Tema 19- Movimiento Armónico - Ondas Mecánicas

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Movimiento Armónico – Ondas Mecánicas
1 – MOVIMIENTO PERIÓDICO
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
3 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
5 – MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO
6 – ONDAS MECÁNICAS
FÍSICA I
1 – MOVIMIENTO PERIÓDICO
A esta clase de movimiento se la llama 
movimiento periódico u oscilación
Nos permite estudiar las ondas, el sonido, la corriente alterna, la luz, etc.
Es un tipo de movimiento que se repite con las mismas 
características en iguales intervalos de tiempo. 
Existen muchos tipos de movimiento periódico.
1 – MOVIMIENTO PERIÓDICO
PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DEL MOVIMIENTO PERIÓDICO
- Es la magnitud máxima del desplazamiento con respecto al equilibrio.
- Siempre es positiva.
- El rango global del movimiento es 2A.
- La unidad en el SI es el metro. 
Período T
- Es el tiempo que tarda un ciclo (una vibración completa, desde A a –A
y de regreso a A). 
- Siempre es positivo. 
- La unidad en el SI es el segundo (a veces se utiliza “segundos por ciclo”).
Amplitud del desplazamiento A
1 – MOVIMIENTO PERIÓDICO
PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DEL MOVIMIENTO PERIÓDICO
- Número de ciclos en la unidad de tiempo.
- Es siempre positiva.
- La unidad en el SI es el hertz.
Frecuencia f
- Es 2π veces la frecuencia.
- Es siempre positiva.
- La unidad en el SI es el rad/s.
Frecuencia angular ω
1
f
T
=
1
T
f
=
2
2 f
T

 = =
CUERPO CON MOVIMIENTO PERIÓDICO
1 – MOVIMIENTO PERIÓDICO
❖ Posición de equilibrio estable.
❖ Cuando el cuerpo se aleja de su posición de equilibrio y se lo suelta, 
entra en acción una fuerza o torca de restitución para volverlo al equilibrio.
❖ Cuando llega nuevamente a la posición de equilibrio, el cuerpo ha adquirido cierta 
energía cinética que le permite continuar su movimiento hasta detenerse del otro 
lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición de equilibrio.
Ejemplos
Sistemas resorte-masa. Péndulos.
El Movimiento Armónico Simple es el movimiento periódico
donde la fuerza de restitución Fx es directamente proporcional al 
desplazamiento x con respecto a la posición de equilibrio.
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Plano horizontal sin fricción.
Origen O en la posición de equilibrio, donde el resorte no está estirado ni comprimido.
A) SISTEMA RESORTE - MASA
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Fuerza de restitución Fuerza que tiende a regresar el sistema al equilibrio.
Si no hay fricción u otra fuerza que elimine energía mecánica del 
sistema, el movimiento se repetirá eternamente.
El sistema oscilará entre x = A y x = -A.
El Movimiento Armónico Simple es el movimiento periódico
donde la fuerza de restitución Fx es directamente proporcional al 
desplazamiento x con respecto a la posición de equilibrio.
A) SISTEMA RESORTE - MASA
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
A) SISTEMA RESORTE - MASA
Fuerza de restitución Fuerza que tiende a regresar el sistema al equilibrio.
(Ley de Hooke)
xF kx= − Fuerza de restitución ejercida por un resorte ideal.
2
2x
d x k
a x
dt m
= = −
Aceleración en el MAS. 
La aceleración no es constante.
Una masa mayor m tiene menos aceleración, se mueve más lentamente y 
tarda más en completar un ciclo. 
Un resorte más rígido (con mayor k) ejerce una mayor fuerza para una 
deformación x dada, causando una mayor aceleración, velocidades más altas y 
ciclos más cortos.
El Movimiento Armónico Simple es el movimiento periódico
donde la fuerza de restitución Fx es directamente proporcional al 
desplazamiento x con respecto a la posición de equilibrio.
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
En muchos sistemas, la fuerza de restitución es aproximadamente 
proporcional al desplazamiento si éste es lo suficientemente pequeño.
Es posible utilizar el MAS como modelo aproximado de muchos movimientos 
periódicos distintos.
No todos los movimientos periódicos son armónicos simples.
El MAS es el más sencillo de todos los movimientos periódicos.
k
m
 =
1
2 2
k
f
m

