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Estadística I Clase del día 12/04/2022 Probabilidad Docente: Roberto Emanuel Díaz Ansberck Terminología básica en probabilidad • En general, la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. • Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre. • Un evento es uno o más de los posibles resultados de hacer algo Terminología básica en probabilidad • La actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento. • Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestral del experimento • Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo Probabilidad clásica A la probabilidad clásica, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que si empleamos ejemplos ordenados como monedas no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales, entonces podemos establecer la respuesta de antemano (a priori) sin necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta Reglas de probabilidad La mayoría de los administradores que utiliza la probabilidad se preocupan por dos condiciones: • El caso en que un evento u otro se presente. • La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo. Demostramos interés en el primer caso cuando preguntamos: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario?” Para ilustrar la segunda situación, podríamos preguntar: “¿Cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario y que el 10% de nuestra fuerza de ventas no se presente a trabajar?” Algunos símbolos, definiciones y reglas de uso común Una probabilidad sencilla quiere decir que sólo un evento puede llevarse a cabo. Se le conoce como probabilidad marginal o incondicional Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes Estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. Esta regla se expresa simbólicamente de la siguiente manera: Regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de adición: Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede, o no, tener un efecto en el resultado del segundo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes. En esta sección examinaremos los eventos que son estadísticamente independientes, es decir, aquellos en donde la presentación de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro. Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística: • Marginal. • Conjunta. • Condicional. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales. Matemáticamente lo escribimos como: • P(AB) probabilidad de que los eventos A y B se presenten juntos o en sucesión; se le conoce como probabilidad conjunta • P(A) probabilidad marginal de que se presente el evento A • P(B) probabilidad marginal de que se presente el evento B Probabilidades condicionales bajo independencia estadística La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer evento (A) ya ha ocurrido. Probabilidades condicionales bajo independencia estadística A primera vista, esto parecería ser contradictorio. Recuerde, sin embargo, que por definición, un evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocurrencia del resto de los eventos. De hecho, la independencia estadística se define simbólicamente como la condición en la cual se cumple que P(B|A) = P(B). Una tienda de abarrotes revisó sus políticas de reabastecimiento y analizó el número de botellas de medio galón de jugo de naranja vendidos diariamente durante el último mes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día seleccionado al azar el número de botellas de medio galón vendido durante la tarde esté entre 80 y 99? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido 39 botellas o menos durante una tarde elegida aleatoriamente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido entre 0 y 19, o bien, 100 o más botellas durante una mañana elegida al azar? Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento depende o se ve afectada por la presentación de algún otro. Exactamente igual que con los eventos dependientes, los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son: • Condicional. • Conjunta. • Marginal. Probabilidad condicional bajo dependencia estadística Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Analizaremos primero las probabilidades condicionales, debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si utilizamos la probabilidad condicional como base. Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolillas distribuidas de la siguiente manera: • Tres son de color y tienen puntos • Una es de color y tiene franjas • Dos son grises y tienen puntos • Cuatro son grises y tienen franjas La probabilidad de sacar cualquiera de las bolillas es de 0,1, ya que existen 10 bolillas con igual probabilidad de ser elegidas. A partir del planteamiento del problema, sabemos que hay cuatro bolillas de color, tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bolilla tenga puntos y de que tenga franjas. Para hacerlo dividimos el número de bolillas de cada categorías entre el número total de bolillasas de color. Tres cuartos de las bolillas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. Así pues, la probabilidad de sacar una bolilla con puntos, dado que ésta es de color, es de 0,75. De forma parecida, la probabilidad de obtener una bolilla con franjas, dado que ésta es de color, es de 0,25. Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística, despejando P(BA) mediante una multiplicación, obtendremos la fórmula para la probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística: Observe que esta fórmula no es P(BA) P(B) P(A), como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística. Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. Una tienda del partido de Lanús ha sido objeto de muchos robos durante el último mes; pero, debido al aumento en las medidas de seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada ladrón; también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule: a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre. b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. c) la probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente. d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. e)la probabilidad de que sea hombre y reincidente. Ley Multiplicativa de las probabilidades Un simple artificio matemático aplicado a probabilidades condicionadas, permite concluir una importante relación entre las probabilidades conjuntas, marginales y condicionales, llamada " ley multiplicativa de las probabilidades”. La ley multiplicativa de las probabilidades da noción de una sucesión de eventos ordenados, por lo que en particular se aplica a ensayos repetidos con la misma variable. Los ensayos repetidos pueden consistir en extracciones de unidades “con o sin reposición de estas” u otros tipos de procedimientos que pueden trasmitir la influencia de resultados en unidades anteriores Supongamos que se seleccionan sin reposición tres cartas al azar y se quiere determinar la probabilidad que: a) Las tres sean de trébol b) Ninguna sea par c) Una de las tres sea figura ¡Muchas gracias por su atención!
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