TFG_Ribera_Manzano

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Modelos Cosmológicos en el Marco de la Teoŕıa General de la
Relatividad
Autor: Pablo Ribera Manzano
Tutor: Francesc Fayos Vallés
Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona
Universitat Politècnica de Catalunya
Barcelona
20 de junio de 2016
Cuando considero la corta duración de mi vida, absorbida en la eternidad precedente y siguien-
te -memoria hospitis unius diei praetereuntis-, el pequeño espacio que ocupo e incluso que veo,
abismado en la infinita inmensidad de los espacios que ignoro y que me ignoran, me espanto y me
asombro de verme aqúı y no alĺı, porque no existe ninguna razón de estar aqúı y no alĺı, ahora y
no en otro tiempo. ¿Quién me ha puesto aqúı? ¿Por orden y voluntad de quién este lugar y este
tiempo han sido destinados a mı́?
PASCAL
2
Abstract
The objective of this work is to provide a detailed overview on relativistic cosmology: explain his
principles, the consequences that derive from these, describe the geometry of the large-scale structure
of the universe and its matter contents, infer the dynamic equations of the cosmos, establish which
are the parameters that determine the existence of solutions and analyze the properties of the
different possible solutions, represent the causal structure of the universe, etc.
But also include some of the observational data that we have in order to discern which are the
theoretical cosmological models that better represent reality. As well as talk about the standard Big
Bang model, about its shortcomings and contradictions, and about the need to continue working in
an area where much has been done but where there is still too much to do.
Resum
L’objectiu del treball és oferir una visió detallada sobre la cosmologia relativista: explicar els
seus principis, les conseqüències que d’aquests se’n deriven, descriure la geometria de l’estructura
a gran escala de l’univers i el seu contingut de matèria, arribar a deduir les equaciones dinàmiques
del cosmos, establir quins són els parámetres que determinen l’existència de solucions i analitzar
les propietats de les diferents possibles solucions, representar l’estructura causal de l’univers, etc.
Però també incloure algunes de les dades observacionals de les que es disposen per tal de discenir
quins són els models cosmològics teòrics que millor expliquen la realitat. Aix́ı com parlar sobre el
model estàndar del Big Bang, sobre les seves mancances i contradiccions i sobre la necessitat de
continuar treballant en un àmbit on s’ha fet molt però on queda encara molt per fer.
3
Índice
1. Introducción 6
2. Cosmoloǵıa relativista 9
2.1. La noche nos muestra el camino... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Los cimientos de la cosmoloǵıa relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. La métrica de los espaciotiempos de Friedmann-Lemâıtre-Robertson-Walker . . . . 14
2.3.1. Sistema de coordenadas “śıncrono” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2. El factor de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Cinemática. La ley de Hubble y el corrimiento al rojo cosmológico . . . . . . . . . 19
2.4.1. Expansión, distorsión, rotación y aceleración de una congruencia temporal.
Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2. Corrimiento al rojo cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Horizonte aparente y singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1. Horizonte aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2. Singularidades en los espaciotiempos de FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6. El tensor enerǵıa-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7. La ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8. La ecuación de continuidad y la primera ley de la termodinámica . . . . . . . . . . 26
2.9. La ecuación de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Modelos cosmológicos 32
3.1. Universos estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Modelos dinámicos y vaćıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1. Constante cosmológica nula (Λ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2. Constante cosmológica positiva (Λ > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3. Constante cosmológica negativa (Λ < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Modelos dinámicos sin constante cosmológica (Λ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Curvatura nula (k = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2. Curvatura positiva (k = +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3. Curvatura negativa (k = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Modelos de universo dinámicos con constante cosmológica (Λ ̸= 0) . . . . . . . . . 44
3.4.1. Curvatura nula (k = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2. Modelos no planos (k = ±1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. Estructura conforme 50
4.1. Universos vaćıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1. Espaciotiempo de Minkowski (C = 0,Λ = 0, k = 0) . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2. Universos de de Sitter (C = 0,Λ > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. Modelos sin constante cosmológica (Λ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1. Curvatura positiva (k = +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4
4.2.2. Curvatura nula (k = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3. Curvatura negativa (k = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Modelos con constante cosmológica (Λ ̸= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. Horizontes aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5. Cosmoloǵıa observacional 64
5.1. ¿Por qué la hipótesis de un universo monocomponente es insuficiente? . . . . . . . 64
5.2. La radiación de fondo de microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3. El papel de la constante cosmológica. La enerǵıa oscura . . . . . . . . . . . . . . . 69
6. El universo primitivo. La teoŕıa inflacionaria 73
6.1. Los ĺımites de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. La inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7. Conclusiones 78
8. Apéndice A. Espacios de curvatura constante 81
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2. Curvatura positiva (k = +1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3. Curvatura nula (k = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4. Curvatura negativa (k = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5. Estructura conforme del universo estático de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9. Apéndice B. Estudio pormenorizado de los horizontes aparentes y del signo
de las expansiones de las congruencias de geodésicas isótropas radiales en los
espaciotiempos de Friedmann-Lemâıtre-Robertson-Walker 89
9.1. Hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1.2. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.1.3. Caracterización de las coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.1.4. 2-superficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91
9.2. Espaciotiempos con simetŕıa esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.2. La coordenada areolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.3. Geodésicas isótropas radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.3. Espaciotiempos de Friedmann-Lemâıtre-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3.1. Condiciones de enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3.2. Horizontes aparentes en los espaciotiempos de FLRW . . . . . . . . . . . . 96
9.4. Clasificación de horizontes aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.4.1. Universos vaćıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.4.2. Universos sin constante cosmológica (Λ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.4.3. Universos con constante cosmológica positiva (Λ > 0) . . . . . . . . . . . . 100
9.4.4. Universos con constante cosmológica negativa (Λ < 0) . . . . . . . . . . . . 104
5
1. Introducción
No fue hasta el siglo pasado que se tuvo conciencia de que el universo se encontraba en evolución.
Hasta entonces la cosmoloǵıa, que es la disciplina de la f́ısica que se dedica a estudiar la estructura
dinámica de todo el cosmos, teńıa más que ver con un dogma de fe y con el esoterismo que con
una práctica cient́ıfica. Desde entonces el trabajo realizado al respecto no ha cesado en ningún
momento, y podŕıamos decir que se trata de un campo de investigación en auge.
¿Qué es lo que ha cambiado? ¿Por qué ahora śı y antes no?
Según la revista Time, el siglo XX “ha sido uno de los siglos más sorprendentes: inspirador,
espantoso a veces, fascinante siempre”. Y es que en tan sólo cien años ha habido tiempo suficien-
te para que sucedieran cambios importantes en la poĺıtica, en la sociedad, en la cultura, en la
tecnoloǵıa y en la ciencia, entre otros muchos ámbitos.
El siglo XX pasará a la historia por la Primera Guerra Mundial (1914−1918), por el Crac del 29,
por el ascenso y la consolidación de los fascismos, por la Segunda Guerra Mundial (1939 − 1945)
y la Guerra Fŕıa, o por la globalización y la homogeneización cultural, etc.; pero también por
la cursa espacial y la llegada del hombre a la Luna, por los descubrimientos revolucionarios en
medicina y bioloǵıa, por la aparición de la teoŕıa de la relatividad y de la mecánica cuántica, y por
el nacimiento de la informática y el preludio de la digitalización de la sociedad.
Cuando en 1964 dos investigadores de los Laboratorios Bell descubren sin quererlo el resplandor
del Big Bang,[1] se entra en un escenario completamente nuevo, porque se confirma la naturaleza
explosiva del origen del universo.
Este trabajo pretende hacer un estudio sobre los distintos modelos cosmológicos en el marco
de la Teoŕıa General de la Relatividad, que hoy en d́ıa es la herramienta teórica más potente
de la que se dispone para diseccionar la estructura a gran escala del universo. Esto no quiere
decir que no se pueda hacer un planteamiento clásico sobre el tema; es más, es factible realizar
un análisis puramente Newtoniano al respecto y su valoración debe ser positiva, porque se llega
con bastante facilidad a la ecuación en torno a la cual gira la dinámica de todo el cosmos: la
ecuación de Friedmann. Sin embargo, el principal problema que hay en este modo de proceder
tiene que ver con la profundidad de las ideas con las que se trabaja, que es más superficial, y
con la interpretación de algunos de los conceptos que aparecen, que es eqúıvoca. Por ejemplo, con
respecto al carácter del universo, sobre si es cerrado, plano o abierto, la geometŕıa diferencial
y el estudio de variedades de tres y cuatro dimensiones tienen mucho que decir, mientras que el
punto de vista clásico únicamente contempla la posibilidad de un escenario plano, o sea, de un
espacio Eucĺıdeo. Sobre estas cuestiones es de lo que trata el apéndice A.
Por los motivos que se acaban de exponer, y por razones de brevedad y śıntesis, se descarta
hacer un planteamiento clásico sobre la dinámica del universo en este trabajo.
El objetivo del trabajo, por lo tanto, es ofrecer una visión detallada sobre la cosmoloǵıa relati-
vista: explicar sus principios y las consecuencias de éstos, describir la geometŕıa de la estructura a
gran escala del universo y el contenido de materia del mismo, deducir las ecuaciones dinámicas del
6
cosmos, analizar la existencia y las propiedades de las soluciones y poder representar su estructura
causal global, etc. Pero también incorporar algunos de los datos observacionales de las distintas
misiones espaciales que se han llevado a cabo a lo largo de los últimos veinte años al respecto
con el fin de determinar cuáles son los modelos cosmológicos teóricos que mejor se adecúan a la
evidencia de la realidad. En parte, se trata de diferenciar éste de otros trabajos sobre cosmoloǵıa
por la unión de aspectos que en la mayoŕıa de ocasiones se tienen en cuenta por separado, y cuya
conjunción, siempre positiva, aporta algunos matices especialmente relevantes.
Es por ello que, salvo donde se indique lo contrario, se utilizan las unidades del sistema interna-
cional (SI) para poder relacionar con mayor facilidad ambas áreas de estudio; otra razón por la que
se ha pensado en el SI como la elección más conveniente es que éste permite mantener controladas
las dimensiones de las ecuaciones y de las identidades que aparecen a la largo del trabajo, ya que
las unidades geometrizadas, que son las que se suelen usar en un contexto relativista, “pierden”
por el camino la aportación dimensional de la velocidad de la luz y de la constante de gravita-
ción universal, por ser estas dos iguales a uno (c = 1, G = 1).1 No es un problema grave, porque
siempre pueden introducirse a posteriori en la expresión final, pero śı que hacen perder de vista
momentáneamente cuál es el carácter del concepto f́ısico al que hacen referencia.
