expresiones-algebraicas-3-eso

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El 26 de septiembre del 2010 se celebró el gran Premio de
Singapur, la 15.ª prueba del mundial de Fórmula 1. La
carrera constaba de 61 vueltas a un circuito de 5 067 m
de longitud. Fernando Alonso, el automovilista español,
hizo una carrera espectacular que le dio la victoria, con
lo cual se situó en segunda posición del campeonato a
tan solo 11 puntos del líder, el australiano Mark Webber.
a) Calcula la distancia total en km que 
tienen que recorrer todos los pilotos
para completar el gran Premio.
b) ¿Qué expresión algebraica nos
permite calcular la velocidad media
de los pilotos en esta carrera?
c) Halla la velocidad media de 
los cinco primeros pilotos clasificados
en este gran Premio.
Polinomios
Pilotos Tiempo Tiempo (h)
1. Fernando Alonso 1h 57' 53" 1,964
2. Sebastian Vettel 1h 57' 55" 1,965 
3. Mark Webber 1h 58' 26" 1,973
4. Jenson Button 1h 58' 27" 1,974
5. Nico Rosberg 1h 58' 43" 1,979
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Polinomios 73
Recuerda y resuelve
Qué es una expresión algebraica.
1 Si designamos un número cualquiera por x, escribe una expresión para:
a) El triple del número.
b) Una quinta parte de x.
c) La mitad del cuadrado de ese número.
2 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su expresión algebraica:
a) Un número par I) 2n � 1
b) Un número impar II) x, x � 1
c) Un número y el que le sigue III) 3a
d) El triple de un número IV) 2z
Qué es un monomio.
3 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio:
a) d)
b) e)
c) f)
4 Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:
Cómo se opera con monomios.
5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones a un solo
monomio:
a) b) c) � 2x
6 Opera y simplifica estas potencias:
a) d)
b) e)
c) f)
7 Opera y simplifica:
a) d)
b) − � 9x e)
c) � (3x) f) � (2x)(6x3) (3x2)
x7 (2x4)3
6x4 � 3x2 �2y5 � (�4y4)
(2a2)5 ((�45)�2)2
z4 � z5 y�9 � y�2
x2 � x4 a4 � a�2
9y3 � 11y3 �x2 � 5x2 3x2
5x2, 4y, 5p2, �2y5, 12x5, �9y, �x2
1
4
mn2
62m3
�10y7
�3x2y3
x6
�2x3
Las expresiones algebraicas se
utilizan para traducir enunciados 
al lenguaje matemático.
Por ejemplo, si queremos expresar
«el doble de la suma de un número
más seis», utilizaríamos números 
y letras combinados mediante
operaciones matemáticas. 
La expresión algebraica sería:
2 � (n� 6)
Un monomio es el producto de 
un número (coeficiente) por una 
o más indeterminaciones elevadas a
exponentes naturales (parte literal).
El grado de un monomio es la suma
de los exponentes de la parte literal.
Así, el coeficiente de es 4; su
parte literal, , y su grado, 5. O bien,
el coeficiente de es 1; su parte
literal, , y su grado, 1 � 2 � 3.
Dos monomios son semejantes si
tienen la misma parte literal.
xy2
xy2
x5
4x5
Para sumar, o restar, dos monomios
semejantes, se suman o se restan los
coeficientes y se deja la misma parte
literal:
� � ; � � �
Las propiedades de las operaciones
con potencias son:
� � ; � �
(k � � � ; � 1; �a
Para multiplicar o dividir dos
monomios, se multiplican o se dividen
sus coeficientes y sus partes literales:
7 � (�5x3) � �35 � �35
(4 ) � (2x) � � 2x
am�nanam
x2
x
4
2
x5x2�3x2
kn am �n
am�nan
a1a0am)n
am
x2
16x49x47x4 11y3 5y36y3
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Expresiones algebraicas
Las expresiones que permiten resolver las situaciones anteriores son:
a) Paga mensual � 2n, donde n es la edad de cada hijo.
b) Velocidad � 100/t; donde t es el tiempo en segundos de cada alumno.
c) Volumen � �r2h, donde r es el radio, y h, la altura en dm de la piscina.
Una expresión algebraica es una combinación de operaciones aritméticas en
las que intervienen números y letras. Las letras se denominan variables o
indeterminadas.
1.1. Valor numérico de una expresión algebraica
¿Cuántos litros de agua necesitaremos para llenar una piscina que tiene
30 dm de profundidad y 50 dm de radio?
Tan solo tenemos que sustituir los valores en la fórmula:
V � �r2h � � � 502 � 30 � 235 619 L
El valor numérico de una expresión algebraica para determinados valores de
las variables es el resultado de sustituir las variables por su valor y realizar las
operaciones indicadas.
1
74 UNIDAD 574
Observa las siguientes situaciones:
a) Ángel y Rocío deciden repartir mensualmente la paga a sus hijos de la
siguiente manera: 2 € al mes por cada año de su edad actual. ¿Cómo podría
cada uno de sus hijos saber la paga total mensual que le corresponde?
b) Un profesor de Educación Física cronometra a sus alumnos mientras corren
100 metros. ¿Cómo podrá determinar a qué velocidad han realizado la
prueba sus alumnos?
c) Una persona construye en su casa una piscina de fondo circular. ¿Cómo
podría calcular cuántos litros de agua necesitará para llenarla?
Observa y resue lve
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
a) La mitad de la suma de dos números enteros consecutivos.
, donde n es el primer número.
b) El precio de una camiseta que ha sido rebajada un 20 %.
0,8p, donde p es el precio inicial.
n � (n � 1)
2
EJERCICIOS RESUELTOS
2 Calcula el valor numérico para cada una de las expresiones del ejercicio
resuelto anterior para n � 10 y p � 25.
a) � 10,5
b) 0,8 � 25 � 20
10 � (10 � 1)
2
R e c u e r d a
Cuando en una expresión algebraica
dos letras, o un número y una letra,
están juntos sin ningún signo inter-
medio, significa que se están multi-
plicando. Así: 
ab significa «a por b»
2x significa «2 por x»
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Polinomios 75
Actividades
� Escribe la expresión algebraica correspondiente a
cada uno de los siguientes enunciados:
a) La mitad de la diferencia de dos números.
b) Un tercio de un número.
c) La suma del cubo de un número más cinco.
d) El siguiente de un número natural.
e) La suma de dos números impares consecutivos.
f) El producto de dos números pares consecutivos.
