Fisica_I_para_Ingenieria_Civil

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Física I para Ingeniería Civil 
Semana 11 – 2017 - 1 
Semana 11 – 2017 - 1 
 SESIÓN 51 
 
 Calcula el momento de inercia (I) de objetos rígidos a partir de 
sus ecuaciones en la solución de problemas de objetos que giran 
en torno a un eje fijo. 
 
 Calcula el momento de torsión (�) de una fuerza (o momento de 
una fuerza o torque, respecto a un punto) a fin de resolver 
problemas de equilibrio rotacional de cuerpos rígidos en el plano. 
Logros esperados: 
Actividad 
https://www.youtube.com/watch?v=tcs93mPn91E 
 
Tres objetos (un cilindro hueco, un 
cilindro sólido y una esfera sólida) 
de igual masa y radio, se colocan 
en la parte superior de una cuña y 
son soltados desde el reposo a la 
misma altura y ruedan sin deslizar. 
 
¿Llegarán a la base de la cuña al 
mismo tiempo? 
https://www.youtube.com/watch?v=tcs93mPn91E
https://www.youtube.com/watch?v=tcs93mPn91E
Momento de Inercia para Cuerpos Rígidos 
Es una cantidad física escalar cuya unidad de 
medida es [ . ] y que indica la medida de 
oposición a rotar de un cuerpo rígido, respecto 
a algún eje (tomaremos al eje Z). El momento 
de inercia es calculado por la siguiente 
expresión: 
Ejemplo 1 
La figura muestra una varilla uniforme muy 
delgada y doblada de 15,0 kg de masa. Cada 
una de las longitudes AB, BC y CD son iguales 
a 2,00 m. Determine el momento de inercia 
de la varilla ABCD con respecto al eje Z, 
 
a) Utilizando la definición: 
 
b) Utilizando el criterio de centro de masa. 
ICM : Momento de inercia con respecto al centro de masa. 
 
I: Momento de inercia con respecto al otro eje paralelo que 
pasa por O. 
 
D: distancia entre los ejes. 
 
M: masa del cuerpo rígido. 
El momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa de un cuerpo 
rígido ICM y el momento de inercia I tomado con respecto a un eje paralelo al primero se 
relaciona por ecuación 
Teorema de ejes paralelos (Steiner) 
Una rueda de carreta tiene un radio 
de 0,300 m y la masa de su borde es 
de 1,40 kg. Cada rayo, que está 
sobre un diámetro y tiene 0,300 m 
de longitud, tiene una masa de 
0,280 kg. ¿Qué momento de inercia 
tiene la rueda alrededor de un eje 
que pasa por su centro y es 
perpendicular a su plano? 
Ejemplo 2 
(Respecto a un punto fijo) Momento de Torsión 
Es una cantidad física vectorial que 
nos expresa la capacidad de una 
fuerza para hacer rotar o girar un 
cuerpo rígido respecto a un punto 
O , llamado centro de giro. Se mide 
en [N.m] y es definido por la 
siguiente erxpresión: 
Rpta.: 
The 160 N weights of 
the arms AB and BC of 
the robotic manipulator 
act at their midpoints. 
Determine the sum of 
the moments of the 
three weights about A. 
Ejemplo 3 
Radio de giro (�) 
� 
� � � 
� es tal que: �� = � = �� 
Despejando: � = � � 
El radio de giro de un cuerpo respecto a un eje es la distancia al eje a la que debería 
estar un punto material, de la misma masa que el cuerpo rígido, para que se verifique 
que el momento de inercia del cuerpo y del punto material, con respecto al eje, sean 
iguales. 
El péndulo mostrado consiste de una placa cuadrada de 2,50 kg y una varilla 
delgada de 1,50 kg. Determine el radio de giro del péndulo respecto de un eje 
perpendicular a la pagina y que pasa a través del punto O. (a = 1,00 m, b = 
3,00 m, c = 2,00 m) 
Ejemplo 4 
Sesión 52 
Aplica separadamente los criterios dinámico y energético a 
un objeto rígido en la solución de problemas para luego 
comparar la eficiencia de cada enfoque. 
 