En el apéndice B se recoge una parte importante de lo expuesto en [20] para realizar un estudio
del carácter de los horizontes aparentes en algunos de los espaciotiempos asociados a los distintos
modelos cosmológicos, aśı como de la expansión de sus dos familias de geodésicas isótropas radiales,
todo ello información relevante que se incluye en la representación gráfica de su estructura causal y
que sirve para poder hacerse una imagen más allá de la formalidad que exige el lenguaje matemático.
No pod́ıa faltar en este trabajo una parte dedicada a hablar sobre el modelo estándar del
Big Bang, acerca de las cuestiones a las que da respuesta y a las que no y en referencia a la
indeterminación, la incoherencia e incluso la contradicción que manifiesta ante ciertas realidades
f́ısicas; por lo tanto, sobre la necesidad de ahondar más en el análisis de los primeros compases de
vida del universo. Es aqúı donde se encuentra el principal obstáculo de la f́ısica actual: en traspasar
las fronteras del tiempo. Y es aqúı donde se están centrando grandes esfuerzos: en desarrollar nuevas
teoŕıas que sean capaces de cruzarlas. La teoŕıa inflacionaria es un ejemplo, pero hay más: una
teoŕıa cuántica de la gravitación, la teoŕıa del todo, la unificación y la ruptura espontánea de
simetŕıa, etc.
1En casi toda la bibliograf́ıa sobre cosmoloǵıa relativista consultada, por no decir en su totalidad, se emplean las
unidades geometrizadas, debido a su simplicidad. Sin embargo, cuando hay que analizar el significado de las distintas
partes constituyentes de una cierta igualdad f́ısica es verdad que pueden llegar a asaltarnos las dudas; por ejemplo,
podemos confundir sin quererlo las dimensiones de presión [p] = M L−1 T−2 con las de densidad [ρ] = M L−3:
p ∝ ρc2 en el SI y p ∝ ρ si las unidades sonlas geometrizadas. Y como éste otros muchos ejemplos. El análisis
dimensional es una fuente de información indispensable en un problema f́ısico, aśı que se ha créıdo oportuno tenerlo
en cuenta conservando las constantes f́ısicas fundamentales en las ecuaciones en la medida de lo posible.
7
Dicen que las preguntas son más importantes que las respuestas, y que muchas veces la mejor
respuesta a una pregunta es aquélla que tratando de responderla se hace una nueva pregunta. Aśı
pues, ¿cómo es la estructura a gran escala del universo?, ¿cuál es su evolución?, ¿por qué el cielo
es oscuro de noche?, cuando miramos el firmamento, ¿es todo lo que vemos todo lo que hay?, etc.
Quizás sea éste el único modo de ir hacia delante.
8
2. Cosmoloǵıa relativista
2.1. La noche nos muestra el camino...
Todos nosotros, en algún momento u otro de nuestra vida, habremos apartado la vista del suelo
y mirado hacia el cielo cuando era de noche. Y la sensación que habremos tenido es parecida a la de
alguien que se asoma al borde de un abismo. Pero de un abismo de negrura. No seŕıa raro pensar
que, motivados por esta impresión, la mayoŕıa de nosotros se haya hecho una pregunta infantil
pero completamente trascendental. ¿Por qué el cielo es oscuro de noche?
La concepción prerelativista del universo, impulsada en gran medida por Isaac Newton, era la
de una entidad inmutable, que no teńıa ni principio ni fin, tanto en lo referente al espacio como
en lo concerniente al tiempo, y que, por lo tanto, se pod́ıa catalogar de infinita, eterna y estática.
En dicho universo, el número de estrellas deb́ıa ser infinito también, porque, de no ser aśı, y si la
distribución de materia no se extendiera de manera ilimitada, el universo colapsaŕıa sobre śı mismo
a causa de la atracción gravitatoria.
Y es en este punto donde surge la contradicción. Tanto Edmund Halley primero, contemporáneo
de Newton, como Heinrich Olbers decenios después, repararon en un hecho contrastable a simple
vista: que la noche no es como el d́ıa que está bañado de luz, sino que en ella prevalece la tiniebla, y
que ello no guardaba ningún tipo de sentido con que el universo fuera tal y como lo hab́ıa imaginado
Newton. En un universo inmutable, infinito y eterno, el número interminable de estrellas provocaŕıa
que, cuando alzara la vista al cielo, mirase donde mirase, da igual desde dónde y hacia dónde, mi
ojo encontrase seguro una de ellas, y su luz, ya que el horizonte estaŕıa colmado por completo de
astros. Este argumento sirve aun cuando la distribución de estrellas no es uniforme, como Newton
créıa, y se produce en grupos de galaxias, y es conocido como la paradoja de Olbers.
El propio Olbers trató de dar una contestación que resolviera la paradoja, y planteó la idea de
que el espacio no era transparente, sino que estaba permeado por una especie de gas que absorb́ıa
la radiación. Con lo que no contaba Olbers, ya que en aquellos años aún se estaban desarrollando
muchas ideas al respecto, era con la termodinámica. Ahora sabemos que un cuerpo que recibe
radiación se calienta hasta alcanzar el equilibrio termodinámico, momento a partir del cual emite
la misma cantidad de radiación que recibe. Por más que ingenioso, éste tampoco era un alegato
que solventara la paradoja y cerrara diligencias.
El primero que dio una respuesta encaminada no fue, irońıas de la vida, ningún f́ısico, sino
el poeta y escritor Edgar Allan Poe, quien, en un alarde de intuición metaf́ısica, conjeturó la
posibilidad de que el universo observable fuera de un tamaño limitado, basandóse en el hecho que
la luz se propaga a una velocidad finita y en la hipótesis de que el universo no fuera infinitamente
viejo; concluyendo entonces que la luz proveniente de los objetos más lejanos todav́ıa estaba por
llegarnos.
La respuesta aceptada hoy en d́ıa a esa pregunta es un poco más compleja que la que dio
Allan Poe. La imagen de un universo invariable ha sido desechada y se ha sustitúıdo por la de
un universo que está en expansión. Una expasión que se produce, como más adelante veremos, a
9
escalas espaciales que escapan de nuestro entorno astronómico vecino, alĺı donde el universo ya no
entiende de estrellas (∼ 1 año luz), de galaxias (∼ 106 años luz), ni de grupos de galaxias (∼ 3×107
años luz); en regiones de órdenes iguales y superiores a los 108 años luz, y alĺı donde el universo se
presenta como una pasta (un continuo) de materia homogénea.[14]
Además de continuar vigente el argumento expuesto por Allan Poe, a éste se le tiene que
añadir el corrimiento al rojo cosmológico que sufren los fotones cuando viajan de un punto a otro
del universo como consecuencia del proceso de expansión al que éste se ve sometido. Fruto de ello
es que la luz que emana de estrellas y galaxias suficientemente lejanas, pierde tan considerable
cantidad de enerǵıa por el camino, que no contribuye al espectro visible, reduciendo de manera
significativa la densidad de radiación hasta alcanzar los niveles observados. Es decir, que ya porque
la luz simplemente no llega, o ya porque la que llega lo hace débilmente -a unas longitudes de onda
que no podemos ver las personas-, la noche está sujeta a la oscuridad.
Pero ¿en qué se gasta toda esa enerǵıa que pierden los fotones en su traveśıa cósmica? Pues
precisamente en realizar el trabajo de expansión del universo.[3] A lo que todav́ıa no se tienen
respuestas, o al menos no unas respuestas claras, convincentes y cerradas, son a diversas cuestiones
abiertas sobre la complexión del universo; en relación a la materia oscura y a su naturaleza,
referentes al papel de la constante cosmológica y a su v́ınculo con la enerǵıa oscura, y con respecto
a lo que pudiera pasar instantes después de la formación del universo, entre otras muchas.
Puede que muchas de estas preguntas ni siquiera tengan respuesta. Y no pasaŕıa nada si aśı
fuera. Pero lo que es seguro es que si la tienen no la encontraremos aqúı abajo, en la Tierra, sino
alĺı arriba, en el firmamento. Una vez más, la noche nos muestra el camino...
2.2. Los cimientos de la cosmoloǵıa relativista
Toda teoŕıa f́ısica debe basarse en una serie de principios, ideas o hipótesis que sirvan de
marco de referencia y que sinteticen en unas cuantas ĺıneas los rasgos esenciales de aquello que
precisamente pretende explicar. La cosmoloǵıa relativista, además de alzarse obviamente sobre
los cimientos dispuestos por la teoŕıa de la Relatividad, se sustenta en un par de axiomas más.
El más importante de ellos es el principio cosmológico, que coge las palabras homogeneidad e
isotroṕıa y las coloca como las dos propiedades fundamentales del universo a gran escala. El otro
es el postulado de Weyl, que modeliza el contenido a gran escala del universo identificándolo
con un fluido.
Al igual que la mayoŕıa de razonamientos brillantes, el principio cosmológico hace gala de su
sencillez. Y ésta es que, a una escala espacial suficientemente grande, el universo no tiene ni puntos
ni direcciones privilegiados. Traducido al lenguaje propio de la relatividad general, esto quiere decir
que podemos asumir la existencia de un tiempo cósmico t, y que, en cada una de las hipersuperficies
espaciales t=constante, el universo es homogéneo e isótropo. 2 Que una entidad f́ısica sea homogénea
2En f́ısica Newtoniana no hay ningún tipo de ambigüedad respecto al significado de la frase “en un determinado
instante de tiempo”. En relatividad especial hay cierta ambigüedad acerca de la idea de simultaneidad, pero una
vez se ha escogido un sistema de referencia inercial, ésta cobra sentido. Mas en relatividad general no hay sistemas
de referencia inerciales globales (a menos que el espaciotiempo sea plano), y el sentido de la locución “en un preciso
10
entraña que propiedades como la temperatura, la densidad o la presión sean iguales en cada uno
de sus puntos -invariantebajo traslaciones espaciales[5]-;3 mientras que el hecho que su naturaleza
sea isótropa conlleva que los gradientes de dichas propiedades sean iguales en cualquier dirección
-invariante bajo rotaciones espaciales[5].4 Es claro pensar pues que una variedad isótropa respecto
a un punto deba presentar simetŕıa esférica alrededor suyo.