� Escribe la expresión que permite calcular:
a) El espacio recorrido por un coche que se desplaza a una
velocidad constante v durante un tiempo t.
b) El perímetro de un cuadrado de lado x.
c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos
son a y b.
d) El área de un rectángulo que tiene por lados n y p.
� Asocia cada uno de los siguientes enunciados con
una expresión algebraica de las indicadas abajo:
a) La quinta parte de la suma de un número y el triple de
su cuadrado.
b) La suma de la quinta parte de un número y el triple de
su cuadrado.
c) El doble de la suma de un número al cuadrado y otro
número.
d) La suma del doble de un número al cuadrado y otro
número.
e) El cubo de la suma de dos números.
f) La suma de los cubos de dos números.
� � � � y
� � 2( � y) � x� 
�� Escribe un enunciado para cada una de las siguien-
tes expresiones algebraicas:
a) x� y d) g)
b) x� y e) h)
c) f) 3x� i)
� Indica la expresión algebraica que permite con-
testar a la pregunta planteada en cada caso:
a) Si una camiseta cuesta p euros, ¿qué precio tienen 3 ca-
misetas con el 20 % de descuento?
b) Si ahora tienes y años, ¿qué edad tendrás dentro de 
6 años? ¿Y qué edad tenías hace 4 años?
c) La entrada a un parque temático cuesta x euros, y mon-
tar en cada atracción, y euros; ¿cuánto te gastarías si
montas en 5 atracciones?
� Halla en cada caso el valor numérico para x� 3:
a) x� 5 c) � 1 e) �3x� 
b) �2x� 6 d) 5(x� 5) f)
� Calcula el valor numérico de las expresiones algebrai-
cas para cada uno de los valores dados:
a) � � 2x� 1, para x��2, x� �1, x� 0 y x� 2.
b) , para x� 1, x� y x� 0.
c) � , para x� 2 y x� �1.
� Averigua en cada caso el valor numérico de estas
expresiones algebraicas para los valores indicados:
a) x� y, para x� 3 e y� �5.
b) 2x� � 3z, para x� �1, y� 2 y z� �2.
c) a2 � 3a� b2, para a� y b� 3.
� Escribe la expresión algebraica que permite hallar lo
indicado en cada apartado y después calcúlala para el valor
dado:
a) El volumen de un cubo de arista x, para x� 1 m.
b) La velocidad media de un coche que recorre s km en t
min, para s� 30 km y t� 25 min.
c) El perímetro de un rombo de lado a, paraa� 3 cm.
d) El área de un círculo que tiene por radio r, para r� 2 dm.
�� La familia de María gasta mensualmente una quinta
parte de sus ingresos en alimentación, la mitad del resto en
pagar préstamos al banco y 300 € en otros gastos. Escribe 
una expresión que indique los gastos mensuales de la familia. 
Si los ingresos de la familia de María son de 2 500 €, ¿a cuánto
ascienden los gastos?
��� Encuentra la expresión algebraica del área y del
perímetro de cada una de estas figuras. Después halla su
valor para a� 5 cm, b� 4 cm y h� 2 cm.
a)
b)
c)
y3
1
2
1 � 2x
2
2(x � 3)
5
1
5
5x � 1
2 � x
2x2x3
(1 � x)2
x2x2
(3x � 2y)2
(x � y)2
2y2
2x2
x2 � y2x2 � y2
(x � y)2
3x2
1
5
x2
x � 3x2
5
2x2(x � y)3x3 � y3
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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Polinomios
Observa las siguientes expresiones algebraicas:
2x � 5y 5 � 2x � 1 4ab � a 7 � � 8
Todas las expresiones están formadas por sumas y/o restas de monomios.
Un polinomio es la suma de dos o más monomios no semejantes. Cada uno
de estos monomios se llama término.
Así, por ejemplo:
� 3x � 6 es un polinomio.
Sin embargo, no es un polinomio.
� Se define el grado de un polinomio como el mayor de los grados de sus
términos.
� El monomio de mayor grado se denomina término principal, y el de grado
0, término independiente.
� Al polinomio con dos términos se le denomina binomio.
2.1. Valor numérico de un polinomio
Observa el siguiente polinomio:
P(x) � 3 � 2x � 1
Si sustituimos la x por 2, obtendremos el valor numérico del polinomio:
P(x � 2) � 3 � � 2 � 2 � 1 � 15
El valor numérico de un polinomio, para x � a, es el número que resulta al
sustituir la variable x por el valor a.
22
x2
1
�x
�
2
x3 � �
3 x2
x2
z2z3x2 2
5
2
76 UNIDAD 576
Notación de un polinomio
Un polinomio se suele designar
por una letra mayúscula seguida
de las variables entre paréntesis.
Ejemplos:
P(x) � 2 � 3
Q(a, b) � � � 4ab3ab4
x2
Polinomios completos
Cuando un polinomio tiene tér-
minos de todos los grados inter-
medios entre el término principal
y el independiente, recibe el nom-
bre de polinomio completo.
Un polinomio ordenado y com-
pleto es, por ejemplo, este:
x4 � 3x3 � 2x2 � x � 1
Polinomios ordenados
Si los términos de un polinomio fi-
guran en orden creciente, o decre-
ciente, de sus grados, se dice que
es un polinomio ordenado.
Son ejemplos de polinomios orde-
nados los siguientes:
P(x) �
Q(x) � 3� 6x� 3x4
x4 � 3x3 � x � 1
EJERCICIOS RESUELTOS
3 Dados los siguientes polinomios, determina el grado, el término principal
y el término independiente.
Polinomio Grado
Término
principal
� 4a�b3ab2 3 3ab2
� 5x� 14x2 2 4x2
Término
independiente
0
�1
EJERCICIOS RESUELTOS
4 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores
indicados.
a) P(x) � , para x � �1.
P(�1) � �3 � � 2 � � 1 � 4
b) Q(x, y) � � 3xy � 5y, para x � 1 e y � 2.
Q(1, 2) � 2 � � 2 � 3 � 1 � 2 � 5 � 2 � �12
(�1)2(�1)3
12
2x2y
�3x3 � 2x2 � 1
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Polinomios 77
Actividades
� Escribe un polinomio de grado 6 que tenga cinco tér-
minos, el coeficiente del término de grado 2 igual a �1 y
como término independiente 0.
