Met Rigidez

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INTRODUCCION METODO DE LA RIGIDEZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de las Fuerzas Método de las 
Deformaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de las Fuerzas Método de las Fuerzas 
Método de las Fuerzas 
Método de las Deformaciones 
UA 
e1 
L
EA
F
eE
L
e
E
A
F
 
 
FLEXIBILIDAD – RIGIDEZ 
 
Modelo resorte (Ley Hooke): todo elemento de una estructura sometido a una acción P se 
deforma aparece desplazamiento u 
 
 K 
 u= F*P ó P=K*u 
 u 
 F= Flexibilidad, desplazamiento producido por acción unitaria 
 P 
 K= Rigidez, acción que produce un desplazamiento unitario 
 
u
P
K
P
u
F  ; 
 
 M=1 K 
 
 F θ=1 
 
 P2 P3 
 1 = 11P1 + 12 P2 + 13 P3 + 14 M4 
 2 = 21P1 + 22 P2 + 23 P3 + 24 M4 
 2 3 3 = 31P1 + 32 P2 + 33 P3 + 34 M4 
 θ4 = θ41P1 + θ42 P2 + θ43 P3 + θ44 M4 
 1 P1 θ4 M4 
 
 km = Desplazamiento generalizado en k (proyectado en dirección 
 de Pk) para Pm =1 y restantes Pk=0 (Fkm) 
 Pk = fuerzas generalizadas 
 k = desplazamientos generalizados en puntos de aplicación de 
 acciones proyectado en sus respectivas direcciones uk 
 
PFu *
4
3
2
1
44434241
34332313
24232221
14131211
4
3
2
1






































P
P
P
P
FFFF
FFFF
FFFF
FFFF
u
u
u
u
 F: matriz de Flexibilidad 
 Método de la Flexibilidad (de las Fuerzas) 
 
De manera semejante se puede plantear: 
Acciones exteriores P1, P2, P3 y M4 se equilibran con esfuerzos asociados a 1, 2, 3 y θ 4.
 
 
P 1 = k11 1 + k12 2 + k13 3 + k14 θ 4 
P 2 = k21 1 + k22 2 + k23 3 + 24 θ 4 
P 3 = k31 1 + k32 2 + k33 3 + k34 θ 4 
M4 = k41 1 + k42 2 + k43 3 + k44 θ 4 
 
 
 Método de la Rigidez (de las Deformaciones) 
 
kij = Fuerza generalizada en i producida por un 
(**) 
( ) 
( ) 
 
 
uKP *
4
3
2
1
44434241
34332313
24232221
14131211
4
3
2
1






































u
u
u
u
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
P
P
P
P
 
 
K: Matriz de Rigidez 
(*) 
 desplazamiento unitario en j y los restantes nulos. 
 
(*) F-1 u= (F-1 F) P = P  F-1 = K 
(**) K-1 P= (K-1 K) u = u  K-1 = F 
 
 F K = I (son matrices inversas) 
 
Para cada grupo de fuerzas que actúa sobre una estructura corresponde una matriz de 
Flexibilidad y de Rigidez. Dada una de ellas se pude obtener la otra. 
 
Fij: desplazamiento causado por valor unitario de acción i y las j restantes nulas 
kij : Fuerza que produce desplazamiento i unitario y los j restantes nulos 
 
Ejemplo 
 
 M1 EJ M2 
 L 
 
a) Matriz de Flexibilidad 
 
 M1=1 
 
 
 
EJ
L
F
EJ
L
F
63
2111 
 
 
 M2=1 
 
 
 
EJ
L
F
EJ
L
F
36
2212 
 
 
b) Matriz de Rigidez 
 
 
 
 
 
 θ1=1 θ2=0 
 
 
 
 
 
 θ1=0 θ2=1 
 
 
 
 
 
 
L
EJ
k
L
EJ
k
42
2221 
 
L
EJ
k
L
EJ
k
24
2111 
 
( ) 
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
( ) 
















21
12
6
2221
1211
EJ
L
FF
FF
F
F
 
( ) 














21
122
2221
1211
L
EJ
kk
kk
K
K
 
( ) 





















10
01
21
122
*
21
12
6 L
EJ
EJ
L
K * F 
METODO DE RIGIDEZ 
 
 
 , si U0  
 
La elongación de la barra es aproximadamente igual a la proyección del desplazamiento 
relativo entre los extremos de la barra en la dirección de la barra indeformada. 
 
