Fundacion elastica

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Vigas en fundación elástica
J. T. Celigüeta
1
Definición
Viga conectada en toda su longitud en algún medio 
material deformable (terreno) que interacciona con ella.
Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio 
material.
La fuerza transmitida es debida a la deformación del 
terreno.
2
Definición
Raíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberías 
enterradas
Primeros estudios:
Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos. 
Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.
Teoría actual
Timoshenko (1915).
3
Comportamiento del terreno
Modelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno 
y la deformación lateral de la viga.
t
p
K
δ
=
Kt: Coeficiente de balasto del terreno
Depende fuertemente de la naturaleza del terreno 
|Kt| : F/L3 Habitualmente kg/cm3
Determinación: experimental, bibliografía
4
Comportamiento del terreno
2
1 2t
d
p K K
dx
δ
δ= +
Otros modelos más sofisticados (casos muy especiales) 
Terreno Kt (kg/cm3)
Arcilla arenosa húmeda 2 - 3
Arcilla arenosa seca 6 - 8
Grava arenosa fina 8 - 10
Grava arenosa seca 15 - 20
Otras fórmulas y valores en la bibliografía 
5
Teoría básica (1)
Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen 
perpendiculares a la fibra neutra
Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvatura
Curvatura = derivada segunda
Momento flector
Equilibrio de momentos
2
2
d v
y
dx
ε =−
2
2
d v
M ydA EI
dx
σ≡− =∫
dM
Q
dx
=−
Se supone comportamiento 
bidireccional de la fundación 
(terreno empuja en ambos sentidos)
6
Teoría básica (2)
Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica
4
4 0t
d v
EI K bv q
dx
+ + =
Sustituyendo Q y M
Equilibrio vertical tdQ K vbdx qdx= +
tK K b=Coeficiente de balasto de la viga:
4
4 0
d v
EI K v q
dx
+ + =
7
Solución general de la ecuación homogénea
4
4 0
d v
EI K v
dx
+ =Sin carga exterior
Soluciones del tipo: axv e=
4 0ax axa EIe Ke+ = ( )
1/4
1/41
K
a
EI
⎛ ⎞⎟⎜= −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1a i β= ± ±
1/4
4
K
EI
β
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1,4
ia x
i
i
v Ae
=
= ∑
“Rigidez relativa” viga - terreno
Sustituyendo
Siendo
4 números 
complejos módulo 1
Solución final
8
Solución general de la ecuación homogénea
1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )
x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +
Deformación según funciones trigonométricas con amplitud variable de 
forma exponencial
Sólo válido para tramos de la viga sin cargas
Sustituyendo exponenciales por trigonométricas
Longitud de onda de la respuesta: β
Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al 
ser derivadas de la deformada
Hallar las constantes de integración en cada caso particular
“Amortiguamiento” de la respuesta: β
9
Viga infinita con carga puntual
Aplicable la solución general
de la homogénea, salvo en x=0
Condiciones de contorno
1 20 0x v C C= ∞ = → = =
( ) 3 40 0 0v x C C′ = = → − + =
3( 0) ( 0) 2 2
P P
Q x EIv x C
K
β′′′= =− = = → =−
1 2
3 4
( cos sin )
( cos sin )
x
x
v e C x C x
e C x C x
β
β
β β
β β−
= + +
+
Simetría:
Equilibrio en x=0
Infinito:
(cos sin )
2
xPv e x x
K
ββ β β−= − +
10
Viga infinita con carga puntual. Deformada
(cos sin )
2
xPv e x x
K
ββ β β−= − +
Deformada oscilante de amplitud decreciente
La viga se levanta en una serie de tramos.
El primer punto está en x=3π/4β.
Solución sólo válida si el terreno es bidireccional.
