pre_0001_Multiplicacion_Polinomios

Vista previa del material en texto

Multiplicación de Polinomios
Ejercicios de multiplicación de polinomios
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c⃝ 2007-2008
Contenido
1. Antecedentes 2
2. Multiplicación de monomios 4
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio 11
4. Multiplicación de Polinomios 14
1
Antecedentes
La multiplicación de polinomios se lleva a cabo usando las reglas de los números reales de campo (aún
si los coeficientes son complejos). Entonces lo más importante al realizar multiplicación de polinomios
es tener en mente las reglas de campo de los números reales.
Propiedades de grupo abeliano de los R con la suma (R,+).
1. Para todo reales a, b, entonces a+ b ∈ R, (cerradura).
2. Pata todo reales a, b, entonces a+ b = b+ a, (conmutatividad).
3. Para todo reales a, b, c, tenemos que a+ (b+ c) = (a+ b) + c, (asociatividad).
4. Existe un elemento 0 ∈ R, llamado cero, tal que a+0 = 0+ a = a,
∨
a ∈ R, (existencia del
neutro aditivo).
5. Para todo a ∈ R, existe un real llamado inverso aditivo (−a), tal que a+(−a) = 0, (existencia
del inverso aditivo).
Propiedades de grupo abeliano de los R con el producto (R∗, ·), R∗ = R− {0}.
6 Para todo reales a, b, entonces a · b ∈ R, (cerradura).
7 Pata todo reales a, b, entonces a · b = b · a, (conmutatividad).
8 Para todo reales a, b, c, tenemos que a · (b · c) = (a · b) · c, (asociatividad).
9 Existe un elemento 1 ∈ R, llamado uno, tal que a · 1 = 1 · a = a,
∨
a ∈ R, (existencia del
neutro multiplicativo).
10 Para todo a ∈ R∗, existe un real llamado inverso multiplicativo (a−1), tal que a · (a−1) = 1,
(existencia del inverso multiplicativo).
Propiedades distributiva del producto respecto a la suma en los R.
11 Para todo reales a, b, c, tenemos que a · (b+ c) = a · b+ a · c, (distributividad).
1. Antecedentes 3
A las propiedades anteriores las haremos referencia por el número del 1 al 11.
Otras de las propiedades que se derivan de las anteriores pero que son usadas frecuentemente con un
nombre especial se listan a continuación:
1. Ley de los signos:
a) + por + da +
b) − por + da −
c) + por − da −
d) − por − da +
2. Ley de los exponentes:
a) Al multiplicar potencias con la misma base, las potencias se suman: an · am = an+m
Haremos uso también de la siguiente notación:
1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y
x representa una variable y se llama indeterminada. En general un monomio es un producto de
constantes y potencias de indeterminadas, como ax5
2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax3 + bx6.
3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax+ bx2 + cx3.
2
Multiplicación de monomios
1. ab por −ab
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(ab)(−ab) = −(abab)
= −aabb
= −a1+1b1+1
= −a2b2
Paso 2 Por lo tanto
(ab)(−ab) = −a2b2
2. −3x3y por xy
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(−3x3y)(xy) = −(3x3yxy)
= −3x3xyy
= −3x3+1y1+1
= −3x4y2
Paso 2 Por lo tanto
(−3x3y)(xy) = −3x4y2
3. abc por c2d
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos:
(abc)(c2d) = (abcc2d)
= abc3d
2. Multiplicación de monomios 5
Paso 2 Por lo tanto
(abc)(c2d) = abc3d
4. abc por c2d
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa y la ley de los exponentes, obtenemos:
(abc)(c2d) = (abcc2d)
= abc1+2d
= abc3d
Paso 2 Por lo tanto
(abc)(c2d) = abc3d
5. −8m2n4 por −9a2mx3
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(−8m2n4)(−9a2mx3) = +(8m2n49a2mx3)
= 8 · 9m2mn4a2x3
= 72m2+1n4a2x3
Paso 2 Por lo tanto
