tema-8-oscilaciones

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Movimiento Oscilatorio
1. Introducción.
2. El Movimiento Armónico Simple.
a) Estudio cinemático.
b) Estudio dinámico.
c) Estudio energético.
3. Péndulos.
a) Péndulo simple.
b) Péndulo físico. 
4. Oscilaciones amortiguadas.
a) Energía del oscilador amortiguado.
5. Oscilaciones forzadas. Resonancia.
Cuando se perturba un sistema y éste pierde su posición 
de equilibrio, se produce una oscilación o vibración. Hay 
muchos ejemplos familiares en los que podemos 
observar este tipo de movimiento. Casos 
representativos son el movimiento que describe el 
péndulo de un reloj o el que se observa en un objeto 
colgado de un muelle o resorte.
Esencialmente se trata de un movimiento de vaivén 
alrededor de un punto fijo o punto de equilibrio. Este 
movimiento puede ser regular en dirección y frecuencia 
o aleatorio, que es lo más frecuente.
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento 
armónico simple (MAS) o movimiento vibratorio armónico. Además de ser 
el más sencillo de describir y analizar, es representativo de otras muchas 
oscilaciones que se observan en la naturaleza. Por eso, la mayor parte de 
nuestro estudio se centrará en este tipo de movimiento. 
1.- Introducción
3
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (I)
Un movimiento armónico simple, como el que realiza 
el sistema de la figura adjunta puede describirse 
por una ecuación del tipo:
( )cos ωx A t ϕ= +
Donde A, ω y θ son constantes características 
del movimiento. Los parámetros que 
caracterizan a este movimiento son los 
siguientes:
• x (elongación) → es la posición que ocupa el móvil en cada instante, 
medida desde la posición de equilibrio.
• A (amplitud) → es el máximo desplazamiento respecto a la posición de 
equilibrio, es decir, es la máxima elongación.
• T (periodo) → es el tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación 
completa.
• f (frecuencia) → es el número de oscilaciones que realiza el móvil es la 
unidad de tiempo y se mide en hercios (Hz) en el S.I.
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2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (II)
De la propia definición se desprende que periodo y frecuencia están 
relacionados por:
1
f
T
=
La frecuencia angular, ω, puede relacionarse con el periodo o con la 
frecuencia mediante las expresiones:
2
ω o bien ω 2 f
T
π
π= =
Finalmente, el término φ se conoce como fase inicial o corrección de fase, y 
nos da información acerca de la posición inicial del móvil, es decir, de la 
posición cuando el tiempo, t, vale cero:
0Obsérvese que cuando 0t x A ϕ= ⇒ = cos
El término (ω t + φ) recibe el nombre de ángulo de fase o simplemente 
fase del M.A.S., donde ω es una característica del M.A.S. que se llama 
pulsación o frecuencia angular.
5
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (III)
Velocidad y Aceleración:
( )sen
dx
v A t
dt
ω ω ϕ= = − +
2 2
v A xω= ± −
( )2 cos
dv
a A t
dt
ω ω ϕ= = − +
2
a xω= −
2
2
2
0
d x
x
dt
ω+ =
6
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (IV)
En 1610 Galileo descubrió las cuatro lunas de Júpiter. Cada luna parecía moverse para 
delante y para detrás en lo que llamaríamos un movimiento armónico. Lo que realmente 
estaba viendo Galileo era un movimiento circular descrito por cada luna, pero lo estaba 
observando de perfil. Podemos utilizar lo que Galileo experimentaba para describir algunas 
propiedades del movimiento armónico simple utilizando un paralelismo con el movimiento 
circular uniforme
En 1610 Galileo descubrió las cuatro lunas de Júpiter. Cada luna parecía moverse para 
delante y para detrás en lo que llamaríamos un movimiento armónico. Lo que realmente 
estaba viendo Galileo era un movimiento circular descrito por cada luna, pero lo estaba 
observando de perfil. Podemos utilizar lo que Galileo experimentaba para describir 
algunas propiedades del movimiento armónico simple utilizando un paralelismo con el 
movimiento circular uniforme.
