Ecuaciones Ecuaciones De 2do Grado Introducción y Ejercicios_0

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Kharla Mérida 
Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
 Las Ecuaciones de 2do grado son otro tipo de representación de situaciones, 
eventos o fenómenos observados por el hombre, de tal manera que una cantidad 
representada con una letra, quede expresada en forma cuadrática, e igualada a 
cero. Este tipo de ecuaciones son vitales para el cálculo de valores de diversos 
fenómenos, en distinta áreas del conocimiento. Aprendamos cómo resolverlas. 
1 
 El tiempo es amigo y cómplice cuando desarrollamos la capacidad de 
hacer que cada vivencia sea materia prima de la evolución. 
10.2 Ecuaciones de 2do Grado 
Descripción 
10 
10ma Unidad 
 Ecuaciones 
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
2 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el 
Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
Videos Disponibles 
 Operaciones y Simplificación en los Números Reales. 
 Ecuaciones de 2do Grado. Definición y Casos, Resolvente y Deducción, Resolver 
Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicios, Enunciados que Resultan en Ecuaciones de 2do 
Grado. Problemas. 
ECUACIONES. De 2do Grado. Definición y Casos 
ECUACIONES. De 2do Grado. Caso 2 
ECUACIONES. De 2do Grado. Caso 3 
ECUACIONES. De 2do Grado. Caso 4 
ECUACIONES. De 2do Grado. Resolvente. Deducción 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 1 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 2 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 3 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 4 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 5 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 6 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 7 
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Kharla Mérida 
Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
ECUACIONES. De 2do Grado. Definición y Casos 
De 2do Grado. Es una ecuación cuya expresión es cuadrática. 2ax +bx + c = 0
 Hay 4 casos fundamentales en las ecuaciones de 2do Grado. 
Caso 1. Si b = c = 0 
Caso 2. Si c = 0 
Caso 3. Si b = 0 
Caso 4. Si a  0, b  0 y c  0 
 La ecuación queda de la forma 2ax = 0
2x = 0
x = 0
la ecuación queda de la forma 
3 
Guiones Didácticos 
2ax +bx = 0
la ecuación queda de la forma 
pasamos a dividiendo al cero 
Despejando x 
observamos que ambos términos tienen el factor x. 
sacamos x factor común y queda x(ax  b) 
Nota: para que el producto de dos cantidades de cero, es 
necesario que al menos una de las dos cantidades sea 
cero. 
 x ax +b = 0
x = 0 ax +b = 0
Despejando x x = 0
b
x = -
a
Una vez aquí existen dos posibilidades de solución: 
• Que x2 sea igual a un número positivo, lo que nos 
da dos soluciones en los reales. 
• Que x2 sea igual a un número negativo. Lo cual no 
tiene solución en los reales. 
2ax + c = 0
Despejando x 
2 cx = -
a
c
-
a
positivo 
c
-
a
negativo 
Esta es la forma completa de la ecuación de 2do grado. Para hallar el valor de x en 
este caso se aplica la fórmula de la ecuación de segundo grado, llamada también 
Resolvente. 
2ax +bx + c = 0
2-b ± b 4ac
x =
2a

