32 Progresiones

Vista previa del material en texto

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
1 
 
MATEMÁTICAS BÁSICAS 
 
PROGRESIONES 
 
 
SUCESIÓN Y SERIE 
 
Una sucesión es una lista de números que siguen una regla determinada: 
 
{ } { }nin aaaaaa ,,,,, 321 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
Formalmente, las sucesiones se definen como un tipo especial de función de n cuyo dominio es el conjunto de 
números naturales N: 
 
{ } RNan →: 
 
Ejemplos de sucesiones: 
 
1) { } { }⋅⋅⋅= ,25,20,15,10,5na 
2) { } { }⋅⋅⋅= ,40.0,35.0,30.0,25.0,20.0na 
3) { } { }⋅⋅⋅= ,16,8,4,2,1na 
4) { } { }⋅⋅⋅−−= ,3,3,3,3,3na 
 
El término i-ésimo ia de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del número 
en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término ( )1a es 5, el segundo 
término ( )2a es 10, el tercer término ( )3a , es 10. El término enésimo o general es na . 
 
Ejemplo. 
En la sucesión:{ }





 ⋅⋅⋅= ,
2
5
,2,
2
3
,1,
2
1
na , el término enésimo o general es: 





=
2
n
an . 
 
Para conocer los términos de una sucesión, se sustituye el valor de n desde 1 hasta el valor que se desee. 
 
Una sucesión es infinita cuando tiene un número infinito de términos. 
Ejemplo: { } { }⋅⋅⋅= ,21,16,11,6,1na 
 
Una sucesión es finita cuando tiene un número determinado de términos. 
Ejemplo: { } { }31,27,23,19,15,11,7,3=na 
 
Una sucesión que se aproxima cada vez más a un cierto número, se llama convergente. 
Ejemplo: { }





 ⋅⋅⋅= ,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1na (se acerca a cero) 
 
Una sucesión que no tiene límite es divergente. 
Ejemplo: { } { }⋅⋅⋅= ,30,25,20,15,10,5na (no se acerca a ningún número) 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
2 
 
Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior. 
Ejemplo: { } { }⋅⋅⋅= ,18,15,12,9,6,3na 
 
• Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. 
Ejemplo: { } { }⋅⋅⋅−−−−= ,7,5,3,1,1na 
 
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. 
Ejemplos: 
Monótona creciente: { } { }⋅⋅⋅= ,40,32,24,16,8na 
Monótona decreciente: { } { }⋅⋅⋅= ,25,25,25,25,25 6543na 
 
Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. La suma puede ser finita o infinita. Los 
elementos de las series pueden ser números, letras o una combinación de ambas. Una serie puede 
representarse de dos formas: 
 
• Enlistando los elementos con los signos entre los elementos. 
• Usando la llamada notación sigma ( )Σ , que implica la sumatoria de todos los elementos, con sólo el 
término general y el rango de la suma indicada. 
 
Ejemplo. 
Las siguientes expresiones representan la misma serie: 
 
10987654321 −+−+−+−+− 
( )∑
=
+−=
10
1
1
1
n
n
n ns 
 
Se define como serie infinita a la suma de los términos de la sucesión: 
 
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑
∞
=
ni
n
nn aaaaaas 321
1
 
 
en términos prácticos, se denota como ∑= nn as . 
Una serie finita se define como: i
i
n
nn aaaaas +⋅⋅⋅+++==∑
=
321
1
 
Ejemplos. 
1) Dada la sucesión infinita: { }





 ⋅⋅⋅= ,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
na 
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++++==∑ nnn as
2
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
 
 
2) Dada la sucesión finita: { }20,15,10,5,0,5,10,15 −−−=na 
( ) ( ) ( ) 2015105051015
8
1
+++++−+−+−==∑
=n
nn as 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
3 
 
Toda secuencia ordenada de números reales recibió el nombre de sucesión. Dentro del grupo de 
sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite 
sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y las geométricas. 
 
 
PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS 
 
Progresión aritmética es toda sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene 
sumándole al término anterior una constante llamada razón o diferencia. 
 
Se denotan por PA y entre cada término y el siguiente se escribe una coma. 
 