7
Ejemplo 1.
Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm/s cuando su elongación es 6 cm y 1,5 cm/s 
cuando su elongación es 8 cm. Calcular: la amplitud, el período, la velocidad máxima y la 
aceleración máxima.
Consideremos la ecuación que relaciona la velocidad con la elongación de un oscilador 
armónico.
2 2v A xω= −
Para las dos situaciones que indica el problema, tenemos que:
( )
( )
2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 6 4 36
Resolviendo 10 cm
2,25 641,5 8
A A
A
AA
ω
ω
= − −
= ⇒ =
−= − 
Y para la frecuencia angular: ( )24 100 36 0,25 rad/sω ω= − ⇒ =
Por tanto, para el periodo T:
2 2
8 s
0,25
T
π π
π
ω
= = =
( )0 maxsen 10 0,25 2,5 cm/s
dx
v A t v A
dt
ω ω ϕ ω= = − + ⇒ = = ⋅ =
( )2 2 2 20 maxcos 10 0,25 0,625 cm/s
dv
a A t a A
dt
ω ω ϕ ω= = − + ⇒ = = ⋅ =
Finalmente, para la velocidad y aceleración máxima partimos de: ( )0cosx A tω ϕ= +
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2b.- Dinámica del Movimiento Armónico Simple (I)
Según hemos visto:
2
a xω= −
¿Qué fuerza puede producir esa aceleración? De acuerdo con la ecuación 
fundamental de la dinámica, podemos escribir:
2
F ma F ma m x k xω= ⇒ = = − = −
�
�
Donde las dos constantes, m y ω2, la hemos englobado en una sola, k. 
Obsérvese que la fuerza que hemos obtenido es del tipo del que establece la 
ley de Hooke, es decir, una fuerza de recuperación elástica, análoga a la que 
se produce en un sistema masa-resorte cuando se separa la masa de la 
posición de equilibrio.
Ya que: 2 o =
k
k m
m
ω ω=
El periodo de oscilación de 
la masa será:
2
m
T
k
π=
NOTA: Observe que x es la distancia de separación de 
la masa m respecto a la posición de equilibrio.
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Ejemplo 2.
De un muelle está colgado un platillo de una balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones 
verticales es igual a 0,5 s. Después de añadir más pesas al platillo, el periodo de las 
oscilaciones verticales se hizo igual a 0,6 s ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las 
pesas añadidas?
El periodo en la primera situación vendrá dado por: 2 21 12 4
m m
T T
K k
π π= ⇒ =
Y en la segunda: 2 2
2 22 4
m m m m
T T
K k
π π
+ ∆ + ∆
= ⇒ =
Donde ∆m es la masa añadida que consigue aumentar el periodo de oscilación. Por otra 
parte, si llamamos ∆x al alargamiento que produce esa masa adicional, podemos escribir 
que: m
m g k x k g
x
∆
∆ = ∆ ⇒ =
∆
Si combinamos las ecuaciones de los periodos de oscilación, restándole a la segunda la 
primera, obtenemos:
2 2 2
2 1 4
m
T T π− =
m m+ ∆ −( ) 24 m
K k
π
∆
= Y sustituyendo el valor de K obtenido
( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 1 2 12 2
9,8
4 0,6 0,5 0,027 m
4 4
gx
T T x T T
g
π
π π
∆
− = ⇒ ∆ = − = − =
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2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (I)
La energía cinética de una partícula animada por un M.A.S. vendrá dada por:
{ } ( )2 2 2 2 2 21 1
2 2
cE mv v A x m A xω ω= = = ± − = −
Mientras que la energía potencial puede obtenerse a partir de:
{ }2 2 2 2
0 0 0
1 1
2 2
U x x
dU F dx U k x dx k x k m m xω ω= − ⇒ = − − = = = =∫ ∫ ∫
Por tanto, la energía mecánica será:
( )2 2 2 2 2 2 2M C
1 1 1
2 2 2
E E U m A x m x m Aω ω ω= + = − + =
O bien: 2
M
1
2
E k A=
La energía mecánica es pues CONSTANTE, como era de esperar dado el 
carácter conservativo de la fuerza de recuperación elástica responsable del 
movimiento.
