EST_III_MF_presentacion

Vista previa del material en texto

Docentes:
Rossana Jacca
Daniel H. Calabro
Alejandro Aguilera
Carlos A. Burgos
FaIn-UNCo
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil
MARZO 2023
Método de las Fuerzas (MF)
Procedimiento para la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas.
El método aporta la cantidad de ecuaciones necesarias, que sumadas a las ecuaciones que ofrece la
estática, resultan un cantidad suficiente para la resolución de la estructura. A estas ecuaciones se les llama
“ecuaciones de compatibilidad”.
En la estructura hiperestática se liberan vínculos (internos y/o externos) para convertirla en un isostática (IF).
Se calculan los desplazamientos en las direcciones liberadas debidos a las cargas externas actuantes en el IF.
Se plantean las ecuaciones compatibilizando en cada dirección liberada, los desplazamientos producidos por las cargas
externas más los producidos por las incógnitas (unitarias) con los desplazamientos de la estructura original.
Se despejan las incógnitas del método.
Se resuelven los esfuerzos sumando los efectos en cada una de las estructuras fundamentales.
El MF considera un comportamiento lineal de la estructura ya que se utiliza el principio de superposición de 
efectos (PSE) tanto en el planteo del sistema de ecuaciones de compatibilidad como en la determinación de 
efectos en el hiperestático.
𝒆𝟏𝟎 + 𝒆𝟏𝟏 ∙ 𝒙𝟏 = 𝟎
e10: desplazamiento en la estructura fundamental, correspondiente
con la dirección de la incógnita X1.
e11: desplazamiento en la estructura fundamental, correspondiente con
la dirección de la incógnita X1, provocado por la aplicación unitaria de X1.
Principio de trabajos virtuales TTV 𝑒 =
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑥
𝒙𝟏 = −𝒆𝟏𝟎 𝒆𝟏𝟏⁄
𝑀 = 𝑀 + 𝑀 ∗ 𝑋
Principio de superposición de efectos: 𝑄 = 𝑄 + 𝑄 ∗ 𝑋
𝑁 = 𝑁 + 𝑁 ∗ 𝑋
Ecuación de compatibilidad Incógnita Hiperestática
Estructura, geometría y cargas
o JC: Inercia de la columna:
o Columna (Barra A-B): Sección rectangular 0.30x0.40m.
Características
Objetivos
• Determinar las incógnitas hiperestáticas.
𝐽 𝑚 =
𝑏 ∗ ℎ
12
→ 𝐽 =
0.3𝑚 ∗ (0.4𝑚)
12
→ 𝐽 = 0.0016𝑚
• Hacer equilibrio de nudos. 
• Hallar los diagramas de esfuerzos característicos: Momento Flector, Esfuerzo 
de corte y esfuerzo normal.
Esquema estructural Viga-Columna Bi empotrada
o Viga (Barra B-C): Sección rectangular 0.30x0.60m.
o JV: Inercia de la viga:
𝐽 𝑚 =
𝑏 ∗ ℎ
12
→ 𝐽 =
0.3𝑚 ∗ (0.6𝑚)
12
→ 𝐽 = 0.0054𝑚
o Material: 𝐸 = 30𝐺𝑃𝑎 = 30𝑥10 𝑘𝑁 𝑚⁄ .
Resolución
Paso 1: Determinar grado de hiperestaticidad de la estructura (GH)
o GH: resulta de la diferencia entre incógnitas internas
(VI), incógnitas externas (VE) y las ecuaciones de
equilibrio planteadas (EEG: ecuaciones de equilibrio
general, EER: ecuaciones de equilibrio relativo).
VE: 6; VI: 0; EEG: 3; EER: 0
Se propone la siguiente estructura fundamental,
liberando restricciones colocando tantas
articulaciones como grados de hiperestaticidad
Isostático Fundamental
OBS.: un nudo articulado permite el
planteo de n-1 ecuaciones de equilibrio
relativo (EER), siendo n la cantidad de
barras que concurren al nudo.
𝐺𝐻 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 − 𝐸𝐸𝐺 − 𝐸𝐸𝑅
VE: 6; VI: 0; EEG: 3; EER: 3
𝐺𝐻 = 6 + 0 − 3 − 3 𝐺𝐻 = 0
Incógnitas Hiperestáticas
𝐺𝐻 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 − 𝐸𝐸𝐺 − 𝐸𝐸𝑅
𝐺𝐻 = 6 + 0 − 3 − 0 𝐺𝐻 = 3
GH=CV−GL
CV: 3∗2:6, GL:3−>GH:6–3−>GH = 3
GH = CV-GL
CV: 3*2:6, GL:3x4-2*3:6->GH:6–6->GH = 0
Análisis Alternativo GH
Resolución
Paso 2: Sistema estructural equivalente
Estado 0
Se liberan restricciones y ponen en
evidencia las incógnitas hiperestáticas
elegidas X1, X2, X3.