RETICULADOS PLANOS 
 
Ux, Uy: desplazamientos nodales, K(4x4) * U(4x1) =P(4x1) 
 (1) 
 
1) Uix=1; Uiy= Ujx= Ujy=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


coscos K
L
EA
e
L
EA
P
E
L
e
E
A
P
 
K * U = P 
1) Uiy=1; Uix= Ujx= Ujy=0 3) Ujx=1; Uix= Uiy= Ujy=0 4) Ujy=1; Uix= Uiy= Ujx=0 
 
 
 
 
 
 
 
K es singular ( K-1)  (1) no tiene solución 
 
 Si se conocen los desplazamientos de los extremos d cada barra (1) permite calcular 
el esfuerzo en la barra, haciendo K * U = P. 
 K es simétrica ( Ley de Maxwell) y contiene características elásticas y geométricas 
de la barra. 
 K permite plantear ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de desplazamientos de 
una estructura. 
 
n= cantidad de nudos del reticulado plano 
 
Kest(2nx2n) U(2nx1)= P(2nx1) 
 
Se puede separar en sub-matrices asociadas a cada nudo: 
 
 
( i nudo de menor numeración, j nudo de mayor numeración) 
 
 
Kest(14x14) U(14x1)= P(14x1) 
 
 
 
 
 
 
Cargas nodales 
 
hh
ji
gg
ji
hgedh
ii
g
ii
e
jj
d
jj
ee
ij
dd
ij KKKKKKKKKKKKKKKK 4645444444444342 ;;;;  
 
 Ensamble matriz de Rigidez Condiciones de vínculo Reacciones de vínculo 
 de la estructura 
 
 
Kest: Simétrica 
 Singular 
(Sistema de 
ecuaciones no 
tiene solución 
única) 
 
 
Kest: deja de ser singular 
(Sistema de ecuaciones con 
solución única, se elimina 
posibilidad de 
desplazamiento de cuerpo 
rígido) 
 
Se resuelven 
ecuaciones eliminadas 
por condición de 
vínculo 
 




























d
44
d
42
d
24
d
22
c
33
c
32
c
23
c
22
b
33
b
31
b
13
b
11
a
22
a
21
a
12
a
11
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
K
d
c
b
a
K
K
K
a
11K
a
12K
a
21K
a
22K
b
11K
b
13K
b
31K
b
33K
d
22
c
22 KK 
c
23K
c
32K c
33K
d
24K
d
42K
d
44K
h
44
g
44
e
44
d
44 KKKK 
Ejemplo 
 
 
P 
 Kest(10x10) U(10x1)= P(10x1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Ensamble Matriz de Rigidez de la estructura 
 
 1 2 3 4 5 
1 
K111+ K112 0 K131 K142 0 
 
 
U1 
 
R1 
2 
 0 K223 
 
0 K243 0 
U2 
 
R2 
3 
K311 0 K331+ 
K334+ K336 
K344 K356 
U3 
= 
0 
4 
K412 K423 K434 K442+K443+ 
K444+ K445 
K455 
U4 
 
0 
5 
0 0 K536 K545 K555+ K556 
U5 
 Px 
Py 
 
4) Condiciones de vínculo 
 
 U1
x=0; U1
x=0 U2
x=0; U2
y=0; 
 