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2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (II)
E
C 
-A A0 x
U(x)
E
Mecánica
E
C
(m
áx
im
a)
U
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3.1.- El péndulo simple
Se trata de una partícula suspendida de un hilo 
inextensible y sin masa.
La fuerza que causa el movimiento oscilatorio es la 
componente tangencial de la fuerza peso:
T senF mg φ= −
Donde el signo menos se debe al hecho de que la fuerza 
siempre está dirigida en sentido opuesto al 
desplazamiento. Así, tenemos que:
2
2
sen sen
d s
mg ma g
dt
φ φ− = ⇒ =
De donde, considerando que: s Lφ=
2 2
2 2
d s d
L
dt dt
φ
= Es decir:
2
2
sen
d g
Ldt
φ
φ= −
Para ángulos pequeños: senφ φ≈ Por tanto:
2
2
d g
Ldt
φ
φ= −
Donde:
2 g
L
ω = Y, por consiguiente 2
L
T
g
π=
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3.2.- El péndulo físico
Es un sistema formado por un sólido rígido 
suspendido de un eje fijo que no pasa por su CM.
Alseparar el sólido de su posición de equilibrio un 
cierto ángulo aparece un momento recuperador que 
tiende a llevar de nuevo al sólido a su posición de 
equilibrio. Este momento es:
senM m g d φ= −
Teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la 
dinámica de rotación:
2
2
d
M I I
dt
φ
α= =
De donde:
2
2
sen
d m g d
Idt
φ
φ= − Para desplazamientos pequeños
2
2
d m g d
Idt
φ
φ= − Y, por tanto:
m g d
I
ω = cuyo periodo es: 2
I
T
m g d
π=
Note que el momento de inercia que aparece en la ecuación del periodo se refiere al 
momento de inercia respecto al eje de rotación real del sólido.
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Ejemplo 3.
Una varilla delgada y uniforme de masa m pivota sin rozamiento sobre un eje perpendicular 
a ella y que pasa por su CM. Un resorte horizontal, de constante elástica K se une al 
extremo inferior de la varilla por uno de sus extremos, quedando el otro unido a un soporte 
fijo y rígido, como indica la figura, de forma que cuando la varilla se encuentra en posición 
vertical el resorte tiene su longitud natural. a) Demostrar que si la varilla se separa un 
pequeño ángulo θ de su posición de equilibrio y se suelta realiza un M.A.S. b) Determine el 
periodo del movimiento.
kF
�
O
Tratamiento Dinámico:
De acuerdo con la ecuación fundamental de 
la dinámica de rotación, podemos escribir:
O
2
cos
2
1
12
k
L
M F
M I
I m L
θ
α

=
= ⇒ 
 =

∑
�
�
Ya que: KF K x= − Para ángulos pequeños cos 1 y, por otra parte,
2
L
xθ θ≈ =
Tenemos que: 2L
K θ− 2
1
4 12
m L=
2 2
2 2
3
0
d d K
dt dt m
θ θ
θ⇒ + =
Que es la ecuación de un M.A.S. cuya frecuencia angular al cuadrado es 3K/m.
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Ejemplo 3 (continuación).
