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EJERCICIOS
RESUELTOS DE
ÁLGEBRA LINEAL
MANUEL IGLESIAS CEREZAL
EJERCICIOS RESUELTOS
DE
ALGEBRA LINEAL
Manuel Iglesias Cerezal
Servicio de Publicaciones 
Universidad de Cádiz Universidad de SEVILLA
2001
Iglesias Cerezal, Manuel
Ejercicios resueltos de álgebra lineal / Manuel Iglesias 
Cerezal. - Cádiz: Servicio de Publicaciones de la Universidad; 
Sevilla: Secretariado de Publicaciones de la Universidad, 2001.
ISBN 84-7786-943-X
1. Algebra lineal - Problemas resueltos. I. Universidad 
de Cádiz. Servicio de Publicaciones, ed. II. Universidad de 
Sevilla. Secretariado de Publicaciones IH. Título.
512.64(076)
Catálogo de Publicaciones del Secretariado 
de la Universidad de Sevilla.
Serie: Ciencias. N.° 64
© Manuel Iglesias Cerezal
Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz 
Secretariado de Publicaciones. Universidad de Sevilla. 2001
Fotocomposición: Consegraf
Diseño: Creasur
I.S.B.N.: 84-7786-943-X
Depósito Legal: CA-835/01
Imprime: Minerva. Artes Gráficas
Indice General
PRÓLOGO 5
1 Matrices 7
2 Determinantes y sistemas 23
3 Formas reducidas 53
4 Espacios vectoriales 93
5 Aplicaciones lineales 141
6 Formas canónicas de Jordán 197
7 Formas bilineales 301
8 Endomorfismos simétricos y ortogonales 329
APÉNDICES 345
A Lenguaje 347
B Conjuntos 351
C Aplicaciones o funciones 355
D Relaciones de equivalencia 361
PRÓLOGO
Querido lector:
El libro que tienes en tus manos, nace con la vocación de ser un in­
strumento útil para el estudio y aprendizaje del Algebra Lineal y va es­
pecialmente destinado a los alumnos de las Facultades de Matemáticas 
y Físicas así como a los de de las Escuelas Técnicas donde esta ma­
teria forma parte de sus Planes de Estudio.
En él se recogen los enunciados de los problemas que en mi De­
partamento se proponen a los alumnos de primer curso de la Facultad 
de Matemáticas, a los que se han añadido los de algunos ejercicios 
propuestos en los distintos exámenes. Es, por tanto, el fruto de bas­
tantes años de experiencia en la enseñanza de la asignatura de Algebra 
Lineal y una de las consecuencias del trabajo desarrollado por todos 
mis compañeros. Si en mí recayera algún mérito, sólo sería el de haber 
elaborado y preparado las soluciones de dichos los ejercicios y haberme 
decidido a su publicación.
El alumno encontrará una colección variada de ejercicios resuel­
tos de cálculo matricial, determinantes y sistemas así como de espa­
cios vectoriales y aplicaciones lineales todos ellos rigurosamente selec­
cionados y ordenados. Se incluyen, igualmente, algunos sobre espa­
cios vectoriales duales. Las formas bilineales han sido abundantemente 
tratadas así como las aplicaciones del algoritmo de Gram-Schmidt al 
cálculo de bases ortonormales. Se ha hecho especial hincapié en los 
6 PRÓLOGO
ejercicios sobre formas canónicas de Jordán, tanto complejas como 
reales, dada su importancia, no solo en esta asignatura, sino en sus 
posteriores aplicaciones a la Geometría y al Análisis.
Se complementa este manual, con la inclusión de un Apéndice en 
el que se proponen ejercicios de temas que hemos considerado que es 
imprescindible conocer para abordar con éxito la resolución de proble­
mas. Bien es sabido que los últimos cambios en los Planes de Estudio, 
tanto en la Enseñanza Secundaria como en la de los Niveles Universi­
tarios, han creado algunas lagunas que es absolutamente indispensable 
rellenar, no sólo para abordar con ciertas garantías el estudio de esta 
asignatura sino cualquier otra de Matemáticas e incluso de Físicas.
No quisiera terminar sin agradecer a los miembros del Departamen­
to de Algebra de la Universidad de Sevilla su apoyo y colaboración 
y muy especialmente a aquéllos con los que he compartido las tar­
eas docentes en la asignatura de Algebra Lineal en el presente curso 
académico por las continuas consultas a las que les he tenido sometidos 
y que siempre fueron bien resueltas, por haber experimentado conmi­
go este libro cuando ni siquiera era un proyecto serio y por sus útiles 
consejos, agradecimiento que hago extensivo a los Servicios de Publi­
caciones de las Universidades de Cádiz y Sevilla por el apoyo recibido 
para la publicación de este manual.
Mayo de 2001
Manuel Iglesias Cerezal
Capítulo 1
Matrices
Ejercicio 1.1 Obtener las potencias n-ésimas de las siguientes matrices:
/ 0 1 0 \
A = | 0 0 1 I 
\ 0 0 0 /
B =
/ 1 1 1 \
C = I 1 1 11
\ 1 1 1 /
Solución
Apartado 1 El primer apartado es trivial ya que la matriz A es nihilpotente de 
orden tres. Es decir,
/ 0 1 0 \ / 0 0 1 \ / 0 0 0 \
A = I 0 0 1 j => A2 = [ 0 0 0 | => A3 = | 0 0 0 | .
2 /
I o i ) + ' i o J (ver eJerclcl° 14)-
\ 0 0 0 / \ 0 0 0 / \ 0 0 0 /
Por tanto,
Vn >3, An = An-1A = 0 • A = 0.
Apartado 2 Procedamos por inducción1 sobre n. 
• Para n = 1,
/ (x + 1) 4- (x - 1)
x 1 = I 2
1 a: J ' (x + 1) - (x -A) 
\ 2
(x + 1) - (x - 1) \
2
(s + !) + (*- 1) '
xOtra forma de abordar el calculo de Bn es aplicar la fórmula de Taylor a la matriz B =
8 CAPÍTULO 1. MATRICES
• Para n = 2,
/ (x + l)2 + (a: — l)2 (x + l)2 — (x - l)2 \
R2 _ í z2 +1 \ “ 2 2
y 2a; x2 + 1 / (a; + l)2 - (a; - l)2 (x 4- l)2 4- (x - l)2
\ 2 2 /
• Supongamos que se verifica que
Los elementos que ocupan la posición (1,1) y (2,2) de la matriz Bn+\ son de la 
forma,
(x + 1)” + (a; - l)n (a; + l)n - (a; - l)n 
------------X------------x + -- ----------x------------=
x(x 4- l)n + arfa; - l)ra + (a: + l)ra - (a; - l)n
y los elementos que ocupan la posición (1,2) y (2,1) de la matriz Bn+1 son también 
iguales y de la forma,
(a; + l)n + (x — 1)" + a;(ar 4- l)n — x(x — l)n 
“ T
(a; + l)"(ar 4-1) - (a; - l)n(a; - 1)
~ 2!
_ (a: 4- l)n+1 — (x — l)n+1
—2
Por tanto,
Bn+i =
Fórmula que prueba que la hipótesis formulada es cierta.
9
Apartado 3 Procedamos, igualmente, por inducción sobre n.
• Para n = 1 y n = 2,
/ i i i \ / 1 1 1 \
C = 1 1 1 = 3o 1 1 1 ,
\ 1 1 1 / \ 1 1 1 /
/ 3 3 3 \ / 1 1 1 \
C2 = CxC\ 3 3 3 = 31 1 1 1 .
1. Es evidente.
\ 3 3 3 / \ 1 1 1 /
• Supogamos que se verifica que
/ i i i \ 
Cn = 3”-1 1 1 1 .
\ 1 i i /
• Prueba para n + 1.
/ 1 1
Cn+1 = Cn x<j = 3n-l x j
\ 1 1
1 \ / 1 1 1 \ / 1
11 1 1 = 3” 1
1 / \ i i i / \ 1
1 1
1 1
1 1
Fórmula que prueba que la hipótesis formulada es cierta.
Ejercicio 1.2 Sean a,6,cnúmeros reales tales que a2 + b2 + c2 = 1 y consideremos 
la matriz:
/ 0 a — b \
A I —a 0 c I .
y b — c o y
1. Demostrar que la matriz A es antisimétrica (es decir A* = —A).
2. Probar que la matriz M = A2 +I3 es simétrica (es decir M* = M), siendo 
I3 la matriz unidad de orden tres.
3. Demostrar que la matriz M es idempotente (es decir M2 = M).
Solución
10 CAPÍTULO 1. MATRICES
2.
/O a —b 
M = A2+ I3= í -a O c 
y b —c o
Ejercicio 1.3 Hallar todas las matrices que conmutan con la matriz A en cada 
uno de los casos siguientes:
/ 1 0 0 \
A=| 0 1 0 I 
\3 1 2/
de donde,
/ —a2 — b2 + 1 be 
M = I be —a2 — c2 
\ ac ab
Si tenemos en cuenta que a2 + b2 + c2 = 1, y sustituimos en la diagonal 
principal de esta última matriz, tenemos, 
(c2 be ac 
be b2 ab 
ac ab a2
Es evidente, por tanto, que M es simétrica.
3.
/ c4 + b2c2 + a2c2 be3 + b3c + a2bc ac3 + ab2c + a3c \
M2 = I be3 + b3c + a2bc 62c2 + b4 + a2b2 abe2 + ab3 + a3b I
y ac3 + ab2c + a3c abe2 + ab3 + a3b oPc2 + a2b2 + a4 j
Extrayendo convenientemente factor común en cada uno de los elementos de 
la matriz M2, obtenida y recordando que a2 + b2 + c2 = 1, se tiene,
M2
c2(a2 + b2 + c2) 
bc(a2 + b2 + c2) 
ac(a2 + b2 + c2)
bc(a2 + b2 + c2) ac(a2 
b2(a2 + b2 + c2) ab(a2 
ab(a2 + b2 + c2) a2 (a2
+ b2 + c2)
+ b2 + c2)
+ b2 + c2)
Es decir,
c2 be ac 
be b2 ab 
ac ab a2
= M,
de donde se deduce que M es idempotente.
11
Solución
Apartado 1 Sea
Impongamos a esta matriz la condición de que conmute con la matriz A:
x y \ í 1 2 A / 1 2 A / x y \* ?X-i -jM-1 u
de donde
x — y 2x — y 
z — t 2z — t
x + 2z y + 2t
—x — z —y — t
Igualando los elementos de ambas matrices y simplificando, obtenemos,
y = -2z i : f z~2y A 
x = t — 2z ) \ y z J
Apartado 2 Seay A
* j'
Impongamos a esta matriz la condición de que que conmute con la matriz A:
x y A ( 1
z t J 0 'U1 ‘V i? \<> i A
x y A 
z t J '
de donde,
x x+y\_íx+z 
z z +1 ) \ z
y + t 
t
Igualando los elementos de ambas matrices y simplificando, obtenemos,
2 = 0 \^x=( * y}
x = t J \ 0 z y
Apartado 3 Sea 
yi A
12 y2 Z2 j •
X3 y3 ^3 /
Como en los casos anteriores, impongamos a la matriz X la condición de que 
conmute con A:
(
xi yi zi A
X2 y2 z2 | ,
3a;i + X2 + 2^3 3yi + y2 + 2?/3 3zi + z2 + 2z3 j
12 CAPÍTULO 1. MATRICES
XA =
Xi + 3.21
X2 + 3z2 
z3 + 3z3
yi +zi 
yz + z2
V3 + z3
2^i \
222 |
223 /
Igualando los elementos de la tercera columna de ambas matrices, obtenemos,
2i = 0, 22 = 0, 23 arbitrario.
Igualando sucesivamente los elementos de la primera columna y segunda columna 
de AX con los correspondientes de XA, se obtiene, respectivamente,
xi arbitrario, x3 arbitrario, x3 = —3zi — x2 + 323;
yi arbitrario, y2 arbitrario, y3 — —3yi —y2 + z3, 
de aquí que X sea de la forma,
(
xi y^ 0 \
*2 2/2 0 1 .
-3xi - x2 + 3z3 -3yi - y2 + 23 23 /
Ejercicio 1.4 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden tales que 
A • B = B ■ A. Demostrar que:
1. (A + B}2 = A2 + 2 ■ A • B + B2.
2. A2 — B2 = (A + B) ■ (A - B).
n / \
3. (A + B)n = ¿ ) Ak • Bn~k.
k=0 ' '
Solución
1. (¿+B)2 (¿+B)(A+B) (A+B)A+(A+B)B A2+BA+AB+B2 =
A2 + 2AB + B2.
(1) Por definición de potencia de exponente natural.
(2) Por la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices.
(3) Por conmutar A con B (AB = BA).
2. A2-B2 = A2-AB + BA-B2 A^A-B^ + B^A-B) = (A + B^A-B).
(1) AB = BA ^ -AB + BA = 0.
(2) Por la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices.
3. Procederemos por inducción sobre n.
* Para n = 1,
13
• Para n — 2,
• Supongamos que es cierto que
Nota. Se han aplicado las propiedades siguientes de los números combina­
torios:
Ejercicio 1.5 Sea Eij la matriz n x n que tiene un 1 en el lugar (i,f) y 0 en 
el resto. Calcular los productos ■ Eki para cualesquiera valores de i, j, k, l 
comprendidos entre 1 y n.
Solución
Recordemos que si A G M(n, m), EijA es una matriz de orden n x m tal que su
14 CAPÍTULO 1. MATRICES
fila í-ésima es la fila j-ésima de A y son de ceros las restantes filas. Dicho esto, es 
fácil comprender que
EijEki =
En si k = j 
0 si k / j
Ejercicio 1.6 Demostrar que toda matriz A € A4(2 x 2, K) verifica la ecuación, 
A2 — (a + d) • A + (a • d — c ■ b) • I2 =0,
donde I2 es la matriz unidad de orden dos
Solución
Se tiene que
2 _ / a2 + be ab + bd \ 
— y ac + cd bc + d2 j '
. n 4 ( ~a'2 — ad ~a^ — bd \
~(a + d)A= _ac_cd _ad_d2 J, 
, , ,.T ( ad — cb 0 \(ad-cb}I={ Q ad_cbj-
Sumando miembro a miembro las tres igualdades, resulta
A2 — (a + d) ■ A + (a ■ d — c • b) ■ I2 = 0, 
que es lo que se pedía demostrar.
Ejercicio 1.7 Si A = (a^) es una matriz cuadrada de orden n, entonces se define 
la traza de A, que notaremos Tr (A), así:
n 
'ft(A) = 22a«. 
Í=1
Probar que si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces:
1. Tr (4 - B) = Tr (X) - Tr(B).
2. Tr pl ■ B) = Tr (B ■ A).
3. A - B — B ■ A^ In, siendo In la matriz unidad de orden n.
15
Solución
Sean A = (aij), B = (ty) dos matrices cuadradas de orden n.
n n n
1. T¥(A - B) = - b^) = £ au - £ bu = Tr(A) - Tr(B).2 = 1 2=1 2=1
2. Sean C = (cíj) y C = matrices cuadradas de orden n tales que C = AB 
y C = BA. Se tiene: n n n n n
Tr(C") = E = Z Ebi^ = L L2=1 2=1 j = l j = l 2 = 1
1=1 J = 1 2=1
de donde deducimos que Tr(Bd) = Tr(AB).