Desde la vertiente formal y matemática, una variedad isótropa respecto a cada uno de sus puntos
(globalmente isótropa) es a su vez homogénea.[3] Por lo tanto, el principio cosmológico implica que
el espaciotiempo puede ser foliado en sucesivas hipersuperficies espaciales simétricamente esféricas
alrededor de cualquiera de sus puntos.
Por su parte, el postulado de Weyl toma forma a partir de una reflexión que a primera vista
resulta un tanto chocante: ¿cómo puede una teoŕıa que defiende la subjetividad del observador
explicar un sistema único como es el universo? La mejor respuesta que se puede dar es la más
intuitiva también, y es que el universo realmente es uno, pero se muestra de distintas formas
dependiendo del observador. Ésta es la esencia del principio general de covariancia. Diferentes
observadores leerán el universo en diferentes idiomas, por aśı decirlo, pero el principio de covariancia
nos garantiza la traducción entre ellos y nos asegura la invariancia del texto que hay detrás. La
invariancia de la leyes f́ısicas.
Sin embargo, este hecho no quita la necesidad de comprender cuál es el sentido de las coorde-
nadas que tomamos para describir la realidad, aśı como dónde y cuándo tienen vigencia. Esto es
lo que pasa cuando se intenta explicar la naturaleza de un agujero negro o de un agujero blanco
mediante las coordenadas de Schwarzschild. No se puede. Es indispensable hacer un cambio de
coordenadas adecuado -usando las planteadas por Eddington y Finkelstein- para poder entender
la f́ısica que encierran estos sistemas.
Hermann Weyl postuló en 1923 que existe una cierta clase de observadores “privilegiados”
desde los cuales podemos explicar la dinámica de la estructura a gran escala del universo. Estos
observadores se sitúan lejos del movimiento local de planetas, estrellas, e incluso galaxias, para
momento” se torna completamente difuso. Sin embargo, hay un concepto mucho más general que la sustituye: el de
una hipersuperficie espacial tres dimensional. Por cada evento sobre la hipersuperficie espacial hay un sistema de
referencia local de Lorentz cuya superficie de simultaneidad coincide localmente con la hipersuperficie; este sistema
de Lorentz es aquél cuya 4-velocidad es ortogonal a la hipersuperficie. El conjunto de sistemas de Lorentz locales
a lo largo de los distintos puntos de la hipersuperficie no constituyen un sistema de referencia global, pero sus
superficies de simultaneidad śı que conforman la hipersuperficie de simultaneidad global. Por lo tanto, puesto que
la propia hipersuperficie es en śı misma una definición de simultaneidad, o de lo que ésta quiere decir en el marco
de la relatividad general, la frase “en un determinado instante de tiempo”, en este contexto, se traduce por una en
la que no hay tanta intuición pero śı mucha más precisión: “en una determinada hipersuperficie espacial”.[14]
3La homogeneidad del universo implica que cualquier suceso del espaciotiempo es cruzado por una hipersuperficie
espacial de “homogeneidad”, queriendo decir esto que las condiciones f́ısicas en cualquier punto de esa hipersuperficie
seŕıan idénticas.[14]
4A diferencia del concepto de homogeneidad, evidente a simple vista, el de isotroṕıa necesita ser más concretado.
Indudablemente el universo no puede ser isótropo para todos los observadores. Únicamente un observador que se
esté moviendo con el fluido cosmológico lo advertirá como tal. Por lo tanto, el concepto de isotroṕıa queda ligado al
observador, y se puede resumir tal que: en cualquier evento del espaciotiempo, un observador que se esté moviendo
con el flujo de materia a gran escala no podrá distinguir una dirección espacial de las demás mediante ningún tipo
de medida f́ısica local.[14]
11
tener una panorámica mucho más amplia del conjunto -análogamente a un observador que, situado
en una isla en medio del océano, necesita ascender en altura para dejar de ver el oleaje que azota
las costas de la isla y empezar a vislumbrar el comportamiento global de las corrientes de agua-;
y se mueven de acuerdo con el flujo libre de irregularidades que efectúan la agrupaciones propias
del universo a gran escala. Hipótesis válida ya que el movimiento relativo en grupos de galaxias es
pequeño, o si más no, insignificante ante la corriente general.[3]
El adjetivo “privilegiados” se les atribuye porque, para un cierto punto del espaciotiempo, éstos
seŕıan los únicos observadores que contemplaŕıan el universo y lo veŕıan de forma isótropa; todos los
otros posibles observadores que pudiera haber en el mismo punto del espaciotiempo lo percibiŕıan
como anisótropo. Esta anisotroṕıa seŕıa debida al movimiento relativo de dichos observadores con
respecto a un fondo isótropo.[5]
¿Quiere decir esto que existe un espacio “absoluto” y que hay un sistema de referencia aven-
tajado, justamente aquél en reposo completo respecto al flujo cosmológico? Esta idea va en contra
de los postulados de la relatividad especial, según los cuales no hay movimiento absoluto como
tal. Una matización puramente f́ısica, y una reflexión más cercana a la metaf́ısica, para dar cierta
perspectiva.
Cabe recordar que la relatividad general es el marco más genérico y al cual debemos atener-
nos para discutir estas disquisiciones. Y uno de los principios de esta teoŕıa es la localidad de
los sistemas de referencia. No existe un único sistema de referencia que cubra la totalidad del
universo. De la misma manera que podemos definir un observador en reposo respecto al flujo de
materia a gran escala, adecuado para hacer una descripción cósmica del espaciotiempo, podemos
servirnos asimismo de observadores en reposo respecto a galaxias, estrellas o planetas para cubrir
zonas espećıficas del espaciotiempo; estando ambos tipos de observadores en reposo respecto a un
sistema de referencia arbitrario y, consecuentemente, en completa sintońıa con la premisas de la
relatividad.[1]
La reflexión de carácter filosófico tiene que ver con la propia condición del espacio y es el
principio de Mach, que Einstein tuvo muy presente a la hora de madurar la teoŕıa general de la
relatividad aunque no aparezca expĺıcitamente como uno de sus principios. Las cuestiones que en
él se abordan nacen de las siguientes preguntas: ¿cómo podemos distinguir un sistema de referencia
inercial de los demás?, ¿qué son las fuerzas inerciales?, y ¿cuál es su origen f́ısico? Las respuestas
que dan la mecánica de Newton y el principio de Mach son diametralmente opuestas.
Para Newton el espacio absoluto es una entidad que existe por ella misma. Un sistema de
referencia será inercial si el movimiento que realiza en dicho espacio es uniforme. Valiéndonos de un
experimento mental, materializamos el sistema de referencia (observador) en un cubo lleno de agua.
Si el observador es inercial la superficie de la última capa de agua se mantendrá completamente
plana, mientras que si ésta se inclina querrá decir que el observador está siendo acelerado; o si, por
añadidura, la superficie se curva de manera convexa, entonces concluiremos que el observador está
rotando. En todos los casos se trata de un movimiento, sea del tipo que sea (uniforme, acelerado, en
rotación, etc.), absoluto, que toma como fondo ese “espacio” que existe de manera independiente.
12
Según el planteamiento de Newton, los denominados efectos inerciales -manifestados en una
inclinación o curvatura de la superficie- seŕıan causados por el movimiento relativo del agua respecto
al espacio absoluto.
La interpretación hecha por Ernst Mach en 1983 escompletamente distinta, y sus conclusiones,
realmente audaces. Mach parte de la base que no existe el concepto de movimiento en śı mismo,
sino tan sólo el de movimiento relativo. Desde el punto de vista machiano, un cuerpo en un universo
por otra parte completamente vaćıo no podŕıa estar en movimiento alguno, ya que no tendŕıa nada
a que referenciarse, y, por lo tanto, no podŕıa presentar ninguna propiedad inercial. Ahora bien,
en un universo no vaćıo seŕıan las interacciones entre la materia que lo ocupa las causantes de los
llamados efectos inerciales, y un observador inercial seŕıa aquel que se moviera de manera uniforme
con respecto al desplazamiento promedio de la correspondiente distribución de materia. En el caso
de nuestro universo, un observador inercial según Mach debeŕıa estar en reposo o en movimiento
constante en relación a las estrellas fijas que se encuentran en la lejańıa.
Es decir, Mach está sustituyendo el espacio absoluto e independiente de Newton por la estrellas
fijas, idealizadas como un sistema ŕıgido. En palabras suyas: “Cuando... decimos que un cuerpo
mantiene constante su dirección y velocidad “en el espacio”, nuestro aserto es ni más ni menos que
una referencia abreviada “al universo entero” [...] Solamente en caso de destrucción del universo
aprendeŕıamos que “todos los cuerpos”, cada uno con su aporte, son de importancia en la ley de
la inercia”.[16] La lectura que hace Einstein de Mach va en el mismo sentido. Palabras del mismo
Einstein: “Esta (conclusión) presta plausabilidad a la conjetura de que la inercia “total” de un
punto material es un efecto debido a la presencia de todas las otras masas, debido a una cierta
interacción con éstas...”.[16] Y también: “En una teoŕıa de la relatividad consistente, no puede
haber inercia en relación al “espacio”, sino sólo una inercia entre masas. Por lo tanto, si tuviera
una masa a suficiente distancia de todas las demás masas en el universo, su inercia debeŕıa tender
a cero”.[6]
Tomando el punto de vista compartido por Mach y Einstein, concluiŕıamos que la distribución
de materia (enerǵıa) determina la geometŕıa del espaciotiempo; que sin materia no hay geometŕıa;
y que un cuerpo en un universo por lo demás vaćıo no posee propiedades inerciales.[3]
Por otra parte, esto ya se pod́ıa haber advertido analizando detenidamente las ecuaciones de
campo de Einstein:
Rµν −
1
2
Rgµν + Λgµν =
8πG
c4
Tµν
A la izquierda de la igualdad encontramos los términos que describen la geometŕıa del espacio-
tiempo, formados por el tensor de curvatura de Ricci Rµν , el tensor de curvatura escalar R, y la
métrica gµν .
5 A su vez, en el lado derecho localizamos el tensor enerǵıa-impulso Tµν , que es quien
5Se pueden compactar algo más teniendo en cuenta el tensor de Einstein y su definición:
Gµν = Rµν −
1
2
Rgµν ,
Gµν + Λgµν =
8πG
c4
Tµν .
Las dimensiones de las ecuaciones son de curvatura, o sea, de L−2.