� Ordena de forma creciente los términos de los si-
guientes polinomios:
a) P(x)� 
b) Q(x)� 
c) R(x)� 
� Ordena de forma decreciente los términos de los poli-
nomios e indica después los términos, el término indepen-
diente y el grado:
a) P(x)� 
b) Q(x)� 
c) S(x)� 
� Contesta a las siguientes indicaciones:
a) Polinomio cuyos términos están escritos en orden cre-
ciente de sus grados.
b) Determina qué representa el número 2 en el polinomio
P(x)� 3x2 � 8x� 1.
c) Lo son los monomios que tienen la misma parte literal.
d) Polinomio con dos términos.
e) Monomio de grado 0 de un polinomio.
f) ¿Qué nombre reciben los números 3, 8 y �1 en el poli-
nomio P(x) del apartado b)?
g) Polinomio al que no le falta ningún término.
� Indica si está completo cada uno de estos polinomios
y, en caso contrario, señala qué términos le faltan:
a) A(x)� 
b) B(x)� 
c) C(x)� 
� Calcula el valor numérico de los siguientes polino-
mios para el valor dado en cada caso:
a) P(x)� � 3, para x� �1.
b) P(x)� � 2x� 1, para x� 0.
c) P(x)� � 3, para x� .
d) P(x)� � 3x� 3, para x� 2.
e) P(x)� � 3x� , para x� �3.
� Calcula los valores numéricos de estos polinomios
para los valores que se indican:
a) P(x)� , para x� 1 y x� �1.
b) Q(x)� , para x� 0 y x� 3.
c) R(x)� , para x� 2 y x� �3.
d) S(x)� , para x� �2 y x� �1.
�� Asocia cada polinomio con un valor de la variable
y con su valor numérico para dicho valor:
1. P(x) � � 2x � 1
2. P(x) � � � x � 2
3. P(x) � � � x � 2
4. P(x) � � 2
I) x � 0
II) x � 2
III) x � �1
IV) x � �3
a) 2
b) 20
c) 6
d) �98
� Indica cuáles de las siguientes expresiones algebrai-
cas son polinomios y, en caso de que no lo sean, explica por
qué:
a) � 2x
b) � � x
c) � � x
� ¿Cuántos términos tiene un polinomio completo
de grado 3? ¿Y uno de grado 4? ¿Y uno de grado 15? ¿Y si el
grado es n?
�� Contesta si las siguientes afirmaciones son verdade-
ras o falsas y razona tu respuesta:
a) Un polinomio completo siempre está ordenado.
b) Un polinomio ordenado tiene que tener término inde-
pendiente.
c) Un polinomio no puede tener el mismo valor numérico
para dos valores distintos de la variable.
d) Un polinomio no puede tener dos valores numéricos
distintos para un mismo valor de la variable.
e) El polinomio P(x)� es un polinomio incom-
pleto.
2x3
2x3
5x2
5x2
x2
3x2
3x3 � 2x2 � x
5
x
3x2
2
5
x25x3
5x3
5x2 � 4
3x2 � 5x � 2
x4 � x2 � 5x � 3
5x3 � 3x2 � 3x � 1
2
3
�
1
9
x3
1
2
x2
�
1
2
8x2
x3
2x2
8x3 �
1
5
x2 � 5x
3x4 � 7x2 � 4 � x3
5x3 � 3x6 � 2x2 � 8x4 � 2 � x � x5
�
3
2
�
2
3
x2 � 5x7 � 8x5
3x4 � 3x � 2x3 � 1
�
2
3
x3 � x2
5x4 � 8x6 � x3 � 3
�5x3 � x2
5x2 � 4x5 � 3x � 2x4 � x3 � 8
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
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Operaciones con polinomios
3.1. Suma y resta de polinomios
+
El opuesto de un polinomio es el resultante de cambiar los signos a todos sus
coeficientes.
Así, el polinomio opuesto de Q(x)� �5x�1 es �Q(x)�� �5x�1.
+
2x2 2x2
3
78 UNIDAD 578
T e n e n c u e n t a
Un signo menos delante de un pa-
réntesis cambia el signo a todos los
términos del polinomio que están
dentro del paréntesis. Por ejemplo:
3 � (2x2 � 3) � 3 � 2x2 � 3
Actividades
� Dados los siguientes polinomios, realiza las sumas
indicadas:
P(x)� Q(x)� 
R(x)� S(x)� 
a) Q(x)� S(x) c) Q(x)� R(x) e) P(x)� Q(x)� R(x)
b) P(x)� R(x) d) P(x)� Q(x) f) P(x)� Q(x)� S(x)
� Dados los siguientes polinomios, efectúa las operacio-
nes indicadas:
P(x)� Q(x)� R(x)� 
a) P(x)� Q(x) g) P(x)� Q(x)� R(x)
b) P(x)� Q(x) h) Q(x)� R(x)� P(x)
c) P(x)� R(x) i) P(x)� Q(x)� R(x)
d) P(x)� R(x) j) P(x)� [Q(x)� R(x)]
e) Q(x)� R(x) k) Q(x)� [P(x)� R(x)]
f) Q(x)� R(x) l) P(x)� [Q(x)� R(x)]
� Realiza las operaciones, teniendo en cuenta que los
polinomios no están completos:
a) ( � 6x� 4)� ( � � 2x� 1)
b) ( � 6x� 4)� ( � � 2x� 1)
c) (2x� 5)� ( � � 5x)
d) (� � � 2)� ( � � x)� (2x� 5)
� Efectúa estas operaciones, teniendo en cuenta que
los polinomios no están ordenados:
a) (�9x� � � 1)� (�5� � 3x)
b) (�8x� � )� ( � 7x� )
�� Realiza las siguientes operaciones de polinomios
con coeficientes racionales:
a)
b)
c)
d)
e)
�� ¿Qué polinomio se debe sumar a P(x)� � 4x� 5
para obtener cada uno de los siguientes?
a) c) 4x e) �5
b) � d) 0 f) � x� 3
�� ¿Qué polinomio se resta a Q(x)� 2 � � � 5
para obtener cada uno de los siguientes polinomios?
