Apuntes Electromagnetismo

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Apuntes para una 
‘Introducción Axiomática 
al Electromagnetismo’ 
 
V.D. Rodríguez 
Dpto. Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas 
Universidad de La Laguna 
 
XII-2002 
 
 2 
 
 
Imagine una fuerza como la gravitatoria que varíe predominatemente con la inversa 
del cuadrado de la distancia, pero un billón de billones de billones (1036) de veces mas 
intensa. Y con otra diferencia. Que haya dos tipos de ‘materia’, que podríamos llamar 
positiva y negativa respectivamente. Que las del mismo tipo se atraigan y que las de distinto 
tipo se repelan, a diferencia de la gravedad donde solo hay atracción. ¿Qué sucedería?. /…/ 
Tal fuerza existe: la fuerza eléctrica. 
 /…/ 
Si usted se encontrara separado de alguien una distancia igual a la longitud de un 
brazo y ambos tuvieran un uno por ciento mas de electrones que de protones, la fuerza de 
repulsión sería increible. ¿Cómo de grande?. /…/. La repulsión sería suficiente para levantar 
un peso igual al de la Tierra. 
/…/ 
Si un núcleo contiene demasiados protones, se vuelve excesivamente grande y no 
permanece unido. Un ejemplo es el uranio, con 92 protones. /…/ Si un núcleo así es golpeado 
ligeramente (por ejemplo enviandole un neutrón lento), se rompe en dos piezas con carga 
positiva y estas piezas salen despedidas por la repulsión eléctrica. La energía que se libera es 
la energía de la bomba atómica. Esta energía es habitualmente llamada energía ‘nuclear’, 
pero es realmente energía ‘electrica’ liberada cuando las fuerzas de repulsión eléctrica 
superan a las fuerzas atractivas nucleares. 
 /…/ 
Desde una visión amplia de la Historia del hombre –digamos dentro de diez mil 
años- hay pocas dudas acerca de que el descubrimiento de las leyes de la electrodinámica por 
Maxwell será considerado como el evento mas importante del siglo XIX. 
 
The Feynman Lectures on Physics 
 
 3 
 
 
Estos apuntes tienen como objetivo servir de ayuda a los estudiantes de la asignatura de 
Electromagnetismo I de la Licenciatura en Física de la Universidad de La Laguna. 
 
 
 
 
INDICE: 
 
• Cargas y Corrientes. 
• Ecuaciones del Campo Electromagnético en el Vacío. 
• Ecuaciones del Campo Electromagnético en 
presencia de Medios Materiales. 
• Solución de las Ecuaciones del Campo. Potenciales 
Electromagnéticos. 
• Leyes de conservación. 
• Ecuaciones del Campo Electromagnético en 
situaciones particulares. 
 
 
 
 4 
CARGAS Y CORRIENTES. 
 
 
La carga es una propiedad intrínseca de las partículas elementales. 
 
Tipos de carga: hay dos tipos de carga que se distinguen asignándoles los signos positivo o 
negativo. Así, por ejemplo, se dice que los protones son positivos y los electrones negativos. 
Esta asignación es arbitraria y pudo haber sido hecha al revés. 
 
Propiedades: 
 Invariancia Lorentz. 
 Conservación. 
 Cuantización (con precisión de una parte en 1020). 
 
Unidad en el SI: culombio 
 
Densidad de carga: cuando la distancia entre las partículas cargadas es mucho menor que las 
dimensiones de la distribución se introducen las densidades de carga de volumen ρ, de superficie 
σ o de línea λ: 
 ( )
dv
dqr =ρ
r , ( )
ds
dqr =σ
r , ( )
dl
dqr =λ
r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
dv 
 
 5 
para una carga puntual: 
( ) ( )orrqr rrr
−δ⋅=ρ 
para varias cargas puntuales: 
 ( ) ( )∑ −δ⋅=ρ
i
ii rrqr rrr 
 
