2 Oscilaciones y ondas

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Tema 2
Oscilaciones y Ondas
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. 
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de 
propagación: reflexión, refracción y difracción. 
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Movimientos periódicos
Movimientos que se repiten a intervalos regulares
Período, T ≡ tiempo necesario para 
describir un ciclo completo (s)
Frecuencia, ν ≡ Número de ciclos por 
segundo (Hz) T
1
=ν
Movimiento armónico simple
)cos()( δω += tsts max
t
smax
s(t)
smax ≡ amplitud
ω ≡ frecuencia angular
δ ≡ fase inicial
πν
π
ω 2
2
==
T
Cinemática del MAS
)
2
cos( 
)sen(
d
)(d
)v(
π
δωω
δωω
++=
+−==
ts
ts
t
ts
t
max
max
sts
ts
t
t
ta
max
max
22
2
)cos( 
)cos(
d
)(vd
)(
ωπδωω
δωω
−=++=
=+−==
)cos()( δω += tsts max s TT/2
v
a
t
t
t
ω 2 smax
ω smax
smax
Dinámica del MAS
sKsmamF −=−== 2ω 2ωmK =
( ) ( )
2 2
total cinética potencial
2 2 2 2 2
2
1 1
E E E v
2 2
1 1
2 2
1
2
max max
max
m Ks
m s sen t Ks cos t
Ks cte
ω ω δ ω δ
= + = + =
= + + + =
= =
2
0 0
1
2
s s
W F ds K s ds K s= = =∫ ∫
Se comunica energía al sistema realizando trabajo para separar el cuerpo una
distancia s de la posición de equilibrio y después se deja oscilar libremente
Dinámica del MAS
s TT/2
t
smax
2
max
2
1
sK
t
cinética
potencial
E
E
2 2 2
total cinética potencial
1 1 1
E E E v
2 2 2
maxm Ks Ks cte= + = + = =
Movimiento armónico simple y 
movimiento circular uniforme
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm
t
T/2
smax
x
ω smax
y
s
s
ω2 smax
T
ω
Tipos de oscilaciones
)cos()( 0max δω += tstssKF −=
Oscilaciones libres
rozFsKsKF +−=−−= vγ
)cos()( δωµ += − tests tmax
Oscilaciones amortiguadas
2222
0
22 )( ωγωω +−
=
m
F
s maxmax
)cos(max tFsKF ωγ +−−= v
Oscilaciones forzadas
)cos()( δω += tsts max
t
s
maxs
t
max es
µ−
s
s
s
t
t
t
smax
smax
smax
0ωω <
0ωω =
0ωω >
tsmax
s
Frecuencia natural o propia 0ω ≡
Movimiento amortiguado
http://www.ehu.es/acustica/espanol/basico/mases/mases.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/rozamiento/rozamiento.htm
Amortiguado
Movimiento amortiguado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transitorio.htm
Amortiguado y forzado
Resonancia
2222
0
22 )( ωγωω +−
=
m
F
s maxmax
La amplitud de la oscilación 
forzada depende de la frecuencia 
impulsora y de la constante de 
amortiguamiento. La amplitud 
máxima se produce aproxima-
damente a la frecuencia propia o 
de resonancia ω = ω0, pero si 
además el rozamiento es pequeño 
la amplitud puede ser muy grande.
0ωω =
Condición de 
resonancia
Aplicaciones de la resonancia
� Habla y audición humanas
� Sintonizador de aparatos de radio y TV
� Análisis químico de materiales
smax
ωω 0
γgrande
γ = 0
γpequeño
Resonancia
En el año 1940, en Tacoma (EEUU), un puente colgante se destruyó debido al 
fenómeno de la resonancia unos meses después de haber sido inaugurado. 
Un temporal azotó la región y una de las componentes de la fuerza del viento fue 
de frecuencia igual a una de las frecuencias características del puente. Éste entró 
en resonancia y empezó a oscilar con una amplitud tan grande que lo destruyó.
Resonancia
http://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag
Medida de las características de una vibración
Osciloscopio: medidas de amplitud, frecuencia y diferencias de fase
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. 
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de 
propagación: reflexión, refracción y difracción. 
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Concepto de onda
Propagación de una perturbación a través del espacio
Movimiento oscilatorio caracterizado por su frecuencia
Clasificación de las ondas
�Según la relación entre la dirección de vibración y 
la de propagación: longitudinales o transversales
�Según las dimensiones en las que se propaga: 
uni, bi- o tridimensionales
�Según el tipo de energía que se propaga: 
mecánicas o electromagnéticas
�Según su confinamiento: viajeras o estacionarias
Ondas longitudinales y transversales
La vibración puede ser perpendicular (ondas transversales) o
paralela (ondas longitudinales) a la dirección de propagación
Ondas armónicas: Representación analítica
Función y ecuación de ondas
y
x
dd
y = f(x) y = f(x-d)y = f(x+d)
y
x
y = f(x-ut)y = f(x+ut)
u u
Pulsos viajeros
Pulsos
( ) 0
x
f x,t f ,t
u
 
