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ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA 
FUNCIÓN EN UN PUNTO EN ESTUDIANTES ECUATORIANOS DE 
BACHILLERATO Y DEL CURSO DE NIVELACIÓN 
 
 
Ana Lucía Arias Balarezo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.ua.es
www.eltallerdigital.com
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA 
 
 
 
FACULTAD DE EDUCACIÓN 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA 
FUNCIÓN EN UN PUNTO EN ESTUDIANTES ECUATORIANOS DE 
BACHILLERATO Y DEL CURSO DE NIVELACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
TESIS DOCTORAL 
 
 
ANA LUCIA ARIAS BALAREZO 
 
 
 
 
 
ALICANTE, SEPTIEMBRE 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDACTICA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
BACHILLERATO Y DEL CURSO DE NIVELACIÓN
ANA LUCIA ARIAS BALAREZO
Tesis presentada para aspirar al grado de 
DOCTORA POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE 
PROGRAMA DOCTORADO: 
E004- DOCTORADO EN INVESTIGACIÓN EDUCATIVA
Dirigida por: 
SALVADOR LLINARES CISCAR
ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA
 FUNCIÓN EN UN PUNTO EN ESTUDIANTES ECUATORIANOS DE 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTO 
Expreso mi sincero agradecimiento a: 
Dr. D. Salvador Llinares Ciscar, tutor del presente trabajo, por haberme guiado en el 
maravilloso mundo de la investigación, por el tiempo y esfuerzo que dedicó a esta tarea, 
por los comentarios y sugerencias formulados en cada una de las etapas. Su erudición en 
el campo de la investigación de la didáctica de la matemática ha suscitado en mi un 
profundo interés en este campo. 
Dra. Dña. Julia Valls González por haber estado presta a orientarme, por su paciencia, 
por compartirme su experiencia y su tiempo, por su calidad humana e intelectual que es 
digna de ser imitada. 
Dra. Dña. Gloria Sánchez-Matamoros García por el tiempo y las orientaciones 
metodológicas y académicas que generosamente me brindó. Al Dr. D. Joan Pons Tomàs, 
por compartir sus experiencias que resultaron de gran utilidad. 
Dr. D. Germán Torregrosa Gironés y Dra. Dña. María Carmen Penalva Martínez por el 
aporte académico y por la hospitalidad que en su momento me ofrecieron. 
Las instituciones, maestros y estudiantes que colaboraron con la investigación. 
Las dos instituciones que se constituyeron en el soporte para alcanzar este logro 
académico: la Universidad de Alicante y a la Universidad Central del Ecuador. 
Anita Emilia, por tu ternura que en los momentos más difíciles me devolvió la fortaleza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEDICATORIA 
 
A mis padres: Mariana y Alonso (+) 
A mi hija: Anita Emilia 
A mis Sobrinos: Freddy, Gaby, 
Andrés, Cris (+) y Quique 
 
 
 
 
Índice Ana Lucía Arias Balarezo 
 
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………… 1 
CAPÍTULO 1. PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN ............………………. 5 
1.1. Desarrollo histórico del concepto de límite. …………………………………. 5 
1.1.1. Etapa 1: De Eudoxo de Cnido a la primera mitad del siglo XVIII. …...... 7 
1.1.2. Etapa 2: Segunda mitad del siglo XVIII. Transformación de los 
fundamentos del análisis infinitesimal. ……………………………….. 17 
1.1.3. Etapa 3: Siglo XIX y principios del siglo XX. Rigurosidad y 
aritmetización del cálculo. ……………………………………………. 23 
1.1.4. Etapa 4: Siglo XX. Concepciones de tipo topológico. ……………….. 27 
1.2. El límite de una función de variable real en el currículo ecuatoriano. ……….. 27 
1.2.1. Cronología del proceso de inclusión del “concepto de límite de una 
función real” en el currículo del bachillerato ecuatoriano. ……………. 28 
1.2.2. El límite de una función real en el texto oficial del Ministerio de 
Educación. …………………………………………………………… 30 
1.3. Factores que condicionan la comprensión del concepto de límite de una 
función real por parte de los estudiantes de bachillerato. ……………………. 39 
1.3.1. Obstáculos epistemológicos que dificultan la comprensión de la 
definición del límite de una función real. …………………………... 39 
Índice Ana Lucía Arias Balarezo 
 
ii 
 
1.3.1.1.Obstáculos epistemológicos asociados al origen y evolución del 
concepto de límite (filogénesis y ontogénesis). …………......... 41 
1.3.1.2.Obstáculos epistemológicos de origen didáctico y cognitivo que 
aparecen en el proceso de enseñanza-aprendizaje de límite en el 
contexto actual. ………………………………...……………... 47 
1.3.2. El papel de las concepciones espontáneas ……………………….......... 52 
1.3.3. Influencia del uso de las formas de representación. ………….……….. 67 
 
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. …..………….……………………………... 75 
2.1. Pensamiento matemático avanzado. ………………………………………… 75 
2.2. Definición de límite de una función como PMA. …………………………… 77 
2.3. Modelos cognitivos. ......................................................................................... 79 
2.3.1. Teoría APOE como modelo metodológico. …………………………... 82 
2.3.2. Teoría APOE como modelo cognitivo. ……………………………….. 83 
2.3.2.1.Construcciones mentales. ...…………………………………… 84 
2.3.2.2.Mecanismos de las construcciones mentales. …..……………... 87 
2.3.2.3.Tematización de un esquema. …………………………………. 88 
2.4. Descomposición genética de un concepto. …………………………………. 90 
2.4.1. Descomposiciones genéticas del concepto de límite una función. …….. 91 
2.5. Los niveles de desarrollo del esquema: INTRA, INTER y TRANS. .………... 99 
2.6. Preguntas de investigación. ………………………………………………….. 103 
 
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN.....………………………...... 105 
3.1 Participantes y contexto. ………………………………………………………. 105 
3.2 Instrumentos de recogida de datos. …………………………………………… 108 
3.2.1 Descomposición genética del límite de una función. ………………….. 108 
3.2.2 Las tareas del cuestionario. …………………………………………….. 109 
3.2.2.1. Tareas que evalúan la concepción dinámica. …………………. 110 
3.2.2.2. Tareas que evalúan la concepción métrica. …………………… 117 
3.2.3 Entrevista. ……………………………………………………………... 120 
3.3 Análisis de los datos. …………………………………………………………. 121 
3.3.1 Análisis de las tareas centradas en la concepción dinámica. ………….. 122 
Índice Ana Lucía Arias Balarezo 
 
iii 
 
3.3.2 Análisis de los datos de la concepción métrica de límite de una función. 138 
 
CAPÍTULO 4. RESULTADOS. ....………………………... ...…………………... 147 
4.1 Características de los niveles del esquema de límite de una función. ……....... 147 
4.1.1 Características de los niveles del esquema del concepto de límite de una 
función en la concepción dinámica. ...………………………………….. 148 
4.1.1.1 Características del nivel INTRA. ………………………………. 149 
4.1.1.2 Características del nivel INTER. ……………………………….. 151 
4.1.1.3 Características del nivel TRANS. …………………………….… 156 
4.1.1.4 Características de la transición entre niveles del esquema del 
concepto de límite de una función en la concepción dinámica. ………… 163 
4.1.2 Características de los niveles del esquema del concepto de límite de una 
función en la concepción métrica. …………………………………….. 164 
4.1.2.1 Características del nivel INTRA. ……………………………….. 165 
4.1.2.2 Características del nivel INTER. ………………………………... 167 
4.1.2.3 Características del nivel TRANS. ………………………………. 169 
4.1.2.4 Características de la transición de los niveles del esquema de 
límite de una función en la concepción métrica ………………… 172 
4.1.3 Relación entre las características de los niveles de los esquemas de límite 
de una función en las concepciones dinámica y métrica ……………… 174 
4.2 La tematización del esquema de límite de una función. ……………………… 181 
4.2.1 Tematización del esquema de límite en la concepción dinámica. ……... 181 
4.2.1.1.Características de la tematización del esquema de límite en la 
concepción dinámica encontradas en el cuestionario. …….....….. 181 
4.2.1.2. Características de la tematización del esquema de límite en la 
concepción dinámica encontradas mediante la entrevista. …….... 183 
4.2.1.3. Características de la tematización del esquema de límite en la 
concepción dinámica. ……....……...……....……...……....…….. 189 
4.2.1.4. Dificultades de estudiantes del nivel TRANS que no tematizaron 
del esquema de límite en la concepción dinámica. ……................. 190 
4.2.2. Tematización del esquema de límite en la concepción métrica. ……… 192 
Índice Ana Lucía Arias Balarezo 
 
iv 
 
4.2.2.1. Dificultades de estudiantes del nivel TRANS que no tematizaron 
del esquema de límite en la concepción métrica. ….…..…......... 193 
4.2.3. Relación entre las características de la tematización de los esquemas del 
concepto de límite en las concepciones dinámica y métrica. ….…..….. 196 
 
