Complemento-Clase-5

Vista previa del material en texto

Complemento Clase 5 
Derivadas Parte A 
Nota: 
Tengamos presente en todo momento que Δ𝑥 = ℎ 
En algunos ejercicios aparece la expresión Δ𝑥 y en otros aparece ℎ, se refieren A LO MISMO. 
Tanto una como la otra son maneras de expresar el incremento de la variable 𝑥. 
_______________________________________________________________________________________ 
EJERCICIO 
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥. Calcular la derivada en 𝑥 = 4 utilizando la definición de la derivada en un 
punto. 
 
Definción de derivada en un punto 
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎) 
𝒙 − 𝒙𝟎
 
 
1°) Primero copiamos la definición (o fórmula) de la derivada en un punto cambiando solamente 𝑥0 por el 
punto que corresponde: 
𝑓′(4) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓(𝑥) − 𝑓(4) 
𝑥 − 4
 
 
2°) Ahora cambiamos 𝑓(𝑥) y 𝑓(4) por lo que corresponde: 
𝑓′(4) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥2 − 3𝑥 − 4 
𝑥 − 4
 
 
3°) A partir de ahora, expertos resolvedores de límites (no se dice “resolvedores”, ¿cierto?) 
Ok, entonces, a partir de ahora expertos en límites, el ejercicio es todo de ustedes, porque a partir de ahora 
esto no es más que un ejercicio de límites… Y este tema ya se vio. Se usa todo lo que se vio hasta el 
momento. 
𝑓′(4) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥2 − 3𝑥 − 4 
𝑥 − 4
=
→ 0
→ 0
 
𝑓′(4) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) 
𝑥 − 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
(𝑥 + 1) = 5 
𝑓′(4) = +5 
_______________________________________________________________________________________ 
Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥. Calcular la función derivada 𝑓′(𝑥). 
Definción de función derivada 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 
𝒉
 
1°) Primero copiamos la definición (o fórmula) de la función derivada: 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
 
 
2°) Ahora cambiamos 𝑓(𝑥 + ℎ) y 𝑓(𝑥) por lo que corresponde 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
= 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 3 ∙ (𝑥 + ℎ) − (𝑥2 − 3𝑥) 
ℎ
=
→ 0
→ 0
 
 
Recuerden hacer esto si no 
entienden como reemplazar 
𝑓(𝑥 + ℎ) 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 
𝑓(2) = 22 − 3 ∙ 2 
𝑓(−1) = (−1)2 − 3 ∙ (−1) 
𝑓( 𝑗) = 𝑗2 − 3 ∙ 𝑗 
𝑓(𝑠𝑑𝑓) = (𝑠𝑑𝑓)2 − 3 ∙ (𝑠𝑑𝑓) 
𝑓(Δ) = (Δ)2 − 3 ∙ (Δ) 
𝑓(∎) = (∎)2 − 3 ∙ (∎) 
𝑓( ) = ( )2 − 3 ∙ ( ) 
𝑓(𝒙 + 𝒉) = (𝒙 + 𝒉)2 − 3
∙ (𝒙 + 𝒉) 
 
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ − 𝑥2 + 3𝑥 
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
+2𝑥ℎ + ℎ2 − 3ℎ 
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ − 3). ℎ 
ℎ
= 
 
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ − 3) = 2𝑥 + 0 − 3 = 2𝑥 − 3 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 3 
_______________________________________________________________________________________ 
Sea la función 𝑓(𝑥) = 5. Calcular la función derivada 𝑓′(𝑥). 
Definción de función derivada 
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 
𝒉
 
1°) Primero copiamos la definición (o fórmula) de la función derivada: 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
 
 
2°) Ahora cambiamos 𝑓(𝑥 + ℎ) y 𝑓(𝑥) por lo que corresponde 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
= 
Recuerden hacer esto si no 
entienden como reemplazar 
𝑓(𝑥 + ℎ): 
𝑓(2) = 5 
𝑓(−1) = 5 
𝑓( 𝑗) = 5 
𝑓(𝑎𝑑𝑗) = 5 
𝑓(𝑥 + ℎ) = 5 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
5 − 5 
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
0 
ℎ
=
0
→ 0
= 0 
Para ver qué da 
0
→0
 lo que hay que hacer es una 
pequeña tabla de valores o cáculos: 
0
0,01
 
0
0,001
 
0
0,000001
 
Aquí hallamos la derivada por definción de una función constante en particular, la de 𝑓(𝑥) = 5. 
En el pdf de la Clase 5 está resuelta la derivada por definición de 𝑓(𝑥) = 𝑘 que es el caso general. 
_______________________________________________________________________________________ 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥. Hallar la recta tangente (y normal) en 𝑥 = 4 y graficar. 
 