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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
ECUACIONES. De 2do Grado. Casos 2 
Hallar las soluciones de las ecuaciones de 2do grado dadas 
Resolvamos la ecuación 2x2 – 12x = 0 
4 
Caso 2. Si c = 0 , ax2 + bx = 0 
 Basándonos en la ecuación de 2do grado general podemos 
ver que falta el término independiente, por lo que c vale cero 
que corresponde al caso 2. 
22x 12x = 0 
25x 15x = 0  
27x 21x = 0
2ax +bx + c = 0
2ax +bx = 0
0
Descomponemos cada término en factores más simples. 
Sacamos 2x como factor común 
2x.x – 6.2x 
2x(x – 6) = 0 
Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada 2x = 0 x – 6 = 0 
x = 6 x = 0 
Resolvamos la ecuación 5x2 + 15x = 0 
Descomponemos cada término en factores más simples. 
Sacamos 5x como factor común 
5x.x + 3.5x 
5x(x + 3) = 0 
Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada 5x = 0 x + 3 = 0 
x = -3 x = 0 Despejamos 
Despejamos 
Resolvamos la ecuación –7x2 – 21x = 0 
Descomponemos cada término en factores más simples. 
Sacamos 5x como factor común 
–7x.x – 37x = 0 
–7x(x + 3) = 0 
Igualamos a cero cada factor de la expresión factorizada –7x = 0 x + 3 = 0 
x = -3 x = 0 Despejamos 
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
ECUACIONES. De 2do Grado. Casos 3 
Hallar las soluciones de las ecuaciones de 2do grado dadas 
El 1 que está restando pasa sumando al cero 
5 
Caso 3. Si b = 0 , ax2 + c = 0 
 Basándonos en la ecuación de 2do grado general, 
podemos ver que falta el término de grado 1, por lo que b 
vale cero y se corresponde con el caso 3. 
4x2 – 1 = 0 3x2 + 12 = 0 –2x2 + 6 = 02ax +bx + c = 0
2ax + c = 0
0
Resolvamos la ecuación 4x2 – 1 = 0 
x = - ½ , x = ½ 
4x2 = 1 
El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 
2 1x =
4
Dos números satisfacen esta ecuación 
Nota: Para despejar x de una ecuación de la forma x2 = a, se aplica raíz cuadrada 
del otro lado de la igualdad, considerando dos posibles valores una negativa y una 
positiva. 
 Recordemos que toda potencia con exponente es par resulta positiva, para 
cualquier signo de la base. 
x2 = a 2(- a) = a
( )2a = ax = a
Resolvamos la ecuación 3x2 + 12 = 0 
El 12 que está sumando pasa restando al cero 3x2 = – 12 
El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 
2 12x = -
3
Dos números satisfacen esta ecuación 2x = -4
¿Qué números reales elevados al cuadrado resultan -4 ? 
 Sabemos que toda potencia con exponente par resulta positiva, así que no hay 
valor real que elevado al cuadrado de negativo. Esta ecuación no tiene solución. 
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
6 
El 6 que está sumando pasa restando al cero 
Resolvamos la ecuación –2x2 + 6 = 0 
–2x2 = – 6 
El 4 que está multiplicando a x2 pasa dividiendo al 1. 
2 -6x =
-2
Dos números satisfacen esta ecuación 
2x = 3
x = - 3 x = 3
ECUACIONES. De 2do Grado. Casos 4 
 Esta fórmula es infalible o concluyente para obtener las raíces de una expresión 
cuadrática, en caso de que las tenga, o saber que no tiene. 
Discriminante, Es el binomio que está como cantidad subradical en la Resolvente. 
Se simboliza con la letra griega delta mayúscula, . 
 = b2 – 4ac 
Dos Soluciones 
Una Solución 
Sin Solución 
Para que la ecuación tenga dos soluciones, el 
discriminante debe ser mayor que cero. 
Caso 4. Si a  0, b  0 y c  0 , ax2 + bx + c = 0 
Resolvente, fórmula para resolver ecuaciones de 2do grado. 
2ax +bx + c = 0
2-b ± b 4ac
x =
2a

Nota: el valor del Discriminante indica el tipo de solución que tiene una ecuación de 
2do grado. 
2b 4ac > 0
2b 4ac = 0
2b 4ac < 0
Para que la ecuación tenga una solución, el 
discriminante debe ser igual a cero. 
Para que la ecuación no tenga solución, el 
discriminante debe ser menor que cero. 
Determinar si la ecuación 3x2 – 10x + 7 = 0 tiene solución y cuáles. 
Ejemplo 
Tenemos que a = 3, b = -10 y c = 7 
sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula    
2=(-10) 4 3 7
 =100 84 =16Efectuamos las operaciones 
 =16
Como  = 16  0 (positivo) la ecuación tiene dos soluciones. 
2= b 4ac 
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
Aplicamos la fórmula sustituyendo los valores de a, b y c. 
7 
2-b ± b 4ac
x =
2a