(−8m2n4)(−9a2mx3) = 72m3n4a2x3
6. −5ambn por −6a2b3x
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(−5ambn)(−6a2b3x) = +(5ambn)(6a2b3x)
= 5 · 6ama2bnb3x
= 30am+2bn+3x
Paso 2 Por lo tanto
(−5ambn)(−6a2b3x) = 30am+2bn+3x
7. xmync por −xmyncx
2. Multiplicación de monomios 6
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(xmync)(−xmyncx) = −(xmync)(xmyncx)
= −xmxmynynccx
= −xm+myn+nc1+x
= −x2my2nc1+x
Paso 2 Por lo tanto
(xmync)(−xmyncx) = −x2my2nc1+x
8. 4anbx por −abx+1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(4anbx)(−abx+1) = −(4anbx)(abx+1)
= −4anabxbx+1
= −4an+1bx+x+1
= −4an+1b2x+1
Paso 2 Por lo tanto
(4anbx)(−abx+1) = −4an+1b2x+1
9. 3xn+2bn+5 por −5xn+5bn+1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(3xn+2bn+5)(−5xn+5bn+1) = −(3xn+2bn+5)(5xn+5bn+1)
= −3 · 5xn+2xn+5bn+5bn+1
= −15xn+2+n+5bn+5+n+1
= −15x2n+7b2n+6
Paso 2 Por lo tanto
(3xn+2bn+5)(−5xn+5bn+1) = −15x2n+7b2n+6
10. −5manb−1c−3 por −7m2a−3nb−4cd−1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes, obte-
nemos:
(−5manb−1c−3)(−7m2a−3nb−4cd−1) = +(5manb−1c−3)(7m2a−3nb−4cd−1)
= 5 · 7mam2a−3nb−1nb−4c−3cd−1
= 35ma+2a−3nb−1+b−4c−3+d−1
= 35m3a−3n2b−5cd−4
2. Multiplicación de monomios 7
Paso 2 Por lo tanto
(−5manb−1c−3)(−7m2a−3nb−4cd−1) = 35m3a−3n2b−5cd−4
11. ambnc por a2m−1b3n+7c−1
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(ambnc)(a2m−1b3n+7c−1) = (ambnc)(a2m−1b3n+7c−1)
= am+2m−1bn+3n+7c1−1
= a3m−1b4n+7c0
= a3m−1b4n+7
Paso 2 Por lo tanto
(ambnc)(a2m−1b3n+7c−1) = a3m−1b4n+7
12.
2
3
abc por
2
7
a3bnc1−s
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(
2
3
abc)(
2
7
a3bnc1−s) =
4
21
(abc)(a3bnc1−s)
=
4
21
aa3bbncc1−s
=
4
21
a4bn+1c1+1−s
=
4
21
a4bn+1c2−s
Paso 2 Por lo tanto
(
2
3
abc)(
2
7
a3bnc1−s) =
4
21
a4bn+1c2−s
13. −3
5
x3y4za por −5
6
xn−3ym−4zb
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−3
5
x3y4za)(−5
6
xn−3ym−4zb) = +
1
2
(x3y4za)(xn−3ym−4zb)
=
1
2
(x3y4za)(xn−3ym−4zb)
=
1
2
x3xn−3y4ym−4zazb
=
1
2
x3+n−3y4+m−4za+b
=
1
2
xnymza+b
2. Multiplicación de monomios 8
Paso 2 Por lo tanto
(−3
5
x3y4za)(−5
6
xn−3ym−4zb) =
1
2
xnymza+b
14. − 2
11
ax+1bx−3c2 por −44
7
ax−3b2cy−2
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(− 2
11
ax+1bx−3c2)(−44
7
ax−3b2cy−2) = +
8
7
(ax+1bx−3c2)(ax−3b2cy−2)
=
8
7
ax+1ax−3bx−3b2c2cy−2
=
8
7
ax+1+x−3bx−3+2c2+y−2
=
8
7
a2x−2bx−1cy
Paso 2 Por lo tanto
(− 2
11
ax+1bx−3c2)(−44
7
ax−3b2cy−2) =
8
7
a2x−2bx−1cy
15. (2a)(−a2)(−3a3)(4a)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(2a)(−a2)(−3a3)(4a) = (−)(−)(2)(3)(4)aa2a3a
= (+)(24)a1+2a3+1
= (+)(24)a3a4
= 24a3+4
= 24a7
Paso 2 Por lo tanto
(2a)(−a2)(−3a3)(4a) = 24a7
16. (4a2)(−5a3x2)(−ax3y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(4a2)(−5a3x2)(−ax3y) = (−)(−)(4)(5)a2a3x2ax3y)
= (−)(−)(4)(5)a2a3ax2x3y
= (+)(20)a2+3ax2+3y
= 20a5+1x5y
= 20a6x5y
2. Multiplicación de monomios 9
Paso 2 Por lo tanto
(4a2)(−5a3x2)(−ax3y) = 20a6x5y
17. (−am)(−2ab)(−3a2bx)(by)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−am)(−2ab)(−3a2bx)(by) = (−)(−)(−)(2)(3)(am)(ab)(a2bx)(by)
= (−)(−)(−)(2)(3)amaba2bxby
= (−)(6)amaa2bbxby
= −6am+1a2b1+xby
= −6am+1+2b1+x+y
= −6am+3b1+x+y
Paso 2 Por lo tanto
(−am)(−2ab)(−3a2bx)(by) = −6am+3b1+x+y
18. (−ambx)(−2a2b3)(−2ab)(−3a2x)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−ambx)(−2a2b3)(−2ab)(−3a2x) = (−)(−)(−)(−)(2)(2)(3)(ambx)(a2b3)(ab)(a2x)
= (+)(12)(ambx)(a2b3)(ab)(a2x)= 12ama2aa2bxb3bx
= 12am+2+1+2bx+3+1x
= 12am+5bx+4x
Paso 2 Por lo tanto
(−ambx)(−2a2b3)(−2ab)(−3a2x) = 12am+5bx+4x
19. (
1
2
anx3)(−2
3
a2x)(−3
5
amx2) .