a) � c) 0 e) � 2x
b) � 8 d) � x f) �10x� 9
��� Copia y escribe los elementos que faltan:
a) P(x)� � � � � x� 6 Q(x)� � � � 5
P(x)� Q(x)� � � � 4x �
b) A(x)� � � � 3x� 4 B(x)� � � � � 2x �
A(x)� B(x)� � � � �x� 12
5x4
x3
5x5 7x3 8x4 3x3
26
x2 3x4 2x3
x6 4x3 3x2 x2
27
�32x2 � 13x � 2�� �
1
2
x2 �
4
3
x � 1�
�32x2 �
1
3
x � 2�� �12x2 � 43x � 1�
�25x3 �
1
2
x � 3�� ��2x3 � 15x2�
�25x3 �
1
2
x � 3�� ��2x3 �15x2�
�38x2 �
5
2
x �
3
4�� ��
1
4
x2 �
3
8
x �
1
4�� �x2 �
1
8�
28 3x2
3x2
3x2 5x2
29 x4 x3 3x2
x4 � 5x3
x5x5 2x3 3x2
7x5 2x4
5x25x3 x2
x2
x2
x4
x3x4
3x4
x3
x3
x3
2x42x2
3x2
3x2
2x4
2x4
8x3
5x4
5x4
2x2 � 5x � 3 5x2 � 2 �3x2 � x � 4
3x2 � 1
�x2 � x � 32x3 � 5x2 � 2x � 1
5x4 � 6x3 � 2x2 � 3x � 4
30
25
24
23
Para sumar dos polinomios, su-
mamos sus monomios semejan-
tes y dejamos indicadas las sumas
de los monomios no semejantes.
Q(x) � P(x) � � � 3x
P(x) � Q(x) � � � 5x � 1
P(x) � Q(x) � � � 2x � 12x23x3
2x2
4x23x3
Para restar dos polinomios, se su-
ma al primero el opuesto del se-
gundo.
Q(x) � P(x) � � � 3x
P(x) � Q(x) � � � 5x � 1
P(x) � Q(x) � � � 8x � 16x2
4x23x3
3x3
2x2
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3.2. Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer poli-
nomio por cada uno de los monomios del otro y después se suman los térmi-
nos semejantes.
Polinomios 79
EJERCICIOS RESUELTOS
5 Multiplica P(x) � Q(x) siendo P(x) � 4x � 2 y Q(x) � .
Vamos a resolverlo de dos formas distintas:
Método 1:
P(x) � Q(x) � (4x � 2) � ( � � 2x � 1) �
� 4x � ( � � 2x � 1) � 2 � ( � � 2x � 1) �
� � � � 4x � � � 4x � 2 � � � � 8x � 2
Método 2:
P(x) � � � 2x � 1
� Q(x) � 4x � 2
�2 � P(x) & � � � 4x � 2
4x � P(x) & � � � 4x
P(x) � Q(x) & � � � 8x � 214x214x34x4
8x212x34x4
6x22x3
3x2x3
14x214x34x46x22x38x212x34x4
3x2 3x2
3x2
x3x3
x3
x3 � 3x2 � 2x � 1
Actividades
� Realiza las siguientes multiplicaciones de un mono-
mio por un polinomio:
a) 2( � � 5x� 3) d) �x(� � � 5x� 3)
b) 2x( � � 5x� 3) c) � ( � � 5x� 3)
c) � f) �
�� Efectúa estas multiplicaciones de polinomios:
a) (5x � 1) � (2x � 4)
b) (� � 1) � (3� x)
c) (2� x) � ( � 3x� 1)
d) (2x� 3) � (� � 3x� 2)
e) ( � 3x� 2) � (x� 1)
f) (�3x� 2) � ( � � 2x� 1)
g) ( � � 3x� 5) � ( � 5x)
h) (x� 1) � (x� 4) � (x� 3)
i) (1� x) � (1� ) � (1� )
j) ( � 3x� 2) � (�5x� 1� )
k) ( � 3x� 2) � ( � 3x� 2)
l) ( � 3x� 2) � ( � 3x� 2)
m) (� � � 1) � ( � x� 1)
n) ( � � 2x� 7) � (� � 1)
�� Copia en tu cuaderno y completa los elementos que
faltan en la siguiente multiplicación:
� � x� 4
� �x � �
� � �x �
� � � � 20x
� � � � x � 12
�� Realiza las operaciones y simplifica:
a) 2(x� 3)� 5(x� 3)
b) (x� 1) � (x� 3)� (2x� 1) � (x� 3)
c) 5x( � 1)� ( � � 3) � (� )
d) ( � 3x) � ( � 2)� ( � 1) � ( � 4)
e) [( � 2x� 3)� ( � 2x� 3)] � ( � x)
f) [( � )� ( � )] � ( � 3)
� Dados los polinomios A(x), B(x) y C(x), realiza las ope-
raciones indicadas:
A(x)� � x� 1 B(x)� � 2x C(x)� x� 3
a) 2A(x)� B(x)� C(x) d) [A(x)� C(x)] � B(x)
b) A(x) � [B(x)� 3C(x)] e) 2A(x)� [B(x)� C(x)]
c) A(x) � B(x)� C(x) f) C(x) � [A(x)� B(x)]
� Calcula los siguientes cubos:
a) b) c) d)2x23x3
2x2
4x5
x3x4
(x � 2)3
2x2x3
(3x � 2)3(2x � 1)3(x � 1)3
5x2
15x2
x2
x2
x3
x3
25x3
3x3
x4
x4
2x2
2x3
7x3 5x3
5x2
x3
2x2 x4
6x2
2x2
2x2
3x2
x4
x2
x2 x2
x2
x2
3x2
2x2
3x3
3x2
x2
2x2
5x2
5x2
5x2
x3
x2
x2
x2
x3
x3
x3
x3
��32x2 � 276 x � 3��
4
9
x��15x3 � 2x � 3� �
5
3
x2�
x32x2 2x22x2x3
2x2x3
36
35
34
33
32
31
Potencias de polinomios
Las potencias de un polinomio son
un caso particular de la multiplica-
ción de polinomios. Veamos un
ejemplo:
Calculemos , siendo P(x) �
� � 1
� �
� ( � 1) � ( � 1) � ( � 1) �
� ( � 1) � ( � � � 1) �
� ( � 1) � ( � 2 � 1) �
� � 2 � � � 2 � 1 �
� � 3 � 3 � 1x4x6
x4x4
x2
x2x2x6
x2x4x2
x4 x2x2x2
x2x2x2
(x2 � 1)3�P(x)� 3
�P(x)� 3
x2
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 79
3.3. Identidades notables
Realizamos los productos:
� (A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � � 2AB �
� (A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � � 2AB �
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero
más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo:
El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del
primero menos el doble del producto del primero por el segundo más el cua-
drado del segundo:
Realizamos el producto:
(A � B) � (A � B) � A � A � A � B � B � A � B � B � �
La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados:
(A � B) � (A � B) � A2 � B2
A2 B2
(A � B)2 � A2 � 2AB � B2
(A � B)2 � A2 � 2AB � B2
(A � B)2 A2 B2
(A � B)2 A2 B2
80 UNIDAD 580
¿Cómo se puede expresar 
con un polinomio el área 
de este cuadrado?
