Derivadas - Clase y práctica

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DE RI VA DAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Veamos DE RI VA DAS: 
 
Las derivadas son una herramienta fundamental en el 
cálculo diferencial, ya que nos permiten calcular la tasa de cambio 
instantánea de una función en un punto dado. A través de la 
derivada, podemos entender cómo se comporta una función en 
términos de su pendiente, concavidad y tasas de variación. 
 
A continuación, procederemos a calcular las derivadas de 
las funciones proporcionadas: 
 
1. \(f(x) = x^2\) 
 
La derivada de \(x^2\) con respecto a \(x\) se calcula 
utilizando la regla de potencia, que establece que la derivada de 
\(x^n\) es \(nx^{n-1}\). Aplicando esta regla, obtenemos que la 
derivada de \(x^2\) es \(2x\). 
 
2. \(f(x) = \sin(2x)\) 
 
La derivada de \(\sin(2x)\) se calcula utilizando la regla de la 
cadena, que establece que la derivada de \(\sin(u)\) es \(\cos(u) 
\cdot u'\), donde \(u\) es la función interna. Aplicando esta regla, 
obtenemos que la derivada de \(\sin(2x)\) es \(\cos(2x) \cdot 2\). 
 
3. \(f(x) = \cos^4(x)\) 
 
La derivada de \(\cos^4(x)\) se puede calcular utilizando la 
regla de la cadena y la regla de potencia. Aplicando estas reglas, 
obtenemos que la derivada es \(-4\cos^3(x) \cdot \sin(x)\). 
 
4. \(f(x) = x - \cos(x)\) 
 
 
 
 
 
2 
La derivada de \(x - \cos(x)\) se calcula tomando la derivada 
de cada término por separado. La derivada de \(x\) es 1, y la 
derivada de \(\cos(x)\) es \(-\sin(x)\). Por lo tanto, la derivada de \(x 
- \cos(x)\) es 1 + \sin(x). 
 
5. \(f(x) = x^3 - \sin(x) + \ln(x)\) 
 
La derivada de \(x^3 - \sin(x) + \ln(x)\) se calcula tomando la 
derivada de cada término por separado. La derivada de \(x^3\) es 
\(3x^2\), la derivada de \(-\sin(x)\) es \(-\cos(x)\), y la derivada de 
\(\ln(x)\) es \(\frac{1}{x}\). Por lo tanto, la derivada de \(x^3 - \sin(x) 
+ \ln(x)\) es \(3x^2 - \cos(x) + \frac{1}{x}\). 
 
6. \(f(x) = e^x\cos(x)\) 
 
La derivada de \(e^x\cos(x)\) se calcula utilizando la regla 
del producto, que establece que la derivada del producto de dos 
funciones es el producto de la primera función por la derivada de 
la segunda función, más el producto de la segunda función por la 
derivada de la primera función. Aplicando esta regla, obtenemos 
que la derivada de \(e^x\cos(x)\) es \(e^x\cos(x) - e^x\sin(x)\). 
 
7. \(f(x) = \ln(\cos(x))\) 
 
La derivada de \(\ln(\cos(x))\) se puede calcular utilizando la 
regla de la cadena. Aplicando esta regla, obtenemos que la 
derivada es \(-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). 
 
8. \(f(x) = \ln(5x^2 + 2)\) 
 
La derivada de \(\ln(5x^2 + 2)\) se puede calcular utilizando 
la regla del cociente y la regla de la cadena. Aplicando estas reglas, 
obtenemos que la derivada es \(\frac{10x}{5x^2 + 2}\). 
 
9. \(f(x) = x^5 - \frac{1}{3}x^2 - 8\) 
 
 
 
 
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La derivada de \(x^5 - \frac{1}{3}x^2 - 8\) se calcula tomando 
la derivada de cada término por separado. La derivada de \(x^5\) 
es \(5x^4\), la derivada de \(-\frac{1}{3}x^2\) es \(-\frac{2}{3}x\), y la 
derivada de -8 es 0. Por lo tanto, la derivada de \(x^5 - 
\frac{1}{3}x^2 - 8\) es \(5x^4 - \frac{2}{3}x\). 
 
10. \(f(x) = (-x^2 + 7)^{\frac{1}{3}}\) 
 
La derivada de \((-x^2 + 7)^{\frac{1}{3}}\) se puede calcular 
utilizando la regla de la cadena y la regla del cociente. Aplicando 
estas reglas, obtenemos que la derivada es \(-\frac{2x}{3(-x^2 + 
7)^{\frac{2}{3}}}\). 
 
11. \(f(x) = 3^{5x^{2+4x}}\) 
 
La derivada de \(3^{5x^{2+4x}}\) implica el uso de logaritmos 
y la regla del producto. Esta operación resulta en una expresión 
compleja que involucra logaritmos naturales y exponenciales. 
 
12. \(f(x) = e^{(3x^4-5x)^2}\) 
 
La derivada de \(e^{(3x^4-5x)^2}\) se puede calcular 
utilizando la regla del producto y la regla de la cadena. Aplicando 
estas reglas, obtenemos una expresión compleja que involucra 
exponenciales y funciones polinómicas. 
 
Las derivadas son una herramienta poderosa para 
comprender el comportamiento de las funciones en términos 
de su tasa de cambio instantánea. El cálculo detallado de las 
derivadas proporciona información crucial sobre las 
propiedades y el comportamiento de las funciones en 
diferentes contextos matemáticos y científicos. 
 
 
 
 
 
 
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Vamos para que hagas el práctico: 
 
 
Práctico Derivadas 
Calcular las siguientes derivadas 
 
1) f(x) = x2 
 
2) f(x) = sen 2x 
 
3) f(x) = cos4 x 
 
4) f(x) = x - cos x 
 
5) f(x) = x3 - sen x + ln(x) 
 
6) (x) = ex cos x 
 
7) f(x) = ln (cos x ) 
 
8) f(x) = ln( 5x2 +2) 
 
9) f)x) = x5 − 
1
3
 x2 - 8 
10) f(x) = (−x2 + 7)
1
3 
 
11) f (x) = 2/772x x2x7 −+ 
 
12) f(x) = 35x
2 +4x
 
 
13) f(x) = e(3x
4−5x)2