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Integrales impropias
Integrales impropias
Rafael Ramírez Ros
Problemas de Integración (clases 5+ �)
Integrales impropias
Definición
Las integrales impropias son integrales definidas:
Cuyo intervalo de integración tiene longitud infinita;
Cuyo integrando alcanza un valor infinito en algún punto; o
Ambas cosas a la vez.
Una integral impropia puede tener un valor finito, un valor
(más o menos) infinito o no tener ningún valor definido.
Usaremos la propiedad de aditividad para expresar cualquier
integral impropia como una suma de las siguientes integrales
impropias “simples”:
1
∫ +∞
a
f (x)dx , con f : [a,+∞)→ R continua;
2
∫ b
−∞ f (x)dx , con f : (−∞, b]→ R continua;
3
∫ b
a
f (x)dx , con f : [a, b)→ R continua y f (b−) =∞;
4
∫ b
a
f (x)dx , con f : (a, b]→ R continua y f (a+) =∞.
Integrales impropias
Convergencia & divergencia
Dada f : [a,+∞)→ R continua, tenemos tres posibilidades:
1 limM→+∞
∫M
a
f (x)dx existe y es finito;
2 limM→+∞
∫M
a
f (x)dx existe, pero no es finito; o
3 6 ∃ limM→+∞
∫M
a
f (x)dx .
En el primer caso, diremos que la integral impropia en +∞ es
convergente y, además,∫ +∞
a
f (x)dx = lim
M→+∞
∫ M
a
f (x)dx .
De lo contrario, diremos que la integral impropia es divergente.∫ +∞
a f (x)dx convergente ⇒ limx→+∞ f (x) = 0 (recíproco falso).
Las integrales impropias en −∞, en a+ y en b− admiten
definiciones similares.
Integrales impropias
Ejemplos importantes
∫ 1
0
1
xα
dx =
{ 1
1−α , si α < 1 (convergente)
+∞, si α ≥ 1 (divergente)∫ +∞
1
1
xα
dx =
{ 1
α−1 , si α > 1 (convergente)
+∞, si α ≤ 1 (divergente)∫ +∞
a
e−αx dx =
{
e−αa
α , si α > 0 (convergente)
+∞, si α ≤ 0 (divergente)
Integrales impropias
Convergencia absoluta
Diremos que una integral impropia de una función f (x) es
absolutamente convergente si la correspondiente integral
impropia de la función positiva |f (x)| es convergente.
Teorema: Toda integral impropia absolutamente convergente
es convergente.
El recíproco no es cierto. Por ejemplo, la integral de Dirichlet
es convergente pero no absolutamente convergente.
Integrales impropias
Integrales impropias famosas
Integral gaussiana:
∫ +∞
−∞ e
−x2dx =
√
π.
Integral de Dirichlet:
∫ +∞
−∞
sin x
x dx = π.
Figura: Integral gaussiana (izquierda) e integral de Dirichlet (derecha).
Integrales impropias
Criterios de comparación
1 Si las funciones f , g : [a,+∞)→ R son continuas y
0 ≤ f (x) ≤ g(x) cuando x → +∞, entonces∫
g convergente ⇒
∫
f convergente, y∫
f divergente ⇒
∫
g divergente.
2 Ídem si las funciones f , g : (−∞, b]→ R son continuas y
0 ≤ f (x) ≤ g(x) cuando x → −∞.
3 Ídem si las funciones f , g : (a, b]→ R son continuas y
0 ≤ f (x) ≤ g(x) cuando x → a+.
4 Ídem si las funciones f , g : [a, b)→ R son continuas y
0 ≤ f (x) ≤ g(x) cuando x → b−.
Integrales impropias
Criterios del cociente
1 Sean f , g : [a,+∞)→ R funciones continuas, positivas
cuando x → +∞ y ∃L = limx→+∞ f (x)g(x) .
Si L = 0, entonces:
∫
g convergente ⇒
∫
f convergente;
Si L = +∞, entonces:
∫
g divergente ⇒
∫
f divergente; y
Si L ∈ (0,∞), entonces:
∫
f convergente ⇔
∫
g convergente.
2 Ídem si f , g : (−∞, b]→ R son continuas, positivas cuando
x → −∞ y ∃L = limx→−∞ f (x)g(x) .
3 Ídem si f , g : (a, b]→ R son continuas, positivas cuando
x → a+ y ∃L = limx→a+
f (x)
g(x) .
4 Ídem si f , g : [a, b)→ R son continuas, positivas cuando
x → b− y ∃L = limx→b−
f (x)
g(x) .
Integrales impropias
Metodología
Si sabemos calcular la primitiva del integrando, aplicamos la
definición y estudiamos el límite.
Si no sabemos calcular la primitiva del integrando:
Si f (x) ≥ 0, entonces buscamos un integrando g(x) más
simple y aplicamos el criterio de comparación o del cociente.
Si f (x) cambia de signo infinitas veces, estudiamos la
convergencia absoluta.
Integrales impropias
Ejemplos donde calculamos la primitiva
a)
∫ +∞
1
4
x2 + 1
dx =
[
4 atan x
]x=+∞
x=1
= 2π (convergente)
b)
∫ +∞
0
e−x cos x dx =
[
sin x − cos x
2
e−x
]x=+∞
x=0
=
1
2
(convergente)
c)
∫ 8
0
1
3
√
8− x
dx =
[
−3
2
(8− x)2/3
]x=8
x=0
= 6 (convergente)
d)
∫ π/2
0
tan θ dθ =
[
− log | cos θ|
]θ=π/2
θ=0
= +∞ (divergente)
Integrales impropias
Ejemplos donde usamos criterios
a)
∫ ∞
1
x2 atan x
2x3 + sin x
dx es divergente por cociente con g(x) = x−1.
b)
∫ ∞
0
(
1− e−1/
√
x
)
xa dx es convergente ⇔ a ∈ (−1,−1/2).
c)
∫ ∞
0
1− 2 cos5 x
2+ ex + sin x
dx es (absolutamente) convergente por
comparación con g(x) = 3e−x .
d)
∫ ∞
0
1− x sin x
1+ x3
dx , es (absolutamente) convergente por
comparación con g(x) = x−2 + x−3.