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MATERIA: MATEMÁTICA CURSO: 4º AÑO “C” 
 
Alumnos de 4º Año C, seguimos con esta modalidad de clases a distancia 
y recuerda: Quédate en casa, cuídate y cuida a los demás!!! 
 
 
CONSIGNAS: 
 Comenzamos un nuevo tema: Números Irracionales, que abarca nuestras 
clases de las próximas dos semanas, hasta el 11 de Mayo de 2020. 
 Recuerda que sobre los temas dados en cada entrega, tendrán que 
realizar trabajos prácticos, los cuales deberán enviar por mail cuando 
sean solicitados. 
 Para cualquier consulta les dejo mi mail: carloschiaretta2@gmail.com 
 No hay que mandar los ejercicios de esta actividad todavía. 
 Copia en la carpeta todo lo teórico y también representa gráficamente los 
números irracionales dados como ejemplos (usa una escala de 2cm por 
cada unidad). 
 Resuelve todos los ejercicios en la carpeta, luego de haber copiado la 
parte teórica y de haber interpretado la forma de resolución de cada tema. 
 Las hojas deben estar numeradas y tener apellido y nombre de ambos 
lados 
 
 
 
 
 
mailto:carloschiaretta2@gmail.com
Antes de comenzar a estudiar los números irracionales, vamos a repasar las 
propiedades de la potenciación y de la radicación, que nos serán muy útiles 
cuando tengamos que realizar operaciones con radicales. 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
En las siguientes propiedades, los ejemplos se resolverán aplicando y sin 
aplicar la propiedad correspondiente, para poder verificar que los resultados 
obtenidos son los mismos en ambos casos (con propiedad y sin propiedad). 
1) Producto de potencias de igual base: Se mantiene la base y se suman los 
exponentes. 
aaa
mnmn 
. 
Ejemplo: 22
32
. 
 
 
 
 
 
2) Cociente de potencias de igual base: Se mantiene la base y se restan los 
exponentes. 
aaa
mnmn 
:  0a  
 
Ejemplo: 22
35
: 
. 
 
 
 
 
 
 
 
sin propiedad con propiedad 
 
22
32
. 
 
 84. 
 
 32 
22
32
. 
 


2
32 
2
5 
 
32 
sin propiedad con propiedad 
 
22
35
: 
 
832 : 
 
4 
22
35
: 
 


2
35 
 
2
2 
 
4 
3) Potencia de otra potencia: Se mantiene la base y se multiplican los 
exponentes. 
  aa mn
mn . 
Ejemplo:  23
2
 
 
 . 
 
 
 
 
 4) Distributiva respecto a la multiplicación y división: La potenciación es 
distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con 
respecto a la suma ni a la resta. 
  Respecto a la multiplicación   baba nn
n
..  
 
Ejemplo:  43 2. 
 
 
 
 
 
 
 Respecto a la división   baba nn
n
::   0b  
 
 
 
Ejemplo:  312 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sin propiedad con propiedad 
 
  23
2
 
 
8
2 
 
 64 
  23
2
 
 
2
23 . 
 
2
6 
 
 64 
sin propiedad con propiedad 
 
  43 2. 
 
12
2 
 
 144 
  43 2. 
43
22
. 
 
169 . 
 
 144 
sin propiedad con propiedad 
 
  312 2: 
 
4
2 
 
16 
  312 2: 
 
312
22
: 
 
9144 : 
 
16 
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente 
fraccionario: n ma = a n
m
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
En las siguientes propiedades, los ejemplos se resolverán aplicando y sin 
aplicar la propiedad correspondiente, para poder verificar que los resultados 
obtenidos son los mismos en ambos casos (con propiedad y sin propiedad). 
1) Raíz de raíz: Se mantiene la base y se multiplican los índices: 
. 
m n a = 
nm a. 
Ejemplo: 
2 3 64 
 
 
 
 
 
 
 
2) Distributiva respecto a la multiplicación y división: La radicación es 
distributiva con respecto a la multiplicación y la división, pero no lo es con 
respecto a la suma ni a la resta. 
 Respecto a la multiplicación 
nn aba .  n b 
Ejemplo: 
2 49. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 2 6 ........,4494897432 =  6 2
1
........,4494897432 
b) 3 28 4 = 
 
48 3
2
 
c) .........,23112042403 29 
 =   ..........,23112042409 3
2

 
c) 3814  =   381 4
1
 
sin propiedad con propiedad 
 
2 3 64 
2 4 
2 
2 3 64 
6 64 
2 
sin propiedad con propiedad 
 
2 49. 
2 36 
6 
2 49. 
22 49 . 
23 . 
6 
 Respecto a la división 
nn aba : : 
n b 
 Ejemplo: 
2 1664 : 
 
 
 
 
3) Simplificación de índices: Se divide el índice y el exponente del radicando 
por un mismo número, distinto de cero. 
rn rmn m aa
: :  0r  
 Ejemplo: 
4 29 
 
 
 
 
4) Amplificación de índices: Se multiplica el índice y el exponente del 
radicando por un mismo número, distinto de cero. 
rn rmn m aa .
.
  0r  
 Ejemplo: 
3 2
8 
 
 
 
 
 
 
 
sin propiedad con propiedad 
 
2 1664 : 
2 4 
2 
2 1664 : 
22 1664 : 
48 : 
2 
sin propiedad con propiedad 
Dividimos por 2 al índice y al 
exponente del radicando. 
4
2
9 
4 81 
3 
4
2
9 
24
22
9:
:
 
2 9 
3 
sin propiedad con propiedad 
Multiplicamos por 2 al índice y 
al exponente del radicando 
3
2
8 
3 64 
4 
3
2
8 
23
22
8.
.
 