 
= =
1 2
2
m
T
f k



= = =
En el movimiento armónico simple, el periodo y 
la frecuencia no dependen de la amplitud A.
Para valores dados de m y k, el tiempo de una oscilación 
completa es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña.
PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DEL MAS
Frecuencia angular en el MAS
Frecuencia en el MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Período en el MAS
DESPLAZAMIENTO EN EL MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
( ) ( )cosx t A t = + Desplazamiento en el MAS. 
Gráfica de x en función de t para el movimiento armónico simple ( = 0):
El valor del coseno siempre está entre -1 y 1, entonces x siempre está entre -A y A. 
: ángulo de fase, indica en qué punto del ciclo se encuentra el movimiento para t = 0.
En un MAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración
son funciones sinusoidales del tiempo.


DESPLAZAMIENTO EN EL MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
( ) ( )cosx t A t = +
VELOCIDAD EN EL MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
( ) ( )x
dx
v t Asen t
dt
  = = − + Velocidad en el MAS. 
( ) ( )
2
2
2
cosxx
dv d x
a t A t
dt dt
  = = = − + Aceleración en el MAS. 
Si conocemos la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0x:
0
0
xvarctg
x


 
= − 
 
Ángulo de fase en el MAS. 
2
2 0
0 2
xvA x

= + Amplitud en el MAS. 
ACELERACIÓN EN EL MAS
ENERGÍA EN EL MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Si no hay fuerzas no conservativas que efectúen trabajo
→ se conserva la energía mecánica total
2 21 1 constante
2 2
MEC EL xE K U mv kx= + = + =
En los puntos x = A y x = -A, la velocidad es 0, por lo tanto toda la energía es potencial:
21
2A
A ELE U kA= =
Como no hay fuerzas no conservativas esta energía se conserva en todo punto:
2 2 21 1 1 constante
2 2 2
MEC xE mv kx kA= + = =
ENERGÍA MECÁNICA TOTAL EN EL MAS
( )
2
( )
1
2A
A ELE U kA−− = =
ENERGÍA EN EL MAS
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
B) PÉNDULO SIMPLE DE PEQUEÑA AMPLITUD
Su movimiento es aproximadamente armónico 
simple si la amplitud es lo bastante pequeña. 
En tal caso, la frecuencia angular, la frecuencia 
y el periodo dependen sólo de g y L, y no de la
masa ni de la amplitud.
g
L
 =
1
2 2
g
f
L

 
= =
1 2
2
L
T
f g



= = =
senF mg = − sen Para ϴ pequeños:
2 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Fuerza de restitución
Es un sistema ideal constituido por una partícula de masa puntual m 
suspendida de un punto fijo O mediante un cordón sin masa de longitud L.
Frecuencia angular en el MAS
Frecuencia en el MAS
Período en el MAS
O
El Movimiento Armónico Simple Angular es el movimiento periódico
donde el torque de restitución es directamente proporcional al 
desplazamiento angular con respecto a la posición de equilibrio.
3 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR
z

Dado un cuerpo rígido con momento de inercia I alrededor de su eje.
C) PÉNDULO FÍSICO DE PEQUEÑA AMPLITUD
Es un cuerpo suspendido de un eje de rotación. 
Cuando el cuerpo no está en equilibrio, 
se le aplica un torque de restitución 
proporcional al desplazamiento angular 
con respecto a la posición de equilibrio:
z

mgd =
Torque de restitución
senz mgd = −
sen Para ϴ pequeños:
z = −
(letra griega kappa)
constante de torsiónAnálogo a
xF kx= −
3 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR
Empleando la analogía rotacional de la 
segunda Ley de Newton para un cuerpo rígido:
2
2
. .z cm z cm
d
I I
dt

 = = cmI − =
2
2
cm
d
dt I
 
= −
z = −
Torque de restitución
2
2
cm
d
dt I
 
= −
2
2x
d x k
a x
dt m
= = −Análogo a
Ecuación del movimiento
Torque que tiende a regresar el sistema al equilibrio.
3 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ANGULAR
cm cm
mgd
I I