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES. …..…..…....………………… 201 
5.1. Respecto al desarrollo del esquema de límite de una función en la concepción 
dinámica y en la concepción métrica. ……………………...………………… 202 
5.1.1. En la concepción dinámica. ……………………...……………………... 202 
5.1.2. En la concepción métrica. ………..……………...……………………... 205 
5.2. Respecto a las características de la tematización del esquema de límite de una 
función en la concepción dinámica y en la concepción métrica. ………..…… 206 
5.2.1. En la concepción dinámica. ……………………...……………………... 206 
5.2.2. En la concepción métrica. ………..……………...……………………... 208 
5.3. Respecto a la influencia de las distintas formas de representación en el 
desarrollo del esquema de límite de una función en la concepción dinámica. … 208 
5.4. Limitaciones e implicaciones para futuras investigaciones. ………………….. 210 
5.4.1. Limitaciones. …………………………………………………………... 210 
5.4.2. Recomendaciones para futuras investigaciones. ……………………….. 210 
 
REFERENCIAS. ……………………...…………………………………………... 213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introducción Ana Lucía Arias Balarezo 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
El presente trabajo se inscribe en el dominio de investigación de Didáctica de la 
Matemática y, en particular, del Pensamiento Matemático Avanzado. La complejidad del 
aprendizaje de los conceptos del cálculo, en general, y del concepto de límite en 
particular, es reconocida y estudiada en diversas investigaciones definiendo una agenda 
de investigación internacional. 
En el sistema educativo ecuatoriano existe una orientación curricular oficial 
respecto a las Matemáticas para Bachillerato, que prioriza los procesos algorítmicos y la 
aplicación de propiedades de los límites, soslayando la comprensión de este concepto 
matemático, aspecto que es reafirmado en el tratamiento que se da al tema en los textos 
oficiales. Es en este contexto que nuestra investigación sobre las características de la 
comprensión del concepto de límite toma sentido. Nuestra investigación se particulariza 
en estudiantes de entre 16 y 18 años, con el objetivo de caracterizar los niveles de 
desarrollo del esquema de límite de una función, y de analizar la influencia de los distintos 
modos de representación en la comprensión de la coordinación de los procesos de 
aproximación. 
Introducción Ana Lucía Arias Balarezo 
2 
 
Esta tesis doctoral se estructura en cinco capítulos, cuyo contenido se esboza a 
continuación. 
El primer capítulo presenta la problemática de la investigación, y para ello se 
analiza el concepto de límite de una función de variable real como objeto de aprendizaje. 
Se describe el desarrollo histórico de la noción de límite, estableciendo una cronología 
del proceso de inclusión del concepto de límite de una función real en el currículo del 
bachillerato ecuatoriano, así como el tratamiento de este tema en los textos oficiales 
ecuatorianos. Además, se analizan los factores que condicionan la comprensión del 
concepto de límite por parte de los estudiantes de bachillerato y la influencia de las formas 
de representación en su aprendizaje. 
El segundo capítulo describe el marco teórico que fundamenta esta investigación. 
Se caracterizan los modelos cognitivos que guían la investigación, con especial atención 
a la teoría APOE y los elementos que lo configuran: las construcciones mentales y los 
mecanismos de las construcciones mentales, la descomposición genética y la 
tematización de un esquema. Este capítulo concluye con las preguntas de investigación. 
En el tercer capítulo describimos el diseño de la investigación. Se inicia 
describiendo a los participantes y al contexto; los instrumentos de recogida de datos, 
explicando la estructura, los objetivos y la forma de evaluar las tareas del cuestionario y 
las entrevistas. Finalmente, se detalla la forma cómo se desarrolló el análisis de los datos 
con un foco en las concepciones dinámica y métrica y cómo identificamos las 
características de la tematización del concepto. 
En el cuarto capítulo se presentan los resultados obtenidos. En este capítulo se 
exponen las características de los niveles (INTRA, INTER y TRANS) del esquema de 
límite en las concepciones dinámica y métrica; las características de las transiciones entre 
niveles; la relación entre los niveles de desarrollo y las características de la tematización 
del esquema del concepto de límite de una función. 
En el quinto capítulo presentamos las conclusiones y la discusión de los resultados 
obtenidos. En este capítulo relacionamos nuestros resultados con lo que se conoce y 
marcamos las características contextuales del aprendizaje cuando reflexionamos sobre la 
forma en cómo los estudiantes desarrollan los niveles del esquema de límite de una 
Introducción Ana Lucía Arias Balarezo 
3 
 
función, como tematizan el esquema de límite de una función, y los principales obstáculos 
en el proceso de enseñanza aprendizaje del esquema de límite de una función. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1. PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1. PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN 
En el presente capítulo se contextualizan algunos elementos que configuran la 
problemática inherente al análisis de la forma cómo los estudiantes ecuatorianos de tercer 
año de bachillerato (entre 17 y 18 años) comprenden el significado del concepto de límite 
de una función real en un punto. 
La problemática de la investigación es analizada desde tres perspectivas: 1) desde 
el desarrollo histórico de la definición de límite; 2) desde cómo el currículo ecuatoriano 
incluye el tratamiento didáctico del límite de una función de variable real y cómo la 
propuesta didáctica del Ministerio de Educación ecuatoriano plantea la explicación de 
límite de una función de variable real y 3) desde los resultados de las investigaciones en 
torno a la comprensión del límite de una función real, los problemas en el proceso de su 
enseñanza–aprendizaje, y de las propuestas didácticas respecto a su enseñanza. 
 
1.1 Desarrollo histórico del concepto de límite 
Varias investigaciones resaltan la importancia de analizar el desarrollo histórico de 
los conceptos matemáticos ya que permite evidenciar las interacciones en el desarrollo de 
las nociones matemáticas y caracterizar el contexto en el que aparecen los conceptos, 
permitiendo reconocer que el desarrollo de los conceptos no es lineal (González, 2009; 
Capítulo 1. Problemática de InvestigaciónAna Lucía Arias Balarezo 
6 
 
González y Sierra, 2003). El estudio de la historia de la matemática es un instrumento 
para enriquecer su enseñanza, toda vez que evidencia la connotación cultural de las 
matemáticas y su impacto en el desarrollo del pensamiento (Gonzáles, 2009). El análisis 
histórico contribuye en la investigación de los nudos de resistencia del aprendizaje, que 
normalmente son obstáculos de origen epistemológico y de origen didáctico (Artigue, 
1990). En este primer capítulo vamos a esquematizar los momentos relevantes de la 
construcción del concepto de límite de una función. 
El desarrollo epistémico del concepto de límite está asociado al progreso conceptual 
del Cálculo, de acuerdo a Boyer (1959) la evolución histórica del Cálculo recorrió estos 
pasos: concepciones en la antigüedad, contribuciones medievales, un siglo de 
anticipación, Newton y Leibniz, el periodo de indecisión y la formulación rigurosa. Uno 
de los conceptos que evolucionó a la par del concepto de Límite es el de Continuidad, 
Delgado (1998) para establecer períodos temporales en la evolución del concepto 
Continuidad, se basó en problemas conceptuales históricos que fueron factores 
determinantes en la institucionalización del concepto y planteó los siguientes periodos: la 
antigüedad (500 a.C-212 a.C.), la edad media (400-1450) y el renacimiento (1400-1600), 
los siglos XVII-XVIII y desde finales siglo XVIII a finales del siglo XIX (1780-1880). 
Desde otra perspectiva, Kleiner (2001, p. 166) citando a Hilbert indica que el desarrollo 
de la teoría matemática pasa por tres periodos: “el ingenuo, el formal, y el crítico”, estas 
etapas en la evolución del cálculo corresponden al siglo XVII, período ingenuo; siglo 
XVIII, período formal y siglo XIX, período crítico. Además, Kleiner (2001, p.166) señala 
que “la evolución de una idea matemática a menudo se desarrolla en cuatro etapas: 
descubrimiento (o la invención), el uso, la comprensión, y justificación”. 
Por otra parte, Medrano y Pino-Fan (2016) organizan la evolución del límite en 
siete estadios de acuerdo a las características de la noción de límite que primó en cada 
uno de ellos: noción de aproximación desarrollada por Eudoxo y Arquímedes; la 
concepción de los indivisibles; la noción intuitiva de límite de Newton; la idea de los 
infinitesimales de Leibniz; las concepciones pre-formales del límite; la concepción formal 
de la noción de límite y generalizaciones de la noción de límite. Mientras que Medina 
(2001) organiza las etapas de evolución de la epistemología y tratamiento de límites por 
medio de las concepciones dominantes: concepción geométrica (VI a.C.-XVII), 
concepción de Newton, concepción de Leibniz, concepción algebraica, concepción 
aritmética (Walls, D’Alembert y Cauchy) y concepción analítica (Weierstrass). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
7 
 
Blázquez y Ortega del Rincón (2002), apoyándose en las investigaciones de Cornu 
(1983) y Robinet (1983), proponen cuatro etapas de evolución de la epistemología de la 
noción de límite: el inicio del cálculo infinitesimal, la transformación de los fundamentos 
del análisis infinitesimal, la rigurosidad y aritmetización del cálculo y en el siglo XX, 
concepción topológica de límite. Estas etapas “se diferencian básicamente por la 
concepción de límite que subyace en ellas, aunque la separación no siempre sea nítida” 
(Blázquez y Ortega del Rincón, 2002, p. 3). Dado que la clasificación de Blázquez y 
Ortega del Rincón se ha realizado desde una perspectiva pedagógica y cuyos objetivos 
coinciden con los que animan a la presente investigación, describimos con más detalles 
esta clasificación. A continuación, se describen las principales características que 
determinan los rasgos distintivos de la ciencia y su fin, así como la concepción de la 
noción de límite, sus restricciones y progresos implícitos en la misma. Finalmente, en 
cada etapa, se analizan los aportes de diferentes personajes que contribuyeron a la 
evolución de la noción de límite. 
 