Tratamiento Energético:
Alternativamente, el problema también se puede resolver a través de consideraciones 
energéticas. En efecto, la energía mecánica total del sistema será la suma de la energía 
potencial elástica del resorte y la energía cinética de rotación de la varilla, es decir:
2 21 1 Constante
2 2
ME K x I ω= + =
Por tanto, debe cumplirse que:
0M
dE
dt
=
Si escribimos la ecuación de la energía mecánica de acuerdo con las consideraciones 
hechas en el tratamiento anterior, tenemos que:
2
2 2 21 1 1
2 4 2 12
M
L
E K m Lθ ω= +
Y derivando respecto del tiempo:
21
8
MdE K L
dt
= 2
d
dt
θ
θ
1
2
+ 2
1
12
m L 2 ω 0
d
dt
ω
=
2 2
2 2
1 1 3
0 0
4 12
d d K
K m
dt dt m
θ θ
θ + = ⇒ + = Que es la misma ecuación obtenida 
anteriormente.
b) Para obtener el periodo:
2 3 2 3 2
3
K K m
T
m T m K
π
ω π= ⇒ = ⇒ =
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4.- Oscilaciones Amortiguadas (I)
En los sistemas reales son frecuentes la presencia de fuerzas 
disipativas (fuerzas de rozamiento, en general) que ocasionan 
pérdidas de la energía mecánica del sistema oscilante dando lugar a 
las denominadas Oscilaciones Amortiguadas.
Consideremos un caso como el que muestra la figura, donde la fuerza 
disipativa es proporcional a la velocidad de cuerpo y sentido 
contrario:
RF bv= − donde b es una constante positiva.
dv
F ma k x bv m
dt
Σ = ⇒ − − =
�
�
La ecuación dinámica para este sistema será:
Que puede escribirse como:
2 2
0 02 0 donde
2
dv k b
v x y
dt m m
β ω ω β+ + = = =
siendo β el denominado factor de amortiguamiento. Obteniéndose finalmente:
2
2
02
2 0
d x dx
x
dtdt
β ω+ + =
Que es la ecuación general del oscilador amortiguado.
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4.- Oscilaciones Amortiguadas (II)
Analizaremos tres soluciones particulares de la ecuación del Oscilador Amortiguado: 
2 2
0ω β>1.- Si la solución es del tipo: 
( )1cos
t
x Ae t
β ω φ−= −
donde A y son constantes de integración, y donde ω1 es la denominada frecuencia 
angular del oscilador amortiguado, que viene dada por:
φ
2 2
1 0ω ω β= −
2.- Si se dice que el movimiento está amortiguado críticamente y la 
solución es del tipo: 
2 2
0ω β=
( ) tx A Bt e β−= +
donde A y B son ahora las constantes de integración.
3.- Si se dice que el movimiento está sobreamortiguado y la solución es del 
tipo:
2 2
0ω β<
2 2
1 2
t tt
x e A e A e
ω ωβ  = + 
donde A1 y A2 son ahora las constantes de integración, y:
2 2
2 0ω β ω= −
Obsérvese que, de todos los casos, sólo el primero es una solución oscilatoria
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4.- Oscilaciones Amortiguadas (III)
-A e
-(b/2m) t
T = 2π/ω
0
ω
0
 = (k/m)
1/2
8T7T6T5T4T3T2TT
-A
A
t
A e
-(b/2m) t
x
( )1cos
t
x Ae t
β ω φ−= −Veamos gráficamente la solución oscilatoria: 
19
4.- Oscilaciones Amortiguadas (IV)
En un caso de bajo amortiguamiento, es decir, donde ω1 ≈ ω0 la comparación entre un 
movimiento oscilatorio ideal (sin amortiguar) y amortiguado, sería como muestra la figura.
5T4T3T2T
-A
A
x
tT
20
4.- Oscilaciones Amortiguadas (V)
Amortiguado críticamente
 (ω
0
2
 = β
2
)
Sobreamortiguado
 (ω
0
2
 < β
2
)
t
x
En las soluciones no oscilatorias, es decir, la segunda y tercera, la representación 
gráfica sería la que muestra la figura.
