Estruturas de Edificação

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INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE
EDIFICACIÓN
Manuel Muñoz Vidal - Enrique López Hernández
Física Aplicada 1
Departamento de Tecnología de la Construcción
Parte 1ª. introducción al estudio de las
estructuras.
 
TEMA 1. INTRODUCCION A LA MECANICA 2
1.1 SITUACION DE NUESTRA RAMA DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . .
1.2 CONCEPTOS BASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . .
1.3 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA . . . . . . . . . . . . . . . 3. . .
1.4 MAGNITUDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . .
1.5 SISTEMAS DE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . .
1.6 MAGNITUDES Y UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . .
1.7 UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. . .
1.8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. . .
TEMA 2. MAGNITUDES ESCALARES Y
VECTORIALES
12
2.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. .
2.2 VECTORES EQUIPOLENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. .
2.3 COORDENADAS DE UN VECTOR: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. .
2.4 VECTOR UNITARIO O VERSOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. .
2.5 SUMA DE VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. .
2.6 COMPONENTES DE UN VECTOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. .
2.7 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL . . . . . . . . . . . 15. .
2.8 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. .
2.9 PRODUCTO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. .
2.10 PRODUCTO MIXTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. .
2.11 DERIVADA DE UN VECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. .
TEMA 3. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS 22
3.1 FUERZA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. .
3.2 PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. .
3.3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. .
TEMA 4. ESTÁTICA DEL SOLIDO RÍGIDO 25
4.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. .
4.2 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. .
4.3 HIPÓTESIS BÁSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. .
4.3.1 SÓLIDO RÍGIDO
Física Aplicada
4.3.2 PRINCIPIO DE DOS FUERZAS IGUALES Y OPUESTAS
4.3.3 TEOREMA DE LA TRANSMISIBILIDAD
4.3.4 PRINCIPIO DE LAS FUERZAS CONCURRENTES
4.4 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO. . . . . . . . . . 27. .
4.5 TEOREMAS APLICABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. .
4.6 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE . . . . . . . . . . . . . . 28. .
4.7 MOMENTO DE UN SISTEMA RESPECTO DE UN EJE . . . . . . . . . . . . . 29. .
4.8 TEOREMA DE LAS PROYECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. .
4.9 SISTEMA DE FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. .
4.10 SISTEMA DE FUERZAS EQUIVALENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. .
4.11 CALCULO DE LA RESULTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. .
4.12 PAR DE FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. .
4.13 PARES EQUIVALENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. .
4.14 COMPOSICIÓN DE PARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. .
4.15 REDUCCIÓN DE SISTEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. .
4.16 REDUCCIÓN DE UN SISTEMA A UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. .
4.17 TEOREMA DE VARIGNON GENERALIZADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. .
4.18 MOMENTO DE UN SISTEMA SOBRE UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . 36. .
4.19 INVARIANTES DE LA REDUCCIÓN DE UN SISTEMA A UN
PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. .
4.20 EJE CENTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. .
4.21 DISTRIBUCIÓN DEL CAMPO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA
ALREDEDOR DEL EJE CENTRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. .
4.22 CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. .
4.23 CONDICIONES DE EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. .
TEMA 5. ESTÁTICA GRÁFICA: FUERZAS
COPLANARIAS ACTUANDO EN SOLIDOS
RÍGIDOS
 
 
47
5.1 REDUCCIÓN DE UN SISTEMA. COPLANARIO A UN PUNTO "O" . . 47. .
5.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SIST. PLANO . . . . . . . . . . . . . 47. .
