Modelado, anÃlisis y control de un sistema biolÃgico biestable

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Modelado, análisis y control de 
sistemas biológicos biestables 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
Jesús Jiménez Sobrado 
 
Tutores: 
 Guillermo Heredia Benot 
Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Sevilla. 
Luis Merino Cabañas 
Departamento de Robótica, Visión y Control, Universidad Pablo de Olavide. 
 
Titulación: 
Ingeniería Industrial Intensificación en Automática Industrial 
Año: 
2013 
 
 
 
 
 
 
Escuela Técnica Superior de Ingenieros UNIVERSIDAD DE SEVILLA 
 
 
MODELADO, ANÁLISIS Y CONTROL DE UN SISTEMA BIOLÓGICO BIESTABLE 
 
Autor: 
Jesús Jiménez Sobrado 
Ingeniería Industrial, intensificación en Automática Industrial. 
 
Tutores: 
Guillermo Heredia Benot 
Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Sevilla. 
Luis Merino Cabañas 
Departamento de Robótica, Visión y Control, Universidad Pablo de Olavide. 
 
Septiembre, 2013 
 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 Índice 
Índice del documento 
 
Preámbulo I 
1. Paradigma Actual de la biología sintética III 
2. Perspectivas de la Biología Sintética IV 
3. Biología Sintética e Ingeniería VI 
4. iGEM International Genetically Engineered Machines VII 
5. El grupo UPO-Sevilla VIII 
6. FlashBacter IX 
El Biestable Básico IX 
El biestable Mejorado XII 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 1 
1. Objeto 3 
2. Alcance 5 
3. Antecedentes. Discusión de Metodologías 7 
 Características de las Redes Reguladoras de Genes 7 
 Técnicas de modelado de redes reguladoras de genes 8 
4. Decisión de las técnicas de modelado 13 
Enfoque determinista 15 
1. Especies y reacciones 17 
 El núcleo biestable 17 
 El biestable básico 19 
 El biestable modificado 21 
2. Dinámica de las reacciones 24 
 Transcripción 24 
 Traducción 25 
Índice 
 Represión 25 
 Degradación 26 
 Proteólisis 27 
 Inhibición ARN antisentido 27 
3. Biestable Simple. Consideraciones de modelado 28 
 Represión y transcripción 28 
 Régimen permanente para la transcripción 28 
 Traducción 29 
 Parámetros 29 
 Modelo del biestable simple 30 
4. Biestable modificado. Consideraciones de modelado 32 
 Agrupación de ecuaciones 34 
 Modelo del biestable modificado 34 
5. Modelado del Sistema Biestable Simple en cinéticas simples 35 
 Consideraciones sobre el modelo en EDOs 35 
6. Modelado del sistema biestable modificado en cinéticas simples 44 
 Consideraciones de modelado 44 
7. Conclusión de los Modelos 50 
Análisis de estabilidad determinista 51 
1. Análisis de estabilidad del modelo del biestable simple 53 
2. Análisis de estabilidad del sistema biestable mejorado 58 
Análisis de bifurcaciones 63 
1. Introducción de la teoría de bifurcaciones 65 
2. Análisis de bifurcaciones del biestable simple 66 
3. Estudio de bifurcaciones del modelo del biestable mejorado 72 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 Índice 
Enfoque estocástico 81 
1. La visión de Gillespie 83 
 Fundamentos de la Cinética Química Estocástica 83 
 La Ecuación Química Maestra 84 
 El Algoritmo de Simulación Estocástico 85 
 Tau-Leaping 87 
 Aspectos de interés del método 87 
2. Scripts en Matlab 89 
 Algoritmos de simulación 89 
 Modelos de los sistemas 91 
3. Selección de parámetros 95 
4. Simulaciones estocásticas del biestable simple 98 
5. Simulaciones estocásticas del biestable mejorado 102 
Control de los sistemas biestables 109 
1. Acciones de control de los biestables 111 
 Inducción 111 
 Degradación por temperatura 112 
2. Modelo del biestable simple con acciones de control 113 
3. Modelo del biestable mejorado con acciones de control 120 
Análisis de los resultados experimentales en laboratorio 125 
1. Experimentos en laboratorio 127 
 Sobre las medidas de los experimentos 127 
2. Resultados experimentales del biestable básico 129 
 Conclusiones de los experimentos realizados sobre el biestable simple 133 
3. Resultados experimentales del biestable mejorado 134 
 Conclusiones de los experimentos 136 
4. Conclusiones generales de los experimentos en laboratorio 137 
Índice 
Conclusión final 139 
Bibliografía 141 
ANEXO: Fundamentos Biológicos 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo I 
 
Preámbulo 
 
Para la lectura de este proyecto fin de carrera, se aconseja la lectura este primer 
documento, donde se situará al lector dentro del marco histórico y científico en el que 
este estudio se desenvuelve. 
A pesar de tratarse de un trabajo sobre Ingeniería Industrial, cuyo desarrollo radica en el 
estudio del modelado matemático de sistemas, los procesos sobre los que se trabajarán, 
tienen un cariz algo alejado de lo cotidiano dentro del mundo de la Ingeniería, en 
concreto, la biología molecular. 
Así pues, también se recomienda hacer una lectura del anexo final “Fundamentos 
Biológicos”, donde se describen los entes e interacciones necesarias para la comprensión 
global del sistema que se va a tratar. 
Muchas Gracias 
 
 
II Preámbulo 
 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo III 
 
1. Paradigma Actual de la biología sintética 
La Revolución Industrial supuso un fuerte cambio de paradigma tecnológico y social que 
históricamente desembocó en un cambio Era. Durante la edad contemporánea las 
estructuras económicas europeas fueron remodeladas de tal forma que surgió una 
nueva estructura social acorde con las nuevas necesidades ocupacionales. A la par con la 
Revolución Industrial, el propio surgimiento de los modelos de estado democráticos no 
habría sido tan efectivo sin la participación de los vigentes avances tecnológicos que 
ayudaron a equiparar el poderío del ciudadano frente a las antiguas clases dominantes. 
Todo ello ha dado lugar a la adecuada transformación de la sociedad y de las relaciones 
propias que se establecen entre los diferentes estratos. 
Todas las revoluciones de nuestra era han llevado consigo el descubrimiento de un 
nuevo concepto y el nacimiento de las ciencias que apoyaban estas ideas. La Primera 
Revolución Industrial se produjo después de la aparición de la máquina de vapor, las 
mejoras que se sucedieron tras ella incitaron el estudio de la Termodinámica y el uso de 
la energía térmica. Algo parecido ocurrió con la electricidad durante la denominada 
Segunda Revolución Industrial que, tras la formulación de las leyes de Maxwell, el 
estudio desembocó en nuevos avances técnicos. La conjunción del concepto (Energía 
térmica, democracia, electricidad,…) y el espíritu innovador propio del ser humano, es 
suficiente para que las bases de una nueva época se establezcan. 
Una situación diferente está teniendo lugar con la Información. Ésta ha conseguido un 
objetivo mucho más amplio que las anteriores, estar presente en diversas disciplinas. 
Desde la biología con la genética, o la física con las actuales teorías de campos 
unificados, utilizan el concepto de Información como algo inherente en la realidad. Es 
esta idea la que radica en la computación o Internet. Por tanto, el avance actual de las 
ciencias no puede comprenderse sino como una relación interdisciplinar. 
Observando el presente, podemos sugerir cuáles serán las disciplinas que están 
destinadas a revolucionar nuestra concepción del mundo en los años venideros. Entre 
las posibilidades dentro del mundo de la Ingeniería podemos encontrar el estudio de 
nuevos materiales que está consiguiendo grandes avances en los últimos años y por otro 
lado la robótica o la nanotecnología, que, aunque fueron grandes apuestas en las 
últimas décadas, no han conseguido diversificar su campo de aplicación o reformarse 
para tomar la iniciativa del verdadero cambio de paradigma que se esperaba de ellos. 
La gran apuesta actual parece ser la Biología Sintética. Recordemos que las anteriores 
revoluciones comenzaron con una idea, un concepto, del cual surgen estudios en 
diferentesdisciplinas y una ciencia la respalde. En este caso concreto, fue el descifrado 
del código genético junto con la posibilidad de creación de nuevas especies, la idea 
precursora de este campo de estudios. 
 
IV Preámbulo 
 
2. Perspectivas de la Biología Sintética 
La Biología Sintética tiene unas perspectivas de aplicación verdaderamente asombrosas. 
Medio Ambiente, biomateriales, procesos industriales, bioenergías, Biomedicina son 
unos de tantos ámbitos en los que la biotecnología podría participar. 
Leyendo el Informe de Vigilancia Tecnológica en Biología Sintética realizado por 
GENOMA ESPAÑA Tendencias en 2006 [1] podemos concretar éstas perspectivas de 
aplicación y hacernos una idea de cuán cercanas se encuentran. En el apartado sexto 
‘Perspectivas Futuras de la Biología Sintética’ se analizan estos aspectos. 
Sintetizando el análisis, el informe muestra el siguiente cuadro: 
 
Como se observa en el cuadro resumen, se contempla los siguientes campos: Medio 
Ambiente, Materiales, Procesos Industriales, Energía y Biomedicina. Efectivamente, la 
Biología Sintética se muestra como el gigante capaz de revolucionar tantos ámbitos 
como quepa esperar. 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo V 
 
 
La Fundación Alternativas sacó en 2011 un informe llamado Realidad y expectativas de 
la biología sintética. El documento recoge la transcripción de las ponencias de los 
participantes un seminario del Laboratorio de Alternativas. 
Al final, se hace una recopilación de las conclusiones que se decidieron de las jornadas. 
Entre ellas, destaco: 
“… 
2. La aplicación de los sistemas de trabajo de la ingeniería a la resolución de problemas 
biológicos está originando avances muy significativos en la biología y en sus aplicaciones 
biotecnológicas. 
3. El uso de los métodos de cálculo avanzado permite conocer el funcionamiento de 
sistemas biológicos complejos. Estos pueden ser distribuidos en unidades teóricas que 
pueden considerarse como “piezas” de un proceso completo. 
… 
7. Esta área científica se encuentra en sus fases iniciales. Aunque los grupos 
norteamericanos son los más avanzados, no existe demasiada diferencia con los pocos 
grupos europeos que trabajan en este campo. 
8. En España hay varios grupos de gran calidad trabajando en biología sintética y las 
áreas relacionadas. 
…” [2] 
Entre estos comentarios, se destaca el gran avance que actualmente está sufriendo esta 
disciplina y cómo no hay grandes diferencias entre los grandes centro de investigación 
del mundo. 
 