En todo caso el error cometido si el terreno no es bidireccional es del 
orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería
11
Viga infinita con carga puntual. Resultados
(cos sin )
2
xPv e x x
K
ββ β β−= − +
2
2
(cos sin )
4
xd v PM EI e x x
dx
β β β
β
−= = −
3
3
cos( )
2
xd v PQ EI e x
dx
β β−= − =
1( )2
P
v F x
K
β
β=−
3( )4
P
M F xβ
β
=
4( )2
P
Q F xβ=
12
Funciones típicas
3( ) (cos sin )
xF x e x xββ β β−= −
4( ) cos
xF x e xββ β−=
1( ) (cos sin )
xF x e x xββ β β−= +
2( ) sin
xF x e xββ β−=
Aparecen en todos los casos de vigas infinitas…
13
Viga infinita con carga puntual. Influencia de K
max 2
P
v
K
β
=
max 4
P
M
β
=
3/ 4
1 1 2 2
2 1 2 1
v K K
v K K
β
β
⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1/4
1 2 2
2 1 1
M K
M K
β
β
⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Misma viga, sobre dos terrenos diferentes
K1
K2
K2>K1
K1
K2
El terreno más duro produce menor deformación y menor momento. 
El efecto de la fuerza está más concentrado bajo ella.
14
Ejemplo: viga infinita con dos cargas
2 5 4 31.25 m 226 10 cm 10kg/cmtA I K= = ⋅ =
1/ 4
1
5
1500
0.003 cm
4 200000 226 10
β −
⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅
210 150 1500 kg/cmK = ⋅ =
( )750 cos750 sin750 0.0254
2 2
A B
A A A
P P
v v v e cm
K K
ββ β β β−= + =− − + =−
( )3752 cos 375 sin 375 0.0216
2
A B A
C C C C
P
v v v v e cm
K
ββ β β−= + = =− + =−
20.254 /A Ap Kv kg cm= =
20.216 /C Cp Kv kg cm= =
B Av v=
15
Ejemplo: viga infinita con dos cargas
( )750 6cos750 sin750 1.774 10
4 4
A B
A A A
P P
M M M e cmkgβ β β
β β
−= + = + − = ⋅
( )375 62 2 cos 375 sin 375 0.637 10
4
A B A
C C C C
P
M M M M e cmkgβ β β
β
−= + = = − =− ⋅
16
Distancia mínima para no separación del terreno
La separación de la viga del terreno se produce en x=3π/4β
Para que no haya separación en la zona entre las cargas se 
debe cumplir:
3 4.71
2
4
L L
π
β β
⎛ ⎞⎟⎜< → <⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
17
Viga infinita con momento puntual
Condiciones de contorno
1 20 0x v C C= ∞ = → = =
( ) 30 0 0v x C= = → =
2
0 0
4( 0) ( 0)2
M M
M x EIv x C
K
β′′= = = = → =−
Antisimetría:
Equilibrio en x=0
Infinito:
2
0
1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin ) sin
x x xMv e C x C x e C x C x e x
K
β β βββ β β β β− −
−
= + + + =
18
Viga infinita con momento puntual
2
0 sinx
M
v e x
K
ββ β−
−
=
0 cos
2
xMM e xβ β−=
( )0 cos sin
2
xMQ e x xβ
β
β β−= +
Flecha máxima en π/4
19
Viga infinita con carga uniforme
Tramo de la derecha
1 2acotada 0dx v C C= ∞ = → = =Infinito:
Solución particular: pd
q
v
K
=−
( )cos sinxd
q
v e A x B x
K
β β β−= + −
Tramo de la izquierda: sin carga
1 20 0ix v C C= ∞ = → = =Infinito:
( )cos sinxiv e C x D x
β β β−= +
20
Viga infinita con carga uniforme
Compatibilidad en x=0
0
i d
i d
i d i d
i d i d
v v
v v
v v M M
v v Q Q
=
′ ′= −
′′ ′′= =
′′′ ′′′= − + =
Se obtienen A, B, C, D
21
Viga infinita con carga uniforme
q/2K
