CLASE 10 RAICES Y LOGARITMOS_6 PROPIEDADES LOGARITMOS

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CORPORACIÓN EDUCACIONAL SANTA VICTORIA 
 MATEMÁTICA 
 II MEDIO 
 PROFESORA: ÁNGELES ALVIÑA 
 PROF. DIF.: CELINA MONTERO 
 
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CLASE 10 RAICES ENESIMAS Y LOGARITMOS 
“Propiedades de los logaritmos” 
 
Nombre del alumno(a): 
 
I. DEFINICIÓN DE LOGARITMOS Y RESTRICCIONES 
Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir el 
número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado. 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒄 ↔ 𝒃
𝒄 = 𝒂 
 
En la expresión anterior, b es la base del logaritmo, a es el argumento o antilogaritmo yc 
es el logaritmo en base b de a 
 
Además si c es un número natural se entiende que: 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒄 ↔ 𝒃
𝒄 = 𝒂 ↔ √𝒂
𝒄 = 𝒃 
 
 
Ejemplos: 
 
1. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏 = 𝒙 
Por definición: 
log3 81 = 𝑥 → 3
𝑥 = 81 
𝑥 = 4 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 34 = 81 
 
2. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟖
= 𝒙 
Por definición: 
log2
1
8
= 𝑥 → 2𝑥 =
1
8
 
Por propiedades de las potencias recordemos que con exponente negativo se 
aplicaba el inverso del número. Por lo tanto debe ser un número negativo, y 2 ∙ 2 ∙
2 = 8. Entonces: 
𝑥 = −3 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2−3 =
1
8
 
3. Determina x, si 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟓 𝟐 = 𝒙 
Por definición: 
log0,5 2 = 𝑥 → 0,5
𝑥 = 2 → (
1
2
)
𝑥
= 2 
Por propiedades de las potencias recordemos que con exponente negativo se 
aplicaba el inverso del número. Por lo tanto debe ser un número negativo. 
Entonces: 
𝑥 = −1 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 (
1
2
)
−1
= 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 
Se llama logaritmo común a aquel cuya base es 10. Por conversión se expresa de la 
siguiente manera: 
𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎
𝒂 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 
 
Se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural aquel 
cuya base es e. Por conversión se expresa de la siguiente 
manera: 
𝐥𝐨𝐠
𝒆
𝒂 = 𝐥𝐧 𝒂 
 
 
 
 
A continuación, se analizarán algunas propiedades de los logaritmos y sus operatorias: 
 
1. Logaritmo de la unidad. 
En general, para todo número real positivo b ≠ 0, se tiene que 𝑏0 = 1, luego: 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝟏 = 𝟎 ↔ 𝒃
𝟎 = 𝟏 
Observa: 
70 = 1 200 = 1 120 = 1 
 
Luego por definición: 
 
70 = 1 ↔ log7 1 = 0 20
0 = 1 ↔ log20 1 = 0 12
0 = 1 ↔ log12 1 = 0 
 
Es decir, el logaritmo de 1, en cualquier base es igual a 0. 
 
 
2. Logaritmo de la base. 
En general, para todo número real positivo b ≠ 0, se tiene que 𝑏1 = 𝑏, luego: 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃 = 𝟏 ↔ 𝒃
𝟏 = 𝒃 
Observa: 
51 = 5 81 = 8 191 = 19 
 
Luego por definición: 
 
51 = 5 ↔ log5 5 = 1 8
1 = 8 ↔ log8 8 = 1 19
1 = 19 ↔ log19 19 = 1 
 
Es decir, el logaritmo de la base es igual a 1. 
 
