METODO_DE_RIGIDEZ-Cargas_No_Nodales

Vista previa del material en texto

CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -1- 
 
Capítulo 11 
 
Cargas no aplicadas en los nudos 
 
11.1- Cargas en el interior de un tramo 
 
Hasta ahora sólo se consideraron casos en que las cargas exteriores están aplicadas sobre 
los nudos; en el caso de tener cargas concentradas actuando sobre las barras como en la Figura 
11.1, se podría definir un nudo en los puntos donde están aplicadas las cargas y aplicar el 
procedimiento visto hasta ahora. 
 
Figura 11.1 
De esta manera se agregarían en este ejemplo seis nuevas incógnitas, tres por cada nuevo 
nudo que se ha introducido. 
Evidentemente este tratamiento del problema no es conveniente a menos que el número 
de cargas en el interior de los tramos sea reducido. Tampoco resulta adecuado en el caso de 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -2- 
 
carga distribuida, la cual para ser aproximada necesitaría ser descompuesta en un conjunto de 
cargas concentradas que sea equivalente. 
Suponiendo, como se lo ha venido haciendo hasta aquí, que el sistema es lineal se puede 
descomponer el estado de cargas de la Figura 11.1 en la suma de dos estados: 
 
Figura 11.2 
El Estado I corresponde a la suposición que los nudos no se desplazan ni giran, 
condición que se denomina corrientemente como “empotramiento perfecto”. Para lograr esta 
situación es necesario agregar en los extremos de cada barra (no sobre los nudos), fuerzas 
iguales a las reacciones de empotramiento perfecto que no forman parte de las verdaderas cargas 
exteriores aplicadas a los nudos. El análisis de los esfuerzos en este Estado I debe realizar en 
forma separada para cada barra. Para la barra 1-2 se tiene: 
 
Figura 11.3 
Las fuerzas aplicadas en los extremos de la barra se denominan "fuerzas de 
empotramiento". 
Para la barra horizontal 2-3 se procede de manera similar: 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -3- 
 
 
Figura 11.4 
Las reacciones de apoyo de una viga biempotrada para los tipos habituales de cargas están 
disponibles en tablas y manuales de cálculo de estructuras, por lo que en general no es necesario 
efectuar el análisis local de cada barra con el método de las fuerzas o con la solución de la 
ecuación diferencial de la elástica del tramo en estudio. En algún caso particular que no figure en 
tablas ni pueda expresarse como combinación de casos que figuren en ellos, habrá que resolver 
por el método de las fuerzas un problema hiperestático de tres incógnitas, o resolver la ecuación 
diferencial de la elástica con las cargas dadas y los nudos fijos. Como ya se ha indicado al 
deducir la matriz de rigidez una barra genérica en coordenadas locales, el efecto axial está 
desacoplado y es un problema de una sola incógnita que puede resolverse en forma 
independiente del problema de flexión para las cargas transversales al eje de la barra. Para la 
solución de la parte flexional se requiere calcular las fuerzas transversales y los momentos en los 
extremos de la barra, que se denominan habitualmente “fuerzas de empotramiento perfecto”. 
Una vez conocidas las fuerzas de empotramiento perfecto, el trazado de los diagramas de 
esfuerzos internos resulta de aplicar las reglas conocidas de la estática. Para la barra horizontal 2-
3 se tiene: 
 
Figura 11.5 
En el Estado II se aplican sobre los nudos cargas iguales y opuestas a las agregadas en 
el estado I, de manera que, al superponer ambos estados, se anulan las cargas nodales que no 
existen en el problema inicial, y de esa manera sólo quedan las fuerzas exteriores aplicadas. De 
esta manera se ha transformado el problema inicial de cargas en el interior de los tramos en otro 
problema de cargas equivalentes en los nudos, pero que requiere la superposición de los 
estados I y II para obtener los esfuerzos finales en cada barra. 
.
8
VF l .
8
VF l
2
VF
2
VF
2
hF
2
hF
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -4- 
 