 = =
1 1
2 2 2cm cm
mgd
f
I I
 
  
= = =
k
m
 =
1
2 2
k
f
m

 
= =
Análogo a
Análogo a
( ) ( )cost t  =  +
 Amplitud Angular
PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DEL MAS ANGULAR
Frecuencia angular
FrecuenciaDesplazamiento La frecuencia angular y el periodo para 
oscilaciones de amplitud pequeña son 
independientes de la amplitud, aunque 
dependen de la masa m, de la distancia
d del eje de rotación a su centro de 
gravedad y del momento de inercia I 
con respecto al eje.
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
Hasta ahora vimos → Sistemas Oscilantes idealizados
No hay fuerzas no conservativas (no hay fricción) →
la energía mecánica total es constante y el sistema sigue 
oscilando eternamente sin disminución de la amplitud.
Sin embargo, en los sistemas reales existen fuerzas no conservativas 
(fuerzas disipadoras de energía), con lo cual las oscilaciones cesan con el tiempo 
a menos que un mecanismo externo suministre la energía mecánica perdida.
La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras 
se denomina amortiguamiento, y el movimiento correspondiente 
se llama movimiento oscilatorio amortiguado.
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE
La fuerza de amortiguamiento por fricción es directamente proporcional 
a la velocidad del cuerpo oscilante.
Sistemas con fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores 
de los automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite.
Ejemplos
Fuerza de restitución (-k.x) Fuerza que tiende a regresar el sistema al equilibrio.
Sobre el cuerpo actúa una fuerza neta:
Fuerza de amortiguamiento (-b.vx) Debida a la fricción.
x xF kx bv= − −
x
dx
v
dt
= b: constante de intensidad de la fuerza de amortiguamiento.
El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad.
x xkx bv ma− − =
2
2
dx d x
kx b m
dt dt
− − =2º Ley de Newton: o bien
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE
2
2
dx d x
kx b m
dt dt
− − = Ecuación diferencial en x.
Si la fuerza de amortiguamiento es relativamente pequeña, 
el movimiento está descrito por:
( ) ( ) ( )/2 cos 'b m tx t Ae t −= +
Desplazamiento en el movimiento
oscilatorio armónico simple con
poco amortiguamiento.
2
2
'
4
k b
m m
 = −
Frecuencia angular en el movimiento
oscilatorio armónico simple con
poco amortiguamiento.
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE
( ) ( ) ( )/2 cos 'b m tx t Ae t −= +Gráfica de con 0 =
4 – MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO
MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE
2
2
'
4
k b
m m
 = −Análisis respecto a la Frecuencia angular
➢ Si 2b km=
(Al liberar el sistema, retorna a su posición de equilibrio sin oscilar).
➢ Si 2b km condición de sobreamortiguamiento.
(Al liberar el sistema, no hay oscilación pero retorna a su posición de equilibrio 
más lentamente que en el caso anterior).
➢ Si 2b km condición de subamortiguamiento.
(Al liberar el sistema, retorna a su posición de equilibrio oscilando con amplitud 
constantemente decreciente).
condición de amortiguamiento crítico. ( )' 0 =
5 – MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO
Un movimiento oscilatorio amortiguado aislado, va perdiendo energía 
mecánica debido a la fuerza de amortiguamiento y dejará de moverse 
en algún momento.
Sin embargo, si se aplica una fuerza impulsora que varíe periódicamente, 
es posible mantener una oscilación de amplitud constante. 
En una oscilación forzada, la frecuencia angular con que la masa oscila es igual a 
la frecuencia angular de la fuerza impulsora, , la cual no tiene porque ser igual 
a la frecuencia angular con que el sistema oscilaría sin una fuerza impulsora.
El movimiento resultante se llama oscilación forzada.
d
'
( ) ( )cosmáx dF t F t=Si la fuerza impulsora es 
( )
2
2 2 2
máx
d d
F
A
k m b 
=
− +
La amplitud de una oscilación forzada es
La amplitud es máxima para próximas a . 
d '
5 – MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO
RESONANCIA
Es el fenómeno que se produce cuando la frecuencia angular de la 
fuerza impulsora, , es cercana a la frecuencia angular natural del sistema 
(frecuencia con la que el sistema oscilaría sin una fuerza impulsora aplicada).
d '
En la Resonancia se produce un pico de amplitud. 
( )
2
2 2 2
máx
d d
F
A
k m b 
=
− +
6 – ONDAS MECÁNICAS
Una onda mecánica es una perturbación (apartamiento del equilibrio), que viaja a 
través de un material llamado medio (cuerda, agua, aire) a velocidad finita.
FENÓMENOS ONDULATORIOS: ONDAS MECÁNICAS
- El medio no viaja por el espacio. Sus partículas individuales realizan movimientos
verticales y/o horizontales alrededor de sus posiciones de equilibrio. 
- Lo que viaja es el patrón de onda con una rapidez constante llamada rapidez de 
onda v, determinada por las propiedades mecánicas del medio. .
- Para poner en movimiento cualesquiera de estos sistemas, debemos aportar 
energía realizando trabajo mecánico sobre el sistema. La onda mecánica transporta 