5.3 TEOREMA DE LAS TRES FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. .
5.3.1 CASO DE DOS FUERZAS 
5.4 REDUCCIÓN DE SISTEMAS PLANOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. .
5.5 COMPOSICIÓN DE FUERZAS EN EL PLANO GRÁFICAMENTE . . . 49. .
5.6 POLÍGONO FUNICULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. .
5.7 MOMENTO DEL SISTEMA RESPECTO A UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . 52. .
5.8 TEOREMA DE CULMANN: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. .
5.9 POLÍGONO FUNICULAR QUE PASA POR UN PUNTO. . . . . . . . . . . . . 54. .
5.9.1 POLÍGONO FUNICULAR QUE PASA POR 2 PTOS. 
5.9.2 POLÍGONO FUNICULAR QUE PASA POR 3 PTOS 
5.10 EQUILIBRIO DE SISTEMAS PLANOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. .
Física Aplicada
5.11 DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. .
5.11.1 EN DOS DIRECCIONES CONCURRENTE 
5.11.2 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN TRES DIRECCIONES (PROBLEMA DE
CULMANN)
 
5.12 REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE FUERZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. .
5.13 APLICACIONES AL DISEÑO Y CALCULO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . 57. .
TEMA 6. ENLACES Y REACCIONES: EQUILIBRIO
DE CUERPOS RÍGIDOS.
 
60
6.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. .
6.2 GRADOS DE LIBERTAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. .
6.3 GRADOS DE LIBERTAD EN EL PLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. .
6.4 GRADOS DE LIBERTAD DE LOS SISTEMAS DE CUERPOS
RÍGIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. .
6.5 VÍNCULOS Y REACCIONES EN SISTEMAS PLANOS . . . . . . . . . . . . . 62. .
6.6 INMOVILIZACIÓN DE UN CUERPO PLANO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. .
6.7 ENLACES Y REACCIONES EN SISTEMAS ESPACIALES: . . . . . . . . . 65. .
6.8 TRAZADO DEL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. .
6.9 SISTEMAS ISOSTÁTICOS, HIPERESTÁTICOS Y MECANISMOS. . 66. .
6.10 GRADO DE HIPERESTATICIDAD TOTAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68. .
6.11 EQUILIBRIO EN DOSDIMENSIONES: CALCULO DE
REACCIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. .
6.12 CALCULO DE REACCIONES POR MÉTODOS GRÁFICOS. . . . . . . 72. .
6.13 EQUILIBRIO EN TRES DIMENSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. .
TEMA 7. FUERZAS DISTRIBUIDAS. CENTROS DE
GRAVEDAD
 
75
7.1 CENTRO DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS . . . . . . . . . . . . 75. .
7.2 DETERMINACIÓN GRÁFICA PARA EL CASO DE UN SISTEMA
PLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. .
7.3 PESO Y MASA. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE
MASAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76. .
7.4 SISTEMAS CONTINUOS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. .
7.5 MOMENTO ESTÁTICO O PRIMER MOMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. .
7.6 PROPIEDADES DEL CENTRO DE MASAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. .
EJERCICIOS 
7.7 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. .
7.7.1 TEOREMA I: 
7.7.2 TEOREMA II: 
7.8 CARGAS DISTRIBUIDAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. .
7.9 PRESIÓN HIDROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. .
7.9.1 LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA 
7.9.2 PRESIÓN HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES 
Física Aplicada
7.9.3 PRESIONES SOBRE SUPERFICIES IRREGULARES 
7.10 EMPUJE DE TIERRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. .
7.10.1 TEORÍA DE RANKINE. 
7.10.2 TEORÍA DE COULOMB. 
TEMA 8: ESTRUCTURAS DE CABLES. 87
8.1 HIPÓTESIS BÁSICAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. .
8.2 CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. .
8.3 CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. .
8.3.1 LA CATENARIA: 
8.3.2 EL CABLE PARABÓLICO: 
TEMA 9. CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
ARTICULADAS.
 
92
9.1 MÉTODO DE RITTER O DE LAS SECCIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. .
9.2 MÉTODO DE LOS NUDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. .
9.3 MÉTODO DE MAXWELL-CREMONA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. .
TEMA 10: SOLICITACIONES Y FUERZAS
INTERNAS EN VIGAS
 
96
10.1 EFECTOS DE LOS DISTINTOS ESFUERZOS Y CONVENIO DE
SIGNOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. .
10.2 EQUILIBRIO DE UNA REBANADA: (RELACIÓN ENTRE Q, T Y
M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96. .