1.1.1. Etapa 1: De Eudoxo de Cnido a la primera mitad del siglo XVIII 
Las características sociales y económicas de los griegos determinadas por la 
primacía de la intuición sensorial propiciaron el desarrollo de la Geometría (asociada al 
método deductivo), pero a causa de la misma concepción ésta se limita a la recta, la 
circunferencia y las figuras relacionadas con ellas (Delgado, 1998). 
Cuando desaparece la Cultura Griega, se pone en vigencia un período de 
estancamiento que cubre la edad media y el renacimiento, esto se debe a las concepciones 
filosóficas de los imperios: Romano, Mahometano, Hindú y Cristiano. Las contribuciones 
más importantes a las matemáticas de la época se atribuyen a los hindúes, por ejemplo, 
Bhaskara designa como una cantidad infinita a la división por cero, (Kline, 1992), y a los 
árabes, por ejemplo, Omar khayyam y Nasír-Eddin afirman que “toda razón de 
magnitudes es un número, aseveración que Newton afirma en su Aritmética Universal de 
1707”, (ibídem, p. 259). 
Posteriormente se da énfasis a las relaciones cuantitativas como la esencia de la 
realidad, el campo numérico continuó ampliándose, se incorporó la definición de números 
negativos, los números complejos son aceptados, el sistema de coordenadas de Oresme 
(1323-1382) y la notación simbólica de Vieta (1540-1603) facilitan el desarrollo de la 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
8 
 
geometría analítica. La aparición del método de los infinitesimales permitió superar el 
“horror al infinito”, lo que contribuyó a que por primera vez se obtengan razonamientos 
próximos a la idea de límite. Al final de la edad media los europeos introducen en la 
matemática el problema de la variación, lo que dará origen al Cálculo (Delgado, 1998). 
Se puede concluir y así lo afirman Blázquez y Ortega del Rincón (2002), que los 
principales problemas a resolver en la época fueron plantear metodologías para hallar 
áreas y volúmenes, cálculo de la velocidad, la tangente, máximo y mínimo, y longitudes 
de curvas. La concepción del enfoque de límite predominante en la época es intuitiva, 
como un proceso de aproximación (ibídem, 2002). En esta etapa la concepción de límite 
evoluciona de una noción intuitiva e implícita, no identificada ni como objeto de estudio 
ni como instrumento, a una noción útil para la resolución de problemas. 
A continuación, se describen métodos que caracterizan la concepción de límite de 
la época, así como su evolución: 
• Método de exhausción de Eudoxo de Cnido (360 a. C.) 
• Cuadraturas de Arquímedes (300 a. C.) 
• Series numéricas de Nicole de Oresme (1323-1360) 
• Teoría infinitesimal de los centros de gravedad de Simon Stevin (1548-1620) 
• Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630) 
• Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647) 
• Métodos para el cálculo de extremos de Fermat (1601-1665) 
• Métodos para el cálculo de tangentes de Fermat (1601-1665) 
• Método de las tangentes de Barrow (1630-1677) 
• Preconcepción de límite Newton (1648-1727) 
• Leibniz (1646 - 1716) 
 
 Método de exhausción de Eudoxo de Cnido (360 a. C.) 
El descubrimiento pitagórico de las razones inconmensurables (unidad pequeña que 
permite medir la diagonal del cuadrado respecto a su lado) planteó en esta época el 
problema de la relación entre lo discreto y lo continuo (Delgado, 1998). Platón (428-348 
a.C.) utiliza las matemáticas (el número y la forma geométrica) como modelo de las 
relaciones parte-todo, este modelo usado por la academia platónica da solución a la crisis 
Capítulo 1. Problemática de InvestigaciónAna Lucía Arias Balarezo 
9 
 
pitagórica de los inconmensurables, y tiene una repercusión en las ulteriores concepciones 
acerca del infinito (Pérez, 2007). 
Es así que, para dar solución al problema de las magnitudes inconmensurables, 
Eudoxo (390-337 a.C.) invierte el punto de vista de sus antecesores y desplaza al número 
como concepto fundamental remplazándole por la geometría. Introduce la idea de 
magnitud continua, concebido como entidades geométricas (segmentos rectilíneos, 
ángulos, áreas, volumen, etc.) que varían de forma continua, luego definía una razón de 
magnitudes y a partir de ella una proporción, que cubría los casos conmensurables e 
inconmensurables (Kline, 1992). 
El método de exhausción de Eudoxo se basa en la proposición: “Dadas dos 
magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que la mitad, 
repitiendo este proceso quedará en algún momento una magnitud menor que la más 
pequeña de las dos magnitudes dadas” (Boyer, 1959, p. 34), pese a que el proceso 
indicado en la proposición se realiza tantas veces como se desee, los matemáticos griegos 
nunca consideraron este proceso como la ejecución de un número infinito de pasos. Por 
medio de este método se calculó el área del círculo, el volumen de la pirámide, el cono, 
el cilindro y la esfera (ibídem). 
 
 Cuadraturas de Arquímedes (300 a. C.) 
Boyer (1959) valora la contribución de las consideraciones infinitesimales y el 
empleo del método heurístico de Arquímedes que, en combinación con el método 
deductivo y riguroso de exhausción de Eudoxo, favoreció el descubrimiento de nuevos 
conocimientos. En el tratado “La cuadratura de la parábola” de Arquímedes “se demuestra 
con todo el rigor, el problema del cálculo del área del segmento parabólico. El 
procedimiento empleado es el del método de exhausción sin hacer referencia al infinito 
ni a los infinitesimales” (Boyer, 1959, pp. 48). De acuerdo a Delgado (1998), el método 
de los infinitesimales de Arquímedes es la forma operativa de la noción matemática que 
luego dará paso al concepto de límite, con este criterio coincide Kline (1992) quien señala 
que Arquímedes es entre los de su época quien más se acercó al proceso de paso al límite. 
 
 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
10 
 
 Series numéricas de Nicole de Oresme (1323-1360) 
Oresme fue un destacado matemático de la Alta Edad Media, sus aportes están 
registrados en su trabajo “Algoritristmus Proportion” publicado en 1360 (Delgado, 1998). 
Este matemático francés introdujo el concepto de potencias irracionales, la representación 
gráfica de funciones y estudió con rigor las series numéricas (Santos, 2004). Además, 
representó el cambio de la velocidad respecto al tiempo, simbolizándolo a lo largo de una 
línea horizontal, que llamó longitud y a las velocidades en distintos instantes del tiempo 
mediante líneas verticales, a las que llamó latitudes (Kline, 1992). 
Santos (2004) destaca el tratamiento de las series infinitas que se da en esta etapa 
histórica, cuyos orígenes están en los métodos de exhausción de Eudoxo y de las 
Cuadraturas de Arquímedes. Sin embargo, mientras los griegos mostraron horror al 
infinito, los filósofos escolásticos de esta época recurrían frecuentemente al infinito. 
Oresme demostró que la sumatoria de la serie + + + + ⋯ + + ⋯ es igual a 2, 
también consiguió demostrar casos más complicados tales como la sumatoria de la 
serie 
.
+
.
+
.
+ ⋯ +
.
+ ⋯ es , además, estudió y demostró que la sumatoria de 
la serie armónica + + + + + + + ⋯ + + ⋯ es divergente (tiende al 
infinito). Los aportes de Oresme al cálculo infinitesimal se centraron en: “1) la manera en 
que varía la función (es decir, la ecuación diferencial de la curva), 2) la manera en que 
varía el área bajo la curva (es decir, la integral de la función)” (Santos, 2004, p.27). 
 
 Teoría infinitesimal de los centros de gravedad de Simon Stevin (1548-1620) 
Boyer (1959) indica que Simon Stevin (1586) en el tratado “de la Estática” plantea 
la teoría infinitesimal de los centros de gravedad, de acuerdo a la cual el centro de 
gravedad de un triángulo está en su mediana. El método que Stevin utilizó se basó en 
inscribir en el triángulo ABC (Figura 1.1.) un número infinito de paralelogramos de igual 
altura, el centro de gravedad de las figuras inscritas son parte de la mediana del triángulo 
(segmento AD). Las demostraciones “con números”, de Stevin, consistían en construir 
sucesiones superiores e inferiores convergentes al límite. 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
11 
 
 
Figura 1.1. Teoría infinitesimal de los centros de gravedad (Boyer,1959, p. 99) 
Delgado (1998) encuentra que por primera vez estos razonamientos matemáticos se 
“aproximan a la idea de paso al límite con infinitesimales” (p.76), toda vez que, por una 
parte, es un método directo que evita la reducción al absurdo que exigía Arquímedes y, 
por otra parte, de cierta forma se evita el “horror al infinito” implícito en el método de 
exhausción. 
 
 Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630) 
Blázquez y Ortega del Rincón (2002) señalan que mediante este método se 
resolvieron problemas de medidas de volúmenes o áreas. Kepler sostenía que los sólidos 
están compuestos de una cantidad infinita de elementos de volumen infinitesimalmente 
pequeños como se muestra en la Figura 1.2. (Valdivé y Garbín, 2008). Es esta idea la que 
da sustento al método de los infinitésimos de Kleper. Medrano y Pino-Fan (2016) señalan 
que partir de la suposición antes indicada, Kepler “aborda la solución de problemas 
mediante un uso intuitivo de principios fundacionales de la matemática infinitesimal. Uno 
de tales principios se refiere a que las variaciones de las magnitudes son casi 
imperceptibles en las proximidades de un valor máximo” (p. 294). Al igual que en el caso 
de la teoría infinitesimal de los centros de gravedad de Simon Stevin, Kepler da prioridad 
al método sobre la reducción al absurdo y es evidente la superación del “horror al 
infinito”. 
 
Figura 1.2. Método de los infinitésimos de Kepler (Valdivé y Garbín, 2008, p.431) 
 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
12 
 
 Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647) 
Cavalieri explica una nueva concepción de la generación de sólidos de la siguiente 
manera: “los elementos generadores se consideran como obtenidos por el corte de los 
sólidos por planos paralelos a las bases y equidistantes de ellas, así, los volúmenes del 
cilindro y el cono se encontrarán en la misma proporción que sus elementos generadores” 
(Medrano y Pino-Fan, 2016, p.295), para determinar la relación de magnitudes 
desconocidas se las comparaba con magnitudes conocidas, este método de comparación 
elimina de los cálculos el trabajo con el infinito. 
De acuerdo a Medrano y Pino-Fan (2016, p.296) “la teoría de los indivisibles 
enfrenta uno de los problemas centrales en el desarrollo y fundamentación del cálculo 
diferencial e integral: ‘la definición del continuo’. La algebrización de la idea de los 
indivisibles dio origen a una nueva clase de entes matemáticos: los infinitesimales”. Cabe 
señalar que la evolución epistémica de las definiciones de continuidad y de límite 
constituyen una unidad dialéctica, en la que los avances de una de las definiciones 
contribuyen al desarrollo de la otra y viceversa. 
 
 Métodos para el cálculo de extremos de Fermat (1601-1665) 
Fermat escribió en 1637 la memoria titulada “Methodus ad disquirendam maximan 
etminimam”, en la que se explica el método para el cálculo de extremos. De acuerdo a 
Blázquez y Ortega del Rincón (2002) este método consiste en: 
Considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando E es 
pequeño, los valores de la función f(x) y f(x+E) están tan próximos que se 
pueden tomar iguales. El método consiste en hacer f(x+E) = f(x), dividirlo 
por E y tomar E=0. Al resolver esta ecuación, Fermat (1601-1665) obtenía las 
abscisas de puntos extremos (p.5). 
En la Figura 1.3. se puede apreciar la representación geométrica-analítica del 
método de Fermat, mediante el cual se establece el infinitesimal como una diferencia 
imperceptible (Valdivé y Garbín, 2008). Si bien aún no está presente el concepto de 
límite, la ecuación obtenida es el límite del cociente incremental, es decir, la derivada 
(Blázquez y Ortega del Rincón, 2002). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
13 
 
 
Figura 1.3. Métodos para el cálculo de extremos de Fermat 
(Valdivé y Garbín, 2008, p. 435) 
 
 Métodos para el cálculo de tangentes de Fermat (1601-1665) 
Fermat envía a Mersenne en 1637 la memoria “Sobre las tangentes y las líneas 
curvas”, en la que plantea un método para calcular tangentes en un punto de cualquier 
curva (Blázquez, y Ortega del Rincón, 2002). Fermat (1635, citado por Valdivé y Garbín, 
2008), indica que: 
Logra calcular la pendiente de una recta tangente a una curva, cuando 
compara el valor de f(x) en un cierto punto con el valor f(x + E) en un punto 
próximo. Cambia el valor de la variable para considerar valores próximos a 
uno dado. Concibe E menor que 1, y luego lo “elimina” de la expresión. 
Llama a “E” imperceptible o cantidad “evanescente” y asocia la idea de 
diferencia imperceptible con la noción de un infinitesimal en contexto 
algebraico (p. 434). 
Blázquez y Ortega del Rincón (2002, p.5) al describir de este método indican que 
“equivale a hallar el límite funcional en la abscisa del punto P”. Sin embargo, hace falta 
tiempo para darle un tratamiento formal. Bell (1948, p. 45) advierte que “Newton dice 
explícitamente que el método de Fermat de trazar tangentes le sugirió el método del 
Cálculo diferencial”, es decir estas ideas permitirán emerger la noción de límite. 
 
 Método de las tangentes de Barrow (1630-1677) 
Edwards (1979, citado Valdivé y Garbín, 2008, p. 434) hace alusión al método de 
Barrow (en el contexto geométrico) de la siguiente manera (Figura 1.4.): 
Toma de una curva un arco CM infinitamente pequeño. Incrementa las dos 
variables x e y con valores muy pequeños, e ignora la distinción entre este 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
14 
 
arco y el segmento de línea recta CM (el segmento CM tiene como extremos 
los puntos C(x, y) y M (x+e, y+a) de una curva donde “e” y “a” son 
incrementos muy pequeños de la variable “x” y “y” respectivamente) 
(hipotenusa del triángulo CMV). Considera a la línea formada por 
indivisibles. Compara el tiempo con una línea y dota al tiempo y a la 
diferencia geométrica de la idea de indivisible. 
 
Figura 1.4. Método de las tangentes de Barrow (Valdivé y Garbín, 2008, p.435) 
En contexto numérico, Barrow destaca “que la diferencia geométrica entre el 
triángulo rectángulo y el triángulo curvo es cero” (Valdivé y Garbín, 2008, p.434). Es 
decir, implícitamente desarrolla la idea de límite con prevalencia de una concepción 
geométrica. 
 
 Preconcepción de límite Newton (1648-1727) 
Medrano y Pino-Fan (2016) citan la obra “The method of fluxions and infinite 
series” de Newton (1736), en relación a dos problemas centrales que pretende resolver: 
i) Si la longitud del espacio de referencia es continuamente (esto es, en todo 
tiempo) dado, encontrar la velocidad del movimiento en cualquier tiempo 
propuesto. ii) Si la velocidad del movimiento es continuamente dada; 
encontrar la longitud del espacio de referencia en cualquier tiempo propuesto 
(p. 300). 
Para resolver estos problemas Newton reformuló los algoritmos diseñados para 
calcular la derivada de las curvas algebraicas y sus demostraciones en términos de 
“fluentes” y “fluxiones”. Las cantidades que varían con respecto al tiempo como fluente 
y a las cantidades que varían respecto al tiempo las llamó fluxión. Las fluentes son 
notadas con la variables x, y, z y sus fluxiones con la siguiente representación: �̇�, �̇�. , �̇� 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
15 
 
(Delgado, 1998). En el primer lema del libro primero de sus “Principios matemáticos de 
la filosofía natural”, Newton establece: 
Las cantidades, así como las razones de cantidades, que tienden a la igualdad 
constantemente en un cierto tiempo finito y antes del límite de dicho tiempo 
se aproximan mutuamente más que una diferencia dada, al final se hacen 
iguales. Si lo niegas, sean al final desiguales y sea su diferencia final D. Luego 
no pueden acercarse a la igualdad más que hasta una diferencia dada D. 
(Newton, 1726/2011, p. 157, citado por Medrano y Pino-Fan, 2016, p. 303). 
De este lema se desprende que pese a las limitaciones procedimentales, 
conceptuales y de lenguaje incluido el simbolismo de la época de Newton, él logró 
plantear de una forma implícita una noción intuitiva de límite, desde una visión de un 
continuo geométrico dinámico (las fluentes asumen valores en forma continua), 
expresada como la ‘igualdad final’ de dos cantidades variables que tienden la una a la 
otra constantemente en el tiempo, que resulta ser muy similar a la definición formal de 
límite de una función real, planteada por Weierstrass más de dos siglos después (Medrano 
y Pino-Fan, 2016; Moru, 2007, p. 35). 
 
 Leibniz (1646 - 1716) 
La principal diferencia entre el trabajo de Newton y Leibniz reside en el uso que 
Newton da a los incrementos infinitamente pequeños en x y en y como medio para 
determinar la fluxión o derivada (la noción implícita de límite corresponde al cociente de 
los incrementos, cuando estos se hacen cada vez más pequeños). Mientras que Leibniz 
trató directamente con los diferenciales concebidos como incrementos infinitamente 
pequeños en x y en y, y determinó las relaciones entre ellos (Kline, 1992). La concepción 
de Leibniz se ejemplifica a continuación: 
Sin poseer un concepto claro de límite, ni siquiera nociones claras sobre el 
área, Leibniz pensó sobre esta última a veces como una suma de rectángulos 
tan pequeños y tan numerosos que la diferencia entre esta suma y el área 
verdadera encerrada bajo la curva podía despreciarse, y otras como una suma 
de las ordenadas o valores de las y. Este último concepto de área era común, 
especialmente entre los indivisibilistas, quienes pensaban que la unidad de 
área última y valor de y eran lo mismo (Kline, 1992, p 495). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
16 
 
De acuerdo a Delgado (1998), los conceptos de continuidad y límite aparecen 
implícitos en los procedimientos infinitesimales del cálculo de Leibniz. Los principales 
procedimientos infinitesimales de Leibniz que contribuyen para la futura 
conceptualización de límite son: la diferencial de un variable pensada como la diferencia 
infinitamente pequeña entre dos valores sucesivos de la variable, la representación 
geométrica de la diferencial (Figura 1.5.) que consiste en introducir un segmento finito, 
dx, el que define un segmento, dy, que satisface la proposición y: σ=dy:dx, donde σ es 
la longitud dela subtangente, es decir, el diferencial dy es un segmento finito. 
 