  

2-(-10)± (-10) 4 3 7
x =
2 3

 
10 ± 100 84 10 ± 16
x
6 6
Efectuando las operaciones 
7
x =
3
x =1
ECUACIONES. De 2do Grado. Resolvente. Deducción 
 Para deducir la resolvente, partimos de la ecuación de 2do 
grado y utilizamos un recurso visto en matemática de 2do 
año, factorizar completando trinomio cuadrado perfecto. 
2-b ± b 4ac
x =
2a

2ax +bx + c = 0
 Necesitamos que haya al menos un término cuadrado perfecto. 
Dividimos toda la ecuación entre a 
Simplificamos las a 
 Observamos que el término cuadrado perfecto es x2 
2a b c 0x + x + =
a a a a
2 b cx + x + = 0
a a
Dividimos el coeficiente de x entre 2 y elevamos el 
cociente al cuadrado. Este valor es el segundo cuadrado 
perfecto del trinomio. 

b
ba
2 2a
 
 
 
2 2
2
b b
2a 4a
Sumamos y restamos el valor obtenido al trinomio 
cuadrado 
Ordenamos la expresión: primero los tres términos del 
trinomio cuadrado perfecto (TCP), luego los dos términos 
restantes. 

2 2
2
2 2
b c b b
x + x + + = 0
a a 4a 4a

2 2
2
2 2
b b c b
x + x + + = 0
a 4a a 4a
cuadrado perfecto 
TCP 
Factorizamos el TPC, colocamos las raíces de los términos 
cuadrados entre paréntesis, separamos con el signo del 
doble producto y elevamos al cuadrado. Los otros dos 
términos los pasamos al otro lado efectuando la operación 
contraria. 
 
  
 
2 2
2
b c b
x + =
2a a 4a
Efectuamos la suma del 2do lado de la igualdad 
 
 
 
2 2
2
b b 4ac
x + =
2a 4a
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
Para eliminar el cuadrado de la potencia del 1er lado 
de la igualdad aplicamos raíz cuadrada del otro lado, 
recordando colocar el doble signo de las dos posibles 
soluciones. 
8 
Distribuimos la raíz para numerador y denominador y 
simplificamos la raíz de 4a2. 
 
 
 
2 2
2
b b 4ac
x + =
2a 4a


2
2
b b 4ac
x + =
2a 4a


2
2
b b 4ac
x + =
2a 4a

 
2b b 4ac
x =
2a 2a
Pasamos b/2a, que está sumando, al otro lado 
restando. 
Efectuamos la suma de fracciones con igual 
denominador. 
  2b b 4ac
x =
2a
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 1 
 Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado –x2 + 3x + 7 = 0 y 
resolverla 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, que es el coeficiente de x2, es -1 
• b, que es el coeficiente de x, es 3 
• c, que es el término independiente, es 7 
 Esta ecuación tiene todos los términos corresponde al 4to caso. El 
discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y cuántas. 
a = -1 b = 3 c = 7
 2x + 3x +7 = 0
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
 El discriminante dio 37, un valor positivo, la ecuación tiene dos soluciones. 
   2= 3 4 (-1) 7
 2= b 4ac
 = 9 28  = 37
sustituimos a, b y c en la resolvente. 
   2-3 3 4 (-1) 7
x =
2(-1)
-3 37
x =
-2
Efectuamos las operaciones 
-3 37
x =
-2
-3 37
x =
-2
Separamos las soluciones 
3 37
x =
2
3 37
x =
2
Si multiplicamos numerador y denominador por -1 
no se altera la fracción con esto logramos que el 
denominador quede positivo. 
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 2 
 Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 4x2 + 12x + 9 = 0 y 
resolverla 
9 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, que es el coeficiente de x2, es 4 
• b, que es el coeficiente de x, es 12 
• c, que es el término independiente, es 9 
 Esta ecuación tiene todos los términos corresponde al 4to caso. El 
discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y cuántas. 
a = 4 b =12 c = 9
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
 El discriminante dio 0, la ecuación tiene una solución. 
   2=12 4 4 9
 =144 144  = 0
sustituimos a, b y c en la resolvente. 
   