10.3 DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. .
10.3.1 VIGA SOMETIDA A CARGA UNIFORME 
10.3.2 VIGA SOMETIDA A CARGA CONCENTRADA 
10.3.3 VIGA SOMETIDA A UN PAR DE MOMENTO MO 
10.4 DIAGRAMAS DE ESFUERZOS Y POLÍGONO FUNICULAR . . . . . . . 101.
TEMA 11. RESOLUCIÓN DE VIGAS
ISOSTÁTICAS.
 
103
11.1 VIGA CON CARGA CUALQUIERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.
11.2 VIGA EN VOLADIZO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.
11.3 VIGAS CON ARTICULACIONES Y APOYOS INTERMEDIOS:
VIGAS GERBER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.
11.4 PÓRTICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.
11.5 LA VIGA CURVA EMPOTRADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.
Física Aplicada
TEMA 12 : MOMENTOS DE INERCIA. 109
12.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.
12.2 PRODUCTO DE INERCIA O MOMENTO DE INERCIA
COMPUESTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.
12.3 SISTEMAS CONTINUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.
12.4 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.
12.5 TEOREMA DE STEINER: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.
12.6 TEOREMA DE STEINER RELATIVO A PRODUCTOS DE
INERCIA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.
12.7 GIRO DE EJES: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.
12.8 EJES PRINCIPALES DE INERCIA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.
12.9 CÍRCULO DE MOHR: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.
12.9.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 
12.10 ELIPSE DE INERCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.
12.11 RADIO DE GIRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.
TEMA 13: MÉTODO DE LOS TRABAJOS
VIRTUALES.
 
121
13.1 TRABAJO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.
13.1.1 TRASLACIÓN: 
13.1.2 ROTACIÓN: 
13.1.3 TRASLACIÓN + ROTACIÓN 
13.2 TRABAJO DE LA FUERZA DE GRAVEDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.
13.3 TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.
13.4 PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.
TEMA 14. DINÁMICA Y MOVIMIENTO
OSCILATORIO
 
129
14.1 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.
14.1.1 CONCEPTOS BÁSICOS 
14.1.2 LEY DE NEWTON 
14.1.3 TRABAJO Y ENERGÍA 
14.2 DINÁMICA DE SÓLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.
14.2.1 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 
14.2.2 SÓLIDOS PLANOS 
14.2.3 ROZAMIENTO ENTRE SÓLIDOS 
14.2.4 ROZAMIENTO SÓLIDO-FLUIDO 
14.3 VIBRACIONES Y MOVIMIENTO OSCILATORIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.
14.3.1 MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE 
14.3.2 SUPERPOSICIÓN O INTERFERENCIA DE M.A.S. 
14.3.3 TEOREMA DE FOURIER 
Física Aplicada
TEMA 15. INTRODUCCIÓN A LA ELASTICIDAD. 144
15.1 ELASTICIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.
15.2 LEY DE HOOKE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.
15.3 DIAGRAMA DE TRACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.
15.3.1 TENSIÓN DE TRABAJO. 
15.3.2 CLASIFICACIÓN DE SÓLIDOS. 
15.4 OBJETIVOS DE LAS TEORÍAS DE LA ELASTICIDAD Y
RESISTENCIA DE MATERIALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.
15.5 INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
HIPERESTATICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.
Anexos.
BIBLIOGRAFÍA
GLOSARIO DE DATOS DE INTERÉS.
CONSTANTES FÍSICAS. 
DATOS FÍSICOS DE INTERÉS. 
EXPRESIONES MATEMÁTICAS. 
GEOMETRÍA. 
DERIVADAS. 
INTEGRALES. 
Física Aplicada
Parte 1ª
Introducción al estudio de las
estructuras.
Física Aplicada
1
TEMA 1. INTRODUCCION A LA MECANICA
1.1 SITUACION DE NUESTRA RAMA DE ESTUDIO
ESTATICA: Estudia los
cuerpos en reposo.
