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factorizacion_de_polinomios

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Factorización del trinomio de segundo grado (Repaso y fijación)
Recordemos del Zoom anterior que en una ecuación como ésta: 
x2 – 250x = 0, no hace falta aplicar la fórmula pues si sacamos factor común x, la misma queda escrita como el producto de 
x2 – 250x = x ( x – 250) = 0
 y preguntarse cuándo un producto (un multiplicación) es igual a cero es preguntarse cuándo alguno de los factores es cero.
A · B = 0 es cero cuando y solamente cuando A=0 o bien B=0
A . B = 0
O 
yo soy 
cero
 
Yo soy 
cero
A
B
O sea que esta ecuación de segundo grado: x (x – 250) = 0 tiene sus soluciones a simple vista: 
x = 0 
ó x – 250 = 0 
o sea 
x=250
Es Obvio que esto ocurre sólo cuando un producto (en este caso de dos factores) está igualado a cero.
Resolver, factorizando, las siguientes ecuaciones de segundo grado:
1) x2 – 7x = 0
2) –x2 – 7x = 0
3) x2 + 7x = 0
4) 3 x2 – 7x = 0
 5) 
Resolver, factorizando, las siguientes ecuaciones de segundo grado:
x(3x – 7) = 0
Aquí aparece de inmediato la solución 
x = 0 
y la otra, pensando un poquito más, 
3x – 7 = 0
x = 7/3
1) x2 – 7x = 0
 x(x – 7) = 0 
 x = 0 ó x = 7
2) –x2 – 7x = 0
–x(x + 7) = 0
x = 0 ó x = – 7
3) x2 + 7x = 0
x(x + 7) = 0
x = 0 ó x = – 7
4) 3 x2 – 7x = 0
También es interesante por un próximo tema sacar factor común 3x
3x(x – 7/3) = 0
y entonces la solución 7/3 se ve más explícitamente
4) 
Es importante tratar de comprender todos los pasos que se siguen aquí. 
Hasta aquí hemos tratado de que comprendan dos cuestiones: 
1) La más importante es que un producto (una multiplicación) es igual a cero cuando y sólo cuando uno de los factores que interviene en la misma vale cero. 
2) Cuando en un una expresión (en un polinomio) de segundo grado c = 0 y b no lo es SIEMPRE se puede sacar factor común x y saber cuándo se anula (cuándo vale 0) casi sólo con mirarla. 
Ahora analizaremos el caso en que b sea cero y c no.
Si no te quedaron claras estas dos cuestiones volvé a la primera diapositiva. 
Entonces: ¿Qué pasa si b = 0?
Veamos un ejemplo:
x2 – 9 = 0
Si aplicamos la fórmula obtenemos x1 = 3 y x2 = –3 (no sería razonable hacerlo)
porque pudimos haber procedido así:
x2 – 9 = 0
x2 = 9 
x1 = 3 y x2 = –3
Pero además sabemos (o hacemos la distributiva y lo comprobamos) que:
A esta expresión deberían conocerla de la escuela.
Que aplicada a este caso sería:
x2 – 9 = (x–3) (x+3) = 0 cuando x = 3 ó x= –3
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Veamos otros casos similares:
En base a la igualdad:
Factorizar el primer miembro y luego resolver las siguiente ecuaciones 
de segundo grado:
1) x2 – 1 = 0 2) x2 – 16 = 0 
3) x2 – 81 = 0 4) x2 – 1 = 0 
5) x2 – 7 = 0 6) 5x2 – 45 = 0 
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Factorizar el primer miembro y luego resolver las siguiente ecuaciones 
de segundo grado:
1) x2 – 1 = 0 2) x2 – 16 = 0 
(x – 1)(x + 1) = 0 (x – 4)(x + 4) = 0 
 x = 1 ó x = – 1 x = 4 ó x = – 4
3) x2 – 81 = 0 4) – x2 + 36 = 0 
 (x – 9)(x + 9) – (x2 – 36) = – (x – 6)(x + 6) = 0 
 x = 9 ó x = – 9 x = 6 ó x = – 6
5) x2 – 7 = 0 6) 5x2 – 45 = 0 
(a + b) (a – b) = a2 – b2
5(x2 – 9) = 0
5 (x – 3)(x + 3) = 0
x = 3 ó x = – 3
Volvamos al centro de la cuestión:
A . B = 0
O 
yo soy 
cero
 