El lado del cuadrado mide a � b;
por tanto, su área será . Si
te fijas en la figura, verás que:
� � 2ab �
¿Cómo se puede expresar 
con un polinomio el área 
del cuadrado azul?
El lado del cuadrado azul mide
a � b; por consiguiente, su área se-
rá . Fíjate ahora en la figura
y verás que:
� � 2ab �
(a � b)2
b2a2(a � b)2
b2a2(a � b)2
(a � b)2
a
ab
ab b2
a2
b
a
b
a
(a � b)2
b
a
bb2ab
ab
Supongamos que tenemos dos monomios, A y B, y queremos calcular el cua-
drado de la suma, , y el cuadrado de la diferencia, , de esos
monomios.
a) ¿Qué resultado obtendrías? 
b) ¿Puedes simplificar este resultado?
(A � B)2(A � B)2
Observa y resue lve
Queremos calcular ahora el producto de la suma de dos monomios por su dife-
rencia, es decir, (A� B) � (A� B). ¿Qué obtenemos?
Observa y resue lve
EJERCICIOS RESUELTOS
6 Calcula .
(3x2 � 2x5)2 � (3x2)2 � 2 � 3x2 � 2x5 � (2x5)2 � 9x4 � 12x7 � 4x10
(3x2 � 2x5)2
EJERCICIOS RESUELTOS
7 Calcula .
(2x � x3)2 � (2x)2 � 2 � 2x � x3 � (x3)2 � 4x2 � 4x4 � x6
(2x � x3)2
EJERCICIOS RESUELTOS
8 Calcula � .(7x5 � 2x6)
(7x5 � 2x6) � (7x5 � 2x6) � (7x5)2 � (2x6)2 � 49x10 � 4x12
(7x5 � 2x6)
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:09 P gina 80
Polinomios 81
Actividades
� Utiliza las identidades notables para calcular los
siguientes cuadrados de binomios:
a) (x� f) (5x� 
b) (x� g)
c) (2x� h)
d) (2x� i)
e) (5x� j)
�� Utiliza las identidades notables para calcular estos
cuadrados de binomios:
a) c)
b) d)
� Utiliza las identidades notables para calcular las
siguientes multiplicaciones de binomios:
a) (x� 1) � (x� 1) d) ( � 5) � ( � 5)
b) (x� 3) � (x� 3) e) ( � 3) � ( � 3)
c) (3x� 1) � (3x� 1) f) �
�� Calcula:
a) (x� y (1� 
b) ( � y (x� 
c) (x� y (2y� 
¿Podrías sacar alguna conclusión a la vista de los resultados
que has obtenido? Justifícala.
�� Expresa los siguientes polinomios como el cuadrado
de una suma de dos monomios:
a) � 2x� 1 d) � 2xy� 
b) � 4x� 4 e) � 4x� 1
c) � 6x� 9 f) � 12x� 4
�� Expresa estos polinomios como el cuadrado de la
diferencia de dos monomios:
a) � 10x� 25 d) � 2xy� 
b) � 4x� 1 e) � 10x� 1
c) � 12x� 4 f) � 8x� 4
�� Expresa los siguientes binomios como la suma de
dos monomios por su diferencia:
a) � 4 d) � 49
b) � 25 e) 16� 
c) � 100 f) 64� 
��� Expresa como producto de dos factores:
a) � 12x� 9 d) � x� 
b) � 625 e) � � 16
c) � 10x� 1 f) � 1
�� Copia en tu cuaderno y completa estas expre-
siones, sabiendo que se trata de identidades notables:
a) (�� � � � 12x� �
b) (�� � � � 9� �
c) (�� 5 � � �x� �
d) ( � � � �� �� 81
e) (�� � ) � (�� � )� � 49
f) (�� 3) � (�� 3)� � �
� Halla el valor numérico de las siguientes expresiones
para x� 3 e y� 2 y empareja las que den el mismo resultado. 
¿Qué observas?
a) (x� y f) � 
b) 4(x� y) g) � 2xy� 
c) (x� y h) � 
d) (x� y) � (x� y) i) � 2xy� 
e) ( � )� j) 4x� 4y
� Expresa con un polinomio el área de cada una de
estas figuras:
a)
b)
� Copia y completa las siguientes expresiones para
que sean el cuadrado de un binomio:
a) � 2x� � c) � 6x� �
b) � �� 25 d) � � 4x� 1
�� Desarrolla los productos y simplifica el resultado:
a)
b) �4( � 2x)� ( � 2x) � ( � 2x)
c)
d) (� � ( � 2x) � (7x� 1)
e) �3[(x� � ]� (�
x2
9x2
4x2 1)2 x2 3x3)2
3x32x2 � 3x5)2
(2x3 � x)2 � (4x6 � x2)
2x22x2x2
(x2 � 2x)2 � (x2 � 2x)2
4x2
y2
y2
y2
y2
y2
5x2 4x2
)2
)2
16x2
4x2
x6
x4
2x4
x4
)2
)2
)2
)2 36x2
1
4
9x4
8x2
25x2
4x2
36x2
25x2
9x2 4x2
4x2
y2
y2
9x2
4x2
3x2)2x)23x2
x)22y)2
x)21)2
�32x � 3x2��
3
2
x � 3x2�
4x24x2
�12x2 �
2
3
x�
2
�13x4 � 25x3�
2
�32x2 �
2
3
x3�
2
�2x5 � 17x3�
2
(2x2 � 3x)2
(3x2 � 5x3)2
(x2 � 4y)2(x2 � 4y)2
1)2
1)2
3)2
3)2
2)2
2)2
2x2 2x2
x2
x2
x2
x2
x2
x2x2
x2
x2
x2
x2
x2 x2
x2
x2
x2
x2
x � 2
x 
�
 2
x � 1
x �
 1
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 81
3.4. División de polinomios
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del
polinomio entre el monomio.