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(
1
2
anx3)(−2
3
a2x)(−3
5
amx2) = (−)(−)(1
2
)(
2
3
)(
3
5
)(anx3)(a2x)(amx2)
= (+)(
1
5
)(anx3)(a2x)(amx2)
=
1
5
ana2amx3xx2
=
1
5
an+2+mx3+1+2
=
1
5
a2+n+mx6
2. Multiplicación de monomios 10
Paso 2 Por lo tanto
(
1
2
anx3)(−2
3
a2x)(−3
5
amx2) =
1
5
a2+n+mx6
20. (−1
2
x2y3z)(−3
5
xyz−n)(−10
3
x−3y−2zm)(−3
4
x2y) .
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos y la ley de los exponentes (a0 =
1), obtenemos:
(−1
2
x2y3z)(−3
5
xyz−n)(−10
3
x−3y−2zm)(−3
4
x2y) = (−)(−)(−)(−)(1
2
)(
3
5
)(
10
3
)(
3
4
)
(x2y3z)(xyz−n)(x−3y−2zm)(x2y)
= (+)(
3
4
)(x2y3z)(xyz−n)(x−3y−2zm)(x2y)
=
3
4
x2+1−3+2y3+1−2+1z1−n+m+1
=
3
4
x2y3zm−n+2
Paso 2 Por lo tanto
(−1
2
x2y3z)(−3
5
xyz−n)(−10
3
x−3y−2zm)(−3
4
x2y) =
3
4
x2y3zm−n+2
Algunos errores comúnmente hechos:
Observación 1: Multiplicar (−a)(bc), no es igual a (−ab)(−ac).
3
Multiplicación de un monomio por un
polinomio
Observación 2: Al multiplicar un monomio por un polinomio se hace uso de la ley distributiva del
producto respecto a la suma a(b+ c) = ab+ ac.
Observación 3: De hecho la multiplicación de un monomio por un polinomio, es lo mismo que multi-
plicar el monomio por cada término del polinomio que son monomios. Es decir, esta operación es varias
veces la operación de la sección anterior.
1. (a3 − 4a2 + 6a) por (−ab)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(a3 − 4a2 + 6a)(−ab) = [(a3)(−ab)] + [(−4a2)(−ab)] + [(6a)(−ab)]
= −a3ab− 4a2ab− 6aab
= −a4b+ 4a3b− 6a2b
Paso 2 Por lo tanto
(a3 − 4a2 + 6a)(−ab) = −a4b+ 4a3b− 6a2b
2. (ambn + am−1bn+1 − am−2bn+2) por (3a2b)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(ambn + am−1bn+1 − am−2bn+2)(3a2b) = [(ambn)(3a2b)] + [(am−1bn+1)(3a2b)]
−[(am−2bn+2)(3a2b)]
= [3am+2bn+1] + [3am−1+2bn+1+1]− [3am−2+2bn+2+1]
= 3am+2bn+1 + 3am+1bn+2 − 3ambn+3
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio 12
Paso 2 Por lo tanto
(ambn + am−1bn+1 − am−2bn+2)(3a2b) = 3am+2bn+1 + 3am+1bn+2 − 3ambn+3
3. (x3 − 4x2y + 6xy2) por (ax3y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(x3 − 4x2y + 6xy2)(ax3y) = [(x3)(ax3y)]− [(4x2y)(ax3y)] + [(6xy2)(ax3y)]
= [ax3+3y]− [4ax2+3y1+1] + [6ax1+3y2+1]
= ax6y − 4ax5y2 + 6ax4y3
Paso 2 Por lo tanto
(x3 − 4x2y + 6xy2)(ax3y) = ax6y − 4ax5y2 + 6ax4y3