q/K
v
q
cos
1
2
x
d
q e x
v
K
β β−⎛ ⎞⎟⎜= − − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
cos
2
x
i
q
v e x
K
β β−= −
22
Viga infinita con carga uniforme
2 sin4
x
d
q
M e xβ β
β
−=
2 sin4
x
i
q
M e xβ β
β
−= −
Sólo produce flector la 
componente antisimétrica
(q/2) de la carga:
23
Viga semi infinita con carga puntual
Aplicable la solución general
de la homogénea, salvo en x=0
Condiciones de contorno
1 20 0x v C C= ∞ = → = =
( ) 40 0 0v x C′′ = = → =
3
2
( 0) ( 0)
P
Q x EIv x P C
K
β′′′= =− = = → =−
1 2
3 4
( cos sin )
( cos sin )
x
x
v e C x C x
e C x C x
β
β
β β
β β−
= + +
+
Momento nulo en x=0
Cortante=P en x=0
Infinito:
2
cosx
P
v e x
K
ββ β−
−
=
24
Viga semi infinita con carga puntual
2
cosx
P
v e x
K
ββ β−
−
=
sinx
P
M e xβ β
β
−=−
( )cos sinxQ Pe x xβ β β−= −
4
2
( )
P
v F x
K
β
β
−
=
2( )
P
M F xβ
β
=−
25
Viga semi infinita con momento puntual
Aplicable la solución general
de la homogénea, salvo en x=0
Condiciones de contorno
1 20 0x v C C= ∞ = → = =
( ) ( ) 00 0M x EIv x M′′= = = =
( 0) ( 0) 0Q x EIv x′′′= = − = =
1 2
3 4
( cos sin )
( cos sin )
x
x
v e C x C x
e C x C x
β
β
β β
β β−
= + +
+
Momento en x=0
Cortante nulo en x=0
Infinito:
( )
2
02 cos sinx
M
v e x x
K
ββ β β−= −
26
Viga semi infinita con momento puntual
( )
2
02 cos sinx
M
v e x x
K
ββ β β−= −
( )0 cos sin
xM M e x xβ β β−= +
02 sin
xQ M e xββ β−=
2
0
3
2
( )
M
v F x
K
β
β=
0 1( )M M F xβ=
27
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Por superposición de casos conocidos: Real=(1)+(2)+(3)
28
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Caso (1) ( )1 12
F
v F x
K
β
β
−
=
1
3( )4B
F
M F aβ
β
= 1 4( )2B
F
Q F aβ=
1
3( )4
F
M F xβ
β
=
Con |x| valen también para 
x<0por ser simétricas
29
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Caso (2)
( ) ( )
2
2 0
3 3 3
2
( ) ( ) ( )
2
M F
v F x a F a F x a
K K
β β
β β β
−
= + = +
1
0 3( )4B
F
M M F aβ
β
=− =−
( ) ( )2 0 1 3 1( ) ( ) ( )4
F
M M F x a F a F x aβ β β
β
= + =− +
30
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Caso (3)
( ) ( )3 4 4 4
2
( ) ( ) ( )
P F
v F x a F a F x a
K K
β β
β β β=− + =− +
1
4( )2B
F
P Q F aβ≡ =
( ) ( )3 2 4 2( ) ( ) ( )2
P F
M F x a F a F x aβ β β
β β
=− + =− +
31
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Deformada: ( ) ( )1 2 3 1 3 3 4 4( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2
F
v v v v F x F a F x a F a F x a
K
β
β β β β β⎡ ⎤= + + =− − + − +⎣ ⎦
( ) ( )[ ]3 3 4 4( 0) 1 ( ) 2 ( )2A
F
v v x F a F a F a F a
K
β
β β β β= = = − − −
-1,5
-1
-0,5
0,5
-500 500 1500 2000 2500
v x (F /2K)
Deformada
a= 500
= 0,0020
1000
32
Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
Momento: ( ) ( )1 2 3 3 3 1 4 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )4
F
M M M M F x F a F x a F a F x aβ β β β β
β
⎡ ⎤= + + = − + − +⎣ ⎦
( ) ( )[ ]3 1 4 2( 0) 1 ( ) 2 ( )4A
F
M M x F a F a F a F aβ β β β
β
= = = − −
33
Vigas de longitud finita.