13
recoge la información sobre la materia-enerǵıa del universo.6 Es evidente que si anulamos uno de
los dos bandos de la ecuación, el otro, forzosamente, también desaparece. No puede haber uno en
ausencia del otro. Espacio y materia son dos caras de la misma moneda.
Después de esta extensa reflexión es indefectible concretar de qué manera el postulado de Weyl
va a referirse a ese flujo de materia a gran escala. Dice éste: ((Las part́ıculas del sustrato descansan
en el espaciotiempo sobre geodésicas temporales que divergen de un punto en el pasado finito o
infinito)).[3]
El postulado requiere que las geodésicas no se crucen entre ellas, salvo en un punto singu-
lar situado en el pasado, o un posible punto de las mismas caracteŕısticas ubicado en el futuro.
Consecuencia de ello es que cualquier punto del espaciotiempo -sin considerar las eventuales sin-
gularidades pasadas o futuras- es ocupado por una única geodésica, y, por eso mismo, a él se le
pueden asociar una serie de propiedades (temperatura, densidad, presión, etc.).
El sustrato se equipara irremediablemente a un fluido perfecto.
2.3. La métrica de los espaciotiempos de Friedmann-Lemâıtre-Robertson-
Walker
2.3.1. Sistema de coordenadas “śıncrono”
Es el momento de poner nombre y apellidos a ese sistema de coordenadas especial que describe
el universo como una variedad isótropa, y para ello procederemos de acuerdo a lo expuesto en [10] y
[14].7 Para ello, escogemos una hipersuperficie de homogeneidad cualquiera S1, y a todos los eventos
que en ella residen les asignamos la misma coordenada temporal t1. A continuación extendemos
una “cuadŕıcula” de coordenadas espaciales (x1, x2, x3) sobre la hipersuperficie, y las propagamos
desde S1 hacia otras hipersuperficies de homogeneidad por todo el espaciotiempo. Cada una de
las sucesiones continuas e indefinidas de puntos resultantes de la propagación constituye una ĺınea
mundo del fluido cosmológico, y cualquier evento que ocurra en una misma ĺınea mundo tendrá las
mismas coordenadas espaciales (x1, x2, x3), aunque distinta coordenada temporal x0.8 Es decir, las
coordenadas espaciales son “comóviles” al flujo de materia a gran escala.
Ya que las hipersuperficies de homogeneidad corresponden a un valor de t=constante, la base
de vectores ∂/∂xi en cualquier evento ℘ es tangente a la pertinente hipersuperficie espacial que
lo cruza. A su vez, el vector ∂/∂t es tangente a la ĺınea mundo del fluido que pasa por ℘, hecho
obvio al estar estas lineas caracterizadas por unos valores constantes de las coordenadas espaciales
xi = constante. Por razones de ortogonalidad entre los observadores comóviles al flujo cosmológico
6Además de éste, otros nombres que se le dan son: tensor enerǵıa-momento, tensor esfuerzo-enerǵıa, e incluso,
tensor esfuerzo-enerǵıa-momento.
7En un universo isótropo, entendiéndolo como aquél para el cual tiene sentido la idea de “un observador moviéndo-
se de acuerdo al fluido cosmológico”, dicho observador notará que está en reposo relativo respecto a la hipersuperficie
de homogeneidad, y que, ya que no se mueve por dicha hipersuperficie, su ĺınea mundo, pensando este concepto
como la trayectoria del observador en el espaciotiempo, es ortogonal a ella.[14]
8La relación entre la coordenada temporal x0 y el tiempo cósmico t es directa: x0 = ct.
14
Figura 1: Representación de las hipersuperficies espaciales de homogeneidad y de las ĺıneas mundo
del fluido cosmológico.
y las hipersuperficies de homogeneidad
(∂/∂x0) · (∂/∂xi) = 0, i = 1, 2, 3 ⇒ g0i = 0 (1)
Otra propiedad importante es que la coordenada temporal t coincide con el tiempo propio que
se mide a lo largo de una cierta ĺınea mundo del fluido. O sea
u = uµ
∂
∂xµ
= u0
∂
∂x0
=
∂
∂t
⇒ g00 = −1 (2)
Donde u es la cuadrivelocidad del fluido cosmológico, que satisface uµuµ = −c2 al ser una curva
temporal.
Con todas estas condiciones ya podemos concretar un poco más qué forma tendrá la métrica
del espaciotiempo en cuestión
gαβ ≡ (∂/∂xα) · (∂/∂xβ)
ds2 = gαβdx
αdxβ = g00dx
0 + 2g0idx
0dxi + gijdx
idxj = −c2dt2 + gijdxidxj (3)
Cualquier sistema de coordenadas cuyo elemento de ĺınea tiene la forma anterior se dice que
es “śıncrono” por dos razones: 1) porque la coordenada temporal t mide el tiempo propio a lo
largo de las curvas xi constante (g00 = −1) y 2) porque las hipersuperficies t = constante son
(localmente) superficies de simultaneidad para los observadores que se identifican precisamen-
te con xi = constante (g0i = 0). Otro nombre que reciben es el de “Sistema de Coordenadas
Gaussiano”.[14]
2.3.2. El factor de expansión
La geometŕıa de cada una de las hipersuperficies espaciales de homogeneidad viene dada a
través de la métrica del espaciotiempo de acuerdo a
t = constante⇒ dt = 0 ⇒ dσ2 = gij(t, xk)dxidxj .
15
Sin embargo, el hecho que la parte puramente espacial de la métrica dependa (o pueda depender)
de la coordenada temporal nos está diciendo que no es suficiente con centrarel estudio en una
determinada hipersuperficie, sino que debemos extender el análisis al conjunto de ellas, y tener en
cuenta, por lo tanto, su posible evolución.
Siguiendo el planteamiento propuesto en [14], si nos fijamos primero en la hipersuperficie de
homogeneidad S1, a la cual le corresponde un valor del tiempo cósmico t = t1
hij(x
k) ≡ gij(t1, xk) (4)
y elegimos dos geodésicas del sustrato adyacentes A y B, con coordenadas espaciales (x1, x2, x3)
y (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3 + ∆x3), respectivamente, la distancia propia entre ellas cuando están
cruzando ambas la hipersuperficie S1 es
∆σ(t1) = (hij∆x
i∆xj)1/2 (5)
Un tiempo después, para otra hipersuperficie de homogeneidad, la distancia propia entre las
mismas geodésicas del fluido será: ∆σ(t) = (gij∆x
i∆xj)1/2. A partir de las distintas propiedades
del espaciotiempo, ¿se puede establecer una relación entre las dos distancias?
• La isotroṕıa del universo nos está diciendo que el cociente ∆σ(t)/∆σ(t1) no puede depender
de la dirección en el espacio que definan A y B al pasar por la sucesivas hipersuperficies
espaciales de homogeneidad.
• Debe ser independiente de la distancia propia entre las dos geodésicas cuando éstas se en-
cuentran en S1:
∆σ(t)
∆σ(t1)
=
(gij∆x
i∆xj)1/2
(hij∆xi∆xj)1/2
=
gij
hij
Da igual cuales sean los valores ∆xi (i = 1, 2, 3), que mientras se trate de pequeñas desvia-
ciones no influyen en el resultado.
• Y por último, la homogeneidad del universo nos asegura que el cociente entre las dos distancias
propias tampoco dependerá de la posición de las geodésicas en la hipersuperficie inicial, o
sea, de (x1, x2, x3).
La conjunción entre el segundo y el tercer argumento nos lleva a pensar que el hecho que
∆σ(t)/∆σ(t1) no dependa de la distancia propia ∆σ(t1) cuando las dos ĺıneas mundo son adya-
centes puede ser ampliado y llevado a la totalidad de la hipersuperficie espacial de homogeneidad;
es decir, que sea cual sea la distancia que separa las geodésicas, el factor que calcula la variación
relativa en la distancia entre ellas es el mismo. A este ratio espacialmente constante le damos el
nombre de “factor de expansión” o “factor de escala”:9
S(t) =
∆σ(t)
∆σ(t1)
(6)
Combinando las ecuaciones (5) y (6)
∆σ(t) = S(t)(hij(x
k)∆xi∆xj)1/2
9El factor de expansión definido de esta manera es adimensional: [S(t)]=1
16
De lo que se deriva que la parte puramente espacial de la métrica es
dσ2 = S2(t)hij(x
k)dxidxj
y la métrica de todo el espaciotiempo,
ds2 = −c2dt2 + S2(t)hij(xk)dxidxj (7)
Ahora de lo que se trata es de incorporar la geometŕıa de los 3-espacios de curvatura constante
estudiados con mayor detalle en el apéndice A en la anterior expresión
ds2 = −c2dt2 + S2(t)
(
1 +
K
4
r2
)−2
(dr2 + r2dΩ2) (8)
Finalmente, introducimos el parámetro de curvatura adimensional k, la coordenada adimensio-
nal r∗ y un nuevo factor de expansión reescalado a(t) que incorpora la información cuantitiva de
la variedad y cuyas dimensiones son de longitud ([a(t)] = L).[3]
a(t) =
S(t)
|K| 12
, K ̸= 0,
a(t) = S(t), K = 0.
ds2 = −c2dt2 + S
2(t)
|K|
(
1 +
k
4
r∗2
)−2
(dr∗2 + r∗2dΩ2)
Quitamos los asteriscos de la nueva coordenada r∗ → r por motivos de simplicidad y definimos
b(r) = 1 + k4 r
2
ds2 = −c2dt2 + a
2(t)
b2(r)
(dr2 + r2dΩ2) (9)
Y ésta es la métrica más general de los espaciotiempos cosmológicos homogéneos e isótropos;
la métrica de los espaciotiempos de Friedmann-Lemâıtre-Robertson Walker.10
Es importante hacer notar una cosa: cuando fijamos un valor para {t = t1, r = r1}, la métrica
del espaciotiempo induce la métrica habitual de una 2-esfera.
ds2 =
a2(t)
b2(r)
r2dΩ2
Pero la métrica de una esfera bidimensional puede ser completamente caracterizada por su área
total: A. Esto nos lleva a definir una función R, conocida como coordenada areolar, que se debe
entender en un contexto de simetŕıa esférica y cuyo valor indica precisamente el tamaño de la
2-esfera.11
ds2 = R2dΩ2, R ≡
√
A
4π
10A partir de ahora FLRW.
11Esto está expuesto con mayor detalle en el apéndice B y en [20] y será importante a la hora de definir los
conceptos de horizonte aparente y geodésicas isótropas “entrantes” y “salientes”.