 
3. Logaritmo de una potencia 
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la 
potencia y el logaritmo del número. Se tiene entonces que: 
𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒂𝒙 = 𝒙 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒂 
 
Ejemplo 1: 𝐥𝐨𝐠
𝟓
𝟏𝟐𝟓𝟑 = 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠
𝟓
𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟗 
 
𝐥𝐨𝐠
𝟓
𝟏𝟐𝟓 = 𝒙 → 𝟓𝒙 = 𝟏𝟐𝟓 → 𝒙 = 𝟑 
 
 
 
El número e es un número 
irracional, y aunque los 
logaritmos creados por 
Napier tienen como base un 
número cercano a 1/e, se 
conoce a los logaritmos con 
base e como neperianos en 
su honor. 
𝑒 = 2,71828182 … 
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𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝐥𝐨𝐠
𝟒
𝟔𝟒𝟓 = 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠
𝟒
𝟔𝟒 = 𝟓 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟓 
 
𝐥𝐨𝐠
𝟒
𝟔𝟒 = 𝒙 → 𝟒𝒙 = 𝟔𝟒 → 𝒙 = 𝟑 
 
4. Logaritmo de una raíz 
Se tiene que √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 , por lo tanto, se aplica la propiedad anterior: 
𝐥𝐨𝐠
𝒃
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒂
𝒎
𝒏 =
𝒎
𝒏
𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒂 
 
Ejemplo 1: 
𝐥𝐨𝐠
𝟒
√𝟔𝟒𝟑
𝟐
= 𝐥𝐨𝐠
𝟒
𝟔𝟒
𝟑
𝟐 =
𝟑
𝟐
𝐥𝐨𝐠
𝟒
𝟔𝟒 = 
𝟑
𝟐
·
𝟑
𝟏
=
𝟗
𝟐
 
 
 
Ejemplo 2: 
𝐥𝐨𝐠
𝟐
√𝟏𝟔𝟒
𝟑
= 𝐥𝐨𝐠
𝟐
𝟏𝟔
𝟒
𝟑 =
𝟒
𝟑
𝐥𝐨𝐠
𝟐
𝟏𝟔 =
𝟒
𝟑
∙
𝟒
𝟏
=
𝟏𝟔
𝟑
 
 
 
5. Logaritmo de un producto 
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: 
𝐥𝐨𝐠
𝒃
(𝒑𝒒) = 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒑 + 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒒 
 
Ejemplo 1: 
𝐥𝐨𝐠
𝟑
(𝟗 · 𝟐𝟕) = 𝐥𝐨𝐠
𝟑
𝟗 + 𝐥𝐨𝐠
𝟑
𝟐𝟕 = 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 
 
Ejemplo 2: 
𝐥𝐨𝐠
𝟔
(𝟑𝟔 · 𝟔) = 𝐥𝐨𝐠
𝟔
𝟑𝟔 + 𝐥𝐨𝐠
𝟔
𝟔 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 
 
 
6. Logaritmo de un cociente 
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo 
(numerador) y el logaritmo del divisor (denominador): 
𝐥𝐨𝐠
𝒃
(
𝒑
𝒒
) = 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒑 − 𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒒 
Ejemplo 1: 
𝐥𝐨𝐠
𝟑
(
𝟖𝟏
𝟐𝟕
) = 𝐥𝐨𝐠
𝟑
𝟖𝟏 − 𝐥𝐨𝐠
𝟑
𝟐𝟕 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏 
 
Ejemplo 2: 
𝐥𝐨𝐠
𝟐
(
𝟒
𝟖
) = 𝐥𝐨𝐠
𝟐
𝟒 − 𝐥𝐨𝐠
𝟐
𝟖 = 𝟐 − 𝟑 = −𝟏 
 
 
 
7. Cambio de base 
Las calculadores solo permiten calcular logaritmos de base 10 o e. Para calcular 
logaritmos de otra base, se utiliza la siguiente propiedad: 
𝐥𝐨𝐠
𝑷
𝒂 =
𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒂
𝐥𝐨𝐠
𝒃
𝒑
 
Entonces, basta tomar b=10 o b=e para determinar el valor pedido utilizando la 
calculadora. 
 
Ejemplo 1: 
𝐥𝐨𝐠
𝟑
𝟓 =
𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎
𝟓
𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎
𝟑
 
 
 
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III. EJEMPLOS Y APLICACIÓN CLASE 
Página 55 texto del estudiante 
 
 
 
 
V 
 
F 
 
V 
V 
 
F 
V 
 
V 
 
F 
En el resultado debe + 
Tiene que multiplicarse para 
aplicar propiedad. 
Tienen que multiplicarse para 
aplicar propiedad. 
V 
 
F 
En el resultado debería 
estar restando y está :