matriz sea consistente, halle el conjunto solución en cada caso, y el valor
(o valores) de k para el cual sea inconsistente.



1 0 −1 | 1
2 1 −1 | 3
−1 k k2 + 1 | 2k − 2



6. Determine el valor (o valores) de a para el cual el sistema
x+ 2y + z = a2
x+ y + 3z = a
3x+ 4y + 7z = 8
(a) sea consistente, halle el conjunto solución en cada caso.
(b) sea inconsistente.
7. Considere el sistema homogéneo
a1x+ b1y = 0
a2x+ b2y = 0
Sean x = x1 , y = y1 y x = x2 , y = y2 soluciones del sistema. Muestre
(a) x = x1 + x2 , y = y1 + y2 también es solución del sistema.
(b) x = 3x1 + 2x2 , y = 3y1 + 2y2 también es solución del sistema.
(c) x = λ1x1 + λ2x2 , y = λ1y1 + λ2y2 también es solución del sistema.
8. Cuando se agrega un disco duro a una computadora personal, el sistema nuevo cuesta
$1.400.000. Se sabe que 1
3
del valor de la computadora más 1
5
del valor del disco duro dan
un total de $400000. ¿Cuál es el costo del disco duro? Ejercicio 48, p. 14 de [7].
9. Halle la ecuación de la parábola en el plano xy con eje paralelo a y, que pasa por los
puntos P (1, 0), Q(−1, 6) y R(2, 0). Ejercicio 14, p. 52 de [7].
10. (Empaquetamiento de libros). César Andrés es un estudiante de segundo semestre de
ingenieŕıa de la Universidad Tecnológica de Pereira que se va a cambiar de casa. Al
empacar sus libros, observa que si coloca 11 libros en cada caja, dejará uno por fuera.
Por otro lado, si pone 12 libros en cada caja, entonces la última contiene únicamente un
libro. ¿Cuántos libros y cuántas cajas tiene César Andrés?
11. Dos personas inician un negocio aportando capitales iguales. Después de tres meses, una
tercera persona ingresa al negocio y aporta la misma cantidad que aportó cada una de las
dos primeras. Si al cabo de un año las utilidades son de $1’980.000, ¿cuánto le corresponde
a cada uno?
46
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
12. Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas como I, II, y III) en un tubo
de ensayo, donde serán alimentadas con tres distintas fuentes alimenticias (A, B, y C).
Cada d́ıa 2300 unidades de A, 800 de B y 1500 de C se colocan en el tubo de ensayo, y
cada bacteria de tipo I consume 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 1
unidad del alimento C; cada bacteria de tipo II consume 2 unidades de A, 2 de B y 3 de C
y para la bacteria tipo III, el consumo es de 4 unidades de A y 1 de C. ¿Cuántas bacterias
de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento? Ejemplo
2.27, p. 101 de [8].
13. Una granja pisćıcola proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a 3 especies de
peces: cachama, tilapia y mojarra. Cada cachama consume por semanaun promedio de
1 unidad del alimento tipo A, 1 del alimento B y 2 unidades del C. Cada tilapia consume
por semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del alimento B y 5 unidades
del alimento C. Para cada mojarra, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del
alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del alimento C. Semanalmente se
suministra al lago 15000 unidades del primer alimento, 10000 del segundo y 35000 del
tercero. Suponga que todo el alimento se consume.
(a) Construya un modelo matemático.
(b) ¿Qué población de las tres especies de peces puede coexistir en el lago?
(c) ¿Pueden existir 4000 mojarras?
(d) ¿Pueden existir 6000 tilapias?
(e) ¿Pueden existir 9000 cachamas?
14. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: pequeño, mediano y
grande. Los camiones están equipados para el transporte de tres clases de maquinaria
pesada: A, B y C. Cada camión pequeño puede transportar 2 máquinas de A, ninguna de
B y 2 de C, cada camión mediano puede llevar 2 máquinas de A, 1 de B y 1 de C, y cada
camión grande puede cargar 3 máquinas de A, 2 de B y 1 de C. La firma consigue una
orden para 50 máquinas de A, 14 de B y 36 de C. Cada camión debe estar completamente
cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar.
(a) Construya un modelo matemático que represente la información.
(b) Determine el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la
orden.
(c) Halle el número mı́nimo y máximo de camiones de cada tipo.
(d) Si la operación de cada tipo de camión es $150000, $250000 y $500000 respectiva-
mente, ¿cuál es la solución más económica?
15. A&V Publicaciones edita tres calidades de libros: encuadernación rústica, pasta dura y
empastados en piel. Para los rústicos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en
47
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
ilustraciones y $3 las pastas. Para los de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en
ilustraciones y $8 en pastas; y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20
en ilustraciones y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en papel, $158000 en
ilustraciones y $205000 en pastas:
(a) Construya un modelo matemático.
(b) ¿Es posible que se puedan editar 2000 libros empastados en piel?
(c) ¿Se podrán editar 4000 libros empastados en piel?
(d) ¿Se podrán producir 6000 libros empastados en piel?
(e) ¿Cuántos libros de cada categoŕıa pueden producirse?
16. Determine las cantidades desconocidas en el circuito siguiente
i
1
3A
i
2
i
3
5A
10A
a b c d
efgh
b
b
b
b
10V E2 E3−+ −+ −+
5Ω 2Ω
R
1.9. Autoevaluación Caṕıtulo 1
1. Determine el valor o valores de λ, si existen, de modo que el sistema de ecuaciones lineales
representado por la matriz