4. (xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1) por (−2x2)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1)(−2x2) = [(xa+5)(−2x2)] + [(−3xa+4)(−2x2)]
+[(xa+3)(−2x2)] + [(−5xa+1)(−2x2)]
= [−2xa+5+2] + [(−)(−)6xa+4+2]
−[2xa+3+2] + [(−)(−)10xa+1+2]
= [−2xa+7] + [6xa+6]− [2xa+5] + [10xa+3]
= −2xa+7 + 6xa+6 − 2xa+5 + 10xa+3
Paso 2 Por lo tanto
(xa+5 − 3xa+4 + xa+3 − 5xa+1)(−2x2) = −2xa+7 + 6xa+6 − 2xa+5 + 10xa+3
5. (
2
3
a− 3
4
b) por (−2
3
a3b)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(
2
3
a− 3
4
b)(−2
3
a3b) = [(
2
3
a)(−2
3
a3b)] + [(−3
4
b)(−2
3
a3b)]
= −(4
9
a4b) + (
1
2
a3b2)
Paso 2 Por lo tanto
(
2
3
a− 3
4
b)(−2
3
a3b) = −4
9
a4b+
1
2
a3b2
3. Multiplicación de un monomio por un polinomio 13
6. (
3
5
a− 1
6
b+
2
5
c) por (−5
3
ac2) .
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(
3
5
a− 1
6
b+
2
5
c)(−5
3
ac2) = [(
3
5
a)(−5
3
ac2)] + [(−1
6
b)(−5
3
ac2)]
+[(
2
5
c)(−5
3
ac2)]
= [−a2c2] + [ 5
18
abc2]− [ 2
3
ac3]
= −a2c2 + 5
18
abc2 − 2
3
ac3
Paso 2 Por lo tanto
(
3
5
a− 1
6
b+
2
5
c)(−5
3
ac2) = −a2c2 + 5
18
abc2 − 2
3
ac3
7. (
2
3
m3 +
1
2
m2n− 5
6
mn2 − 1
9
n3) por (
3
4
m2n3)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley de los exponentes (a0 = 1)
y la ley distributiva, obtenemos:
(
2
3
m3 +
1
2
m2n− 5
6
mn2 − 1
9
n3)(
3
4
m2n3) = [(
2
3
m3)(
3
4
m2n3)] + [(
1
2
m2n)(
3
4
m2n3)]
−[(5
6
mn2)(
3
4
m2n3)]− [(1
9
n3)(
3
4
m2n3)]
=
1
2
m5n3 +
3
12
m4n4
−5
8
m3n5 − 1
12
n6m2
Paso 2 Por lo tanto
(
2
3
m3 +
1
2
m2n− 5
6
mn2 − 1
9
n3)(
3
4
m2n3) =
1
2
m5n3 +
3
12
m4n4 − 5
8
m3n5 − 1
12
n6m2
4
Multiplicación de Polinomios
La multiplicación de polinomios se lleva a cabo de manera similar que las anteriores, multiplicando
cada término del primer polinomio por cada uno del segundo polinomio.
Observación 4: Al multiplicar polinomios hay que tener mucho cuidado al eliminar paréntesis ya que
los signos pueden ser afectados. Un signo fuera de un paréntesis afecta a todos los términos dentro del
paréntesis.
Observación 5: El procedimiento general es multiplicar cada término de un polinomio por todos los
términos del otro y posteriormente A6ucir términos semejantes.
Observación 6: Se sugiere que primero se practique ejemplos de dos o tres términos a lo más de manera
amplia y después se realicen ejemplos más grandes, que de esta manera NO deben de ofrecer obstáculo
alguno.