Ejemplos. 
1) { }⋅⋅⋅= ,,,,,,PA 161310741 es una progresión aritmética cuya razón es 3 ya que 314 =− , 
347 =− , 3710 =− , etc. 
 
2) { }⋅⋅⋅−−−= ,,,,,,PA 1173159 es una progresión aritmética cuya razón es 4− ya que 495 −=− , 
451 −=− , 413 −=−− , etc. 
 
Una progresión aritmética es creciente cuando su razón es positiva. 
 
Ejemplo. 





 ⋅⋅⋅=
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
,,,,PA , es creciente porque su razón es 
3
1
. 
 
Una progresión aritmética es decreciente cuando su razón es negativa. 
 
Ejemplo. 
{ }⋅⋅⋅−= 50510152025 ,,,,,,PA , es decreciente ya que su razón es 5− . 
 
ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉ SIMO 
 
Sea la siguiente progresión: 
 
{ }u,,e,d,c,b,aPA ⋯= 
 
en la que u es el término enésimo y cuya razón es r . 
 
Por definición, en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón, por lo tanto: 
 
rab += 
( ) rarrarbc 2+=++=+= 
( ) rarrarcd 32 +=++=+= 
( ) rarrarde 43 +=++=+= , y así sucesivamente. 
 
Se puede apreciar que cada término es igual al primero de la progresión a más tantas veces la razón 
como términos le preceden. Con base a este razonamiento, ésta ley se cumple para todos los términos, 
y, se tendrá que u será igual al primer término a más tantas veces como la razón como términos le 
preceden. Al ser u el término enésimo, le preceden 1−n términos, por lo tanto: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
4 
 
( )rnau 1−+= 
 
Ejemplos. 
1) Hallar el noveno término de { }⋯,,,PA 13107= 
Solución. 
3710 =−=r 
9=n 
7=a 
( ) 312473197 =+=−+=∴ u 
 
2) Hallar el doceavo término de { }⋯,,,PA 1611= 
Solución. 
5116 −=−=r 
12=n 
11=a 
( )( ) 445511511211 −=−=−−+=∴ u 
 
3) Hallar el quinceavo término de 





= ⋯
8
1
7
2
,PA 
Solución. 
56
9
56
167
7
2
8
1 −=−=−=r 
15=n 
7
2=a 
( )
28
55
56
110
56
12616
56
126
7
2
56
9
115
7
2 −=−=−−=−=




−−+=∴ u 
 
DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS 
 
De la fórmula ( )rnau 1−+= , se despejan a , r y n . Esto es: 
 
Primer término: ( )rnua 1−−= 
Razón: 
1−
−=
n
au
r 
Número de términos: 1+−=
r
au
n ó 
r
rau
n
+−= 
 
Ejemplos. 
1) El quinceavo término de una progresión aritmética es 20 y la razón 
7
2
. Hallar el primer término. 
Solución. 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
5 
 
( ) 16420
7
2
11520 =−=−−=a 
 
2) Hallar la razón de la progresión { }41 −−= ,,PA ⋯ , donde 4− es el décimo término. 
Solución. 
( )
3
1
9
3
9
14
110
14 −=−=+−=
−
−−−=r 
 
3) Cuántos términos tiene la progresión { }3064 ,,,PA ⋯= 
Solución. 
246 =−=r 
14
2
28
2
2430 ==+−=n términos. 
 
TÉRMINOS EQUIDISTANTES 
 
Sea la progresión { }u,p,,m,aPA ⋯⋯⋯= de razón r. Si entre a y m hay n términos y entre p y 
u también hay n términos, entonces m y p son términos equidistantes de los extremos. 
 
Si hay n términos entre a y m , se tiene que: ( ) ( )11 _rnam ++= 
ya que al término m le preceden ( )1+n términos contando al término a . 
De la misma forma, si hay n términos entre p y u , se tiene que: ( ) ( )21 _rnpu ++= . 
Restando (2) de (1), se tiene: paum −=− , o bien uapm +=+ 
 
Esto demuestra que en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes es igual a la 
suma de los extremos. 
 
Cuando el número de términos de una PA es impar, el término medio equidista de los extremos y por 
tanto, el doble de este término es igual a la suma de los extremos. 
 