1 0 0 λ+ 3 | 4
0 0 1 2 | 5
0 0 0 λ− 4 | 4− λ
0 0 0 0 | (λ− 4)(λ+ 1)





(a) Sea consistente. Escriba la solución en cada caso.
(b) Sea inconsitente.
2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x− z = 1
3x+ y − 2z = 4
−x+ ay + (a2 + 1)z = 2a− 2
Determine el valor o valores de a de modo que el sistema
48
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
(a) Tenga solución. Escriba el conjunto solución en cada caso.
(b) Sea inconsistente. Justifique su respuesta
3. Una aeroĺınea compra provisiones para tres de sus aviones, I, II y III. El costo por viaje,
en dólares, para el avión I para la primera clase es $350, para la clase de negocios es $500
y para la clase económica es $800. Para el avión tipo II, el costo por viaje para la primera
clase es $400, para la clase de negocios es $600 y para la clase económica es $920. Para el
avión tipo III, el costo por viaje para la primera clase es $450, para la clase de negocios
es $700 y para la clase económica es $1040. La aeroĺınea gastó $26000 para primera clase,
$40000 para la de negocios y $60000 para la económica. Suponiendo que se usan todos los
recursos,
(a) Construya un modelo matemático que represente la información.
(b) Determine el número de viajes que pueden realizar los aviones.
(c) Encuentre el número mı́nimo y el número máximo de vuelos que pueden realizar los
aviones tipo III.
(d) ¿Cuántos vuelos pueden realizar en total los tres tipos de aviones?
4. Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique
clara y acertadamente cada una de ellas.
(a) Existen valores de a y c de modo que el sistema de ecuaciones lineales representado
por las rectas 5x− 3y = 4 y ax+ 7y = c es inconsistente.
(b) Existe un valor de k de modo que el vector


2
0
1

 es solución de
x− z = 1
2x+ y − z = 3
−x+ ky + (k2 + 1)z = 2k − 2
(c) El sistema de ecuaciones lineales cuya matriz asociada está dada por





1 1 0 0 | 1
0 0 1 0 | 2
0 0 0 1 | 1
0 0 0 k | k2 − 2





,
es consistente si k 6= 0.
(d) Si el vector
(
1
−1
)
es solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo 2× 2,
entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
49
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
(e) Si la matriz asociada de un sistema de ecuaciones lineales es