3. Si fuese AB — BA = In, sería Tr(dB - BA) = Tr(Zn) = n, pero esto es 
imposible ya que por los puntos anteriores,
Tr(AB - BA) (=’ Tr(AB) - Tr(5d) (= 0.
Ejercicio 1.8 Se pide:
1. Demostrar que si A y B son matrices cuadradas de orden dos, entonces la 
suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz A • B — B • A es 
0.
2. Probar que si C es una matriz cuadrada de orden dos tal que la suma de los 
elementos de la diagonal principal es 0, entonces existe un escalar a tal que 
C2 = a • I2, siendo I2 la matriz unidad de orden dos.
3. Deducir de (1) y (2) que si A,B,D son matrices cuadradas de orden dos, 
entonces se verifica:
(A - B - B • A)2 ■ D = D ■ (A - B - B • A)2.
Solución
1. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada 
es la traza de la matriz, definida en el ejercicio 1.7. Por este mismo ejercicio 
(apartados (1) y (2)), sabemos que
Tr(AB - BA) ^{AB) - TA^BA) ® 0.
16 CAPÍTULO 1. MATRICES
2. La matriz C será de la forma,
de donde
Basta pues, tomar a = a2 + be.
3. Hemos demostrado que
Tr(AB - BA) = 0 M K | (AB - BA)2 = al2
Por tanto,
(AB - BA)2D = (aI2D) = D(al2) = D(AB - BA)2.
Ejercicio 1.9 Sea A € A4(n x n, K) una matriz fija. Probar que las condiciones 
siguientes son equivalentes:
1. A • X = X • A para toda matriz X de MSn x n, K).
2. Existe un escalar 3 tal que A = (3 • I.
Solución
El ejercicio 1.5 define las matrices Eij. Dos propiedades importantes de estas 
matrices se traducen en el comportamiento de la multiplicación a izquierda y 
derecha por una matriz A.
• Eij A da como resultado una matriz del mismo orden que A tal que su fila i 
es la fila j de A y el resto de sus elementos son ceros.
• AEij da como resultado una matriz del mismo orden que A y tal que su 
columna j es la columna i de A y el resto de sus elementos son ceros.
Visto lo anterior, no es difícil comprender lo siguiente: 
11 => 2 | AX — XA, VX € M(n x n, K) => AE^ = EtjA, (1 < i, j < n), donde 
Eij es la matriz definida en el citado ejercicio 1.5. Por consiguiente,
17
j)
0 ••• 0 0 0 0
aÍ3 + ^jn
0 0 0 0 ■ ■ 0
igualdad matricial en la que se han destacado la fila i y la columna j. Aplicando 
el criterio de igualdad de matrices obtenemos que
( aki = 0 si k / i (1 < k < n),
* ajk = 0 si k/j (1 < k < n),
^ii = j •
Como las expresiones anteriores son válidas Yi,j 11 < i, j < n, deducimos que la 
matriz A es de la forma,
= 01.
| 2 => 11 Es evidente ya que si A = /U, A conmuta con toda matriz X de orden 
n x n.
Ejercicio 1.10 Una matriz cuadrada se llama diagonal si todos sus elementos 
situados fuera de la diagonal principal son iguales a 0. Demostrar que las condi­
ciones siguientes son equivalentes:
1. A es una matriz diagonal.
2. A es una matriz cuadrada que conmuta con todas las matrices diagonales de 
su mismo orden.
Solución
Sean A y B las matrices diagonales,
«22 / bu ¿22
, B =
®nn / \
18 CAPÍTULO 1. MATRICES
Se tiene, que
/ «nbn
AB =
/ ^11011
«22^22
^22 «22
= BA.
^nn ^nn
11 => 2 | Sean, ahora,
«11 «12«21 0-22
\ «ni «n2
^ln ' 
a2n
^nn /
Se tiene, que
/
AB =
«11“21 «120-22 din \ / bll«2n ^22
\ «ni an2
/ Üll&ll «12^22 «21^11 0-22^22
\ dnlbll an2^22
Análogamente,
^Inbnn \U2n^nn
^nnbnn
BA =
^11 «12 «In«21 «22 • • • «2n
\ «ni «n2 * * * «nn /
/ biian ^n«i2^22a21 ^22a22 bllüin b22<12n
{baaíj^.
bnn^nl bnn^n2 bnn^nn /
19
De donde deducimos, que
^^3 I 1 < j _ aijbjj — bndijf
Es decir,
Ujj ^h) — 9 aij — si *t~ 3
Haciendo aa = A¿, la matriz A es de la forma,
y, por tanto, es diagonal.
Ejercicio 1.11 Responder a las cuestiones siguientes:
1. Hallar todas las matrices 2x2 cuyo cuadrado sea la matriz cero.
2. Hallar todas las matrices 2x2 cuyo cuadrado sea la matriz unidad.
3. Hallar todas las matrices 2x2 cuyo cubo sea la matriz cero.
Solución
Sea, en todos los casos,
1.
a2 + be 
ac + cd
ab + bd \ 
be + d2 JÁ2 =
0 0
0 0
de donde
a2 + be 
b(a + d) 
c(a + d) 
be + d2
0 (1)
0 (2)
0 (3)
0 (4)
Caben los casos:
(a) a + d / 0 => b = c = 0 => a = d = 0 (Sustituyendo en (1) y (4)), 
de donde
A-(°
A 0 0 ) ’
solución que, siendo del problema, contradice la hipótesis inicial de que 
a + d 0.
20 CAPÍTULO 1. MATRICES
(b) a + d = 0 —* d — —a. pudiendo ser b y c cualesquiera. Ahora bien, 
como a2 = — be, A será de la forma,
con a2 = — be.
(Obsérvese que el caso anterior está incluido en éste, basta hacer b = 
c = 0.)
2 _ / a2 + be al^ bd \ f 1 0 j
y ac + cd be + d? J y 0 1 /
de donde ,
a2 + be = 1 (1)
( b(a + d) = 0 (2)
c(a + d) = 0 (3)
i be + d2 = 1 (4)
Caben los casos:
(a) a + d /0(^ (b= 0)A(c = 0) a2 = 1 = d2. Como a = ±1, d = 
±1 y a + d / 0. debe ser sig(a) = sig(b) => (a = b = 1) V (a = b = —1). 
Luego, en este caso, las matrices pedidas son,
. í 1 0 \ . / -1 0 \
A1 ~ 0 1 J ' A2 ~ 0 -1 )
(b) a + d = 0 => d = —a, pudiendo ser b y c cualesquiera. Por tanto,
teniendo en cuenta (1) y (4), la solución es
con a2 + be = 1.
3. Para calcular las matrices cuadradas cuyo cubo sea cero, tendremos en cuen­
ta:
• A3 = 0 => |A3| = |A|3 = 0 => |A| = 0.
• A2 - (a + d)A + |A|Z = 0 => A2 - (a + d)A = 0 => A2 = (a + d)A. 
(Ver ejercicio 1.6)
Partiendo de esta última igualdad
A2 = (a + d)A,
si multiplicamos ambos miembros por A, tenemos que
0 = A3 = (a + d)A2, 
(1-1)
(1-2)
21
y, sustituyendo el valor de A2 (dado por 1.1), en esta última ecuación, resulta 
que
0 = (a + d)2A.
Pueden darse, pues, dos casos:
(a) A = 0, lo que implica que X3 = 0.
(b) a + d = 0. Sustituyendo este valor en (1.1) se tiene que A2 = 0 y, por 
consiguiente, A3 = A2 4 = 0.
Si tenemos en cuenta la cuestión 1 del presente ejercicio, la solución a esta 
cuestión es
. í a b \ o ,A = j , con a = —be.
\c ~a J
Es decir, las matrices cuadradas A tales que 42 = 0.
Capítulo 2
Determinantes y sistemas
Ejercicio 2.1 Calcular los siguientes determinantes:
1)
4)
1 -1 1
-1 >
1
3
2
2)
-5)
1
0
-1
1
-1
-1
-1
-1
2
-1
-1
1
1
1
-3
1
0
-2
, 3)
, 6)
1
0
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
2
-1
1
1
-2
1
-1
2
0
1 -
1
-1
1
1
2
-1
2
-1
3
0 -1 1 - 11 1 2 1 0 1
n 2 1 , 8) -2 -1 1 - 2 ’-4 - 3 3 1 - 1 3
0 -1 1 -1 0 -1 1 -1
0 1 0 -1 0 1 0 -1
9) 0 -1 -1 2 , 19) _ 1 -1 -1 1 1
■1 1 1 -3 0 1 1 -2
0 -1 1 -1 0 -1 1 -1
1 1 -1 1 _1 1 -1 -1
ii) 0 -1 2 -1 , 12) _ 1 -1 -1 1 »
0 1 -3 2 — 1 1 0 -2
0 — i 1 -1 0 -1 1 -1
3 i 1 1 -1 1 2 -4
13) 0 — i 2 -1 , 1 4) i-1 -1 1 -1 J
2 i -1 2 -1 1 1 -3
24 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
15
17)
19
)
)
1 -1
3 0
0 -1
1 1
1 -1
1 -1
-1 0
0 -1
1 1
-3 -1
1 -1
-3 0
0 -1
-1 1
-3 -1
1 “> 1
2 3
1 -] 1 ,
O 1 -1
1 -í 3
1 -1 1
0-1 o
1 -1 1
O -1 1
-1 1 -2
1 -1 1
-1 -1 -1
1 -1 1
-1 -1 O
-1 1 —2
—4
21)
1 '-I
-3 í
0 -1
5 1
-9 -1 -1
1
“ 1
-1
0
1
0
-1 
0
1
-1
16) 1 -1 1 -1 1
1 1 0 -1 1
“3 -1 -1 2 -3
1 1 1 -1 1
1 1 1 0 0
18 0 1 1 -1 1
-1 i -1 2 -3
1 1 1 -1 2
1 1 -1 1
5 1 3 0 2
, 2 0 0 1 -1 1
3 1 2 -1
1 1 -1 2
1 - 1
-1 * -1
1 - 1
2 1
-3
Solución
Soluciones: 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 2; 6) 3; 7) -2; 8) 1; 9) 1; 10) 1; 11) 1; 12) 2; 
13) 3; 14) —2; 15) 1; 16) 1; 17) 1; 18) 1; 19) 2; 20) 3; 21) -2.
A continuación, resolveremos los dos últimos apartados.
Apartado 20
1-11-1 1
5 0 3 0 2
0-11-1 1
3 11 2-1 
1-11-1 2
0 3
-1 1
1 1
-1 1
0
-1
2
-1
2
1
-1
2
0 3
-1 1
1 1
0
-1
2
1 0 0
5 0 3
0 -1 1
3 1 1
1 -1 1
0 3
-1 1
1 1
0 0
© _3
0
2
1 (2)
0 
0
-1
2 -1
-1 2
0
-1
2
0
2
1
-1
1
(J)
-1 -1
1 2 = 3
25
Justificación de los pasos
(1) Sustituyendo la primera fila, por ella menos la tercera.
(2) Desarrollando por los elementos de la primera fila.
(3) Sustituyendo la cuarta fila, por ella menos la segunda.
(4) Desarrollando por los elementos de la cuarta fila.
(5) Desarrollando por los elementos de la primera fila.
Apartado 21
1-1 1-1
-3 0 -1 -1
0-1 1-1
5 12 1
-9 -1 —4 -1
1 0 0 0 0
-3 0 -1 -1 -1
0-1 1-1 1
5 12 11
-9 -1 —4 -1 -3
0 -1 -1
-1 1 -1
1 2 1
-1 —4 -1
-1 -1
1 -1
2 1
-4 -1
(4)
‘ -1 1 1
1 2 1
-1 —4 -3
Justificación de los pasos
(1) Sustituyendo la primera fila, por ella menos la tercera.
(2) Desarrollando por los elementos de la primera fila.
(3) Sustituyendo la primera columna, por ella menos la tercera.
(4) Desarrollando por los elementos de la primera columna.
Ejercicio 2.2 En cada una de las series de determinantes que siguen (A, B ó C), 
se pueden calcular todos conocido el primero. Por ejemplo, se pueden calcular 
A42, A43, A44, A45, A46, A47 y A48 a partir de A41 por las propiedades de las 
aplicaciones multilineales alternadas. Calcular los tres primeros determinantes. En 
cada caso, calcular los siguientes haciendo uso de esas propiedades y explicando 
cuáles se han usado.
A41 =
0
2
-3
4
-1
1
-1
1
1
0
1
-1
-1
1
-3
4
, A42 =
6
2
-3
4
1
1
-1
1
-1
0
1
-1
5
1
-3
4
1
0 -1 1 -1 -3 -1 1 -3
2 1 —4 1 0 -1 1 -1A43 = , A44 =-3 -1 7 -3 2 ■ 1 0 1
4 1 -9 4 4 1 -1 4
0 -1 1 -1 -1 1 -1 0
2 1 0 1 1 0 1 2A45 = , A46 =4 1 -1 4 -3 1 -1 -3
3 1 -1 3 4 -1 1 4
26 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
447 =
0 1-2-1
2 0 2 1
-3 1 -2 -3 A48 =
2 1-21
0-1 3-1
-3 -1 3 -3
4 1-34
2 13-3
2 10 1
-1 -1 -1 1
2 110
0-1 6-1
2 1-51
-1-1 4 1
2 1-40
2-1 1-1
0 10-1
1-1-1 2
0 11-2
-1 -1 —2 0
110 2
1-1 2-1
0 1-22
1-1 0-1
0 10-1
-1 7 —4 -2
1-531
-4 -1 -1 —2
4 2 11
0-1 1-1
3 111
-3 —2 0 -2
8 3 2 3
-4 -1 -1 —2
3 111
0 10-1
8 13 3
B41 =
4-124
0-1 1-1
2 10 1
-1 -1 -1 1
2 110
2 13-3
5 4 3 -2
-1 -1 -1 1
2 110
0-1-1 1
-2 -1 1 -2
-1 -1 1 -1
2 10 1
0-1 1-1
2 110
- 4 —4 —4 4
2 10 1
0-1 1-1
0 10-1
- 4 -1 -1 —2
3 111
0 11-1
0 10 1
— 4 2 -1 -1
3-111
0 1-1-1
0 0 1-1
— 4 -1 -5 2
3 111
0-3 3-3
8 3 2 3
B42 =
B43 = B44 =
B45 = , B46 =
B47 = B48 =
C41 = C42 =
(744 =(743 =
(745 = (746 =
(748 =(747 = -4 -1 -1 -2 -4 -1 -1 —2
3 111 3 111
27
Solución
Nota. Para simplificar la escritura se han utilizado las transformaciones elemen­
tales por filas y por columnas con los siguientes criterios:
Transformaciones por filas.
• Los símbolos escritos encima de las flechas son transformaciones elementales 
por filas.
• Pij(c) es la transformación que sustituye la fila i de la matriz, por ella más 
la fila j multiplicada por c. Esta transformación no altera el determinante 
de la matriz.