= − 
 
Ondas armónicas: Representación analítica
s
x
x
( )[ ]tuxks)t,x(s max += cos
( )[ ]tuxks)t,x(s max −= cos
Dirección de propagación
Ondas 
maxs( t ) s cos( t )ω=
Vibraciones
[ ]
0 max
max max
x x
s( x,t ) s ,t s cos t
u u
s cos t x s cos kx t
u
    
= − = ω − =    
    
ω 
= ω − = − ω  
k
u
ω
=
smax ≡ amplitud
δ ≡ fase inicial
ω ≡ frecuencia angular
k ≡ número de onda angular
Función y ecuación de ondas
Doble periodicidad de una onda
( )[ ] ( ) 











−=−=−=
T
tx
stkxsutxkstxs
λ
πω 2coscoscos),( maxmaxmax
Tk
u
λω
==
s (x,t0)
x
λ
t
s (x0,t) T
= tt 0en
0xx =Período temporal T en
Período espacial 
o longitud de onda
( )maxcoss( x,t ) s kx tω= −
λ
Velocidad de propagación de la onda
2 2
k
u Tu
ω π π
λ
= = =Número de onda
Función y ecuación de ondas
2
2
02
d
0
d
s
s
t
ω+ =
( )tkxstxs ω−= cos),( max
Función de ondas
)txk(s
t
s
)txk(s
t
s
maxmax ωωωω −−=
∂
∂
−=
∂
∂
cos ;sen 2
2
2
)txk(sk
x
s
)txk(sk
x
s
maxmax ωω −−=
∂
∂
−−=
∂
∂
cos ;sen 2
2
2 2
2
2
2
2
x
s
u
t
s
∂
∂
=
∂
∂
Ecuación de ondas
)cos()( 0max δω += tsts
� Vibraciones
Función
Ecuación
� Ondas
Ondas transversales en una cuerda
2
2
2
2
2
x
y
u
t
y
∂
∂
=
∂
∂
( )tkxy)t,x(y max ω−= cos
m
F
u
λ
=
Función de ondas
Ecuación de ondas
u
F ≡ tensión de la cuerda 
mλ ≡ densidad lineal de masa
Ondas: frentes de onda y rayos
Frentes de onda
a) planos
b) esféricos
c) cilíndricos
x
y
z
x
y
zx
y
z
b) c)a)
Rayos
a) paralelos
b) divergentes
c) convergentes
b) c)a)
A grandes distancias los
frentes de onda esféricos
se convierten en planos
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. 
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de 
propagación: reflexión, refracción y difracción. 
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Ondas sonoras
Ondas de presión capaces de estimular el oído humano
Infrasonidos Ultrasonidos
Bandas de ondas sonoras audibles
Graves Medios Agudos
10 Hz 100 Hz 1000 Hz 10000 Hz 100000 Hz
20 Hz 400 Hz 1600 Hz 20000 Hz
Frecuencia de las ondas sonoras
Aplicaciones de las infrasonidos y ultrasonidos
�Infrasonidos: estudios geológicos
�Ultrasonidos: investigación de sólidos, sónar, aplicaciones en 
medicina (diagnóstico, terapéuticas, quirúrgicas), limpieza de 
superficies
Generación de las ondas sonoras
Sistema mecánico que vibra: oscilaciones forzadas de las moléculas del 
medio cercanas que reproducen la vibración original.
La vibración se comunica a las moléculas contiguas, propagándose la 
perturbación.
Ondas sonoras longitudinales
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
a) desplazamiento
2
2
2
2
2
x
s
u
t
s
∂
∂
=
∂
∂
( )tkxs)t,x(s ω−= cosmax
sen
2
max max
ds
p B kBs ( kx t ) p cos( kx t )
dx
π
∆ = − = − − ω = ∆ − ω −
b) presión
V S s
p B B 
V S x
∆ ∆
∆ = − = −
∆
∆x ∆x + ∆s
V S V +∆V S
s1
s2
2 2
2
2 2
p p
u
t x
∂ ∆ ∂ ∆
=
∂ ∂
Onda de presión
p
x
Onda de 
desplazamiento
tMoléculas en reposoMoléculas al 
paso de la onda s
x
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
m
B
u
ρ
=
Velocidad de propagación
20 05aireu , T=
 L T
m m
Y G
u ; u
ρ ρ
= =
Sólidos
B ≡ Módulo de compresibilidad 
mρ ≡ Densidad
T ≡ Temperatura (K)
AireAire
AguaAgua
AluminioAluminio
0’340’34
1’571’57
5’05’0
u (103 m/s)u (103 m/s)
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. 
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de 
propagación: reflexión, refracción y difracción. 
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Intensidad de las ondas
Flujo de energía uSI
t
V
Vt
I EVEE ρρ ====
totaltotal EE
x = u t
V S
Intensidad de la onda: Flujo de energía por unidad de superficie transversal 
atravesada por la onda