Estado 1
Estructura original Estructura Equivalente
Estado 2 Estado 3
En el isostático fundamental se
aplican las cargas externas (P
y q) y se determinan:
e10: giro absoluto 1 en el estado 0
e20: giro relativo 2 en el estado 0
e30: giro absoluto 3 en el estado 0
En el isostático fundamental se
carga con un par unitario en la
articulación 1 y se
determinan:
e11: giro absoluto 1 en el estado 1
e21: giro absoluto 2 en el estado 1
e31 = 0
En el isostático fundamental
se carga con un par de pares
unitarios en la articulación 2 y
se determinan:
e12: giro absoluto 1 en el estado 2
e22: giro absoluto 2 en el estado 2
e32: giro absoluto 3 en el estado 2
En el IF se carga con un
par unitario en la artic. 3 y
se determinan:
e13 = 0
e23: giro absoluto 2 en el estado 3
e33: giro absoluto 2 en el estado 3
Resolución
Paso 3.1: Solicitaciones en Estado 0
Ecuaciones de equilibrio
VC
𝑀 = 0 → −𝑉 ∗ 6𝑚 + 10𝑘𝑁 ∗ 3𝑚 = 0 → 𝑉 = 5𝑘𝑁
VA
𝐹 = 0 → 10𝑘𝑁 − 𝑉 − 𝑉 = 0 → 𝑉 = 5𝑘𝑁
HC
𝑀 ; = 0 →
1
2
𝑃 ∗ 𝑙 +
1
2
𝑞 𝑙 − 𝑉 ∗ 𝑙 − 𝐻 𝑙 = 0 → 𝐻 = 4𝑘𝑁HA
𝐹 = 0 → 𝑞 ∗ 𝑙 − 𝐻 − 𝐻 = 0 → 𝐻 = 4𝑘𝑁
Diagramas de solicitaciones para el estado 0, producto de las cargas externas (P, q)
Dato Inicial: MA = MC = 0
Resolución
Paso 3.2: Solicitaciones en Estado 1
Ecuaciones de equilibrio
HA
𝑀 , = 0 → −𝑥 + 𝐻 ∗ 4𝑚 = 0 → 𝐻 = 0.25𝑘𝑁
Diagramas de solicitaciones para el estado 1, producto de un par unitario en la articulación 1
Dato Inicial: MA = MC = 0, VC = VA = 0HC
𝐹 = 0 → 𝐻 − 𝐻 = 0 → 𝐻 = 0.25𝑘𝑁
Resolución
Paso 3.3: Solicitaciones en Estado 2
Ecuaciones de equilibrio
VC
𝑀 = 0 → −𝑥 + 𝑉 ∗ 𝑙 = 0 → 𝑉 = 1/6𝑘𝑁
VA
𝐹 = 0 → 𝑉 − 𝑉 = 0 → 𝑉 = 1/6𝑘𝑁
HC
𝑀 = 0 → 𝑥 − 𝐻 ∗ 𝑙 = 0 → 𝐻 = 1/4𝑘𝑁
HA
𝐹 = 0 → 𝐻 − 𝐻 = 0 → 𝐻 = 1/4𝑘𝑁
Diagramas de solicitaciones para el estado 2, un par de pares unitario en la articulación 2
Dato Inicial: MA = MC = 0
Resolución
Paso 3.4: Solicitaciones en Estado 3
Ecuaciones de equilibrio
VA
𝑀 , = 0 → +𝑥 − 𝑉 ∗ 𝑙 = 0 → 𝑉 = 1/6𝑘𝑁𝑚
Diagramas de solicitaciones para el estado 3, producto de un par unitario en la articulación 3
Dato Inicial: MA = MC = 0, HA = HC = 0
VC 𝐹 = 0 → −𝑉 + 𝑉 = 0 → 𝑉 = 1/6𝑘𝑁
Resolución
Paso 4: Determinación de coeficientes de flexibilidad eij
Teorema de trabajos virtuales TTV 𝑒 =
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑥
Para la resolución de las integrales utilizaremos las tablas que se pueden
encontrar en la bibliografía de la Cátedra.