• Tij es la transformación que permuta las filas i y j de la matriz. Esta 
transformación cambia el signo del determinante.
• Mi{c) es la transformación que multiplica la fila i de la matriz por el escalar 
c / 0. Esta transformación multiplica el determinante de la matriz dada por 
c.
Transformaciones por columnas.
• Los símbolos escritos debajo de las flechas son transformaciones elementales 
por columnas.
• Pij(c) es la transformación que sustituye (¡atención!) la columna j de la 
matriz, por ella más la columna i multiplicada por c. Esta transformación 
no altera el determinante de la matriz.
• es la transformación que permuta las columnas i y j de la matriz. Esta 
transformación cambia el signo del determinante.
• Mi^c) es la transformación que multiplica la columna i de la matriz por el 
escalar c / 0. Esta transformación multiplica el determinante de la matriz 
dada por c.
1.
A41 — 1; .A42----- —+ — 1; ^43---------- > A41 = 1;
^13(2)
A44 ——+ — A44 —-A41 = 1;
A45 ——A45-----\ A41 = 1; A46----- » — A46----- * A41 = 1;
rl2 t23
^47 ----------> 2A47 ----- + —2A41 = —2; A18 —— ^48 --------- * — A41 = 1.
M3(^) ^23 ft2(2)
28 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
2.
p 1. p ^13(2) p _ - p ^13(2), P2a(3) p _±>41 = ~ 1, ±>42 ------------ * ±>41 — “l* ±>43 ---------------------- * ±>41 — ”1»
• Supongamos que para cualquier entero positivo r menor que n, se verifica 
que Ar - ar.
B44--------- —* fí4i = — 1; 
±*23(5)
B45 -B45--------- > B45 -^24 -B45--------- > -541 = i-
Ma( —1) ^34(2)
3.
C41 = —1; C42 ——» -C42--------- > — C41 = 1;
T13 P12(2)
C43 ——> —C'43^— ---- + C41 = 1;I24 Mi(—1)
p23W p _ 1. p ______ p p---------- * ~O41 — 1, O45 ------ * — O45 -----------* — O4I = 1,
T23
P23(2) „ Pi4(l) - ,l>46 ----------- * ^46 ----------- ► O41 = — i!P23(2) 
^47 ----------- ► O47 Milj) 3041 — 3; P23(2)U48 ----------- ► C48 -C41 = 1.
Ejercicio 2.3 Consideremos la sucesión de Fibonacci, definida por las siguientes 
relaciones:
ai — 1, ^2 — 2 y Un4-2 — d” ^n+li (Vu 1).
Demostrar que el n-ésimo término, an,
determinante de la matriz n x n siguiente:
de la sucesión de Fibonacci es igual al
/ 1 1 0 0 •• ■ 0 0
-1 1 1 0 •• ■ 0 0
0 -1 1 1 •• ■ 0 0
0 0 0 0 •• • -1 1 /
Solución
Llamemos An al determinante de la matriz de orden n dada.
Por inducción completa sobre n.
• Desde luego △! = ai = 1, A2 = a2 2 y A3 = 3 = Ai + A2 = ai + a2 = a3.
29
• Prueba para n > 3.
Desarrollando △„ por los elementos de la primera fila, se tiene:
△n =An-1 “
-1 1 0
0 1 1
0 0 0
o o
o o
-1 1
Desarrollando ahora el determinante del segundo miembro de la igualdad 
anterior, por los elementos de la primera columna, llegamos a que
△n = An-1 + △n—2*
Luego, por la hipótesis de inducción, será
△n = ^n— 1 d* —2 = ^n*
Ejercicio 2.4 Establecer las siguientes identidades:
1)
x — y — z 2a: 2a:
2y -x + y - z 2y
2z 2z —x — y + z
2)
1 1 1
x y z 
y + z z + x x + y
1 1 1
— 1 x 1
— 1 —1 X
-1 -1 -1
1
1
1
X
4)
a:9 xy xy y9
9 9xy x* y xy
9 2xy y x xy
9 9y xy xy x
= (a: + 7/ + z)3.
= (x + l)"-1
= (x2-y2)4.
5)
x + ai a2 a3 ••
ai x + a2 a3 • •
ai a2 a3 ■ • * X "4“ Gyj
30 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
6)
2 1 0 0 —• 0
1 2 1 0 ••• 0
0 1 2 1 0
O O O O 2
7)
Xi 02
ai X2 an = n (*<-“<)■ (1 + + ■■■ + r^-í 'l(ai-ai) (zn-an)/ 
1— 1
ai
(En este último determinante, suponemos que x¿ / üí (i = 1, • • • ,n)).
Solución
1.
X - y - z
2z
2x
-x + y - z 
2z
2x
2y 
—x—y+z
21
x + y + z 
2y 
2z
x + y + z 
—x + y — z 
2z
x + y + z 
2y 
—x — y + z
x + y + z
2z
0
-(a: + y + 2) 
2z
0
0
— (x + y +
= (x + y + z)3
(a) Sustituyendo la primera fila por la suma de todas.
(b) Sustituyendo la segunda y tercera columna por ellas menos la primera.
(c) Como hemos obtenido una matriz triangular, su determinante es el 
producto de los elementos de la diagonal principal.
2.
1
x
x + y + z
1 1
y z
x + y + z x + y + zy + z z + x x + y
(x + y + z)
1 1 1
x y z
1 1 1
^0.
(a) Se ha sustituido la tercera fila por ella más la segunda.
31
(b) Si x + y + z = O, el determinante es cero por tener una fila de ceros. Si 
no es así, dividiendo la tercera fila por x 4- y 4- z. (En relidad, se puede 
afirmar que este determinante es cero por tener la primera y tercera fila 
proporcionales).
(c) Como la matriz tiene dos filas iguales, su determinante es cero.
- (x + l)n 1
1 1 1 1 1 1 1 • • 1
-1 X 1 1 0 x + 1 1 • 1
3. -1 -1 X - • 1 a) 0 0 x 4- 1 • ■ 1
-1 -1 -1 X 0 0 0 ■ • x + 1
(a) Se ha sustituido cada fila por ella menos la primera.
(b) El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos 
de la diagonal principal.
4.
X2 
xy
xy 
x2
xy 
y2
y2 
xy (=’
(x + y)2 
xy
(x + y)2 (x
X2
+ y)2y 
y2
(z + y)2 
xy
xy 
y2
y2 
xy
X2 
xy
xy
X2
xy 
y2
y2 
xy
z2
xy
xy 
X2
(x + y)2 
xy 
xy 
y2
0 
x(x - y) 
-y(x - y) 
y(x - y)
O
í 1
o 
1 
1 
O
O
íM oí
1
0
0
0
x2 - y2
(x + y)2 
2xy 
xy 
y2
0
(x - y)2 
-y(x - y) 
y(x - y)
0
0
x2 - y2
0 x
0
0
0
2 - y2
y 5 (x + y)2(x-y)2(x2 -- y2)2 = (x2 2\4-y ) •
(a) Sustituyendo la primera fila, por la suma de todas.
(b) Sustituyendo cada columna por ella menos la primera.
(c) Sustituyendo la segunda fila, por ella más la tercera.
(d) El valor del determinante es el producto de los elementos de la diagonal 
principal (matriz triangular).
x + aj 02 a3 •• • an
5.
ai X + 02 a3 • • an (“)
ai 02 a3 • ' x 4“ a„
32 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
as 
a3
02
X + 0,2
as
00 0 ■” ^x
(a) Se ha sustituido la primera columna, por la suma de todas.
(b) Se ha extraído el factor común de la primera columna y se ha sustituido 
cada fila, por ella menos la primera.
(c) El determinante resultante es igual al producto de los elementos de la 
diagonal principal.
6. Sea A„ el determinante dado. Procedamos en este caso por inducción sobre 
el orden del determinante.
• Para n=l, |2| = 2 = 1 + 1.
2 1
1 2 = 3 = 2+1.
• Supongamos la fórmula cierta para todo entero positivo menor que n.
• Prueba para n.
Desarrollando por los elementos de la primera fila se tiene:
1 1 0 •• • 0
0 2 1 •• • 0
A„ - 2A„_r 0 0 1 ■■ • 0 — 2A„_iAn_2■ 1 ■ ■■ w ■■
0 0 0 • • 2
y, teniendo en cuenta la hipótesis de inducción,
△n = 2An_j — An_2 = 2(n — 1 + 1) — (n — 2 + 1) = n + 1,
con lo que hemos demostrado que la fórmula es cierta para todo número 
entero positivo.
7. Para simplificar la escritura utilizaremos la siguiente notación:
&Í*
• Para n=2,
33
Xi O2 03 • ' ^n—1 anai x2 a3 ■ ’ ^n—1
△n ai a2 Z3 ■ • ^n — 1
ai a2 a3 • ' ^n— 1ai a2 a3 ■ ' ^n— 1
0 0 0
0 0 0
6n— 1^n—1 0
b2 0
—b2 bs
0 0
0 0
0
0
o
0
0
bn—1
bn — 1
+ ( —l)3O2
+(—l)4a3
-b, 
O
O
O
~bi
O
O
O
O
bs
O O
^2— &2
o
o
O 
O
bn—1
bn — 1
O 
O
o
o
o
bn— 1
bn — 1
o
o
o
bn
—61 b2 OO —b2 63
0 0 0
0 0 0
O O
bn—1
bn— 1
= 11 n bi + (—l)3+1a2 n 6i + (-l)4+2a2 f[ i»í +
<=i Wi/1 t/3
1
34 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
i^n
Deshaciendo el cambio realizado (bi = Xi — a¿), y efectuando la división del 
primer término del paréntesis, se obtiene que
Justificación de los pasos dados.
(a) Sustituyendo cada fila, por ella menos la anterior.
(b) Desarrollando por los elementos de la primera fila.
(c) Desarrollando los n determinantes resultantes al realizar el paso ante­
rior.
(d) Se ha completado cada producto con el factor que falta para lo cual se 
ha multiplicado y dividido cada término por dicho factor.
definidas como sigue:
Ejercicio 2.5 Sean An = (av) y Bn = (bij} matrices cuadradas de orden n,
si i < j si i < j
si i = j 'f si i = j + 1
si i > j ” si i > j + 1
Se pide:
1. Probar que det(5n_i) = -6)" 2.
2. Probar que det(An) = (a + b) det(An_i) — b(a — b')n \
3. Probar por inducción que det(An) = |[(a + b)n + (a — &)"].
Solución
1. Calculemos el determinante de la matriz Bn. Por definición,
det(Bn) =
b b b b b
a b b • • • b b
—b a b ■ ■ ■ b b
—b —b —b • • • b b
—b—b—b--- a b
35
Sustituyendo cada fila por ella menos la primera, se tiene que
b 
a — b 
—2b
b
0 
a — b
b ■■
0 ••
0 ••
■ b
■ 0
■ 0
b
0
0
det(Bn) = ■
-2b —2b -2b ■■ ■ 0 0
—2b —2b —2b ■■ • a — b 0
Desarrollemos este determinante por los elementos de la última columna con 
lo que se obtiene que
det(B„) = (-l)1+n&(a - ó)”"1
y, por tanto,
det(Sn_1) = (-l)nb(a-6)n-2. (2-1)
2. Calculemos ahora el determinante de la matriz An. Igualmente, por defini­
ción,
a b b •• ■ b b
—b a b b b
det(An) =
-b -b a ■ ■ ■ b b
-b —b -b .. ■ a b
-b -b -b •• ■ —b b
Sustituyendo la última fila por ella más la primera, se tiene que
a b b ■ • b b
—b a b ■ ■ b b
det(An) =
—b —b a • ■ b b
—b —b —b ■ ■ a b
a — b 0 0 • ■ 0 a + 6
y, desarrollando por los elementos de la última fila, obtenemos que 
det(An) = (-l)”+1(a - b) det^-O + (-l)2n(a + b) det^-J.
Por tanto, teniendo en cuenta la igualdad (2.1), se verifica que
det(An) = (a + b) det(Xn_i) — b(a — b)n 2. (2.2)
3. Probaremos la fórmula por inducción sobre el orden, n, de la matriz An.
36 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
• para n = 1, la fórmula es cierta ya que
det^) — a = Í[(a + b) + (a - fe)].
• Para n = 2 es igualmente cierta.
det(A2) = a2 + b2 = ^[(a + b)2 + (a - fe)2].
• Supongamos qua la fórmula es cierta para la matriz An_i.
• Prueba para la matriz An. í’or la hipótesis de inducción, podemos 
sustituir el valor del det(>ln_1) en la fórmula (2.2) y obtendremos:
det(An) = (a + fe) det(An_i) - b(a — fe)"-2 =
= |(a + fe) [(a + fe)"-1 + (a - fe)"-1] - b(a - fe)"-1 =
= | [(a + fe)" + (a + b)(a - fe)"-1 - 2b(a - fe)"-1] =
¿i
= |[(a + fe)n + (a-fe)"b
Ejercicio 2.6 Calcular la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes:
/ 1 -1 1 \ / 1 —1 1 \
I 2 1 1 | , b) -1 i —2 I
\ —3 —2 —1 / \ 0 1 -1 /
d)
/ 1 -1
I 3 1
\ 4 1
/ 0
») ~4
í o
0
h -1
k 0
í o
*) | —4
\ 2
/ 1 —1 1
, c) -2 -1 -1
\ 3 2 1
í i -i 1 \
/) 1 3 —2 ,
k ° -1 1 /
-1 1 -1 \
1 -1 -1 
0-1-1 ’
1 1 0 /
- 1 1 -1 \
1 -1 -1 
4-1-5 ’
- 3 1 4 /
- 1 1 -1\
1 -1 -1
0 11’
-13 4/
1 \
2
3 /
-1
1
-3
-2
-1
1
-1
-1
-1
1
5
-2
37
Solución
Recordemos que si A = (ay) es una matriz cuadrada de orden n, A es invertible 
si y sólo si det(A) 0. Si éste es el caso, la matriz inversa A-1, de A, es
( An X21 • • • Ani }
, 1 , 1 A12 A22 • • • An2
A = MjAdj(A) = píj : : : :\ ^ln Á2n ' ' * nn /
Dicho esto y adelantando que el determinante de todas las matrices dadas 
es igual a uno, damos las inversas de dichas matrices.
/ 1 -3 --2 > / 1 0 1 \ / 1 3 2 \
a) 1 —1 2 1 |, b) --1 -1 1 ) , C> | -1 -2 -1 1
\ -1 5 3; \ --1 -1 0 / \ -1 -5 -3/
/ 1 4 - 3 \ 1 5 -2 \ / 1 0 -1 \
d) | -1 -1 1 1 > e) 1 -1 —2 1 , /) -1 1 3 )
\ -1 -5 4 /
k1-1 -7 3 / \-1 1 4 /
/ 1 3 2 - 2 / 1 3 —4 -2
-1 -2 0 - 1 -1 -2 3 2
9) -1 -4 -1 0 -1 —4 5 3 >
\ -1 -2 -1 1 \-l -2 2 1
/ 1 0 -1 0 \ / 1 3 4 6 \
-1 1 0 1 -1 -2 -1 -2c -1 1 0 2 -1 —4 -3 -5
\ -1 0 0 1 / -1 —2 -2 -3 /
1 3 2 6 \ / 1 3 —4 2
-1 -2 0 --1 -1 -2 5 -2
k) -1 -4 -1 --4 -1 —4 7 -3
"I -2 -1 --3 / V -1 -2 2 -1 ;
Ejercicio 2.7 Averiguar si los sistemas siguientes son de Cramer y, en caso posi­
tivo, resolverlos.