17
Por lo tanto, podemos ver que en los espaciotiempos de FLRW la coordenada areolar es
R = r
a(t)
b(r)
Para finalizar, existe cierta confusión acerca de qué es lo que se está expandiendo exactamente
cuando se habla de “la expansión del universo”. Únicamente las distancias propias de la estructura
del universo a gran escala son las que se están expandiendo, porque es precisamente sobre una
hipótesis que tiene que ver con el carácter global del universo (homogeneidad e isotroṕıa) que se
extraen todas las demás conclusiones.
18
2.4. Cinemática. La ley de Hubble y el corrimiento al rojo cosmológico
El estudio de cantidades cinématicas en un contexto cosmológico es interesante sobre todo por
un par de razones: la primera es que permite obtener resultados y conclusiones importantes sin
necesidad de resolver las ecuaciones de campo de Einstein; la segunda es que dichas cantidades
son medibles observacionalmente, cosa que nos brinda la gran oportunidad de relacionar algunos
conceptos teóricos con la evidencia de la realidad.
En esta sección se sigue con bastante fidelidad lo expuesto en [12] y en [17] y se hace uso por
primera vez en el trabajo de las unidades geometrizadas (c = 1, G = 1).
ds2 = −dt2 + a
2(t)
b2(r)
(dr2 + r2dΩ2),
S(t) = |K|1/2a(t), K ̸= 0
2.4.1. Expansión, distorsión, rotación y aceleración de una congruencia temporal.
Ley de Hubble
Sea xα = xα(τ, λi) una congruencia temporal -es decir, una familia de curvas temporales tal
que por cada punto de V4 pasa una única curva de la congruencia. Cuando hablamos de tal tipo de
congruencias en un marco cosmológico estamos haciendo referencia impĺıcitamente al movimiento
del contenido del universo, representado por un fluido perfecto. Si τ es el parámetro tiempo propio
entonces uα(xβ) ≡ dx
α
dτ es un campo de vectores al que llamamos 4-velocidad.
Se definen el escalar de expansión θ, el tensor de distorsión σαβ , el tensor vorticidad ωαβ y el
vector aceleración ξα de acuerdo a
θ ≡ uα;α, (10)
σαβ ≡ hγαhδβu(γ;δ) −
θ
3
hαβ , hαβ ≡ gαβ + uαuβ , (11)
ωαβ ≡ hγαhδβu[γ;δ], (12)
ξα ≡ uα;βuβ , (13)
donde u(γ;δ) =
1
2 (uγ;δ + uδ;γ) y u[γ;δ] =
1
2 (uγ;δ − uδ;γ). Atendiendo al postulado de Weyl, la
congruencia de curvas temporales que constituye el sustrato cósmico es geodésica, aśı que su vector
aceleración es nulo: ξα ≡ uα;βuβ = 0.
¿Cuál es la interpretación f́ısica de estas cantidades cinemáticas? Pues bien, la expansión θ
transformaŕıa una “esfera de fluido” en otra similar pero de distinto volumen, la distorsión σαβ
cogeŕıa la misma esfera y dejando el volumen intacto alteraŕıa su geometŕıa transformándola de esta
manera en algo distinto a una esfera, como por ejemplo un elipsoide, mientras que la vorticidad, o
rotación, tomaŕıa una dirección en el espacio y haŕıa rotar dicha esfera alrededor suyo.
Haciendo los cálculos pertinentes no es dif́ıcil comprobar que satisfacen las siguientes propie-
19
dades:
σαβ = σβα, ωαβ = −ωβα, (14)
σαβu
β = ωαβu
β = ξαu
α = σαα = 0, (15)
uα;β =
θ
3
hαβ + σαβ + ωαβ − ξαuβ (16)
Si consideramos ahora el vector desviación (al primer orden) ηα(τ, λi, dλi)
ηα ≡ xα(τ, λi + dλi)− xα(τ, λi) = ∂x
α
∂λi
dλi (17)
podemos definir la posición y velocidad propia (relativas a la curva)
dα ≡ hαβηβ = d nα, dα = d nα (18)
vα ≡ hαβ
Ddβ
Dτ
(19)
donde DDτ denota la derivada covariante a lo largo de la curva en cuestión (
Ddα
Dτ ≡
ddα
dτ +
Γαβγd
βuγ), d representa la distancia en el 3-espacio ortogonal a uα (distancia propia) y nα determina
la dirección en ese 3-espacio (nαnα = 1).
Manipulando las ecuaciones (14)-(19)
1
d
dd
dτ
=
θ
3
+ σαβn
αnβ , (20)
hαβ
Dnβ
Dτ
= (ωαβ + σαβ − gαβσγδnγnδ)nβ (21)
Estas dos ecuaciones, (20) y (21), nos sirven para deducir unaexpresión para la velocidad
relativa
vα = d
(
θ
3
nα + σαβn
β + ωαβn
β
)
(22)
Aunque pareza que la expresión anterior es bastante sintética, todav́ıa se puede condensar más
si tenemos en cuenta
ωαβn
αnβ = 0,
y que
vn = v
αnα = d
(
θ
3
nαnα + σ
α
βn
βnα + ω
α
βn
βnα
)
= d
(
θ
3
+ σαβn
αnβ
)
Donde lo que se obtiene es la ley de Hubble generalizada
vn
d
= H + σαβn
αnβ , H ≡ θ
3
(23)
Es completamente lógico que (23) dependa de la expansión y de la distorsión pero no de la
vorticidad, porque la vorticidad, a diferencia de la expansión y de la distorsión, no modifica la
distancia entre los puntos situados en la superficie de una esfera y su centro. H = H(xα) es la
función (o parámetro) de Hubble. Cuando particularizamos para el caso del movimiento geodésico
del sustrato cósmico {uα = (1, 0, 0, 0) y ds2 = −dt2 + a2(t)/b2(r)(dr2 + r2dΩ2)}, entonces tanto
20
la rotación como la distorsión son nulas (ωαβ = 0, σαβ = 0), y el único factor que sobrevive es la
expansión.
vn = H d (24)
Y ésta última es la expresión de la ley de Hubble más conocida, según la cual las part́ıculas del
fluido cosmológico receden (si H > 0) respecto de cualquier observador identificado con cualquier
otra part́ıcula del fluido con una velocidad propia proporcional a su distancia propia. ¿Quiere
decir esto que una galaxia suficientemente lejana puede receder a una velocidad mayor que la de
la luz? ¿No está esto en contradicción con la relatividad especial? Se trata de una interpretación
incorrecta, o incompleta, de la teoŕıa. El marco al cual debemos atenernos es la relatividad general,
y en ella se recoge la localidad de los sistemas de referencia: las galaxias que se están alejando
a velocidades superlumı́nicas están en reposo localmente. Por lo tanto, más que hablar de un
movimiento de recesión de planetas, estrellas, galaxias o fotones, debemos entender la expansión
como un movimiento de recesión del propio espacio.[2]
La forma concreta del escalar de expansión para la métrica de un espaciotiempo de FLRW es12
θ = 3
ȧ
a
(25)
Por lo que el parámetro de Hubble puede reescribirse como
H(t) =
ȧ(t)
a(t)
(26)
2.4.2. Corrimiento al rojo cosmológico
En el marco de la relatividad general es frecuente hablar de tres tipos de redshift :
a) Doppler redshift
b) resdhift gravitatorio
c) redshift cosmológico
Los casos a) y b) son debidos a una causa local: puramente cinemática en a), como consecuencia
de la velocidad relativa entre emisor y receptor, y dinámica en b), por la presencia de una masa
local y el campo gravitatorio asociado. En cambio, el caso c) es debido a una causa global: el
efecto del campo gravitatorio resultante de la interacción de todo el universo.
Supongamos que tanto emisor como observador no se mueven con respecto al contenido a gran
escala del universo13
xαe = {te, re = 0, θe = 0, ϕe = 0}
xαobs = {tobs, robs = constante, θobs = 0, ϕobs = 0}
uie = u
i
obs = 0
12No hay que confundir esta expresión de la expansión, que se refiere a las geodésicas temporales del sustrato, con
la expresión que más adelante saldrá acerca de la expansión de las geodésicas isótropas radiales, o sea, de los rayos
de luz.
13Por la homogeneidad e isotroṕıa del universo podemos asumir (θ = 0, ϕ = 0) sin perder ningún tipo de genera-
lidad.
21
Sabemos que uαuα = −1
uαgαβu
β = −1
u0g00u
0 + 2g0iu
0ui + giju
iuj = −1
{ui = 0, g0i = 0, g00 = −1}
g00(u
0)2 = −1
u0 = (g00)
− 12 = 1 ⇒
⇒ uαe = uαobs = δα0 ⇒ u =
∂
∂t
Se define la frecuencia medida por un observador como[10]
−ω = kαuα, (27)
donde kα es la 4-velocidad del rayo de luz. Cuando kα es el vector tangente a la geodésica isótropa
que conecta emisor con receptor: kα = {k0, kr, kθ = 0, kϕ = 0}.
kαkα = 0
kαgαβk
β = 0
−(k0)2 + S(t)
b(r)
(kr)2 = 0 ⇒
⇒ k0 = ±S(t)
b(r)
kr
Escogemos el signo positivo +
k0 =
S(t)
b(r)
kr ⇒ k0 = g0αkα = −k0
y lo introducimos en la ecuación
z =
∆ω
ωe
=
ωobs − ωe
ωe
= −kαu
α
obs − kαuαe
kαuαe
= −k0|obs − k0|e
k0|e
=
S(tobs)
b(robs)
− S(te)b(re)
S(te)
b(re)
{b(re = 0) = 1}
=
S(tobs)
S(te)b(robs)
− 1
Si k = 0 ⇒ b(r) = 114
1 + z =
λobs
λe
=
S(tobs)
S(te)
(28)
Y ésta es la expresión del corrimiento al rojo cosmológico.
14En buena medida cualquier espacio de curvatura constante puede aproximarse como plano cerca del origen de
coordenadas, y si la magnitud de la curvatura no es muy elevada la aproximación puede extenderse bastante más
allá de su entorno más próximo.
22
2.5. Horizonte aparente y singularidades
Las cuestiones que se exponen en este apartado se recogen en el apéndice B y están basadas en
[17] y [20].
