-CÁLCULO PLÁSTICO-

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CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS 
 
Ciertos rangos de carga Teoría de Elasticidad 
 
Cargas cercanas al colapso Campo de la plasticidad o de la Elasto-plasticidad 
 
Para conocer verdadero Coeficiente de Seguridad de la estructura 
 
 
Evaluar Carga Límite o Carga de Rotura y esfuerzos en ese instante 
(Métodos de Análisis Plástico) 
 
 
 
 
 En campo plástico no es válido 
 el principio de superposición 
 
 Material Elasto-Plástico Ideal 
420 
210 
Acero Dureza Natural (ADN) 
Acero Dulce 
Perfectamente Elástico 
Perfectamente Plástico 
Tensión y deformación 
de fluencia 
Deformación específica 
de rotura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga creciente 
 
 
Hasta llegar a A material lineal elástico en 
toda la viga, en apoyo intermedio  mayor M 
 1era Rótula plástico 
 
Aumento de carga hasta B  2das Rótulas 
plásticas y Colapso (mecanismo inestable) 
1era Rótula plástica 
1era Rótula plástica 
2das Rótula plástica 
2das Rótula plástica Mecanismo de 
colapso 
M1< M2< M3< M4< M5…. 
<f 
<f 
=f y =f 
Fibra extrema 
>f y =f 
En sector y3 
 Aumenta zona 
plastificada 
Sección 
totalmente 
plastificada 
Para M mayor no se puede equilibrar con tensiones internas M=Mp Rótula Plástica y 
 M>Mp Colapso 
Hipótesis: 
Secciones planas permanecen 
planas aun en campo plástico 
Momento Plástico Resistente 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 Wp: Módulo Plástico Resistente 
 
 y (Elasticidad) 
 
Factor de Forma 
 
 
Para sección rectangular: 
 Límite Elástico 
 
 
 Sección plastificada 
 
 
Factor de forma: Para sección rectangular 
 
 
 
 Material Homogéneo 
 
 
 
 
 
 
f 
b 
2/3h 
f 
N=f *b*h/4 
 
 
2
f
2/h
0
2
f
2/h
0
f
2/h
0
y
yf
2
h
h
b*
2
y
2/h
b*
dy*b
2/h
y*
dAN
y2/h
















 






 
 



 
6
h*b
*h
3
2
*
4
h*b
*.Melast
2
fflímite 











 
 h/2 
Z=f *b*h/2 
 
4
h*b
*
2
h
*
2
h*b
*Mplast
2
ff 











 
5.1
6
h*b
*
4
h*b
*
M
M
k
2
f
2
f
e
p



 
 
 
 
 
Baja curvatura 
 
Plastificación de sección por Flexión 
 
 
MÉTODOS DE CÁLCULO 
 
 
 Método Estático Método Dinámico 
 (Relaciones de equilibrio) (Trabajos virtuales) 
 
 
 
8
L*q
Mp
0
2/L
2
*Mp
2
*L
qW
2
p
p








 

 
 
Límite elástico 
 
Sección  k Wp en función de Wf  
 
Entonces  Mp= Wp*σf 
 
Mp=qp L
2/8 
p 
PP Mp=Pp*L/4 
 
Tramo ABC zona plastificada con 
 Mf < M < Mp 
Sección B totalmente plastificada 
Rótula plástica mecanismo inestable 
qp 
p 
Mp 
qp 
p 
2 
Mp 
 r 
SISTEMA HIPERESTÁTICO DE TRES BARRAS ARTICULADAS 
 
Plastificación por Normal 
 
 
 
 
 
 
 
Aumentando P Pf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 GH: 1 ecuación de compatibilidad de deformaciones (GL=9, VI=4) 
 VI=2(n-1) 
 
 
 
 
 
 y 
Barra central en fluencia (=f , no r) con tensión cte =f, 
se elimina un vínculo y sistema pasa a isostático. 
 
Aumentando P, 1 = f y P PP 
sistema inestable Colapso 
 
 
SISTEMAS HIPERESTATICOS 
 
Plastificación por Flexión 
 
Método Estático 
 
 
En este método seguimos el proceso de cómo se produce el colapso siguiendo la formación 
de las articulaciones plásticas. 
 
Método Dinámico 
 Tiene en cuenta el diagrama de rotura directamente: 
 
 
 
 
Aumentado p p1 y Rótula plástica en apoyos 
 
Con 
p2=p1+p 
p 
2
P
P
2
P
1P
1
2
1
22
1
l
M16
p
l
M12
3
4
p
3
4
py
3
p
pΔ
12
l*p
8
l*pΔ
24
l*p
Mp



 
33.1
p
p
ky
1
p
 hay un 33 % de reserva 
 
 desde la plastificación de los apoyos. 
 
 
p*l2/8 (simplemente 
 apoyada) 
p 
 
Este comportamiento es para un material como acero donde a tracción y compresión la 
respuesta es la misma e igual resistencia en toda la viga. 
Hormigón tiene resistencia a tracción casi nula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga biempotrada o viga continua 
 
1ero Rótulas en Apoyos por > M, entonces reglamento permite bajar momento en apoyos 
hasta un 15 % que se aumenta en el tramo, la plastificación se produce con menor 
momento y se aprovecha mejor la armadura del tramo. 
 
