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Unidad 2
ECUACIONES E INECUACIONES
Tema 2
Inecuaciones
MATEMÁTICAS
Subtemas
Subtemas del tema 2:
 1 Definición de desigualdad e inecuación. Similitudes y diferencias.
 2 Relaciones de orden de los números reales, intervalos, inecuaciones lineales.
 3 Inecuaciones cuadráticas, inecuaciones fraccionarias.
 4 Inecuaciones con valor absoluto. 
3
Objetivo
Determinar el conjunto solución de las ecuaciones e inecuaciones mediante procedimientos matemáticos
Introducción
En las presentes láminas se abordan las definiciones de relacionadas con las ecuaciones, sus diferentes clasificaciones, así como sus respectivos procedimientos de resolución. 
4
ACTIVIDAD DE INICIO
Lluvia de ideas sobre la temática de: 
¿Qué es una inecuación?
Subtema 1: Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática en x es de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde a, b y c son constantes que pertenecen a los reales considerando que a ≠ 0.
Por lo tanto, son ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0,
2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0,
4𝑥2 + 5𝑥 = 0,
donde a=1, b=6, c=5 donde a=2, b=1, c= -6 donde a= , b=	, c=
Las dos últimas ecuaciones se pueden dividir entre 2 y 4, respectivamente, obteniéndose
2
1
2
𝑥	+ 2 𝑥 − 3 = 0
5
4
𝑥	+	𝑥 = 0
Una ecuación cuadrática incompleta es aquella en la que b = 0 ó c = 0.
Subtema 1: Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Resolver una ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es encontrar los valores de x que satisfacen la ecuación. Dichos valores de x se llaman ceros o raíces de la ecuación.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Factorización Simple
Fórmula Cuadrática
Subtema 1: Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo:
Realizar la factorización simple de la ecuación:
𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
Factorización Simple
Consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada
binomio.
(x + 4) (x - 2)
x + 4 = 0	x - 2 = 0
x = 0 - 4	x = 0 + 2
𝑥1= - 4	𝑥2 = 2
Ejercicio Propuesto:
Realizar la factorización simple de la ecuación:
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
(x - 3) (x - 2 )
x - 3 = 0	x - 2 = 0
x = 0 + 3	x = 0 + 2
𝑥1= 3	𝑥2 = 2
Subtema 1: Resolución de ecuaciones cuadráticas.
𝑥 =
−𝑏 ±	𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo:
Realizar la factorización a través de la fórmula cuadrática de la ecuación: 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
Fórmula Cuadrática
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
a=	b=	c=
−2 ±	22 − 4(1)(−8)
𝑥 =
2(1)
−2 ±	4 + 32
𝑥 =	2
−2 ± 6
𝑥 =	2
𝑥 =
−2 ±	36
2
𝑥 =
−2 + 6
2
−2 − 6
𝑥 =	2
𝑥 =
4
2
−8
𝑥 =	2
𝑥1 = 2
𝑥2 = −4
Subtema 1: Resolución de ecuaciones cuadráticas.
𝑥 =
−𝑏 ±	𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Fórmula Cuadrática
Ejercicio Propuesto:
Realizar la fórmula cuadrática de la ecuación: 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0
a=
b=	c=
7 ± 5
𝑥 =	4
−(−7) ±	(−7)2−4(2)(3)
𝑥 =
2(2)
7 ±	49 − 24
𝑥 =	4
7 ±	25
𝑥 =	4
𝑥 =
7 + 5
4
7 − 5
𝑥 =	4
𝑥 =
12
4
2
𝑥 = 4
𝑥1 = 3
1
𝑥2 = 2
Subtema 2: Gráfica de una ecuación cuadrática.
La gráfica de una ecuación cuadrática es muy útil para identificar cuántas soluciones y qué tipos de soluciones tiene una función. Hay tres diferentes situaciones que ocurren cuando se grafica una función cuadrática.
Caso 1: La parábola intercepta o corta el eje de las x en dos puntos.
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
−𝑏
𝑥 =
2𝑎
c=
−1
𝑥 = 2(1)
a=	b=
𝑦 = (−0,5)2 + (−0,5) − 6 = 0
y= 0,25 – 0,5 - 6
y= - 6,25
	x	y
	-3	0
	-2	-4
	-1	-6
	-0,5	-6,25
	1	-4
	2	0
x = -0,5
(x + 3) (x - 2)
x + 3 = 0
𝑥1= - 3
x - 2 = 0
𝑥2 = 2
Subtema 2: Gráfica de una ecuación cuadrática.
Caso 2: La parábola toca el eje x en un punto.
−𝑏
𝑥 =
2𝑎
a=
𝑥2− 2𝑥 + 1
b=
c=
𝑥 =
−(−2)
2(1)
+ 1 = 0
𝑦 = (1)2 − 2 1
y= 1 – 2 + 1
y= 0
	x	y
	-1	4
	0	1
	1	0
	2	1
	3	4
x = 1
(x - 1) (x - 1)
x - 1 = 0
x - 1 = 0
x = 1
Subtema 2: Gráfica de una ecuación cuadrática.
Caso 3: La parábola no intersecta o no toca el eje x.
−𝑏
𝑥 =
2𝑎
a=
𝑥2 + 1
b=
c=
−(0)
𝑥 =
2(1)
𝑦 = (0)2 + 1 = 0
y= 0 + 1
y= 1
	x	y
	-2	5
	-1	2
	0	1
	1	2
	2	5
x = 0
𝑥2 = − 1
Cuando la gráfica de una función cuadrática no intercepta o no toca el eje x, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales sino soluciones imaginarias.