𝑒 =
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑦 +
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑥
=
1
3
1
30𝑥10 𝑘𝑁 𝑚⁄ ∗ 0.0016𝑚
4𝑘𝑁𝑚 −1.0 4𝑚 + 0 → 𝑒 = −11.1𝑥10 𝑟𝑎𝑑
El signo negativo significa
que el giro absoluto tiene
el sentido opuesto al
sentido asignado a la
incógnita X1
=0
𝑒 =
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑦 +
1
𝐸 ∗ 𝐽
𝑀 𝑀 𝑑𝑥 =
1
3
1
30𝑥10 𝑘𝑁 𝑚⁄ ∗ 0.0016𝑚
4𝑘𝑁 −1.0 4𝑚 +
1
4
1
30𝑥10 𝑘𝑁 𝑚⁄ ∗ 0.0054𝑚
15𝑘𝑁 −1.0 6𝑚 → 𝑒 = −25.10𝑥10 𝑟𝑎𝑑
𝑒 = 13.9𝑥10 𝑟𝑎𝑑;
𝑒 = 2.78𝑥10 𝑟𝑎𝑑
𝑒 = 1.39𝑥10 𝑟𝑎𝑑 = 𝑒
𝑒 = 0 = 𝑒
𝑒 = 4.01𝑥10 𝑟𝑎𝑑
𝑒 = −0.62𝑥10 𝑟𝑎𝑑 = 𝑒
Condiciones de simetría
Resolución
Paso 5: Determinación de Incógnitas Hiperestáticas
En la dirección de cada una de las incógnitas se plantea una ecuación de compatibilidad
𝑒 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 = 𝑒
𝑒 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 = 𝑒
𝑒 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 + 𝑒 ∗ 𝑋 = 𝑒
𝑒
𝑒
𝑒
+
𝑒 𝑒 𝑒
𝑒 𝑒 𝑒
𝑒 𝑒 𝑒
∙
𝑋
𝑋
𝑋
=
𝑒
𝑒
𝑒
𝒆𝟎 + 𝑭 ∙ 𝑿 = 𝒆𝒉
𝒆𝟎: Vector desplazamientos en el fundamental debidos a las cargas exteriores.
𝑭: Matriz flexibilidad. Es una característica del fundamental adoptado. No depende de las cargas exteriores. Es simétrica y la 
diagonal principal es positiva (los desplazamientos tienen el mismo signo que las cargas que los producen).
𝑿: Vector incógnita. Son magnitudes estáticas planteadas como incógnitas al proponer la estructura fundamental.
𝒆𝒉: Vector desplazamiento en la estructura original (hiperestática) en las direcciones de las incógnitas.
𝑿 = 𝑭 𝟏 ∙ 𝒆𝒉 − 𝒆𝟎
Incorporando los valores previamente calculados
−11.5 ∙ 10
−25.1 ∙ 10
13.9 ∙ 10
+
2.78 ∙ 10 1.39 ∙ 10 0
1.39 ∙ 10 4.01 ∙ 10 −0.62 ∙ 10
0 −0.62 ∙ 10 1.23 ∙ 10
∙
𝑋
𝑋
𝑋
=
0
0
0
𝑋
𝑋
𝑋
=
1.92𝑘𝑁𝑚
4.12𝑘𝑁𝑚
−9.21𝑘𝑁𝑚
Ecuaciones de compatibilidad
Forma matricial
Resolución
Paso 6: Esfuerzos Característicos en el Hiperestático
Momento flector en el centro de la viga (Barra BC) 
𝑀 = 𝑀 + 𝑀 ∗𝑋
Principio de superposición de efectos:
𝑄 = 𝑄 + 𝑄 ∗ 𝑋 𝑁 = 𝑁 + 𝑁 ∗ 𝑋
𝑀 = 𝑀 + 𝑀 ∗ 𝑋 =
+15𝑘𝑁𝑚 + 0 ∗ 1.92𝑘𝑁𝑚 + −0.5 ∗ 4.12𝑘𝑁𝑚 + 0.5 ∗ −9.21𝑘𝑁𝑚
→ 𝑀 = 8.33𝑘𝑁𝑚
o La matriz flexibilidad es única para el fundamental adoptado ya que no 
depende del estado de cargas. Es una matriz simétrica definida positiva. 
El sistema tendrá solución y ésta será única.
o La elección arbitraria de la estructura fundamental le da un aspecto
artesanal al método y resulta poco atractivo a la implementación en
algoritmos computacionales.
o Método adecuado para estructuras de pocos vinculos.
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN!!!