 
VI Preámbulo 
 
3. Biología Sintética e Ingeniería 
Veamos algunas de las definiciones de que se han dado a la Biología sintética: 
”…la ingeniería de la biología: la síntesis de complejos, sistemas basados biológicamente 
inspirados que desempeñan funciones que no existen en la naturaleza.” 
Según: Applying Engineering to Biology: Report of a NEST High-Level Expert Group 
“…La Biología Sintética se define como la síntesis de biomoléculas o ingeniería de 
sistemas biológicos con funciones nuevas que no se encuentran en la naturaleza…” 
Wikipedia: Biología Sintética 
“…Diseño y fabricación de componentes biológicos que no existen en la naturaleza…” 
Tanto en las definiciones citadas como en los pilares de la propia Biología Sintética, se 
incluye la Ingeniería, la creación y el estudio de Sistemas como parte fundamental de su 
desarrollo. Es por tanto, una de las tareas que los ingenieros han de ir abarcando si, de 
hecho, este campo tan asombroso puede llegar a revolucionar el mundo. 
La Biología Sintética nace después del avance de la Biología de Sistemas y de la 
Ingeniería Genética. La primera se centra en el estudio de los organismos a través de 
simulaciones basadas en algoritmos de resolución de los modelos matemáticos que 
ajustan el comportamiento de los sistemas; mientras que la Ingeniería Genética ha 
conseguido modificar los genes de los organismos para crear nuevos entes biológicos. 
Algunos autores han señalado que hay que adaptar los métodos de trabajo de la 
Ingeniería para el desarrollo de la Biología Sintética. Bajo este supuesto, las cuatro ideas 
básicas que se deben ir cubriendo son: 
• Estandarización de partes biológicas 
• Reparto y especialización de tareas 
• Organización de jerarquías 
• Diseño de dispositivos autorreplicativos 
Bajo estas premisas, aparece en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) el 
primer concurso internacional de Biología Sintética llamado iGEM (International 
Genetically Engineered Machine) 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo VII 
 
4. iGEM International Genetically Engineered Machines 
La idea surge entre algunos profesores de ingeniería del MIT (Drew Endy y Tom Knight) 
con la finalidad de ser referencia internacional en Biología Sintética. Así, en 2003 en el 
Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) comienza un curso de verano en el que un 
grupo de estudiantes diseñan sistemas biológicos. Esto evolucionó hacia una 
competición que año tras año ha crecido en número de participantes a nivel mundial. 
Desde 2004 con 5 equipos llegaron a 165 en 2011. El concurso ha conseguido ser uno de 
los pilares fundamentales de la Biología Sintética a nivel internacional [1]. 
 
El iGEM además de servir de herramienta educativa y difusiva, encaja perfectamente en 
este planteamiento. Además de estimular la creación de grupos de trabajo de 
estudiantes de diversas disciplinas, se está creando toma una base de datos de registros 
de partes [2] utilizadas por cada grupo, alcanzando un grado de estandarización 
dispositivos. 
Las esperanzas que están puestas en esta ciencia y concretamente en este concurso han 
hecho que tenga unos patrocinadores del nivel de FBI, NASA o MathWorks, que además 
son ajenos a la investigación de este campo. Entre los logros que está consiguiendo este 
concurso, muestro dos de los proyectos que se han presentado: 
• Grupo Imperial College de Londres. En 2011 participaron con el proyecto Auxin, que 
se presentaba como un refuerzo en la lucha contra la desertificación del planeta. 
Crearon un producto que ayudaba a las plantas a arraigar en zonas de desertificación. 
http://2011.igem.org/Team:Imperial_College_London 
• Grupo Washington. En 2011 participaron con el proyecto “Make it or Break it: Diesel 
Production and Gluten Destruction, The Synthetic Biology Way”. Un doble trabajo sobre 
la producción de Biofuel utilizando bacterias genéticamente ingeniadas, y sobre la 
eliminación del Gluten de los alimentos como solución a aquellos que sufren Celiaquía. 
http://2011.igem.org/Team:Washington 
Estos dos proyectos son claros ejemplos de cómo esta ciencia es de muy amplia 
aplicación y de cómo hoy por hoy ya está consiguiendo resultados tangibles. 
Randy Rettberg, Ingeniero investigador del MIT de Massachusetts en la división de 
Ingeniería Biológica, dijo en otro artículo realizado por El País: “…la biología sintética la 
harán compañías nuevas y acabará creando su propia industria”. 
 
VIII Preámbulo 
 
5. El grupo UPO-Sevilla 
En 2010 se crea este grupo por iniciativa de estudiantes de la licenciatura de 
Biotecnología en la Universidad Pablo de Olavide. Estos estudiantes (Adrián Arellano, 
David Caballero, Félix Reyes, Paola Gallardo, Eduardo Pavón y Eva Fernández) cuentan 
con el apoyo, supervisión y colaboración de los 
profesores Fernando Govantes y Luis Merino para 
participar por primera vez en el concurso iGEM en ese 
mismo año. Preparan el proyecto ‘Bacterial Crowding’ 
con el que terminan compitiendo. El objetivo principal 
del trabajo fue el de explorar la posibilidad de dirigir una 
pequeña población de bacterias hacia una diana expuesta en una superficie biológica 
para conseguir una interacción eficaz. 
Fue el primer equipo andaluz y tercero de España en competir en el concurso y recibió 
una medalla de bronce honorífica por el trabajo realizado. 
Página web del proyecto: http://2010.igem.org/Team:UPO-SevillaEn 2011 tras la experiencia del año anterior, el grupo continúa su voluntad de competir y 
otros estudiantes y profesores se adhieren, logrando doblar el número de participantes. 
• Alumnos: David Caballero, Aida Moreno, José Gutiérrez, Paola Gallardo, Adrián 
Arellano, Amalia Martínez, Eduardo Pavón, Félix Reyes, Yolanda González y Jesús 
Jiménez. 
• Profesores: Luis Merino, Fernando Govantes, Víctor Álvarez, Manuel Béjar, Rafael 
Rodríguez, Antonio Prado, Antonio Pérez 
La incorporación de personal más especializado hace posible realizar un proyecto más 
profundo y amplio. El objetivo general marcado fue el de sumergirse en el estudio de 
sistemas biológicos biestables. Basado en artículos de investigación y en trabajos ya 
realizados, consiguen preparar un trabajo competitivo. 
En la competición regional europea celebrada en Amsterdam en Octubre del 2011, 
logran el pase a la final mundial y reciben el premio a la mejor labor de difusión ‘Best 
Human Practices Advance’. El mérito más reconocido, fuera de lo estrictamente 
científico, fue el de crear el primer blog en español sobre Biología Sintética [1] que tenía 
66 post y recibió más 11.000 visitas hasta la fecha de la competición europea. 
Página web del proyecto: http://2011.igem.org/Team:UPO-Sevilla 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo IX 
 
6. FlashBacter 
El proyecto presentado por el grupo UPO-Sevilla para el concurso de Biología Sintética 
iGEM 2011, pretendía continuar el trabajo realizado por numerosos investigadores en su 
búsqueda de sistemas biológicos biestables. La búsqueda de un biomarcador robusto, 
estable y de alta sensibilidad es la base de los sistemas de almacenamiento de la 
información en informática. El objetivo marcado fue el de la construcción de 
microorganismos que tengan la capacidad de almacenar información al igual que se 
hace en electrónica, en dos estados estables distinguibles. 
En este sentido, el grupo subdividió parte del trabajo en 3 partes. 
• El biestable básico (The Toggle Switch) – Este apartado, puso en marcha el 
dispositivo descrito por Timothy S. Gardner [1], y trabajar con él hasta conseguir 
sus curvas de funcionamiento. 
• El biestable mejorado (Improving Toggle Switch) – Esta idea se basa en la del 
artículo mencionado anteriormente, pero lleva dos mejoras con el objetivo de 
lograr una estabilidad más evidente, y aumentar la robustez del sistema. 
• El biestable epigenético (Epigentic Bistable) – Esta idea es algo más compleja 
desde el punto de vista biológico. De alguna manera, la robustez con este diseño 
estaría muy por encima de los anteriores. Además de usar unos fundamentos 
diferentes para conseguir tanto los estados de funcionamiento, como la 
estabilidad propia del sistema. 
El Biestable Básico 
El sistema básico consiste en un conjunto de dos represores controlados por dos 
promotores que se reprimen en presencia del represor gobernado por el promotor 
adversario. 
 
La imagen esquemática del sistema recuerda al esquema de los biestable electrónicos 
tipo RS, donde tenemos dos señales de acción y dos salidas. A pesar de que pueda 
parecer más complejo, se tratan básicamente de mismos esquemas. 
 