2-12 12 4 4 9
x =
2 4
Efectuamos las operaciones 
 -12 144 144
x =
8


-12 0 12
x = -
8 8
3
x = -
2Simplificamos 
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 3 
Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 3x2 + 8x = 0 y resolverla 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, que es el coeficiente de x2, es 3 
• b, que es el coeficiente de x, es 8 
• c, que es el término independiente, es 0 
 A esta ecuación le falta el término independiente, corresponde al 
2do caso. El discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y 
cuántas. 
a = 3 b = 8 c = 0
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
 El discriminante dio 0, la ecuacióntiene una solución. 
   2= 8 4 3 0
 = 64 0  = 64
sustituimos a, b y c en la resolvente. 
   

2-12 12 4 4 9
x =
2 4
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
 El caso dos tiene dos soluciones, una de ellas es cero, sin embargo hallaremos el 
valor del discriminante para verificar la correspondencia entre su valor y la cantidad 
de soluciones. 
Aplicamos factorización por factor común 
F.C. = x 
10 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, que es el coeficiente de x2, es 3 
• b, que es el coeficiente de x, es 8 
• c, que es el término independiente, es 0 
 A esta ecuación le falta el término independiente, corresponde al 
2do caso. El discriminante nos dice si la ecuación tiene solución y 
cuántas. 
a = 3 b = 8 c = 0
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
 El discriminante dio 0, la ecuación tiene dos soluciones. 
   2= 8 4 3 0
 = 64 0  = 64
 Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común. 
¿cuál es el factor común en la expresión cuadrática?. 
 Colocamos x seguida de paréntesis . 
3x2 + 8x = 0 
x( ) = 0 
x(3x + 8) = 0 
Dividimos cada término de la expresión cuadrática 
entre el factor común, x, y colocamos los cocientes 
en el paréntesis. 
3x2 
x = 3x 
8x 
x = 8 
Igualamos a cero cada factor x = 0 3x + 8 = 0 
Recordemos. Para que el producto de dos factores sea igual a cero, ab = 0, es 
necesario que a = 0 o que b = 0. 
Despejamos x de la segunda igualdad x = 0 
8
x = -
3
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 4 
Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado -9 + 4x2 = 0 y resolverla 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, que es el coeficiente de x2, es 4 
• b, que es el coeficiente de x, es 0 
• c, que es el término independiente, es -9 
a = 4 b = 0 c = -9
 A esta ecuación le falta el término de grado 1, corresponde al 3er 
caso. Hallaremos igual el discriminante para verificar la 
correspondencia entre su valor y el tipo de solución. 
 2= b 4ac
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Matemática de 3er Año Ecuaciones de 2do Grado 
11 
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
El discriminante dio 144, positivo, la ecuación tiene dos soluciones. 
   2= 0 4 4 (-9)
 = 0 144  =144
despejamos x de la ecuación. 
Pasamos 9 sumando 
3
x = -
2
Aplicamos raíz cuadrada al segundo lado de la 
igualdad, considerando los dos signos 
3
x =
2
-9 + 4x2 = 0 
4x2 = 9 
2 9x =
4
Pasamos 4 dividiendo 