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA 
 
Sea la progresión { }u,m,l,,c,b,aPA ⋯= , que consta de n términos. Si S es la suma de los 
términos se tiene que: 
( )1_umlcbaS ++++++= ⋯ 
o bien que: 
( )2_abclmuS ++++++= ⋯ 
Sumando (1) y (2) se tiene que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aubmcllcmbuaS ++++++++++++= ⋯2 
Pero se sabeque todos los términos son iguales a ( )ua+ por ser términos equidistantes. Esto implica 
que: 
( ) ( ) ( ) ( )uauauauaS ++++++++= ⋯2 , pero como la progresión tiene n términos: 
( )nuaS +=2 
despejando S se obtiene la suma de los términos de una progresión aritmética: 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
6 
 
( )
2
nua
S
+= 
 
Ejemplos. 
1) Hallar la suma de los 19 primeros términos de { }⋯,,,PA 453831= 
Solución. 
73138 =−=r 
( ) 15712631711931 =+=−+=u 
( )
7861
2
1915731
,S =+=∴ 
 
2) Obtener la suma de los 14 primeros términos de 





= ⋯,,,PA
2
1
5
2
10
3
 
Solución. 
10
1
10
34
10
3
5
2 =−=−=r 
( )
10
16
10
13
10
3
10
1
114
10
3 =+=−+=u 
10
133
20
266
2
14
10
16
10
3
==





 +
=∴ S 
 
3) Encontrar la suma de los 60 primeros términos de { }⋯,,,PA 9111 −= 
Solución. 
10111 −=−=r 
( )( ) 5791016011 −=−−+=u 
( )( )
04017
2
6057911
,S −=−+=∴ 
 
MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN 
 
En una progresión aritmética se denominan medios aritméticos a los términos que se encuentran entre el 
primer y el último término. 
 
Ejemplo. 
En la { }2015105051015 ,,,,,,,PA −−−= , los términos 1050510 ,,,,−− y 15 son medios 
aritméticos. 
 
Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos 
extremos sean los dos números dados. 
 
Ejemplos. 
 
1) Interpolar 4 medios aritméticos entre 5 y 12. 
Solución. 
Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
7 
 
5
7
16
512
1
=
−
−=
−
−=
n
au
r 
Por lo tanto, el segundo término es: 
5
32
5
7
5 =+ 
el tercer término es: 
5
39
5
7
5
32 =+ 
el cuarto término es: 
5
46
5
7
5
39 =+ 
el quinto término es: 
5
53
5
7
5
46 =+ 
por lo que la progresión buscada es: 





= 12
3
53
5
46
5
39
5
32
5 ,,,,,PA 
 
2) Interpolar 5 medios aritméticos entre 
4
3
 y 
8
1
. 
Solución. 
Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es: 
48
5
6
8
61
17
4
3
8
1
−=
−
=
−
−
=r 
Por lo tanto, el segundo término es: 
48
31
48
5
4
3 =




−+ 
el tercer término es: 
48
26
48
5
48
31 =




−+ 
el cuarto término es: 
48
21
48
5
48
26 =




−+ 
el quinto término es: 
48
16
48
5
48
21 =




−+ 
el sexto término es: 
48
11
48
5
48
16 =




−+ 
por lo que la progresión buscada es: 





=
8
1
48
11
48
16
48
21
48
26
48
31
4
3
,,,,,,PA 
 
PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS 
 
1) Se compran 50 artículos. Por el primero se pagó 800 pesos, y por cada uno de los demás 300 pesos 
más que por el anterior. Hallar el importe de la compra. 
Solución. 
50=n 
800=a 
300=r 
( ) ( )( ) 500153001508001 ,rnau =−+=−+= 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
8 
 
( ) ( )
500407
2
5050015800
2
,$
,nua
S =+=+=∴ 
 
2) Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en progresión aritmética. El último año perdió 
$3,000 pesos y la pérdida de cada año fue de $300 menos que en el anterior. ¿Cuánto perdió el primer 
año? 
Solución. 
5=n 
0003,u = 
300−=r 
( ) ( )( ) 20043001500031 ,$,rnua =−−−=−−= 
 
3) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5,000 la primera semana, $8,000 la segunda 
semana, $11,000 la tercera semana, y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda. 
Solución. 
32=n 
0005,a = 
000300050008 ,,,r =−= 
( ) ( )( ) 00098000313200051 ,,,rnau =−+=−+= 
( ) ( )
0006481
2
32000980005
2
,'$
,,nua
S =+=+=∴ 
 
4) En una carrera un hombre avanza 6 metros en el primer segundo, y en cada segundo posterior avanza 
25 cm. más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el octavo segundo y que distancia habrá recorrido en 8 
segundos? 
Solución. 
6=a 
250.r = 
8=n 
( ) ( )( ) 7572501861 ..rnau =−+=−+= en el octavo segundo 
( ) ( )
55
2
87576
2
=+=+=∴ .nuaS metros. 
 
5) El quinto término de una progresión aritmética es 31 y el noveno 59. Hallar el doceavo término. 
Solución. 
( )1314 _ra =+ 
( )2598 _ra =+ 
restando (2) a (1): 
7
4
28
284 =
−
−=⇒−=− rr 
de (1): ( ) 37431431 =−=−= ra 
por lo tanto, el doceavo término es: ( ) ( )( ) 80711231 =−+=−+= rnau 
 
6) En una progresión aritmética de 12 términos el primer y último término suman 53.5. ¿Cuál es la suma 
del tercer y décimo término? 
Solución. 
Por ser términos equidistantes su suma también es 553. 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
9 
 
 
7) ¿Cuál es el sexto término de una progresión aritmética de 11 términos, si su primer término es -2 y el 
último -52? 
Solución. 
11=n 
2−=a 
52−=u 
( )
5
10
50
111
252
1
−=−=
−
−−−=
−
−=
n
au
r 
por lo tanto, el sexto término es: ( ) ( )( ) 2751621 −=−−+−=−+= rnau 
8) ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión { }⋯,,,,PA 37292113= para que su suma sea 
490? 
Solución. 
13=a 
81321 =−=r 
490=S 
( )
2
nua
S
+= pero ( )rnau 1−+= , así que: 
( )[ ]
2
1 nrnaa
S
−++= 
sustituyendo valores: 
( )[ ]
09801888826980
2
811313
490
22 =−+⇒−+=⇒−++= nnnnnnn 
resolviendo la ecuación de segundo grado por la fórmula general: 
( )( )
( ) 16
17818
16
3603132418
82
980841818
2 ±−=+±−=
−−±−
= ,n 
10
16
160
16
17818
1 ==
+−=n 
2512
16
196
16
17818
2 .n −=−=
−−= (esta raíz que se descarta porque n no puede ser negativo) 
por lo tanto, el último término es: ( ) ( )( ) 858110131 =−+=−+= rnau 
 
 
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 
 
Antiguamente había quienes estaban interesados en sucesiones de números figurados cuyos elementos 
consistían en números que podían asociarse con figuras geométricas formadas por puntos. Aunque 
muchas sucesiones sólo interesan desde el punto de de vista de pasatiempo, hay otras de gran interés. 
 
Como ejemplificación de esto es el número de antepasados que tiene o tuvo una persona en cada 
generación que le precede, ya que tiene o tuvo dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc. 
 
Otro ejemplo puede ser el truco de los espejos en el que se fotografía la imagen de alguien reflejado en 
un espejo mientras que sostiene otro espejo orientado hacia el primero, de manera que su imagen se 
refleja una y otra vez, una infinidad de veces. Si los espejos se colocan en forma adecuada, las primeras 
imágenes reflejadas son cada vez más pequeñas teniendo cada una, después de la primera, la mitad de 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
10 
 
altura que la anterior. Así, si la altura de la primera imagen es h , entonces las alturas de las imágenes 
sucesivas forma la sucesión: 
 
⋯⋯ ,
h
,,
h
,
h
,
h
,h
n 1
2842
− 
 
Cada término, excepto el primero, de la sucesión puede obtenerse multiplicando el término anterior por 
2
1
. 
 
Las anteriores progresiones reciben el nombre de geométricas y que a continuación se definen. 
 