División entera de polinomios
La división entera de polinomios es similar a la división entera de núme-
ros reales. Observa cómo se divide P(x) � 3 � 5 � 4 � 3x � 1 entre
Q(x) � � 2x:
En la división de polinomios se cumple que el dividendo, D(x), es igual al 
producto del divisor, d(x), por el cociente, C(x), más el resto, r(x):
D(x) & D(x) � d(x) � C(x) � r(x)
r(x) C(x)
d(x)
x2
x2x4x5
82 UNIDAD 582
Actividades
� Realiza las siguientes divisiones:
a) (2x � 6) � 2
b) ( � ) �
c) ( � � 15x) � 5x
� Efectúa estas divisiones de po-
linomios:
a) ( � 5x � 3) � (x � 3)
b) ( � � 2x � 8) � (2x � 3)
c) ( � � 5x) � ( � 3) 
d) ( � � ) � (3x � 1)
� Divide los polinomios indica-
dos y comprueba el resultado utili-
zando la expresión D � d � c � r.
a) D(x) � � � � � � 1
y d(x) � � 1
b) D(x) � � � � y
d(x) � � x
�� Calcula el resto de una divi-
sión de la que conoces el dividen-
do, D(x); el divisor, d(x); y el cocien-
te, C(x):
� D(x) � � � 2x
� d(x) � � x
� C(x) � x � 1
4x2
3x2
3x3
2x3
2x27x34x42x5
x9 x7 x5 x3 x2
x2
x23x39x4
10x3
2x4 3x3
2x22x2
2x2
x35x4
x25x72x5
53
52
51
50
Grados de los polinomios que
intervienen en una división
Al dividir polinomios, hay que tener
en cuenta que:
� El grado del dividendo tiene que
ser mayor o igual que el grado del
divisor.
� El grado del resto ha de ser me-
nor que el del divisor.
� El grado del cociente es la dife-
rencia entre el del dividendo y el
del divisor.
EJERCICIOS RESUELTOS
9 Calcula � .
( � � ) � ( ) � ( ) � ( ) � ( ) � ( ) � (� ) � ( ) �
� � � 2
3x26x23x59x6 3x2 9x6 3x2 3x5 6x2 3x2
x33x4
(3x2)(9x6 � 3x5 � 6x2)
EJERCICIOS RESUELTOS
10 Comprueba en la división del ejemplo anterior que se cumple que
D(x) � d(x) � C(x) � r(x).
Dividendo: D(x) � � � � 3x � 1; Divisor: d(x) � � 2x; Cociente:
C(x) � � � 2x; Resto: r(x) � 3x � 1.
d(x) � C(x) � r(x) � ( � 2x) � ( � � 2x) � (3x � 1) �
� ( � � � � � ) � (3x � 1) � � � � 3x � 12x36x42x3x4 3x5 5x4 4x24x23x5
x23x3
3x3
4x25x43x5
x2
x2
x2
1. Se comprueba que ambos poli-
nomios están ordenados y se
deja un espacio donde falte un
término de algún grado.
� � � � 3x� 13x5 5x4 4x2 x2 � 2x
2. Se divide el término principal
del dividendo entre el término
principal del divisor:
� �
Este resultado es el primer tér-
mino del cociente.
3x5 x2 3x3
� � � � 3x� 1
3x3
3x5 5x4 4x2 x2 � 2x
3. Se multiplica por cada tér-
mino del divisor, y el resultado
se le resta al dividendo.
3x3 � � � � 3x� 1
� �
� � 3x� 1x4 4x2
3x5 6x4 3x3
3x5 5x4 4x2 x2 � 2x
4. Se repite el proceso hasta que
el polinomio obtenido tenga
un grado menor que el divisor.
� � � � 3x� 1
� � � � 2x
� � 3x� 1
� �
� � 3x� 1
� �
3x� 1
2x3
2x3
2x3x4
4x2
4x2
4x2x4
3x3 x26x43x5
4x25x43x5 x2 � 2x
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 82
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios de
menor grado.
Factorizar mediante identidades
Cuando un polinomio sea el resultado de desarrollar una identidad notable,
se puede volver a dicha identidad y así factorizar el polinomio:
A(x) � � 4 � (x � 2) � (x � 2)
B(x) � � � ( � x) � ( � x)
C(x) � � 8x � 16 � � 2 � 4x � � (x � 4)
La división exacta
Observa ahora esta división exacta de polinomios:
�2 � 5 � 2x
�2 � � 2x
4 � 2x
�4 � 2x
0
La división es exacta cuando el resto es 0, por lo que: 
Dividendo � Divisor � Cociente
Por consiguiente: 2 � 5 � 2x � (2x � 1) � ( � 2x).
Cuando un polinomio puede ser dividido de forma exacta, se puede factorizar
así: 
Dividendo � Divisor � Cociente & D(x) � d(x) � C(x)
Sacar factor común
Observa que en el polinomio P(x) � 12 � 6 � 10 todos los términos
contienen la expresión 2 :
P(x) � 2 � 6 � � � 2 � 3 � � x � 2 � 5 �
Por tanto, es posible extraer este factor común a todos los términos del
polinomio y escribir: 
P(x) � 2 (6 � 3x � 5)x2 x3
x2x2x2 x3
x2
x3 x2x5
x2
x2
x2x2x3
x2x3 2x � 1
x2x3 x2
242x2
x2x2x2
x2
x2
x4
4
Polinomios 83
Actividades
� Identifica identidades notables
y factoriza:
a) � �
b) � �
c) �
� Divide la expresión:
( � � x � 3) � (x � 3)
Utiliza el resultado para factorizar el
dividendo.
� Saca factor común:
a) �
b) �
c) � � 5
d) � � 3x
e) � � b2cab2a2b2c2
15x4
2x3y424x2y
6x2y12x6
3x2
x2
x3
9x4
9x26x4x6
4x44x6x8
56
55
5x2
18x3 6x2
54
EJERCICIOS RESUELTOS
11 Extrae factor común en los polinomios.
a) A(x) � � � b) B(x) � � � � x
A(x) � 3x � ( � � x) B(x) � x � (�3x � � 1) 4x24x4y33y8
4x33x23x29xy8 12x5y3
Observa las siguientes expresiones:
A(x) � � 4 B(x) � � C(x) � � 8x � 16
¿Cómo podrías transformar estas sumas en productos?
x2x2x4x2
Piensa y deduce
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 83
84 UNIDAD 584
Problema
A partir de dados de 1 cm de arista queremos formar cubos cuya arista mida 1 cm,
2 cm, 3 cm, … Encuentra una expresión algebraica que indique el número de
dados necesarios para formar cada cubo en función de la medida de su arista.
Resolución
1. Vamos a resolver el problema para cubos cuya arista valga 1 cm, 2 cm y 3 cm.
� Con un solo dado formamos el cubo cuya arista vale 1 cm.
� Para el cubo de 2 cm de arista, necesitamos 8 dados.
� Para el cubo de 3 cm de arista, necesitamos 27 dados.