9
x =
4
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 5 
Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 2x2 + 6 = 0 y resolverla 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, coeficiente de x2, es 2 
• b, coeficiente de x, es 0 
• c, término independiente, es 6 
 A esta ecuación le falta el término de grado 1, corresponde al 3er 
caso. Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de 
solución tiene la ecuación. 
a = 2 b = 0 c = 6
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
   2= 0 4 2 6
 = 0 48  = -48
 El discriminante dio -48, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. Sin 
embargo despejaremos x para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no 
tiene solución. 
Pasamos 6, que está sumando, restando al otro lado 
2x2 + 6 = 0 
2x2 = -6 
Pasamos 2 dividiendo al otro lado 
2 6x = -
2
2x = -3
Llegamos a la igualdad de una potencia de exponente par con un número 
negativo. Sabemos que toda potencia con exponente par es positiva, por 
lo que esta igualdad no se cumple para ningún valor real. La ecuación no 
tiene solución. 
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ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 6 
Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado x2 + x + 6 = 0 y resolverla 
 La raíz de un número negativo no existe en los números reales, es decir, no existe en 
los reales un número que elevado al cuadrado de -23, de modo que esta ecuación 
no tiene solución. 
12 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, coeficiente de x2, es 1 
• b, coeficiente de x, es 1 
• c, término independiente, es 6 
 Esta ecuación tiene todos los términos, corresponde al 4to caso. 
Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de 
solución tiene la ecuación. 
a =1 b =1 c = 6
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
   2=1 4 1 6
 =1 24  = -23
 El discriminante dio -23, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. 
Aplicaremos la resolvente para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no 
tiene solución. 
sustituimos a, b y c en la fórmula de la resolvente 
   

2-1 1 4 1 6
x =
2 1
La cantidad subradical es el discriminante, que vale 
-23 
-1 -23
x =
2
ECUACIONES. Resolver Ecuaciones de 2do Grado. Ejercicio 7 
 Identificar a qué caso pertenece la ecuación de 2do grado 2x2 + 7x + 9 = 0 y 
resolverla. 
¿Qué valores tienen a, b y c? 
• a, coeficiente de x2, es 2 
• b, coeficiente de x, es 7 
• c, término independiente, es 9 
 Esta ecuación tiene todos los términos, corresponde al 4to caso. 
Hallemos el valor del discriminante para verificar que tipo de 
solución tiene la ecuación. 
a = 2 b = 7 c = 9
 2= b 4ac
sustituimos a, b y c en la fórmula del discriminante 
   2= 7 4 2 9
 = 49 72  = -23
 El discriminante dio -23, negativo, por lo que la ecuación no tiene solución. 
Aplicaremos la resolvente para que visualices lo que sucede cuando la ecuación no 
tiene solución. 
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 Veamos cómo queda la resolvente al sustituir los valores. 
13 
 La raíz de un número negativo no existe en los números reales, es decir, no existe en 
los reales un número que elevado al cuadrado de -23, de modo que esta ecuación 
no tiene solución. 
sustituimos a, b y c en la fórmula de la resolvente 
   

2-7 7 4 2 9
x =
2 2
La cantidad subradical es el discriminante, que vale 
-23 
-7 -23
x =
4
 Ahora veremos un caso especial de ecuaciones de 2do grado, las Ecuaciones con 
valor absoluto. Es recomendable revisar los objetivos 4.1 Números Negativos, Valor 
Absoluto, El Opuesto, Representación de Números Enteros en la Recta y 7.4 
Inecuaciones. Con Valor Absoluto para estar al día en el significado y definición 
matemática de Valor Absoluto. 
ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 4 
Resolver la ecuación dada 
2x + 4x = 5
Recordemos. que para que el valor absoluto sea igual a 15 es necesario que su 
argumento sea igual a -15 o a 15. 
 Estas dos posibilidades nos llevarán a dos soluciones para la ecuación planteada. 
En la primera ecuación: 
Pasamos 5 sumando al primer lado de la 
igualdad. 
Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo 
2x + 4x = -5 2x + 4x = 5
x2 + 4x + 5 = 0 
Lo primero que haremos es aplicar la definición de valor absoluto. 
x2 + 4x = -5 
Los valores de a, by c para esta ecuación son: a = 1, 
b = 4 , c = 5. Aplicamos la resolvente. 
   