Progresión geométrica es toda sucesión de términos en la cual cada término después del primero se 
obtiene multiplicando al término anterior una constante llamada razón. 
 
Se denotan mediante PG y entre cada término y el siguiente se escribe una coma. 
 
Ejemplos. 
1) { }⋅⋅⋅= ,,,,,,PG 160804020105 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que 2
5
10 = , 
2
10
20 = , 2
20
40 = , etc. 
 
2) 





 ⋅⋅⋅= ,,,,,,,PG
3
1
1392781243 es una progresión geométrica cuya razón es 
3
1
 ya que 
3
1
243
81 = , 
3
1
81
27 = , 
3
1
27
9 = , etc. 
 
Una progresión geométrica es creciente cuando su razón, en valor absoluto, es mayor que uno. 
 
Ejemplo. 
{ }⋅⋅⋅= ,,,,PG 1252551 , es creciente porque su razón es 5 . 
 
Una progresión geométrica es decreciente cuando su razón, envalor absoluto, es menor que uno. 
 
Ejemplo. 





 ⋅⋅⋅= ,,,,,,PG
4
1
2
1
1248 , es decreciente ya que su razón es 
2
1
. 
 
ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉ SIMO 
 
Sea la siguiente progresión: 
 
{ }u,,e,d,c,b,aPG ⋯= 
 
en la que u es el término enésimo y cuya razón es r . 
 
Por definición, en toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la razón, 
por lo tanto: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
11 
 
 
rab ⋅= 
2rarrarbc ⋅=⋅⋅=⋅= 
32 rarrarcd ⋅=⋅⋅=⋅= 
43 rarrarde ⋅=⋅⋅=⋅= , y así sucesivamente. 
 
Se puede apreciar que un término cualquiera es igual al primero de la progresión multiplicado por la 
razón elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden. 
 
Como u es el término enésimo y le preceden 1−n términos, se tiene que: 
 
1−⋅= nrau 
Ejemplos. 
1) Hallar el séptimo término de { }⋯,,,PG 1263= 
Solución. 
2
3
6 ==r 
3=a 
7=n 
( ) ( ) ( ) 1926432323 617 ====∴ −u 
 
2) Hallar el noveno término de { }⋯,,,PG 248= 
Solución. 
2
1
8
4 ==r 
8=a 
9=n 
32
1
256
1
8
2
1
8
2
1
8
819
=




=




=




=∴
−
u 
 
3) Hallar el quinto término de 





 −−= ⋯,,,PG
4
15
2
3
5
3
 
Solución. 
5
3−=a 
5=n 
2
5
6
15
5
3
2
3
−=−=
−
=r 
16
375
80
1875
16
625
5
3
2
5
5
3
2
5
5
3
415
−=−=










−=




−




−=




−




−=∴
−
u 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
12 
 
Cuando la razón es negativa los términos de la progresión geométrica son alternadamente positivos y 
negativos. Si 1−n es par, el resultado tendrá signo positivo y si 1−n es impar, tendrá signo negativo. 
 
DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS 
 
De la fórmula 
1−⋅= nrau , se despejan a , r y n . Esto es: 
 
Primer término: 
1−= nr
u
a 
Razón: 1−= n
a
u
r 
Para obtener el número de términos, se toma el logaritmo de cada uno de los miembros: 
( ) ( ) rLognaLoguLogrLognaLoguLograLoguLog n 111 −=−⇒−+=⇒⋅= − 
( ) 11 −=⇒−= n
rLog
a
u
Log
rLogn
a
u
Log 
Por lo que el número de términos está dado por: 1+=
rLog
a
u
Log
n 
 
Ejemplos. 
1) La razón de una progresión geométrica es 
3
2
 y el noveno término es 
1872
64
,
. Hallar el primer término. 
Solución. 
3
2=r 
9=n 
1872
64
,
u = 
4
3
5616
256
1872
64
3
2
1872
64
3
2
1872
64
8191
==






=






== −−
,
,,,
r
u
a
n
 
 
2) Hallar la razón de { }6405 ,,PG ⋯−= de ocho términos. 
Solución. 
5−=a 
640=u 
8=n 
2128
5
640 7181 −=−=
−
== −−n
a
u
r 
 
3) Cuántos términos tiene la progresión { }6831993 ,,,,PG ⋯= 
Solución. 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
13 
 
3=a 
3
3
9 ==r 
68319,u = 
9181
3
3
68319
1 =+=+=+=
Log
,
Log
rLog
a
u
Log
n 
 
TÉRMINOS EQUIDISTANTES 
 
Sea la progresión { }u,p,,m,aPG ⋯⋯⋯= de razón r. Si entre a y m hay n términos y entre p y 
u también hay n términos, entonces m y p son términos equidistantes de los extremos. 
 