Subtema 3: Discriminante.
La expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele
representarse con la letra D o con el símbolo ∆ (delta).
𝑥 =
−𝑏 ±	𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Si el discriminante es menor que cero, como no existen las raíces de números negativos, la ecuación no tendrá
soluciones. Y si es mayor que cero, la ecuación tendrá dos soluciones.
3.	∆	<	0	no	tiene	soluciones	en	R
(soluciones dentro de los imaginarios).
Ejemplo:
1.	∆ > 0 dos soluciones.
Ejemplo:
𝑥2 + 𝑥 − 6= 0
c =
a =	b =
∆ = 12 − 4(1)(-6)
∆ = 25
Positivo, Raíces reales y distintas.
2. ∆ = 0 solución única.
Ejemplo:
𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0
a =	b =	c =
∆ = (−2)2−4(1)(1)
∆ = 0
Posee dos soluciones
reales iguales.
a =
𝑥2 + 1 = 0
b =
c =
∆ = 02 − 4(1)(1)
∆ = -4
Las soluciones no son reales son complejas.
Subtema 4: Ecuaciones cuadráticas con raíces imaginarias.
Sabemos que la solución de una ecuación cuadrática en donde a, b y c, con a ≠ 0, es:
𝑥1 =
𝑥2 =
−𝑏 +	𝑏2 − 4𝑎𝑐	−𝑏 −	𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎	2𝑎
Ejemplo:
Realizar la factorización a través de la fórmula cuadrática de la ecuación: 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0
a=	b=	c=
𝑥 =
−(−2) ±	(−2)2−4(2)(5)
2(2)
𝑥 =
2 ±	4 − 40
4
𝑥 =
2 ±	−36 ∗	−1
4
2 ±	−36
𝑥 =
4
1
2 + 6𝑖
𝑥	=
4
𝑥2 =
2 − 6𝑖
4
𝑖 =	−1
Subtema 4: Ecuaciones cuadráticas con raíces imaginarias.
Ejercicio Propuesto:
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0
𝑥1 =
−𝑏 +
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
a=
b=
c=
𝑥 =
−2 ±	(2)2−4(1)(4)
2(1)
𝑥 =
−2 ±	4 − 16
2
𝑥 =
−2 ±	4 ∗ 3 𝑖
2
𝑥 =
−2 ±	−12
2
𝑥1 = −1 +	3 𝑖
𝑥2 = −1 −	3 𝑖
−2 ±	−(4 ∗ 3) ∗	−1
𝑥 =
2
𝑥 =
−2 ± 2	3 𝑖
2
2(−1 ±
𝑥 =
3 𝑖)
2
Subtema 4: Suma y productos de la raíces.
2
−15 ±	(15) −4(−3)(−18)
𝑥 =
2(−3)
𝑥 =
−15 ±	225 − 216
−6
𝑥 =
−15 ±	9
−6
𝑥1 =
−15 + 3
−6
𝑥2 =
−15 − 3
−6
Si 𝑥1 𝑦 𝑥2 son las raíces de una ecuación de segundo grado a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0	estas cumplen las siguientes
propiedades:
𝑏	𝑐
1. 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎	𝟐. 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 𝑎
Observa que la ecuación de segundo grado se puede escribir en función de la suma s y el producto p de las raíces: 𝑥2 − 𝒔𝑥 + 𝒑 = 0
Ejemplo:
Realizar la factorización a través de la fórmula cuadrática de la ecuación: −3𝑥2 + 15𝑥 − 18 =
0
𝑥 =
−𝑏 ±	𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−12
𝑥1 =	−6
𝑥1 = 2
−18
𝑥2 =	−6
𝑥2 = 3
𝑥1 + 𝑥2 = 2 + 3 = 5
− 𝑏 =	−15= 5
𝑎	−3
a=	b=	c=
𝑥1 ∗ 𝑥2 = 2* 3 = 6
𝑐 = −18= 6
𝑎	−3
Subtema 4: Suma y productos de la raíces.
Ejercicio Propuesto:
1
5
1.- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean	y 4 :
Calculamos:
1	2
5
1
Sabemos que una función cuadrática se la puede representar por: 𝑥2 − 𝒔𝑥 + 𝒑 = 0 tenemos que s = 21 y p = 4, entonces la función cuadrática es:
𝑥2 − 𝒔𝑥 + 𝒑 = 0
5𝑥2 − 𝟐𝟏𝑥 + 𝟒 = 0
1. 𝑥	+ 𝑥	= 1 + 4= 21
5
4
𝟐. 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 5 * 4= 5
ACTIVIDAD DE CIERRE
Conclusiones y preguntas sobre la clase
Utilizar el botón “levantar la mano” de Zoom, para acceder al uso del micrófono de forma ordenada.
ó
Realizar la pregunta por vía chat de Zoom
Bibliografía
Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía, 5ta edición. Arya, Lardner, Ibarra. Pearson Education.
Matemáticas para Administración y Economía, 10ma edición. Haeussler, Paul. Pearson Education. 
Fundamentos matemáticos para bachillerato, 3ra edición. Baquerizo, Ramos, Carrión. ESPOL.
Haeussler Jr, Ernest f; Paul, Richard s; Wood, Richard J. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: Pearson, (4 Ejemplares disponibles en Biblioteca).
DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS. : EDITORIAL BONUM, (1 Ejemplar disponible en Biblioteca) 
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