X Preámbulo 
 
 
El cambio de estado se produce por la adición de un químico que se asocia con alta 
afinidad al represor 1 y lo inactiva. Así se favorece la síntesis del represor 2 y queda 
reprimida la expresión del primero. La estabilidad se encuentra en el propio ciclo de 
retroalimentación que provoca que la aparición de uno de los productos sea inhibidora 
de la acción contraria. Durante la síntesis del represor 2 se produce una molécula 
fluorescente (GFP – green fluorescent protein) que facilitará el reconocimiento de este 
estado ya que la bacteria, físicamente, se iluminará de color verde. Si en este momento, 
aumentamos la temperatura del ambiente en el que está inmersa la bacteria hasta unos 
42ºC, la proteína represora 2 se desestabiliza y se degrada más rápidamente. Esto hace 
que la expresión del represor 1 sea posible al no sufrir la acción inhibitoria que ejercía la 
partícula adversaria. De forma análoga a la anterior, el represor 1 se unirá al promotor 1 
evitando así la expresión de su competidor. La nueva producción de proteína lleva 
asociada otra partícula fluorescente (RFP – red fluorescent protein) 
Veamos el Data Page elaborado por Amalia Martínez Segura en el marco de este 
proyecto. 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo XI 
 
 
Otros sistemas parecidos a éste han sido desarrollados y probados por otros 
investigadores consiguiendo un éxito considerable. Sin embargo, la simplicidad de estas 
construcciones tiene ciertos inconvenientes en la consecución de un biestable con unas 
características similares a las de los informáticos: 
• Baja velocidad en el cambio. Esto provoca que durante las etapas intermedias 
nos encontremos con una mezcla de partículas de ambos represores en 
convivencia transitoria que hace difícil la determinación del estado. 
• En ausencia de señal de control, el sistema tiende espontáneamente a un estado 
aleatorio. Incluso en el caso de favorecer alguna expresión, la falta de 
autoexclusión hace fallar la robustez. 
• Incluso con la inducción del químico, no siempre es posible asegurar que el 
estado se mantenga estable. 
 
 
 
XII Preámbulo 
 
El biestable Mejorado 
El núcleo del sistema sigue siendo el mismo que el del biestable básico, sin embargo, en 
este caso se añaden dos nuevos efectos que mejorarán la exclusión de una reacción 
frente a la otra. 
Los dos efectos que se añaden en este nuevo concepto son: Proteólisis y ARN 
antisentido. 
 
PROTEÓLISIS 
Cuando se expresa una de las proteínas 
represoras se crean además, proteasas. La 
labor de las proteasas es la de digerir las 
proteínas del estado anterior que queden 
en la bacteria. De esta manera se acelera la 
posición de la primera proteína como 
mayoritaria. La proteasa utilizada en la 
construcción es ClpX, que degrada sustratos 
a los que se les asocia un adaptador SspB. 
 
ARN ANTISENTIDO 
Durante la expresión de una de las 
proteínas, junto con ella se producen 
estas moléculas. Estos ARN tienen la 
misma estructura que la del ARN 
mensajero de la proteína adversaria. 
Cuando un ARN mensajero y su ARN 
antisentido se encuentran, se unen, 
eliminando así la posibilidad de que 
sean traducidas en una nueva proteína. 
 
 
 Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Preámbulo XIII 
 
COMPORTAMIENTO GLOBAL 
Estas dos nuevas acciones trabajan en colaboración con el sistema anterior para la 
robustez del sistema. 
La idea por tanto, es añadir esta secuencia (Das4) específica en la fase de la proteína LacI 
y expresar condicionalmente el adaptador proteico bajo el promotor que controla el 
otro estado, de modo que cuando se añade IPTG, este inhibe la acción de lacI, que 
además es degradado por ClpX, incluso en ausencia de IPTG, eliminando cualquier 
actividad residual del inhibidor LacI y haciendo el cambio mucho más rápido. 
En el otro caso además se incluirá en la fase de la GFP y su regulador correspondiente 
una secuencia con alta afinidad por un RNA antisentido específico que previsiblemente 
inhibirá su traducción. La secuencia se identifica como Ompn. 
Veamos el Data Page realizado por Félix Reyes Martín y Yolanda Elisabet González 
Flores. 
 
Estas implementaciones por un lado aumentarán radicalmente la velocidad de cambio 
de un estado a otro y por otro harán mucho más robusto todo el sistema, ya que los 
posibles niveles basales de los promotores y la relajación de los sistemas de inhibición se 
verán anulados imponiendo dos escalones más de regulación por la proteólisis e 
inhibición de la traducción. 
 
 
XIV Preámbulo 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 1 
 
Modelado, análisis y control 
de un sistema biológicobiestable 
 
El trabajo que se detalla en este documento compendia y profundiza en los estudios de 
modelado matemático que llevé a cabo durante el año 2011 para el proyecto de 
investigación 'Flashbacter' realizado por el grupo de trabajo UPO-Sevilla. 
En el preámbulo del texto, se ha intentado situar al lector en el contexto de la Biología 
Sintética como marco científico y tecnológico. Además se recomienda la lectura del 
“Anexo: Fundamentos Biológicos” al final de este documento para el lector no conocedor 
de aspectos de biología molecular. 
El desarrollo que se explica a continuación elaborará una argumentación que pasará 
desde la presentación de las construcciones a modelar y su comportamiento esperado, 
hasta la contraposición de los resultados extraídos de las simulaciones realizadas en 
Matlab, con los resultados experimentales presentados en el concurso de biología 
sintética iGEM 2011. 
Además, a lo largo de todo este estudio, se mostrarán el bajo el cual se han alcanzado 
todos los sistemas, se procederá a un análisis de estabilidad, robustez y bifurcaciones en 
los parámetros. Tras ellos, y con el enfoque estocástico, se simularán los modelos 
estudiados, logrando así una comprensión mayor de los mismos. 
Por último, y antes de las conclusiones finales del documento, mostraremos los 
resultados experimentales que, el grupo de investigación UPO-Sevilla de la Universidad 
Pablo de Olavide, realizaron durante el año 2011. 
 
2 Introducción 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 3 
 
1. Objeto 
El proyecto Flashbacter creó un sistema que variaba entre dos situaciones estables. Al 
igual que un conmutador puede estar abierto o cerrado, se planteó la posibilidad de 
tener un sistema viviente que asemejara su comportamiento al de un interruptor. Así, 
partiendo de diversos estudios actuales que habían conseguido sintetizar construcciones 
que actuaban de esa forma, se buscó ir un paso más allá en la creación de nuevas células 
que tuvieran un comportamiento más estable y robusto. 
El problema surge en el momento de comprender el sistema una vez creado. Una 
bacteria es un sistema viviente cuyas interacciones internas no se pueden controlar 
desde el exterior. Aunque ésta se usa como chasis, i.e. como ambiente aislado, no es 
controlable cada aspecto de la evolución de las poblaciones. Además, tampoco es 
posible obtener una medición fiable de la cantidad de moléculas que se encuentran en 
su interior. 
Dada la dificultad que se encuentra al tratar con sistemas vivientes donde no podemos 
predecir exactamente lo que ocurre en su interior, se hizo necesario tener una 
herramienta capaz de simular este funcionamiento de la forma más simple y rápida 
posible. Es esta necesidad la que se intentó cubrir con el trabajo que se presenta a 
continuación. 
Por lo tanto, los objetivos generales que pretende cubrir este estudio son: 
• Crear modelos fiables de los sistemas que comprende el proyecto Flashbacter. 
• Lograr que las simulaciones de estos modelos reproduzcan el comportamiento 
cualitativo observado en laboratorio. 
• Profundizar en el estudio de los modelos, de forma que podamos conocer la 
estabilidad y robustez de cada sistema. 
• Modelar las acciones de control sobre los sistemas. 
• Desarrollar herramientas de simulación, no sólo para estos sistemas. 
 
 
4 Introducción 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 5 
 
2. Alcance 
Tras haber definido el objeto del proyecto, se comenzó a plantear la alcanzabilidad de 
tales propósitos. 
En un primer enfoque se pensó en la posibilidad de estudiar el sistema en laboratorio, 
de forma que pudiéramos obtener diferentes datos acerca del comportamiento de 
algunas de las especies interviniente. De esta forma, podríamos aproximar los modelos, 
conociendo parte de las evoluciones reales, a la realidad. 
Esta primera idea se desechó debido a la dificultad de estudio de etapas tan específicas 
de las reacciones moleculares como a la cantidad de datos necesarios. 
Se comprendió que lo primero que se haría era comenzar con el modelo matemático e ir 
simplificándolo hasta hacerlo lo más manejable posible. Así, a partir de estudios 
anteriores de otros científicos, podríamos establecer una meta alcanzable y realista. 
El modelo simplista debería ayudarnos a comprender de forma global las respuestas 
observadas en laboratorio. Sin embargo, el modelo no podría asemejarse 
cuantitativamente a lo observado a través de los experimentos dada la dificultad de 
encontrar experimentos válidos para nuestra construcción en la bibliografía. 
Así, establecemos los siguientes puntos a alcanzar dentro de este estudio: 
• Crear modelos cualitativos. 
• Análisis de estabilidad de tales modelos. 
• Análisis paramétrico y de bifurcaciones. Establecer valores críticos. 
• Modelado cualitativo de las acciones de control. Comprender la manera en que 
éstas afectan al sistema autónomo. 
Por lo que, los resultados que de este documento extraigamos: 
• No reflejarán los comportamientos estudiados en laboratorio. 
• Los valores de decisión que podamos obtener durante el desarrollo, serán 
orientativos y cualitativos, entendiendo que suponen una barrera para la 
estabilidad o robustez del sistema, pero no así su valor concreto. 
 
 
6 Introducción 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 7 
 
3. Antecedentes. Discusión de Metodologías 
El problema al que nos enfrentamos al comenzar la tarea de modelado del sistema 
biológico es el de encontrar el método adecuado. Las redes reguladoras como sistemas 
biológicos reales no tienen un comportamiento ideal ni determinista, lo cual, implica 
que sea necesario utilizar técnicas de modelado no convencionales que nos pongan a 
disposición una visión más amplia y adecuada del funcionamiento interno de los entes 
biológicos que participan de la regulación. 
 
