Inecuaciones con módulo

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Prof. Noelia Aquino 
5to 1ra Eco. 
Inecuaciones con módulo 
Inecuaciones 
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones. En una 
desigualdad, pueden aparecer los siguientes símbolos , , o . Es a causa de 
estos símbolos, que representan situaciones de mayor, menor, etc. que se llaman 
desigualdades. 
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la 
verifican, como la solución de una inecuación no es un único número, el conjunto 
solución es un intervalo real o el conjunto vacio. 
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se 
divida o se multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte 
el sentido de la desigualdad. 
 Simbología 
 “Menor que…” 
 “Mayor que…” 
 “Menor o igual que…” 
 “Mayor o igual que…” 
 “Cambio en el sentido de la desigualdad” 
Cuando trabajamos con inecuaciones, hay una situación particular cuando 
“pasamos” un número negativo, ya sea multiplicando o dividiendo. 
Veamos el por qué 
En una igualdad, si multiplicamos o dividimos por un número negativo a 
ambos miembros, se mantiene la igualdad. Por ejemplo y si multiplico a 
ambos miembros por nos quedaría , cosa que sigue siendo cierta. 
Observemos la siguiente desigualdad: , si multiplicamos o dividimos a 
ambos miembros por nos quedaría , lo que es FALSO, porque no es 
menor que . Por lo tanto, para que esta relación sea verdadera, basta con “dar 
vuelta” el sentido de la desigualdad, es decir 
 
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Ejemplos de inecuaciones 
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inecuaciones con módulo 
Para resolver inecuaciones con módulo, debemos tener en cuenta las 
siguientes propiedades (expuestas en el apartado teórico de “Módulo de un número 
real”): 
 
Para entender mejor las propiedades que siguen, vamos a dibujar unos intervalos 
reales: 
 
En la representación anterior tenemos tres intervalos, donde “a” es cierto número real, 
y “-a” su opuesto. 
 
Ahora sí, continuemos con las propiedades: 
 
7) a a a a 
Si traducimos al lenguaje coloquial esta propiedad nos dice que, cuando el 
módulo de un número x es mayor que cierto número a (que es positivo por la 
definición de módulo) ese número x puede ser mayor que el número a o menor 
que el opuesto de ese número a. Vamos a verlo en la recta numérica. 
 
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- 3 3 
- 3 3 
- 13 3 
Ejemplo: 
 Graficamos la solución obtenida 
 
 , y efectivamente, el módulo de todos los números que 
están en ese intervalo son mayores que 3 (noten que utilizamos la U para unir 
los intervalos solución) 
8) a a -a a a ; a 
Si traducimos al lenguaje coloquial esta propiedad nos dice que, cuando el 
módulo de un número x es menor que cierto número a (que es positivo por la 
definición de módulo) ese número x se encuentra entre ese número a y su 
opuesto. Vamos a verlo en la recta numérica. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Graficamos la solución obtenida 
 
 , y efectivamente, el módulo de todos los números que están en ese 
intervalo son menores que 3 
 
Veamos otros ejemplos de inecuaciones con módulo 
Ejemplo 1 
 
 Aplicamos la propiedad 7 de módulo 
 
Despejamos x 
 
Graficamos la solución obtenida 
 
 
 
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0 
 4 8 
Ejemplo 2 
 
 
Despejamos el módulo 
 
 
 
 Aplicamos la propiedad 8 de módulo 
 
Despejamos x (tengamos en cuenta que, como hay dos 
símbolos de desigualdad, esto implica que hay “dos 
inecauciones en una”, por lo tanto el despeje es hacia 
ambos lados) 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamos la solución obtenida 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
 Aplicamos la propiedad 7 de módulo 
 
Despejamos x 
 
 
Graficamos la solución obtenida