 
Figura 11.6 
Solución del estado I: 
Es importante reconocer que una vez determinadas por cualquier método (tablas, trabajos 
virtuales, Castigliano, etc.) las "fuerzas de empotramiento", los diagramas se reducen a un 
problema de estática. Cada barra queda "biempotrada" y no transmite al nudo ninguna fuerza, 
por lo que los desplazamientos nodales del estado I son todos nulos. 
Solución del estado II: 
El estado II contiene sólo cargas en los nudos. Éstas deben ser las fuerzas nodales del 
problema original sumadas a las fuerzas equivalentes en los nudos. Las fuerzas equivalentes en 1 
nudo son iguales a la suma, cambiada de signo, de todas las fuerzas de empotramiento de los 
extremos de las barras que concurren a dicho nudo. 
La solución del estado II se determina mediante el procedimiento descrito en el capítulo 
anterior, es decir resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas de equilibrio del conjunto de 
la estructura con sus reales condiciones de vínculo. Una vez calculados los desplazamientos 
nodales de la solución del estado II, se determinan barra por barra las fuerzas en sus extremos, y 
con esos valores se trazan los diagramas de esfuerzos correspondientes a este estado. Las 
reacciones se calcular sumando las fuerzas de extremo de barra de todas las barras que concurren 
al apoyo. 
Solución del problema inicial: 
Se obtiene superponiendo las soluciones de los Estados I y II. 
.
8
P h
.
8
VF l2
VFQ + 2
VF
2 2
hP F
+ 2
hF
. .
8 8
VP h F l
−
2
P
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -5- 
 
a) Los desplazamientos nodales son directamente los correspondientes al estado II, 
porque en el estado I son todos nulos. 
b) Los diagramas finales de esfuerzos internos se obtienen sumando los diagramas del 
estado II (del tipo de las Figura 10.12 ; Figura 10.13 y Figura 10.15) con los diagramas de barras 
biempotradosdel estado I (del tipo de las Figura 11.3 y Figura 11.5 de este capítulo). 
Como ejemplo considérense los diagramas de esfuerzos de la barra horizontal 2-3. 
 
Figura 11.7 
11.2- Efectos térmicos 
 
Las estructuras están sometidas frecuentemente a variaciones de temperatura. Los efectos 
que dichos cambios de temperatura provocan dependen de su magnitud como también del 
material de la estructura, y fundamentalmente del grado de hiperestaticidad. 
Ya se ha visto que las estructuras hiperestáticas pueden sufrir esfuerzos por cambios 
térmicos cuando están impedidas de deformarse libremente. En el caso de la estructura 
hiperestática de la Figura 11.8.a, un aumento uniforme de temperatura t∆ en la barra 2-3 
produce la deformada indicada en línea de trazos, además de tensiones en todas las barras. Por el 
contrario, en la Figura 11.8.b, sólo se produce un alargamiento (no restringido) de las barras 
verticales, por lo que no se producen tensiones. 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -6- 
 
 
Figura 11.8 
La forma de analizar este fenómeno es la ya vista para el caso de cargas en el interior de 
tramos. Se debe primero determinar las "fuerzas de empotramiento" causadas por el cambio de 
temperatura, y aplicar las fuerzas equivalentes en el estado II de una manera similar a la ya vista 
para las cargas en el interior de las barras . 
Un procedimiento para encontrar las fuerzas de empotramiento en coordenadas locales 
consiste en: empotrar el nudo "i" y resolver el problema por el método de las fuerzas. En el 
estado 0, sólo se generan distorsiones térmicas ( ), ,t t etcκ ε , y es necesario resolver las 
ecuaciones de compatibilidad asociadas al empotramiento en el nudo "j". 
11 1 12 2 13 3 10
21 1 22 2 23 3 20
31 1 32 2 33 3 30
. . . 0
. . . 0
. . . 0
X X X
X X X
X X X
δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
+ + + =⎧
⎪ + + + =⎨
⎪ + + + =⎩
 
 
Con los resultados de esas ecuaciones se obtienen las reacciones en el apoyo "i" a través 
de las ecuaciones de equilibrio. 
El estado final será: 
t∆
t∆
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -7- 
 
 
Hay un caso muy frecuente que consiste en una variación térmica uniforme a través de la 
barra, debido a la diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de la viga. 
 