Figura 1.5. Representación geométrica del diferencial (Delgado, 1998, p.187) 
Otro concepto que tributa Leibniz es el principio de continuidad, al respecto Boyer 
(1959, p.218) indica que “Leibniz justificó la condición de límite por la ley de la 
continuidad, mientras que los matemáticos han mostrado desde entonces que la última 
debe ser ella misma definida primero en términos de límites”. 
Blázquez y Ortega del Rincón (2002) explican la concepción del límite en esta etapa 
y su importancia en la transición a una nueva forma de comprender este concepto: 
 La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de 
límite puesto que se trabaja con magnitudes, no con números, en problemas 
de índole geométrica. La noción de límite en realidad se encuentra implícita, 
y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción 
protomatemática1 (ni siquiera se explicita como útil) a ser, con los 
infinitésimos y las razones primeras y últimas de Newton, una herramienta 
para resolver problemas (noción paramatemática2). El trabajo de Leibnitz 
muestra ya la transición a la siguiente etapa, puesto que su trabajo es más 
 
1 “… nociones cuyas propiedades son utilizadas en la práctica para resolver ciertos problemas, pero 
de forma que la noción misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento 
útil para el estudio de otros objetos.” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 222). 
2 “… herramientas transparentes útiles para describir y estudiar otros objetos matemáticos” (Ibíd. p. 
74). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
17 
 
formal, más algebraico (p.8). [Las notas fueron añadidas en esta 
investigación] 
Este tipo de concepción al ser más bien una herramienta para resolver problemas 
concretos, no da lugar a una definición de límite, puesto que éste no tiene estatus de 
noción matemática, sin embargo, desde el punto de vista didáctico este tipo de concepción 
puede ser una primera aproximación al concepto de límite en etapas iniciales de la 
enseñanza (Blázquez y Ortega del Rincón, 2002). Otro aporte de Newton, para la 
concreción de la definición formal de límite que se desarrollará en la etapa siguiente, es 
la idea de que las aproximaciones tienen que ser indefinidas, es decir, que las cantidades 
se aproximan “más que cualquier diferencia dada”, idea en la que subyace la condición 
de que el límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles (ibídem). 
 
 Conclusión de la época 
Como se aprecia, las ideas matriz que dan origen al cálculo diferencial e integral 
entre otras son: los indivisibles, el infinito, el paso de lo discreto a lo continuo, el análisis 
infinitesimal, todas ellas se relacionan entre sí y en buena medida el desarrollo de una 
implica el de la otra, su relación es dialéctica y la velocidad de su evolución depende de 
los contextos históricos-sociales-culturales que determinan la vida de los matemáticos 
que en su momento aportan en la construcción epistémica de la definición de límite. En 
la primera parte de esta época, la noción de límite es protomatemática, es decir, intuitiva. 
Es gracias a los trabajos de Newton y Leibniz, a quienes se les considera los fundadores 
del cálculo diferencial e integral, donde la noción de límite comienza a superar su estatus 
paramatemático. 
 
1.1.2. Etapa 2: Segunda mitad del siglo XVIII. Transformación de los fundamentos 
del análisis infinitesimal 
Esta etapa se caracteriza por las repercusiones económicas-sociales-políticas que 
sufre la humanidad como consecuencia de la Revolución Francesa que se produce a 
finales del siglo XVIII, y que legó a la humanidad la abolición del sistema feudal y la 
instauración de la república democrática como forma de gobierno. Gonzales (2009) 
indica: 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
18 
 
La Revolución Francesa convierte a la Matemática en un instrumento político 
al servicio del Estado. La Enciclopedia de Dideroty D’Alembert—cuyo 
Discurso Preliminar de gran contenido histórico, científico y matemático, es 
redactado por éste— prepara el ambiente de una Revolución social y política 
con gran protagonismo de los matemáticos (Monge, Carnot, Condorcet, 
Lagrange, Legendre, Laplace...) que propician una Revolución institucional 
(educativa y didáctica) con la creación de ejemplares centros educativos de 
Enseñanza Superior (la Escuela Politécnica y la Escuela Normal se 
convirtieron en modelos a seguir en todos los países donde penetró la idea de 
progreso de la revolución, y en ellas se formaron y enseñaron los sabios más 
relevantes del momento), producen una Revolución didáctica (programas de 
asignaturas, libros de texto), fundan la figura del matemático profesional, 
profesor científico, asalariado y público, al servicio del Estado, e introducen 
el Sistema Métrico Decimal. Los matemáticos y científicos, plenos de 
entusiasmo social, se convierten en políticos y administradores. Condorcet, 
fundador de la Matemática Social y artífice de los «manuales del maestro», 
crea un espíritu socio-político con la máxima: «Esclareced las ciencias 
morales y políticas con la luz del Álgebra». Napoleón —con grandes 
conocimientos matemáticos procedentes de su formación militar y de una 
gran afición— proclama como político: «Las obras de Matemáticas 
contribuyen a la ilustración de la nación» y «El avance y la perfección de las 
Matemáticas están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado» 
(Gonzales, 2009, p.343). 
En este contexto se producen cambios importantes en la comunidad de matemáticos 
que, mientras en el pasado eran patrocinados por las cortes reales, después de la 
Revolución Francesa los matemáticos se dedican a la enseñanza como una labor 
remunerada, así Cauchy fue profesor de la Escuela Politécnica de París (Kleiner, 2001). 
Además, las academias y sus revistas propician y patrocinan la publicación de nuevas 
investigaciones. Por ejemplo, Euler fue patrocinado por la academia de Berlín desde 1741 
hasta 1766, Lagrange desde 1766 hasta 1787, la academia de San Petersburgo respaldó a 
los hermanos Bernoulli en varias ocasiones, esta academia también apoyó a Euler en 
varios períodos, el reconocimiento de la utilidad de la ciencia por parte de los gobiernos 
se evidencia en la fundación de academias estatales (Kline, 1992). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
19 
 
En esta etapa se produce la ruptura del paradigma aristotélico que daba prioridad a 
la cantidad antes que a lo cualitativo y es la Geométrica Analítica (por medio del 
razonamiento deductivo) la que permitió asociar estas categorías, aceptando al álgebra 
como instrumento para generar nuevas curvas y estudiar sus propiedades geométricas, y 
recíprocamente, problemas algebraicos fueron interpretados geométricamente (Delgado, 
1998). El método de las coordenadas de Fermat y Descartes estableció la correspondencia 
intuitiva entre los puntos de la recta (en el plano o en el espacio) y un continuo numérico 
que se suponía que existía (Delgado, 1998). 
Otros conceptos, que determinan el desarrollo de las matemáticas en esta época, 
son los indivisibles interpretados como cantidades infinitamente pequeñas, en ocasiones, 
constante y, en otras, variables con respecto al tiempo. El concepto de la diferencial se 
constituye en el aspecto central del cálculo. Euler determina la importancia de considerar 
a las funciones como objetos a los que se aplica elcálculo (se les otorga un status 
matemático) y no únicamente como variables (Delgado, 1998). Sin embargo, el principal 
avance fue el desarrollo del análisis, en la búsqueda de los fundamentos del Cálculo 
infinitesimal. D’Alembert es el primero en proponer la ‘Teoría de límites’ como una 
alternativa de solución a los problemas de la época (Medina, 2001). 
Existieron algunas limitaciones en el desarrollo de las matemáticas, así el uso de las 
técnicas infinitesimales no permitió explicar matemáticamente el paso de lo finito a lo 
infinito o de lo discreto a lo continuo. El continuo numérico sigue siendo inteligible. El 
infinito es en ocasiones potencial y en otras actual (Delgado, 1998). 
Los matemáticos de la época logran desarrollar soluciones para muchos de sus 
problemas relacionados con los infinitésimos pequeños y grandes (Blázquez y Ortega del 
Rincón, 2002). Los principales problemas que ocuparon a los científicos en el siglo XVIII 
eran de naturaleza física, “bien pude decirse que el objetivo del trabajo no eran las 
matemáticas, sino la solución de problemas físicos” (Kline, 1992, p.814), siendo esta 
mezcla entre matemática y física un hecho importante, las matemáticas empezaron a 
abarcar lo que hoy llamamos ingeniería, por ejemplo, en “el diseño de barcos, la acción 
de velas, balística, cartografía y otros problemas prácticos” (ibídem, p.816). En particular, 
el estudio de dos fenómenos físicos: la cuerda vibrante y la conducción del calor, 
contribuyeron al desarrollo de conceptos como función, convergencia continuidad y 
límite (Delgado, 1998). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
20 
 
La noción de límite que prima en esta etapa es la concepción algebraica (Blázquez 
y Ortega del Rincón, 2002). Gregory (1667, citado por Delgado, 1998), alude al 
constructo “expresión analítica” (cantidad que se obtiene a partir de otras cantidades 
mediante una sucesión de operaciones algebraicas) para explicar la necesidad de incluir 
a las cinco operaciones del álgebra una sexta operación, que es el paso al límite. 
A continuación, se describen algunos métodos que caracterizan la concepción de 
límite de la época, así como su evolución: 
 Leonhard Euler (1707-1743). 
 D’Alembert (1717-1783). 
 Lagrange (1736-1813). 
 