1. (a− 3) por (a+ 1)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a− 3)(a+ 1) = (a− 3)a+ (a− 3)(1)
= (aa− 3a) + (a− 3)
= (a2 − 3a) + (a− 3)
= a2 − 3a+ a− 3
= a2 − 2a− 3
Paso 2 Por lo tanto
(a− 3)(a+ 1) = a2 − 2a− 3
4. Multiplicación de Polinomios 15
2. (5a− 7b) por (a+ 3b)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(5a− 7b)(a+ 3b) = (5a− 7b)a+ (5a− 7b)(3b)
= (5a2 − 7ab) + (15ab− 21b2)
= 5a2 − 7ab+ 15ab− 21b2
= 5a2 + 8ab− 21b2
Paso 2 Por lo tanto
(5a− 7b)(a+ 3b) = 5a2 + 8ab− 21b2
3. (−4y + 5x) por (−3x+ 2y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(−4y + 5x)(−3x+ 2y) = (−4y + 5x)(−3x) + (−4y + 5x)(2y)
= 12xy − 15x2 − 8y2 + 10xy
= 22xy − 15x2 − 8y2
Paso 2 Por lo tanto
(−4y + 5x)(−3x+ 2y) = 22xy − 15x2 − 8y2
4. (6m− 5n) por (−n+m)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(6m− 5n)(−n+m) = (6m− 5n)(−n) + (6m− 5n)(m)
= −6mn+ 5n2 + 6m2 − 5nm
= 6m2 + 5n2 − 11mn
Paso 2 Por lo tanto
(6m− 5n)(−n+m) = 6m2 + 5n2 − 11mn
5. (x2 + xy + y2) por (x− y)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(x2 + xy + y2)(x− y) = (x2 + xy + y2)(x) + (x2 + xy + y2)(−y)
= x3 + x2y + xy2 − x2y − xy2 − y3
= x3 − y3
4. Multiplicación de Polinomios 16
Paso 2 Por lo tanto
(x2 + xy + y2)(x− y) = x3 − y3
6. (m3 −m2 +m− 2) por (am+ a)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(m3 −m2 +m− 2)(am+ a) = (m3 −m2 +m− 2)(am) + (m3 −m2 +m− 2)(a)
= am4 − am3 + am2 − 2am+ am3 − am2 + am− 2a
= am4 − am− 2a
Paso 2 Por lo tanto
(m3 −m2 +m− 2)(am+ a) = am4 − am− 2a
7. (a2 + a+ 1) por (a2 − a− 1)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a2 + a+ 1)(a2 − a− 1) = (a2 + a+ 1)(a2) + (a2 + a+ 1)(−a) + (a2 + a+ 1)(−1)
= a4 + a3 + a2 − a3 − a2 − a− a2 − a− 1
= a4 − 2a− a2 − 1
Paso 2 Por lo tanto
(a2 + a+ 1)(a2 − a− 1) = a4 − 2a− a2 − 1
8. (x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz) por (x+ y + z)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa,ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(x+ y + z) = (x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(x)
+(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(y)
+(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(z)
= x3 + xy2 + xz2 − x2y − x2z − xyz
+yx2 + y3 + yz2 − xy2 − xyz − y2z
+x2z + y2z + z3 − xyz − xz2 − yz2
= x3 ++y3 + z3 − 3xyz
Paso 2 Por lo tanto
(x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz)(x+ y + z) = x3 ++y3 + z3 − 3xyz
9. (anb− an−1b2 + 2an−2b3 − an−3b4) por (anb2 − an−2b4)
4. Multiplicación de Polinomios 17
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(anb− an−1b2 + 2an−2b3 − an−3b4)
(anb2 − an−2b4) = (anb− an−1b2 + 2an−2b3 − an−3b4)(anb2)
(anb− an−1b2 + 2an−2b3 − an−3b4)(−an−2b4)
= a2nb3 − a2n−1b4 + 2a2n−2b5 − a2n−3b6
−a2n−2b5 + a2n−3b6 − 2a2n−4b7 + a2n−5b8)
= a2nb3 − a2n−1b4 + a2n−2b5 − 2a2n−4b7 + a2n−5b8
Paso 2 Por lo tanto
(anb−an−1b2+2an−2b3−an−3b4)(anb2−an−2b4) = a2nb3−a2n−1b4+a2n−2b5−2a2n−4b7+a2n−5b8
10. (a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m) por (a3m−3 + 63m−1 − 8a3m−2)
Paso 1 Usando la propiedad conmutativa, asociativa, ley de signos, la ley distributiva y la ley de los
exponentes (a0 = 1), obtenemos:
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)
(a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2) = (a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(a3m−3)
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(6a3m−1)
(a2m+1 − 5a2m+2 + 3a2m)(−8a3m−2)
= a5m−2 − 5a5m−1 + 3a5m−3
6a5m − 30a5m+1 + 18a5m−1
−8a5m−1 + 40a5m − 24a5m−2
= −23a5m−2 + 5a5m−1 + 3a5m−3 + 46a5m − 30a5m+1
Paso 2 Por lo tanto
(a2m+1−5a2m+2+3a2m)(a3m−3+63m−1−8a3m−2) = −23a5m−2+5a5m−1+3a5m−3+46a5m−30a5m+1