K111+ K112 0 K131 K142 0 
 
 
U1 
 
R1 
 0 K223 
 
0 K243 0 
U2 
 
R2 
K311 0 K331+ 
K334+ K336 
K344 K356 U3x 
U3x 
= 
0 
0 
K412 K423 K434 K442+K443+ 
K444+ K445 
K455 U4x 
U4x 
 
0 
0 
0 0 K536 K545 K555+ K556 U5x 
U5x 
 
Px 
Py 
 
 
 
1) Definir nodos y barras 
 
2) Matrices de Rigidez de cada barra 
 
Barras 1, 3 y 5 Barras 2 y 6 Barra 4 
 
i=1 
i=1 
j=3 
j=3 
 
 
 
 
 
5) Resolver sistema de ecuaciones 
 
 
 
6) Hallar reacciones de vínculo 
 











































y
1
x
142
14
31
13
R
R
98.2492
7.939
090.0
224.0
1619812096
120969072
0398.0
246.0
315000
00
U*U* KK 
 



























y
x
R
R
U
2
243
24 2835
0
090.0
224.0
315000
00
*K 
 
6) Hallar esfuerzos en barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 































7912812096
1209651072
315000
00
00
042000
315000
00
1619812096
1209690725
44
4
44
3
44
2
44 KKKK 
 
U3x 0.246 
U3y 0.0398 
U4x = 0.224 
U4y -0.090 
U5x 0.591 
U5y -0.141 
 
Esfuerzos en barras de reticulado 
 
 
 
Procedimiento alternativo 
 
 
Numeración óptima 
 
 
 
 
 
 
 
Posibilidades de modificaciónque permite el método: 
1) Agregar barras  se ensambla la matriz correspondiente en la posición adecuada. 
2) Adicionar condiciones de vínculo  se eliminan columnas y filas correspondientes 
en el sistema de ecuaciones de la estructura 
Nota: ambas posibilidades pueden transformar una estructura isostática en 
hiperestática o hacerla más hiperestática, pero eso no modifica el planteo del método. 
Es independiente del grado de hiperestaticidad, la indeterminación geométrica depende 
del número de nudos y de las condiciones de vínculo. 
 
 
Todos los elementos no nulos 
cerca de diagonal principal 
  Matriz “bandeada” 
3) Agregar apoyos elásticos  para desplazar el nudo además de vencer la rigidez del 
reticulado de adiciona la rigidez del resorte, entonces en la diagonal principal se suma 
la rigidez del resorte “k” en coincidencia con el sentido de desplazamiento en el que 
actúa el resorte. Hay una componente de desplazamiento en esa dirección, no es nula. 
 
 
 
 Resorte horizontal (k) en Nudo 4 
 
 
(ver Ejercicio 5) 
 
 
RETICULADOS ESPACIALES 
 
Ux, Uy, Uz: desplazamientos nodales, K(6x6) * U(6x1) =P(6x1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ k 
k 
 
 
Ejercicio 8 
 
Barra 1 Barra 2 
 
 
Barra 3 Barra 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 5 
1 K111 K151 
2 K222 K252 
3 K333 K353 
4 K444 K454 
5 K511 K522 K533 K544 K551+K552 
+ K553+ K554 
 
 
 
PORTICOS PLANOS 
 
Ux, Uy, θz: desplazamientos nodales, K(6x6) * U(6x1) =P(6x1) 
 
 
 
  Sistema Local de coordenadas Convención de signos 
 
 
Matriz de rigidez en coordenadas locales 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
Planteando de igual manera, desplazamientos unitarios en Nodo j se obtienen las 4ta, 5ta y 
6ta columna respectivamente. 
 