esta energía de una región del medio a otra. Por lo tanto:
Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra.
6 – ONDAS MECÁNICAS
- Al viajar la onda por el medio, las partículas que constituyen el medio sufren 
desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.
FENÓMENOS ONDULATORIOS: ONDAS MECÁNICAS
- Siempre hay fuerzas que tienden a volver el sistema a su posición de equilibrio.
Ondas Transversales
Ondas Longitudinales
Combinación de ambas
TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS
Ondas Transversales
Los desplazamientos de las partículas del medio son perpendiculares a la dirección 
en la que viaja la onda por el medio. 
Ejemplo
Medio: cuerda
La mano mueve la cuerda hacia arriba y 
regresa, produciendo una onda que 
viaja a lo largo de la cuerda.
En el estado de equilibrio la cuerda 
está en reposo, estirada en línea recta.
6 – ONDAS MECÁNICAS
Si el movimiento de la mano se repite a iguales intervalos de tiempo (como un M.A.S.)
tenemos Ondas Transversales Periódicas.
TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS
TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS
Ondas Longitudinales
Ejemplo
Medio: líquido o gas en un tubo con una pared rígida en el extremo 
derecho y un pistón móvil en el izquierdo.
Si se le aplica al pistón un movimiento 
hacia delante y hacia atrás, se produce 
una onda que viaja a lo largo del medio.
Los desplazamientos de las partículas del medio son hacia adelante y hacia atrás, 
en la misma línea en la que viaja la onda por el medio. 
En el estado de equilibrio el fluido 
está en reposo con presión uniforme.
6 – ONDAS MECÁNICAS
Si el movimiento del pistón se mueve con un M.A.S.
tenemos Ondas Longitudinales Periódicas.
Ondas Transversales Periódicas en una cuerda
6 – ONDAS MECÁNICAS
Si la cuerda se mueve verticalmente con movimiento armónico simple (M.A.S.) 
con amplitud A, frecuencia f, frecuencia angular ω = 2.π.f y período T = 1 / f, tenemos 
Ondas Transversales Periódicas, también llamadas ondas senoidales.
ONDAS MECÁNICAS PERIÓDICAS
Cualquier onda periódica puede representarse 
como una combinación de ondas senoidales. 
Por lo tanto, este tipo de movimiento ondulatorio
merece atención especial.
La onda producida es una sucesión
simétrica de crestas y valles. 
La distancia entre una cresta y la siguiente (o entre un 
valle y el siguiente) se denomina longitud de onda λ.
El patrón de onda viaja con rapidez constante v
y avanza una longitud de onda λ en el lapso de 
un período T. Por lo tanto: /v T f cte = = =
(Onda periódica)
Ondas Transversales Periódicas en una cuerda
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS MECÁNICAS PERIÓDICAS
En la Figura se muestra la cuerda a intervalos de 1/8 de
período para un total de un período T. El área sombreada 
muestra el movimiento de una longitud de onda λ. 
Cualquier punto de la cuerda oscila verticalmente 
alrededor de su posición de equilibrio con M.A.S. 
con la misma frecuencia.
La Amplitud de la onda es la altura de una cresta 
sobre el nivel de equilibrio.
Movimiento ondulatorio: el patrón de la onda avanza 
con rapidez constante v a lolargo de la cuerda.
Movimiento de partículas: cada partícula se mueve 
con M.A.S. y de manera transversal (perpendicular) 
a la longitud de la cuerda.
Ondas Transversales Periódicas en una cuerda
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS MECÁNICAS PERIÓDICAS
Las ondas en una cuerda se propagan en una sola dimensión.
Los conceptos de frecuencia, longitud de onda y amplitud son también aplicables a 
las ondas longitudinales, o aquellas que se propagan en dos o en tres dimensiones. 
Onda que se propaga en dos dimensiones en la 
superficie de un tanque de agua.
6 – ONDAS MECÁNICAS
Las ondas en una cuerda son transversales→ durante el movimiento ondulatorio una 
partícula con posición de equilibrio x se desplaza cierta distancia y en la dirección 
perpendicular al eje x. El valor de y depende de cuál partícula estamos considerando 
(es decir, y depende de x) y también del instante t en que la consideramos. Así, y es 
función tanto de x como de t. 
La Función de Onda es una función que describe la posición 
de cualquier partícula en el medio en cualquier instante. 
Análisis para ondas senoidales generadas en una cuerda estirada.
Posición de equilibrio: línea recta (el eje x de un sistema de coordenadas). 
Ondas senoidales: cada partícula tiene un M.A.S. alrededor de su posición de equilibrio.
y = y(x, t) → función de onda que describe la onda.
Función de Onda
DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA
Conocida la función de onda para un movimiento ondulatorio, es posible 
calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una dada 
partícula del medio en cualquier instante.
6 – ONDAS MECÁNICAS
( ) ( ), cosy x t A kx t= −
Función de onda para una onda senoidal (que se mueve en la dirección +x):
2
:k