Deformada en un tramo sin cargas aplicadas
1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )
x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +
Sustituyendo las exponenciales por trigonométricas e hiperbólicas
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhv A x x B x x C x x D x xβ β β β β β β β= + + +
2 2sin cos ' sinh ' cosh 's L c L s L c L H s sβ β β β= = = = = −
Las constantes A, B, C, D se determinan empleando las condiciones de 
contorno en los 2 extremos, ayudándose para ello de:
2
2
d v
M EI
dx
=
3
3
d v
Q EI
dx
=−
Constantes útiles:
34
Viga con carga en el extremo. Deformada
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhv A x x B x x C x x D x xβ β β β β β β β= + + +
Interesa hallar A, B, C, D en función de las fuerzas en los extremos
2
2
0 2
0
2 0x
x
d v
M EI EI D
dx
β=
=
⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
2
2
2 2 ( ' ' ' ') 0x L
x L
d v
M EI EI Ass Bsc Ccs Dcc
dx
β=
=
⎛ ⎞⎟⎜= =− + − − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
3
3
0 3
0
2 ( )x
x
d v
Q EI EI C B P
dx
β=
=
⎛ ⎞⎟⎜= − =− − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
3
3
3 2 ( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' ')) 0x L
x L
d v
Q EI EI A sc cs B ss cc C ss cc D sc cs
dx
β=
=
⎛ ⎞⎟⎜= − = + + + + − + − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Resolviendo
Hallar la deformada 
en función de P
35
Viga con carga en el extremo. Deformada
3
' '
2
sc s c
A P
EI Hβ
−
=
2
3
'
2
s
B P
EI Hβ
=
2
32
s
C P
EI Hβ
= 0D =
( )2 23 ( ' ')cos cosh ' cos sinh sin cosh2
P
v sc s c x x s x x s x x
EI H
β β β β β β
β
= − + +
βL=1 Deformada casi recta. Viga rígida
βL=4 Deformada curva. Viga flexible
Sustituyendo en la expresión de v
Para un mismo β
36
Viga con carga en el extremo. Flector
Conociendo la deformada, el flector es:
( )2 2( ' ' )sin sinh ' sin cosh cos sinhPM s c sc x x s x x s x x
H
β β β β β β
β
= − − +
2
2
d v
M EI
dx
=
37
Vigas de longitud finita. Grados de libertad
Tramo sin cargas aplicadas 1 2 3 4( cos sin ) ( cos sin )x xv e C x C x e C x C xβ ββ β β β−= + + +
Sustituyendo exponenciales por trigonométricas
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhv A x x B x x C x x D x xβ β β β β β β β= + + +
Particularizando para los 4 grados de libertad:
0I xv Aδ == = ' ' ' 'J x Lv Acc Bcs Csc Dssδ == = + + +
0
( )I
x
dv
B C
dx
θ β
=
⎛ ⎞⎟⎜= = +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' '))J
x L
dv
A cs sc B cc ss C ss cc D sc cs
dx
θ β
=
⎛ ⎞⎟⎜= = − + − + + + +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
sin
cos
' sinh
' cosh
s L
c L
s L
c L
β
β
β
β
=
=
=
=
4 ecuaciones con 4 incógnitas: A, B, C, D
38
Vigas de longitud finita. Deformada