1 0 0 0 | 1
0 0 1 0 | 2
0 0 0 1 | 5

,
entonces el sistema tiene solución única.
50
CAPÍTULO DOS
Vectores, rectas y planos
2.1. Introducción
53
En f́ısica, geometŕıa, cálculo y otras ciencias, algunas cantidades quedan completamente
determinadas al dar su magnitud, es decir, su tamaño o número de unidades según alguna escala.
Por ejemplo, la longitud, el área, el volumen, la masa de un cuerpo, la carga de un electrón, el
calor espećıfico del agua, la resistencia de un resistor, el diámetro de un ćırculo, la temperatura,
entre otras. Cada una de estas cantidades se describe mediante un número (después de elegir
adecuadamente las unidades de medición) y reciben el nombre de escalares.
Hay otras cantidades que no se pueden describir mediante un número únicamente, ya que
requieren especificar una dirección y una magnitud. Tales cantidades se conocen con el nombre
de vectores. Por ejemplo, la velocidad, la aceleración, la fuerza son cantidades de este tipo.
Gráficamente, una fuerza se puede representar por una flecha o segmento rectiĺıneo dirigido,
la cual indica la dirección de aquella y cuya longitud es igual a la magnitud de esa fuerza según
una escala determinada.
Aunque el concepto de vector aparece desde el siglo XIX, sus aplicaciones no se compren-
dieron sino hasta hasta el siglo XX. Recientemente, diferentes ciencias como la computación,
estad́ıstica, economı́a, ciencias sociales y en la vida cotidiana, han encontrado en los vectores
herramientas teóricas y prácticas para modelar y solucionar problemas que surgen al interior de
ellas.
El matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) empleó los conceptos vec-
toriales para el estudio de los números complejos y su generalización: los cuaterniones.
La palabra vector viene de la ráız latina vectoris que significa “conduce”. Un vector se
forma cuando un punto es conducido o llevado a una distancia determinada en una dirección
dada.
La figura 2.1(a) muestra la fuerza de atracción que obliga a la tierra a moverse alrededor
del sol. La velocidad de la tierra también se puede representar por una flecha de longitud y
dirección apropiadas. La figura 2.1(b) ilustra una traslación de un triángulo en el plano.
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Tierra
Velocidad
Sol
Fuerza
(a)
De
sp
laz
am
ien
to
A
A′
B
B′
C
C ′
P
P ′
b
b
(b)
Figura 2.1 Cantidades vectoriales
En este caṕıtulo se estudian los vectores desde el punto de vista geométrico y anaĺıtico.
Se desarrolla primero la teoŕıa para los vectores en R2 y después se generaliza para R3 y Rn.
Además, se muestran algunas aplicaciones.
2.2. Coordenadas y vectores en R2
Esta sección se inicia retomando el plano cartesiano y se continúa con el concepto de vector
desde el punto devista geométrico y anaĺıtico. Se sigue con la igualdad y las operaciones entre
vectores, y se presenta la definición de combinación lineal como concepto generador para el
desarrollo del curso Álgebra lineal.
2.2.1. Coordenadas en el plano cartesiano
Para empezar, es conveniente recordar las coordenadas en el plano estudiadas en la sección
1.2 del Caṕıtulo 1.
x1 es la abscisa de P
y1 es la ordenada de P b
b b
x
1
y
1
P (x1 , y1)Py(0, y1)
Px(x1 , 0)
O x
y
Figura 2.2 Coordenadas cartesianas en R2
Sean P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) dos puntos del plano. La distancia d entre P1 y P2 es
d = d(P1 , P2) =
∣
∣P1P2
∣
∣ =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (2.1)
Teorema 2.1. Distancia entre dos puntos del plano
54
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
Demostración. La distancia d entre dos puntos P1(x1) y P2(x2) en la recta real está dada por
d = d(P1 , P2) = |x2 − x1 |. Ahora, para R2,
b
b
b
b
x
2
y
2
x1
y1 a
b
d
P1(x1 , y1)
P2(x2 , y2)
O x
y
Figura 2.3 Distancia en R2
Por el Teorema de Pitágoras
d2 = a2+b2 = (x2−x1)2+(y2−y1)2
Luego,