Densidad de corriente: 
A partir de: 
 ( )t,rrρ densidad de carga móvil 
 ( )t,rv rr velocidad de desplazamiento 
se define la densidad de corriente como: 
( ) ( ) ( )t,rvt,r t,rJ rrrrr
⋅ρ= 
si la distribución de corriente es superficial: 
( ) ( ) ( )t,rvt,r t,rJs
rrrrr
⋅σ= 
Si consideramos una pequeña superficie S
r
∆ , entonces SJ
rr
∆⋅ es la carga que pasa a 
través de dicha superficie por unidad de tiempo: 
∆q = v ∆t ∆S cosθ = J ∆t ∆S cosθ 
t
qSJ
∆
∆=∆⋅
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
J
r
 
S
r
∆ 
 
 6 
 
 
Intensidad de corriente: la intensidad de corriente a través de una superficie es la carga que la 
atraviesa en la unidad de tiempo. Para una superficie infinitesimal: 
SJdI
rr
⋅= 
entonces para una superficie S: 
 ∫ ⋅=
S
SdJI
rr
 
 
 
 
 
 
Si la corriente es superficial, la intensidad a través de un tramo infinitesimal de curva: 
 ldJdI
rr
⋅= 
y para una curva c sobre la superficie la intensidad viene dada por: 
 ∫ ⋅=
C
ldJdI
rr
 
(Nota: no es una circulación) 
 
Conservación de la carga eléctrica: Consideremos un volumen V cuyo contorno es la superficie 
S, la conservación de la carga eléctrica se puede expresar matemáticamente de la siguiente 
forma: 
 ∫∫ ⋅−=ρ
SV
SdJdv
dt
d rr
 
 El primer miembro representa la variación por unidad de tiempo de la carga contenida en 
el volumen V, mientras que el segundo miembro corresponde a la carga que escapa por unidad 
de tiempo a través de la superficie S. El signo menos se debe a que un flujo positivo de carga 
lleva a una disminución de la carga total contenida en el volumen. 
J
r
 
Sd
r
 
S
 
 7 
 A partir de la ecuación anterior y aplicando el teorema de Gauss se puede obtener la 
expresión local de la conservación de la carga eléctrica también conocida como ecuación de 
continuidad: 
 
t
J
∂
ρ∂−=∇
r
 
(Se dice que una distribución de corriente es estacionaria cuando 0J =∇
r
) 
 
 
 
 
ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO EN 
EL VACÍO. 
 
 
 La fuerza que actúa sobre una partícula con carga q y velocidad vr cuando interacciona 
con otras partículas cargadas viene dada por la expresión de la Fuerza de Lorentz: 
 ( )BvEqF
rrrr
×+= 
donde E
r
 y B
r
 son dos magnitudes vectoriales que caracterizan el campo electromagnético en la 
posición de la partícula de carga q debido al resto de partículas cargadas. Estas dos magnitudes 
se conocen como campo eléctrico y campo magnético, respectivamente, y contienen la 
información necesaria acerca de todas las cargas existentes en el universo para calcular la fuerza 
que actúa sobre nuestra partícula cargada. De esta forma, la expresión de la fuerza de Lorentz 
sugiere la posibilidad de entender la fuerza que actúa sobre una partícula cargada como debida a 
la interacción con un campo electromagnético, prescindiendo de los detalles acerca de la 
distribución de cargas y corrientes que lo generan. 
 Conociendo la fuerza que actúa sobre una partícula cargada y la ley relativista del 
movimiento, la Dinámica de la partícula queda determinada. Necesitaríamos poder calcular el 
campo Electromagnético debido a una distribución de partículas cargadas que, en general, 
estarán en movimiento. El campo electromagnético ( E
r
, B
r
) está relacionado con la distribución 
 
 8 
de cargas y corrientes (ρ y J
r
) que lo producen mediante las cuatro Ecuaciones de Maxwell para 
el vacío, también llamadas ecuaciones microscópicas. Estas ecuaciones nos dan las fuentes 
escalares y vectoriales de E
r
 y de B
r
: 
 
o
E
ε
ρ
=∇
r
 
 0B =∇
r
 
 
t
BE
∂
∂−=×∇
r
r
 
 