= Número de ondav f= 2 f =
DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA
( ) ( )2 2
2 2 2
, ,1y x t y x t
x v t
 
=
 
Ecuación de Onda
Es una de las ecuaciones más importantes en
física. Es válida también para ondas no senoidales
y para ondas electromagnéticas.
Describe la onda que se propaga a lo largo del eje x con rapidez v.
( )
( )
( )
,
, seny
y x t
v x t A kx t
t
 

= = −

( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
,
, cos ,y
y x t
a x t A kx t y x t
t
  

= = − − = −

Desplazamiento en el eje y 
de una partícula del medio
(Solución de la Ecuación de Onda)
Velocidad en el eje y de 
una partícula del medio 
Aceleración en el eje y de
una partícula del medio 
6 – ONDAS MECÁNICAS
( ) ( ), cosy x t A kx t= −
DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA
Gráfico de una función de onda
Desplazamiento
Gráfica de la función de onda y(x,t) en función de x para t = 0:
Gráfica de la función de onda y(x,t) en función de t para x = 0:
( ) ( )
2
,0 cos cos
x
y x A kx A


 
= =  
 
( ) ( ) ( )
2
0, cos cos cos
t
y t A t A t A
T

 
 
= − = =  
 
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ESTACIONARIAS
Hasta aquí se han estudiado ondas que se 
propagan continuamente en la misma dirección. 
Sin embargo, cuando una onda choca contra las 
fronteras de su medio, se refleja parcial o 
totalmente. Si por ejemplo una persona grita 
hacia la pared de un edificio que está a cierta 
distancia, la onda sonora se refleja en la 
superficie rígida y es posible escuchar el eco. 
Para el caso de la cuerda, al sacudir un extremo 
de la misma y dejar fijo el otro extremo, se 
genera un pulso que viaja a lo largo de la cuerda 
(pulso incidente) y se refleja en el extremo fijo 
(pulso reflejado). El pulso reflejado se invierte 
respecto del pulso incidente.
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ESTACIONARIAS
La onda incidente y la reflejada viajan en direcciones opuestas y se superponen en la 
misma región de la cuerda. 
Esta superposición de las ondas incidente y reflejada se denomina interferencia.
Sean: la onda incidente,
la onda reflejada,
entonces, por el Principio de Superposición (válido para sistemas lineales como la 
Ecuación de Onda), la onda resultante de la interferencia de la ondas incidente y 
reflejada es una onda estacionaria dada por:
Si se imprime un movimiento periódico senoidal a un extremo de una cuerda, mientras 
que su otro extremo queda fijo, se produce la superposición de dos ondas, una que 
representa la onda incidente y otra que representa la onda reflejada en el extremo fijo. 
( ) ( ) ( )1 2, , ,y x t y x t y x t= +
Onda Estacionaria 
resultante
( ) ( )1 , cosy x t A kx t= −
( ) ( )2 , cosy x t A kx t= +
Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de 
la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) 
que avanzan en sentido opuesto a través de un medio.
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ESTACIONARIAS
En las ondas estacionarias existen ciertos puntos llamados nodos, los cuales 
permanecen inmóviles. Y a la mitad de camino entre dos nodos existen ciertos 
puntos llamados antinodos donde la amplitud del desplazamiento es máxima. 
En las ondas estacionarias el patrón de onda parece estar quieto a lo largo de la 
cuerda y no transfieren energía de un extremo a otro. Diferente a lo que ocurre con 
las ondas cuyo patrón de onda viaja con rapidez constante v (ondas viajeras). 
Nodos y Antinodos
Los nodos se encuentran 
en las posiciones:
2 3
0, , , ,...
2 2 2
x
  