Si hay n términos entre a y m , se tiene que: ( )11 _ram n+⋅= 
ya que al término m le preceden ( )1+n términos contando al término a . 
De la misma forma, si hay n términos entre p y u , se tiene que: ( )21 _rpu n+⋅= . 
Dividiendo (1) por (2), se tiene: 
p
a
u
m = , o bien uapm ⋅=⋅ 
 
Esto demuestra que en toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes es igual al 
producto de los extremos. 
 
Cuando el número de términos de una PG es impar, el término medio equidista de los extremos y por 
tanto, el cuadrado de este término es igual al producto de los extremos. 
 
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 
 
Sea la progresión { }u,m,l,,c,b,aPG ⋯= , que consta de n términos. Si S es la suma de los 
términos se tiene que: 
( )1_umlcbaS ++++++= ⋯ 
Ahora, multiplicando esta expresión por la razón se tiene: 
( )2_rurmrlrcrbrarS ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=⋅ ⋯ 
Restando (1) de (2) se tiene que: 
aruSrS −⋅=−⋅ 
ya que rmu,,rbc,rab ⋅=⋅=⋅= ⋯ , etc., y al restar se anulan. 
Factorizando S : 
( ) arurS −⋅=−1 
despejando S se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica: 
 
1−
−⋅=
r
aru
S 
 
Ejemplos. 
1) Hallar la suma de los 6 primeros términos de { }⋯,,,PG 1684 −= 
Solución. 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
14 
 
2
4
8 ==r 
( ) ( ) ( ) 1283242424 5161 −=−=−=−=⋅= −−nrau 
( )( )
84
3
4256
12
42128 −=
−
−=
−−
−−−=∴ S 
 
2) Obtener la suma de los 7 primeros términos de 





= ⋯,,,PG
3
4
412 
Solución. 
3
1
12
4 ==r 
729
12
3
1
12
3
1
12
617
1 =




=




=⋅=
−
−nrau 
99117
243
3724
3
2
1872
23226
3
2
2187
2442612
3
2
12
1872
12
1
3
1
12
3
1
729
12
.
,,
,,
,
S ≈=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−











=∴ 
 
3) Encontrar la suma de los 8 primeros términos de 





 −= ⋯,,,PG
2
1
12 
Solución. 
2
1−=r 
64
1
128
2
2
1
2
2
1
2
718
1 −=−=




−=




−=⋅=
−
−nrau 
3281251
64
85
2
3
128
255
2
3
128
2561
2
3
2
128
1
1
2
1
2
2
1
64
1
.S ==
−
−
=
−
−−
=
−
−−
=
−−
−




−





=∴ 
 
MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN 
 
En una progresión geométrica se denominan medios geométricos a los términos que se encuentran entre 
el primer y el último término. 
 
Ejemplo. 
En la { }1024256641641 ,,,,,PG = , los términos 64164 ,, y 256 son medios geométricos. 
 
Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica cuyos 
extremos sean los dos números dados. 
 
Ejemplos. 
 