2-4 4 4 1 5
x =
2 1
El discriminante es un valor negativo, la raíz de un 
número negativo no existe en los reales. La ecuación 
no tiene solución. 
 -4 16 20
x =
2
 = -5  0 
En la segunda ecuación: 
Pasamos 5 restando al primer lado de la 
igualdad. 
x2 + 4x – 5 = 0 
x2 + 4x = 5 
Los valores de a, b y c para esta ecuación son: a = 1, 
b = 4 , c = -5. Aplicamos la resolvente. 
   

(2-4 4 4 1 -5)
x =
2 1
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14 
El discriminante es un valor positivo, procedemos a 
calcular el valor de la resolvente. 
 -4 16 20
x =
2
 = 36  0 
 

-4 36 -4 6
x =
2 2
Efectuamos las operaciones, y separamos las 
soluciones para simplificar fracciones. 
-4 6
x =
2
-4 6
x =
2
x =1 x = -5
ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 6 
Resolver la ecuación dada 
Lo primero que haremos es aplicar la definición de valor absoluto. 
La ecuación tiene como solución 2x + 4x = 5
 25x x = 9x
 Como no sabemos si 5x – x2 es positivo o negativo, consideramos las dos 
posibilidades. 
5x – x2 = 9x 
 Cada una de estas posibilidades dan dos soluciones para la ecuación planteada. 
Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo 
5x – x2 = -9x 
En la primera ecuación: 
Reunimos todos los términos en el 1er lado de la 
igualdad. 
5x – x2 – 9x = 0 
Los valores de a, b y c para esta ecuación son: a = 1, 
b = 4 , c = 0. Hallamos el discriminante.    
2= 4 4 1 0
5x – x2 = 9x 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1, 
para que el coeficiente de x2 quede positivo. 
x2 + 4x = 0 
 =16
Simplificamos términos semejantes y ordenamos los 
términos. Corresponde al caso 2. 
– 5x + x2 + 9x = 0 
 El discriminante dio 16, positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones. 
Aplicamos factorización por factor común. 
F.C. = x 
 Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común. 
¿cuál es el factor común en la expresión cuadrática?. 
 Colocamos x seguida de paréntesis . 
x2 + 4x = 0 
x( ) = 0 
x(x + 4) = 0 
Dividimos cada término de la expresión cuadrática 
entre el factor común, x, y colocamos los cocientes 
en el paréntesis. 
x2 
x = x 
4x 
x = 4 
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Despejando x de la segunda igualdad 
15 
Igualamos a cero cada factor x = 0 x + 4 = 0 
x = 0 x = -4 
En la segunda ecuación: 
Reunimos todos los términos en el 1er lado de la 
igualdad. 
5x – x2 + 9x = 0 
Los valores de a, b y c para esta ecuación son: a = 1, 
b = -14 , c = 0. Hallamos el discriminante. 
   2=(-14) 4 1 0
5x – x2 = -9x 
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1, 
para que el coeficiente de x2 quede positivo. 
x2 – 14x = 0 
 =196
Simplificamos términos semejantes y ordenamos los 
términos. Corresponde al caso 2. 
– 5x + x2 – 9x = 0 
 El discriminante dio 196, positivo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones. 
Aplicamos factorización por factor común. 
F.C. = x 
 Sólo x está en ambos términos del binomio entonces x es el factor común. 
¿cuál es el factor común en la expresión cuadrática?. 
 Colocamos x seguida de paréntesis . 
x2 – 14x = 0 
x( ) = 0 
x(x – 14) = 0 
Dividimos cada término de la expresión cuadrática 
entre el factor común, x, y colocamos los cocientes 
en el paréntesis. 
x2 
x = x 
14x 
x = 14 
Despejando x de la segunda igualdad 