Figura 11.9 
Donde: 
. . .
2
s it tF A Eα ∆ + ∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 ; . . .s it tM E I
h
α ∆ −∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (Ec. 11.1) 
En el caso de la Figura 11.9 , la viga no presenta ninguna deformación transversal a causa 
de que el momento flector es constante, y por lo tanto la curvatura por flexión es igual y opuesta 
a la curvatura térmica, también constante. Por lo tanto, el efecto del gradiente térmico constante 
en toda la barra no produce curvatura en la misma para la condición de nudos fijos o empotrados. 
En la Figura 11.10 se presenta un ejemplo ilustrativo. 
 
Figura 11.10 
Las fuerzas de empotramiento se encuentran, según la (Ec. 11.1) en un sistema local y 
deben pasarse al sistema global para tener las fuerzas equivalentes en el estado II ( ). lP R P= . 
El procedimiento es exactamente igual, de aquí en más, al caso de cargas en el interior de 
los tramos. 
st∆
it∆
st∆
it∆
0
s i
m
t t
t
∆ > ∆
∆ >
1X
2X
3X
( )t∆ +
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -8- 
 
Efectos térmicos en un reticulado: 
En el caso de la Figura 11.11, en que la diagonal que se indica sufre un aumento de 
temperatura t∆ , no hay restricción al alargamiento de la barra. El estado final de deformación es 
el correspondiente al estado II y no hay tensión en ninguna barra en el estado original. 
 
Figura 11.11 
En el estado I sólo se tiene la barra indicada comprimida por una fuerza . . .F t A Eα= ∆ . 
En el estado II la fuerza es totalmente absorbida por la diagonal traccionada por la fuerza 
F. 
 
 
Figura 11.12 
Por el contrario, en el caso de la Figura 11.12, la carga equivalente en los nudos es 
absorbida por todo el marco cerrado indicado en la Figura 11.13 y por lo tanto hay esfuerzos en 
todas las barras de dicho marco. La barra que sufre el t∆ está comprimida en el estado I y 
traccionada en el estado II, luego de la superposición estará, en este caso particular, comprimida. 
 
Figura 11.13 
 
t∆ VF
HF
HF
VF
t∆
VF
HF
HF VF
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -9- 
 
11.3- Desplazamientos prefijados 
 
Aunque las estructuras están básicamente diseñadas para resistir cargas, puede ocurrir que 
ciertos desplazamientos impuestos, aunque pequeños, produzcan esfuerzos importantes. 
Los nudos cuyos desplazamientos son conocidos se los conoce normalmente como 
“apoyos”, y en ellos no se conoce a priori la fuerza (reacción de apoyo). Los nudos restantes 
donde se conoce la fuerza exterior se llaman nudos libres, y en ellos no se conoce a priori el 
desplazamiento. 
Los desplazamientos prefijados se originan por diversas causas. Por ejemplo, en caso de 
bloquearse un mecanismo accionado por una leva, se conoce el desplazamiento máximo 
producido por la misma, y se puede analizar si la deformabilidad del sistema permite ese 
desplazamiento sin fallar. 
En el caso de un eje sobre varios apoyos (viga continua), se puede determinar el máximo 
error de alineación entre apoyos que se puede admitir fijando, de esta manera, las tolerancias de 
fabricación. 
La mayoría de las veces el desplazamiento prefijado no es algo que necesariamente va a 
ocurrir, sino que pretendemos tener una idea de los esfuerzos si un "cierto desplazamiento" 
llegara a ocurrir. 
El procedimiento de superposición desarrollado en este capítulo permite tratar el 
problema de desplazamiento prefijado. Basta desplazar los nudos cuyo desplazamiento se 
"conoce" empotrando todos los restantes nudos de la estructura para obtener el estado I. 
 