 
Características de las Redes Reguladoras de Genes 
La expresión de un gen es un proceso complejo regulado por varias etapas de diferentes 
niveles. Una red reguladora de genes se compone de la expresión de las proteínas 
reguladoras (que a su vez se descompone en la transcripción y traducción del gen), de su 
activación o inhibición, además de la síntesis y degradación de las especies 
intervinientes, tales como, ARN mensajero, ARN polimerasa, ribosomas, proteasas,... La 
gran cantidad de datos de los que se compone un sistema de este tipo convierte el 
estudio de su dinámica en una tarea compleja. 
8 Introducción 
 
 
Desde la visión de la mecánica clásica, dadas unas condiciones iniciales y definidas las 
ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema, es posible 
conocer el estado final que alcanzará en un determinado tiempo. Sin embargo hay varias 
razones por las que en nuestro sistema, esto no es válido: 
• Incluso si el sistema evolucionara de forma determinista respecto a posición, 
velocidad, aceleración de las partículas y población de las especies, le evolución 
de cada una de ellas no puede ser calculada deterministamente. 
• No se pueden evitar las implicaciones que resultan de la indeterminación 
cuántica. No podemos saber cuándo se producirá la reacción. 
• El sistema real no puede estar mecánicamente aislado. 
Según Adam P. Arkin, “Las simulaciones deterministas son suficientes para predecir el 
comportamiento medio de los niveles de población, pero no pueden abordar cuestiones 
sobre el ruido, el cambio aleatorio entre estados estables del sistema, o el 
comportamiento del sistema con unas pocas moléculas de las especies claves. Estos 
temas se tratan con simulaciones estocásticas” [1]. 
 
Técnicas de modelado de redes reguladoras de genes 
Se expondrán a continuación algunas de las técnicas de modelado para redes 
reguladoras de genes, que se utilizan hoy día entre numerosos investigadores. Tras la 
exposición delos diferentes enfoques se incluirá una decisión y los motivos que han 
llevado a adoptarlos. 
Entre las más importante se encuentran: Modelo en EDOs (Ecuaciones Diferenciales 
Ordinarias) acopladas, Redes de Petri, Booleanas o Bayesianas, o Ecuaciones 
Estocásticas. 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 9 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 
Es el método más utilizado para el estudio de sistemas en ingeniería y ha sido amplia su 
aplicación para el estudio de sistemas reguladores de genes. Gracias a esto, en la 
literatura podemos encontrar un amplio número de enfoques de modelado por 
ecuaciones diferenciales ordinarias así como de diversas leyes cinéticas. 
La regulación se modela mediante ecuaciones cinéticas del nivel de expresión de cada 
componente del sistema como una función de la concentración del resto de 
componentes. 
𝑥 = [𝑥1, … , 𝑥𝑛]′ ≥ 0 Concentración de las proteínas, y otros elementos. 
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡 = 𝑓𝑖(𝑥), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 Ecuaciones cinéticas del nivel de expresión de cada elemento. 
También existe una versión discreta en el caso en que se desee modelar los retrasos 
debidos al tiempo que requiere cada reacción en ocurrir. 
 
Consideraciones 
• Resulta adecuado utilizar el método cuando lo que son resultados cualitativos del 
sistema que se analiza. 
• La simulación del funcionamiento de las redes se suele complementar con un 
análisis de bifurcaciones para investigar la sensibilidad de los regímenes 
permanentes y los valores de los ciclos límites de los parámetros. 
• El principal problema que tiene este método es que es muy difícil encontrar 
valores para los parámetros cinéticos. Sólo están disponibles valores para 
sistemas que se han estudiado en profundidad. 
• Los parámetros se estimaran usando técnicas de identificación de sistemas. 
10 Introducción 
 
REDES BAYESIANAS 
El regulador génico es un sistema donde cada módulo recibe un número de entradas y 
las procesa según combinaciones lógicas que confiere al sistema una característica de 
causalidad. Por otro lado, la red se componente de diversos subconjuntos que realizan 
una función específica. Las redes bayesianas representan comúnmente una red de 
variables cuyas relaciones son causales. La probabilidad condicional, de la que hace uso 
esta técnica, parece las más adecuada para interpretar las relaciones que se establecen 
entre los subsistemas de los que se compone una red reguladora compleja. 
 
La estructura de los sistemas reguladores de genes se modela a través de un grafo 
𝐺 = 〈𝑉,𝐸〉. Los nodos representan los genes u otros elementos a los que se le asocie 
una variable aleatoria. Si el nodo es un gen, la variable describe su nivel de expresión. A 
cada variable aleatoria se le asocia una probabilidad condicional. El grafo G y las 
probabilidades condicionadas definen la red bayesiana. 
𝑋 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛} Variables aleatorias de la red 
𝑖 ∈ 𝑉 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 Cada uno de los nodos de la red 
Pr{𝑥1, … , 𝑥𝑛} = ∏ Pr{𝑥𝑖|𝑝𝑎(𝑋𝑖)}𝑛𝑖=1 Distribución de probabilidad de X 
Consideraciones 
• Este método es muy atractivo ya que la base estadística es muy sólida, 
permitiendo incorporar los aspectos estocásticos de las redes reguladores y los 
ruidos de las mediciones de forma natural en el modelo. 
• Tienen el problema de eliminar la dinámica implícita en la regulación de genes. 
Una solución de este inconveniente es la de estudiarlos haciendo uso de las 
redes bayesianas dinámicas. 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 11 
 
REDES BOOLEANAS 
Los nodos del gráfico de una red booleana, se asocian a un gen y otro elemento que 
participe en el sistema. Cada uno de los nodos se puede describir en 2 estados: 
activo/inactivo. El estado de un gen se puede describir como una variable Booleana que 
indique si está activa su expresión o no. Las interacciones entre los elementos también 
se pueden representar mediante funciones Booleanas que calcule el estado de un gen a 
través de la activación de otros. 
 
𝑥� = {𝑥�1, … , 𝑥�𝑛} Variables booleanas que describen el estado de un 
sistema regulador de genes de n elementos. 
𝑥�𝑖(𝑡 + 1) = 𝑏�𝑖�𝑥�(𝑡)�, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 El nuevo estado de cada variable booleana se 
calcula a través del estado actual y de una función 
booleana 𝑏�𝑖. 
Consideraciones 
• No es posible incluir los efectos de aleatoriedad o ruidos. 
• Las redes booleanas son muy aconsejables en el caso de tener grandes redes 
reguladoras de genes. Las simplificaciones que hace sobre la estructura de estos 
sistemas, permite analizarlos de una manera muy eficiente. 
• Las transiciones entre estados se asumen síncronos, pero el algoritmo no es 
capaz de tratar con situaciones no simultáneas. 
• El nivel de expresión de un gen sólo se puede modelar como activo/inactivo 
 
 
12 Introducción 
 
ECUACIONES ESTOCÁSTICAS MAESTRAS 
Este método toma modelos discretos y estocásticos de la red reguladora. Tomando 
variables discretas para el número de moléculas de cada especie, y una función de 
distribución probabilística. 
𝑝(𝑋, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑝(𝑋, 𝑡)�1 −�𝛼𝑗∆𝑡
𝑚
𝑗=1
� + �𝛽𝑗∆𝑡
𝑚
𝑗=1
 
Evolución temporal de las poblaciones 
𝑚 El número de reacciones que pueden ocurrir en el sistema 
𝛼𝑗∆𝑡 Probabilidad de que ocurra la reacción j en el intervalo de tiempo [𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) 
Hallando ∆𝑡 → 0 se alcanza la expresión de la ecuación maestra 
𝜕
𝜕𝑡
𝑝(𝑋, 𝑡) = �𝛽𝑗 − 𝛼𝑗 · 𝑝(𝑋, 𝑡)
𝑚
𝑗=1
 
Consideraciones 
• La resolución analítica resulta aún más complicada que en el enfoque 
determinista 
• Bajo ciertas condiciones, la ecuación maestra se puede simplificar en ecuaciones 
diferenciales estocásticas, permitiendo aligerar el coste computacional para la 
resolución numérica. 
• La aproximación de la realidad molecular de una red reguladora es mucho más 
cierta. 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
 
Introducción 13 
 
4. Decisión de las técnicas de modelado 
Las técnicas basadas en redes (Booleanas, Bayesianas) parecen muy adecuadas para 
sistemas reguladores de subconjuntos y especies al permitir establecer relaciones muy 
simples entre ellas. Aunque nuestro sistema no sea demasiado complejo, lo que 
pretendemos conseguir con el modelo es hacer una descripción capaz de reproducir los 
resultados mostrados en laboratorio de la bacteria. 
Las redes no profundizan en las dinámicas de las reacciones, y centran su estudio en el 
comportamiento global. Además, parece no ser posible introducir en las probabilidades 
de las transiciones, las dinámicas propias de las reacciones moleculares. Por ese motivo, 
las redes no permiten alcanzar el nivel de profundidad en el estudio del comportamiento 
ni identificar los procesos que confieren la estabilidad. No nos interesa este enfoque, ya 
que no parece que cubra el objetivo planteado. 
Por otro lado, el modelado en ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales plantea 
una situación determinista y los efectos del ruido propio de un sistema molecular no se 
modelan. Una resolución analítica no tiene sentido plantearla para mecanismos donde la 
aleatoriedad gobierna el desarrollo dinámico de las especies. Sin embargo, parece muy 
adecuado comenzar con esta técnica para obtener unas primeras nociones del 
comportamiento global al que tenderá en función de los diferentes estados que pueda 
alcanzar. 
Por último, acudimos a las ecuaciones estocásticas maestras. Parece el más adecuado 
de todos para hacer un estudio cuantitativo y cualitativo del sistema. El inconveniente 
que tenemos es que no tenemos tantas herramientas como en el caso anterior para 
comprender la estabilidad y robustez del sistema. 
Por estos motivos, nos parece adecuado llevar a cabo un doble modelado. 
Comenzaremos estudiando el sistema a través del método por EDO. Tras el análisis de 
estabilidad y de bifurcaciones en los parámetros y una comprensión del 
comportamientoglobal que muestra el sistema, acudimos al modelado por ecuaciones 
estocásticas maestras. 
 