CIENCIAS
APLICADAS
FISICA:
Aplicar y
predecir
fenomenos
físicos
MECANICA:
Estudia
equilibrio y
movimiento de
los cuerpos.
MECANICA DE
CUERPOS
RIGIDOSDINAMICA: Estudia los
cuerpos en
movimiento.
-CINEMATICA:
Pto. de vista
geométrico, no
estudia su causa.
-CINETICA:
Relación fuerza-
movimientos.
MECANICA DE
CUERPOS
DEFORMABLES
MECANICA DE
FLUIDOS
-INCOMPRESIBLES
-COMPRESIBLES
1.2 CONCEPTOS BASICOS
Objeto de la física:
La física trata de dar una explicación satisfactoria a los fenómenos naturales que observamos a
diario (de aquí su carácter de ciencia aplicada), mediante formulación de unas reglas a las que
estos fenómenos parecen ajustarse.
Puesto que la realidad es muy compleja, su estudio se inicia por partes (calor, electricidad,
mecánica, magnetismo, luz, óptica ...), y más adelante se intentarán relacionar unas partes con
otras, así se han relacionado el calor y la mecánica: el calor se debe al movimiento de los átomos,
por tanto cuanto más movimiento, más calor. Por tanto el calor y los efectos térmicos pueden
representarse por las leyes de la mecánica.
Otro ejemplo de relación de magnitudes que la mecánica clásica consideraba totalmente
independientes, llega con la teoría de la relatividad, donde se relaciona la velocidad (espacio) con el
tiempo y con la masa.
En la actualidad por ejemplo, se está trabajando en la ley que relacione las cuatro fuerzas
fundamentales de la naturaleza, a saber: fuerza nuclear débil, nuclear fuerte, electromagnética y
gravitatoria, en lo que se conoce como teoría de la unificación.
Magnitudes:
Trabajaremos fundamentalmente con 4:
ESPACIO: Relacionado con los 3 ejes coordenados.
Física Aplicada
2
TIEMPO: Tiempo en el que se da un evento.
MASA: De los cuerpos.
FUERZA : De un cuerpo sobre otro.
Idealización:
Sustitución de un fenómeno natural por una representación simplificada del mismo que facilite su
estudio.
Método científico:
Para ir encontrando respuestas a los interrogantes que le surgían al hombre en su estudio de los
fenómenos naturales se desarrolla un método que sea lo más riguroso posible, y que consta de los
siguientes pasos:
1.- Observación: Del fenómeno en cuestión, intentando definir que parámetros son
los fundamentales y cuales los anecdóticos que podemos eliminar.
2.- Razonamiento: Deducción de una regla o relación (hipótesis) que explique la
influencia de los diversos parámetros y el comportamiento o
desarrollo del fenómeno.
3.- Experimentación: Reproducción del fenómeno para su estudio, controlando y
midiendo los parámetros antes mencionados para verificar el
cumplimiento de nuestras hipótesis.
Historia:
(384 - 322 a.C.) Aristóteles.
(272 - 212 a.C.) Arquímedes: estudios de palanca, poleas, plano inclinado y flotación.
(1564 - 1642) Galileo Galilei: péndulo y cuerpos en caída libre.
(1642 - 1727) Isaac Newton: Tres leyes fundamentales del movimiento y ley gravitación
universal.
(1920 => ) Mecánica cuántica (principio de incertidumbre) y mecánica relativista.
1.3 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA
 - La mecánica descansa sobre seis principios fundamentales basados en la evidencia
experimental:
1) Ley del paralelogramo: Dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser
sustituidas por una sola denominada resultante que es la diagonal del paralelogramo
que forman las dos fuerzas.
2) Principio de transmisibilidad: Las condiciones de equilibrio o movimiento de un
cuerpo rígido permanecen inalteradas si se sustituye una fuerza por otra igual que
tenga la misma línea de acción.
F1
F2
R
F F'
Física Aplicada
3
3) Las tres leyes fundamentales de Newton:
Primera ley.- Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es
cero, la partícula mantendrá sus condiciones iniciales de velocidad
(velocidad constante, ya sea valor cero o distinto de cero)
Segunda ley.- Si la resultante no es cero, la partícula tendrá una
aceleración proporcional a la resultante y en su misma dirección.