=
(x = 0 es el extremo fijo
de la cuerda)
La distancia entre dos nodos siempre es λ/2.
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ESTACIONARIAS
En el movimiento armónico forzado se estudió la existencia de la frecuencia de 
resonancia, la misma es aquel valor de frecuencia de excitación que coincide con la 
frecuencia natural del sistema y para el cual la amplitud de la oscilación es máxima, 
a esta frecuencia de resonancia también se la conoce como modo normal de 
vibración.
A diferencia de lo que sucede en el movimiento armónico forzado, que tiene una 
frecuencia de resonancia, las ondas estacionarias sobre una cuerda presentan 
infinitos modos normales de vibración, para los cuales la amplitud de la onda 
también es máxima. 
Se llama frecuencia fundamental al menor de los modos normales de vibración, 
mientras que los demás son conocidos como armónicos.
Modos normales de vibración
6 – ONDAS MECÁNICAS
ONDAS ESTACIONARIAS
Modos normales de vibración
Si ambos extremos de una cuerda con longitud L están fijos, sólo puede haber 
ondas estacionarias si L es un múltiplo entero de λ/2.
• Ejercicio 1: Movimiento Armónico Simple (MAS).
Un cuerpo oscila con MAS. La dependencia de la posición x con el tiempo t está dada por:
x (t) = 0,4 sen (0,1 π t + 0,5 π), donde x se mide en metros y t en segundos.
A partir de esta información determinar:
a) La amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial del movimiento.
b) Las expresiones generales para la velocidad y la aceleración.
c) Las condiciones iniciales de la posición, velocidad y aceleración.
d) La posición, la velocidad y la aceleración para t = 5 s.
e) Representar en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.
• Ejercicio 2: Movimiento Armónico Simple (MAS).
Un cuerpo de 4 kg está vibrando con movimiento armónico simple de amplitud 8 cm y frecuencia de 1 Hz.
a) Expresar las ecuaciones que representan a x(t), v(t) y a(t), suponiendo que el movimiento comienza a medirse cuando el cuerpo se
encuentra en el extremo positivo de la elongación.
b) Graficar aproximadamente x(t), v(t) y a(t).
c) ¿Cuál es la máxima velocidad positiva? ¿En cuál instante es alcanzada? ¿Y en cuál posición?
d) Calcular la energía mecánica y la constante k del resorte.
• Ejercicio 3: Movimiento Armónico Simple (MAS).
Un cuerpo de masa m = 0,25 kg está sometido a una fuerza recuperadora elástica de constante k = 25 N/m. Si el cuerpo está oscilando
y en el instante inicial t = 0, es decir cuando comenzamos a registrar el movimiento, el valor de la energía potencial elástica es de 0,6 J y
el de la energía cinética es de 0,2 J:
(i) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?
(ii)¿Cuánto vale la energía potencial elástica cuando la elongación es igual a la mitad de la amplitud?
(iii) ¿Para qué valor de la elongación son iguales la energía cinética y la potencial elástica?
(iv) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el centro de la trayectoria?
(v) Determinar el período T, la frecuencia f y la frecuencia angular w.
• Ejercicio 4: Péndulo simple.
El periodo de un péndulo simple es de 3 s (g = 10 m/s2). Calcule su periodo sí:
a) Su longitud aumenta un 60%. 
b) Su longitud disminuye un 60%. 
• Ejercicio 5: Péndulo simple.
Calcular las oscilaciones por minuto que realiza un péndulo simple de 80 cm de longitud, en un lugar donde el valor de la aceleración de la
gravedad es g = 9.8 m/s2. Repetir si el péndulo estuviese en la Luna (g = 1.62 m/s2).
• Ejercicio 6: Péndulo físico.
Un péndulo físico está formado por una varilla uniforme de 0,5 kg y longitud 2 metros, cuyo pivote se encuentra en un extremo. Calcular el
periodo de su movimiento.
• Ejercicio 7: Ondas mecánicas.
Una persona tensa una cuerda y mueve el extremo izquierdo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente con una frecuencia de 3 Hz y una 
amplitud de 0.25 m. La rapidez de onda es 9 m/s. En t = 0, el extremo tiene desplazamiento positivo máximo y está en reposo 
instantáneamente. 
a) Calcular la amplitud, frecuencia angular, período, longitud de onda y número de onda del patrón de onda que se desplaza.
b) Escribir la función de onda que la describe.
c) Escribir la ecuación del desplazamiento en función del tiempo para un punto ubicado a 2 metros del extremo izquierdo.
• Ejercicio 8: Ondas mecánicas.
La ecuación de una onda transversal que está viajando por una cuerda, está dada por: ( )
t x
y x t 2 2
0 01 30
  