Figura 11.14 
Las fuerzas de empotramiento de las barras que tienen alguno de sus nudos con 
desplazamientos prefijados, se obtienen fácilmente, empleando las ecuaciones fuerza-
movimiento de la barra considerada. ((Ec. 10.5); (Ec. 10.16) y (Ec. 10.17)) 
A manera de ejemplo, considerando desacoplado el efecto axial en la barra 2-3, y 
empleando la (Ec. 10.5) resulta el sistema (Ec. 11.2): 
3
Vδ 3
Vδ
2
yP
3
yP
2M
3M
33
.12. . VE Il
δ
32
.6. . VE I
l
δ−
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -10- 
 
1 2 1 2 2 1 3
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 2 3 3 1 3
2 3 2 3 3 2 3
0 .
2 0 .
.
.
2 0 .
y V
V
V y V
V
K K K K P K
K K K K M K
K K K K P K
K K K K M K
δ
δ
δ δ
δ
− ⎡ ⎤=⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − = −
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 11.2) 
En el caso de una barra inclinada, conviene usar la (Ec. 10.5) que corresponde a 
coordenadas locales para facilitar el trazado de los diagramas de esfuerzos del estado I. Las 
fuerzas de extremo se transformarán al sistema global a fin de obtener las fuerzas equivalentes 
del estado II. 
Hay que destacar que una vez obtenidos los desplazamientos del estado II, se obtienen los 
esfuerzos barra por barra en la forma habitual (recordar que en el estado II, 3 0
yU = ), y luego se 
superponen los esfuerzos del estado I (causados por 3 3
y VU δ= ). 
Un procedimiento alternativo para tratar el desplazamiento prefijado en una manera 
"algebraica" sin recurrir al principio de superposición, se logra, generalizando la expresión (Ec. 
10.24). En efecto, el sistema global de ecuaciones de equilibrio se puede particionar en tres, 
reordenando filas y columnas, quedando de la siguiente forma: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.
0
K K K U P
K K K R
K K K R
∆
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∆ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (Ec. 11.3) 
[ ] :∆ Desplazamientos prefijados 
[ ] :R∆ Reacciones de apoyo asociadas a esos desplazamientos 
[ ] :R Reacciones en los puntos con desplazamiento nulo 
Desarrollando la (Ec. 11.3) resultan tres sistemas de ecuaciones de equilibrio: 
11 12 13. . .0K U K K P+ ∆ + = ∴ 11 12. .K U P K= − ∆ (Ec. 11.4) 
21 22 23. . .0K U K K R∆+ ∆ + = ∴ 21 22. .K U K R∆+ ∆ = 
(Ec. 11.5) 
31 32 33. . .0K U K K R+ ∆ + = ∴ 31 32. .K U K R+ ∆ = 
(Ec. 11.6) 
En primer lugar se resuelve el sistema de la (Ec. 11.4) donde se observa que el efecto de 
los desplazamientos prefijados ∆ introduce una modificación del término de cargas. Una vez 
calculados los U , se calculan las reacciones de apoyo efectuando los productos indicados en 
(Ec. 11.5) y (Ec. 11.6). Este procedimiento, que es el más directo, requiere almacenar la matriz 
completa antes de aplicar las condiciones de contorno, además de las técnicas de partición por lo 
que puede requerir un ordenamiento sistemático de la información. 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -11- 
 
