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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Fís. Carlos Adrián Jiménez Carballo Escuela de Física Instituto Tecnológico de Costa Rica 1 / 34 Objetivos Al finalizar esta sección el estudiante deberá ser capaz de • Identificar un movimiento periódico. • Identificar las principales características físicas del movimiento periódico • Identificar diferentes fenómenos físicos que cumplen con el MAS. • Identificar las causas del movimiento armónico simple (MAS). • Interpretar la ecuación diferencial del MAS. • Interpretar la solución de la ecuación diferencial del MAS. • Extraer información de gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo de distintos fenómenos físicos. • Construir las ecuaciones de las funciones de posición, velocidad y aceleración a partir de la información extraída de las gráficas. 2 / 34 Conocimientos previos Para esta sección los estudiantes deben tener conocimientos previos en • Matemática básica. • Cálculo diferencial, principalmente los conceptos de derivada e integral • Física general, principalmente los conceptos de mecánica clásica, como por ejemplo las leyes de newton, los conceptos de posición, distancia, velocidad y aceleración, las definiciones de energía cinética, energía potencial y energía mecánica. 3 / 34 Contenido Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 4 / 34 Contenido Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 5 / 34 Movimiento periódico Un movimiento periódico es aquel que después de cierto tiempo se vuelve a repetir de nuevo el ciclo o recorrido de una partícula Figura: Movimiento periódico de la luna alrededor de la tierra 6 / 34 Ejemplos: Movimiento periódico • La oscilación de una masa acoplada a un resorte • El movimiento de un péndulo • Las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical • La rotación de la Tierra • Las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio • La corriente eléctrica en los circuitos de corriente alterna 7 / 34 Contenido Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 8 / 34 Amplitud de movimiento • Se denotada con la letra A y se define como la magnitud máxima del desplazamiento con respecto al equilibrio; es decir, el valor máximo de |x | y siempre es positiva. • El rango global del movimiento es 2A. • Las unidades de A depende del fenómeno físico que estemos trabajando. 9 / 34 Periodo y frecuencia El periodo se denota con la letra T y se define como el tiempo que tarda en cumplirse un ciclo. La unidad del periodo en el SI es el segundo, aunque a veces se expresa como segundos por ciclo. La frecuencia se denota con la letra f , y se define como el número de ciclos por la unidad de tiempo que realiza un movimiento periódico. La frecuencia se relaciona con el periodo mediante la siguiente relación f = 1/T . La unidad de la frecuencia en el SI es el hertz( 1 Hz = ciclo/s = 1 s−1 ) . 10 / 34 Frecuencia angular La frecuencia angular se denota con la letra ω, y se define ω = 2πf = 2πT La frecuencia angular representa la rapidez de cambio de una cantidad angular la cual se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/s 11 / 34 Contenido Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 12 / 34 Movimiento Armónico simple El Movimiento Armónico Simple (MAS) es el movimiento periódico más sencillo que se puede analizar, el cual sucede cuando existe una fuerza de restitución FR , la cual es directamente proporcional al desplazamiento x con respecto a un punto equilibrio. −x xx0 FR FR 13 / 34 MAS: Sistema masa-resorte El caso mas