∂
∂
ε+µ=×∇
t
EJB oo
r
rr
 
εo y µo son respectivamente la permitividad y la permeabilidad del vacío y tienen los siguientes 
valores: 
 2
2
12
o
mN
C10854.8
⋅
×=ε − 
 
A
m.T104 7
o
−×π=µ 
 Las ecuaciones de Maxwell para el vacío, junto con la expresión de la fuerza de Lorentz, 
contienen toda la información física necesaria para estudiar la interacción electromagnética en 
cualquier sistema de partículas cargadas. Estas ecuaciones pueden tomarse como postulados de 
partida para desarrollar el estudio del Electromagnetismo. 
 
(Nota: En las Ecuaciones de Maxwell está implícita la Ley de Conservación de la Carga 
Eléctrica, como se comprueba calculando la divergencia en los dos miembros de la última 
ecuación). 
 
 
 
 
 
 9 
ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 
EN PRESENCIA DE MEDIOS MATERIALES. 
 
 
 En un medio material se tiene, a escala microscópica, una distribución complicada de 
partículas cargadas en movimiento. Comoconsecuencia se encuentra variaciones grandes del 
Campo Electromagnético en distancias pequeñas y variaciones rápidas en el tiempo, hasta el 
punto de que no se dispone de sensores suficientemente pequeños y rápidos para medir este 
campo. Pero, en general, no se necesita conocer con detalle en el medio material ni la 
distribución de cargas y corrientes ni el campo electromagnético, siendo suficiente conocer los 
promedios espaciales de estas magnitudes sobre volúmenes que incluyan un número alto de 
átomos del medio, es decir, de radio mucho mayor que las distancias interatómicas. Esta 
operación de promediado pasa de las magnitudes microscópicas a las macroscópicas. Así, 
cuando hay presentes medios materiales se habla de densidades macroscópicas de carga y 
corriente y de campos macroscópicos. 
 El efecto de un campo electromagnético sobre un medio material se puede caracterizar a 
escala macroscópica mediante tres magnitudes: polarización P
r
 (densidad de momento dipolar 
eléctrico), magnetización M
r
 (densidad de momento dipolar magnético) y densidad de corriente 
J
r
. Estas magnitudes representan la respuesta del medio al campo. 
 Se puede comprobar que en un medio material se tiene densidades de carga y corriente 
equivalentes macroscópicas dadas por (Véase ‘Fundamentos de la Teoría Electromagnética’ de 
J.R. Reitz, F.J. Milford y R.W. Christy): 
PP
r
−∇=ρ 
MJM
rr
×∇= 
t
PJP ∂
∂=
r
v
 
 Añadiendo estas densidades de carga y corriente a las ecuaciones de Maxwell para el 
vacío se obtienen ecuaciones para un tratamiento macroscópico de los medios materiales. Las 
 
 10 
ecuaciones de Maxwell para medios materiales, también conocidas como ecuaciones 
macroscópicas, quedan de la siguiente forma: 
 
o
PE
ε
∇−ρ=∇
r
r
 
 0B =∇
r
 
 
t
BE
∂
∂−=×∇
r
r
 
 





×∇+
∂
∂+
∂
∂ε+µ=×∇ M
t
P
t
EJB oo
r
rr
rr
 
 Para resolver estas ecuaciones se necesita conocer la relación entre el campo 
electromagnético ( E
r
, B
r
) y la respuesta ( P
r
, M
r
 y J
r
). Esta información viene recogida en las 
relaciones de constitución del medio: 
 EP o
rr
χε= 
 B
1
1M
m
m
o
rr
χ+
χ
µ
= 
 EJ
rr
σ= 
donde χ, χm y σ son respectivamente la susceptibilidad eléctrica, la susceptibilidad magnética y 
la conductividad. Estos tres parámetros dan la caracterización macroscópica del medio material. 
 Con frecuencia resulta más simple trabajar con las ecuaciones macroscópicas 
introduciendo dos campos auxiliares: el Desplazamiento Eléctrico D
r
 y la Intensidad Magnética 
H
r
. Estos campos se definen de la siguiente forma: 
 ( ) EE1PED oo
rrrrr
ε=χ+ε=+ε= 
 