Resolviendo: A, B, C, D en función de los grados de libertad
IA δ=
( )21 ' ( ' ') ( ' ')I J I JB s ss sc s c sc csHβ θ θ β δ β δ= − − − + + +
( )21 ' ' ( ' ') ( ' ')I J I JC s ss sc s c sc csH θ θ β δ β δβ= + + + − +
( )2 21 ( ' ') ( ' ') ( ' ) 2 'I J I JD sc s c cs sc s s ssH θ θ β δ β δβ= − + − − + +
2 2'H s s= −
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinhv A x x B x x C x x D x xβ β β β β β β β= + + +
Estas son las 4 constantes en la expresión de la deformada de la viga:
Sustituyendo A, B, C, D se obtiene v en función de los 4 grados de libertad 
(expresión complicada)
39
Vigas de longitud finita. Rigidez
Esfuerzos en los extremos, en función de los grados de libertad
3
3
0
.....I
x
d v
P EI
dx =
⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
2
2 .....J
x L
d v
M EI
dx =
⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
3
3 .....J
x L
d v
P EI
dx =
⎛ ⎞⎟⎜= − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )
2
2 2
2
0
2
( ' ') ( ' ') ( ' ) 2 'I I J I J
x
d v EI
M EI sc s c cs sc s s ss
dx H
β
θ θ β δ β δ
=
⎛ ⎞ −⎟⎜= − = − + − − + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Resto igual (laborioso)
Se obtienen las 4 filas de la matriz de rigidez
40
Viga de longitud finita. Matriz de rigidez
3 2 3 2
2
3 2
4( ' ' ) 2( ' ' ) 4( ' ' ) 4 '
2( ' ' ) 4 ' 2( ' ')
' '
4( ' ' ) 2( ' ' )
2( ' ' )
I
I
J
J
P c s cs s s ss cs c s s s
M c s cs ss c s cs
EI
s s ss
P c s cs s s ss
M Simétrica c s cs
β β β β
β β β
β β
β
⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ + + − +⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢=⎨ ⎬ ⎢⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎢ + − +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣
IY
I
JY
J
δ
θ
δ
θ
⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎦ ⎩ ⎭
sin
cos
' sinh
' cosh
s L
c L
s L
c L
β
β
β
β
=
=
=
=
41
Viga de longitud finita. Rigidez
13 133
14 142
24 24
EI
k a
L
EI
k a
L
EI
k a
L
=
=
=
βL = 0 Mismos coeficientes que la viga convencional 
βL < 1 Viga sin fundación elástica. Coeficientes similares a la viga convencional 
βL > 8 Términos de rigidez cruzada son despreciables. Viga infinita
1 < βL < 8 Viga de longitud finita
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a13
a14
a22
a24
 L
42
Ejemplo: viga libre con carga en el centro
3 2 3
2
3
4( ' ' ) 2( ' ' ) 4( ' ' ) 0
2( ' ' ) 4 ' 0
' '
4( ' ' ) 2
A
A
O
c s cs s s ss cs c s
EI
c s cs ss
s s ss
P
simétrica c s cs
β β β δ
β β θ
β δ
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ + − +⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
43
Ejemplo: viga libre con carga en el centro
-0,5
0
0,5
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 L
A 0
Rígida InfinitaFlexible
A
0 A=0
44