La diferencia entre ambas técnicas radica en que la primera determina las fuerzas de 
empotramiento barra por barra según la ecuación fuerza-desplazamiento de cada barra (como en 
la expresión (Ec. 11.2)), y se agregan al vector de cargas, cambiadas de signo, mientras que la 
segunda modifica el vector de cargas utilizando la submatriz 12K . 
A modo de ejemplo se desarrolla el segundo procedimiento el pórtico de la Figura 11.14. 
Por simplicidad no se consideran los apoyos con desplazamiento nulo, es decir que no se tienen 
en cuenta las últimas filas y columnas de la (Ec. 11.3). 
21 2 1 2
23
2 3 3 2
2
3
31 2 1 2
33
2 2 3
0 0
00
0
0 02 .
00 0 0 0
00 0
0
0 0
2
a b a a b
xa a b a b b b
yb
a a b a b b
xb b
Vb b b b
b
b b b
A K B C K
UB D K E K K K
UKC E K K K K
UK K
K K K K
KK K K
φ
δ
φ
⎡ ⎤+ −
⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥−
⎣ ⎦
(Ec. 11.7) 
Intercambiando las filas quinta y sexta lo mismo que las columnas quinta y sexta, se llega 
a la partición (Ec. 11.3). El sistema del tipo (Ec. 11.4) a resolver es el de la (Ec. 11.8) : 
2
1 32
2 311 2
3
2 33
0
.
. .
0
.
x
b Vy
b V
x
b V
U
KU
KK
U
K
δ
δφ
δφ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 (Ec. 11.8) 
Nótese que el vector de carga en la (Ec. 11.8) coincide con las cargas en el estado II de la 
Figura 11.14 que son las fuerzas de empotramiento calculadas en (Ec. 11.2) cambiadas de signo. 
Para calcular la reacción vertical en el apoyo 3 se utiliza la (Ec. 11.5) : 
21 22 23. . .0K U K K R∆+ ∆ + = 
2
2
1 2 2 1 3 32
3
3
0 0 . .
x
y
b b b b V y
x
U
U
K K K K R
U
δφ
φ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -12- 
 
11.4- Defectos de montaje 
 
Errores inevitables durante la fabricación y montaje de los elementos estructurales pueden 
ocasionar esfuerzos internos o deformaciones iniciales. Si la estructura es hiperestática, el 
montaje en tales condiciones requerirá que se introduzcan esfuerzos internos y/o externos para 
compensar los errores o imprecisiones geométricas. 
En un caso como el (b) de la Figura 11.15, donde una barra resultó corta, sólo se altera la 
geometría teórica pero no hay esfuerzos. 
 
Figura 11.15 
 
En el caso (c), aparecerán esfuerzos además de las distorsiones geométricas. Se puede 
descomponer el problema de la barra "larga" en un estado I, en que la misma está comprimida 
con una fuerza tal que la lleve a su longitud teórica, y un estado II en el que se transforman las 
fuerzas de empotramiento del estado I en fuerzas exteriores actuando en los nudos que une dicha 
barra. Estas cargas tendrán el mismo módulo y dirección que las del estado I, pero de sentido 
contrario. 
 
Figura 11.16 
 
 
 
 
 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -13- 
 
Ejercicio Nº 1: 
En la barra de la figura se pide desarrollar los diagramas de ( ),M Q y N sabiendo que: 
a) El nudo 1 está empotrado. 
b) Mediante una fuerza vertical 2
yP y un momento 2M aplicados en el nudo 2 se desplaza 
dicho nudo hasta 2*. 
 
2 0
xP = 2 ??
yP = 2 ??M = 
2 4 6
22 ; 4 ; 2,1 10
KgA cm I cm E
cm
= = = × 
Cálculo de los coeficientes de la matriz de rigidez en coordenadas globales. 
 