 
 
14 Introducción 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 15 
 
Enfoque determinista 
 
En esta sección, comenzaremos recorriendo las especies participantes tanto en el biestable 
simple como en el mejorado, y las relaciones que se producen entre ellas, con el objeto de 
alcanzar un modelo de sistema en ecuaciones diferenciales ordinarias. 
La estructura de este apartado continuará con el detalle de las posibles reacciones que se puedan 
establecer en entre las especies, para más tarde, analizar las dinámicas de cada especie. 
Seguiremos nombrado y aplicando las simplificaciones y consideraciones oportunas en búsqueda 
de la expresión de un sistema matemático manejable. 
 
Para finalizar, mostraremos el modelado final y realizaremos un estudio preliminar de las 
constantes y parámetros que participan a fin de comprender el efecto sobre los resultados que se 
puedan extraer de las simulaciones. 
 
Durante este apartado, gran parte del desarrollo se ha seguido el planteamiento propuesto por 
Timothy S. Gardner en el estudio: “Design and construction of synthetic gene regulatory 
networks” [2] publicado por la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Boston en el año 
2000. 
16 Enfoque Determinista 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 17 
 
1. Especies y reacciones 
El núcleo biestable 
Identificamos esta unidad como el conjunto de especies y relaciones que en su 
funcionamiento autónomo logra alcanzar los objetivos mínimos y necesarios para 
mantener un comportamiento definido biestable. Por tanto, no incluimos las acciones 
que nos permitan modificar dichos estados, ni siquiera, nos referimos a un sistema 
robusto. 
Aquí encontramos las expresiones de ambas proteínas represoras y las mutuas 
represiones de sus expresiones. El conjunto de especies que intervienen en el sistema 
propuesto son: 
 
Promotores ARNm Represores 
𝑃𝑟𝑚 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑙𝑎𝑐𝐼 𝐿𝑎𝑐𝐼 
𝑃𝑙𝑎𝑐 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 𝑐𝐼 
 
Además, estas especies reaccionan entre sí de la forma que muestra la siguiente imagen: 
 
 
18 Enfoque Determinista 
 
Por otro lado, las reacciones son: 
Transcripción LacI 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑃𝑙𝑎𝑐 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 
Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 
Represión LacI 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑃𝑟𝑚 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 
Transcripción cI 𝑃𝑟𝑚 → 𝑃𝑟𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 
Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼 
Represión cI 𝑐𝐼 + 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑐𝐼|𝑃𝑙𝑎𝑐 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 19 
 
El biestable básico 
(Plásmido BBa_177038) [3] 
Para completar el esquema hasta llegar al del biestable simple, debemos añadir sobre el 
núcleo anterior, las especies y dinámicas de las acciones que nos permitirán controlar el 
estado activo, además de los indicadores. 
INDICADORES 
Es necesario el modelado de los indicadores ya que cuando analicemos los resultados 
que se hagan en laboratorio, no obtendremos las evoluciones de las proteínas 
represoras sino de los indicadores. Por lo tanto es necesario conocer su dinámica para 
poder extrapolar los datos que extraigamos de los experimentos hacia un conocimiento 
interno del sistema. Analizamos este hecho de forma detenida. 
Cuando el transcriptor, se encuentra con un promotor, comienza a leer la cadena y 
cuando termina de leer su código es cuando comienza a crear la cadena de ARN 
transcrito. 
 
 
De la transcripción obtendremos una ARNm, una para la proteína represora y otra para 
el indicador. Las cadenas negras de la imagen, reflejan la presencia de terminadores. 
Estos entes tienen una significación y un objetivo claro para la traducción. La polimerasa 
detendrá su copia al encontrarse con un doble terminador, como la imagen patenta. 
Una vez el mensajero se ha creado completamente, una ribosoma tomará este mensaje 
y creará la proteína análoga. Los terminadores indican al ribosoma el fin de una proteína 
y el comienzo de otra. 
Por lo tanto, la síntesis de los indicadores se puede igualar a la dinámica de creación de 
proteínas represoras. 
ACCIONES 
Las acciones son el aumento de temperatura y la adición de un inductor. 
• Aumento de Temperatura: concretamente a 42ºC temperatura a la que la 
proteína cI termosensible precipita su degradación. 
• Adición de Inductor: mientras que la desaparición acelerada de proteína 
represora no afecta al funcionamiento mismo del núcleo biestable, la inducción 
Prm LacI RFP
Plac cI GFP
20 Enfoque Determinista 
 
sí que lo hará, ya que modulará la transcripción frente a la represión del agente 
adversario. 
Transcripción LacI 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑃𝑙𝑎𝑐 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 
Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑅𝐹𝑃 
Represión LacI 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑃𝑟𝑚 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 
Transcripción cI 𝑃𝑟𝑚 → 𝑃𝑟𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 
Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼 + 𝐺𝐹𝑃 
Represión cI 𝑐𝐼 + 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑐𝐼|𝑃𝑙𝑎𝑐 
Inducción 1 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 + 𝑃𝑟𝑚 
Inducción 2 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 
Temperatura 𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 21 
 
El biestable modificado 
(Plásmido BBa_K510019) [4] 
(Plásmido BBa_K510036) [5] 
De nuevo este sistema se basa en el anterior. Por tanto todo lo explicado hasta el 
momento se mantendrá, al menos las especies y su aportación. Las nuevas reacciones 
son la proteólisis y la inhibición por ARNas, llevando asociadas proteasas y ARN 
antisentido respectivamente. 
PROTEÓLISIS 
Tras el promotor Plac se encuentra el código de la proteína represora pero antes de 
llegar al indicador está insertada la cadena de la proteasa (encargada de digerir las 
proteínas). Observar que tanto la proteasa (Sspb) como el indicador (RFP) llevan un 
prefijo (Ompn). Éstas serán las cadenas de ARN sobre las que se pegará la ARN 
antisentido, obligándolas a quedar inservibles hasta su degradación. El represor del fago 
lambda no se consume. 
 
ARN ANTISENTIDO 
En esta rama del plásmido tenemos la misma estructura que en el biestable simple. Tras 
el promotor Prm se encuentra el código de la proteína represora y el indicador. También 
podemos ver como en este caso se han añadido un sufijo (Das4) a las proteínas. Este 
código quedará transcrito en una especia de cola unida a las proteínas originales. Esto 
implica que las proteasas serán sensibles a digerir esta cola, digiriendo tras ella el resto 
de la proteína 
 
 
 La creación de las ARN antisentido, se crea con el mismo promotor Prm, sin embargo 
este módulo no lo comparte con el resto de la cadena, sino que tiene una copia propia. 
Esto significa que su transcripción no se sitúa en el mismo instante que la del resto (LacI 
y GFP). 
 
Plac cI(ts) Ompn::Sspb Ompn::RFP
Prm LacI::Das4 GFP::Das4
Prm ARNas
http://partsregistry.org/Part:BBa_K510036
22 Enfoque Determinista 
 
Incluimos una tabla que recoge todas las especies intervinientes de este sistema: 
 
Promotores ARNm Represores Inhibidores 
𝑃𝑟𝑚 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑙𝑎𝑐𝐼 𝐿𝑎𝑐𝐼 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 
 
𝑃𝑙𝑎𝑐 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 𝑐𝐼 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 
 
 
 
Y además, en la siguiente imagen se muestra cómo se interrelacionan las especies y a 
través de qué mecanismos. 
 
Ahora vemos una tabla resumen de todas las reacciones que se nombran en la imagen 
anterior. 
Transcripción LacI 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑃𝑙𝑎𝑐 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 
Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐺𝐹𝑃 
Represión LacI 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑃𝑟𝑚 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 
Transcripción cI 𝑃𝑟𝑚 → 𝑃𝑟𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 
Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼 + 𝑅𝐹𝑃 
Represión cI 𝑐𝐼 + 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑐𝐼|𝑃𝑙𝑎𝑐 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista23 
 
Inhibición por ARNas 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 
Proteólisis 1 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 
Proteólisis 2 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 + 𝐺𝐹𝑃 → 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 
Inducción 1 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 + 𝑃𝑟𝑚 
Inducción 2 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 
Temperatura 𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 
 
 
 
24 Enfoque Determinista 
 
2. Dinámica de las reacciones 
Transcripción 
Desarrollamos un modelo de la unión de la ARN polimerasa al elemento promotor y la 
transcripción completa de la molécula ARN mensajera tal que, siendo la reacción: 
𝐴𝑅𝑁𝑝 + 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝜆𝑓
 ⇌ 
𝜆𝑏
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑜𝑟
𝜆𝑓
 → 𝐴𝑅𝑁𝑝 + 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝐴𝑅𝑁𝑚 
Las ecuaciones de velocidad para cada elemento, son las siguientes: 
𝐴𝑅𝑁𝑝̇ = −𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟̇ = −𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝚥𝑜̇ = 𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 − (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 
𝐴𝑅𝑁𝑚̇ = 𝜆𝑐 · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 
Este modelo de la transcripción es correcto para el caso en que la reacción se lleve a 
cabo en un volumen reactivo homogéneo. Sin embargo, resulta engorroso trabajar con 
tantas ecuaciones y parámetros, por ello ponemos atención en la reacción y en la 
formulación planteada por Michaelis-Menten para reacciones catalizadas por enzimas. 
Primero comparamos las reacciones que modela con la transcripción: 
𝐸 + 𝑆
𝑘1
 ⇌ 
𝑘−1
𝐸𝑆 
𝑘2
 → 𝐸 + 𝑃 
Podemos identificar enzima, sustrato y producto con nuestro modelo: 
Sea: E = Promotor; S = ARNp; ES = Cc; P = ARNm 
La diferencia frente a este modelo, es que el sustrato se consume al convertirse en 
producto. Sin embargo, en la transcripción, el ARN polimerasa queda libre al finalizar 
este proceso, pudiendo participar de nuevo en otra transcripción. 
Por tanto, 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =
𝜆𝑐 [𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚
 𝐾𝑚 =
(𝜆𝑏 + 𝜆𝑐)
𝜆𝑓
 