Ejemplo: viga empotrada con carga uniforme
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinh
q
v A x x B x x C x x D x x
K
β β β β β β β β= + + + −
Solución general + solución particular
Deformaciones en los extremos: todas nulas
0
0
( ) 0I
x
dv
B C
dx
θ β
=
⎛ ⎞⎟⎜= = + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 ( ( ' ') ( ' ') ( ' ') ( ' ')) 0J
x L
dv
A cs sc B cc ss C ss cc D sc cs
dx
θ β
=
⎛ ⎞⎟⎜= = − + − + + + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0
0 0I x
q
v A
K
δ == = − =
0 ' ' ' ' 0J x L
q
v Acc Bcs Csc Dss
K
δ == = + + + − =
Resolviendo se obtienen A, B, C, D en función de la carga q
45
Viga empotrada con carga uniforme
q
A
K
= '
'
c c q
B
s s K
−
=
+
'
'
c c q
C
s s K
−
=
+
'
'
s s q
D
s s K
−
=
+
cos cosh cos sinh sin cosh sin sinh
q
v A x x B x x C x x D x x
K
β β β β β β β β= + + + −
4
( , )
384
qL
v F L x
EI
β β=
46
Viga empotrada con carga uniforme
El momentos flector es:
2 2 2 22 sin( )sinh( ) 2 sin( )cosh( ) 2 cos( ) 2 cos( )cosh( )M A x x B x x C x D x xβ β β β β β β β β β β= − − + +
2
2
d v
M EI
dx
=
2
2
6 '
sin( )sinh( ) sin( )cosh( )
12 ( ) '
' '
cos( )sinh( ) cos( )cosh( )
' '
qL c c
M x x x x
L s s
c c s s
x x x x
s s s s
β β β β
β
β β β β
⎡ −
= − −⎢
⎢ +⎣
⎤− −
+ + ⎥
⎥+ + ⎦
Sustituyendo las constantes se obtiene:
( )
2
,
12
qL
M F L xβ β=
47
Viga empotrada con carga uniforme
Diagrama de flectores
-1
-0,5
0
0,5
M x (qL2/12)
L: 1
L: 4
L: 6
( )
2
,
12
qL
M F L xβ β=
La función F cuantifica la importancia de la fundación elástica.
Si βL<=1 La función F es casi una parábola, vale 1 en x=0 y x=L/2. Viga convencional
Si βL>=6 Momento cero en el centro. Los extremos están desconectados: viga infinita
48
Viga empotrada con carga uniforme
Los momentos y cortantes en los dos extremos son:
2
0
2 2
0'
2 'I x
d v q s s
M EI
dx s sβ=
⎛ ⎞ −⎟⎜= − =⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠
3
0
3
0
'
'I x
d v q c c
P EI
dx s sβ=
⎛ ⎞ −⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠
0 0
2
'
2 'J I
q s s
M M
s sβ
−
=− =−
+
0 0 '
'J I
q c c
P P
s sβ
−
= =
+
Son las fuerzas de fase 0 para la 
carga uniforme sobre una viga en 
fundación elástica.
49
Ejemplo
2 6 4250000 kg/cm 4.267 10 cmE I= = ⋅
3 210 kg/cm 10 100 1000kg/cmTK K= = ⋅ =
1/ 4
1
6
1000
0.0039 cm
4 250000 4.26 10
β −
⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅
5 m 5 m
321
321
A B
5 1.95Lβ β= =
Comportamiento como viga flexible.
Modelo por rigidez con dos elementos viga 
y 6 grados de libertad
50
Ejemplo. Rigidez
8
0.003 0.377 0.000 0.188
0.377 96.17 0.188 34.77
10
0.000 0.188 0.003 0.377
0.188 34.77 0.377 96.17
A B
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
K K
8
0.003 0.377 0.000 0.188 0. 0.
0.377 96.17 0.188 34.77 0. 0.