2. Intentamos deducir una regla de formación a partir de los casos particulares:
� El cubo de 1 cm de arista tiene 1 planta formada por 1 dado.
� El cubo de 2 cm de arista tiene 2 plantas formadas por dados cada una.
� El cubo de 3 cm de arista tiene 3 plantas formadas por dados cada una.
3. Intentamos generalizar los resultados obtenidos:
Un cubo cuya arista sea de n unidades tendrá n plantas y cada una de esas
plantas será un cuadrado de lado n, es decir estará formada por dados. Luego,
para formar el cubo de n cm de arista necesitaremos n � � dados.
Otros problemas 
�� ¿Cuántos cuadrados 2 � 2 como el marcado en rojo pue-
des colorear en la figura? Escribe una expresión algebraica que
exprese el número de cuadros 2 � 2 incluidos en una figura cuyo
lado esté formado por n cuadrados.
n3n2
n2
32
22
1
Resolver casos particulares
Una forma de resolver un
problema es buscar todos
los casos posibles.
Una forma de afrontar 
un problema es resolver
casos particulares que te
permitan generalizar hasta
conseguir tu objetivo.
Estrategias para resolver problemas
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 84
Polinomios 85
Expresiones algebraicas
1 � Expresa algebraicamente estos enunciados:
a) El cubo de la suma de tres números.
b) El producto de dos números menos el producto de sus
cuadrados.
c) Diez unidades menos la suma de dos números impares
consecutivos.
d) La quinta parte del doble de la suma de dos números.
e) El doble de un número más la quinta parte de otro.
f) La diferencia entre el doble de un número y el triple de
otro.
g) La diferencia de los cubos de dos números.
h) Cinco unidades más que el diez por ciento de un nú-
mero.
2 �� Escribe un enunciado para cada expresión:
a) 2x � y d) (x �
b) 2(x � y) e) �
c) f) � y
3 �� Indica algebraicamente el perímetro y el área de
cada una de estas figuras:
a) c)
b) d)
4 �� Comprueba la siguiente igualdad para los valores
n � 5 y n � 10:
1 � 2 � 3 � … � n �
5 �� Escribe la expresión algebraica que permite calcular
el volumen de un cubo de arista x. Halla el volumen para
x � 1, x � 3 y x � 5. ¿Tiene sentido calcular el volumen para
x � �2? ¿Por qué?
6 �� Escribe la expresión algebraica que permite calcular
el precio final de un artículo que cuesta p euros después de
una rebaja del 20 %. Halla el precio final para p � 15 €. 
�
3
xy2
(1 � n) � n
2
3x � 2
3x
 �
 2
3x �
 2
y
x � 5
x
x
2x
2x � 1
2x
 �
 1
3a
a 
�
 1a �
 2
a
x2
x2 y2
y)2
Monomios. Operaciones con monomios
7 � Indica cuál es el grado, el coeficiente y la parte literal
de los siguientes monomios y escribe luego un monomio
semejante a cada uno de ellos:
a) a b) � c) d)
8 � Realiza las siguientes sumas de monomios:
a) 5x � 7x � 3x c) � � �
b) � � � d) � � �
9 � Efectúa los productos:
a) � c) �3x � �
b) � 4xyz d) � 8ab �
Polinomios
10 � Indica los términos, los coeficientes, el término inde-
pendiente y el grado de cada uno de los siguientes polino-
mios:
a) � 5x � 6 � � 3 c) �5x � �
b) � � 6x � d) � � � �
11 � Escribe un polinomio que sea:
a) Completo, ordenado, creciente y de grado 5.
b) Incompleto, de grado 10, que tenga �2 como coeficien-
te del término de grado 5 y cuyo término independiente
valga 0.
12 �� Calcula, en cada caso, el valor de a para que el valor
numérico del polinomio sea el indicado:
a) P(x) � � x � a & P(�1) � 9
b) Q(x) � � � x � a & Q(2) � 21
c) R(x) � � � 2x � a & R(0) � 5
d) S(x) � ax � 5 & S(2) � 11
Operaciones con polinomios
13 � Realiza estas sumas y restas:
a) ( � 3x � 9) � ( � 5x � 2)
b) ( � 3x � 9) � (� � 5x � 2)
c) ( � 3x � 9) � (� � 5x � 2)
d) (� � � 2) � ( � 5) � ( � x � 3)
e) � � � �� �� � � �12x5
3
4
x2
1
2
5
2
x5 2x4 x2
5x4 8x3 x2 x4
2x2 3x2
2x2 3x2
2x2 3x2
x3
x4 x2
3x2
2x3 4x4
5
4
2x5 x3 18x2
7
2
x
3x2 x4 x6 9x8
1
2
x2y2 a2b (�8a3)
2y2 (�3y2) (�5x2) 3x4y
x5 5x2 3x2 x5
1
3
x3
5
4
x2 2x2 3x2
2
5
x2
1
5
x 3x2
3
5
x2
3a2 2x3y5
3
7
x3
Ejercicios y problemas
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:10 P gina 85
86 UNIDAD 586
14 � Realiza las siguientes multiplicaciones:
a) (� ) � (4x)
b) � � � � �
c) ( � 2x � 1) � (2x � 1)
d) ( � � 2) � ( � 3x)
e) ( � � � � 7) � ( � � 2)
15 � Opera y simplifica estas expresiones:
a) 2(x � 5) � 10
b) 5(x � 2) � 6(x � 3)
c) x( � 2x � 3) � 3(x � 1)
d) 7( � 2) � � x � 1 � (x � 3) � (x � 1)
e) (x � 1) � (x � 1)� (x � 1)
16 �� Opera las siguientes expresiones y reduce a una sola
fracción:
a) �
b) �
c) � �
d) � �� ( � 2) � (2x � 3)
17 � Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), realiza las
operaciones indicadas:
P(x) � � 5x � 1 Q(x) � � � � 3 R(x) �
a) P(x) � Q(x) � R(x) c) P(x) � Q(x) � R(x)
b) [P(x) � Q(x)] � R(x) d) P(x) � [Q(x) � R(x)]
18 � Dados P(x) � � x � 2 y Q(x) � � 3x � 1, halla las
siguientes potencias:
a) [P(x)] b) [P(x)] c) [Q(x)] d) [Q(x)]
19 � Calcula:
a) (x � 5 g) (3x � 2) � (3x � 2)
b) (3x � 7 h) ( � 5x
c) (x � 5) � (x � 5) i) ( �
d) ( � 1 j) ( � 1) � ( � 1)