Igualamos a cero cada factor x = 0 x – 14 = 0 
x = 0 x = 14 
Nota: el cero es solución común a ambas ecuaciones. 
Entonces la ecuación con valor absoluto tiene 
realmente tres soluciones. 
x = 0 x = 14 x = -4 
ECUACIONES. Con Valor Absoluto. Ejercicio 7 y 8 
Resolver la ecuación |x2 – 3|= 6. 
Lo primero que haremos es aplicar la definición de valor absoluto. 
 Como no sabemos si x2 – 3 es positivo o negativo, consideramos las dos 
posibilidades. 
x2 – 3 = -6 
 Cada una de estas posibilidades dan dos soluciones para la ecuación planteada. 
Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo 
x2 – 3 = 6 
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 Ambas son ecuaciones cuadráticas correspondientes al caso 3, en el que b = 0. 
16 
 Pasaremos el 3, que está restando, al otro lado de la ecuación sumando. 
 En ambas ecuaciones, operamos la suma de algebraica del segundo lado de la igualdad. 
x2 = -6 + 3 x2 = 6 + 3 
x2 = -3 x2 = 9 
 Esta igualdad no se cumple para ningún 
número real. Toda potencia con 
exponente par es positiva, por lo tanto 
diferente de un número negativo. 
x2 = -3 
En este punto atenderemos cada ecuación de forma independiente 
x = -3 x = 3 
 En la segunda igualdad aplicamos raíz 
cuadrada en el segundo lado de la 
igualdad considerando los dos signos. 
x = 9
La ecuación con valor absoluto tiene dos soluciones. x = -3 x = 3 
Resolver la ecuación |x2 – 9|= 7. 
Lo primero que haremos es aplicar la definición de valor absoluto. 
 Como no sabemos si x2 – 9 es positivo o negativo, consideramos las dos 
posibilidades. 
x2 – 9 = -7 
 Cada una de estas posibilidades dan dos soluciones para la ecuación planteada. 
Que el Argumento sea Negativo Que el Argumento sea Positivo 
x2 – 9 = 7 
 Ambas son ecuaciones cuadráticas correspondientes al caso 3, en el que b = 0. 
 Pasaremos el 9, que está restando, al otro lado de la ecuación sumando. 
 En ambas ecuaciones, operamos la suma de algebraica del segundo lado de la igualdad. 
x2 = -7 + 9 x2 = 7 + 9 
x2 = 2 x2 = 16 
 Aplicamos raíz cuadrada en el segundo lado de la igualdad considerando los dos signos. 
x = 16
La ecuación planteada tiene cuatro soluciones. 
x = 2 x = 4x = 2 x = 4x = 2
x = 2 x = 2 x = 4 x = 4
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De 2do Grado. Es una ecuación cuya expresión es cuadrática. 
Emparejando el Lenguaje 
2ax +bx + c = 0
Discriminante, Es el binomio que está como cantidad subradical en la Resolvente. Se 
simboliza con la letra griega delta mayúscula, . 
 = b2 – 4ac 
17 
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18 
A Practicar 
Resolver las siguientes ecuaciones de 2do grado 
1. 2x2 + 1 = 0 
2. -x2 + 3x + 7 = 0 
3. x2 + 2x + 3 = 0 
4. 12x2 – 8x = 0 
5. 14x – x2 = 0 
6. 16 – 9x2 = 0 
7. 3x2 + 4x – 8 = 0 
8. 4x2 + 4x – 3 = 0 
9. – x2 – 6 = 0 
10. – 7x2 – 21x = 0 
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19 
¿Lo Hicimos Bien? 
1. No tiene solución en los reales 
2. 
3. No tiene solución en los reales 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. No tiene solución en los reales 
10. x = 0 , x = -3 
3 37
x =
2
3 37
x =
2
,
3 1
x = - x =
2 2
2
x = 0 , x =
3
x = 0 , x =14
,
4 4
x = - x =
3 3
 
,
-2 2 7 -2 2 7
x = x =
3 3
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