Se puede expresar como F = m · a
Tercera ley.- Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en
contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y
sentidos opuestos.
4) Ley de la gravitación universal de: Dos partículas de masas M y m, separadas una
distancia r, se atraerán mútuamente con fuerzas iguales y opuestas F y -F (3ª ley
Newton), de magnitud
, con G= 6,672·10-11 N·m2/Kg2F = G ⋅ M⋅m
r2
Sistema inercial : es aquel sistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton. Todo
sistema que se mueve a velocidad constante respecto un sistema inercial es en sí un sistema
inercial. Un sistema que acelera respecto de uno inercial no es inercial (no se cumplen las leyes de
Newton).
1.4 MAGNITUDES
Al observar los fenómenos naturales se adquiere conciencia de unos entes abstractos cuya
cantidad varia según los casos. Magnitudes son estos entes observables a los que se les puede
aplicar criterios de igualdad y desigualdad. Las magnitudes pueden ser:
No medibles: solo se les pueden aplicar criterios de igualdad y desigualdad, (color,
olor).
Medibles: Además se pueden aplicar criterios de suma (a + a = 2a)
Para medir una cantidad A de una magnitud susceptible de ser
medidas necesario elegir arbitrariamente una cierta cantidad a la que
llamaremos unidad o patrón (Ua). Por el criterio de igualdad se puede
reproducir la unidad cuantas veces sea preciso, y por el de suma se
podrán formar sus múltiplos y submúltiplos. Usando ambos criterios
se puede determinar cuantas veces la cantidad A contiene a la
unidad Ua, obteniéndose así un nº real que se llama medida de la
magnitud, que como es lógico, dependerá de la unidad adoptada:
A .- cantidad a medir.
Am.- medida de A
Ua.- unidad adoptada
A = Am · Ua (con unidad Ua )
A = Am' · Ua' (con unidad Ua')
Igualando:
Am · Ua = Am' · Ua' ; Am / Am' = Ua' / Ua
M
m
F
-F
r
Física Aplicada
4
Por tanto se deduce que las medidas de una cantidad están en razón
inversa de sus unidades respectivas
Cuando se habla de magnitud o medida de alguna cosa, se debe
especificar el nº y la unidad: 25 m, 34 Kg., etc. 
O sea: medida de A = Am · Ua
1.5 SISTEMAS DE UNIDADES
Con los 4 conceptos básicos antes citados (longitud, tiempo, masa, fuerza), se pueden expresar
todas las magnitudes físicas dentro del campo de la mecánica, tales como presión, viscosidad,
superficie, aceleración, etc. Pero bastan ( en función de la 2ª ley de Newton - F=m·a - ) 3 de estas
magnitudes para expresar todas las demás ,a estas les llamamos magnitudes básicas o
fundamentales y el resto serán entonces magnitudes derivadas. En la mecánica se eligen como
magnitudes básicas: longitud ,tiempo y fuerza o bien: longitud ,tiempo y masa.
Hay que tener en cuenta que esto es correcto mientras nos movamos dentro de la mecánica clásica
o newtoniana, donde el espacio, tiempo y masa con conceptos absolutos e independientes entre sí,
mientras que en la mecánica relativista estos conceptos dependerán unos de otros: el tiempo
dependerá de la posición, y la masa variará con la velocidad.
Las unidades adoptadas para las magnitudes básicas y derivadas se denominarán unidades
básicas y derivadas respectivamente, y el conjunto de todas ellas constituye lo que se llama un
sistema de unidades .