1) Interpolar 4 medios geométricos entre 7− y 224− . 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
15 
 
Solución. 
Si se quiere interpolar 4 medios geométricos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es: 
232
7
224 5161 ==
−
−== −−n
a
u
r 
Por lo tanto, el segundo término es: ( ) 1427 −=− 
el tercer término es: ( ) 28214 −=− 
el cuarto término es: ( ) 56228 −=− 
el quinto término es: ( ) 112256 −=− 
por lo que la progresión buscada es: { }2241125628147 −−−−−−= ,,,,,PG 
 
2) Interpolar 7 medios geométricos entre 8 y 
32
1
. 
Solución. 
Si se quiere interpolar 7 medios geométricos, entonces la progresión consta de 9 términos, y su razón es: 
2
1
256
1
8
32
1
8
19
1 ==== −−n
a
u
r 
Por lo tanto, el segundo término es: 4
2
1
8 =





 
el tercer término es: 2
2
1
4 =





 
el cuarto término es: 1
2
1
2 =





 
el quinto término es: 
2
1
2
1
1 =





 
el sexto término es: 
4
1
2
1
2
1 =





 
el séptimo término es: 
8
1
2
1
4
1 =





 
el octavo término es: 
16
1
2
1
8
1 =





 
por lo que la progresión buscada es: 





=
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1248 ,,,,,,,,PG 
 
SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFIN ITA 
 
Si de la fórmula 
1−
−⋅=
r
aru
S , se sustituye u por su valor 
1−⋅= nrau , se tiene que: 
11
1
−
−⋅=
−
−⋅⋅=
−
r
ara
r
arra
S
nn
 
o bien, si se cambian los signos a los dos términos de la fracción se tiene: 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
16 
 
 
r
raa
S
n
−
⋅−=
1
 
 
En una progresión geométrica decreciente la razón es una fracción propia (menor que uno), y si esta 
razón se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor es la potencia de la fracción. Por 
tanto, entre más grande sea el exponente, menor será nr y también 
nra ⋅ . Siendo n lo suficientemente 
grande, 
nra ⋅ tiende a cero. Esto es: 
r
a
r
raa
limSlim
n
nn −
=
−⋅−=
→∞→∞ 11
 
por lo que cuando el número de términos de la progresión geométrica tiende a infinito, el valor de la suma 
es: 
 
r
a
S
−
=
1
 
Ejemplos. 
Hallar la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas: 
 
1) 





= ⋯,,,PG
8
1
2
1
2 
Solución. 
2=a 
4
1
2
2
1
==r 
3
8
4
3
2
4
1
1
2 ==
−
=S 
 
2) 





= ⋯,,,PG
18
1
6
1
2
1
 
Solución. 
2
1=a 
3
1
6
2
2
1
6
1
===r 
4
3
3
2
2
1
3
1
1
2
1
==
−
=S 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
17 
 
3) 





 −= ⋯,,,PG
25
2
5
2
2 
Solución. 
2=a 
5
1
10
2
2
5
2
−=−=
−
=r 
3
5
6
10
5
6
2
5
1
1
2 ===





−−
=S 
 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINO S DE UNA PROGRESIÓN 
GEOMÉTRICA DECRECIENTE 
 
Sea un cuadrado ABCD que tiene cuatro centímetros de lado. Si se construyen una serie de cuadrados, 
de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los vértices del segundo, los puntos 
medios de los lados de éste, sean los vértices del tercero, y así sucesivamente, se obtiene una figura 
como la siguiente: 
 
 
 
 
El cuadrado ABCD es 216 cm . El cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado ABCD, por lo tanto el área 
de los triángulos HAE, EBF, FCG y GDH es la otra mitad del cuadrado ABCD. Por tanto, el área de los 
triángulos del primer cuadrado interior es igual a 28 cm . 
 
En forma semejante se obtienen las áreas de los demás triángulos. Haciendo la suma de todos ellos, se 
tiene: 
 
Área de los triángulos del primer cuadrado interior es 28 cm 
Área de los triángulos del segundo cuadrado interior es 24 cm 
H F
E
G
A
D C
B
4 cm.
4 cm.
H F
E
G
A
D C
B
4 cm.
4 cm.
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
18 
 