2.5.1. Horizonte aparente
Un espaciotiempo con simetŕıa esférica posee dos familias de geodésicas isótropas especiales:
aquéllas que cortan de manera ortogonal las 2-esferas de simetŕıa, conocidas como geodésicas isótro-
pas radiales. Para distinguir una congruencia de la otra, emplearemos el adjetivo entrantes para los
rayos de luz cuya trayectoria en el espaciotiempo debiera implicar una disminución en la coorde-
nada areolar R, es decir, para las geodésicas que debieran tener expansión negativa; mientras que
el término salientes se aplicará a los rayos de luz cuya progresión debiera significar un aumento en
la coordenada areolar y, en consecuencia, una expansión positiva.
Si se emplea el subjuntivo es porque puede darse el caso que el signo de las expansiones de
ambas familias de geodésicas, aunque se muevan en sentidos contrarios, sea el mismo. Si esto
sucede, el horizonte aparente (HA) es quien separa la región del espaciotiempo en la cual ambas
expansiones tienen el mismo signo de la región en la cual tienen signo contrario, y se define como
la hipersuperficie para la que la expansión de alguna de las dos familias de geodésicas se hace cero.
Sean κ1 y κ2 las expansiones de estas dos congruencias, entonces su producto es[4]
κ1κ2 = −
χ
2R2
, χ ≡ gµν∂µR∂νR
Por lo tanto, el signo de las expansiones es el mismo alĺı donde χ < 0, contrario en χ > 0, y el
horizonte aparente corresponde a χ = 0.
2.5.2. Singularidades en los espaciotiempos de FLRW
¿Qué pasa si el factor de expansión a de alguna solución de FLRW se hace cero (a = 0) para
algún t?
Siempre podremos redefinir la coordenada temporal t′ = t+ constante, aśı que por cuestiones
prácticas asumiremos que el valor del tiempo para el cual el factor de escala se anula es cero:
a(t = 0) = 0. Aunque la forma del elemento de ĺınea (9) parece sugerir la existencia de una
singularidad cuando a = 0, para dilucidarlo es necesario determinar si alguno de los escalares
de curvatura, obtenidos del tensor de Riemann, diverge para t = 0. Se tratará de una verdadera
singularidad si, y sólo si, alguno de ellos lo hace.
Por ejemplo, del cálculo del escalar de curvatura
R ≡ gαγgβδRαβγδ =
6
c2a2
(kc2 + ȧ2 + aä)
se obtiene que t = 0 será una auténtica singularidad si k = +1, 0. Por su parte, si k = −1, t = 0
será también una singularidad salvo que el factor de expansión a(t) = ct + a3t
3 + O(t4), con
a3 = constante. En este caso ninguno de los escalares de curvatura diverge.
Habrá que tener, por lo tanto, especial cuidado con los modelos cuya curvatura sea negativa
(k = −1).
23
2.6. El tensor enerǵıa-impulso
El contenido de materia del universo a gran escala, tal y como apunta el postulado de Weyl,
puede equipararse al de un fluido perfecto. Es decir, se modeliza como un continuo aún sabiendo
que las part́ıculas que lo componen tienen una estructura interna y una naturaleza diferentes, ya
que están formadas por grupos de galaxias que se encuentran a una cierta distancia entre ellos y
que, a su vez, dependiendo de si se trata de un pequeña agrupación o de una superagrupación,
pueden estar constitúıdos por decenas, centenares o miles de galaxias, etc.;[14] y aśı hasta llegar
a la escala de las estrellas y de los respectivos cuerpos celestes que orbitan alrededor suyo. Unsistema discreto que en su conjunto se ve como un continuo. Nada nuevo, porque es exactamente
lo mismo que pasa con un gas.
El tensor enerǵıa-impulso de un fluido perfecto con presión isotrópica se puede representar
como:15
Tµν =
(
ρ+
p
c2
)
uµuν + pgµν (29)
Donde uµ es la 4-velocidad del fluido con respecto al observador que lo describe. En el caso que
nos atañe este observador es aquél que corta las hipersuperficies de homogeneidad ortogonalmente
y para el cual el universo es totalmente isótropo, aquél comóvil al flujo de materia a gran escala y
para el que, en su entorno astronómico vecino, las galaxias tienen un movimiento promedio nulo.
Queda claro entonces que la 4-velocidad es en este caso: uµ = (c, 0, 0, 0).
Por su parte, la densidad de mateŕıa-enerǵıa ρ incluye tanto la enerǵıa en reposo como la
enerǵıa cinética de las galaxias por unidad de volumen, mientras que la presión p hace referencia a
la fuerza por unidad de superficie que ejercen las galaxias debido a su enerǵıa cinética[14].16 Debido
a la homogeneidad del universo, ni la densidad ni la presión pueden depender de las coordenadas
espaciales (x1, x2, x3), únicamente son función de la coordenada temporal t. Por lo tanto: ρ = ρ(t)
y p = p(t). Más adelante veremos como podemos relacionar ambas propiedades a través de una
ecuación de estado de la forma p = p(ρ). Es lo que se conoce como un fluido barotrópico.
2.7. La ecuación de estado
Hemos visto cuál es el tensor enerǵıa-impulso que se origina a partir del principio cosmológico
y del postulado de Weyl
• Postulado de Weyl → tensor enerǵıa-momento de un fluido
• Homogeneidad (principio cosmológico) → densidades y presiones funciones únicamente del
tiempo cósmico
• Isotroṕıa (principio cosmológico) → observador cuyo tiempo propio coincide con el tiempo
cósmico,
15La condicición de presión isotrópica nace del hecho que debe haber simetŕıa esférica y que, por lo tanto, no
existen direcciones privilegiadas.
16La enerǵıa cinética a la que se hace mención aqúı no es la resultante de hacer el promedio de velocidades, porque,
obviamente, ésta es cero debido a que el observador no se mueve respecto al flujo general, sino que se trata de la
enerǵıa cinética interna del “gas” de galaxias.
24
pero todav́ıa nos falta imponer una serie de condiciones para que las densidades y las presiones sean
f́ısicamente razonables. Es por ello que se asume que el fluido tiene una densidad de materia-enerǵıa
no negativa ρ(t) ≥ 0 y que cumple una ecuación de estado lineal p = (γ − 1)ρc2.17
El caso más simple sucede cuando la presión es nula (γ = 1), con lo que tenemos materia “en
polvo”, que modeliza el posible comportamiento de la materia bariónica y de la materia oscura. Se
sobreentiende que en ambas situaciones la materia que compone el universo no interactúa entre ella,
ya que su velocidad relativa es negligible, y de ah́ı el hecho que p = 0. Un segundo caso relevante
es aquel en que p = 13ρc
2 (γ = 4/3), que responde a un universo dominado por la radiación. En el
fondo busca representar la situación f́ısica que provocaŕıan tanto los fotones, que no tienen masa,
como aquellas part́ıculas cuya enerǵıa cinética excede en órdenes de magnitud su enerǵıa en reposo,
por lo que pueden considerarse pura radiación. Es el contrapunto al primer caso, en el cual toda la
enerǵıa de las part́ıculas era precisamente debida a su masa. Con esto cubriŕıamos con suficiencia
el espectro de posibilidades referente a la ecuación de estado 0 ≤ p(t) ≤ 13ρ(t)c
2. Desde el caso
no relativista (γ = 1) al ultrarelativista (γ = 4/3). Pero debido a su interés formal inclúımos en
este trabajo el caso p = ρc2 (γ = 2), que corresponde a un fluido en unas condiciones extremas
-seguramente fuera del abanico de condiciones f́ısicas posibles- y en el cual la velocidad del sonido
es exactamente la misma que la de la luz.[5]
Aunque resulte un poco chocante y contraintuitivo, existe otro caso donde la presión es negativa
y depende de la densidad de materia-enerǵıa de acuerdo a p = −ρc2. Sin embargo, no es necesario
ampliar el rango de 1 ≤ γ ≤ 2, ya que para analizar este caso es suficiente con incluir la constante
cosmológica en las ecuaciones de campo de Einstein. Sin ella las ecuaciones de la relatividad general
se reducen a
Gµν =
8πG
c4
Tµν (30)
En esta coyuntura, el tensor enerǵıa-momento Tµν = (ρ+
p
c2 )uµuν + pgµν , con las respectivas
densidades y presiones que lo configuran, modeliza el comportamiento de la materia que tiene
ecuación de estado p = (γ − 1)ρc2, γ ∈ [1, 2]. En cambio, si se incorpora al análisis la constante
cosmológica
Gµν + Λgµν =
8πG
c4
Tµν (31)
Y sólo hace falta pasar el término donde aparece la constante cosmológica al otro lado de la
ecuación para darse cuenta de que puede considerarse como una parte constituyente del tensor
esfuerzo-enerǵıa[5]:18
Gµν =
8πG
c4
Tµν − Λgµν
Gµν =
8πG
c4
[(
ρ+
p
c2
)
uµuν + pgµν
]
− Λgµν
17Sabemos por la ecuación relativista E = mc2 que la materia y la enerǵıa son dos entidades f́ısicas equivalentes.
Es por eso que definimos una densidad de materia-enerǵıa.
18Una demostración más de que materia y geometŕıa no son dos realidades separables e independientes.
25
Gµν =
8πG
c4
([(
ρ+
Λc2
8πG
)
+
1
c2
(
p− Λc
4
8πG
)]
uµuν +
(
p− Λc
4
8πG
)
gµν
)
ρ′ ≡ ρ+ Λc
2
8πG
, p′ ≡ p− Λc
4
8πG
Gµν =
8πG
c4
[(
ρ′ +
p′
c2
)
uµuν + p
′gµν
]
Gµν =
8πG
c4
T ′µν
Con este “nuevo” tensor enerǵıa-impulso estamos contemplando ya todo el espectro de materia
(enerǵıa) que tiene una densidad y una presión que satisfacen la ecuación de estado p′ = (γ −
1)ρ′c2, γ ∈ [0, 2]. De todos modos, a lo largo del trabajo, en la mayoŕıa de aspectos referentes
al desarrollo de los distintos modelos cosmológicos, se hace uso de las ecuaciones de campo que
incluyen la constante cosmológica como un término separado. Únicamente cuando se elabora un
estudio pormenorizado de los horizontes aparentes y de las expansiones de las congruencias de
geodésicas isótropas radiales en los diversos espaciotiempos de FLRW se utilizan las ecuaciones con
la constante cosmológica acoplada al tensor enerǵıa-impulso y, por consiguiente, con las densidades
y las presiones cambiadas, puramente por una cuestión práctica.