 Leonhard Euler (1707-1743) 
Euler contribuyó con conceptos y métodos y además ordenó y unificó las 
matemáticas en tres obras: “Introductio in analysin infinitorum” (Introducción al análisis 
de los infinitos, 1748), “Institutiones calculi differentialis” (Tratado sobre el cálculo 
diferencial, 1755) e “Institutiones calculi integralis” (Tratado sobre el cálculo integral, 
1768-1770) (Delgado, 1998). Medrano y Pino-Fan (2016), citando a Boyer (2004), 
indican que “Euler integró el cálculo diferencial y el método de las fluxiones en el 
Análisis”, siendo esta rama de la matemática la que estudia los procesos infinitos y se 
fundamenta en dos conceptos fundamentales: función y continuidad. 
Otro aporte de Euler es su concepción de función, la misma que se basa en la 
formulada por Bernoulli y que dice: “una función es cualquier expresión analítica 
formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes" (Boyer, 1959; 
p.558), al trabajar con funciones y no con variables. Euler contribuye a separar el cálculo 
de la geometría y rechaza los infinitésimos y trabaja con series infinitas, sin embargo, 
algunos trabajos se ven afectados al no considerar las convergencias de las series. 
 
 
 
 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
21 
 
 D’Alembert (1717-1783) 
Medrano y Pino-Fan (2016) presentan una definición de límite, un ejemplo y dos 
proposiciones que se constituyen en el preludio del álgebra de límites que fueron 
publicadas por D’Alembert (1766) en el volumen 9 de la L’Enciclopédie: 
Se dice que una magnitud es el límite de otra magnitud, cuando la segunda 
puede aproximarse a la primera más que una magnitud dada, tan pequeña 
como uno pueda suponer, sin embargo, la magnitud que se aproxima no puede 
sobrepasar la magnitud a la cual ella se aproxima; si bien que la diferencia 
entre dicha cantidad y su límite es totalmente indeterminable. 
Por ejemplo, supongamos dos polígonos, uno inscrito y el otro circunscrito a 
un círculo, es evidente que uno puede multiplicar los lados tanto como quiera; 
en ese caso, cada polígono se aproximará más y más a la circunferencia del 
círculo, el contorno del polígono inscrito aumentará y el del circunscrito 
disminuirá; pero el perímetro o el contorno del primero no sobrepasará jamás 
la longitud de la circunferencia y el del segundo no será jamás más pequeño 
que esta misma circunferencia; la circunferencia del círculo es pues el límite 
del aumento del primer polígono y de la disminución del segundo. 
1. Si dos magnitudes son el límite de una misma cantidad, estas dos 
magnitudes serán iguales entre sí. 
2. Sea AxB el producto de dos magnitudes A, B. Supongamos que C sea el 
límite de la magnitud A y D, el límite de la cantidad B; yo digo que CxD, 
producto de los límites, será necesariamente el límite de AxB… (pp. 309-
310). 
Medrano y Pino-Fan (2016) al analizar esta definición hacen notar algunos 
problemas como la ausencia de simbología, las imprecisiones de conceptos como primera 
y segunda magnitud. Además, acorde a los avances de la época, se puede evidenciar que 
aún se asume el límite de magnitudes y no de funciones; el ejemplo deja ver la primacía 
de la aplicación de límites para cálculos geométricos; y finalmente, las propiedades 
planteadas dejan ver la connotación algebraica que las matemáticas de la época 
mantienen. 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
22 
 
Delgado (1998), citando a Grattan-Guinness (1984), resalta dos aportes de Simon 
Lhulier respecto a la definición de límite formulada por D’Alembert (con la que coincide), 
el primero introducir la notación «lim» y luego demostrar que: 
lim
→
𝑝
𝑞
=
lim
→
𝑝
lim
→
𝑞
 lim
→
(𝑝 )( 𝑞 ) = ( lim
→
𝑝 )( lim
→
𝑞 ) 
Lhulier define a la derivada como el límite del cociente de los incrementos de las 
variables dependientes respecto a la variación de la variable independiente y señala que 
el símbolo dy/dx, debe ser leído como un símbolo único. En este caso, la derivada es una 
función cuyo valor depende del punto en cuestión, sin embargo, la denominó “razón 
diferencial”, lo que deja ver una incoherencia entre la definición y la terminología. 
(Grattan-Guinness, 1984, citado por Delgado, 1998). 
 
 Lagrange (1736-1813) 
De acuerdo con Kleiner (2001), la mayor contribución de Lagrange al desarrollo 
del Cálculo fue su propuesta de notación funcional de las derivadas, respecto a las 
notaciones fluxionales y diferenciales, lo que conllevó al reconocimiento de que la 
derivada de una función es otra función. Además, Lagrange desarrolló las series de 
Taylor, al considerar que las derivadas de las funciones para x=0 eran los coeficientes de 
las potencias sucesivas (Blázquez y Ortega del Rincón, 2002). 
Lagrange, como otros matemáticos de la época, tuvo dificultades para entender lo 
que sucede cuando la proporción 
∆
∆
 alcanza su límite, por lo que soslayó la noción de 
límite (Kleiner, 2001). Los resultados de sus trabajos con las series les condujeron a 
pensar que “se podían evitar los infinitesimales y los límites y continuó haciendo 
desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas 
necesitaba del concepto de límite” (Blázquez y Ortega del Rincón, 2002, p.10). Lagrangemantiene una implícita concepción algebraica del análisis, no obstante, contribuyó a la 
evolución hacia una concepción numérica (Kleiner, 2001). 
 
 
 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
23 
 
 Conclusión de la época 
De acuerdo a Blázquez y Ortega del Rincón (2002), durante esta etapa la noción de 
límite es paramatemática, es decir, se constituyó en una herramienta para describir y 
analizar otros objetos matemáticos como la continuidad y las derivadas, su concepción 
fue eminentemente algebraica. D´Alembert con su definición de límite le da el estatus de 
noción matemática y es precisamente esta concepción la que evoluciona hacia concepción 
numérica en la siguiente etapa. 
 
1.1.3. Etapa 3: Siglo XIX y principios del siglo XX. Rigurosidad y aritmetización del 
cálculo 
Entre los siglos XIX e inicios del siglo XX, el mundo se ve matizado por guerras 
locales debido al colonialismo europeo, así como por el estallido de la Primera Guerra 
Mundial. En el siglo XIX Europa pasa de lo rural a lo industrial-urbano, del taller artesano 
a la fábrica, del trabajo manual a la mecanización. La ciencia y la industria estrechan sus 
lazos, lo que permite el diseño y creación de diferentes tipos de máquinas que fueron el 
instrumento del desarrollo de la industria. La revolución industrial cambia la orientación 
de los fines de la investigación pasando de la producción académica, cuya mayor 
aspiración fue la publicación de artículos científicos, a la consecución de patentes. En 
esta etapa se establecen laboratorios de investigación en primera instancia y luego 
laboratorios industriales asociados fundamentalmente a aspectos relacionados con la 
física. Esta tendencia se mantiene durante la primera etapa del siglo XX. 
En lo que respecta a las características de la evolución de la matemática cabe señalar 
que esta es conceptualizada como “la ciencia de las leyes del objeto en general: la 
matemática es una ciencia demostrativa que procede a partir de proposiciones primitivas 
(axiomas), definidas no apelando a la evidencia, sino a su poder deductivo” (Bolzano, 
citado por Delgado, 1998, p.218). En esta etapa se reinterpretan y demuestran 
analíticamente conceptos y teoremas basados en intuiciones geométricas. Los conceptos 
matemáticos, que toman mayor importancia en esta época son: la teoría de conjuntos y la 
lógica (ambas serán la base para la matemática pura, es decir, la aritmética, el álgebra y 
el análisis); el concepto de función que se constituye en el objeto central del análisis, fue 
definida por Dirichelet como: “Si una variable y está relacionada con otra variable x, de 
tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x, hay una regla según la cual 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
24 
 
queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es función de la variable 
independiente x” (Delgado, 1998, p. 218); el concepto de infinito cuya concepción se 
mantiene hasta la actualidad; la diferenciación entre cantidad variable y variable 
numérica; el concepto de continuidad que es trabajado por Arbogast y hace algunas 
precisiones en un marco geométrico, respecto a la definición euleriana; y, los 
infinitesimales pensados como una cantidad variable que se hace infinitamente pequeña 
cuando su valor numérico decrece indefinidamente de forma que converge al límite 0 
(ibídem). 
De acuerdo a Blázquez y Ortega del Rincón (2002), los principales problemas a 
resolver por los matemáticos en esta época responden a la necesidad de construir la teoría 
de límites como base del análisis matemático; la aparición de nuevos problemas 
matemáticos y físicos; y la evolución de la enseñanza de las matemáticas. 
En esta etapa se concibe al límite como una noción matemática, sirve como soporte 
a otras como continuidad, derivada e integral (Blázquez y Ortega del Rincón, 2002). 
Según Medrano y Pino-Fan (2016), los matemáticos Bell y Ortiz (1949) y Boyer (2013) 
concuerdan que gracias a los trabajos de Cauchy en el siglo XIX, los conceptos 
fundamentales del cálculo (función, límite, continuidad, diferenciación e integración) son 
debidamente formalizados para un desarrollo deductivo del cálculo. De acuerdo a Pino-
Fan (2014, citado en Medrano y Pino-Fan, 2016) este camino de precisión y rigurosidad 
se basa en la aritmetización del concepto de límite. 
A continuación, se destaca el nombre y los aportes de varios matemáticos que 
contribuyeron en la evolución del concepto de límite: 
• Cauchy (1789-1857). 
• Bolzano (1781-1848). 
• Weierstrass (1815-1897). 
 