=  −  
  
, sen
,Donde x e y se miden en cm y t en s. Calcular:
a) La amplitud de la onda.
b) La longitud de onda.
c) La frecuencia.
d) La velocidad de propagación de la onda.
• Ejercicio 9 :
Analizar la diferencia conceptual entre la longitud de onda y el período de una onda mecánica.
• Ejercicio 10:
La rapidez del sonido depende de la temperatura: a 20 °C, es de 344 m/s. Calcular la longitud de onda de una onda sonora en aire a 20
°C, si la frecuencia es de 262 Hz. Repetir para una frecuencia de 1048 Hz. Sacar conclusiones.
• Ejercicio 12: (Opcional)
En búsqueda de la función de onda para la onda estacionaria.
a) Escribir la función matemática correspondiente a la propagación de dos ondas senoidales y1(x,t) e y2(x,t) de la misma amplitud, 
frecuencia y longitud de onda, en un mismo medio que viajan en sentidos opuestos. Para ello tener en cuenta cómo se expresa 
matemáticamente el hecho de que las ondas viajan en sentidos opuestos. 
b) Trabajar con esta expresión aplicando relaciones trigonométricas conocidas, con el objetivo de separar la dependencia espacial de la 
temporal.
c) Imponiendo las condiciones de borde y(0,t)=y(L,t)=0 analizar cómo a partir de las mismas se pueden obtener los modos normales de 
vibración.
• Ejercicio 13: (Opcional)
Una cuerda posee su extremo fijo en x = 0. Una onda senoidal incidente viaja por la cuerda en la dirección –x a 143 m/s, con amplitud
de 0.75 mm y frecuencia de 440 Hz. Esta onda se refleja del extremo fijo en x = 0, y la superposición de las ondas viajeras incidente y
reflejada forma una onda estacionaria.
a) Obtener la ecuación y(x,t).
b) Encontrar los puntos de la cuerda que no se mueven (nodos). 
RESPUESTAS:
1) a) 0,4 m; 20 s; 0,05 Hz; π/2 rad
1) b) 0,04 π cos ( 0,1 π t + 0,5 π) m/s; –0,004 π2 sen ( 0,1 π t + 0,5 π) m/s2
1) c) 0,4 m; 0 m/s; –0,004 π2 m/s2
1) d) 0 m; – 0,04 π m/s; 0 m/s2
3) (i) 0,253 m
3) (ii) 0,2 J
3) (iii) 0,179 m
3) (iv) 2,53 m/s
3) (v) 0,628 s; 1,59 Hz; 10 rad/s
4) a) 3,8 s
4) b) 1,9 s
5) 33,4; 13,6
6) 2,3 s
7) a) 0,25 m; 18.85 rad/s; 0,33 s; 3 m; 2,1 rad/m
7) b) 0,25 cos (2,1.x – 18.85. t)
7) c) 0,25 cos (4,2 – 18.85. t)
8) (a) 2 cm (b) 30 cm (c) 100 Hz (d) 30 m/s
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