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ejemplo 2.1. Halle los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y Q se encuentren
a 5 unidades: a) P (−5, 0), Q(λ, 4) b) P (3,−2), Q(λ, 1).
Solución. De acuerdo con (2.1) se tiene
a)
√
(λ+ 5)2 + 16 = 5 implica (λ+ 5)2 = 9. De donde, λ = −2 o λ = −8
b)
√
(λ− 3)2 + 9 = 5 implica (λ− 3)2 = 16. Es decir, λ = 7 o λ = −1
Las gráficas siguientes ilustran la situación:
P (−5, 0)
Q
1
(−2, 4)Q
2
(−8, 4)
d
=
5d =
5
x
y
(a)
P (3,−2)
Q
1
(7, 1)Q
2
(−1, 1)
d
=
5d =
5
x
y
(b)
Ejemplo 2.2. Halle la distancia del punto P (3, 1) a la recta L : 3x− 4y = −10.
Solución. En el gráfico se ilustra la situación. La distancia d de P a L está dada por
d =
∣
∣PQ
∣
∣, donde Q es la proyección del punto P sobre la recta L. Esto es, Q es el punto de
modo que el segmento PQ es perpendicular a la recta L.
1
2
3
4
5
6
−1
1 2 3 4−1−2−3−4−5 x
y
Q
P
L
L
1
d
p
Figura 2.4 Distancia de P a L
L : 3x− 4y = −10.
Al despejar y se obtiene
y = 3
4
x+ 5
2
.
55
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
Para determinar el punto Q, primero se debe encontrar la ecuación de la recta L1 . La
pendiente de L1 es m1 = −43 , pues L y L1 son perpendiculares.
➀ La ecuación de la recta L1 que es perpendicular a L y que pasa por el punto P es
y − 1 = −4
3
(x− 3) o 4x+ 3y = 15.
➁ Ahora se encuentra el punto Q intersección entre L y L1 .
Q :
{
3x− 4y = −10
4x+ 3y = 15
La solución de este sistema es (6
5
, 17
5
).
➂ Finalmente se calcula la distancia de P a Q
d = d(P,Q) =
√
(3− 6
5
)2 + (1− 17
5
)2 = 15
5
= 3.
Definición 2.1 (Punto medio). Sean P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) puntos en R
2. Las coordenadas del
punto medio P (x̄, ȳ) son:
x̄ =
x1 + x2
2
, ȳ =
y1 + y2
2
. (2.2)
Ejemplo 2.3. Halle el otro extremo de un segmento si se sabe que un extremo es el punto
A(−5, 2) y el punto medio es M(−4, 7).
Solución. De (2.2) se obtiene
x2 = 2x̄− x1 = −8 + 5 = −3, y2 = 2ȳ − y1 = 14− 2 = 12
Definición 2.2 (Mediatriz). La mediatriz de un segmento de recta se define como la recta
perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
Ejemplo 2.4. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos
P (−4, 8) y Q(8,−6).
Solución. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q es
m1 =
y2 − y1
x2 − x1
=
−6− 8
8 + 4
= −14
12
= −7
6
.
Aśı, la pendiente de la mediatriz es m2 =
6
7
y el punto medio del segmento PQ es M(2, 1). Por
lo tanto, la ecuación de mediatriz es:
y − 1 = 6
7
(x− 2) o 6x− 7y = 5.
56
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
2.2.2. Vectores en R2
Ejemplo 2.5. Mientras una joven esperaba el bus en la acera norte de una calle, un motoci-
clista que distribuye correspondencia comercial, condućıa su moto a una velocidad de 8 m/s
en dirección oeste; como se indica en la figura 2.5. Justo antes de que la moto pasara frente a
la joven, cuando estaba al sureste de ella, el motociclista lanzó un paquete con una revista de
propaganda hacia el jard́ın de una residencia, con componentes de la velocidad (de acuerdo con
el punto de referencia del motociclista) de 4 m/s hacia el norte y 4 m/s al este. El paquete
golpeó a la joven en la cara. Un agente de tránsito que observó la escena detuvo al motociclista y
le solicitó que explicara su actuación intencional al golpear a la joven. El motociclista manifestó
con gran seguridad, que lamentaba lo ocurrido pero que no hab́ıa sido su intención, puesto que
lanzó el paquete al noreste y que en ese momento la joven se encontraba al noroeste del punto
del lanzamiento del paquete. El problema consiste en determinar si lo que afirma el motociclista
es o no verdadero, y cuáles fueron las causas reales que condujeron a este hecho, ver [10].
b
b
#«v
M
O E
S
N
Figura 2.5
Definición 2.3 (Vector en R2).
Geométricamente. Un vector es un segmento de recta dirigido.
b
b
#«u #«v
#«
A
# 
 