Logros esperados: 
Actividad: 
https://www.youtube.co
m/watch?v=gpesDF6hzn
4 
 
https://www.youtube.com/watch?v=gpesDF6hzn4
https://www.youtube.com/watch?v=gpesDF6hzn4
https://www.youtube.com/watch?v=gpesDF6hzn4
https://www.youtube.com/watch?v=gpesDF6hzn4
(momento de neto de un sistema de fuerzas) 
El momento de torsión (o torque) neto en torno a un eje de rotación fijo es 
proporcional a la aceleración angular. La constante de proporcionalidad está 
dado por el momento de inercia I del cuerpo rígido el cual se toma con 
respecto al eje de rotación fijo del cuerpo rígido. 
O O 
Cuerpo rígido bajo un momento de torsión neto 
Barra giratoria Ejemplo 2 
SISTEMA 
DINAMICO 
Una barra uniforme de longitud L y masa M tiene 
libertad de dar vuelta sobre un pivote sin fricción que 
pasa a través de un extremo. La barra se libera desde el 
reposo en la posición horizontal. Utilizando un sistema 
dinámico, determine: 
 
A) La rapidez angular (�) de la barra cuando llega a su 
posición más baja. 
 
B) La rapidez tangencial (� � ) del centro de masa y 
del punto más bajo de la barra cuando este en su 
posición vertical. 
 
∆ + ∆ + ∆ � = � 
Consideraciones energéticas para un cuerpo rígido 
Donde: ∆ = ∆ � − + ∆ / 
SISTEMA ENERGETICO 
ENTORNO ∆ = ∆� + ∆ � � � 
Caso especial 1: 
Trabajo de la Tensión (fuerza externa) 
para hacer girar el cuerpo rígido. 
∆ = ∆ � �/�� ∆� = 0 ∆�� � = 0 : ����: Ignorando todo tipo de fricción. 
; 
� = � � − � �� 
CM � 
= 
SISTEMA 
ENERGETICO 
ENTORNO 
Caso especial 2: 
∆ = ∆ � �/�� ∆� = ∆� �� ∆�� � = 0 : ���� = La esfera no desliza. 
∆ / + ∆ = 
SISTEMA ENERGETICO 
ENTORNO 
CM
ds d
v R R
dt dt
   
CM
CM
dv d
a R R
dt dt
   
La velocidad del centro de masa es 
La aceleración del centro de masa: = �� 
Un nuevo vistazo a la barra giratoria 
Una barra uniforme de longitud L y masa M tiene 
libertad de dar vuelta sobre un pivote sin fricción 
que pasa a través de un extremo (ver figura). La 
barra se libera desde el reposo en la posición 
horizontal. Utilizando el criterio energético, 
determine: 
 
A) La rapidez angular (�) de la barra cuando 
llega a su posición más baja. 
 
B) La rapidez tangencial (� � ) del centro de 
masa y del punto más bajo de la barra 
cuando este en su posición vertical. 
 
Ejemplo 3 
SISTEMA 
ENERGETICO 
 SESIÓN 53 
 Conservación de la energía. Situaciones que incluyen fricción cinética. 
 Cambios en energía mecánica para fuerzas no conservativas. Potencia. 
 Conservación de la cantidad de movimiento. Teorema del Impulso y la cantidad de movimiento 
Logros esperados: 
 Resolver problemas de acuerdo al 
enfoque por competencias: 
En el instante mostrado en la figura el bloque de masa = se desliza sobre una 
superficie lisa con una velocidad de magnitud � = , / hacia la derecha mientras que 
encima de este bloque otro bloque de masa = , se desliza con una velocidad de 
magnitud � = , / hacia la derecha. Debido a la fricción entre estos dos bloques la 
rapidez de ambos cambia hasta que alcanzan una velocidad común � justo cuando el 
bloque B se desliza una distancia = , sobre el bloque. Determine: 
 
A. La rapidez común � que alcanzan ambos bloques. 
B. El cambio de energía interna en el sistema de bloques en este proceso. 
C. El coeficiente de fricción � entre los bloques A y B. 
Resp. 
 � = , � � ∆�� � = + 8 �� = , 
 
Problema 1 
El la figura, el resorte se encuentra comprimido 
debido a la acción de la gravedad y de una fuerza 
externa, � , mientras que el sistema masa-resorte 
está en equilibrio estático. Si la compresión del resorte 
es de 20,0 cm, determine: 
 
a) La energía potencial elástica acumulada. 
b) Si se dejase de aplicar la fuerza externa, la 
distancia recorrida por el bloque hasta alcanzar su 
máxima altura sobre la cuña lisa. 
 