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO PLASTICO 
 
 
 
Límite inferior Límite superior 
 (Estático-Equilibrio) (Dinámico-Mecanismo Rotura) 
 
Teorema del límite superior 
“Una carga Pc calculada en base a mecanismo de rotura supuesto será mayor o al menos 
igual a la verdadera carga límite PP” 
 
Teorema del límite inferior 
“Una carga Pc calculada en base a un diagrama de solicitaciones internas en equilibrio tal 
que cumpla M<MP será menor o al menos igual a la verdadera carga límite PP” 
 
Aplicación a: 
 
 
1 GH 2 rótulas plásticas para mecanismo de colapso 
 
 
 
 
 1 
M 
p 
 
  
Al aumentar M 
M 
p 
 
L 
 2 
2 
1 
3 4 
 3 
L 
 
 
 
 
Método Estático: 
 
 Estudiar el diagrama de solicitaciones en equilibrio y ubicar la mayor contidad de rótulas 
plásticas sin violar M<MP. 
1)  
 
 
2) 
 
3) 
 
 
Método Dinámico: 
 
a) Determinar posibles puntos de rótulas plásticas. 
b) Seleccionar posibles mecanismos. 
c) Calcular carga de equilibrio por Teorema de Trabajos Virtuales. 
d) Mínima carga es carga de rotura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
METODO PASO A PASO 
 
 Método sistemático que tiene en cuenta los cambios estructurales que ocurren con 
aumento progresivo del sistema de cargas aplicado. 
 Permite determinar relación carga-deformaciones a lo largo de historia de incremento 
de carga y hallar carga real de colapso. 
 En la actualidad diseño sísmico se basa en empleo de este método. 
 
Se aumenta el valor de las cargas progresivamente y se determinan las rótulas plásticas 
que provocan el mecanismo de colapso. 
 
Mediante el uso de software en cada paso información sobre desplazamientos, 
 esfuerzos y diagramas asociados. 
 
Ejemplo Método Paso a Paso 
 
 
 
pyp
f
p
WM
W
W
k  con k=1 Mp= 1267.5 kNm 
 
ç 
M2=0.58P=0.58*(Mp/1.02)=0.57 Mp y M3=0.41P=0.41*(Mp/1.02)=0.40 Mp 
 
Nodo 2 tiene 1-0.57=0.43 de su capacidad (0.43 Mp) 
Nodo 3 tiene 1-0.40=0.60 de su capacidad (0.60 Mp) 
 
Articulación en 1 con Mp 
 
 
 
M3=0.92P`=0.92*(0.368*Mp)=0.34* Mp 
Nodo 3 tiene 0.60-0.34=0.26 de su capacidad (0.26 Mp ) 
Carga que produce 2ºrótula 
 
Desplazamiento asociado 
W530x138 
I= 861.60*106 mm4 (Wf= 3.621*10
3 mm3) 
 
y=350MPa ; E=200GPa 
1º rotula en M1=1.02 P 
mm7
EIL3
bPa
kN7.1242
02.1
M
P
3
33
p


 
Carga que produce 1ºrótula 
 
Desplazamiento asociado 
2º rotula en M2=1.17 P`= 0.43 Mp 
P` = 0.368Mp = 465.8 kN 
mm6.7)L3a(
EIL12
bàP
`
3
32


 
 
Articulación en 2 con Mp 
 
 
 
 
Carga última: Pu= P+P´+P´´= 1774.4kN 
 
Desplazamiento: u= +´+´´= 30.5mm 
 
 
 
Con PPLAN 
1º Etapa 
 
 
 
 
Carga que produce 3ºrótula 
3º rótula en M3=0.26 Mp= 5 P´´ 
P´´ = 0.052Mp = 65.9 kN 
Desplazamiento asociado 
mm9.15
EI3
b´´P
``
3


 
Mp=0.71 Pu 
Pu=1.4 Mp 
 
Con P=1 
Con P=124.27 
 
2º Etapa: P 
1º Rótula en nodo 1 con Mp= 126.8 kgm Mp=126.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Etapa: 
2º Rótula en nodo 2 con Mp= 126.8 kgm 
 
 Mp Mp Mp 
 
 MpCarga última : Pu= 177.4 kg 
 
Desplazamiento asociado en Nodo 2: = 30 mm 
 
Con P=170.83 
2º Rótula 
Con P=177.4 kg 
3º Rótula y Colapso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANALISIS DE PORTICOS POR EL METODO DEL MECANISMO 
 
a) Tipos de mecanismos 
 
 
b) Número de mecanismos linealmente independiente 
 Np: Nº posibles articulaciones plásticas (nodos, quiebres, puntos de aplicación cargas 
puntuales, cambios de sección, etc) 
 Nx: Grado de hiperestaticidad. 
 
c) Geometría del movimiento 
 
1) Mecanismo de viga 2) Mecanismo de viga 3) Mecanismo de panel 
 
 
 
 
 
 
 
Combinación de mecanismos 
 
 
Np=6, Nx=3; N=3 
Por diseño: vigas plastifica con 2Mp 
 columnas con Mp 
 
 
 
* Evaluación de la resistencia adicional de la estructura tras la plastificación de algunas 
zonas. 
* Diseño de estructuras que resisten más cargas con el mismo material o estructuras más 
ligeras para resistir la misma carga con ahorro de material. 
 
 
Colapso Total Colapso Parcial 
 
 
 
 
 
Se verifica que M < Mp para mecanismo 5 
Entonces P5= PP es la carga de colapso