2xi - X2 - x3 = 4 ' Xi + x2 + 2x3 = -1
3xi + 4x2 - 22:3 = 11 S2 H 2xi - ^2 + 2x3 = -4
3xi—2x2 4-4x3 = H ,, 4xi + 2:2 + 4x3 = -2
' 3xí + 2x2 + x3 = 5 Xi + 2x2 + 4x3 — 31«3 : 2xi + 3x2 + 2:3 = 1 S4 : 5xi 4- X2 4- 2x3 = 29
( 2xi + X2 + 3x3 — 11 3xi - x2 4- x3 = 10
38 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
S5 :
^1 + $2 + 2x3 + 3x4 = 
3xi — X2 — X3 — 2x4 =
2¿ci + 3x2 — X3 — x4 = 
xi + 2x2 + 8x3 - Xi =
Xi + 2x2 + 3X3 + 4x4 
2xi + X2 + 2x3 + 3X4 
3xi 4- 2x2 + $3 + 2x4 
4X1 + 3X2 + 2x3 + ^4
1 ( xi + 2x2 + 3x3 — 2x4 =
— 4 „ I 2xi — X2 — 2x3 — 3x4 =
— 6 °6 ‘ ] 32JJ + 2x2 — $3 + 2x4 =
— 4 1 2xi— 3x2 + 2x3 + $4 =
= 5 f X2 — 3x3 + 4x4 =
= 1-1 X1 — 2x3 + 3X4 =
= 1 8 ' | 3xi + 2x2 — 5x4 =
= —5 [ 4xi + 3x2 — 5x3 =
2xi - x2 4- 3x3 + 2x4
3xi + 3x2 + 3x3 + 2x4
3xi — X2 — X3 4" 2X4
3xi — X2 + 3x3 — X4
4 í X1 + x2 + x3 + x4 
6 JS J xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 
6 1510 1 xi + 3x2 + 6x3 4- IOX4 
6 [ Xi + 4X2 + IOX3 + 20X4
6
8
4
-8
-5
—4
12
5
= 0
= 0
= 0
= 0
X1 + 3X2 + 5X3 + 7x4 = 12 ( X1 + 2x2 + 3x3 + 4X4 = o
3xi + 5x2 + 7x3 + X4 = O _ I xi + X2 + 2x3 + 3x4 = O
5xi + 7x2 4- X3 4- 3x4 = 4 ’ I xi + 5x2 + ^3 4- 2x4 = O
7xi + X2 + 3x3 + 5x4 = 16 [ xi + 5x2 + 6x3 + 2x4 = O
513 : *
Xi + x2 + x3 + x4 + x5 
xi — x2 + 2x3 ~ 2x4 + 3x5 
xi + x2 + 4x3 + 4x4 + 9x5 
X1 — X2 + 8x3 — 8x4 + 27X5 
X] + x2 + 16x3 + 16x4 + 81x5
O 
O 
O 
O 
O
( I] + z2 + X3 +14 = O
x2 + x3 + X4 + x5 = O
514 : < ^1 + 2x2 + 3x3 = 2
x2 + 2x3 + 3x4 = -2
X3 + 2x4 + 3xs = 2
Xi + 4x2 + 6x3 + 4x4 4- x5 = O 
^1+^2+ 4x3 + 6x4 + 4x5 = O 
515 ; < 4xi 4- x2 4- x3 4- 4x4 +6x5 = O 
6x1 + 4x2 + x3 + x4 4- 4x5 = O 
4xi 4- 6x2 + 4x3 + x4 + x5 = O
516 : <
2xi 4- x2 4- X3 4- x4 4- x5 
X1 + 2x2 + Z3 + x4 + x5 
^1+2:2 + 3x3 4- x5 + x5 
Z1 + £2 + £3 + 4x3 4- X5 
xi 4- x2 4- x3 4- x4 4- 5x5
= 2
= O
= 3
= -2
= 5
xi 4- 2x2 + 3x3 + 4x4 4- 5x5 
2xi 4- X2 4- 2x3 4- 3x4 4- 4x5 
2xi + 2x2 4- X3 4- 2x4 4- 3x5 
2xi + 2x2 + 2x3 4- X4 4- 2x5 
2xi 4- 2x2 4- 2x3 + 2x4 + x5
13
10
11
6
3
39
Solución
Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas es de Cramer si y sólo si el 
determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. (Adelantamos 
que todos los sistemas dados son de Cramer).
Notación
Con la letra griega △, notaremos al determinante de la matriz de los coeficientes.
El determinante de la incógnita Xi será notado por A¿ (determinante que resulta 
al sustituir la columna i de la matriz de los coeficientes por la columna de los 
términos independientes).
La solución de cada sistema de Cramer viene dada por:
△i 
A
(i = 1,2,... ,n).
Damos, además la forma reducida por filas de la matriz ampliada de cada uno de 
los sistemas por si se quiere resolverlos utilizando este recurso (será notada por 
Si).
/ 1 0 0 3 \
1. A = 60, X! = 3, x2 = 1, x3 = 1; Si = [ 0 1 0 1 |.
\ 0 0 1 1 /
/10 0 1 \
2. A = 6, 2:1 = 1, x2 = 2, x3 = -2; S2 = í 0 1 0 2 I.
\ 0 0 1 —2 /
/ 1 0 0 2 \
3. A = 12, xi = 2, x2 = —2, x3 = 3; S3 = I 0 1 0 -2 j.
\ 0 0 1 3 /
/ 1 0 0 3 \
4. A = -27, xi = 3, x2 = 4, x3 = 5; S4 = | 0 1 0 4 |.
\ 0 0 1 5 /
5. A = —153, Xi = —1, x2 = —1, x3 = 0, z4 = 1;
/ 1 0 0 0 —1 \
0 10 0-1
05 0010 o •
\ o o o 1 1 /
6. A = 324, 2:1 = 1, x2 = 2, 2:3 = —1, 2:4 = —2;
40 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
/ 1 0 0 0 1 \
0 10 0 2
0 0 10-1
0 0 0 1 -2 /
7. △ = —20, zi = —2, X2 = 2, X3 = —3, 2:4 = 3;
/ 1 0 0 0 -2 \
0100 2
0 0 10-3 ’
\ 0 0 0 1 3 /
8. △ = 24, xi — —5, X2 = —4, £3 — 12, 2:4 — 5;
/ 1 0 0 0 1 X
Q _ 0 10 0 2
08 ” 0 0 10 1
\ 0 0 0 1 -1 /
/ 1
9. △ = 176, xi = 2, X2 = 0, 2:3 = 0, X4 = 0; Sg =
\0
/ 1
10. △ = 1, x\ = 0, xg = 0, xg = O, x4 = 0; S^o = $
k 0
(Sistema homogéneo).
0 0 0 2 X
10 0 0
0 10 0
0 0 10'
0 0 0 0
10 0 0
0 10 0'
o o 1 o y
11. △ = 2048, a;i = 1, xg = —1, £3 = 0, a?4 = 2;
/ 1 0 0 0 1 X
„ 0 10 0-1
“ 0 0 10 o
\ 0 0 0 1 2 /
/ 1 0 0 0 0 X
12. △ = -20, x4 = 0, x2 = 0, x3 = O, x4 = 0; S12 = g q $ g q
^00010/
(Sistema homogéneo).
13. △ = 2880, xi = xg = x3 = x4 = X5 = 0;
o o o o o \
513 =
1
0
0 
0 
o
1 o 
o 1 
o o 
o o
0 
0
1 
0
o 
o 
o
1
0
0
0
0
. (Sistema homogéneo).
41
14. A = 16, 2q = 1, X2 = —1, ^3 = 1, £4 = —1, = 1;
S14 —
1 
o
O 
O 
O
OOOO 
10 0 0 
0 10 0 
0 0 10 
0 0 0 1
1 \
-1
1
-1
1 /
15. A - 16, xi = a?2 = ^3 — ^4 = Xq : 0;
16. A = 98, zi = 1, x2 = —1, X3 = 1, x4 = —1, x5 = 1;
/100000\
0 1 0 0 0 0
s15 = 0 0 1 0 0 0 . (Sistema homogéneo)
0 0 0 1 0 0
\ 0 0 0 0 1 0 J
816 =
Z 1
0
0 
0 
\ 0
0
1
0
0
0
0 
0
1 
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1 \
-1
1
-1
o
A = 31, xi = 0, a?2 = 2, ^3 _ r
í 1 0 0 0 0 0 \
0 1 0 0 0 2
817 = 0 0 1 0 0 -2
0 0 0 1 0 0
VO 0 0 0 1 3 )
Ejercicio 2.8 Se dan unos sistemas de ecuaciones que dependen de parámetros. 
Averiguar para qué valores de los parámetros los sistemas no son de Cramer. 
Resolverlos para los menores valores enteros positivos de los parámetros para los 
que son de Cramer:
1 1
a 1
1 a
1 1
1 \
1
1
a /
' x \ 
y 
z 
\ i /
/ 1 \ 
a 
a2 
\ «3 /
42 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
4,G a OGHO’
j/a b 1 \ j/ x \ / 1 \
5)U ? JuHU'
j/ 1 a a2 \ *7 x \ / 1 \
6) J 1 a a b | J y I = 1 a I , 
\ 6 a2 a2 b ) y x y y a2b y
,/ a + 3 1 2 \ ,/ x \ / a \
7) (| a a—1 1 ' f y 2a J '
y 3a + 3 a a + 3 \ z / y 3 y
(3a 2a+ 1 a+1 \ j/ x \ / a \2a—1 2a —1 a —2 I | y ,1 = / a+1 |4a—1 3a 2a y \ z j \ 1 j
Ja b 2 \ J x \ ./ 1 \
10) | a 2 b -1 3 | | .v I = | 1 | .
ya b b + 3 } \ z ) \ 2 b — 1 J
,1 3 a 3 a — 7 
11) [ 2a- 1 4a- 1
y 4a 5a — 7
(2 a +1 —a a-2 a-12a — 1 a — 1
(5a + 1 2a 4a — 1 a — 1 6a + 2 2a
(2 a + 1 —a3 a —2 a + 1a + 2 —1
/ 2 a + 2 3
15) [ 4a- 1 a+1
\ 5a — 4 a+1
a — 5 \ J x \ Ja — 1 \
2a II y 1=/ a+1 J
2a —5 / \ z / \ O y
a + 1 \ / x \ Ja — 1 \
a - 2 ] | y | = [ a | ,
2a — I j \ z J y a y
4a + l\ /a?\ / a + 1 \
4 a — 1 ] | y 1 = [ -1 | ,
5a + 2y \ z y y 2 — a j
—a — I \ J x \ y 2a \ 
-3 a +1 ,1 J y 1 = 1 a+1 ) ,
—2a ) \ z ) \ 2 }
a \ ( x \ / a + 4 \
2 a - 1 1| J y | = | 2a + 2 | ,
3 a — 4 y \ z ) \ a — 1 y
43
16)
a
O
a
2a- 1 
a — 1
3 a — 2
a + 2
a — 3
3 a + 1
(‘ x \ / 1 \
I y I = I 1+a 
\ z J \ 2 — a J
(3a —1 2a 3a+l \ / x 2a 2a 3a + l j I ya + 1 a + 1 2 a + 2 I \ z
Solución
(Utilizaremos la misma notación que en el ejercicio anterior.)
Recordemos que un sistema lineal S, del mismo número de ecuaciones que de 
incógnitas no es de Cramer si y sólo si A = 0.
Por consiguiente, en todos los apartados, se trata de calcular los valores de los 
parámetros de modo que A = 0 y, cuando sea de Cramer, de resolverlos para los 
menores valores enteros positivos de dichos parámetros.
1. A = (a + 2)(a — l)2 = 0 => (a = 1) V (a = —2).
3 19Para a = 2, A = 4, y x-i = —, xo = X3 = -.
4 4 4
2. A = (a + 3)(a - l)3 = 0 => (a = 1) V (a = -3).
Para a 2, A = 5, y aq = —2, x^ = —1, 2:3 = 1, aq = 5.
3. A = (b — a)(c — a)(c — b) = 0 => (a = b) V (a = c) V (b = c).
Para (a = 1) A (b = 2) A (c = 3), A = 2, y aq = 6, aq = —11, X3 = 6.
4. A = -b(a - 1) = 0 (b = 0) V (a = 1).
Para (a = 2) A (b = 1), A = —1, y aq = 1, X2 = 1, X3 = 1.
5. A = b(a - l)2(a + 2) = 0 => (b = 0) V (a = 1) V (a = -2).
Para (a = 2) A (b = 1), A = 4, y aq = aq = aq = i.
6. A = a2(a — b)2 0 => (a = 0) V (a = b).
Para (a = 1) A (b = 2), A = 1, y aq = 1, aq = 0, aq = 0.
7. A = a2(a - 1) = 0 => (a = 0) V (a = 1).
„ a , 1 23 5Para a = 2, A = 4, y aq = . X2 = —, aq =
4 4 4
8. A = —2a = 0 => a = 0.
Para a = 1, A = —2, y aq = 0, aq = 1, X3 = 0.
9. A = (a + l)(a - l)2 = 0 => (a = -1) V (a = 1).
Para a = 2, A = 3, y aq = 3, aq = —2, aq = —2.
10. A = a(b - 1)(6 + 1) = 0 => (a = 0) V (b = 1) V (b = -1).
2 2Para (a = 1) A (b = 2), A = 3, y aq = 1, aq = — -, X3 =
44 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
11. A = —a(a + 2) = O => (a = 0) V (a = -2).
8 14 20
Para a = 1, A = -3, y ¡ti =*,x2 = - Jf ' X3 =
12. A = a(a - l)(a + 1) = O => (a = 0) V (a = 1)^/ (a = -1).
Para a = 2, A = 6, y zi = j-, x2 = 2, x2 = "J
13. A = a(a — l)(a + 1) = O => (a - 0) V (a = 1) V (a = —1). 
Para a = 2, A = 6, y ii = —6, x2 = 6, x$ = 5.
14. A = —(a — l)(a + 3)(a + 1) = O —(a = 1) V (a = —1) V (a = —3).
11 * 22 _ 3
Para a = 2, A = —15, y Ji = —, a;2 = ^3 =5 5 5
15. A = (a - l)(a - 2)(a - 3) = 0=* (a = 1) V (a = 2) V (a = 3).
1 15Para a = 4, A = 6, y ii x2 = 11, X3 = .¿ ¿
16. A = a(a + 2)(a — 1) = O => ^a = 0) V (a = 1) V (a = —2).
Para a = 2, A = 8, y xi = — j-, x2 = 2, x2 = —1.