Considere los datos: (m=2,00 kg; k =19,6 N/m; � = °) y que el bloque no está atado al resorte. 
Problema 2 
Problema 3 
Una bala de masa , golpea con una 
rapidez de y atraviesa un bloque de 
masa = , inicialmente en reposo 
que esta conectado a un resorte con constante 
de rigidez = � . El bloque se mueve una 
distancia = , antes de llegar al 
reposo. Determine: 
 
a) La rapidez de la bala al atravesar el bloque. 
 
b) La energía cinética transformada a energía 
interna durante el impacto. 
Problema 4Problema 5 
 SESIÓN 54 
 Colisiones en una dimensión y dos dimensiones. El centro de masa. 
 Cinemática rotacional de un objeto rígido en torno a un eje fijo. 
 Energía cinética rotacional para un sistema de partículas. 
 
En un campo de fútbol americano muy lodoso, 
un apoyador (A) de 110 kg taclea a un corredor 
(C) de 85 kg. Justo antes del choque, el 
apoyador resbala con una velocidad de 8,8 m/s 
hacia el norte, y el corredor lo hace con una 
velocidad de 7,2 m/s hacia el este. Calcule: 
 
la cantidad de movimiento inicial del sistema. 
La rapidez después del choque, si suponemos 
que ambos jugadores quedan juntos. 
Problema 6 
Dos asteroides de igual masa pertenecientes al 
cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter 
chocan de refilón. El asteroide A, que inicialmente 
viajaba a 40,0 m/s, se desvía 30,0° con respecto a 
su dirección original, mientras que el asteroide B 
viaja a 45,0° con respecto a la dirección original de 
A. 
 
a) Calcule la rapidez de cada asteroide después del 
choque. 
b) ¿Qué fracción de la energía cinética original del 
asteroide A se disipa durante el choque? 
Problema 7 
Problema 8 
Problema 9 
Un balde a través de una cuerda de masa 
despreciable hace girar una rueda cuyo 
desplazamiento angular esta dado por � = , + donde se mide en 
segundos. Determine la velocidad y 
aceleración del balde a los , segundos. 
Problema 10 
Problema 11 
Logros esperados: 
 Resolver problemas de acuerdo al 
enfoque por competencias: 
Aprendizaje autónomo 
(02 horas) 
 SESIÓN 55 
Logros esperados: 
 Resolver problemas de acuerdo al 
enfoque por competencias: 
Rpta.: 
Problema 1 
El carrete hueco tiene radio interior � = � y radio exterior � = �, y masa M. 
Tiene insertado un cilindro de radio � = � de masa �. Calcule el momento de 
inercia con respecto a su eje central de 
esta pieza completa si el carrete hueco 
está unido rígidamente al cilindro delgado. 
Problema 2 
Problema 3 
Una barra cilíndrica de masa esta sujeta a una esfera de masa 
 verticalmente e inicialmente en reposo. El sistema es libre de 
girar respecto al punto en la parte inferior de la barra. 
a) Después que el sistema gire 90 grados, determinar la energía 
rotacional del sistema. 
b) Calcular la rapidez angular de la barra y de la esfera. 
c) Determine la rapidez lineal del centro de masa de la esfera. 
Problema 4 
Problema 5 
Problema 6 
Problema 7 
La vara OA mostrada es un metro. Está articulada en O de tal manera que puede girar 
en el plano vertical. Se sostiene horizontalmente al inicio y luego se suelta. Calcula la 
rapidez angular de la vara y la rapidez (lineal) de su extremo libre cuando pasa por la 
posición mostrada. 
Problema 8 
Problema 9 
Problema 10 
Rpta: 
Problema 11 
Referencias 
 
SERWAY RAYMOND, JEWETT JOHN W. Física para la Ciencias e Ingeniería. Volumen I. 7a Edición. México. 
Thomson. 2009. LIBRO TEXTO 
 
TIPLER PAUL, MOSCA GENE. Física para la ciencia y la tecnología. VOLUMEN 1. Mecánica/Oscilaciones y 
ondas/Termodinámica. Sexta Edición. Barcelona. Reverte. 2010 
 
https://www.youtube.com/watch?v=b-HZ1SZPaQw 
 
https://www.youtube.com/watch?v=5Zrphnd_0VI 
 
https://www.youtube.com/watch?v=b-HZ1SZPaQw
https://www.youtube.com/watch?v=b-HZ1SZPaQw
https://www.youtube.com/watch?v=b-HZ1SZPaQw
https://www.youtube.com/watch?v=b-HZ1SZPaQw
https://www.youtube.com/watch?v=5Zrphnd_0VI
https://www.youtube.com/watch?v=5Zrphnd_0VI