Área de los triángulos del tercer cuadrado interior es 22 cm 
Área de los triángulos del cuarto cuadrado interior es 21cm 
Área de los triángulos del quinto cuadrado interior es 250 cm. 
Área de los triángulos del sexto cuadrado interior es 2250 cm. 
Área de los triángulos del séptimo cuadrado interior es 21250 cm. 
Área de los triángulos del octavo cuadrado interior es 206250 cm. 
Área de los triángulos del noveno cuadrado interior es 2031250 cm. 
Área de los triángulos del décimo cuadrado interior es 20156250 cm. 
La suma de las áreas de los triángulos de los primeros diez cuadrados interiores es 298437515 cm. 
De este ejemplo, se observa que lo números ⋯,,,,,
2
1
1248 forman una progresión geométrica 
decreciente, de razón 
2
1
. El valor de cada término disminuye, y un término se acerca más a cero cuanto 
mayor sea el número de los términos que le preceden. 
La suma de los términos es constantemente inferior a 16, resultado que pudo obtenerse mediante la 
fórmula: 16
2
1
8
2
1
1
8 ==





−
=S 
 
PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 
 
1) Una persona ganó $20 el lunes y cada día ganó el doble de lo que ganó el anterior. ¿Cuánto ganó el 
sábado y cuánto de lunes a sábado? 
Solución. 
20=a 
2=r 
6=n 
( ) ( ) ( ) 6403220220220 5161 $rau n ====⋅= −− ganó el sábado 
( )
2601
12
2002640
1
,$
r
aru
S =
−
−=
−
−⋅=∴ ganó de lunes a sábado 
 
2) Un apostador jugó durante 8 días y cada día ganó 
3
1
 de lo que ganó el día anterior. Si el octavo día 
ganó $10. ¿Cuánto ganó el primer día? 
Solución. 
8=n 
3
1=r 
10=u 
87021
1872
1
10
3
1
10
3
1
10
7181
,$
,
r
u
a
n
==






=






== −− 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
19 
 
3) El cuarto término de una progresión geométrica es 
4
1
 y el séptimo 
32
1
. Hallar el sexto término. 
Solución. 
( )1
4
1
4
1 314 _rara =⋅⇒=⋅ − 
( )2
32
1
32
1 617 _rara =⋅⇒=⋅ − 
de (1): ( )3
4
1
3
−=
r
a 
sustituyendo (3) en (2): 
2
1
8
1
32
4
32
1
432
1
4
1
3
3
3
6
3
==⇒=⇒=⇒=⋅ rrrr
r
 
sustituyendo en (3): 2
4
8
8
4
1
8
1
4
1
2
1
4
1
3
===






=






=a 
16
1
32
1
2
2
1
2
2
1
2
516
1 =




=




=




=⋅=
−
−nrau (sexto término) 
 
4) Un hombre que ahorra cada año los 
3
2
 de lo que ahorró el año anterior, ahorró el quinto año $16,000. 
¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años? 
Solución. 
3
2=r 
00016,u = 
5=n 
00081
81
16
00016
3
2
0001
3
2
00016
4151
,
,,,
r
u
a
n
==






=






== −− 
000211
1
3
2
81
3
2
40016
1
,$
,
r
aru
S =
−
−





=
−
−⋅=∴ ahorró en los cinco años 
 
5) La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 personas que eran de 
2001 a 100,000 en 2007. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año? 
Solución. 
04959,a = 
6=n 
000100,u = 
1111169351
04959
000100
04959
000100 5
5161 ..
,
,
,
,
a
u
r n ≈====∴ −− por año, es decir, creció el 11.11% anual. 
 
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Progresiones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 
20 
 
6) Para construir un desarrollo turístico, se compra un terreno de 2,000 hectáreas a pagar en 15 años de 
este modo: $100 el primer año, $300 el segundo, $900 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuál es el 
importe del terreno? 
Solución. 
3
100
300 ==r 
100=a 
15=n 
( ) ( ) 90029647831003100 141151 ,'rau n ===⋅= −− 
( )
300445717
13
1003900296478
1
,'$
,'
r
aru
S =
−
−=
−
−⋅=∴ 
 
7) Una persona ha invertido en cada año 
3
1
 de los que invirtió el año anterior. Si el primer año invirtió 
$24,300, ¿cuánto ha invertido en 6 años? 
Solución. 
30024,a = 
3
1=r 
6=n 
100
243
1
30024
3
1
30024
3
1
30024
516
1 =




=




=




=⋅=
−
− ,,,rau n 
40036
1
3
1
30024
3
1
100
1
,$
,
r
aru
S =
−
−





=
−
−⋅=∴ invirtió en seis años.