e) � � 3� � � � 3� k)
f) l)�75x � 2�
2
�2x � 34�
2
2x � 3x2
6
x2 � 1
3
2 � x
2
�x3 � 17x�
21
2
x
1
2
x
5x2)2
)2x2 x2x2
x3
)26x2)2
)2
32 2 4
2x2x2
2x22x2x33x2
x2
5
3
4
3
x
1
2
2x � x2
6
2x
3
2x � 3
4
x � 1
4
2
x2 5x3
x3
3x22x55x2x32x43x5
x25x4x3
3x2
4
10
x5
5
2
x3
5x2
20 � Opera y simplifica:
a) (x � 2 � (x � 2
b) (x � 2 � (x � 2
c) (1 � 3x � 4(4 � 2x
d) (3x � 2) � (3x � 2)� x(3 � 5x
e) 3 � � 2
f) � �
21 �� Efectúa las divisiones de polinomios y comprueba
los resultados utilizando D � d � c � r:
a) ( � � 4x) � (x � 1)
b) ( � � � ) � ( � 1)
c) ( � � � 4x) � (x � 2)
d) ( � � � � 2x � 1) � (2x � 1)
Factorización de polinomios
22 � Utiliza las identidades notables para factorizar los
siguientes polinomios:
a) � 2x � 1 d) � � 1
b) � 12x � 4 e) � � 4
c) � 20x � 4 f) � �
23 � Factoriza los siguientes polinomios expresándolos
como una suma por diferencia de monomios:
a) � 36 c) � e) � 81
b) 49 � d) � 1 f) �
24 � Comprueba que las siguientes divisiones son exactas
y utilízalas para factorizar el dividendo:
a) ( � � x) � (x � 1)
b) ( � � 4x � 4) � ( � 2)
25 �� Factoriza las siguientes expresiones extrayendo
factor común:
a) � � 10x
b) � 15x � 20
c) � �
d) 3(x � 5) � 5(x � 5)� 8(x � 5)
e) ( � 3) � 3x( � 3) � 4( � 3)
f) � �
x4x2
25x2
1
16
4x2
2
3
x2
1
3
x
1
3
x2 x2 x2 x2
6x4 4x3 12x2
5x3
2x3 3x2
x4 2x3 x2
x3 2x2
1
4
x4 x2
9x2
25x2
1
9
x2
1
3
x
1
4
9x2 x4 4x2
x2 x4 2x2
10x5 5x4 4x3 2x2
8x4 24x3 13x2
2x5 x4 5x3 2x2 x2
2x3 3x2
�x � 12� �x �
1
2� �x � 12�
2
�13x � 5�
2 1
2�x �
1
3�
2
)2
)2 )2
)2 )2
)2 )2
Ejercicios y problemas
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:11 P gina 86
Polinomios 87
Problemas con expresiones algebraicas
26 � El primero de tres números consecutivos es a � 1.
Calcula el producto de los tres números.
27 � Luis tiene x años, y su madre, el triple que él. ¿Qué
edad tendrá Luis dentro de siete años? ¿Y su madre? Resuelve
el problema para x � 14.
28 � La altura de un rectángulo es 3 m menor que su
base. ¿Cuál será la expresión de su área? Calcula el área en
el caso de que la base mida 12 m.
29 �� Escribe en lenguaje algebraico el desarrollo del
siguiente juego y simplifica el resultado para explicar cómo
se puede averiguar el número inicial:
Piensa un número, súmale 2, multiplica el resultado por 10,
divide lo que te dé entre 5, resta 4 al resultado, anota lo que
obtienes finalmente.
30 �� En un jardín hay el doble de petunias que de gera-
nios. Si se siembran cinco geranios más y se transplanta a
otro jardín una tercera parte de las petunias, ¿qué expresión
refleja el total de plantas que tiene ahora el jardín? ¿Cuántas
plantas habrá al final si al principio había 24 petunias?
31 ��� Una clase de 3.° de ESO comienza el curso con x
chicos e y chicas. A las dos semanas, María y Ana se cambian
de colegio, al tiempo que cinco chicos vienen a estudiar a
esa misma clase. Al mes, la clase va a visitar un museo junto
con otros grupos, de manera que se dobla el número de
chicos, mientras que el de chicas se incrementa en 21. En el
primer turno de visita solo dejan entrar a una cuarta parte
de los chicos y a un tercio de las chicas:
Escribe la expresión algebraica que indica el número de chi-
cos y chicas que entra al museo en ese turno.
Ejercicios y problemas
Traduces un enunciado a una expresión
algebraica, y viceversa
1 Escribe una expresión algebraica que traduzca los
siguientes enunciados:
a) El triple de la diferencia de dos números.
b) El cuadrado de un número impar.
2 Redacta un enunciado que se corresponda con las
siguientes expresiones:
a) b) �
Hallas el valor numérico de una expresión
algebraica
3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresio-
nes algebraicas para el valor de la variable indicada:
a) 6x� 4, para x � �2.
b) 2x � , para x � 5 e y � 9.
c) , para x � �1 e y � 0.
d) �2 , para x � 2. 
Identificas los elementos de un polinomio 
y calculas valores numéricos
4 Escribe un polinomio ordenado y completo de grado
5 cuyo término principal tenga por coeficiente �2 y cuyo
término independiente sea 6.
5 Dado el polinomio P(x) � � � , calcula P(1), 
P(�1) y P(0). 
Realizas operaciones con polinomios
6 Efectúa las operaciones indicadas:
P(x) � � � x � 3
Q(x) � � � 6x � 4
R(x) � 4x � 1
a) P(x) � Q(x)� R(x) e) 2P(x) � 5R(x)
b) P(x) � Q(x) f) (x)
c) R(x) � [P(x) � Q(x)] g) (x)
d) (x) h) Q(x) � R(x)
7 Realiza la siguiente división de polinomios:
(� � � � 6x � 3) � (�2x � 1)
Factorizas polinomios
8 Encuentra identidades notables y úsalas para factori-
zar los siguientes polinomios:
a) � � 
b) �
9 Extrae factor común en las siguientes expresiones:
a) � 6ab� 
b) � � � 
10 Utilizando la división del ejercicio 7, factoriza el
siguiente polinomio:
� � � � 6x � 3
R2
x35x46x5
4x3y12x3y24x4y48x5y
12a23a3b2
x24x6
9x66x5x4
R3
Q2
x35x46x5
x2
5x22x3
3
2
xx2
1
2
x3
�x6
6x2y
y
3
�x � y y2x2
Evaluación
0S3MTLA11.05 15/2/11 12:11 P gina 87