17. A = (a - l)2(a + 1) = O => (a = 1) V (a = -1).
Para a = 2, A = 3, y xi = —1, x2 = — -r-, 2:3 = —-n-.
Ejercicio 2.9 Hallar la matriz incógnita X en las siguientes ecuaciones:
1.
2.
/ 1 1-0 / 1 -1 3 \
%| 2 1 O I =| 4 32
\ 1 “I 1 / \ 1 -2 5 /
3.
0 \
O 
o
2;
4.
/ 2 1 V- / -3 2 > / -2 4 \
\ 3 2 ) A 5 -3 ) “ \ 3 -1 ) '
/ 1 1 1
O 1 1
O O 1
\ o o o
1
1
1
1
2
O 
o
O
1 o
2 1
O 2
O O
45
3. Notemos al sistema dado por AX = B. Como A es invertible se tiene que 
X = A-1B. Calculemos la matriz A-1 utilizando el recurso de la forma 
reducida por filas de A.
/ 1 1 1 . . 1 1 1 0 0 .. . 0 0 \
0 1 1 .. . 1 1 0 1 0 .. . 0 0
(A|Z„) =
0 0 1 .. . 1 1 0 0 1 .. . 0 0
0 0 0 .. . 1 1 0 0 0 .. . 1 0
k 0 0 0 .. . 0 1 0 0 0 .. . 0 1 /
Aplicando a la matriz (A|Zn) las trasformaciones elementales por filas,
Pí,í+i(-1), (i = 1,... ,n - 1),
46 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
4.
obtenemos:
De aquí, que
y, por tanto,
de donde
o sea,
-1
1 
o
0
-1
1
-1
1
-1
1
O
O
-1
1
-1
2 
o
-1
1
-1
-1
2
X =
2
3
0
0
0
0
2
0
0
0
-1
2
4
-1
2 1
-3 I
-3
—22
-3
-3
5
0
0
0
o
1 
o
o 
o
o 
o
1
0
0
1 
o 
o
0
0
0
0
o 
o 
o
o 
o 
o
1 
o 
o
o 
o 
o
o 
o 
o
= (W"1).
1
O
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
O
2
0
0
0
0
0
1 
O
0
0
0
2 
0 
O
o 
o
o 
o 
o
1
2 
O
o 
o
o
1
2
o 
o 
o
0
0
0
0 
o
2
0
1
2
o 
o 
o
Nota. En todos los apartados de este ejercicio, se da la circunstancia de que las 
matrices que multiplican (a izquierda y/o a derecha) a la matriz A, son invertibles. 
De no haber sido así, hubiésemos tenido que abordar el problema planteando 
sistemas de ecuaciones lineales.
47
el siguiente sistema de
( 4I
\ 1
/ 4 1 \ í i 3 y
2 \
3 )
Solución
Sumando ambas ecuaciones obtenemos,
de donde
(2-1)
Sustituyendo en la primera de las ecuaciones, se tiene:
Efectuando las operaciones indicadas, obtenemos
es decir,
de donde
48 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
Sustituyendo este valor en (2.1), resulta que
Ejercicio 2.11 Responder a las siguientes cuestiones:
1. ¿Qué figura del plano forman los gares (x,y) para los que la matriz
x y 1 \
1 2 11.
3 —3 i y
no es invertible?
2. Hallar los puntos del plano para los que ninguna de las dos matrices
(
x y 1 \ ,/ x y 1 \
1 3 1 i . | 3 3 1 |.
3 11/ \ 2 4 1 /
es invertible.
3. ¿Qué figura del plano forman los pares (a:, y) para los que la matriz
J x2 + y2 x y 1
5 12 1
5 2 11
\ 18 3-31/
no es invertible?
4. Hallar los puntos del plano para los que ninguna de las dos matrices
/ x2 + y2 x y 1 \
5 2-11
13 2 3 1
\ 2 111/
1
1
1
x y
5 1
3 3
es invertible.
Solución
Las matrices dadas no son invertibles para aquellos valores de x e y que anulen a 
sus determinantes. Por consiguiente:
49
1.
x y 1
1 2 1
3 -3 1
= O => 5a; + 2y — 9 = 0.
Es decir, la figura del plano que forman los pares (x,y) para los cuales la 
matriz dada no es invertible es la recta
5 a; + 2y — 9 = 0.
2.
x y 1
1 3 1
3 1 1
= 0 => 2a; + 2y — 8 = 0.
x y 1
3 3 1
2 4 1
= 0 =4- —x — y + 6 = 0.
Luego, el conjunto de puntos para para los cuales ambas matrices no son
invertibles es la solución del sistema
x + y - 4
-x - y + 6
0
0
y, como dicho sistema es claramente incompatible, su solución es el conjunto 
0.
3.
x2 + y2 x y 1
5 12 1
5 2 11
18 3-3 1
- 0 =► -3a;2 - 3y2 - 13a; - 13y + 54 = 0,
igualdad, esta última, que puede ser expresada de la forma2 + 49318 '
Se trata, pues, de una circunferencia de centro C y radio r, donde
4.
x2 + y1 x y 1
5 2-11
13 2 3 1
2 111
= 0 => 4a:2 + 4y2 — 28a; — 8y + 28 = 0.
50 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS
x y 1
I 1 1
3 3 1
„ 1 15 „= 0 => —2i — -y + — = 0. 2y 2
Por tanto, el conjunto de puntos para los cuales ninguna de las dos matrices 
es invertible, es la solución del sistema
x2 + y2 — 7x — 2y + 7 = 0
4z + y — 15 = 0
Despejando la incógnita y de la segunda ecuación y sustituyendo en la 
primera, obtenemos
17a;2 - 119a:+ 202 = 0,
de donde
valores de x para los cuales obtenemos los siguientes valores de y,
J/i = l-^y\/Í7, y2 = l + Yyx/17,
de donde deducimos que el conjunto de puntos para los cuales ambas matrices 
no son invertibles es {(^i, 3/1), (^2,3/2)}.
Ejercicio 2.12 La resolución de un sistema de ecuaciones lineales por la regla de 
Cramer se suele usar para ajustar curvas. En este ejercicio damos unos ejemplos 
de ello:
1. Hallar a, b, c de tal manera que la curva de ecuación y = ax2 + bx + c pase 
por los puntos (3,0), (2,3), (—1,1).
2. Hallar a, b, c de tal manera que la curva de ecuación y = ax2 + bx + c pase 
por los puntos (4,1), (3,-1), (—1,2).
3. Hallar a, b, c, d de tal manera que la curva de ecuación y = ax3 + bx2 +cx + d 
pase por los puntos (5, —2), (3, —5), (—1,0), (2, -2).
4. Hallar a, b, c, d de tal manera que la curva de ecuación y = ax3 + bx2 + ex + d 
pase por los puntos (5,-3), (3,1), (1,1), (2,3).
51
Solución
1. Sustituyendo los puntos dados en la ecuación, obtenemos el sistema
2. Procediendo de modo análogo al anterior, se obtiene el sistema
í 9a 4~ 36 + c — 0 
b 4a 4- 26 4- c — 3 
[ a — 6 + c = 1
cuya solución es
11 19 7
3. Sustituyendo los puntos dados en la ecuación, obtenemos el sistema
( 16a 4- 46 4- c = 1
< 9a 4- 36 4" c = —1
[ a — b + c = 2
de donde
11 , 37 2
a = —, b —----- , c = —.
20’ 20’ 5
í 125a 4- 256 4- 5c 4-d = -2 
27g 4~ 96 4- 3c 4- — —5
—a 4-6 — c d = 0
[ 8a 4“ 46 4- 2c 4- d = —2
cuya solución es
25 ,71 19 , 31
a = —, 6 =----- , c = —, d — —.
72 36’ 72’ 12
4. Análogamente, sustituyendo los puntos dados en la ecuación, se obtiene el 
sistema
125a + 256 4- 5c 4- d = —3
27a 96 4" 3c 4" d — 1
a + 6 + c + d = 1
8a 4* 46 4" 2c 4“ d — 3
de donde
1 27
a = -, 6 = —5, c = —, d = —8.2 2
Capítulo 3
Formas reducidas
Ejercicio 3.1 Responder a las cuestiones siguientes:
1. Escribir las siguientes matrices elementales de tipo 1 y de dimensiones 4x4: 
P3i(—2), Pi4(-1), P2>3(—5).
2. En general, ¿cuándo el producto de dos matrices elementales de tipo 1 es 
una matriz de tipo 1?
Solución
1. Recordemos que, en general, la matriz elemental de tipo I, Pij(c'j, (z j) de 
orden n x n se construye sustituyendo en la matriz unidad In, el elemento 
que ocupa la posición (i,j) por el escalar c. Por tanto,
/ 1 0 0 0 (1 0 0 -1 \
P3i(-2) =
0
—2
1
0
0
1 0 . A4-1) =
0
0
1
0
0
1
0
0
0 0 0 1 / k 0 0 0 1 /
/ 1 0 0 0
P23(--5)
0 1-50
“00 10
\ 0 0 0 1 ,
2. Es fácilmente comprobable que sólo en el caso de que los subíndices sean, 
respectivamente, iguales, el producto de dos matrices elementales de tipo I, 
es una matriz elemental de tipo I. Si éste es el caso, se verifica, además, que
= Pij^ 4- c2).
54 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
Ejemplo.
/ 1 0 0 0 \ / 1 0 0 0 \
^23(5)^23(7) =
0 15 0
0 0 10
0 17 0
0 0 10
=
^ 0 0 0 1 / 0 0 0 1 ;
/ 1 0 0 0 \
0 1 7+5 0
0 0 10 = P23(12).
0 Ov 0 1 )
Ejercicio 3.2 Hallar formas escalonadas por filas de las matrices siguientes:
/ 2 4 -9 \
6) 3 6 -12 ,
y—2 -4 6/
/ 7 14 0 \
d) ( —4 -8 3 | , 
\ -9 -18 0 /
/ 4 8 —3 \
f) | -8 -16 0 |
\ -11 -22 0 /
Solución
Recordemos que las formas escalonadas por filas de una matriz de orden m x n se 
caracterizan porque el pivote de cada fila (primer elemento no nulo de la misma), 
debe estar situado a la derecha del pivote de la fila anterior y que los elementos 
situados encima de los pivotes son todos iguales a cero. Además, si una f.e.p.f. 
tiene r pivotes, las últimas m — r filas deben ser de ceros.
Por otra parte, dada una matriz A € A4(m,n), es siempre posible encontrar unaforma escalonada por filas aplicando a la matriz A un número finito de transforma­
ciones elementales por filas de tipo I. En el lenguaje matricial, aplicar a la matriz 
A una transformación elemental por filas de tipo I, equivale a multiplicar por la 
izquierda, la matriz A por una matriz elemental de tipo I.
En otras palabras:
55
•Pij(c)A sustituye la fila i de A por ella misma más la fila j multiplicada por 
el escalar c.
• Las transformaciones por filas serán escritas encima de la flecha.
• Como es bien sabido, la forma escalonada obtenida no es única.
b)
2
3
—2
4 -9
6 -12
—4 6
-1-2 3 \
3 6-12
-2-4 6 /
Pi3(6)
1
-13
-1
13
-4
2
-7 \
-8
-2 /
Píi(13) 
Psdl)
13
165
15
—7
-99
-9
/ 1 13 -7 \ , / 1 13 -7
U)I loo 0 ) 2^14 0 15 -9
\ 0 15 —9 / \ 0 0 0
(4 \1 0 —50 15 -9 '
0 0 0 /
7 14 0 \ , sn I A o o 1a) —4 —8 3 1 >
\ -9 -18 0 /
3 6 3 \
-4 -8 3
-9 -18 0 /
P21(í)P31(3) PS2(-|)P12(-|)
P12(~l)
/ 1
0
\ 0
3 6 3 \
0 0 7 1
0 0 9 /
3
0
0
6 0
0 7
0 0
56 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
/ 1 -9 —14 \ JV2) / 1 -9 -14 \ 
| -2 9 13 I —| O -9 -15 | 
\ 4 —9 —11 / y O 27 45 /
f)
P12(-l) P32(3)
-3 \
-6
33
4 /
4 8 -3 X ^(2) / 4 8
-8 -16 0 P^) 0 0
-11 -22 0 / 0
Pul-i)P31(V) 4 8 O X 0 0—6) 
0 0 o /
Observación. En la resolución de los apartados anteriores, no se ha buscado 
una ejecución “preciosista” sino que, por el contrario, se han utilizado transfor­
maciones elementales que simplifiquen, de alguna manera, los cálculos aun a costa 
de incrementar el número de transformaciones elementales por filas. No se ha 
pretendido, en ningún caso, ejecutar el problema utilizando un número mínimo 
de transformaciones elementales. Dejamos al criterio del alumno la obtención de 
otras formas escalonadas por filas de las matrices dadas (recordemos que dichas 
formas no son únicas).
Ejercicio 3.3 Dadas las matrices del ejercicio 3.2, hallar formas escalonadas por 
columnas de ellas.
Solución
Como en el ejercicio anterior, recordemos que las formas escalonadas por columnas 
de una matriz de orden m x n se caracterizan porque el pivote de cada columna 
(primer elemento no nulo de la misma), debe estar situado debajo del pivote de 
la columna anterior y que los elementos situados a la izquierda de los pivotes son 
todos iguales a cero. Además, si una f.e.p.c. tiene r pivotes, las últimas n — r 
columnas deben ser de ceros.
Por otra parte, dada una matriz A € es siempre posible encontrar una
forma escalonada por columnas aplicando a la matriz A un número finito de trans­
formaciones elementales por columnas de tipo I. En el lenguaje matricial, aplicar 
a la matriz A una transformación elemental por columnas de tipo I, equivale a 
postmultiplicar la matriz A por una matriz elemental de tipo I.
57
En otras palabras:
•APij(c) sustituye (¡atención!) la columna j de A por ella misma más la colum­
na i multiplicada por el escalar c.
• Las transformaciones por columnas serán escritas debajo de la flecha.
• Como es bien sabido, la forma escalonada obtenida no es única.
-1 0 0 \ / -1 0 0
2 6 -3 ] -------------♦ 10 6 0
—4 -18 9 ^7^ \ 2 -18 0
' *23(2/ '
i)
2
3
—2
4
6
—4
-9
-12
6 P12Í-2)
/ 2 0 0 \
I30 I
\ 2 0 —3 /
?32(1)
0
3
2
-3
0
3
2
-3
0
3
2
-3
/ 20 5
c) -13 -4
\ — 1 2
P2i(-2)
P23(-l)
0 5 13 \
3 -4 -8 |
-9 2 —2 y
/ 2
13
\ 2
2
0
4
0 \
01
0 /
/ 5 0 0 \
------------- * 0 —3 0 ) .