µ
=−
µ
= BMBH
o
r
r
r
r
 con: ( )mo 1 χ+µ=µ 
 A partir de las Ecuaciones de Maxwell se comprueba fácilmente que: 
ρ=∇D
r
 
t
DJH
∂
∂+=×∇
r
rr
 
 
 11 
estos resultados indican que en las fuentes escalares de D
r
 no intervienen las cargas de 
polarización y en las fuentes vectoriales de H
r
 no intervienen las corrientes de magnetización. 
Como consecuencia el cálculo de los campos auxiliares puede resultar más simple que el cálculo 
del campo electromagnético, de aquí deriva la utilidad de estos campos. 
 Como alternativa, las dos primeras relaciones de constitución se pueden expresar 
utilizando los campos auxiliares de la siguiente forma: 
 ED
rr
ε= 
 HB
rr
µ= 
 
 
 
 
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL CAMPO. 
POTENCIALES ELECTROMAGNÉTICOS. 
 
 
Ecuaciones de Ondas para los Campos. 
 
 Las ecuaciones de Maxwell están acopladas, pero se puede obtener fácilmente 
ecuaciones desacopladas para E
r
 y B
r
. 
 Partimos de: 
 
t
BE
∂
∂−=×∇
r
r
 
aplicando el rotacional a los dos miembros: 
 ( ) ( ) EEEE 22 rrrr
∇−
ε
ρ∇=∇−∇∇=×∇×∇ 
 2
2
t
E
t
JB
tt
B
∂
∂µε−
∂
∂µ−=×∇
∂
∂−=





∂
∂×∇
rr
r
r
 
 
 12 
finalmente: 
 
t
J
t
EE 2
2
2
∂
∂µ+
ε
ρ∇=
∂
∂µε−∇
rr
r
 
análogamente se llega a: 
 J
t
BB 2
2
2 r
r
r
×∇µ−=
∂
∂µε−∇ 
estas dos ecuaciones son del tipo: 
 P
t
Q
v
1Q 2
2
2
2 r
r
r
−=
∂
∂−∇ 
que es la ecuación de ondas inhomogénea y expresa que la perturbación Q
r
 que tiene por causa 
P
r
 se propaga con velocidad vr . 
 Según esto el campo electromagnético ( )B,E
rr
 se comporta como una onda, 
propagándose con la velocidad 
µε
1 . Para el vacío esta velocidad 
00
1
εµ
 sería 3x108 m/s que 
coincide con la velocidad de la luz en el vacío. Este resultado llevó a Maxwell en 1873 a la 
predicción de la existencia de ondas electromagnéticas y a la conclusión de que la luz tiene 
naturaleza electromagnética. Lo primero fue confirmado por Hertz en 1888 quien consiguió 
generar y detectar ondas EM, observando los fenómenos de reflexión, refracción, interferencias 
y polarización. 
 
 
Potenciales Electromagnéticos. 
 
De 0B =∇
r
 se tiene AB
rr
×∇= 
A
tt
BE
r
r
r
×∇
∂
∂−=
∂
∂−=×∇ 
0
t
AE =





∂
∂
+×∇
r
r
 
ϕ−∇=
∂
∂+
t
AE
r
r
 
 
 13 
finalmente: 
t
AE
∂
∂−ϕ−∇=
r
r
 
‘Solo son necesarios dos potenciales debido a que E
r
 y B
r
 no son independientes y a que 
0B =∇
r
’. 
 Los potenciales no están unívocamente determinados. Si tenemos: 
 ( ) ( )B,EA,
rrr
→ϕ 
se puede encontrar dos nuevos potenciales que dan lugar al mismo campo. A partir de cualquier 
función escalar ψ: 
 
t
'
∂
ψ∂
+ϕ=ϕ 
 ψ∇−= A'A
rr
 
 
 E
t
'A'
r
r
=
∂
∂
−ϕ∇− 
 B'A
rr
=×∇ 
 
 
Ecuaciones de ondas para los potenciales: 
 Partiendo de: 