Pero ¿cuál es la ı́ndole de la entidad f́ısica que exhibe un comportamiento tan contrario a la
intuición?, y ¿es f́ısicamente factible encontrar en la naturaleza una distribución de materia-enerǵıa
que se ajuste a la ecuación de estado pΛ = −ρΛc2, o lo que es lo mismo, que justifique la presencia
de la constante cosmológica en las ecuaciones de la relatividad general?19 Pues bien: detrás de la
constante cosmológica se podŕıa encontrar la enerǵıa oscura, que se piensa que es la responsable de
alrededor el 68% de toda la enerǵıa que compone el universo observable. Pero la cosa no se queda
ah́ı, porque la materia oscura se estima que es la causante de entorno al 85% de la densidad de
enerǵıa del porcentaje restante; o sea, de un 27% del total, aproximadamente. Por lo que, aquello
que catalogaŕıamos de “materia ordinaria” (bariónica), sólo contribuye en un 5% del total, siendo
además un pequeño porcentaje del conjunto que incluye todas las formas de materia posibles.[1]
2.8. La ecuación de continuidad y la primera ley de la termodinámica
El tensor de curvatura de Riemann satisface una serie de identitades diferenciales que reciben
el nombre de identidades de Bianchi:
Rδεβγ;α +Rδεγα;β +Rδεαβ;γ ≡ 0 (32)
Pero ésta no es la única forma que pueden tomar, ya que a partir del tensor de Einstein se
deriva una versión contráıda de las mismas:
Gβα;β ≡ 0 (33)
19En el caso de anular las densidades y presiones estándares (ρ, p) nos queda: ρΛ =
Λc2
8πG
, pΛ = −ρΛc2 = − Λc
4
8πG
.
26
¿Qué pasa si tenemos en cuenta esta propiedad en las ecuaciones de campo de Einstein? ¿Le
ocurre algo parecido al tensorenerǵıa-impulso?20
(Gαβ + Λgαβ);β = 0 ⇒ Tαβ ;β = 0 (34)
Puesto que hemos modelizado el contenido de materia del universo cosmológico como un fluido
perfecto, a partir de su tensor enerǵıa-momento podemos extraer más conclusiones.
Tαβ =
(
ρ+
p
c2
)
uαuβ + pgαβ
Tαβ ;βuα = 0 ⇒ ρ;βuβ +
(
ρ+
p
c2
)
uβ;β = 0
Esta última ecuación es la generalización de la ecuación de continuidad para un fluido cuando
éste presenta efectos relativistas y está inmerso en un espaciotiempo cualquiera.21 Si desarrollamos
todav́ıa más esta expresión lo que obtenemos es algo realmente sintético.
ρ = ρ(t) ⇒ ρ;βuβ =
dρ
dt
= ρ̇,
uβ;β =
1√
−det(g)
(
√
−det(g)uβ),β ⇒ uβ;β = 3
1
a
da
dt
= 3
ȧ
a
,
ρ;βu
β +
(
ρ+
p
c2
)
uβ;β = 0 ⇒
⇒ ρ̇+ 3
(
ρ+
p
c2
) ȧ
a
= 0 (35)
Podemos reescribir la ecuación (35) tal que
c2a3
[
ρ̇+ 3
(
ρ+
p
c2
) ȧ
a
]
= 0 ⇒ ρ̇c2a3 + 3ρc2a2ȧ+ 3pa2ȧ = 0
d
dt
(ρc2a3) + p
da3
dt
= 0
V ∼ a3(t) ⇒ E ∼ ρc2a3
dE
dt
+ p
dV
dt
= 0
dE + pdV = 0 (36)
La ecuación (36) es la primera ley de la termodinámica, o la ecuación de conservación de la
enerǵıa.22
20El tensor esfuerzo-enerǵıa-momento que resulta de pasar la constante cosmológica al otro lado e incluir en las
densidades y presiones los efectos de la enerǵıa oscura cumple exactamente la misma propiedad que se deriva a
continuación para el tensor “ordinario”: gαβ;γ = 0.
21Cuando consideramos el caso de un espaciotiempo plano, es decir, en el contexto de la relatividad especial, la
anterior ecuación se reduce a que la 4-corriente Jα = (ρc, jx, jy , jz) tiene divergencia nula: Jα,α = 0. Yendo todav́ıa
un paso más allá, y anulando también los posibles efectos relativistas, uno encuentra la expresión clásica de la
ecuación de continuidad: ∇ · −→j + ∂ρ
∂t
= 0.
22La primera ley de la termodinámica dice que, cuando un sistema se está expandiendo en un proceso cuasiestático,
la variación en la enerǵıa interna del mismo, dE, depende del trabajo hecho por el sistema, pdV , y del calor aportado
o extráıdo, δQ: dE = δQ− pdV . En el caso del universo estamos ante un sistema aislado, por lo que la transferencia
de calor ha de ser exactamente cero: δQ = 0. Hecho que nos lleva directamente a la ecuación (36).
27
A partir de la ecuación (35) y del modelo de fluido barotrópico p = (γ−1)ρc2 se puede encontrar
una relación entre la densidad de materia y el factor de expansión.
ρ̇+ 3[ρ+ (γ − 1)ρ] ȧ
a
= 0
a3γ
(
ρ̇+ 3{ρ+ (γ − 1)ρ} ȧ
a
)
= 0 ⇒ ρ̇a3γ + 3γρȧa3γ−1 = 0
d
dt
(ρa3γ) ⇒
⇒ ρa3γ = constante (37)
2.9. La ecuación de Friedmann
Una vez tenemos el tensor enerǵıa-momento del fluido cosmológico y la métrica de los espa-
ciotiempos de FLRW, basta con introducir ambos elementos en las ecuaciones de campo de la
relatividad general para obtener la dinámica del problema; o sea, para encontrar las ecuaciones
que controlan la evolución del factor de escala cósmico a(t).
ȧ2
a2
=
8πG
3
ρ− kc
2
a2
+
Λc2
3
, (38)
ä
a
=
Λc2
2
− 4πG
c2
p− 1
2
(
ȧ2
a2
+
kc2
a2
)
(39)
En la ecuación (38) aparecen hasta derivadas primeras: se trata de una ecuación energética
del fluido.23En cambio, en la ecuación (39) encontramos derivadas de hasta segundo orden: es una
ecuación del movimiento. No es dif́ıcil demostrar que el cumplimiento de las ecuación (35) y (38)
implica el cumplimiento automático de la ecuación (39).
8πG
3
ρ =
ȧ2
a2
+
kc2
a2
− Λc
2
3
⇒ 8πG
3
ρ̇ = 2
(
ȧä
a2
− ȧ
3
a3
− kc
2ȧ
a3
)
ρ̇+ 3
(
ρ+
p
c2
) ȧ
a
= 0 ⇒ 8πG
3
ρ̇+ 8πG
(
ρ+
p
c2
) ȧ
a
= 0
23A partir de la ecuación (38):
8πG
3
(
ρ+
Λc2
8πG
)
=
8πG
3
ρ′ =
ȧ2 + kc2
a2
Si ρ′ = 0 para algún tiempo, entonces
ρ+
Λc2
8πG
= 0 ⇒ ȧ2 + kc2 = 0
y la curvatura puede ser k = 0,−1
k = 0 ↔ ȧ2 = 0 o k = −1 ↔ ȧ2 = c2
Si ρ′ < 0 para algún tiempo, entonces
ρ+
Λc2
8πG
< 0 ⇒ ȧ2 + kc2 < 0
y la curvatura sólo puede ser negativa
k = −1 ↔ ȧ2 < c2
.
28
Entonces, combinando ambas expresiones
2ȧä
a2
+
ȧ3
a3
+
kc2ȧ
a3
− Λc2 ȧ
a
+
8πG
c2
p
ȧ
a
= 0
De donde se obtiene (39)
ä
a
=
Λc2
2
− 4πG
c2
p− 1
2
(
ȧ2
a2
+
kc2
a2
)
Y por último, no hay que olvidar que la ecuación de conservación de la enerǵıa junto con la
condición de fluido barotrópico nos lleva a una restricción sobre la densidad de materia-enerǵıa.
ρa3γ = constante⇒ C = 8πG
3
ρa3γ , C = constante
ȧ2
a2
=
C
a3γ
− kc
2
a2
+
Λc2
3
(40)
Ahora śı, ésta es la forma final de la ecuación de Friedmann para un fluido con ecuación
de estado barotrópica. Se trata de una ecuación diferencial cuya solución (el factor de escala
cósmico a(t)) estará determinada por tres agentes: el contenido de materia-enerǵıa del universo,
caracterizado por una densidad y una ecuación de estado barotrópica (ρ ≥ 0 ⇒ C ≥ 0); la curvatura
espacial, expresada en el parámetro k = +1, 0,−1; y la constante cosmológica Λ, que actuará como
una “fuerza” repulsiva o atractiva según su valor sea positivo o negativo, respectivamente, y que,
como ya hemos comentado en algún momento, tendrá que ver con la manifestación de la enerǵıa
oscura del universo.
Tal y como se propone en [5], antes de iniciar la búsqueda de soluciones expĺıcitas a la ecuación
de Friedmann se puede tratar de intuir el comportamiento cualitativo de las mismas a partir de
un “potencial efectivo”. Éste se define como
V (a) ≡ kc
2
a2
− C
a3γ
(41)
E introduciéndolo en la ecuación (40) se obtiene una desigualdad que acota el rango de valores
posibles del factor de epansión a(t) según los parámetros del problema.
ȧ2
a2
=
Λc3
3
− V (a) ≥ 0 ⇒ V (a) ≤ Λc
2
3
A continuación se muestran tres gráficas, cada una de ellas correspondiente a un valor de la
curvatura espacial en concreto (k = +1, 0,−1), donde se representan los “potenciales” en función
del factor de expansión derivados de los distintos modelos de materia-enerǵıa; es decir, fijado un
valor de k, los diferentes potenciales que resultan de considerar un valor en particular de γ.
29
Figura 2: En las tres gráficas pueden leerse las palabras: vacuum, dust, radiation y stiff. Ellas son
la traducción al inglés de: vaćıo, polvo, raciación y ŕıgido, y hacen referencia a los distintos tipos
de materia que pueden constituir cada uno de los casos particulares de universos cosmológicos. En
concreto, el adjetivo ŕıgido se refiere al modelo de fluido barotrópico para el cual la velocidad del
sonido es exactamente la misma que la de la luz. Por su parte, la palabra vaćıo obviamente quiere
representar un universo falto de contenido f́ısico.