«
PQ
P
Q
Figura 2.6 Segmentos dirigidos o vectores en R2
Notación. Los vectores se denotarán mediante letras con una flecha encima o con letras en
negrilla, por ejemplo, #«u , #«v ,
#«
A, u, p. Un vector también se puede representar por un segmento
rectiĺıneo dirigido con punto inicial, cola o punto de aplicación P y punto terminal o cabeza Q,
en la forma
# «
PQ, como se ilustra en la figura 2.6.
Anaĺıticamente. Un vector coordenado en R2 o un 2-vector, es una pareja ordenada de números
reales.
Notación. Un 2-vector se denota como el vector fila (a, b); a, b ∈ R. De esta manera se tiene
R2 = {(a, b) | a, b ∈ R} = R × R
57
Álgebra lineal desde un enfoque desarrollador
También se puede denotar como el vector columna
(
a
b
)
con a, b ∈ R. Aśı,
R2 =
{(
a
b
)
∣
∣a, b ∈ R
}
.
Por comodidad de escritura, en gran parte de este libro se usarán los vectores fila. Se debe
tener en cuenta que un vector fila es diferente de un vector columna, pero los conceptos y las
propiedades que se definan para vectores fila también se cumplen para vectores columna.
Nota. A cada punto P (x1 , y1) del plano se puede asociar un único vector
#«p = (x1 , y1) cuya
inicio es el origen, el cual se denomina vector anclado, vector localizado o vector de
posición del punto P . Aśı, se escribe #«p en lugar de
# «
OP , como se ilustra en la figura 2.7.
O
P (x
1
, y
1
)
#«p
=
(x 1
, y 1
)
x
y
Figura 2.7 Vector posición
Es decir, cada punto de R2 se puede poner en correspondencia uno a uno con un vector lo-
calizado en el origen y rećıprocamente cada vector localizado se puede poner en correspondencia
uno a uno con un punto en R2. Aśı, es posible hacer la identificación
P (x1 , y1)↔ (x1 , y1) = #«p . (2.3)
Comentario. Aunque en algunos textos, al definir vector se caracteriza con magnitud, dirección
y sentido, se ha generalizado la definición diciendo que son cantidades con magnitud y dirección,
incluyendo en esta última palabra la idea de hacia dónde apunta la flecha sobre la recta que la
contiene, y solo se habla de sentido cuando se quiere hacer énfasis en el mismo. El sentido lo da
la flecha.
Con base en la definición, cualquier vector puede trasladarse arbitrariamente manteniendo
su longitud y su dirección. Es decir, se puede elegir su punto inicial de manera arbitraria. De
acuerdo con lo anterior, también se puede definir un vector como la colección de todos los
segmentos rectiĺıneos dirigidos que tienen una dirección y una longitud dadas.
Definición 2.4 (Vector nulo). Geométricamente el vector nulo es aquel cuya cabeza y cola
coinciden. Anaĺıticamente, el vector nulo es
#«
0 = (0, 0), de modo que al vector cero le corresponde
el origen de coordenadas según la identificación dada en la ecuación 2.3.
58
Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Mart́ınez A.
2.2.3. Longitud y dirección de un vector de R2
Definición 2.5 (Longitud o norma).
Sea #«u = (x1 , y1) ∈ R2, la longitud,
magnitud o