∂
∂
+µ=×∇
t
DJB
r
rr
 
con: 
 AB
rr
×∇= 
AAA 2 rrr
∇−∇∇=×∇×∇ 






∂
∂−ϕ∇−
∂
∂µε+µ
t
A
t
J
r
r
 





 ∇+
∂
ϕ∂µε∇−µ−=
∂
∂µε−∇ A
t
J
t
AA 2
2
2 rr
r
r
 
 
 14 
Contraste de Lorentz: 
t
A
∂
ϕ∂µε−=∇
r
 
Ecuaciones de ondas para los potenciales: 
J
t
AA 2
2
2 r
r
r
µ−=
∂
∂µε−∇ 
también se llega a: 
ε
ρ−=
∂
ϕ∂µε−ϕ∇ 2
2
2
t
 
 
 
Solución de las ecuaciones de ondas para los potenciales 
Si la distribución de cargas no cambia con el tiempo: 
( ) ( )
ε
ρ−=ϕ∇ rr2
r
r
 ecuación de Poisson 
carga puntual en 0r
r : 
( ) ( ) ( )
0
02
rr
q
4
1rrrqr rr
r
rr
r
−πε
=ϕ→
ε
−δ
−=ϕ∇ 
conjunto de cargas puntuales: 
( ) ( ) ∑∑ −πε
=ϕ=ϕ
i
i
i
i
i rr
q
4
1rr rr
rr
 
distribución continua: 
( ) ( ) dv
'rr
'r
4
1r
V∫ −
ρ
πε
=ϕ rr
r
r 
Cuando ρ depende de t la solución no se obtiene sustituyendo ( )'rrρ por ( )t,'rrρ . La 
ecuación de ondas es también una ecuación lineal, podemos calcular el potencial debido a cada 
elemento de volumen y sumar las distintas contribuciones. 
Para calcular la contribución de un elemento de volumen elegimos el origen de 
coordenadas coincidiendo con él: 
Para todos los puntos excepto un entorno pequeño del origen: 
 
 15 
0
t2
0
2
0
2 =
∂
ϕ∂
µε−ϕ∇ 
suponiendo que ϕ0 solo depende de r y de t: 
0
tv
1
r
r
rr
1
2
0
2
2
02
2 =
∂
ϕ∂
−
∂
ϕ∂
∂
∂ 
haciendo: ( ) ( )
r
t,rt,r0
χ=ϕ 





 ±χ=χ→=
∂
χ∂−
∂
χ∂
v
rt0
tv
1
r 2
2
22
2
 o ( )vtr ±χ=χ 
( )
r
v
rt
t,r0





 ±χ
=ϕ 
cualquier solución de este tipo satisface la ecuación de ondas fuera del elemento de volumen. 
Comparando con la solución estática elegimos: 
r
v
rtq
4
1
0





 ±∆
πε
=ϕ 
Nos quedamos con el signo negativo que corresponde a un potencial retardado. 
Considerando una distribución continua de carga, el potencial en el punto rr debido a la carga 
en un volumen dv y situada en 'rr será: 
( ) ( )
dv
'rr
v/'rrt,'r
4
1t,rd rr
rrr
r
−
−−ρ
πε
=ϕ 
Finalmente: 
( ) ( )∫ −
−−ρ
πε
=ϕ
V
dv
'rr
v/'rrt,'r
4
1t,r rr
rrr
r 
 
análogamente se obtiene: 
( ) ( )∫ −
−−
π
µ
=
V
dv
'rr
v/'rrt,'rJ
4
t,rA rr
rrrr
rr
 
 
 16 
Comportamiento del Campo Electromagnético en superficies de 
discontinuidad. 
 
 Consideremos una superficie que separa dos medios diferentes: 
 
 
 
 ε2, µ2, σ2 
ε1, µ1, σ1 
 
 
 
 
Componentes normales a la superficie de separación: 
 