La constante de Michaelis queda como una ponderación de las cinéticas intervinientes 
en la cinética de la transcripción. 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 25 
 
[𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0 se refiere a la concentración inicial de promotores, que dependerá del 
número de copias de plásmidos que absorba cada bacteria. Concretamente, por cada 
copia hay un promotor de cada represor. 
Y el modelo completo del producto de la transcripción: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =
𝜆 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚
 
Donde 𝜆 = 𝜆𝑐 [𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0 
Los parámetros que aparecen en el factor de la ecuación diferencial que crea 𝐴𝑅𝑁𝑚, 
son constantes excepto [ARNp] que se refiere a una especie dentro de la bacteria e. 
coli. 
Traducción 
Continuamos con un razonamiento parecido al de la transcripción. Veamos primero 
como es la reacción de la traducción: 
𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 
𝑘𝑓
 ⇌ 
𝑘𝑏
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 
𝑘𝑐
 → 𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 + 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟 
Así, según Michaelis-Menten, obtenemos una expresión análoga a la de la transcripción, 
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]̇ =
𝑘𝑐 [𝐴𝑅𝑁𝑚] · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]
[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢
; 𝐾𝑚𝑢 =
𝑘𝑏 + 𝑘𝑐
𝑘𝑓
 
𝑘𝑚𝑢 es, también, una ponderación de las cinéticas que intervienen, y además, ocurre de nuevo 
que tanto 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 como 𝐴𝑅𝑁𝑚 son especies de la bacteria y del sistema, respectivamente. 
Represión 
La reacción de la represión, no podemos modelarla con la formulación de Michaelis-
Menten, ya que su comportamiento cooperativo difiere del predicho por éste. Sin 
embargo, como vimos, dentro de las cinéticas no Michaelianas, podemos usar la 
formulación planteada por Hill. 
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝛽 · 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟 ⇌ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽 
Se observa como la expresión, realmente comprende varias etapas. Primero, el represor 
debe formar un multímero de tamaño 𝛽, 
𝛽 · 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟 ⇌ 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽 
Y tras ello, encontrarse con el promotor al que unirse, 
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽 ⇌ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽 
26 Enfoque Determinista 
 
Evitándose así su lectura. 
Tras formarse el multímero, se une competitivamente con la ARN polimerasa a los 
operadores del gen. La cooperatividad se patenta en la formación de multímeros. 
�𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽�̇ =
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽
𝐾𝑖𝑢 + [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽
 
Transformando esta ecuación podemos ver el efecto de las constantes que aparecen en 
el modelo. 
�𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽�̇ =
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽
𝐾𝑖𝑢
1 + [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝛽
𝐾𝑖𝑢
 
Se advierte más claramente la función de la constante Kiu. Hace una ponderación, 
significando que una parte de los represores que han formado el 𝛽-mero, participarán 
de la represión. A este valor, se le conoce como la constante del equilibrio de la unión 
efectiva del represor al promotor adverso. 
Degradación 
Las proteínas son sistemas vivientes que se sustituyen continuamente. Por tanto, todas 
mueren tras un periodo activo variable (desde unos minutos hasta semanas). La muerte 
o degradación en sus aminoácidos, es un proceso relativamente sencillo de modelar, ya 
que no nos interesa tanto el proceso de la degradación de la proteína sino cuán rápido 
se produce para cada tipo. El tiempo característico de cada proteína se mida en base a 
su vida media, de la cual se puede extraer la tasa de mortalidad δ (mortalidad/unidad de 
tiempo). Cualquier compuesto (ARNp, ARNm, proteína, proteasa, ARNas,…) que 
intervine en un sistema biológico tendrá una valor característico de vida media desde el 
cual estimaremos el valor del parámetro. En este sentido, la ecuación diferencial que 
modela esta desactivación es de primer orden (ley de acción de masa). 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = 𝛿 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎] 
La cantidad de moléculas que desaparecen es proporcional a su población. 
Hay que mencionar que el valor de la tasa de mortalidad varía con la temperatura. En un 
caso especial, el represor cI, con un aumento de 37ºC a 42ºC, precipita este valor casi a 
la unidad. 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 27 
 
Proteólisis 
Como vimos en el apartado de fundamentos biológicos, este mecanismo lo realiza una 
proteasa, que se encarga de digerir las proteínas para las que esté diseñado. Veamos la 
reacción que explica el proceso de la proteólisis: 
𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎 + 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎 → 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎 
La cinética que suponemos a este proceso será la acción de masa, una suposición 
apoyada sobre el argumento expuesto en el proceso de degradación: no nos interesa la 
dinámica propia de esta reacción sino saber cuántas proteínas se verán afectadas en el 
tiempo en función de la población de proteasas. En este proceso se consume proteína, 
mientras que la proteasa vuelve a quedar libremente funcional cuando se separa del 
degradado. 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒ó𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎] · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎] 
El proceso de degradación vuelve a ser más complejo de lo que muestra la ecuación 
diferencial. La dinámica de este proceso es de segundo orden, y por tanto, la constante 
cinética tiene unas características diferentes: 
𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒ó𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]−1[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
Inhibición ARN antisentido 
La inhibición del ARN mensajero gracias a un ARN antisentido análogo, se produce como 
se indicó en los fundamentos biológicos. La cinética de esta reacción no es conocida, sin 
embargo podemos suponerla como una reacción de primer orden (ley de acción de 
masa), ya que su efecto en el sistema es el comienzo de la unión entre las cadenas. 
𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 → 𝐴𝑅𝑁 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎 
El bloqueo de la traducción del ARNm se produce desde el instante en que estas dos 
hebras se aparean. Una vez que se ha formado este complejo, no queda más que 
esperarsu degradación enzimática, ya que no puede participar de otro proceso y en el 
estudio general se tomará como una degradación. 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ − = 𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚] 
Al igual que en la proteólisis, la constante cinética tiene las mismas unidades al tratarse 
de un proceso de dinámica de orden mayor: 
𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]−1[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
 
28 Enfoque Determinista 
 
3. Biestable Simple. Consideraciones de modelado 
Represión y transcripción 
Trataremos conjuntamente las reacciones de transcripción y la de represión, ya que 
podemos asumir de forma directa que la proteína represora se unirá compitiendo con la 
ARNp al promotor. Además, esta represión no sólo la realizará la proteína represora, 
sino que puede ocurrir que esta forme multímeros y que éstos también participen de la 
represión. Así, y siguiendo a T. S. Gardner [2] planteamos un modelo conjunto: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =
𝜆 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
 
Añadiendo cualquier otra dinámica que afecte directamente a la población de ARNm 
podríamos conseguir un modelo matemático completo que describa su población 
Régimen permanente para la transcripción 
Según T. S. Gardner, basándose en otro documento [6] el tiempo necesario para la 
creación del 𝐴𝑅𝑁𝑚 es rápido en comparación con el tiempo necesario para la expresión 
final de una proteína. Esta suposición se ve respaldada por los siguientes datos extraídos 
de la base de datos de Harvard [7]: 
• Velocidad de transcripción por ARN polimerasa en batería Escherichia Coli: 24/79 
nucleótidos/segundo 
• Velocidad de traducción por ribosomas en bacteria Escherichia Coli: 12/21 
aminoácidos/segundo 
Efectivamente, la transcripción es un proceso entre 2 y 4 veces más rápido que la 
traducción y podemos considerarlo cuasi-estático. Además a estos datos hay que 
sumarle el tiempo que tras la aparición de un ARN mensajero hasta su encuentro con el 
primer ribosoma. Podemos asegurar que la transcripción ocupa menos de un 30% en el 
tiempo de la expresión. Incluso, la componente estocástica intrínseca en estos procesos, 
favorece la implantación de esta suposición. 
Por otro lado, hay que considerar, que esto no afecta a las condiciones de biestabilidad 
del sistema, aunque sí tendría un efecto a la cinética global. 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =
𝜆 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
− 𝛿 · [𝐴𝑅𝑁𝑚] 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 29 
 
Ecuación de la población de 𝐴𝑅𝑁𝑚 en el creada por la transcripción del plásmido y 
degradada por la acción vital. 
Así que, suponemos el valor en régimen permanente del ARN mensajero: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ = 0, 
[𝐴𝑅𝑁𝑚] =
𝜆
𝛿� · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
 
Traducción 
La cinética de es: 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =
𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]
[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢
 
Sustituimos el valor de régimen permanente conocido del [𝐴𝑅𝑁𝑚] 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =
𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]
[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢
·
𝜆
𝛿� · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
 
Además de la degradación de la proteína 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =
𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]
𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢)
1 + 𝐾𝑚[𝐴𝑅𝑁𝑝] · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
− 𝑑 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟] 
Unidades de los parámetros: 
𝜆 = [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] · [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
𝐾𝑚 = 𝐾𝑚𝑢 = 𝐾𝑖𝑟 = [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] 
𝛿 = 𝑘𝑐 = [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
Parámetros 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =
𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]
𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢)
1 + 𝐾𝑚[𝐴𝑅𝑁𝑝] · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
− 𝑑 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟] 
Sobre esta ecuación, hacemos un estudio de los parámetros que aparecen tratando de 
reducir la expresión final 
• Numerador del primer término: El único valor variable de esta expresión es 
[Ribosoma]. Atendemos al número total de ribosomas presentes en una bacteria 
30 Enfoque Determinista 
 