 Cauchy (1789-1857). 
El fundador del análisis moderno fue Cauchy por su aporte al formular de manera 
rigurosa conceptos fundamentales en su obra “Cours d’analyse” (1821) (Delgado, 1998). 
Medrano y Pino-Fan (2016), resalta tres definiciones de Cauchy en esta obra: cantidad 
variable “aquella que uno considera que recibe sucesivamente muchos valores diferentes 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
25 
 
los unos de los otros” (p.310), cantidad constante “toda cantidad que recibe un valor fijo 
y determinado” (p.310) y límite “cuando los valores sucesivamente atribuidos a una 
misma variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera de terminar de 
diferir tan poco como uno quiera, este último es llamado el límite de todos los otros” 
(p.310). Esta concepción de límite es considerada de naturaleza dinámica. Kline (1992, 
p. 1255) cita el ejemplo que Cauchy plantea en torno a la definición de límite “así, por 
ejemplo, un número irracional es el límite de diversas fracciones que toman valores cada 
vez más aproximados a él”, este ejemplo, de acuerdo a Kline, fue criticado por otros 
matemáticos, pues se asumió como la definición de número irracional lo que implicaba 
que el límite no tendría significado fuera del conjunto de los números irracionales, 
Cauchy omite este ejemplo en sus obras de 1823 y 1829. 
De acuerdo a Kline (1992, p. 1251), el rigor de la definición de Cauchy es 
impreciso, debido al uso de frases como “se acerca indefinidamente”, “tan poco como se 
desee”, “últimas razones de incrementos infinitamente pequeños” y “una variable se 
acerca a su límite”. Estas frases son cuestionadas por matemáticos como Weierstrass 
cuyas argumentaciones se exponen más adelante. Delgado (1998) añade otra dificultad a 
la definición de Cauchy al señalar que “se focaliza en los valores de la función sin 
mencionar la variable independiente que queda implícita en la definición” (p. 219). Se 
atribuye las imprecisiones de la definición de Cauchy a la primacía de las “intuiciones 
geométricas y físicas que obstaculizaban la concepción aritmética del concepto” (ibídem, 
p. 213). 
Pese a las dificultades que se señalan respecto a la definición dinámica de límite de 
Cauchy, Tall (1992a) resalta su importancia como un recurso didáctico para introducir la 
enseñanza-aprendizaje de la noción formal de límite, pues esta aporta imágenes dinámicas 
que dan un aporte intuitivo a las pruebas rigurosas. 
 
 Bolzano (1781-1848) 
Los primeros matemáticos que fundamentaron el cálculo fueron Bolzano y Cauchy. 
Los resultados obtenidos de forma independiente por los dos matemáticos respecto a 
conceptos como límite, convergencia, continuidad, y derivada son muy semejantes 
(Medrano y Pino-Fan, 2016). 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
26 
 
Valdivé y Garbin (2008, p.444) señalan que Bolzano “desarrollauna teoría de 
números reales como límites de sucesiones de números racionales”, además propone una 
demostración de que una sucesión converge en sí misma. Otro aporte importante de 
Bolzano es la introducción por primera vez de la noción de continuidad de una función 
como un concepto matemático (Delgado, 1998). 
 
 Weierstrass (1815-1897) 
La base aritmética y formal para el análisis, independiente de consideraciones 
geométricas, fue construida por Weierstrass. Las ideas centrales de Weierstrass, según 
Heine (1872, citado por Delgado, 1998, p. 216), fueron: “introducir una definición de 
número racional independiente del concepto de límite y eliminar toda consideración 
intuitiva de movimiento en la definición de límite”. Estas ideas permitieron superar “el 
problema de circularidad de la definición de límite de Cauchy” (Delgado, 1998, p. 216); 
además, refuta la frase “una variable se acerca a un límite” (dada en la definición de 
Cauchy) que sugiere tiempo y movimiento; y propone la representación de una variable 
como una letra que representa cualquier valor de un conjunto dado, eliminando 
interpretaciones subjetivas del concepto (Kline, 1992). De esta forma pasa de la 
definición dinámica de límite dada por Cauchy a una definición formal “estática” 
circunscrita a la aritmética (Delgado, 1998). Kline (1992, p. 1257) señala que Weierstrass 
para superar la “vaguedad” de la frase que usaron Cauchy y Bolzano: “se hace y 
permanece menor que cualquier cantidad dada”, planteó la siguiente definición, que es la 
que se utiliza hasta la actualidad (reflejando una concepción métrica del concepto de 
límite): 
𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑥 si dado cualquier número positivo , existe una  
tal que para toda x en el intervalo |𝑥 − 𝑥 | < 𝛿, |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 )| < 𝜀 . Una 
función 𝑓(𝑥) tiene un límite L en 𝑥 = 𝑥 si se cumple la misma afirmación, 
pero con L reemplazando a 𝑓(𝑥 ). Una función es continua en un intervalo 
de valores x si es continua en cada x del intervalo (Kline, 1992, p. 1257). 
Según Delgado (1998), Weierstrass (1872) define el límite de una variable o de una 
función de la siguiente manera: “Si para cualquier ε dado, puede ser encontrado un η0 tal 
que para 0 < 𝜂 < 𝜂 , la diferencia 𝑓(𝑥 ± 𝜂) − 𝐿 es menor en valor absoluto que , 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
27 
 
entonces L es el límite de f(x) en x=x0”, esta definición es aplicable a funciones y 
conceptos de la aritmética, la lógica y conjuntos, con lo que se supera el dominio de 
imágenes de la cinemática o geométricas. 
 
 Conclusión de la etapa: 
El análisis de la evolución del concepto de límite que parte desde la concepción 
como simple aproximación con predominio de lo geométrico, pasando por la concepción 
dinámica en la que prima el razonamiento algebraico, hasta llegar a la concepción estática 
en la que se aprecia lo numérico, permite determinar algunos aspectos didácticos de cada 
etapa que pueden ser favorables para el proceso de enseñanza-aprendizaje de límites por 
parte de los estudiantes de bachillerato. Sin embargo, en esta investigación se pondrá 
mayor atención en la definición dinámica planteada por Cauchy, cuya naturaleza intuitiva 
se constituye en un recurso didáctico útil en la primera fase de la enseñanza-aprendizaje 
de la noción formal de límite, además es el paso lógico anterior al estudio de la definición 
estática de Weierstrass (concepción métrica). 
 
1.1.4. Etapa 4: Siglo XX. Concepciones de tipo topológico 
La cuarta etapa se circunscribe al siglo XX, está relacionada con las concepciones 
de tipo topológico, cuyo objetivo es generalizar los conceptos del cálculo a conjuntos no 
necesariamente numéricos, lo que implica un tratamiento en niveles de educación 
superior y no de bachillerato (Blázquez y Ortega del Rincón, 2002) como es el contexto 
donde se desarrolla esta investigación. 
 
1.2. El límite de una función de variable real en el currículo ecuatoriano 
En la contextualización del problema objeto de estudio se hace menester establecer 
la forma como se incluye el estudio de límite de una función real en el currículo 
ecuatoriano. En este análisis se desarrolla la cronología del proceso de inclusión del 
“concepto de límite de una función real” en el currículo del bachillerato ecuatoriano y 
luego se realiza un análisis de la forma como se aborda el tema en el texto oficial del 
Ministerio de Educación ecuatoriano. 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
28 
 
1.2.1. Cronología del proceso de inclusión del “concepto de límite de una función 
real” en el currículo del bachillerato ecuatoriano 
El desarrollo reciente de las reformas curriculares del bachillerato ecuatoriano, 
abarca dos etapas: la primera corresponde al período 1995 – 2001, en esta se destaca los 
esfuerzos gubernamentales para normar este nivel de la educación; y, la segunda etapa, 
corresponde a los años 2001 hasta la actualidad. Esta segunda etapa se caracteriza por la 
implementación del bachillerato general unificado. 
Con el propósito de definir, reformar y ordenar el Bachillerato en su condición 
formativa y terminal, se establece el Decreto Ejecutivo N° 1786 (2001), en este se definen 
tres tipos de bachillerato: 1) en Ciencias, cuyo currículum tiene enfoque de contenidos y 
forma bachilleres generales en ciencias y bachilleres en ciencias con especialización 
(Físico-Matemáticos, Químico-Biológicos y Sociales). 2) Bachillerato Técnico, su 
currículum está diseñado por competencias orientadas a la formación profesional, forma 
bachilleres técnicos polivalentes y bachilleres técnicos con especialización. 3) 
Bachillerato en Artes, su currículum tiene enfoque de competencias para lograr 
bachilleres en diversas líneas de expresión artística (Decreto Ejecutivo N° 1786, 2001). 
En el Decreto Ejecutivo N° 1786, se confirió a las instituciones educativas libertad 
para diseñar proyectos curriculares, lo que determinó la existencia de una variedad de 
propuestas curriculares, algunas de las cuales incluyeron el estudio de límite de una 
función real en un punto, y otras no lo hicieron. La dispersión de propuestas curriculares 
de esta etapa impidió que se pudiesen establecer características comunes respecto al 
enfoque didáctico que prevaleció, en general, en el currículo del bachillerato y, en 
particular, en relación al estudio de límite de una función real en un punto. 
Posteriormente, producto de la aplicación de la Ley Orgánica de Educación 
Intercultural (2011), artículos 43 y 44, se crea el Bachillerato General Unificado que, al 
igual que el bachillerato anterior, se desarrolla en tres años. Sin embargo, presenta 
diferencias en cuanto a su carácter obligatorio y al diseño curricular del mismo, en el que 
se incluye un tronco común de asignaturas generales y la posibilidad de optar por un 
bachillerato: en ciencias o técnico (Ley Orgánica de Educación Intercultural, 2011). 
A partir de la aplicación de esta ley, el currículo del Bachillerato General Unificado 
se ha ido transformando, así para el año 2013 el Ministerio de Educación determina los 
“Lineamientos curriculares para el Bachillerato General Unificado”, en área de 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
29 
 