\ -10 9 0 /
Q 
JW--) □
/ 7 14 0 \ / 7 0 0 \
d) -4 -8 3 --------- * I-403)
\ -9 -18 0 / p>4-3) y _g o Q /
CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
J 7 O O \ / 7 O O \
------- + 1 —4 3 3* *—■ I O 3 O । • 
p32(i) \_g q 0 y Fui-) \ -9 o o y
P23Í-1)
(’ -9 -14 \ í 1 O O \“2 « 13 ------------• “2 -9 -154 —9 _ii / Pia(9) \ 4 27 45 ■'11 ' Pl3(14) ' Zí 40 /
(1 O O \O -9 O | - a -2 27 O / 
15
P23(--)
8 —3 \ / 4 O -3 \
-16 O --------- ► -8 0 O
—22 O y Pl2{~2} \ -11 o O /
4 —3 —3 \ / 1-3-3
 ► 1-8 O O ► -8 0 0 
p32(i)-y -ii o o / F21(1)---\ -n o o
/ 1 —3 O \ / 1 O O \
 ► -8 0 0 ► -8 -24 O 
p23(-i)-- y -ii o o / P23Í-1)- y -11 -33 O /
/ 1 O O \
Ejercicio 3.4 Dadas las matrices del ejercicio 3.2, hallar formas escalonadas por 
columnas de las formas escalonadas por filas de ellas.
Solución
/ 1 2 O \ /100\
a) O O 3 --------- > 0 0 3
\ O O O / Az(-2) o O O /
/ 1 O O \ / 1 o o \
------- ► 0 3 3----- --------- > 0 3 0 
P32(!) y o o o / y o o o /
/ -1 —2 O / -1 O O \
b) | O O —3 | --------- > | 0 0-3
\ o o o y Pi2(-2) \ o o o y
59
P32(l)
1 O O \
0-3-3 
0 0 0 /
/ -1 O O \
---------> O -3 O | 
p23(-i) y 0 00/
f 1
c) o
\ o
o
15 
o
o
15 
o
o 
o 
o
/ 1
e) O
\ o
O 1 \ / 1 O O \ / 1 o o \
-9 -15 I --------- ’ | O -9 -15 | ---------+ O -9 O I
o o / yo o o / yo 00/
/ 4 8 O \ / 4 O O \
n I o O -6 I I O O -6 I
y o o o / p,3(“2) y o o o /
/ 4 O O \ / 4 O O \
------- > [ O —6 —6 I ------- > (o -6 O .
P32(1) yo o 0 / P23(1) yo 00/
Ejercicio 3.5 Dadas las matrices del ejercicio 3.2, hallar formas escalonadas por 
filas de las formas escalonadas por columnas de ellas.
Solución
a)
b)
c)
/ -1 o
I 0 6
2 -18
/ 2 0 0
° i »
\ 4 -3 0
/ 5 0
I 0 -3
-10 9
0 \ / -1 o o \
o | | o 6 0] 2^4
o / y o -18 o /
-i o o \
0 6 0 
0 0 0
\ / 2 0 0 \ / 2 0 0
*±24 lo a o I I o ? o
2 2
/ y o -3 o y \ o o o
0 \ / 5 0 0 \ / 5 0
o j | o —3 o ] 1 o -3
o / \ o 9 o / \ o o
\
o 
o 
o
60 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
( 7 0 0 \ .9 / 7 0 0 \
d) 0 3 0 —0 3 0 .
\ -9 0 0 / \ 0 0 0 )
( 1 0 0 \ / 1 0 0 \ / 1 0 0 \
e) í 0 -9 0 j I 0 -9 0 ] 2ÉÍ24 { 0 -9 0 |
\ -2 27 O / \ 0 27 0 / \ 0 0 0/
Ejercicio 3.6 Halllar formas escalonadas por filas de las matrices siguientes:
a)
/ -1
-2
1
\ "2
2
4
—2
4
4
0
—2
-1
—4 \
-2
2
-2 /
/ 5 -10
6 -12
9 -18
\ 0 0
-1
-1
-8
3
6 \
8
16
-2 /
( -4 8 3 -6 \ / -1 2 11 -6 \
—4 8 -3 -2 A\ 0 0 -8 4CJ -6 12 1 -8 y -1 2 -20 6
7 -14 1 8 / \ 0 0 -16 6 2
/ 2 -4 7 -2 X 7 -5 -25 -19 \
3 -6 22 -8 12 -6 -34 -26
—2 4 --19 8 J) -5 3 17 13
\ -5 10 --34 12 ; 14 —7 -38 -29 /
Solución
Hacemos extensivas aquí las notas y las observaciones del ejercicio (3.2).
a)
/ -1 2
-2 4
1 —2
\ -2 4
4 —4 \
0 -2
-2 2
-i -2;
P2i(-2) 
ftiíl) 
^41 (-2)
/ —1 2 4 —4 \
0 0-8 6
0 0 2 -2
^ 0 0 —9 6 /
^(-1) -1 0 
o 
o
2 4 —4 \
0 1 0
0 2-2
0-9 6 /
Pi2(-4)
P32(-2) 
^42(9)
/ -1 2 0 —4 \
0 0 1 0
0 0 0 -2
\ 0 0 0 6 /
61
Pls(-2) P«(3) / -1 2 O O \0 0 1 O
0 0 0 -2
^000 O /
/ 5 
6
-10
-12
-1 6 \
-1 8 P12Í-1) ( -16 2-12 0-1 "2 \8
9 -18 -8 16 9 -18 -8 16
\° 0 3 “2 / l 0 0 3 -2 /
P21(6) / -1 2 0 —2 P3s(-8) ( -1 2 0 —2 \Psi(9) 0 0 -1 —4 Pi2(3) 0 0 -1 —4
0 0 -8 —2 0 0 0 30( 0 0 3 -2 0 0 0 -14 /
/ -1 2 0 —2P34(2) 0 0 -1 —4
0 0 0 2
( 0 0 0 -14
\ Pi3(i) 
P23(2) / -1 2 0 0 \
P43(7) 0 0 -1 0
0 0 0 2
0 0 0 o /
P12Í1)
—4
-6
8
8
12
-14
3
-3
1
1
-6
—2
-8
8
( 3-4
-6
\ 7
-6 4
8 -3
12 1
-14 1
/ -1
—4
-6
\ 7
2 1
8 -3
12 1
-14 1
0
-2
-8
8 /
P2i(-4)
P3i(-6) P41(7) / -1 2O O
O o 
o o
2 \
-2
-8
8 /
1 0 \
-7 -2
-5 -8
8 8 /
P24(l) ----------- >
P43(2)
-1 
o 
o 
o
2 
O 
O 
O
1 O \
1 6
-5 -8
8 8 /
P12Í-1) 
P32(S)
P42(-8)
/ -1 2
O O 
o o 
\ o o
o 
1 
o 
o
-1 
o
o 
o
2 O
O 1
O O 
o o
-6 \
6
22
4 /
P34(-5) -1O 2 O 
O 
O
O 
1 
O 
o
-6 \
6
22
-40 /
-6 \
6
2
4/
P14(l),
o 
o
P^c-i / -1 2 O O \
P43(-2) 0 0 1 0
0 0 0 2
\ 0 0 0 0 /
62 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
d)
/ -1 2 11 -6 X -1
0 0 -8 4 P3i(-1) 0
-1 2 -20 6 0
X o 0 -16 6 J 0
P34(-2) -1O
O
O
2 
O 
O 
O
11
-8
1
-16
-6
4
O
6
P42(-2)
2 11 -6 \
0-8 4
O -31 12 
0-16 6 /
-1 2 11 -6 X
0 0-8 4
0 0 10
0 0 O -2 /
P23(7)
-1 
O 
O 
o
2 
O 
O 
O
11 -6 X
-1 4
1 O
O —2 /
Pl2(ll) 
P32(l)
f)
P34(l) -----------> / -1 o 
o
X o
/ 2 
3 
-2
X -5
P12(~l)
2 
O 
O 
O
O 38 X
-1 4
O 2
O —2 /
Pis(-19) P23(—2) P43(l)
/ -1 2
O o 
o o 
\ o o
/ -i 2 
o o 
o o
\ o o
O 38 X
-1 4
O 4
O -2 /
O O X
-1 O
O 2
0 0/
—4
-6
4
10
7
22
-19
-34
—2 X
-8 
8
12 /
P31(1) / 23 
O
X -5
/~1
3 
O
X -5
P23(—2) --------------»
/ 7
12
-5
X 14
-1
O 
o 
o
2 -15
-6 22
O -12
10 -34
6 \
-8
6
12;
P2i(3) 
P4í(-5)
2 
O 
O 
O
-15
1
-12
41
6 \
-2
6
-18 y
P12Í15)P32(12)
P42(~41)
/ -1 
o 
o
X o
-5
-6
3
—7
2 
O 
O 
O
O 
1 
O
O
-25-34
17
-38
-24 X
-2
-2
64 /
-19 X
-26
13
-29 /
Pl3(—12) 
p23(-l) 
P43(32)
/ 7P33(l) -5 -25 -19 X-3 -17 -13
3 17 13
-7 -38 -29 /
—4 7 —2 \
-6 22 -8
O -12 6
10 -34 12 , 
/ -1 2 -15 6 X
O O —23 10
O O —l2 6
^00 41 -18 /
/ -1 2 O —24 X
0 0 1 -2
O O O -18
^000 64 /
/ -1 2 O o X
0 0 1 o
0 0 0 -2 •
X o o o o /
63
P21(-1) ( 7 -5 -25 -19 \ / 7 -5 -25 -19 \Pii(—2) 0 2 8 6 P31(Q 0 2 8 6
-5 3 17 13 2 -2 -8 -6
< o 3 12 8 i 3 12 8 /
Pis(i)
( 1 1 -1 -1 > / 1 1 -1 -1 \P13(—3) 0 2 8 6 P31(-2) 0 2 8 6 1
2 —2 -8 -6 0 —4 -6 -4
\ o 3 12 8 ) \ 0 3 12 8/
’ 1 1 -1 -1 \ P12(l) / 1P32(—4) / 1 0 -5 -4 \P24Í-1). 0 -1 —4 -3 P«(3) 0 -1 —4 -3
0 -4 -6 —4 0 0 10 8
. 0 3 12 9 / \ 0 0 0 o /
O O \/ 1 O
O -1
O O
\ O O
10 8
O O /
Ejercicio 3.7 Dadas las matrices del ejercicio 3.6, hallar formas escalonadas por 
columnas de ellas.
Solución
Nota. En este ejercicio calcularemos una forma escalonada por columnas a la 
primera de las matrices dadas, aplicando a dicha matriz un número finito de 
transformaciones elementales por columnas de tipo I y, de las restantes, demos 
una de sus infinitas formas escalonadas por columnas. El alumno no debe intentar 
llegar a la solución dada sino que, por el contrario, calculada una f.e.p.c. de la 
matriz correspondiente aplicando las transformaciones elementales por columnas 
de tipo I que estime convenientes, puede fácilmente comprobar el resultado ya que 
la matriz obtenida debe tener sus columnas proporcionales a las de la matriz dada 
como solución.
Recordemos que:
• Las transformaciones elementales por columnas serán notadas por debajo de 
la flecha.
• APij(c) sustituye la columna j de A, por ella más la columna i multiplicada 
por el escalar c.
64 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
a)
-1
—2
1
—2
2
4
—2
4
4
O
—2
-1
—4
—2
2
—2
Pn(2) 
Pi3(4) 
Pío (-4)
—2
1
O 
O
O 
O
O
-8
-6
-9
O
6
—2
6
Pm(-i) 
P23(-4) 
P2o(3)
í>)
d)
—2
1
\ -2
-1
O
1
1
1
O 
O
1
-1
O 
O
4
7
O
-8
-6
-9
O
—2
O
-3
O
-8
-6
-9
O
6
—2
6
p«(1)
—2
1
O
—2
O
-3
O
-8
2
-9
O
6
—2
6
O 
O
2 
3
o
o
—2
-3
P31(-|) 
P34W
-1
O 
o 
_1 
~2
O
-2
O
-3
O 
1 
O 
8
15
O
O
30
-14
O 
4 
O 
6 
7
O
O
—7
-4
O
O 
7 
16
2 
O
O 
4
O
-8 
O 
5
2
O
-1 
O
5
3
-5
O
O
-9
O
O
O
O
O 
O
4
o 
o
o
O
O 
O
O
2 O
o 
o
2
3
O
O
O 
O
1
f)
O
18
O 
O 
O
2
O
O
27 3
Ejercicio 3.8 Dadas las matrices del ejercicio 3.6, hallar formas escalonadas por 
columnas de las formas escalonadas por filas de ellas.
Solución
-10 o o \
0 1 0 0
0 0-20
0 0 0 0/
-1 2 O O \
0 0 10
0 0 0 2 '
0 0 0 0 /
/ -1 O O O \
0-100 
O 0 2 0
O 0 0 0 /
/ -i o o o \
0-100 
O 0 2 0
\ o 000/
65
/ -1 O O O \
I 0 1 0 0
0 0-20 
^00 O O )
/ 1 O O O \
0-1 0 0
O O 10 o
\ O O O O /
Ejercicio 3.9 Dadas las matrices del ejercicio 3.6, hallar formas escalonadas por 
filas de las formas escalonadas por columnas de ellas.
Solución
/ -1 000 \1 / 1 0 0 0 \
0-200 0 10 0aj 0 0 2 0 , 0) 0 0 30 0 >
\ 0 0 0 0 / \ 0 0 0 0 /
/ -1 0 0 0 \ / -10 0 0
0-800 JA 0 4 0 0
c) 0 0 4 0 , a) 0 0-70 1
\ 0 0 0 0 / \ 0 0 0 0 )
/ 2 0 0 0' / 1 0 0 0 \
0-1 0 0 0 18 0 0
e) 0 0-9 0 , f) 0 0 2 0
\ 0 0 0 0 / \ 0 0 0 0 /
Ejercicio 3.10 Una matriz de determinante 1 es producto de matrices elemen­
tales de tipo 1. Comprobar que las siguientes matrices tienen determinante igual 
a 1 y descomponerlas en producto de matrices elementales de tipo 1.
/ 1 -1 1 \ 
a) | 3 12 1,
\4 13/
/ 1 —1 1 \
c) 1 3 -2 | ,
\ 0 -i 1 /
/ 0 -1 1 —1 \
\ 3 1 1 1 /
/ 0 -1 1 —1 \
2 10 1
2-112 
\ -1 1 -1 -1 /
/ 1 -1 1 \
1 2 1 1
\5 2 3 /
1 -1 1 \
2 3 --1 1.
-1 -2 1 /
/ 0 -1 1 -1 \
0 1 -3 2
-1 -1 -1 1
\ 0 1 -2 1 /
/ 0 -1 1
3 —22 1
-1 -1 1 -1
\ 2 1 2 “I )
66 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
Solución
Nota. Tendremos en cuenta lo siguiente:
• Si A es una matriz cuadrada de orden n x n cuyo determinante es 1, una 
forma escalonada por filas de A es la matriz In (matriz unidad de orden n).
• La matriz inversa de Pij(c) es Pij(—c). Es decir, P/^c) = Pij^—c).
• La descomposición de la matriz /l»£n producto de matrices elementales de 
tipo I, no es única.
Dicho lo anterior, resolveremos el primero y el último de los apartados propuestos 
en este ejercicio.