Sistema Global de coordenadas 
xl: de nodo i a nodo j 
yl: terna dextrógira 
 
 
 
 
 
 
6 N/L=6(EJ/L) *(1/L) 
=6EJ/L2 
12N/L2=12(EJ/L)*(1/L) 
=12EJ/L3 
K 33 =4 N 
=4(EJ/L) 
K23=6 N/L =6(EJ/L) /L 
 = 6EJ/L2 
 
 Matriz de Rigidez  simétrica y singular (fila 2*l- fila 3= fila 6) 
 
Matriz de rigidez en coordenadas globales 
 
Rotación del sistema local (xl, yl) a sistema global (x,y) 
 
 
 
 
 
 
 R: Matriz ortonormal, R-1= RT 
 
 Si (*) en sistema local: 
 
 
 
Equivalente a (*) pero en coordenadas globales 
 
 
 
Matriz de Rotación: R 
Matriz de Rigidez de una barra de 
pórtico plano 
en sistema local de coordenadas 
 
 
(*) 
Kii = R Kiil RT 
  Kij = R Kijl RT 
 Kjj = R Kjjl RT 
 
 
Si la barra fuera vertical (1=0, 2= 1) 
 
 
 Matriz de Rigidez de la Estructura 
 
Ux, Uy, θz: desplazamientos nodales (en coordenadas globales) K(3nx3n) * U(3nx1) =P(3nx1) 
 
 
Determinación de esfuerzos 
 
Ecuación Fuerza-Desplazamiento de cada barra: 
 
Kbarra U = P 
 Coordenadas globales  Kbarra también en coordenadas globales 
 y P resulta en coordenadas globales 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz de Rigidez de una barra de 
pórtico plano 
en sistema global de coordenadas 
 
n: número de nodos de la 
estructura 
Pj y Pj x 
Piy 
 
Pj x 
 
 
O bien se plantea 
 Kbarra Ul en coordenadas locales con Ul = RT U y Kbarra en local 
 y P resulta en coordenadas locales 
 
En función de Pglobal 
se obtiene Plocal 
Pj xl 
Pj yl 
1 1 
 
 
2 
 
 
 
3 
2 
 
1 
 
 
 
3 
Ejemplo 
 
 3t 
 Barra 1 Barra2 
 1 I= 600cm4 I=400cm4 
 A=5cm2 A=4cm2 
 200cm 2 
 
 
 300cm 
 
Barra 1 
 
 


























55
55
10*16884000010*84840000
840005600840005600
00350000035000
10*8484000010*168840000
840005600840005600
00350000035000
 
 
Barra 2 
 
 


























55
55
10*168012600010*840126000
04200000420000
1260000126012600001260
10*84012600010*1680126000
04200000420000
1260000126012600001260
 
 
 






























33
2
33
1
32
2
31
1
23
2
22
2
13
1
11
1
.est
KKKK
KK0
K0K
K 
 
 
0002033.0θ
07089.0v
0003627.0u
0000989.0θ
0
3000
0
0
θ
v
u
θ
10*3368400012600010*84
840004256000
126000036200126000
10*84012600010*168
3
3
3
2
3
3
3
2
55
55














































 
 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 y 
x 
3 
AE/L=35000 
6EI/L2=84000 
12EI/L3=560 
4EI/L=168*105 
AE/L=42000 
6EI/L2=126000 
12EI/L3=1260 
4EI/L=168*105 
 
1 
2 
1 2 3 
u1 
v1 
1 
 
u2 
v2 
2 
 
u3 
v3 
3 
 
3 1 
2 
2 3 
1 3 
 
 
 
CARGAS NO APLICADAS EN LOS NODOS 
 
 
 
 Estado I: perfectamente Estado II: resuelto por Método 
 conocido, por barra E-E de Rigidez 
 
En la superposición cargas nodales provenientes de cargas de tramo se eliminan y sólo 
quedan cargas en tramo (las cargas nodales de problema inicial se consideran directamente 
en Estado II). 
 