En todo momento la curva del potencial debe estar por debajo de la ĺınea horizontal que
marca la constante cosmológica, o si más no, a su mismo nivel. Por lo tanto, los únicos valores
posibles que puede tomar el factor de expansión son aquellos que satisfacen esta propiedad. Existen
principalmente un par de situaciones que intervienen en la evolución del factor de escala.
La primera de ellas es cuando el valor del potencial coincide exactamente con la constante Λc
2
3 ,
V (a) =
Λc2
3
,
ȧ2
a2
=
Λc2
3
− V (a) = 0 ⇒ ȧ = 0
que es lo que se conoce como un punto de retorno, ya que al factor de escala no le queda más
remedio que desandar lo andado y evolucionar volviendo sobre sus pasos.
La otra, por el contrario, sucede cuando el potencial no cruza en ningún momento esa barrera
insalvable y el factor de expansión puede evolucionar desde a = 0 hasta el infinito a ∈ [0,∞). Será
importante determinar si a = 0 es una verdadera singularidad.
Cualquier universo dinámico -es decir, cualquiera que se encuentre en evolución- con curvatura
nula o negativa (k = 0,−1) alcanzará en algún momento a = 0, independientemente del valor de
la constante cosmológica. Cuando Λ ≥ 0 todos ellos se expandirán (o se contraerán) -porque el
método del potencial permite saber cuál es el rango de valores posibles para el factor de escala pero
no en qué orden temporal los recorre; y bienpodŕıa ser que estuviera representado un proceso de
expansión como uno de contracción- de manera indefinida.24 En cambio, para Λ < 0 se producirán
dos procesos contrarios, uno de expansión y otro de contracción, y el modelo exhibirá a = 0 para
dos instantes de tiempo distintos.
En el caso de que la curvatura sea positiva (k = +1) las opciones se multiplican debido a la
presencia de un máximo del potencial {V (a0) ↔ Λ0 = 3V (a0)c2 } para cualquiera de los modelos
24Asumiremos que el proceso natural es el expansivo: ȧ > 0.
30
con contenido material. Si el valor de la constante cosmológica supera la barrera impuesta por
ese máximo (Λ > Λ0) entonces el universo se expandirá sin ĺımites pero frenando el ritmo al que
se desarrolla este proceso cuando se encuentre cercano al valor del factor de escala asociado al
máximo del potencial. Por otro lado, si el valor de la constante cosmológica es inferior a esa cota
(Λ < Λ0) está claro que necesariamente habrá un punto de retorno, pero no está tan claro cuál será
la naturaleza del universo en cuestión. Para Λ ≤ 0 la única posibilidad es que el universo se expanda
desde la a = 0 hasta alcanzar su tamaño máximo y luego se contraiga hasta terminar colapsando
totalmente sobre śı mismo; mientras que para 0 < Λ < Λ0 tanto puede darse la situación anterior
como otra en la que hablemos de un modelo donde el factor de escala deba ser mayor o igual que
un cierto valor mı́nimo. Esto último es justo lo que pasa cuando el modelo de universo es cerrado
(k = +1), vaćıo y con un valor de la constante cosmológica positivo Λ > 0.
Pero de entre todos los casos destacables hay uno que lo es con especial énfasis. Y es aquél que
se produce en un punto estacionario del potencial; es decir, cuando coinciden el potencial y el valor
fijado por la constante cosmológica y además se trata de un punto donde la derivada primera del
potencial con respecto al factor de expansión es cero.
{V (a) = Λc
2
3
⇔ Λc
2
3
− kc
2
a2
+
C
a3γ
= 0 ⇒ ȧ = 0, dV
da
= 0 ⇒ kc
2
a2
− 3γC
2a3γ
= 0}
ä
a
=
Λc2
2
− 4πG
c2
p− 1
2
(
ȧ2
a2
+
kc2
a2
)
=
Λc2
2
− (γ − 1) 3C
2a3γ
− kc
2
2a2
=
Λc2
2
− 3kc
2
2a2
+
3C
2a3γ
+
(
kc2
a2
− 3γC
2a3γ
)
=
3
2
(
Λc2
3
− kc
2
a2
+
C
a3γ
)
= 0 ⇒ ä = 0
{ȧ = 0, ä = 0} ⇒ a = a0
Una solución estática del problema. Este tipo de universos sólo pueden ser cerrados o planos
espacialmente (k = +1, 0), ya que para valores negativos de la curvatura no reúnen las condiciones
necesarias: en concreto la derivada del potencial no se anula en ningún momento. Para el caso plano
la única solución estática posible es aquélla sin contenido material, siendo además estable bajo
pequeñas perturbaciones en el factor de expansión; mientras que para el caso cerrado encontramos
posibles soluciones estáticas para cualquiera de los universos con contenido material, siendo, sin
embargo, inestables todas ellas bajo pequeñas perturbaciones en el factor de escala.25 En este
contexto, con k = +1 y Λ = Λ0 existen algunos modelos dinámicos que tienden asintóticamente
-bien hacia delante en el tiempo (a < a0) o bien hacia atrás (a > a0)- a la solución estática.
25Debemos entender la estabilidad del sistema como la propiedad que tiene el factor de expansión de mantenerse
en todo momento dentro de un intervalo alrededor del valor de equilibrio cuando sufre una pequeña perturbación.
Cuando k = +1 las soluciones estáticas se dan para máximos relativos del potencial, por lo que una mı́nima
variación en el factor de escala hace que éste tenga la posibilidad de evolucionar hasta a = 0 o hasta el infinito
a → ∞, dependiendo del caso, y que, por lo tanto, se escape inevitablemente de cualquier intervalo abierto alrededor
del valor cŕıtico.
31
3. Modelos cosmológicos
Algunas cuestiones previas.
Uno: en ĺıneas generales seguiremos lo expuesto en [3] y [5]. Alĺı se emplean dos términos para
designar la situación en la cual el factor de expansión se hace cero a = 0: Big Bang y Big Crunch.
El Big Bang, o “gran explosión”, hace referencia a un evento pasado, mientras que el Big Crunch,
o “gran estallido”, a uno futuro.
Dos: es muy conveniente introducir y tener en cuenta a la hora de estudiar la evolución de los
distintos modelos cosmólogicos un par de parámetros cinemáticos:
• El parámetro de Hubble: H(t) = ȧ(t)a(t)
• y el parámetro de desaceleración: q(t) = −a(t)ä(t)ȧ2(t) .
El valor del parámetro de Hubble en el presente H0 = H(t0) nos da una idea sobre la edad del
universo t0 en aquellos modelos cosmológicos cuyo origen corresponde con a = 0.
Figura 3: El tiempo de Hubble tH , definido como tH = 1/H0, es un tiempo caracteŕıstico sobre el
orden de magnitud de la edad del universo: t0 − t1 = a(t0)/ȧ(t0) = 1/H0 = tH .
32
3.1. Universos estáticos
Si queremos encontrar soluciones estáticas (a = a0) tan sólo hay que imponer un par de condi-
ciones al potencial: {V (a0) ≡ Λ0c
2
3 ,
dV
da |a=a0= 0}. Sin embargo, no todas las geometŕıas ni todos
los contenidos son compatibles con este tipo de solución.
dV
da
= −2kc
2
a3
+
3γC
a3γ+1
⇒
⇒ (k = −1)dV
da
=
2c2
a3
+
3γC
a3γ+1
> 0
⇒ (k = 0)dV
da
=
3γC
a3γ+1
= 0 ⇔ C = 0
⇒ (k = +1)dV
da
= −2c
2
a3
+
3γC
a3γ+1
= 0 ⇒ a0 =
(
3γC
2c2
) 1
3γ−2
No existen universos estáticos con curvatura negativa, ni tampoco soluciones no triviales en el
caso plano. La única forma posible de conciliar estática y curvatura nula en un mismo universo es
considerando que éste se encuentra vaćıo. El valor de la constante cosmológica que hace que esto
sea aśı, como era de esperar, es cero (Λ0 = 0).
Este universo plano, vaćıo y estático es el espaciotiempo de Minkowski.
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
Debemos entender este espaciotiempo como aproximación o ĺımite de otro más general. En
un espaciotiempo cualquiera, si nos dejamos “caer” a lo largo de una curva geodésica, podremos
aproximar localmente la geometŕıa de nuestro espacio al de Minkowki, ya que entonces la f́ısica
que se desarrolle en nuestro entorno inmediato estará en consonancia con la relativad especial. Idea
expresada en el principio de equivalencia. Por otra parte, si nos situamos a suficiente distancia de
las fuentes del campo gravitatorio observaremos cómo sucede algo parecido. Argumento expuesto
en el principio de correspondencia. O sea, la relatividad especial, al igual que el espaciotiempo
de Minkowsi, no es autosuficiente, sino que funciona como ĺımite de la relatividad general cuando
anulamos, o hacemos despreciables, los efectos gravitatorios. Por lo tanto, la teoŕıa que realmente
śı tiene entidad f́ısica y fundamento de ser es la relatividad general. Pero hay un motivo más para
señalar que el espaciotiempo de Minkowski no podŕıa existir por śı solo. Y es que en un universo
completamente vaćıo, rescatando a Mach, no sólo es que no hubiera contenido, sino que ni siquiera
habŕıa continente. Sin materia no hay geometŕıa. El concepto vaćıo tiene sentido si previamente
existe un “espacio” que ocupar o dejar libre; por lo tanto, cuando una cierta distribución de
materia-enerǵıa lo ha cincelado.
A todos estos motivos se tiene que añadir el hecho irrefutable que el universo en el que vivimos
no se asemeja ni mucho menos al de Minkowski. El interés de este modelo, por descontado, es
meramente formal.
33
Cuando la curvatura es positiva (k = +1) śı que podemos encontrar algunos ejemplos de
universos estáticos no triviales.26
ds2 = −c2dt2 + a20(dχ2 + sin2 χdΩ2),
Para el caso de presión nula “polvo” (γ = 1)
a0 =
3C
2c2
,
Λ0 =
3V (a0)
c2
=
1
a20
,
ρ0 =
c2
4πGa20
, p0 = 0
Ésta es la solución que encontró, o buscó, Albert Einstein en 1917. Einstein intentó resolver las
ecuaciones de la relatividad general originales (Gµν =
8πG
c4 Tµν) para un universo estático, pero no
pudo, y por ello introdujo un término nuevo que hiciese posible encontrar tal solución: la constante