/ 1 -1 1 \ p2i(-2) / 1
' í 9 i i I —P^í~5) ■ í n
d) l " i 1 J I o
k 5 2 3 / X 0
(1-1 1 \ P12(l)o i—il P32(~^ ■0 1 o / 
de donde
/ 1 0 0 \ / 1 0 0 X
oi-il -^4 [o i o ] ■
X o o i / \ o o i /
I3 = P23(1)P12(1)P32(-1)P23(-2)P32(-2)P21(-2)P31(-5M,
y de aquí que
A = [P23(l)P12(l)P32(-l)f,23(-2)P32(-2)P2l(-2)P3i(-5)]-1 .
Es decir,
A = P31(5)P21(2)P32(2)P23(2)P32(1)P12(-1)P23(-1)-
/
V, - 
k
ftid)
Pii(-2)
0 -1 1 -1 X
2 1 3 -2 1
1-11-11
2 12-1/
/ 1 0 0 0
0 13-2
0-11-1
k 0 1 2 -1
( 1 0 0 0 X
01 3 -2 I
0 0 1 0 |
(00-1 1 /
k
P32Í1) 
P«(-l)
L 0 0 0 ’i
1 13-2
L -1 1 -1 
12—1/
/ 1 0 0 Ü \
0 1 3-2
0 0 4 -3
\ o o -i i /
'ioo o X
0 10-2
0 0 1 0
0 0 0 1 /
Ps4(3)
f2s(-3 I ^43(1)
67
£24(2) 01
0 
o
o o \ 
o o
1 o
O 1 /
0
0
0
de donde
Z=P24(2)P43(l)P23(-3)P34(3)P42(-l)P32(l)P4i(-2)P3i(l)P2i(-2)P13(-l)A.
Despejando A, resulta que
7t=(P24(2)P43(l)P23(-3)P34(3)P42(-l)P32(l)P41(-2)P31(l)P2l(-2)P13(-l))_1 
y, por tanto, la descomposición de A en producto de matrices elementales de tipo 
I es
X = P13(l)P21(2)P31(-l)P41(2)P32(-l)P42(l)P34(-3)P23(3)P43(-l)P24(-2).
Ejercicio 3.11 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices ampli­
adas son las siguientes:
A7 =
Ag
2 -3
1 1
-3 7
3 3 3
1 1 1
0 1 3
3 4 6
-1 1
1 -1
1 0
1 -1 1
2 1 1
5 2 3
1 0 1
2 1 \
3 2 I ,
1 0/
4 1 2 \
1 -5 -3 I ,
1 10 7 /
3 3 3 4 \
1 11-3'
2-13-2
3 0 4—5/
0 1 2 \
1 1 0 
-10 1 ’
-12 3/
2 5 1 \
12 0).
13 1/
Solución
Nota. En este ejercicio, daremos la forma reducida por filas de cada una de las 
matrices dadas (la notaremos por A*) y el conjunto de las soluciones de cada 
sistema.
68 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
1. = ’ 1 0 -1 -2
X} — —2 t
0 1 1 1
*> X% = 1 — t
- — t
■ 1 0 -1 ' í2. = 0 1 1 Xi
= -1
0 0 0 l 3’2 1
5 E> ■ 121 0 Xi =------5A
7 7 7
3. A3 = -13 1 3 13
0 1 i2 = —— + 13A7 7 7
0 0 0 0 13 = 7A
'10-3 -2 X 1 = -2 + 3A
4. A\ = 0 1 1 1 < xq = 1 - A
0 0 0 0 X 3 = A
’ 1 0 0 0 -1 ■ Xi = —1
5. Ai = 0 10- 2 0 => < X2 = 2A5 0 0 1 3 1 X3 = 1 — 3A
0 0 0 0 0 X4 = A
10 0 1 -1
0 1 0 1 0 f Xi = -1
6. 4S =
0 0 1-
3
-1 1
=> 1 a?2 = -4A
1 X3 = 1 + A
3 , 14 = 3A
.000 1 0
■ 1 0 0 0 Xi := 0
7. Ai, = 0 10 2 ^2 = 2
0 0 13 1 X3 = 3
■ 1 0 0 1
8. A¿ = 0 10 00 0 11 => <
Xi
%2
= 1
= 0
0 0 0 0 = 1
1 0 0 - 1
9. =
0 1 0 0 Si = -1
0 0 1 2
- i» ( X2 = 0
0 0 0 0 -
X3 = 2
■ 1 0 0 1 Xi = 0
10. Alo - 0 10- 2
1
X2 = -2
0 0 1 ^3 = 1
69
Ejercicio 3.12 Hallar las reducidas por filas de las matrices siguientes:
2
3
5
2
/1 1 -3 -1 ( 2 1 1 2 \
2 1 —2 1 Ai 1 3 1 5
1 1 1 3 , 0) 1 1 5 -7
V 2 -3 1 7 2 3 -3 14 /
/ 2 -1 3 3 r 1 3 2 °\
3 1 -5 0 2 -1 3 0 1
4 -1 1 3 3 -5 4 0
3 -13 -6 k 1 17 4 0 7
1 -1 1 1 \ / 2 1 1 -1
—2 2 -3 2 2 1 0 -3
1 -1 2 --1 , f') 3 0 - 1 1
-1 1 -3 4 \ 2 2 - 2 5
2
-3
1 
0
1 
0
-2
1
3
-7
3
-1 
0
3
—4
1
-3
1
4
-3
1
-3
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
12
13
i)
2
3
4
1
3
-1
1
—2
-1
2
-3
4
5
—7
6
—7
0
0
0
0
3
2
4
7
4
-3
11
-2
-5
3
-13
1
7
—2
16
3
0
0
0
0
o)
1
1
4
2
1
-1
—2
4
—2
1
—2
-5
1
-1
3
5
0
2
6
—2
-3
-1
3
4
-1
0
—4
—7
0
0
0
0
l)
1
3 
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
1
1
2
3
1
-3
6
-1
—2
23
12
1
-1
-1
1
-1
2
1
—2
1
-3
—2
1
2
1
3
—2
1
7
-1
1
-1
-5
—2
1
-1
-5
1
-1
1
5
-1
-1
1
-3
-5
-1
1
-3
-5
1
—2
4
7
1 \
0
2
3 7
p)
2
1
4
2
—2
2
-10
-14
1
-1
5
7
-1
1
-5
—7
1
—2
7
11
9)
2
3
2
0
0
0
0
1
3
1
1
Solución
Nota. Para la resolución de los siguientes ejercicios, recordemos que:
70 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
• Una matriz está en la forma reducida por filas (en lo sucesivo f.r.p.f), si está 
en la forma escalonada por filas y todos sus pivotes son igual a uno.
• Si A € A4(m,n), siempre es posible hallar una f.r.p.f., aplicando a A un 
número finito de transformaciones elementales por filas de los tipos I, II, y 
III. La f.r.p.f. así calculada es única y se llama f.r.p.f. de A.
• Las transformaciones elementales por filas a lasque nos referimos son:
— De tipo I. Sustitución de una fila por ella más cualquier otra multipli­
cada por un escalar c.
— De tipo II. Multiplicación de una fila por un escalar c 0.
— De tipo III. Intercambio de dos filas entre sí.
• Las transformaciones elementales por filas tienen, en el lenguaje matricial, 
una expresión sencilla:
— Pij(c) (i / j) es la matriz obtenida sustituyendo en la matriz unidad 
In, el cero que ocupa la posición (i, j) por un 1.
Pij(c)A sustituye la fila i de A por ella mas la fila j multiplicada por el 
escalar c. (Ver ejercicios anteriores).
— Mi(c) (c 7^ 0) es la matriz obtenida sustituyendo en la matriz unidad 
In, el uno que ocupa la posición (i,i) por el escalar c.
Mi(c)A multiplica la fila i de A por el escalar c.
— Tij es la matriz obtenida intercambiando entre sí las filas i y j de la 
matriz unidad.
TijA intercambia las filas i y j de A.
• Las transformaciones elementales por filas serán notadas encima de la flecha.
Solución
Dicho lo anterior, daremos la solución de todos los apartados y resolveremos, como 
ejemplo, el primero y el último.
1
0
0
0
1 
o 
o 
o
0 0 0
1 o o
0 1 o
0 0 1
0 0 1'
1 0 2
0 1 1
0 0 0
10 0 1
0 10 2
0 0 1-2
0 0 0 o
Olio 
7
0 0 0 0
0 0 0 0
71
9)
1
o
o
o
1
o
0
0
' 1
0 
o 
o
1 
o 
o 
o
1
0
0
0
O
1
o
o
1
o
o
o
o
1
o 
o
o 
1 
o 
o
o
1 
o 
o
0
1
0
0
1
-1
O
o
o o
1 o
o
o
1
o
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
o
o
1
0 
0
1 
0
o
-1
—2
0
0
0
0
1
—7
0
1
2
1
2
-1
T 
o
6 
-5 
T 
-1 
V 
o
0 
o 
o
1
-8
3
6
0
f)
h)
1
0
0
O
0
1
0
O
1 
o 
o 
o
o 
o
1
O
0
0
0
1
0
2
5
3
—4
o 
o 
o 
o
O
o
o
o
—7
-5
T
5
8
0
o
o
o
1 O
j)
o.
o
o 
o
1
0
0
0
1
o 
o
o 
1 
o 
o
1
O 
o 
o
-1
o 
o
o o
1
o 
o
Solución al apartado a)
2
1
1
1
1
2
-3
—2
1
-3
-1
1
3
1
P2i(-2)
P3!(-l)
P41(-l)
1
0
0
0
o
1
o 
o
-3
17
-19
17 
0 
0
o 
o
1 
o
-1
2
0
0
o 
1 
o 
o
o 
o
1 
o
o
3
0 
o
o
1
13
17
20
17
0
0
-1
2
0
0
-1 
T 
o 
o
1
-1
0
1
0 
o 
o
1
o
1
2
0
0
-3
4
4
0
2
1
1
1
o
o
o 
o
o 
o
1 
o
0
0
0
-1
-16
23 
0
0
-i 
T 
-5
0 
0
3
4
o 
o 
o 
o
2
3
1
6
0
0
72 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
Ma(-1)
/ 1O 
O
\ o
1
1 
o
1
-3
—4
4
O
-1
-3
4
2
Pl2(-1)
P42Í-1) O
O
O 
1 
o 
o
M3(D
1
O 
o 
o
o 
1 
o 
o
1
—4
1
4
2 \
-3
1
5 /
P13(-l) 
P23(4) 
P34(-4)
/ 1 
O 
O
\0
o 
1 
o 
o
1
—4 
4
4
O 
O
1 
O
-3
4
1
1
1
1
Solución al apartado p)
í 2
1
4
\ 2
—2
2
-10
-14
1
-1
5
7
P14(-l)
P24Í-1)
P34(-l)
-1 1
1 -2
-5 7
-7 11
P2i(-2) 
P31( —4) 
P4i(-2) O 
o
O
O
\ O
o 
1 
o 
o
O O \ 
o o 
1 o
O 1 /
1 \ / 1
1 T12 2
1 4
-1 / \ 2
2
—2
-10
-14
-1 1
1 -1
5 -5
7 —7
—2
1
7
11
1 \
1
1
-1 /
2-1 1-2 1 \
-6 3 -3 5 -1
-18 9 -9 15 -3
-18 9 -9 15 -3 /
p32(-3) / 1 2 1
P42(-3) 0-6 3
* 0 0 0
\ o o o
M2( —1/6)
/ 1 
O
-1
-1 
~2~
ooo 
\ o o o
/ 1 o o o
P12Í-2) O 1
o o
\ o o
-1 
T 
o 
o
i 
2 
O 
O
1-2 1 \
-3 5 -1
0 0 0
O O O / 
1 —2 1 \ 
1 -5 1
2 IT 6 
0 0 0
0 0 0 /
\3 3
-5 1 
b b 
O O 
O o /
Nota. Un aspecto interesante en este tipo de ejercicios es calcular la matriz in­
vertible P (matriz de paso) tal que R = PA, donde A es la matriz dada y R su 
f.r.p.f.. El algoritmo que utilizaremos consiste en aplicar a la matriz unidad Im
73
las mismas transformaciones elementales por filas y, en el mismo orden, que las 
aplicadas a la matriz A para obtener su f.r.p.f. R.
Cálculo de la matriz de paso
P21(-2)
P3i(-4)P4i(-2) 0 1 
o 
o
M2( —1/6) 1 
~6
-3 
-3
1
0
0
0
0
1
0
0
1
-2
—4
-2
1
3
2
4
0 
o
1 
o
0 
0
1 
0
0
O
0
1
P«(-3)
Pn(-2)
0
1
0
0
1 
o 
o 
o
0 
o
1 
o
o
1
-3
1
-2
2
4
o 
o
1 
o
1
3
_1
6
-3
-3
1
3
1
3
2
4
0 \
o 
o
Tn 0
0
o 
o 
o
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 = P.
1
0
0
1
1 
o
0
1
Es fácilmente comprobable que
3
1
~6
-3
1
3
1
3
2
4
2
1
4
2
—2
2
-10
-14
1
-1
5
7
-1
1
-5
—7
1
—2
7
11
-1 
y 
o 
o
1
2 
O
0
-1 
3
-5
0 
0
2
3
1
6 
0
0
0 0
0 0 1
1
1
0
o
1
0 0 0
0 1
0
\ 0
o 
o
74 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
Ejercicio 3.13 Resolver, si se puede, los sistemas de ecuaciones lineales cuyas 
matrices ampliadas son las del ejercicio 3.12.
Solución
Nota. Cada uno de los sistemas dados es equivalente a otro cuya matriz ampliada 
es la f.r.p.f. de la matriz dada. De aquí, que la solución de dichos sistemas sean 
las siguientes (ver las soluciones del citado ejercicio 3.12):
1
2
1
d)
2:1^2
X3
37 4
d) Incompatible, b)
X1
X2
X3
1
2
-2
si
• ^2
e) Incompatible. /) X3
0
—2
_5
3
Xi
X211-Y^3
1
^2
X2 =
9) <
= -^3
h)<
' 2!1
X2
X3
2:4
374 -
= -2
= -1
= -1
= -1
4
3
II 
II 
II
rH 
04 
W
 
H 
H 
H
8
—3 H- 2:4 
— 6 + 22:4
0 3 13 2q = -X3 +^1
X2
i?"3- 
19 
n13"
17 X4
20 
i?14
k) X2
X4
7-^5 o
5
X3 + ^5ri
1 ~+ ñX5¿s
Zi
*1
X2
X5
^3 + ^4 + 16
—22:3 — 22:4 — 23 
0
< X^
P)
X2 X3 + Xi — -X5 — -
-2*4+s15
-^4 + ^
2^ 8^
^2
xi
x2
X3
374
2*3 2X4+6X5 6
0
0
0
J)
^3
1 1
5 1
1
1
1
7
5
5
1 2
Xa _3 3
1 1 5
o 
o 
o£5
1
Ejercicio 3.14 Estudiar la compatibilidad de los sistemas del ejercicio 2.8, según 
los valores de los parámetros.