común es la fuerza que experimenta un partícula de masa m atada a un resorte, donde dicha fuerza se define como FR = −kx . donde el signo (−) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación 14 / 34 Oscilador armónico Un cuerpo que describe un MAS se denomina oscilador armónico. El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro. 15 / 34 Ecuación diferencial del MAS Si se considera el sistema masa-resorte y se aplica la segunda ley de Newton a la masa m∑ Fx = −kx = ma. Usando la definición de aceleración se tiene −kx = md 2x dt2 . Finalmente se obtiene la ecuación diferencial general del MAS d2x dt2 + ω 2x = 0, donde la frecuencia angular del sistema se define como ω = √ k/m. 16 / 34 La solución de dicha ecuación diferencial es x (t) = A cos (ωt + φ) , donde x describe la posición de la masa y la constante φ es el ángulo de fa- se, el cual sirve para encontrar las condiciones iniciales (x (0), vx (0) y ax (0)) del movimiento del oscilador T 2T 3T 4T −A A t x(t) posicion 17 / 34 Características MAS: Sistema masa-resorte Para un sistema masa-resorte que describe un MAS las características del movimiento quedan definidas en términos de ω, como por ejemplo • Periodo T = 2π ω = 2π √m k . • Frecuencia f = ω2π = 1 2π √ k m . De lo anterior se puede ver que en el MAS descrito por un sistema masa-resorte, el periodo y la frecuencia no dependen de la amplitud. 18 / 34 Velocidad para una masa que describe un MAS Usando la definición de velocidad se obtiene v (t) = dxdt = −Aωsen (ωt + φ) T 2T −vmax vmax t v(t) velocidad 19 / 34 Aceleración para una masa que describe un MAS Usando la definición de aceleración se obtiene a (t) = dvdt = −Aω 2 cos (ωt + φ) T 2T −amax amax t a(t) aceleracion 20 / 34 Ecuaciones de posición, velocidad y aceleración Resumen Cantidad física definición Ecuación Máximo Posición x (t) = A cos (ωt + φ) xmax = A Velocidad v = dxdt v (t) = −Aωsen (ωt + φ) vmax = Aω Aceleración a = dvdt a (t) = −Aω 2 cos (ωt + φ) amax = Aω2 21 / 34 Posición vs velocidad −vmax −A A vmax t posicion velocidad La velocidad es máxima o mínima en el punto de equilibrio La velocidad es cero en los extremos de la oscilación 22 / 34 Posición vs aceleración −amax −A A amax t posicion aceleracion La aceleración es cero en el punto de equilibrio La aceleración es máxima o mínima en los extremos de la oscilación 23 / 34 Aceleración vs velocidad −amax −vmax vmax amax t velocidad aceleracion Cuando la velocidad es máxima o mínima la aceleración es cero Cuando la aceleración es máxima o mínima la velocidad es cero 24 / 34 Amplitud y ángulo de fase Una forma de determinar la amplitud de movimiento de una masa unida a un resorte que describe un MAS es A = √ (x (t))2 + (v (t) ω )2 Una forma para determinar el ángulo de fase es φ = arctan ( − v (t) ωx (t) ) − ωt Le queda a usted como ejercicio demostrar dichas expresiones pues para efectos de examen eso se evalúa 25 / 34 Contenido Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 26 / 34 Energía cinética de una masa un MAS La energía cinética se define como: K ≡ 12mv 2 x , donde para el caso de una masa puntual que describe un MAS K = 12m (−Aωsen (ωt + φ)) 2 . Usando la definición de ω K = 12kA 2sen2 (ωt + φ) . 27 / 34 Energía cinética La energía potencial de un resorte se calcula como: U = 12kx 2, donde para el caso de una masa puntual que describe un MAS U = 12k (A cos (ωt + φ)) 2 . 