( )1/22 2 1 280 6080 60 100 ; 0,8 ; 0,6100 100L γ γ= + = = = = = 
1 2 33 2
. . . .42000 ; 12. 100,8 ; 6. 5040 ; 4. 336000A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = = = = = 
26916 ; 20111 ; 3024 ; 15184 ; 4032A B C D E= = = = = 
 
 
 
 
1γ
2γ
0,2δ =
CAPITULO 11CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -14- 
 
Cálculo del giro del extremo 2: 
 
60arctan 36,87º
80
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 35 36,87( )antihorarioφ = − 
2 0,03264radφ = − 
Cálculo del desplazamiento horizontal 2 *U : 
Si se conoce la fuerza 2 0
xP = entonces se desconoce el desplazamiento 2
xU . 
2
/ / / / / / / / / / / / 0 ?
/ / / / / / / / / / / / 0 ?
/ / / / / / / / / / / / 0 ?
./ / / / / / 26916 20111 3024 0
/ / / / / / / / / / / / 0, 2 ?
/ / / / / / / / / / / / 0,03264 ?
xU
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
[ ] ( )226916 . 0 20111 0,2 3024 0,0326xU⎡ ⎤ = − × − × −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ 
2 0,14577
xU = − 
Cálculo de las fuerzas de extremo (coordenadas globales): 
/ / / / / / 26916 20111 3024 0 0
/ / / / / / 20111 15184 4032 0 237
/ / / / / / 3024 4032 168000 0 673
./ / / / / / 26916 20111 3024 0,1457
/ / / / / / 20111 15184 4032 0,2
/ / / / / / 3024 4032 336000 0,03264
− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0
0
237
12213
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
α
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -15- 
 
Fuerzas de extremos en el sistema local: 
.
0,8 0,6 0 142
.
0,6 0,8 237 189
T
lR P P=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Fuerzas de extremo de barra: 
 
Diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema
Global
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -16- 
 
Ejercicio Nº 2: 
Se pide analizar la estructura del croquis bajo la acción de un efecto térmico en la cara 
superior de las dos barras. 
 
4 6
1 2 2
2 6
1 2
1000 ; 30º ; 2,1 10
160 ; 30 ; 1,1 10
º
s
KgI I cm t C E
cm
A A cm h cm
C
α −
= = ∆ = = ×
= = = = ×
 
 
 
Fuerzas de empotramiento en el estado I: 
 
. . . 20790mF t A Eα= ∆ = 
/ 2. . . 23100stM E I
h
α ∆⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Cargas nodales equivalentes en el estado II: 
 
st∆
st∆
st∆
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -17- 
 
Matriz de rigidez barra 1 - Sistema Global: 
1 2 33 2
. . . .315000 ; 12. 393,75 ; 6. 78750 ; 4. 21000000A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = = = = = 
1
1
2
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / 315000 0 0
/ / / / / / 0 393,75 78750
/ / / / / / 0 78750 21000000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 2 
 
Matriz de rigidez barra 2 - Sistema Global: 
1 2 33 2
. . . .252000 ; 12. 201,6 ; 6. 50400 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = = = = = 
1 20,6 ; 0,8γ γ= = 
90849,02 ; 120863,23 ; 40320,00 ; 161352,57 ; 30240,00A B C D E= = = = = 
2
2
3
90849 120863 40320 / / / / / /
120863 161352 30240 / / / / / /
40320 30240 16800000 / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / /
−⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣ ⎦
 3 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
 
Sistema de ecuaciones de equilibrio una vez impuestas las condiciones de apoyos 
empotrados 1 y 3. 
(*) 
2
2 2
2
405849,02 120863,23 40320 8316
120863,23 161745,98 48510 .
40320 48510 37800000 0
x
y y
U
U R
φ
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
Al imponer la condición de apoyo 2 0
yU = queda un sistema de 2 x 2. 
2
2
405849,02 40320 8316
.
40320 37800000 0
xU
φ
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
2
2
0,0204925498
0,0000218587
xU
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
 