Fórmula para hallar la ecuación de cualquier recta 
𝒚 = 𝒎. (𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒚𝟎 
 
Hallamos la ecuación de la Recta Tangente 
 
En esta fórmula hay que reemplazar a 𝑚, 𝑥0 y 𝑦0 
𝑦 = 𝒎. (𝑥 − 𝒙𝟎) + 𝒚𝟎 
El valor de 𝑥0 lo tenemos pues es el dato del ejercicio: 𝑥 = 4. 
El valor de 𝑦0 lo podemos encontrar reemplazando el valor de 𝑥0 en la función 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) 
𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(4) = 4
2 − 3.4 = 4 
 
Este punto, me refiero al punto (𝑥0; 𝑦0) es el punto en donde la recta tangente toca a la curva y se llama 
 
PUNTO DE TANGENCIA 
Entonces en nuestro ejercicio, el punto de tangencia es el par (4; 4). 
Lo único que nos falta es averiguar el valor de la pendiente 𝑚. 
Como se vio en la teoría la pendiente de la recta tangente a la función en el punto 𝑥0 es igual a la derivada 
de la función en ese mismo punto. 
Es decir 𝑚𝑇 = 𝑓′(4) 
 
Calculemos entonces primero la función derivada 
𝑓′(𝑥) = (𝑥2 − 3𝑥)′ = (𝑥2)′ − (3𝑥)′ = 2. 𝑥2−1 − 3 = 2𝑥 − 3 
 
Y ahora calculemos la derivada para 𝑥 = 4 
𝑓′(4) = 2.4 − 3 = 5 
Entonces 𝑚𝑇 = 5 
 
¡Listo! Ahora ya tenemos todo para poder hallar la ecuación de la recta 
𝑦 = 𝒎. (𝑥 − 𝒙𝟎) + 𝒚𝟎 
𝑦 = 5. (𝑥 − 4) + 4 
𝑦 = 5𝑥 − 20 + 4 
𝑦𝑇 = 5𝑥 − 16 
 
Hallamos la ecuación de la Recta Normal 
 
Usamos la misma fórmula que antes, sólo debemos cambiar la pendiente, el punto de tangencia es el mismo. 
𝑚𝑁 = −
1
5
 
 
𝑦 = 𝒎. (𝑥 − 𝒙𝟎) + 𝒚𝟎 
𝑦 = −
1
5
. (𝑥 − 4) + 4 
𝑦𝑁 = −
1
5
𝑥 +
4
5
+ 4 
𝑦𝑁 = −
1
5
𝑥 +
24
5
 
Podemos graficar para ver cómo quedaría todo esto junto… 
 
 
Referencias 
• 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 
• 𝒚𝑻 = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟔 
• 𝒚𝑵 = −
𝟏
𝟓
𝒙 +
𝟐𝟒
𝟓
 
• (4; 4) punto de tangencia 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Esto fue lo que recordamos previamente para luego llegar a la fórmula de la pendiente de una recta a partir 
de dos puntos dados. 
 
Para hallar la pendiente de una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 sabiendo que pasa por dos puntos debemos usar la fórmula 
 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
Ejemplo: si sabemos que una recta pasa por (2; 4) y (3; 8) la pendiente de la recta que pasa por esos 
puntos se halla haciendo: 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
4 − 8
2 − 3
=
−4
−1
= 4 
 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
8 − 4
3 − 2
=
4
1
= 4 
 
Y recuerden que no importan a qué punto llaman (𝑥1; 𝑦1) y (𝑥2; 𝑦2) es lo mismo, arriba lo hice de las dos 
maneras posibles y pueden ver que da igual la pendiente. 
Bien, pero si además de esto queremos hallar la ecuación de la recta usaremos la fórmula 
 
𝑦 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
 
Bien, aquí nuestro objetivo no es ahora hallar la ecuación de la recta que pasa por (2; 4) y (3; 8) sino 
volver a la fórmula de la pendiente anterior 𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 y usarla para reemplazarla en la ecuación de la recta 
 
𝑦 = 𝒎. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
 
𝑦 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
 
¿Se ve? Es la misma fórmula excepto que se cambió la pendiente 𝑚 por la fórmula de la pendiente. 
Ok, entonces ahora tenemos la fórmula 
𝑦 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0 
 