Escherichia Coli en condiciones normales, el cual se sitúa entre 6800/72000 [7]. 
El número de ribosomas libres a lo largo de la evolución de nuestro sistema, no 
logrará variar tanto en población como para que este factor sufra una 
modificación apreciable. 
𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]
𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢)
≅ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ ([𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛][𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1) 
• Factor de ponderación de la represión: Podemos hacer una suposición parecida a 
la anterior con la concentración de 𝐴𝑅𝑁𝑝 ya que la población media en una 
bacteria Escherichia Coli se sitúa entre 1500/11400 [7]. Por tanto, el valor de 
Km
[ARNp]
 potenciará o disminuirá el efecto que pueda provocar el término de la 
represión al que acompaña. 
𝐾𝑚
[𝐴𝑅𝑁𝑝]
≅ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
• Término de la represión: la simplificación de este proceso en la ecuación, 
significa que no podamos observar claramente cómo funciona la represión. Sin 
embargo, podemos mencionar las implicaciones de la constante 𝐾𝑖𝑟. Su valor 
supone, de nuevo, una ponderación de los represores libres hacia una 
proporción población que participará directamente de la represión. 
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟
= [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 ∶ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Modelo del biestable simple 
El modelo del Núcleo Biestable queda como el siguiente sistema de ecuaciones 
diferenciales una vez que identificamos los términos reales y reagrupamos todo lo dicho 
anteriormente, expresamos de manera simple las reacciones que se producen por cada 
lado. 
[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼�1 + [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛼 �
− 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝐿𝑎𝑐𝐼] 
[𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐶𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐶𝐼 �1 + [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝛽 �
− 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝑐𝐼] 
Por terminar de simplificar el modelo agrupamos constantes 
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼′ =
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 31 
 
Y obtenemos finalmente el modelo más simplificado: 
[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛼
− 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝐿𝑎𝑐𝐼] 
[𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐶𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐶𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝛽 − 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝑐𝐼] 
Con el último cambio de constantes, no varían las unidades de tales parámetros, aunque 
si una modulación. 
𝑐𝑡𝑒𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠í𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛][𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∶ − 
[𝑥]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∶ − 
𝑐𝑡𝑒𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 
[𝑥] = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] 
 
32 Enfoque Determinista 
 
4. Biestable modificado. Consideraciones de modelado 
Para establecer las ecuaciones diferenciales de cada especie, debemos definir cada 
proceso que ocurre en el sistema e identificar con más detalle la rama del biestable que 
estamos estudiando. A pesar de que los sistemas tengan el mismo núcleo biestable, la 
adición de nuevos inhibidores, afectarán a las cinéticas ya descritas. 
Comenzamos definiendo los procesos y las cinéticas. 
 
TRANSCRIPCIÓN + REPRESIÓN 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =
𝜆 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]
[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 · �1 + �
[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]
𝐾𝑖𝑟 �
𝛼
�
=
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝑒𝑓
𝛼 
 
TRADUCCIÓN 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =
𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]
[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎𝑠] + 𝐾𝑚𝑢
= 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑 · [𝐴𝑅𝑁𝑚] 
 
INHIBICIÓN POR ARNAS 
[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ = [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚] 
 
PROTEÓLISIS 
[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎] · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎] 
 
DEGRADACIÓN 
[𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝚤𝑒]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔 · [𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒] 
 
 
 
Modelado,análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 33 
 
Tabla resumen de las cinéticas y las especies intervinientes 
ID PROCESO SE CREA SE CONSUME 
1 
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 - 
2 
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓
𝛽 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 - 
3 
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 - 
4 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] 𝐿𝑎𝑐𝐼 - 
5 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] 𝑐𝐼|𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 - 
6 𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼|𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 
7 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� - 𝐿𝑎𝑐𝐼 
8 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 
9 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 
10 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] - 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 
11 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼] - 𝐿𝑎𝑐𝐼 
12 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼] - 𝑐𝐼 
13 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔
𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� - 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 
 
34 Enfoque Determinista 
 
Agrupación de ecuaciones 
Para alcanzar un sistema de ecuaciones diferenciales referenciadas únicamente a las 
especies represoras seguimos los siguientes pasos: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] 
[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] − �𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� − 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼� · [𝐿𝑎𝑐𝐼] 
Por otro lado, la rama de cI: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓
𝛽 − �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔
𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] 
Y por último, la proteína represora: 
[𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼] 
Nos queda definir las poblaciones de ARNas y de la proteasa Psspb. 
[𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
− �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] 
�𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔
𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� 
Modelo del biestable modificado 
Simplificamos las ecuaciones agrupando valores en torno a expresiones más simples. 
Para ello agrupamos parámetros de forma parecida a como lo hacíamos con el modelo 
del biestable simple: 
[𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] 
[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] − �𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�+ 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼� · [𝐿𝑎𝑐𝐼] 
[𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓
𝛽 − �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔
𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] 
[𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼] 
�𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔
𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� 
[𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ =
𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼
− �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 35 
 
5. Modelado del Sistema Biestable Simple en cinéticas 
simples 
Consideraciones sobre el modelo en EDOs 
Comencemos recordando las ecuaciones diferenciales planteadas: 
𝑑𝑚1
𝑑𝑡
=
𝑘𝑡𝑟1
1 + 𝑘𝑝𝑟1 · 𝑥2
𝛽 − 𝑑𝑚 · 𝑚1 
𝑑𝑚2
𝑑𝑡
=
𝑘𝑡𝑟2
1 + 𝑘𝑝𝑟2 · 𝑥1𝛼
− 𝑑𝑚 · 𝑚2 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑘𝑡𝑑1 · 𝑚1 − 𝑑 · 𝑥1 
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑘𝑡𝑑2 · 𝑚2 − 𝑑 · 𝑥2 
Sin considerar como se ha llegado a esta solución, desmenucemos el sistema reactivo. 
Lo que se nos muestra es la presencia de 4 entes cuyas ecuaciones de estado tienen dos 
términos, uno de síntesis (o creación) y otro de degradación (o destrucción). Cada 
término incluye una serie de parámetros que gobernarán la evolución temporal de estas 
variables. 
Por tanto, 
Variables de estado: 
 𝑋 = {𝑚1,𝑚2, 𝑥1, 𝑥2} 
Parámetros generales: 
• 𝑘𝑡𝑟 = Síntesis máxima de los ARNm 
• 𝑘𝑝𝑟 = Ponderación de la acción inhibidora de las proteínas represoras 
• 𝑘𝑡𝑑 = Síntesis máxima de las proteínas represoras 
• 𝑑𝑚 = Tasa de degradación de las ARNm 
• 𝑑 = Tasa de degradación de las proteínas represoras 
• 𝛼,𝛽 = Cooperatividad de la represión del promotor adverso 
Antes de continuar con el modelo por ecuaciones estocásticas, profundizaremos un 
poco más en las capacidades de representación de las ecuaciones anteriores. Como se 
explicó en secciones anteriores, al experimentar con la bacteria real, la forma que 
tenemos para hacer las mediciones de las poblaciones de las proteínas que se expresan 
36 Enfoque Determinista 
 
es a través de una proteína fluorescente asociada a tal molécula. Sucede que cuando se 
crea una proteína de LacI, una GFP (proteína fluorescente verde) también lo hace en el 
mismo instante. 
Hasta este momento no se ha incluido esta realidad en los modelos ni en los análisis. El 
motivo por el que se ha decidido hacer esto, es porque realmente no aporta 
conocimiento en el estudio determinista y de estabilidad. Sin embargo, llegamos al 
modelo estocástico resulta mucho más sencillo añadir este hecho sin implicar cambios 
sustanciales en los modelos. 
Continuando con el modelado, pasamos a identificar la matriz estequiométrica de las 
reacciones mostradas 
Reacciones 
Matriz Estequiométrica 
𝑚1 𝑚2 𝑥1 𝑥2 𝑅𝐹𝑃 𝐺𝐹𝑃 
𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1 1 0 0 0 0 0 
𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚2 0 1 0 0 0 0 
𝑚1 → 𝑚1 + 𝑥1 + 𝑅𝐹𝑃 0 0 1 0 1 0 
𝑚2 → 𝑚2 + 𝑥2 + 𝐺𝐹𝑃 0 0 0 1 0 1 
𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 -1 0 0 0 0 0 
𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 -1 0 0 0 0 
𝑥1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 -1 0 0 0 
𝑥2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 -1 0 0 
𝑅𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 0 -1 0 
𝐺𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 0 0 -1 
 
Así, con esto definido, pasamos a definir las propensidades de la cada reacción. 
Id Reacción Función de propensidad 
1 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1 𝑎1(𝑋) =
𝑘𝑡𝑟1
1+𝑘𝑝𝑟1·𝑥2
𝛼 
2 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚2 𝑎2(𝑋) =
𝑘𝑡𝑟2
1+𝑘𝑝𝑟2·𝑥1
𝛽 
3 𝑚1 → 𝑚1 + 𝑥1 + 𝑅𝐹𝑃 𝑎3(𝑋) = 𝑘𝑡𝑑1 · 𝑚1 
4 𝑚2 → 𝑚2 + 𝑥2 + 𝐺𝐹𝑃 𝑎4(𝑋) = 𝑘𝑡𝑑2 · 𝑚2 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 37 
 
5 𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎5(𝑋) = 𝑑𝑚 · 𝑚1 
6 𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎6(𝑋) = 𝑑𝑚 · 𝑚2 
7 𝑥1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎7(𝑋) = 𝑑 · 𝑥1 
8 𝑥2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎8(𝑋) = 𝑑 · 𝑥2 
9 𝑅𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎9(𝑋) = 𝑑𝐺𝐹𝑃 · 𝐺𝐹𝑃 
10 𝐺𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎10(𝑋) = 𝑑𝑅𝐹𝑃 · 𝑅𝐹𝑃 
Para comprender con más detalle cómo se comporta el sistema, debemos atender a los 
procesos o reacciones elementales que tienen lugar entre las moléculas. Por ejemplo, 
uno de los casos más llamativos es el siguiente, que nos servirá para comprender como 
la expresión matemática puede ocultar la complejidad que encierra. 
Mientras que en el modelo anterior se representaba la síntesis del ARN mensajero con 
una ecuación cinética como la siguiente, 
𝑑𝑚1
𝑑𝑡
=
𝑘𝑡𝑟
1 + 𝑘𝑝𝑟 · 𝑥𝛼
 
Explicando la reacción 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1, el conjunto de reacciones elementales es mucho 
mayor. Recordemos que en esta simplificación están reunidas: la represión cooperativa 
de la proteína represora contraria, que a su vez engloba la posible dimerización del 
represor y su adhesión sobre el promotor, influyendo así a la transcripción del ARN 
mensajero. Además no se está teniendo en cuenta el resto de especies que intervienen, 
el promotor, la proteína represora y sus multímeros, ni la ARN polimerasa que se 
encarga de la labor transcriptora. 
Se muestra así la simplicidad del modelo anterior, ya sea en su versión determinista 
como estocástica. Trataremos pues de incluir en el análisis a continuación, tantas 
variables como sean posibles en busca de representar más fielmente la interacción 
conjunta. 
En lo que sigue, se expondrá el nuevo modelo, incluyendo un nivel de detalle mayor, y 
abandonaremos finalmente este modelo de cinéticas complejas para trabajar en 
adelante con uno de cinéticas de primer orden. 
 