6
4
8 
6 4096 
4 
NÚMEROS IRRACIONALES 
 
 
 Irracionales 
Reales (R – Q) Fraccionarios 
 R Racionales 
 Q Enteros Enteros negativos 
 Z El cero (0) 
 Naturales (Enteros positivos) 
 N 
 
Como podemos ver en el diagrama el conjunto de los números reales (R) 
está formado por el conjunto de los números racionales (Q) y el de los 
números irracionales (R – Q). 
 
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el 
cociente entre dos números enteros. 
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o 
en forma decimal; una y otra designan exactamente el mismo número. 
La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras 
decimales, o es periódica. 
Ejemplos de números racionales: 
 
53
2
7
, ; 8
1
8
 ; 3828333332
6
17 ˆ,....,  ; 73777773
9
34 ˆ,.....  
 
253
4
13
, ; 4
5
20
 ; 6066660
3
2 ˆ,....  ; 231322221
90
119 ˆ....  
 
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados 
como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras 
decimales no periódicas, o sea que no existe ninguna fracción que de cómo 
resultado un número irracional 
Los números irracionales pueden ser de dos tipos: algebraicos o 
trascendentes. 
Ejemplos de números irracionales algebraicos: 
 
 
 
 
 
 
 
2 7 = 2,64575131106459… ………...(y sigue) 
 
3 9 = -2,0800838230519…………(y sigue) 
 
4 15 = 1,96798967126543…………(y sigue) 
 
5 625 = - 3,62389831838848……….(y sigue) 
Ejemplo de números irracionales trascendentes: 
 
Como podemos observar en los ejemplos de irracionales algebraicos, todas 
las raíces no exactas de números enteros, son números irracionales. 
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, 
siempreque esta tenga solución real. 
Es importante distinguir bien cuales son las partes de un radical 
 Símbolo radical 
 índice 
n a radicando 
 radical 
Por ejemplo: 
 
2 5  2 5 es el radical, 2 es el índice y 5 es el radicando 
 
3 8  
3 8 es el radical, 3 es el índice y 8 es el radicando 
 
2 13  
2 13 es el radical, 2 es el índice y 13 es el radicando 
 
Representación en la recta numérica de números irracionales: 
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. 
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el número irracional 
es de la forma 2 a , o sea que proviene de una raíz cuadrada no exacta, se 
debe recurrir al teorema de Pitágoras: CBA
222
 
 
 A C * El valor de la hipotenusa es A = 2 22 CB  
 
 B 
 Pi   = 3.141592653589793238462643……………..(y sigue) 
 Número de Euler  e = 2,718281828459045235…….(y sigue) 
 Número Áureo   = 1,61803398874989484820…….(y sigue) 
Representación de 2 2 = 1,4142135623731….. 
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos 
midan 1 (horizontal) y 1(vertical). El valor de la hipotenusa es: A = 2 22 11  = 
2 2 . Luego con un compás se inca en el punto 0, se abre con una abertura 
igual a la longitud de la hipotenusa obtenida (A), y dicha longitud se proyecta 
sobre la recta numérica como lo indica la línea de puntos. 
 
 1 
 A 2 2 
 
 0 1 2 2 2 
 Representación de 
2 3 = 1,73205080756888….. 
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 2 
(horizontal) y 1 (vertical), respectivamente. El valor de la hipotenusa es: 
A =  2 22 12 2  = 2 12 2 3 . Luego con un compás se inca en el punto 0, 
se abre con una abertura igual a la longitud de la hipotenusa obtenida (A), y 
dicha longitud se proyecta sobre la recta numérica como lo indica la línea de 
puntos. 
 
 1 
 A 2 3 
 
 0 1 2 2 2 3 2 
 Representación de 
2 5 = 2,23606797749979….. 
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 
2 (horizontal) y 1 (vertical), respectivamente. El valor de la hipotenusa es: 
A= 2 22 12  = 
2 14  = 2 5 . Luego con un compás se inca en el punto 0, 
se abre con una abertura igual a la longitud de la hipotenusa obtenida (A), y 
dicha longitud se proyecta sobre la recta numérica como lo indica la línea de 
puntos. 
La ubicación en la recta 
de 2 2 ya la habíamos 
obtenido anteriormente. 
 
 
 1 
 A 2 5 
 
 0 1 2 2 5 3 
 
Ejercicios: 
Represente en distintas rectas numéricas los siguientes números 
irracionales, usando una escala de 2cm por cada unidad. 
a) 
2 10 b) 
2 8 c) - 2 2