0.000 0.188 0.006 0. 0.000 0.188
10
0.188 34.77 0. 192.34 0.188 34.77
0. 0. 0.000 0.188 0.003 0.377
0. 0. 0.188 34.77 0.377 96.17
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥−
⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
K
{ }1 1 2 2 3 3
T
θ θ θ= Δ Δ ΔΔ
0.929
0.370
' 3.443
' 3.585
s
c
s
c
=
= −
=
=
51
Ejemplo. Fuerzas de fase 0
20 kg/cm
0M1
0
P2
0M2P1
0
A
0
1
0
2
'
4640 kg
'
4640 kg
A
A
q c c
P
s s
P
β
−
= =
+
=
0
1 2
0
2
'
377630 cm kg
2 '
377630 cm kg
A
A
q s s
M
s s
M
β
−
= = ⋅
+
=− ⋅
20 kg/cm
0M2
0
P3
0M3P2
0
B
Mismos valores para la barra B
Viga en fundación elástica, biempotrada, con carga uniforme
52
Ejemplo. Fuerzas
20 kg/cm
0
M1=377630
A
M2=-377630
0
P1=4640
0 0
P2=4640
20 kg/cm
0M2
0
P3
0M3P2
0
B
1
1
2
2
3
3
4640 6000 10640
377630 200000 1
4640 4640 10000
( 377630) 377630 0
4640 8000
( 377630) 400000
F
M
F
M
F
M
⎧ ⎫− −⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F
77630
19270
0
12640
22370
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Puntuales
4 mTn2 mTn
6 Tn
10 Tn
8 Tn
1 2 3
53
Ejemplo. Deformaciones
1
1
21
2
3
3
0.0694
0.0002
0.0315
0.0000
0.0909
0.0003
θ
θ
θ
−
⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
K FΔ Δ
2
1 1
2
2 2
2
3 3
0.694 kg/cm
0.315 kg/cm
0.909 kg/cm
t
t
t
p K
p K
p K
= Δ =
= Δ =
= Δ =
Presión en el terreno en los nudos
54
Ejemplo. Esfuerzos en las barras
1
1
2
2
4640 60000.0694
377630 2000000.0002
4640 44400.0315
0.0000377630 153610
A
A
A
A
A
P
M
P
M
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧− ⎫⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎭
K
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
2
2
3
3
4640 55600.0315
0.0000377630 153610
0.09094640 8000
0.0003377630 400000
B
B
B
B
B
P
M
P
M
⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ − ⎫⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎭
K
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
20 kg/cm
0
M1=377630
A
M2=-377630
0
P1=4640
0 0P2=4640
20 kg/cm
200000
A
6000
4440
153610
20 kg/cm
400000
B
8000
5560
153610
20 kg/cm
0M2
0
P3
0M3P2
0
B
55
Ejemplo. Resumen de resultados
6000 4440 20 500 20440kg+ + ⋅ =
Fuerza total soportada por el terreno
8000 5560 20 500 23560kg+ + ⋅ =
	Vigas en fundación elástica
	Definición
	Definición
	Comportamiento del terreno
	Comportamiento del terreno
	Teoría básica (1)
	Teoría básica (2)
	Solución general de la ecuación homogénea
	Solución general de la ecuación homogénea
	Viga infinita con carga puntual
	Viga infinita con carga puntual. Deformada
	Viga infinita con carga puntual. Resultados
	Funciones típicas
	Viga infinita con carga puntual. Influencia de K
	Ejemplo: viga infinita con dos cargas
	Ejemplo: viga infinita con dos cargas
	Distancia mínima para no separación del terreno
	Viga infinita con momento puntual
	Viga infinita con momento puntual
	Viga infinita con carga uniforme
	Viga infinita con carga uniforme
	Viga infinita con carga uniforme
	Viga infinita con carga uniforme
	Viga semi infinita con carga puntual
	Viga semi infinita con carga puntual
	Viga semi infinita con momento puntual
	Viga semi infinita con momento puntual
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Fuerza no en el extremo de viga semi infinita
	Vigas de longitud finita.
	Viga con carga en el extremo. Deformada
	Viga con carga en el extremo. Deformada
	Viga con carga en el extremo. Flector
	Vigas de longitud finita. Grados de libertad
	Vigas de longitud finita. Deformada
	Vigas de longitud finita. Rigidez
	Viga de longitud finita. Matriz de rigidez
	Viga de longitud finita. Rigidez
	Ejemplo: viga libre con carga en el centro
	Ejemplo: viga libre con carga en el centro
	Ejemplo: viga empotrada con carga uniforme
	Viga empotrada con carga uniforme
	Viga empotrada con carga uniforme
	Viga empotrada con carga uniforme
	Viga empotrada con carga uniforme
	Ejemplo
	Ejemplo. Rigidez
	Ejemplo. Fuerzas de fase 0
	Ejemplo. Fuerzas
	Ejemplo. Deformaciones
	Ejemplo. Esfuerzos en las barras
	Ejemplo. Resumen de resultados