Yo soy 
cero
A
B
En la actividad 5 de la página 82 se presentan dos ecuaciones que parecen similares. Sin embargo 
1) ¿Pueden aplicar razonamiento al inciso 5.5)? ¿Y en el 5.6)? 
2) ¿Por qué? 
3) ¿Cómo debería resolverse en 5.5)? 
4) ¿Cuáles son las soluciones del 5.6)?
5.5) (x + 1)(x – 3) = –3
5.6) (x + 5)(x – 8) = 0
Entonces si debo resolver ecuaciones de segundo grado como las siguientes puedo hacerlo a simple vista:
(x - 3)(x - 5)=0
(x + 3)(x + 5)=0
(x - 10)(x + 50)=0
2(x - 3)(3x - 5)=0
-(2x + 3)(x - 5)=0
(2x + 3)(3x + 5)=0
Resolverlas ya.
A . B = 0
O 
yo soy 
cero
 
Yo soy 
cero
A
B
Entonces si debo resolver ecuaciones de segundo grado como las siguientes puedo hacerlo casi a simple vista:
(x - 3)(x - 5) = 0; x = 3 ó x = 5
(x + 3)(x + 5) = 0; x = - 3 ó x =- 5
(x - 10)(x + 50) = 0; x = 10 ó x = - 50
2(x - 3)(3x - 5) = 0; x = 3 ó x = 5/3
Pero también podrías sacar factor común 3, en el segundo paréntesis: 2(x - 3)3(x – 5/3)=0 y así podríamos ver el 5/3 más explícitamente. 
-(2x + 3)(x - 5) = 0
-2(x + 3/2)(x - 5)=0; x = -3/2 ó x = 5
(2x + 3)(3x + 5) = 0 
2(x + 3/2)3(x + 5/3) = 0; x = -3/2 ó x = -5/3
 