Matemática se establece la asignatura optativa Matemática Superior, esta disciplina tiene 
como uno de sus objetivos “Conocer las bases del cálculo diferencial para analizar 
funciones y resolver problemas de la matemática y de otras ciencias” (Ministerio de 
Educación, 2013, p.6). Para cumplir con este objetivo se programadentro de uno de los 
bloques curriculares (Números y funciones) la siguiente destreza con criterio de 
desempeño “Calcular los límites de funciones elementales mediante el uso de la 
definición y de las propiedades algebraicas de los límites” (ibídem, p.8), destreza que es 
considerada procedimental. Los contenidos básicos para el bloque Números y funciones 
son: Inducción matemática (6 semanas), Números complejos (6 semanas), Límites y 
continuidad (6 semanas), Derivada (6 semanas) y Aplicaciones de la derivada (6 semanas) 
(ibídem, p.9). Se puede concluir que tanto el objetivo como la destreza con criterio de 
desempeño, priorizan la enseñanza de la definición métrica del límite de una función en 
un punto, así como el uso de los algoritmos para el cálculo del límite de una función, sin 
considerar la enseñanza del significado del concepto de límite de una función real en un 
punto. 
En el año 2016 se realiza un nuevo ajuste al currículo del Bachillerato General 
Unificado, lo que deriva en la modificación de las asignaturas optativas, excluyendo de 
Matemática Superior (optativa) la temática de límite de una función, contenido que pasa 
a ser parte de la asignatura Matemática para Bachillerato General Unificado. La nueva 
propuesta curricular, para el área de Matemática, está estructurada por tres bloques: 
Álgebra y Funciones, Geometría y Medida, y Estadística y Probabilidad, como se muestra 
en la Tabla 1.1. El bloque 1: Álgebra y Funciones, incluye el estudio de las funciones 
reales, circunscrito a este tema se encuentra la función cuadrática y su derivada, 
finalmente, la malla propuesta por el Ministerio de Educación orienta a que en la 
enseñanza de este tema se aborde el significado de “h →0” y la noción intuitiva de límite 
de una función (Ministerio de Educación, 2016, pp. 188-191). 
En la propuesta curricular del año 2016, se establece como uno de los criterios de 
evaluación de la asignatura de Matemática “Aplica el álgebra de límites como base para 
el cálculo diferencial e integral, interpreta las derivadas de forma geométrica y física, y 
resuelve ejercicios de áreas y problemas de optimización.” (Ministerio de Educación, 
2016, p. 176). Para cumplir con este criterio de evaluación se programa en el bloque 
Álgebra y Funciones, la siguiente destreza con criterio de desempeño “Calcular, de 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
30 
 
manera intuitiva, el límite cuando ℎ → 0 de una función cuadrática con el uso de la 
calculadora como una distancia entre dos número reales” (ibídem, p. 158). 
Tabla 1.1. Contenidos conceptuales del bloque 1, de la asignatura de Matemática para 
Bachillerato General Unificado (Ministerio de Educación, 2016, pp. 188-191) 
BLOQUE 1: Álgebra y Funciones 
BLOQUE 2: 
Geometría y 
medida. 
BLOQUE 3: 
Estadística y 
probabilidad. 
Números reales 
Propiedades de orden Operaciones en R. 
Vectores 
geométricos en el 
plano 
 
El espacio vectorial 
R2 
Datos agrupados / 
Datos no agrupados 
 
Probabilidad 
 
Distribuciones 
discretas 
 
Regresión lineal 
simple 
Funciones reales 
Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas e inversas. 
Función afín Función valor absoluto. 
Función Potencia entera negativa con n= -1, -2. 
Función raíz cuadrada. 
Representación gráfica 
Función cuadrática y su derivada. 
Factorización de la función cuadrática. 
Distancia entre dos números reales: 
 Significado de 𝒉 → 𝟎. 
 Noción intuitiva de límite 
Cociente incremental 
Obtención intuitiva de la derivada 
Composición de funciones reales. 
Operaciones con funciones reales. 
Función polinomial de grado n con coeficientes reales. 
Funciones racionales. 
Sucesiones numéricas reales. 
Integración. 
Funciones trigonométricas. 
Función exponencial y logarítmica. 
Ecuaciones 
Intervalos e inecuaciones 
Matrices de mxn 
Al contrastar el criterio de evaluación, la destreza con criterio de desempeño y los 
contenidos sugeridos en la malla curricular, se puede apreciar que el criterio de evaluación 
sobrepasa las fronteras de la destreza con criterio de desempeño y de los contenidos, sin 
embargo, existe relación entre la destreza con criterio de desempeño y los contenidos. 
Además, a diferencia de lo que sucedía en el diseño curricular anterior, en este se prioriza 
la enseñanza de la noción de límite de una función, sobre la concepción métrica. 
 
1.2.2. El límite de una función real en el texto oficial del Ministerio de Educación 
En esta sección se analiza el texto oficial vigente propuesto por el Ministerio de 
Educación. Este texto fue utilizado en el tercer año de bachillerato durante el año lectivo 
2016-2017 y su análisis estuvo bajo las directrices del diseño curricular planteado desde 
el Ministerio de Educación Ecuatoriano. 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
31 
 
Sierra, González y López (1999) para analizar el tratamiento que se le daba en los 
textos al límite de funciones utilizaron un modelo que consta de tres etapas: 
 Primera etapa. Elaboración de fichas individuales del texto, 
 Segunda etapa. Comparación de libros (o de parte de ellos) que corresponden a un 
mismo periodo cronológico respecto a: 
Modo de introducción del concepto: formal, heurísticos o constructivo. 
Tipo de definición: topológica, métrica, geométrica o por sucesiones. 
Secuenciación: se ha hecho un listado de las definiciones y propiedades 
relacionadas con el límite, numerándolas según su orden de aparición. 
Tipos de ejercicios y problemas, análisis de cada una de las dimensiones. 
Se analizan las siguientes dimensiones: análisis conceptual, análisis 
didáctico-cognitivo y análisis fenomenológico. (Sierra et al., 1999, p.464) 
 Tercera etapa. Análisis de las siguientes dimensiones: 
o análisis conceptual (cómo se define y organiza el concepto, las representaciones 
gráficas y simbólicas, los problemas y ejercicios resueltos o propuestos, y otros 
aspectos materiales); 
o análisis didáctico-cognitivo (explicitación de los objetivos planteados por los 
autores y el modo en el que los alumnos desarrollan capacidades cognitivas); y 
o análisis fenomenológico (análisis de las implicaciones de las propias 
matemáticas, otras ciencias y de la vida cotidiana). 
En nuestro análisis solo utilizaremos la primera y tercera etapa del modelo de Sierra 
et al. (1999) dado que únicamente se ha analizado el texto oficial y, en consecuencia, no 
se puede hacer ningún tipo de comparación con otros textos. 
Primera etapa. Descripción general del texto: 
Nombre del texto: Matemática 3° Curso BGU, texto del estudiante. 
Autores: Acuña, E. (ed.) en alianza con Grupo Edebé. 
Editorial: Editorial Don Bosco, LNS. 
Ciudad de publicación: Quito. 
Año de publicación: 2016 
Otros datos: Libro revisado por la Universidad Tecnológica Equinoccial. Obtuvo la 
certificación curricular del Ministerio de Educación el 30 de mayo de 2016. 
Capítulo 1. Problemática de Investigación Ana Lucía Arias Balarezo 
32 
 
Tercera etapa. Análisis del enfoque conceptual, didáctico-cognitivo y fenomenológico de 
cómo el texto afronta el tema de límite de una función. 
a) Análisis conceptual del tratamiento de límite de una función en el texto 
Aquí analizamos cómo se define y organiza el concepto de límite de una función, 
el uso de los modos de representación, así como el uso de los problemas y ejercicios 
resueltos o propuestos. Finalmente, detallamos otros aspectos. 
i Forma de organizar los contenidos 
El límite de una función en un punto está incluido en la unidad temática 1 
“Funciones y Límites”. En esta unidad aparecen los siguientes contenidos: 
1.