El conjunto de magnitudes fundamentales y derivadas forman el sistema de unidades. Los sistemas
de unidades mas usados en España son 4:
Sistema Masa Fuerza Longitud Tiempo
S.I GIORGI O MKS: kg-masa metro segundo
C.G.S. GIORGI: gramo-masa centímetro segundo
SISTEMA TECNICO: kg-fuerza metro segundo
SISTEMA CGS TECNICO: gr-fuerza centímetro segundo
DEFINICIÓN DE UNIDADES
metro ... 1.650.763,73 longitudes de onda de la línea roja del criptón 86.
segundo ... 9.192.631.770 ciclos de la radiación del átomo de cesio 133.
kg-masa ... masa del patrón de platino que se conserva en la Oficina
Internacional de pesas y medidas de Sevres (Francia).
kgf-kilopondio ... es la fuerza con que la tierra atrae a un kg-masa en un lugar en
que la aceleración de la gravedad es la gravedad standard.
g = 9,80660472 m/s² -----> g = 9,81 m/s². 
La relación entre estas unidades viene dada por la 2ª ley de Newton: F=m·a
Unidades de fuerza.
Unidad de fuerza en el S.T.
1 Kg-f = 1 UTM · 1m/s², de donde: 1 UTM = 1 kg-f / 1 m/s² --->
1 UTM = 1 kg-f·s²/m
Unidad de fuerza en el S.I.
1 Nw = 1 kg-m · 1 m/s²
Física Aplicada
5
Relación entre sist. técnico e internacional.
Por la 2ª ley de Newton F=m·a
Particularizando para el caso de la gravedad:
Peso = masa · g
En el S.T.- 1 Kg-f = 1 UTM · 1 m/s²
En el S.I.- 1 Nw = 1 kg-m · 1 m/s²
Por lo tanto, como por definición: 
1 kg-f = 1 kg-m·9,81 m/s²
1º) Sustituyendo 1 kg-f por su valor en el S.T. :
1 UTM · 1 m/s² = 1 kg-m · 9.81 m/s², de donde:
1 UTM = 9,81 kg-m
2º) Sustituyendo 1 kg-m por su valor en el S.I. :
1 kg-f = (1 Nw / 1 m/s²)· 9.81 m/s², de donde:
1 kg-f = 9,81 Nw
Conversión de unidades.
Como decíamos anteriormente, el valor de una magnitud física debe incluir tanto un número como
una unidad ( 25 m. = 25 · m. ).
Se puede operar con las unidades como con cualquier magnitud algebraica:
 Ej.) Un coche que circula a 45 Km/h, ¿qué distancia recorrerá en 2 h ?
Sol: e = v·t = 45 Km/h · 2 h = 90 Km
 Ej.) Pasa la distancia anterior a millas. Dato: 1 milla = 1,6 Km.
Sol: 1 milla / 1,6 Km. = 1 => 90 Km. · 1 = 90 Km. · 1 milla / 1,6 Km. = 56,25 millas
Donde se puede observar que el factor de conversión es igual a la unidad. O bien se puede
hacer por sustitución de las unidades:
Sol: Km. = 1 / 1,6 millas => 90 Km. = 90 · 1 / 1,6 millas = 56,25 millas
 Ej.) Para poder sumar magnitudes, estas deben tener las mismas unidades. La suma de
magnitudes pasa a ser de este modo una aplicación de la propiedad distributiva.
10 Km/h + 25 Km/h = (10 + 25) Km/h = 35 Km/h
Física Aplicada
6
1.6 MAGNITUDES Y UNIDADES
Ecuación dimensional de una magnitud.
Es la expresión de esa magnitud en función de las magnitudes fundamentales del sistema de
unidades en el que estemos trabajando.
Símbolos, unidades y ecuaciones dimensionales de la s principales magnitudes.
Símbolo
Ecuación
dimensional en
el S.T.
Ecuación
dimensional en
el S.I.
Unidad en el
S.T.
Longitud
Tiempo
Fuerza
Masa
L
t
F
m
[L]
[T]
[F]
[F][T]²/[L]
[L]
[L]
[M][L]/[T]²
[M]
m
seg
Kg.fuerza(Kp)
(U.T.M)
Superficie
Volumen
Angulo
S
V
α, β...