Ahora estamos en condiciones de comprender la siguiente afirmación, muy importante para todo lo que sigue: 
Podemos decir entonces que si una expresión del tipo 
ax2 + bx + c se anula en x1 y en x2 (b2 – 4ac > 0)
Entonces se puede factorizar así:
¿y si no se anula nunca? (b2 – 4ac < 0) 
Entonces no se puede factorizar.
¿y si se anula para un solo valor? (b2 – 4ac = 0) 
Entonces es el cuadrado de un binomio (que podría estar un poquito escondido)
Ponemos un ejemplo de este último caso en que 
b2 – 4ac = 0 
X2 – 2x + 1 y se llegó a la conclusión de que 
x1 = 1 x2 = 1
Por lo tanto si nos basamos en la expresión:
ax2 + bx + c = a( x - x1) (x - x2)
Obtendríamos:
x2 – 2x + 1= (x – 1)2
Que es sólo un caso particular de: 
En los casos en que sea posible, escribir los primeros miembros bajo el formato recuadrado y resolver las ecuaciones:
	x2 – 4x – 21 = 0
	2) x2 + 10x + 16 = 0
	3) x2 + 14x + 49 = 0
	4) 5x2 – 25x + 30 = 0
	5) x2 – 169 = 0
	6) –x2 – 4x = 0
	x2 – 4x – 21 = 0
	(x + 3) (x – 7) = 0	x = – 3 ó x = 7
	2) x2 + 10x + 16 = 0
	(x + 8) (x + 2) = 0	x = – 8 ó x = – 2
	3) x2 + 14x + 49 = 0
	(x + 7)2 = 0	x = – 7
	4) 5x2 – 25x + 30 = 0
	5(x – 3) (x – 2)	x = 3 ó x = 2
	5) x2 – 169 = 0
	(x + 13) (x – 13) = 0	x = – 13 ó x = 13
	6) –x2 – 4x = 0
	 – x (x + 4) = 0	x = 0 ó x = – 4
	ECUACION	ECUACIÓN FACTORIZADA	SOLUCIONES, CEROS O RAÍCES
En la autoevaluación se continuará profundizando. 
Definición de polinomio
Factorización de polinomios
En los casos en que sea posible, escribir los primeros miembros como producto de factores de primer grado y resolver las ecuaciones:
	1) 7x2 – 7= 0
	2) x2 – 8x = 0
	3) – x2 + 4 = 0
	4) –x2 + 11x = 0
	5) x2 + 4x + 4 = 0
	6) x2 – 6x + 5 = 0
	7) x3 –9x2 = 0
	8) x4 – 25x2 = 0
	9) x4 – 16 = 0
	10) – x4 + 36x2 = 0
	11) 5x4 + 20x3 + 20x2 = 0
	12) – x4 +9x2 = 0
	13) x4 – 5x3 + 6x2 = 0
	14) 3x4 – 15x3 + 18x2 = 0
	15) x4 – 5x3 – 36x2 = 0
	16) x4 + 4x3 + 4x2 = 0
	17) x5 – 5x3 = 0
	18) – 2x5 – 8x4 – 8x3 = 0
	19) – x5 + 5x4 + 36x3 = 0
	20) x5 – 5x4 – 36x3 = 0
	ECUACION	ECUACIÓN FACTORIZADA	RAÍCES O CEROS
	1) 7x2 – 7= 0	7 (x2 – 1)= 7 (x – 1) (x + 1) = 0
	1 y –1	
	2) x2 – 8x = 0
	x ( x – 8 ) = 0	0 y 8
	3) – x2 + 4 = 0
	– 1(x2 – 4) = – (x – 2) (x + 2) = 0	2 y –2	
	4) –x2 + 11x = 0
	– x (x – 11 ) = 0	0 y 11
	5) x2 + 4x + 4 = 0
	( x + 2)2 = 0	x = – 2 (doble)
	6) x2 – 6x + 5 = 0
	( x – 5 ) (x – 1 ) = 0	 5 y 1
	7) x3 –9x2 = 0
	X2 (x – 9 ) = 0	0 (doble) y 9
	8) x4 – 25x2 = 0
	x2 (x2– 25) = x2 (x – 5) (x + 5) = 0	0 (doble); 5 y –5
	9) x4 – 16 = 0
	(x2 – 4)(x2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4) = 0	2 y –2
	10) – x4 + 36x2 = 0
	–x2 (x2 – 36) = – x2 (x – 6) (x + 6) = 0	0 (doble); 6 y –6
	11) 5x4 + 20x3 + 20x2 = 0
	5x2 (x2 + 4x + 4) = 5x2 (x + 2)2 = 0
	0 (doble) y –2 (doble)
	12) – x4 +9x2 = 0
	–x2(x2 – 9) = –x2(x – 3) (x + 3) = 0
	0 (doble), 3 y –3
	13) x4 – 5x3 + 6x2 = 0
	x2 (x2 – 5x + 6) = x2 (x – 3) (x – 2)
	0 (doble), 3 y 2
	14) 3x4 – 15x3 + 18x2 = 0
	3x2 (x2 – 5x + 6) = 3x2 (x – 3) (x – 2)	0 (doble), 3 y 2
	15) x4 – 5x3 – 36x2 = 0
	x2(x2 – 5x – 36) = x2(x – 9 ) (x + 4)= 0
	0 (doble), 9 y – 4.
	16) x4 + 4x3+ 4x2 = 0
	x2(x2 +4x +4) = x2 (x + 2)2 = 0
	0 (doble) y –2 (doble)
	17) x5 – 5x3 = 0
		 