38 Enfoque Determinista 
 
Tipo de Agente Rama 1 Rama 2 
Promotor 𝑂𝐿 𝑂𝐶 
ARN mensajero 𝑀𝐿 𝑀𝐶 
Proteína represora 𝐿 𝐶 
Multímero represor (dímero) 𝐿2 𝐶2 
Promotor/Represor 𝐶2𝑂𝐿𝐿2𝑂𝐶 
En los apartados anteriores se han dado las nociones suficientes para la comprensión de 
la función de cada agente dentro del sistema. Veamos el conjunto reactivo: 
Nombre Reacción Propensidad 
Transcripción LacI 𝑂𝐿 → 𝑂𝐿 + 𝑀𝐿 𝑎1 = 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿 
Traducción LacI 𝑀𝐿 → 𝑀𝐿 + 𝐿 + 𝑅𝐹𝑃 𝑎2 = 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 
Dimerización LacI 𝐿 + 𝐿 → 𝐿2 𝑎3 = 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿
2 
Des-dimerización LacI 𝐿2 → 𝐿 + 𝐿 𝑎4 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 
Represión LacI 𝐿2 + 𝑂𝐶 → 𝐿2𝑂𝐶 𝑎5 = 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 
Des-represión LacI 𝐿2𝑂𝐶 → 𝐿2 + 𝑂𝐶 𝑎6 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 
Transcripción cI 𝑂𝐶 → 𝑂𝐶 + 𝑀𝐶 𝑎7 = 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 
Traducción cI 𝑀𝐶 → 𝑀𝐶 + 𝐶 + 𝐺𝐹𝑃 𝑎8 = 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 
Dimerización cI 𝐶 + 𝐶 → 𝐶2 𝑎9 = 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶
2 
Des-dimerización cI 𝐶2 → 𝐶 + 𝐶 𝑎10 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 
Represión cI 𝐶2 + 𝑂𝐿 → 𝐶2𝑂𝐿 𝑎11 = 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 
Des-represión cI 𝐶2𝑂𝐿 → 𝐶2 + 𝑂𝐿 𝑎12 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 
Degradación 𝑀𝐿 𝑀𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎13 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
Degradación 𝑀𝐶 𝑀𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎14 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
Degradación 𝐿 𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎15 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿 
Degradación 𝐶 𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎16 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶 
Degradación 𝐿2 𝐿2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎17 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2 
Degradación 𝐶2 𝐶2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎18 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2 
 
 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 39 
 
Y la matriz estequiométrica queda: 
 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 
R1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
R2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 
R3 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0 0 
R4 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 0 
R5 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 
R6 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 
R7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
R8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 
R9 0 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0 
R10 0 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 
R11 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 
R12 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 
R13 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
R14 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 
R15 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 
R16 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 
R17 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 
R18 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 
R19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 
R20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 
Antes de pasar al siguiente apartado, vamos a agrupar estos eventos de forma que 
podamos extraer una expresión aproximada en ecuaciones diferenciales. Tras conocer 
todos los eventos modelados y sus cinéticas, los agrupamos por variable de estado: 
𝑑𝑂𝐿
𝑑𝑡
= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 − 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 
𝑑𝑂𝐶
𝑑𝑡
= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 − 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
𝑑𝑀𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶 
𝑑𝐿2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿 · (𝐿 − 1) + 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2 
𝑑𝐶2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶 · (𝐶 − 1) + 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2 
40 Enfoque Determinista 
 
𝑑𝐿2𝑂𝐶
𝑑𝑡
= 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 − 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 
𝑑𝐶2𝑂𝐿
𝑑𝑡
= 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 − 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 
Este se puede considerar el modelo del biestable simple en ecuaciones diferenciales 
ordinarias atendiendo a las reacciones elementales. Si aplicamos régimen permanente 
en algunos de los procesos, podremos conseguir una expresión asimilable a la original 
extraída en la sección del modelado determinista. 
Antes de adentrarnos en un desarrollo matemático, vamos a simplificar las relaciones de 
estas ecuaciones: 
Para empezar, la población de los promotores está relacionada directamente con la de sí 
mismo reprimido. Además esta relación es muy simple: 
𝑑𝑂𝐿
𝑑𝑡
= −
𝑑𝑂𝐿𝐶2
𝑑𝑡
 
La resolución es de esta relación no lleva a: 
𝑂𝐿(𝑡) − 𝑂𝐿(0) = 𝐶2𝑂𝐿(0) − 𝐶2𝑂𝐿(𝑡); 𝐶2𝑂𝐿(𝑡) = 𝑛0 − 𝑂𝐿(𝑡) 
De esta forma, eliminamos 2 variables de estado, así como simplificamos las ecuaciones 
diferenciales 
𝑑𝑂𝐿
𝑑𝑡
= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2) · 𝑂𝐿 
𝑑𝑂𝐶
𝑑𝑡
= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐿2) · 𝑂𝐶 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
𝑑𝑀𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶 
𝑑𝐿2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2 
𝑑𝐶2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 41 
 
Además, es demostrable según la biología que, dada la alta concentración de partícula 
transcriptora, la concentración de promotor libre o reprimido, se alcanza 
instantáneamente, y no afecta a la dinámica. Por lo tanto, supondremos régimen 
permanente para las ecuaciones diferenciales de las poblaciones de promotor: 
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2) · 𝑂𝐿 = 0; 
 𝑂𝐶 =
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2
 
 𝑂𝐿 =
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2
 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐿 ·
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
𝑑𝑀𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐶 ·
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶 
𝑑𝐿2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2 
𝑑𝐶2
𝑑𝑡
= 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2 
Así, finalmente tenemos esta expresión: 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐿 ·
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
𝑑𝑀𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝑁𝐶 ·
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0
𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
Además, suponemos el régimen permanente en la variación de las poblaciones de los 
dímeros represores: 
𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝐿2 · 𝐿2 = 0; 
𝐿2 =
𝐷𝐼𝑀𝐿
𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝐿2
· 𝐿2 
𝐶2 =
𝐷𝐼𝑀𝐶
𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝐶2
· 𝐶2 
 
 
42 Enfoque Determinista 
 
Por último, añadiendo estas expresiones, obtenemos la expresión del sistema equivalente: 
 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
=
𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑛0
1 + 𝑅𝐸𝑃𝐶𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 ·
𝐷𝐼𝑀𝐶
𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶
2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿 
𝑑𝑀𝐶
𝑑𝑡
=
𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑛0
1 + 𝑅𝐸𝑃𝐿𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 ·
𝐷𝐼𝑀𝐿
𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿
2
− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶 
 
Ahora, procedemos a comparar los dos modelos y comprar los parámetros hasta encontrar sus 
relaciones: 
𝑘𝑡𝑟 = 𝑇𝑅𝑁 · 𝑛0 
𝑘𝑡𝑑 = 𝑇𝑅𝐷 
𝑘𝑝𝑟 =
𝑅𝐸𝑃
𝑁𝑅𝐸𝑃
·
𝐷𝐼𝑀
𝑁𝐷𝐼𝑀 + 𝐷𝐺𝑃
 
𝑑𝑚 = 𝐷𝐺𝑀 
Aunque acabamos de identificar todos los parámetros de uno y otro modelo, de forma que 
podemos concluir que se tratan del mismo, aunque expresado de formas diferentes; tenemos 
que notar que existe una pequeña diferencia entre ambos: 
𝑑𝑚1
𝑑𝑡
=
𝑘𝑡𝑟1
1 + 𝑘𝑝𝑟1 · 𝑥2
𝛽 − 𝑑𝑚
1 · 𝑚1 
𝑑𝑀𝐿
𝑑𝑡
=
𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑛0
1 + 𝑅𝐸𝑃𝐶𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 ·
𝐷𝐼𝑀𝐶
𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶
2
− 𝐷𝐺𝑀𝐿 · 𝑀𝐿 
Mientras que en el modelo basado en las cinéticas de Michaelis-Menten la represión se 
hace a través de la proteína represora, considerando, además, la posibilidad de que 
también se haga a través de los diferentes multímeros que ésta pueda formar. Por tanto, 
aunque el modelo matemático sí lo contemple, realmente no tiene en cuenta las 
variables asociadas a estas subespecies. 
Por otro lado, en el modelo de cinéticas de primer orden desarrollado en este último 
apartado del documento, se estudia de manera explícita la presencia y participación del 
dímero. Incluso, no se ha modelado la posibilidad de que la proteína represora pueda 
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable 
Enfoque Determinista 43 
 
inhibir la transcripción del promotor adverso. Esta diferencia de consideraciones entre 
uno y otro se patenta directamente ahora, cuando observamos que el parámetro 𝛽 
aparece con un valor fijo y dado 2 en nuestro segundo modelo. Esto se podría considerar 
como un error, sin embargo, explicamos la capacidad de esta suposición: 
• 𝐶 + 𝐶 → 𝐶2 es la reacción que hemos modelado hasta el