( ) Amortiguado críticamentetx A Bt e β−= + ⇒
2 2
1 2 Sobreamortiguado
t tt
x e A e A e
ω ωβ  = + ⇒ 
21
4a- Energía del Oscilador Amortiguado
Ya que la energía mecánica de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, y 
esta decae exponencialmente con el tiempo en el oscilador amortiguado, la energía 
también disminuye exponencialmente con el tiempo, es decir:
2 2 2
0 0
1 1
donde
2 2
t
E k A m A A A e
βω −= = =
Aunque no lo haremos aquí, puede demostrarse que la energía promedio por ciclo, 
viene dada por:
E
2 2 2 2
0 0 0
1
2
t t
E m A e E e
β βω − −= =
donde A0 es la amplitud del oscilador sin amortiguar. Por tanto:
donde E0 es la energía del oscilador sin amortiguar. Por tanto:
2
0
t
E E e
β−=
2 2 2
0 0
1 1
( )
2 2
t
E k A m A e
βω −= =
22
5.- Oscilaciones Forzadas
En las oscilaciones reales inevitablemente existe 
amortiguamiento. Por eso la amplitud de la oscilación disminuye 
con el tiempo hasta que la oscilación se extingue. Para mantener 
la oscilación es necesario comunicar energía al sistema oscilante 
para compensar las pérdidas producidas por las fuerzas 
disipativas.
Este aporte de energía se consigue mediante la aplicación de una 
fuerza externa, en cuyo caso hablamos de un Oscilador 
Forzado.
El carácter de esa fuerza externa puede ser muy diverso, pero 
un caso sencillo de estudiar y relativamente frecuente es el de 
una fuerza que varía con el tiempo de forma sinusoidal, es decir:
0( ) cosF t F tω=
donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa, que no debe confundirse con la 
frecuencia natural del oscilador ω0. La aplicación de la ecuación fundamental de la 
dinámica en este caso sería:
( )F ma k x bv F t maΣ = ⇒ − − + =
�
�
O bien:
2
2 0
02
2 cos
Fd x dx
x t
dt mdt
β ω ω+ + =
23
5.1.- Solución de la Ecuación del Oscilador Forzado
La solución de la ecuación diferencial que describe el Oscilador Forzado consta de dos 
términos. Es decir:
( )
( )
1cos
cos
t
g
g p
p
x Ae t
x x x
x G t
β ω φ
ω θ
− = −
= + 
= −
Obsérvese que xg es la solución del Oscilador Amortiguado, mientras que xp es una 
solución particular que contiene dos parámetros, G y θ, que son la amplitud del oscilador 
forzado y el desfase con respecto a la fuerza impulsora, respectivamente, dados por:
( )
0
22 2 2 2
0 4
F
mG
ω ω ω β
=
− +
2 2
0
2
arctan
ω β
θ
ω ω
 
=  
− 
y
Por tanto, la solución del Oscilador Forzado es de la forma:
( ) ( )1cos cos
t
x Ae t G t
β ω φ ω θ−= − + −
Solución TRANSITORIA Solución ESTACIONARIA
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5.2.- Características de los parámetros del Oscilador Forzado
( )
0
22 2 2 2
0 4
F
mG
ω ω ω β
=
− +
ω
0
b = 0
b = 4.4
b = 2.4 b = 1.6
b = 0.8
b = 0.4
G
ω
aumenta β
aumenta β
π
π/2
θ
ω
0 ω
2 2
0
2
arctan
ω β
θ
ω ω
 
=  
− 
Obsérvese que la posición del máximo 
de la amplitud depende del valor de β.
Obsérvese que, independientemente del valor 
de β, cuando el desfase entre la 
fuerza impulsora y el oscilador siempre es de 
π/2.
