Matematica_II_Ingenieria_Civil

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Matemática II 
Ingeniería Civil
Mg. Mat. Edinson Idrogo Burga
Marzo – 2018. 
1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definición: Sea ,unafuncióndedos variables,esunaregla
queasigna a cada pardeordenada(x, y) enD un único numero real
denotadopor f(x, y).
Notación Funcional
Donde:
D: Dominio def
(x, y): Variables independientes
z: Variable dependiente
2RD
),( ),( 
R : 2
yxfzyx
RDf


DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS 
VARIABLES 
Si f esunafunción realde dosvariables (x, y), definimos:
a) DOMINIO DE f
b) RANGO DE f
 ),(/),()( 2 yxfzRzRyxfDom 
 )(),/(),()( fDomyxRyxffRan 
Interpretación Geométrica 
Grafica de una Función de Dos Variables
Definición: Si f esunafuncióndedos variables con dominioD,
la graficadef es elconjunto:
 DyxyxfzRzyxS  ),( ),,(/),,( 3
EJEMPLOS
Dibujar la superficie dadapor la función
22 916144),()1 yxyxf 
yxyxf 326),()2 
2),()3 yyxf 
TÉCNICAS PARA DETERMINAR EL 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 
2)( el entonces ,"" e ""en polinomioun es ),( Si )1 RfDomyxyxfz 
0),()( ),( entonces ,),(),( Si )2  yxPfDomyxyxPyxf
 0),()( ),( Entonces 
),(
),(
),( es, esto racional, es función la Si )3


yxQfDomyx
yxQ
yxP
yxff
0),()(),( entonces )],,([ ),( Si )4  yxPfDomyxyxPLnyxf
2)( polinomioun es 
),( si )],,(cos[),(y )],([ ),( Si )5
RfDom
yxPyxPyxfyxPSenyxf


 1),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )6  yxPfDomyxyxPArcsenyxf
 1),()( ),( entonces )],,([ cos),( Si )7  yxPfDomyxyxPArcyxf
2),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )8 RyxfDomyxyxPArctgyxf 
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Dadas las funciones, calcule analíticamenteel dominio y
grafiquela función
22 44),()1 yxyxf 
 xyyxf /arccos),()2   yxLnyxf  4),()3
yx
xy
yxf ),()4
yxyxf ),()5
 
221
1
),()6
yx
yxLn
yxf 

Ejemplos Usuales de Curvas de Nivel
CURVAS DE NIVEL 
Las curvasde nivel de unafunción f de dosvariables son las
curvas con ecuacionesf(x, y) = k, dondek esunaconstante (enel
rangodef)
Ejemplos:
1) Describa las curvasdenivel delas siguientes funciones
2) La temperatura (en grados Celsius)en cualquier punto (x,y) de
unaplaca circular esta dadopor:
Donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas
isotermas.
3 ,1 ,0 ,1 ,),( ) 2  kyxyxfa
xyzb  )
22200 yxT 