Bien, todo esto lo hicimos para lo que sigue… 
En la deducción del teorema LA DERIVABILIDAD IMPLICA LA CONTINUIDAD de la página 12 del 
pdf aparece esta fórmula, apenas diferente. 
Si bien allí no se habla de esto, yo les agrego que esa fórmula que aparece como de la nada misma, me 
refiero a a siguiente expresión: 
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
 …no es otra cosa que la ecuación de una recta secante a la función en donde lo único que cambian son los 
nombres de los puntos. En este caso la recta secante S pasa por los puntos (𝑥; 𝑓(𝑥)) y (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) que son 
los que les marco en el gráfico: 
 
Si quisiésemos hallar la ecuación de esa recta secante, ¿cómo haríamos? 
Rta.: Tendríamos que calcular por un lado la pendiente con la fórmula correspondiente y luego reemplazar 
en la fórmula de la ecuación de una recta de pendiente y punto dados. 
Entonces, hagámoslo: 
Hallemos primero la pendiente de la recta secante S. 
Sabemos que nuestra recta pasamos por los puntos (𝑥; 𝑓(𝑥)) y (𝑥0; 𝑓(𝑥0)) entonces reemplazando en la 
fórmulade pendiente nos queda: 
𝑚 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
Recuerden que aquí los puntos en vez de llamarse (𝑥1; 𝑦1) y (𝑥2; 𝑦2) se llaman (𝑥; 𝑓(𝑥)) y (𝑥0; 𝑓(𝑥0)). 
Luego de esto usamos la fórmula para hallar la ecuación de una recta: 
𝑓(𝑥) = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
Y aquí está esa expresión con la que empieza el teorema. La explicación no dice lo que significa esa 
expresión, pero ahora lo saben. Esta expresión es la ecuación de la recta secante a la función que pasa 
por los puntos (𝑥; 𝑓(𝑥)) y (𝑥0; 𝑓(𝑥0)). 
𝒇(𝒙) =
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
. (𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒇(𝒙𝟎) 
_______________________________________________________________________________________ 
Bueno… además, luego de leer el teorema en el pdf hablamos del recíproco, contrario y contrarrecíproco. 
Aclaremos brevemente esto (lo amplían en el pdf) 
 
El teorema es el DIRECTO es: 𝑝 ⟹ 𝑞 se lee “p entonces q” “p implica q” 
 
El RECÍPROCO del teorema es: 𝑞 ⟹ 𝑝 
 
El CONTRARIO del teorema es: −𝑝 ⟹ −𝑞 se lee “no p entonces no q” “no p implica no q” 
 
El CONTRARRECÍPROCO del teorema sería el −𝑞 ⟹ −𝑝 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Este es el ejemplo que tienen en la página 13 del pdf para el Contrarrecíproco 
 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
Estudiamos la continuidad en 𝑥 = 3 
1°) 𝑓(3) = 2.3 + 1 = 7 
2°) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) 
Para calcular este límite hay que sacar los límites laterales 
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
(2𝑥 + 1) = 7 
𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
(2𝑥 − 5) = 1 
 
Luego 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 = 3 ya que en ese punto presenta una discontinuidad esencial de primer 
especie (salto finito). 
 
Según lo que afirma el contrarrecíproco del teorema Derivabilidad implica Continuidad sabemos que 𝑓(𝑥) 
no es derivable en 𝑥 = 3 . 
Pero es interesante comprobar esto. 
Para eso hallemos la derivada en 𝑥 = 3. 
𝑓(3) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) − 𝑓(3)
𝑥 − 3
 
 
En el límite debemos cambiar 𝑓(𝑥) por lo que corresponde, pero resulta que justamente, como la función 
cambia de tramos en 𝑥 = 3 y queremos calcular el límite cuando 𝑥 → 3 𝑓(𝑥) puede ser tanto 2𝑥 + 1 como 
2𝑥 − 5. Razón por la cual habrá que calcular los límites laterales: 
 
𝑓′(3−) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝒇(𝒙) − 𝑓(3)
𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
𝟐𝒙 + 𝟏 − 7
𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3−
2(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
= 2 
 
𝑓′(3+) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝒇(𝒙) − 𝑓(3)
𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
𝟐𝒙 − 𝟓 − 7
𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3+
2𝑥 − 12
𝑥 − 3
=
→ −6
→ 0+
= −∞ 
 
Ahora sí afirmamos, y se nota, que 𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥 = 3 pues las detrivadas laterales son distintas. 
Es lo que sabíamos que iba a pasar pero ahora lo pudimos comprobar a través de este ejercicio. 
 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Recuerden otra cosa más que se nombró en la clase: la clasificación de los puntos en función a la existencia 
o no de la derivada. Revisen y busquen esa clasificación 
• Punto Ordinario 
• Punto Anguloso 
• Punto de Inflexión 
• Punto Cuspidal