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Unidad 4
TIPOS DE FUNCIONES Y OPERACIONES
Tema 1
Tipos de funciones
MATEMÁTICAS
Profesor Igor Ernesto Díaz
Subtemas
Subtemas del tema 1:
 Subtema: 1.- Función lineal, función cuadrática
 Subtema: 2.- Función exponencial, función logarítmica, asíntotas
 Subtema: 3.- Funciones polinomiales, raíces de polinomios
 Subtema: 4.- Funciones racionales, asíntotas
3
Objetivo
Identificar el tipo de función que es; mediante la resolución de ejercicios de funciones de una variable real. 
Introducción
En las siguientes láminas se presentan las definiciones y gráficas de funciones crecientes, decrecientes, monotonías, acotadas y periódicas de una variable real. 
4
ACTIVIDAD DE INICIO
Lluvia de ideas sobre la temática de: 
¿Qué tipos de funciones conoces?
I. Función Lineal
Es de la forma f(x) = mx + n
	con	m : Pendiente
		n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el 	 eje Y (coeficiente de posición).
	
	Ejemplo:
	La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3. 
I. Función Lineal
Análisis de la Pendiente
	Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.
Si m < 0, entonces la función es decreciente.
Si m = 0, entonces la función es constante.
Si m > 0, entonces la función es creciente.
I. Función Lineal
 I)
II)
X
Y
n
m > 0
n > 0
X
Y
n
m < 0
n > 0
X
Y
n
m > 0
n < 0
X
Y
n
m < 0
n < 0
III)
IV)
I. Función Lineal
Tipos de funciones especiales:
a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:
1
2
f(x)
x
1
2
-1
-1
I. Función Lineal
Tipos de funciones especiales:
b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:
f(x)
x
●
c
con c > 0
f(x)
x
●
c
con c < 0
I. Función lineal
Propiedades:
El dominio de la función lineal son todos los números IR.
Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.
Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.
I. Función Lineal
Evaluación de una función lineal:
	Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.
	
	Ejemplo
	La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:
	f(x) = 0.8x + 250 con x: cantidad de metros recorridos
 f(x): costo en pesos
	3 km = 3000 m
	Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:
	f(3000) = 0.8 · 3000 + 250 = 2650
	Por 3 kilómetros se pagan $2650.
I. Función Lineal
	Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación:
 		2250 = 0.8x + 250 / -250
		2000 = 0.8x / :0.8
 2500 = x
	Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.
I. Función Lineal
Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella:
Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:
	(x	 , f(x )) y (x , f(x ))
	O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:
	(x , y ) y (x , y )
	Donde la función buscada será:
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
x2 - x1
2
1
y – y 1= y2 - y 1 (x – x 1 ) 
I. Función Lineal
Ejemplo
	Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC?
Solución:
Se tiene la siguiente información:
 y 
Cº : variable independiente (x)
ºF : variable dependiente (y)
(0, 32)
(100, 212)
x y
1
1
x y
2
2
I. Función Lineal
Reemplazando en:
Se tiene: 
Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.
1
1
2
1
x - x
2
1
y – y = y - y (x – x ) 
y – 32 = 212 – 32 (x – 0)
100 – 0 
y – 32 = 180 . x
100
y = 1.8· x + 32 
f(x) = 1.8· x + 32 
I. Función Lineal
		Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos 	términos aumentan en una misma cantidad constante 	llamada diferencia. Este crecimiento aritmético 	gráficamente está representado por una recta con pendiente 	positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un 	decrecimiento aritmético.
Ejemplo:
			f (x) = 2x + 1
			f (0) = 2· 0 + 1 = 1
			f (1) = 2· 1 + 1 = 3
			f (2) = 2· 2 + 1 = 5
			f (3) = 2· 3 + 1 = 7
			
+2
+2
+2
I. Función Lineal
Gráficamente
1
2
3
5
1
II. Función Cuadrática
Son de la forma:
Gráfica:
			Siempre es una parábola, dependiendo su forma y 		la ubicación de sus coeficientes a, b y c.
f(x) = ax² + bx + c
II. Función Cuadrática
Concavidad:
	El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.
x
y
0
x
0
y
a > 0, Abierta hacia arriba
a < 0, Abierta hacia abajo
II. Función Cuadrática
Eje de simetría y vértice:
	