Esfuerzos: superposición de los esfuerzos de Estado I y II. 
Desplazamientos: los correspondientes a Estado II (en Estado I desplazamientos 
generalizados nulos). 
Estado I: 
 
 
 
Estado II: 
 Método de Rigidez con cargas en los nodos 
 
Estado I: 
 Nodos no giran ni se desplazan 
(empotramiento perfecto) 
 En extremo de barras se agregan 
fuerzas iguales a reacciones de 
empotramiento 
Estado II: 
 Nodos con desplazamientos y 
giros 
 En nodos se agregan fuerzas 
opuestas a reacciones de 
empotramiento 
Descomposición de causas en: 
 
 
Ejemplo 
 
 50 kg/m 
 Barra 1 Barra2 
 1 I= 600cm4 I=400cm4 
 A=5cm2 A=4cm2 
 200cm 2t 
 2 
 
 300cm 
 
 
 Estado I Estado II 
 
50000
8
PL
1000
2
P
:2Barra
37500
12
qL
750
2
qL
:1Barra
2


 
 
 
Matriz Barra 1 y 2 Idem. anterior y también matriz de rigidez de toda la estructura, sólo cambia 
el vector de cargas. 
 
 
 
 Estado I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
001254.0
02009.0v
03669.0u
003878.0
12500
750
1000
50000
v
u
10*3368400012600010*84
840004256000
126000036200126000
10*84012600010*168
3
3
3
2
3
3
3
2
55
55



















































 
 
 
12500 
50000 
 1000 
50000 
 1000 
1000 
 50000 37500 37500 
750 750 
3 
1 
2 
37500 
37500 
50000 
50000 
M 
750 
750 
1000 
1000 
Q 
1000 
750 750 
+ 
37500 
 
 
Esfuerzos en Estado II 
 
Barra 1 
 
















































































19838
1.94
4.1284
8.8847
1.94
4.1284
001254.0
02009.0
03669.0
0
0
0
10*16884000010*84840000
840005600840005600
00350000035000
10*8484000010*168840000
840005600840005600
00350000035000
u
u
55
55
3
11
K 
Barra 2 
 















































































6838
1.844
4.284
50000
1.844
4.284
001254.0
02009.0
03669.0
003878.0
0
0
10*168012600010*840126000
04200000420000
1260000126012600001260
10*84012600010*168012600004200000420000
1260000126012600001260
55
55
3
22
u
u
K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6838 
284 
1284 1000 
750 
94.1 
844.1 
12500 19838 
6838 
284 
844.1 
844.1 
284 
50000 
8847 
19838 
50000 
6883 
M 
94.1 
284 
Q 
1284
4 750 
844.1 
N 
19838 8847 
1284 94.1 
94.1 1284 
 
 
Superposición Estado I y II 
 
Barra 1 
 
 
E I 
 
+ 
 
EII 
 
 
 
 
 
Barra 2 
 
 
 
 
 + = + = 
 
 
 
 
 EI EII EI EII 
 
Diagramas finales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1284 
37500 
37500 
50000 
M 
50000 50000 
6883 
M 
8847 
19383 
28653 
56883 
71558 
56883 
Q 
1000 
1000 
750 
750 
Q 
94.1 
655.9 
844.1 
284 716 
1284 
28653 56883 
71558 
655.9 
844.1 
716 
1284
4 
844.1 N M Q 
Desplazamientos prefijados 
 
 Asentamiento de apoyos (pérdida de capacidad soporte de suelos, en función de tipo de suelo) 
 Falta de alineación de apoyos en una viga continua (en función de tolerancia de alineación) 
 
Nodos Libres (U) 
Nodos con desplazamientos prefijados () 
Nodos con restricciones de apoyos (U=0) 
 
Reacomodar el sistema de ecuaciones 
 
 
 
1.  U 
2.  R 
 
3.  R 
 
También puede ser: descomponer en dos estados: Estado I con desplazamiento impuesto 
para barra E-E y Estado II con los giros de los apoyos. 
 
 
Planteándolo según la primera metodología: 
 
 
 
 
Así se obtiene el vector desplazamiento  U (nodos libres) 
 
 
 
 
Modifica el término 
de carga 
a 
b 
 
Posteriormente se calculan las reacciones en los nodos con desplazamientos 
prefijados  R 
 
 
Finalmente planteando K12a U2 se obtienen las reacciones en el nodo 1 (R1x, R1y, M1).