0 (triple), 
	18) – 2x5 – 8x4 – 8x3 = 0
	– 2x3 (x2 +4x +4) = – 2x3 (x + 2)2
	0 (triple) y –2 (doble)
	19) – x5 + 5x4 + 36x3 = 0
	– x3( x2 –5x – 36) = – x3 (x – 9 )(x + 4) = 0
	0 (triple), 9 y – 4.
	20) x5 – 5x4 + 36x3 = 0
	x3 (x2 – 5x + 36) = 0
	x = 0 (triple)
	ECUACION	ECUACIÓN FACTORIZADA	RAÍCES O CEROS
Un caso donde hace falta hacer una división:
Teorema del factor de primer grado: Un polinomio P(x) tiene la raíz “a” cuando y sólo cuando tiene el factor (x – a) (o sea es divisible por (x – a)
Además: si es polinomio es mónico y de coeficientes enteros, las eventuales raíces enteras son divisores del término independiente. 
P(x)= x3 – 9x2 – x +105
Si este polinomio tiene raíces enteras, las sospechosas de serlo son los divisores de 105:
1, - 1, 3, -3, 5, -5, 7, -7, 15, -15, 105 y – 105
Probamos reemplazando en la función y recordamos que la raíz es el valor de X que hace que el polinomio sea cero
P(1) distinto de cero, P(- 1) distinto de de cero
P(-3) = 0
Por lo tanto el polinomio es divisible por (x-(-3)=(x+3) 
Las raíces del polinomio son x1 = -3, x2 = 7, x3 = 5
Factorización del “trinomio bicuadrado”
Es un trinomio del tipo:
ax4 + bx2 + c
Se habla de ecuación bicuadrada cuando está igualado a cero: 
ax4 + bx2 + c = 0
ax4 + bx2 + c
Lo primero que observamos es que x2 no aparece en los tres términos por lo cual no se nos ocurre sacar factor común como en otros casos que vimos antes. 
Pongamos tres ecuaciones bicuadradas y las iremos analizando.
 
0
5
1
7
4
2
=
-
-
x
x
0
5
1
7
4
2
=
-
-
x
x
7
7
0
)
7
)(
7
(
-
=
=
=
+
-
x
ó
x
x
x
ax
2
+ bx+ c = a( x -x
1
) (x -x
2
)
Podemos decir entonces que si una expresión del tipo 
ax
2
+ bx+ c 
se anula en x
1
y en x
2
entonces se podrá escribir:
(
)
2
2
2
2
b
ab
a
b
a
+
±
=
±
P(x) = a
n
x
n
+ a
n-1 
x
n-1
+ a
n-2 
x
n-2
+ ... + a
2
x
2
+ a
1
x+ a
0
0
)
5
)(
5
(
)
5
(
3
2
3
=
+
-
=
-
x
x
x
x
x
5
5
-
y
0
20
9
)
3
0
36
5
)
2
0
6
5
)
1
2
4
2
4
2
4
=
+
+
=
-
-
=
+
-
x
x
x
x
x
x
)
2
)(
2
)(
3
)(
3
(
6
5
:
2
;
2
;
3
;
3
tan
2
3
2
3
2
3
,
0
6
5
0
6
5
)
1
2
4
4
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
4
+
-
+
-
=
+
-
-
=
=
-
=
=
±
=
±
=
=
=
=
=
=
+
-
=
=
+
-
x
x
x
x
x
x
queda
o
factorizad
Que
x
x
x
x
to
lo
por
x
o
x
ahí
de
x
o
x
donde
de
t
o
t
obtenemos
y
fórmula
la
aplicamos
le
t
t
queda
nos
t
x
reemplazo
el
realizamos
Si
x
x
)
4
)(
3
)(
3
(
36
5
3
;
3
tan
3
4
9
4
9
,
0
36
5
0
36
5
)
2
2
2
4
2
1
2
2
2
1
2
2
2
4
+
+
-
=
-
-
-
=
=
±
=
-
=
=
-
=
=
=
-
-
=
=
-
-
x
x
x
x
x
x
x
to
lo
por
x
sale
sólo
ahí
de
x
o
x
donde
de
t
o
t
obtenemos
y
fórmula
la
aplicamos
le
t
t
queda
nos
t
x
reemplazo
el
realizamos
Si
x
x
.
4
5
,
0
20
9
0
20
9
)
3
2
1
2
2
2
4
solución
tiene
no
ecuación
la
que
afirmar
podemos
lo
por
absurdos
ambos
t
o
t
obtenemos
y
fórmula
la
aplicamos
le
t
t
queda
nos
t
x
reemplazo
el
realizamos
Si
x
x
-
=
-
=
=
+
+
=
=
+
+

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