σ=− n1n2 DD 
 
σ=ε−ε n11n22 DD para medios isótropos 
 
0BB n1n2 =− 
 
0HH n11n22 =µ−µ paramedios isótropos 
 
 
Componentes tangentes a la superficie de separación: 
 
0EE t1t2 =− 
 
0DD
1
t1
2
t2 =
ε
−
ε
 para medios isótropos 
 
St1t2 JHH =− 
 
S
1
t1
2
t2 JBB
=
µ
−
µ
 para medios isótropos 
 
 
 
 
 17 
LEYES DE CONSERVACIÓN. 
 
 
Conservación de la Energía Electromagnética. 
 
Consideremos un volumen V en el que existe una distribución de cargas y corrientes y un 
campo electromagnético. El trabajo realizado por unidad de tiempo por el campo sobre las 
cargas de un elemento infinitesimal de volumen viene dado por: 
( ) dvEJEvdvEvdqBvEdqvFdv ⋅⋅=⋅⋅⋅ρ=⋅⋅=×+⋅⋅=⋅ 
sobre todas las cargas del volumen V sería: 
 ( ) ( ) dv
t
BH
t
DEHEdv
t
DEHEEdvJ
VVV ∫∫∫ 







∂
∂
+
∂
∂
+×∇−=








∂
∂
−×∇= 
se utilizó en el último paso la relación: ( ) ( ) ( )HEEHHE ×∇−×∇=×∇ 
 Si el medio es lineal: 
 2
2
t
E
2t
EE
t
DE
∂
∂ε=
∂
ε∂=
∂
∂ 
análogamente: 
 2
2
t
B
2
1
t
BB
t
BH
∂
∂
µ
=
∂
∂
µ
=
∂
∂ 
 Aplicando el Teorema de Gauss, queda finalmente (S es el contorno del volumen V): 
 ( ) sdHEdvB
2
1E
2dt
ddvEJ
SV
22
V ∫∫∫ ×−





µ
+
ε
−= 
 La primera integral del segundo miembro se puede identificar como la energía 
electromagnética almacenada en el volumen V y el integrando sería la densidad de energía 
asociada al campo electromagnético. La última integral de la ecuación anterior corresponde al 
flujo de energía electromagnética a través de la superficie S y el producto HE× , conocido 
como vector de Poynting S , es la densidad de flujo de energía. 
 
 18 
 Al considerar que se tiene energía almacenada en el espacio cuando existe campo 
electromagnético se está admitiendo que el campo tiene entidad física, no es simplemente un 
recurso matemático para describir la interacción a distancia entre partículas cargadas. 
 
 
Conservación del Momento Electromagnético. 
 
 Partiendo de la fuerza que actúa sobre las partículas con carga de un elemento 
infinitesimal de volumen: 
 ( )BvEdqFd ×+⋅= 
se llega a: 
 ( ) ∫∑∫ ⋅=⋅=+
S
i
i
ji
S
jjcampopartículas dSTSdTPP
dt
d 
donde el momento del campo electromagnético viene dado por: 
 BDPcampo ×= 
y el flujo de la componente j del momento del campo electromagnético se obtiene a partir de la 
componente j del tensor de esfuerzos de Maxwell: 
 ( ) jiijijji HBDE
2
1BHDET δ+−+= 
 
 
 
 19 
ECUACIONES DEL CAMPO EN SITUACIONES 
PARTICULARES. 
 
 
 
 
µ(J+ ∂D/∂t) µJ µJ 0 ∇xB = 
-∂B/∂t -∂B/∂t 0 0 ∇xE = 
0 0 0 0 ∇⋅B = 
ρ/ε ρ/ε ρ/ε ρ/ε ∇⋅E = 
Corrientes 
variables 
ρ=ρ(t) 
J=J(t) 
Corrientes 
estacionarias 
ρ≠ρ(t) 
J=J(t), 
∇J=0
Magnetos-
tática 
ρ≠ρ(t) 
J≠J(t) 
Electrostática 
 
ρ≠ρ(t) 
J=0