El cálculo de la reacción vertical en el apoyo 2, puede obtenerse empleando la segunda 
ecuación del sistema (*). 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -18- 
 
2 120863.(0,02049) 48510.(0,00002186) 2475,7
yR = − = 
Cálculo de las fuerzas en el extremo de la barra (1) en coordenadas locales. 
/ / / / / / 315000 / / 0 0 6455,2
/ / / / / / 0 / / 78750 0 1,7
/ / / / / / 0 / / 10500000 0 229,5
./ / / / / / 315000 / / 0 0,020492 6455,2
/ / / / / / 0 / / 78750 0 1,7
/ / / / / / 0 / / 21000000 0,00002185 459,0
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
 
Para calcular las fuerzas de extremo de la barra (2) en coordenadas locales se transforman 
los desplazamientos del nudo 2 al sistema local de la barra (2). 
.
0,6 0,8 0,0204925 0,0122955
.
0,8 0,6 0 0,0163904
T
lR U U=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
252000 0 0 / / / / / / 0,0122955 3098,5
0 201,6 50400 / / / / / / 0,0163940 2, 2
0 50400 16800000 / / / / / / 0,000021858 459
.252000 0 0 / / / / / / 0 3098,5
0 201,6 50400 / / / / / / 0 2
0 50400 8400000 / / / / / / 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, 2
642,6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -19- 
 
 
Para verificar el equilibrio del nudo 2 en el sistema global se debe transformar las fuerzas 
de extremo de la barra 2 al sistema global. 
.
0,6 0,8 3098,5 1860,8
.
0,8 0,6 2, 2 2477,5
lR P P=
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Equilibrio del nudo 2: 
 
642,6
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20- 
 
Ejercicio Nº 3: 
Se pide calcular los desplazamientos en el pórtico de la figura y trazar los diagramas de 
M y Q . 
 
Matriz de rigidez de las barras: 
Barra 1: 
1 2 33 2
. . . .35000 ; 12. 560 ; 6. 84000 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = = = = = 
1 3
1
3
35000 0 0 35000 0 0
0 560 84000 0 560 84000
0 84000 16800000 0 84000 8400000
35000 0 0 35000 0 0
0 560 84000 0 560 84000
0 84000 8400000 0 84
−
−
−
−
− − −
−
 
000 16800000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Barra 2: 
1 2 33 2
. . . .42000 ; 12. 1260 ; 6. 126000 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K K
l l l l
= = = = = = = = 
2 3
2
3
1260 0 126000 1260 0 126000
0 42000 0 0 42000 0
126000 0 16800000 126000 0 8400000
1260 0 126000 1260 0 126000
0 42000 0 0 42000 0
126000
− − −
−
−
−
−
−
 
0 8400000 126000 0 16800000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
200
50
P Kg
Kgq
m
=
=
4 2
1 1 1
4 2
2 2 2
:
300 ; 600 ; 5
200 ; 400 ; 4
Barra 1
l cm I cm A cm
Barra 2 :
l cm I cm A cm
= = =
= = =
 
 
 
 
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -21- 
 
 
 
 
 
2
3
3
3
16800000 126000 0 8400000 1667,67
126000 36260 0 126000 50
.0 0 42560 84000 100
8400000 126000 84000 33600000 5833,3
x
y
U
U
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
2
3
3
3
0,0000303655
0,002070815
0,002016577
0,000168743
x
y
U
U
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
 
 
 
 
 
. 7500 .
8
P l Kg cm=
100
2
P Kg= .
8
P l
. 50
2
q l Kg=
2.
24
q l
2. 1666,67 .
12
q l Kg cm=
.
8
P l
. 2q l
2
P
CAPITULO 11 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS 
____________________________________________________________________________________________ 
 
_____________________________________________________________________________________________
PRATO, MASSA -22- 
 
 
Diagramas de M y Q : 
 
 
 
1666,67
1666,67
1666,67