2
2 2total maxE
max
E I 1
2 2
E
pP
I u Z s
S S t S Z
ρ ω= = = = = =
uZ mρ=
Impedancia acústica
Densidad de energía
V
E
totalE=ρ
2
max
2
2
1
smE ωρρ =desplazamiento
m
mE
u
p
Bk
p
ρ
ω
ρρ
2
2
max
22
2
max
2
22
1
==presión
Sensación sonora
La sensibilidad del oído varía
de forma aproximada con 
el logaritmo de la intensidad 0
10
I
I
log)dB(L =
( )2120 W/m10−=I
Nivel de
intensidad
Umbral de
audición sonora
80Tráfico intenso0Nivel mínimo audible
160Rotura del tímpano60Conversación
120Nivel de dolor40Casa (interior)
100Discoteca20Susurro
L (dB)L (dB)
Propagación del sonido: energía
� Ley del cuadrado de la distancia
2
2
2
2
1
1
4
4
r
P
I
r
P
I
π
π
=
=
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I
=
r2
r1
I2
I1
� Ley de absorción
x 
I0 I1
xII ∆−=∆ α xII α−= e0
Propagación de las ondas: interacción con un obstáculo
El resultado de la interacción depende de la relación entre las 
dimensiones del obstáculo (d) y la longitud de onda (λ)
d >>λ Reflexióny refracción
d < λ La onda no detecta el obstáculo
d ≥ λ Difracción
Principio de Huygens
Cada punto del frente alcanzado por la onda
se convierte en un foco puntual emisor de ondas 
esféricas secundarias, y cualquier frente de 
ondas posterior, se obtiene como superficie tangente 
a los frentes de ondas de estas ondas secundarias
Reflexión y refracción: geometría
t
i
tu
tu
θ
θ
sen ADAC
sen ADBD
2
1
==
==
2
1
sen
sen
u
u
t
i =
θ
θr
i
tu
tu
θ
θ
sen ADAC
sen ADBD
1
1
==
==
ri θθ =
θt
u1
θi
θi
Refracción
u2
u1
θr
θi
Reflexión
Difracción
Cambio de dirección de la onda tras
la interacción con un obstáculo de
dimensiones del orden de λ
α
d
α
d
d
λ
α ≈sin
Difracción (cubeta de ondas)
Difracción (luz)
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple. 
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de 
propagación: reflexión, refracción y difracción. 
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Interferencias: ondas de la misma amplitud y frecuencia
)cos(1 txkpp max ω−=
[ ]txxkpp max ω−∆+= )(cos2
)
2
cos()
2
cos(221
xk
txk
xk
pppp maxR
∆
+−
∆
=+= ω
Interferómetro
Intensidad de la
onda resultante
24 cos
2
RI I
ϕ
= λ
π
δ
2
=∆= xk
∆x
4I
λIR
k xϕ ∆=Diferencia de fase
Principio de superposición: cuando a un punto llegan, al mismo tiempo, varias 
ondas, la función de onda resultante es la suma algebraica de las diferentes 
funciones de onda que intervienen.
Interferencias constructivas y destructivas
Interferencia: a) constructiva
24 cos
2
RI I
ϕ
=Intensidad de la onda resultante xk ∆=ϕ
( )...,,,,n 3210=
λnx =∆
πϕ 2n=
t
t
t
TT/2p1
p2
pR
p1max
p2max
pRmax
a)
b) destructiva
( )...,,,n 531=
2λnx =∆
πϕ n=
TT/2
t
t
t
p1
p1max
p2
p2max
pR
pR= 0
b)
Ondas estacionarias
Interferencias de ondas con sus reflejadas
)cos(1 txkpp max ω−=
)cos(2 δω ++= txkpp max
x
pR
t1 = 0
t4 = T/4
t2
t3
t7 = T/2
t6
t5
1 2 max2 cos( )cos( )
2 2
Rp p p p kx t
δ δ
ω= + = + +
Amplitud nula: nodo
Amplitud máxima: vientre
Ondas estacionarias en tubos sonoros
Tubos sonoros (extremos abiertos)
...,,nnLk 321 == π
...,,n 321=
n
L
2
=
λ
L
n=1
n=2
n=3
1 2 max2 cos( )cos( )
2 2
Rp p p p kx t
δ δ
ω= + = + +
( ) )tsin(xksinpp maxR ω2=( ) 00 ==xpR δ π=
( ) 0== LxpR
L
un
2
=ν
Tubos sonoros (un extremo cerrado)
...,,nnLk 531 
2
==
π
...,,n 531=
n
L
4
=
λ
maxRmax p)Lx(p 2==
L
un
4
=ν
L
n=1
n=3
n=5
Tubos sonoros
Órgano de la Catedral (Barcelona)
Ondas estacionarias longitudinales en un tubo sonoro
Extremos
abiertos n=1
Un extremo
cerrado n=1
Extremos
abiertos n=2
Un extremo
cerrado n=3
Ondas estacionarias. Transversales en una cuerda
http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/