0ω ω=
25
5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (I)
¿Bajo qué condiciones elagente que ejerce la fuerza impulsora suministra la máxima 
potencia al oscilador? La potencia entregada al oscilador vendrá dada por el producto de 
la fuerza impulsora por la velocidad en cada instante del oscilador, es decir: 
( )( )
( )
0 cos
cos
cos donde
2
F F t
P F v d G tdx
v G t
dt dt
ω
ω θ π
ω ω δ δ θ
=

= −
= = = − = −

Puede demostrarse que la potencia instantánea entregada al oscilador viene dada 
por:
{ }20 cos cos cos sen senP G F t t t tω ω δ ω ω ω= ⋅ + ⋅ ⋅
Y la potencia promedio corresponderá al valor medio de la función anterior, es decir:
0
1
cos
2
P G Fω δ= donde el término “cos δ” es el denominado factor de potencia.
Obsérvese que la potencia promedio suministrada es máxima cuando cos δ = 1, es 
decir, cuando δ = 0, o lo que es lo mismo, cuando F y v están en fase. Esto también 
implica que el desfase θ sea π/2, lo que ocurre cuando ω = ω0, como se ha visto 
anteriormente (observe la gráfica que muestra la variación de θ con ω).
26
5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (II)
En definitiva, cuando la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la frecuencia 
natural del oscilador se produce una máxima transferencia de potencia del primero al 
segundo. A esta situación se le denomina RESONANCIA EN LA TRANSFERENCIA DE 
POTENCIA.
Veamos gráficamente esta situación: Ahora se observa que cuanto menor es el 
amortiguamiento mayor es el valor de la 
potencia entregada y más estrecha es la 
curva de potencia. Sin embargo, también se 
observa que la máxima potencia entregada 
siempre ocurre cuando lo cual es 
contrario a lo que se observaba en el caso 
de la amplitud G.
Por tanto, debemos distinguir entre la 
situación de Resonancia en la 
transferencia de potencia, en la que 
siempre la frecuencia de la fuerza impulsora 
coincide con la natural del oscilador, y la 
Resonancia en Amplitud que depende del 
factor de amortiguación β.
0ω ω=
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Ejemplo 4.
Un cuerpo de 2 kg de masa oscila sujeto a un muelle de constante elástica 400 N/m. La 
constante de amortiguamiento b es de 2 Kg/s. El cuerpo es impulsado por una fuerza 
sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular 10 rad/s. Determinar: a) la amplitud 
de las oscilaciones, b) la frecuencia de resonancia en transferencia de energía, y c) la 
amplitud de las oscilaciones en el caso de resonancia en amplitud.
a) Considerando estado estacionario, tenemos para la amplitud de las oscilaciones:
( )
2 2
00
22
2 2 2 2 2 2
0 2
400
200 (rad/s)
2
4
4 0,25 s
4 4 4
K
F
mmG
b
m
ω
ω ω β ω β −

= = =
= 
− + = = =
 ⋅
Sustituyendo valores:
( )
2
10
2 0,0497 0,05 m
200 100 4 0,25 100
G = = ≈
− + ⋅ ⋅
b) La frecuencia de resonancia en transferencia de energía es igual a la frecuencia 
natural del oscilador y, por tanto:
RTE 0 RTE 200 14,14 rad/sω ω ω= ⇒ = =
28
Ejemplo 4 (continuación).
c) Para obtener la condición de resonancia en amplitud es necesario establecer la 
condición de máximo a la amplitud del oscilador forzado:
0
G
G
ωω
∂ 
= 
∂ 
Que conduce a la relación: 2 20 2Gω ω β= − Sustituyendo valores
200 2 0,25 14,124 rad/sGω = − ⋅ =
Sustituyendo el valor de ωG a la ecuación de la amplitud del oscilador forzado se 
obtiene la expresión que proporciona el valor máximo de dicha amplitud, es decir:
0
max
2
0
F
mG
ω
=
2
0ω−( ) ( ) ( )
0
2 2 2 2
2 2 2 2
0
0
44 2
F
m
β ω ββ β ω β
=
−+ + −
Finalmente, sustituyendo valores:
( )
max
10
2 0,35 m
4 0,25 200 0,25
G = =
⋅ ⋅ −