75
Solución
Nota. En la solución del ejercicio 2.8, se han calculado los valores de los pará­
metros para los cuales el sistema dado no es de Cramer. Ahora estudiaremos el 
carácter del sistema para dichos valores. Notaremos por S al sistema dado y por 
A y B, respectivamente, a la matriz de los coeficientes y a la matriz ampliada del 
sistema.
luego para a = 1, S es COMPATIBLE INDETERMINADO.
/ 1 1 1 1 \
1. a = 1 =^B= | 1 1 1 1 ) => rg(A) = rg(B) = 1,
\ 1 1 1 1 /
luego para a = —2, S es INCOMPATIBLE.
—2 1 1 1 \
a = -2 => B = 1 1 -2 1 -2 | => rg(A) = 2, rg(B) = 3,
1 1 -2 4/
luego para a = 1, S es COMPATIBLE INDETERMINADO.
/lili 1 \
2. a= 1 => B = lililili
1
1 => rg(A) = rg(B) = 1,
^1111 1 /
luego para a = —3, S es INCOMPATIBLE.
/ -3 1 1 1 1 \
a = 1 => B = 1-31111-31
-3
9 rg(A) = 3, rg(B) = 4,
( 1 1 1-3 -27 y
3. b = a => B =
a2 
a2 
c2
a 
a 
c
1
1
1
2 si c a
1 si e = a
luego para b = a, S es COMPATIBLE DETERMINADO.
Análogamente, si c = a o c = b.
/ a 1 1
4. ,b = O^B=[ 1 0 1
\ 1 \ 0 1
4 \
3 Va rg(A) = 2, rg(B) = 3,
4 /
76 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
5.
luego para b = 0, S es INCOMPATIBLE.
(1 1 1 4 \1 b 1 3 =^V(irg(A) = 2, rg(B) = 3,1 26 1 4 /
luego para a = 1, S es INCOMPATIBLE.
/ a 0 1 1 \
■ = fl ' I 1 0 1 0 j , por tanto:
\ 1 0 a 1 /
- (6 = 0) A (a = 1) =* r^A) = 1, rg(B) = 2 y S es INCOMPATI­
BLE.
- (6 = 0) A (a / 1) rg(A) = 2, rg(B) = 3 y S es INCOMPATI­
BLE.
Luego b = 0, S es INCOMPATIBLE, Va. 
(1 6 1 1 \
16 16
16 11/
Por tanto:
— (a = 1) A (6 = 1) : 
DETERMINADO.
“ (a = 1) A (6 / 1) = 
BLE.
rg(A) = rg(B) = 1 y S es COMPATIBLE
rg(A) = 1, rg(B) = 2 y S es INCOMPATI-
—2
1
1
1
1
-2
rg(A) = 2, V6 ya que
—2 1
1 1 /O.
Para calcular el rango de B, tengamos en cuenta que
—2 1 1
1 1 6
1 —2 1
= -3(6 + 2),
• a = —2 =* B =
6
6
6
1 \
6 |
1 /
por tanto:
- (a = -2) A (6 = —2) => rg(A) = rg(B) = 2, luego S es COMPAT­
IBLE INDETERMINADO.
6.
- (a = -2) A (6 / -2) 
INCOMPATIBLE.
(1 0 01 0 06 0 0
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3, luergo S es
1 \
0 | => V6, rg(A) = 1, rg(B) = 2.
0 /
Por tanto, para a = 0, S es INCOMPATIBLE.
77
' / 1 a a2
• a = b =>11 1 a a2 
y a a2 a3 
De donde deducimos:
- a = b = 1 =* rg(A) = rg(B) = 1, luego S es COMPATIBLE 
INDETERMINADO.
_ a = b ± 1 => rg(A) = 1, rg(B) = 2, luego S es INCOMPATIBLE.
7.
J / 3 12 0 1
• a — 0 0 —1 1 0 J => rg(A) = 2, rg(B) = 3, luego S es
\ 3 0 3' 3^
INCOMPATIBLE.
J / 4 1 2 1 \
• a = 1 => B =1 1 0 1 2 JI => rg(A) = 2, rg(B) = 3, luego S es
\ 6 1 4 3 /
INCOMPATIBLE.
r / 0 0 1 0 h
a = 0 B = \ 0 0 — 1 0 J
\ 1 0 3 1/
COMPATIBLE INDETERMINADO
rg(A) = rg(B) = 2, luego S es
i / 3 3 2 1 \
* a = 1 => B =1 1 1 —1 2 p => rg(A) = rg(B) = 2, luego S es
\ 3 3 2 1 /
COMPATIBLE INDETERMINADO.
10.
j/ -3 -1 0-1
a=-l=>B=[ -3-3-3 0
\ -5 -3 -2 1
S es INCOMPATIBLE.
■ / 0 b 2
a = 1 => B = | 0 26 - 1 3
\ 0 b 6 + 3
2, rg(B) = 3 y S es INCOMPATIBLE.
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
1 \
1 I => V6, rg(A) = 
26-17
J a 1 2 1 \
* 6=1 => B = [ a 1 3 1 । => Va, rg(A) = rg(B) = 2 y Ses 
\ a 1 4 1 /
COMPATIBLE DETERMINADO
, / a —1
• 6=-l=>B = a -3 
y a —1 
S es INCOMPATIBLE.
2
3
2
1 | => Va, rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
-3 7
/ 0 —7 -5 -1
11. • a = 0 => B = 1 —1 -1 0 1 | => rg(A) = 2, rg(B) = 3 y S
\ o —7 -5 o 7
es INCOMPATIBLE.
78 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
-3 \
-1 |
0 /
12.
j/ _6 -13 -7
* a = —2 => B = 1 -5 -9 -4
-8 -17 -9 
y S es INCOMPATIBLE.
es COMPATIBLE INDETERMINADO.
/ 3
• a = 1 => B 1 -1
\ 1
es INCOMPATIBLE.
-1 2 0 \
0 -111
0 11/
13.
14.
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y S
=> rg(A) = rg(B) = 2 y S
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y S
./ 1 0 1 1 \
a = 0 => B = I -1 -1 -1 -11 
\ 2 0 2 2 /
COMPATIBLE INDETERMINADO.
=> rg(A) = rg(fí) = 2 y S es
f/ —4 -2 
a=-l=>B = | -5 -2 
\ —4 -2 
S es INCOMPATIBLE.
/ 3 -1
a = !=► B = I -1 0
\ 1 0
es INCOMPATIBLE.
/ 3 -1
a = 1 => B = [ 3 -1 
\3 -1
-3 0
-5 -1
-3 3
2 0 \
- 1 1 J
1 1/
—2 2 X
-2 2
2 2/
COMPATIBLE INDETERMINADO.
/ -5 3 2
• a = -3 => B = [ -9 7 10
y -1 -i -6
S es INCOMPATIBLE.
/ -1 1 0
• a = —1 => 5 = [ -3 3 4
\ 1-1-2
S es INCOMPATIBLE.
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y S
=> rg(A) = rg(B) = 2 y S es
-6
- 2 | rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
2 /
- 2 \
0 ] rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
2 /
15.
/ 0 -1 2 1 \
.a = 0=>B = ( 0 -1 -3 1]
\ 0 -2 12/
COMPATIBLE INDETERMINADO.
=> rg(A) = rg(B) = 2 y S es
79
/ -2 -5
• a = —2 => B = | O -3
\ 2 -8
S es INCOMPATIBLE.
/ 1 1
• a = 1 => B = í 0 0
k 1 1
INCOMPATIBLE.
-5
-5
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
=> rg(^) = 2, rg(B) = 3 y S es
3
—2
4
1
2
1
16.
/ 2 2 4 1 \
a = 1 => B = I 2 2 4 1 ] => 
\ 2 2 4 1 /
COMPATIBLE INDETERMINADO.
/ —4 _2 -2
• a = -1 => B = | 2-2-2
\ 0 0 0
S es INCOMPATIBLE.
rg(A) = rg(B) = 1 y S es
=> rg(A) = 2, rg(B) = 3 y
Ejercicio 3.15 Para los siguientes enunciados, decir si son verdaderos o falsos. Si 
son verdaderos dar una razón breve y si son falsos, dar un contraejemplo.
1. Un sistema compatible determinado puede tener más incógnitas que ecua­
ciones.
2. Un sistema compatible determinado puede tener más ecuaciones que incóg­
nitas.
3. Un sistema compatible determinado puede tener más ecuaciones independi­
entes que incógnitas.
4. Para todo sistema incompatible se verifica que el número de ecuaciones in­
dependientes es mayor o igual que el de incógnitas.
5. El número de ecuaciones independientes de todo sistema compatible inde­
terminado es menor que el número de incógnitas.
6. No existen sistemas compatibles indeterminados con el mismo número de 
ecuaciones que de incógnitas.
Solución
Nota. Utilizaremos para el sistema la notación Ax* = b*. Supondremos que la 
matriz A € n), es decir, m es el número de ecuaciones y n el de incógnitas.
Notaremos por B a la matriz ampliada del sistema.
80 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
1. FALSO. Como el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones se verificará 
que rg(A) < min{m,n} = m < n. Por tanto, si el sistema es compatible, 
será indeterminado. Como ejemplo basta considerar la ecuación x + y = 1 
cuya solución es (1 — y, y).
2. VERDADERO. Como en este caso m > n, será rg(A) < min{m, n] = n < m 
y dado que el sistema es compatible determinado, debe ser rg(A) = rg(B) = 
n. Esto ocurre en el siguiente ejemplo:
x + y = 2
i. - y = 0
k 3x + y = 4
La solución del sistema es (1,1).
3. FALSO. Como las m ecuaciones son, por hipótesis, independientes, tiene que 
ser rg(S) = m < n=(número de incógnitas), con lo que el sistema no puede 
ser compatible determinado. Baste para verlo el ejemplo siguiente:
x + y + z = 3
x - y + z = 1
El rango de la matriz de los coeficientes es 2 e igual al de la matriz ampliada 
pero siempre menor que el número de incógnitas con lo que el sistema es 
compatible indeterminado.
El apartado siguiente muestra otro ejemplo pero, en ese caso, el sistema es 
incompatible.
4. FALSO. Consideremos el sistema
í j + j + z = 1
'[rr + ?/ + .z = O
Claramente el sistema es incompatible ya que el rango de la matriz de sus 
coeficientes es 1 y, el de su matriz ampliada es 2.
5. VERDADERO. Como el sistema es compatible indeterminado se debe veri­
ficar que
rg(A) = rg(B) = m < n.
6. FALSO. Basta considerar el sistema
x + y = 2
2 a; + 2y = 4
cuya solución es (2 — A, A). Como puede comprobarse rg(A) = rg(B) = 1 y
m = n.
81
Ejercicio 3.16 Responder a las siguientes cuestiones si se puede. Tanto si se 
puede como si no, dar una razón del por qué.
1. Dar un ejemplo de un sistema incompatible con dos ecuaciones y tres incóg­
nitas.
2. Dar un ejemplo de un sistema compatible determinado con tres ecuaciones 
y dos incógnitas.
3. Dar un ejemplo de un sistema incompatible con tres ecuaciones y dos incóg­
nitas.
4. Dar un ejemplo de un sistema compatible indeterminado con tres ecuaciones 
y tres incógnitas
5. Hallar un sistema de ecuaciones cuya solución general sea
6. Hallar un sistema de ecuaciones cuya solución general sea
a;i = — 9 +1, #2 =—10 + 2t, X3 =—t.
7. Hallar un sistema de ecuaciones cuya solución general sea
-13 12 „
xi =------- 1-1 + u, 12 =------F í> = u, 3:4 = 5t + 2u
5 5
Solución
1. Consideremos el sistema
+ y + x = 0
+ y + x = 1
x
Claramente el sistema dado es incompatible ya que el rango de la matriz de 
los coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada. En efecto,
( 1rg(, 1 11 = 2.
2. Consideremos el siguiente sistema, de tres ecuaciones con dos incógnitas,
x + y — 2
< x — y = 0
3 a: + y = 4
82 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
Este sistema es compatible determinado ya que
7 1 1 X / 1 1 2 X
rg I 1 —1 || = 2 = rg / 1 —1 0 ) ,
\ 3 1 / \ 3 1 4 /
1 0 0 —1 o -y- \
3 _ I J
~ 010 0-1 o I
\ 0 0 1 -3 2 0 /
Nótese que se ha utilizado una matriz en la forma reducida por filas cuyos 
pivotes son los coeficientes de las incógnitas xi, X2 y 13 respectivamente. El 
sistema corresponte sería
nótese, además, que el rango de ambas matrices es igual al número de
incógnitas.
3. El siguiente sistema es incompatible
| x + y = 2
x k.- y = 0
l 3x + y = 0
ya que se verifica que
7 1 1 X / 1 1 2 X
rg^1 1 -1 rl =2 <rg( 1 -1 0 J = 3. 
\ 3 1 / \ 3 i o 7
4. Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas compatible determinado 
puede ser
x + y + z = 3
x — y + z = 1
l x + y - z = 1
y la razón es que el determinante de la matriz de sus coeficientes,
1
1
1
1
-1
1
1
1
-1
= 4/0.
5. Es claro que el sistema ha de tener cinco incógnitas y, al menos 3 ecuaciones. 
Un tal sistema lo podemos construir fácilmente ya que será equivalente al 
que tiene por matriz ampliada la siguiente:
^100-1 0
010 0-1
\ 0 0 1 -3 2
83
Es decir,
-7
14 “ T
- X5 - O
8x4 + 22:5 = O
La solución dada se puede obtener fácilmante haciendo 14 = i y 15 = u.
6. En esta ocasión, necesitamos un mínimo de tres ecuaciones y cuatro incóg­
nitas. Utilizando, como en el caso anterior, la forma reducida por filas, la 
matriz ampliada sería
Es decir,
/ 1 0 0 -1 -9 \
Z= 0 1 0 -2 -10 .
\ 0 0 1 1 o /
í 21 — X4 = — 9
< X2 — 2X4 = —10 
£3 + ^4 = o
La solución dada se puede obtener fácilmante haciendo X4 = t.
7. En este caso, para construir el sistema necesitamos un mínimo de cuatro 
ecuaciones con séis incógnitas y la forma reducida de su matriz ampliada
sería
/ 1 0 0 -1-1
12
Es decir,
A = 0 10 -1 0
001 0-1
\ 0 0 0 1 -5 -2
X1 - X5 - X6
< $2 -
X3 + X6
k X4 — 5X5 + 2^6
-13
5
12
5
0
0
Nota. Podemos obtener un sistema equivalente a los dados, multiplicando, 
a la izquierda, la matriz A, por una matriz invertible P.
Ejercicio 3.17 Para los siguientes enunciados, decir si son verdaderos o falsos. Si 
son verdaderos dar una razón breve y si son falsos, dar un contraejemplo.
84 CAPÍTULO 3. FORMAS REDUCIDAS
1. Un sistema compatible determinado con coeficientes enteros tiene su solución 
entera.
2. Una matriz de enteros tiene siempre una forma escalonada por filas con 
pivotes enteros.
3. La forma reducida por filas de una matriz de enteros tiene pivotes enteros.
4. Dada una matriz A € A4(m,n) se llama matriz de relaciones de las filas de 
A (resp. de las columnas) a una matriz de soluciones linealmente indepen­
dientes del sistema A(xlt...