	El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.
	El vértice está dado por:
		Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 
2a
2a
2a
4a
II. Función Cuadrática
	Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.
-b 
2a
_ b² - 4ac 
 4a
x
y
·
-b 
2a
x
0
y
·
_ b² - 4ac 
 4a
-b 
2a
a > 0
a < 0
II. Función Cuadrática
Intersección con los ejes
Intersección con el eje Y 
	El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.
	Sus coordenadas son (0, c)
0
c
·
y
x
II. Función Cuadrática
Intersección con el eje X
	para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.
	Se define el discriminante como:
D = b² - 4ac
II. Función Cuadrática
 a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.
0
·
Y
X
a > 0
(x = x , 0)
1
2
II. Función Cuadrática
b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X
0
·
Y
X
a > 0
·
(x ,0) y (x , 0)
1
2
II. Función Cuadrática
c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.
0
Y
X
a > 0
II. Función Cuadrática
Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado
	Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.
	Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:
x = -b ±√b²- 4ac
 2a
x = -b ±√b²- 4ac
 2a
 
1
x = -b ±√b²- 4ac
 2a
 
2
Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas 
(x ,0) y (x , 0)
1
2
II. Función Cuadrática
Tipos de soluciones
Dependen del valor del Discriminante
Si D = 0, 2 soluciones reales iguales
Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )
Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )
D = b² - 4ac
(x = y)
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
II. Función Cuadrática
Ejemplo:
Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?
Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por
En este caso	a = 1	b = 2	c = -15
Luego,
Luego, 
		 x = 3 x = -5 
x = -b ±√b²- 4ac
 2a
x = -2 ±√2²- 4·1·(-15)
 2·1
x = -2 ±√4- 60
 2
x = -2 ±√64
 2
x = -2 ±8
 2
x = -2 + 8
 2
1
x = -2 - 8
 2
2
1
2
III. Función Exponencial
Las funciones exponenciales son de la forma y= ax, siendo a>0 y a≠1.
	
	La función exponencial f con base a se define como
f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR 
x
III. Función Exponencial
Propiedades:
El dominio de la función exponencial está dado por los números IR.
El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.
El punto de intersección de lafunción con el eje Y es (0, 1).
La función no intercepta el eje X.
III. Función Exponencial
Crecimiento y decrecimiento exponencial:
Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.
Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.
III. Función Exponencial
Crecimiento y decrecimiento exponencial:
Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR
III. Función Exponencial
Ejercicio:
Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias y que la población se triplica cada una hora.
Solución:
Cantidad inicial = 10.000
Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000
Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000
… Después de x horas = 10.000· 3
	Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función:
			
			f(x) = 10.000 · 3
x
x
IV. Función Logarítmica
Son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si tenemos la función exponencial y=a x su función inversa es y=log a x, siendo a>0 y a≠1.
	Su representación es la siguiente: 
IV. Función Logarítmica
Propiedades
El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0.
El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).
La función no intercepta el eje Y.
IV. Función Logarítmica
Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.
a
IV. Función Logarítmica
Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.
a
IV. Función Logarítmica
Ejercicios:
Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función f(x) = log x, determine f(6).
Solución:
		f(6) = log (6)
Donde
		log 6 = log (2 · 3)
Por Propiedad
		log (2 · 3) = log 2 + log 3
			 = 0.3010 + 0.4771
			 = 0.7781
Por lo tanto:
			Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781
IV. Función Logarítmica
La Respuesta correcta es D
ACTIVIDAD DE CIERRE
 Conclusiones y preguntas sobre la clase
Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.
ó
Realizar la pregunta por vía chat de Zoom
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía, 5ta edición. Arya, Lardner, Ibarra. Pearson Education.
Matemáticas para Administración y Economía, 10ma edición. Haeussler, Paul. Pearson Education. 
Fundamentos matemáticos para bachillerato, 3ra edición. Baquerizo, Ramos, Carrión. ESPOL.
Haeussler Jr, Ernest f; Paul, Richard s; Wood, Richard J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: Pearson, (4 Ejemplares disponibles en Biblioteca).
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS. : EDITORIAL BONUM, (1 Ejemplar disponible en Biblioteca) 
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