28 / 34 Energía mecánica La energía mecánica se define como: E ≡ K + U, donde usando los resultados anteriores se obtiene la energía mecánica de una masa que describe un MAS E = 12kA 2sen2 (ωt + φ) + 12kA 2 cos2 (ωt + φ) . donde simplificando se obtiene la energía mecánica deuna masa unida a un resorte la cual describe un MAS E = 12kA 2, donde se puede ver que E es constante en el tiempo. 29 / 34 Velocidad de una masa unida a un resorte Con el resultado anterior se puede determinar la velocidad de la partícula en cualquier momento. A partir de la expresión de la energía mecánica E = 12mv 2 x + 1 2kx 2, se despeja vx y se obtiene vx = ± √ 2 m ( E − 12kx 2 ) , donde se encuentra finalmente la velocidad de la masa en términos de su posición vx = ± √ k m (A 2 − x2) = ±ω √ A2 − x2. De lo anterior se puede ver que velocidad máxima se obtiene para x = 0 y se determina vxmax = ωA 30 / 34 Variación de las energías en el MAS • La energía potencial U es máxima en los extremos del movimiento (A y -A). • La energía cinética K es máxima en la posición de equilibrio (x0). • La energía mecánica E es constante en todo el movimiento. 31 / 34 Fórmulas MAS primer examen parcial ω = 2πT = 2πf ω = √ k m E = 1 2 kA 2 E = 12 mv 2 + 12 kx 2 x (t) = A cos (ωt + φ) Todas las fórmulas que no aparecen aquí deben ser demostradas en el examen 32 / 34 Bibliografía • Sears, F.W., Zemansky, M.W., Young, H.D., Freedman, R.A. (2013). Física Universitaria. Volumen I. Décimo tercera edición. México: Pearson Education. • Resnick, R., Halliday, D., Krane, K. (2013). Física. Volumen I. Quinta edición. México: Grupo Editorial Patria. • Serway, R.A. y Jewett, J.W. (2008). Física Para Ciencias e Ingeniería. Volumen I. Sétima edición. México: Cengage Learning Editores S.A. de C.V. • Wilson, J.D., Buffa, A.J. y Lou, B. (2007). Física. 6ta Edición. México: Pearson educación. 33 / 34 Créditos Vicerrectoría de Docencia CEDA - TEC Digital Proyecto de Virtualización 2016-2017 Física General III Fís. Carlos Adrián Jiménez Carballo (profesor) Ing. Paula Morales Rodríguez (coordinadora de diseño) Andrés Salazar Trejos (Asistente) 34 / 34 Movimiento periódico Características del movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS) Energía de una masa unida a un resorte que describe un MAS 0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: anm0: 1.0: 1.1: 1.2: 1.3: 1.4: 1.5: 1.6: 1.7: 1.8: 1.9: 1.10: 1.11: 1.12: 1.13: 1.14: 1.15: 1.16: 1.17: 1.18: 1.19: 1.20: 1.21: 1.22: 1.23: 1.24: 1.25: 1.26: 1.27: 1.28: 1.29: 1.30: anm1: 1.EndLeft: 1.StepLeft: 1.PauseLeft: 1.PlayLeft: 1.PlayPauseLeft: 1.PauseRight: 1.PlayRight: 1.PlayPauseRight: 1.StepRight: 1.EndRight: 1.Minus: 1.Reset: 1.Plus: 2.0: 2.1: 2.2: 2.3: 2.4: 2.5: 2.6: 2.7: 2.8: 2.9: 2.10: 2.11: 2.12: 2.13: 2.14: 2.15: 2.16: 2.17: 2.18: 2.19: 2.20: 2.21: 2.22: 2.23: 2.24: 2.25: 2.26: 2.27: 2.28: 2.29: 2.30: anm2: 2.EndLeft: 2.StepLeft: 2.PauseLeft: 2.PlayLeft: 2.PlayPauseLeft: 2.PauseRight: 2.PlayRight: 2.PlayPauseRight: 2.StepRight: 2.EndRight: 2.Minus: 2.Reset: 2.Plus: 3.0: 3.1: 3.2: 3.3: 3.4: 3.5: 3.6: 3.7: 3.8: 3.9: 3.10: 3.11: 3.12: 3.13: 3.14: 3.15: 3.16: 3.17: 3.18: 3.19: 3.20: 3.21: 3.22: 3.23: 3.24: 3.25: 3.26: 3.27: 3.28: 3.29: 3.30: anm3: 3.EndLeft: 3.StepLeft: 3.PauseLeft: 3.PlayLeft: 3.PlayPauseLeft: 3.PauseRight: 3.PlayRight: 3.PlayPauseRight: 3.StepRight: 3.EndRight: 3.Minus: 3.Reset: 3.Plus: 4.0: 4.1: 4.2: 4.3: 4.4: 4.5: 4.6: 4.7: 4.8: 4.9: 4.10: 4.11: 4.12: 4.13: 4.14: 4.15: 4.16: 4.17: 4.18: 4.19: 4.20: 4.21: 4.22: 4.23: 4.24: 4.25: 4.26: 4.27: 4.28: 4.29: 4.30: anm4: 4.EndLeft: 4.StepLeft: 4.PauseLeft: 4.PlayLeft: 4.PlayPauseLeft: 4.PauseRight: 4.PlayRight: 4.PlayPauseRight: 4.StepRight: 4.EndRight: 4.Minus: 4.Reset: 4.Plus:
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