[L]²
[L]²[L]
[L]²
[L][L]²
m²
m.m²
rad
Velocidad lineal
Velocidad angular
Aceleración lineal
Aceleración angular
Momento de inercia
Trabajo, energía
Par, momento de una fuerza
v
ω
a
α
I
W,E
M
[L]/[T]
1/[T]
[L]/[T]²
1/[T]²
[F][T]²[L]
[L][T]
[L][T]
[L]/[T]
1/[T]
[L]/[T]²
1/[T]²
[M][L]²
[M][L]²/[T]²
[M][L]²/[T]²
m/seg
rad/seg
m/seg²
rad/seg²
Kg.seg².m
Kg.m
Kg.m
Homogeneidad dimensional.
Los términos de cualquier ecuación usada para describir un proceso físico deben ser
dimensionalmente homogéneos, es decir, todos los términos deben estar expresados en las
mismas unidades.
 Ej.) Verificar si la ecuación s = v·t + 1/2·a·t2 , es dimensionalmente homogénea.
[L] = [L]·[T]-1·[T] + [L]·[T]-2·[T]2 = [L] + [L]
 Ej.) Hallar la ecuación dimensional de la densidad en el S.T. siendo σ= M/V
[σ] = [F]⋅[T]2
[L]⋅[L]⋅[L]2 = [F] ⋅ [T]2 ⋅ [L]−4
 Ej.) Pasar al S.T. la siguiente magnitud: 1,783 g/cm.seg (ec. dim.= [M]·[L]-1·[T]-2)
1 UTM = 9,81 kg-m = 9810 g-m ; 1 = 1·UTM / 9180·g-m
1 m = 100 cm. ; 1 = 1·m / 100·cm
Entonces:
1,783⋅g⋅m
cm⋅seg ⋅ 1⋅UTM
9.810⋅g−m ⋅ 1⋅m
100⋅cm = 1,82
102 ⋅ UTM
m⋅seg
y pasándolo a las magnitudes básicas del S.T. (sustituyendo UTM por las ud. básicas):
 (ec. dim.= [F]·[T]·[L]-2)1,82 ⋅ 10−2 ⋅ Kg−f⋅seg2/m
m⋅seg = 1, 82 ⋅ 10−2 ⋅ Kg−f⋅se
m2
Verificación de la ecuación dimensional:
En el S.I.: [M]·[L] -1·[T] -2
para pasar al S.T. deberemos hacer (F=m/s): [M] = [F]·[T]2·[L]-1 
Resultando: { [F]·[T]2·[L]-1 } · [L]-1·[T]-2 = [F]·[T]·[L] -2 Vemos que coinciden
Física Aplicada
7
 Ej.) Demostrar, usando las unidades del S.T., que la ecuación de la gravitación universal de
Newton es dimensionalmente homogénea.
Sol: La ec. en cuestión es , con G= 6,673·10-11 m3/Kg-m·s²
Ecuaciones dimensionales:
1º término [F]
2º término: 
G
[L]3 ⋅ [F]−1 ⋅ [T]−2 ⋅ [L] ⋅ [T]−2 ⋅
M
[F] ⋅ [T]2 ⋅ [L]−1 ⋅
m
[F] ⋅ [T]2 ⋅ [L]−1 ⋅
r
[L]−2= [F]
Exactitud numérica: cifras significativas.
Cifra significativa es todo dígito cuyo valor se conoce con seguridad (sin contar los ceros a la
izquierda).
La mayoría de los números que manejaremos son resultado de una medida o de una estimación,
por tanto se conocen con un cierto grado de error. Si midiendo con cierta precisión una mesa
circular, decimos que tiene un radio de 423 mm., esto indicará que su medida real se situará entre
422,5 y 423,5 mm. (1/2 de la última unidad definida). Si ahora queremos hallar su perímetro (2·π·r)
y usamos el valor de pi de nuestra calculadora (3,1415927654) obtendremos un resultado de
2657,787385 mm. que tendrá el mismo grado de error de la medida inicial (tres cifras significativas).
Por lo tanto lo correcto será dar la cifra anterior hasta el lugar que conocemos con precisión, con el
correspondiente redondeo: 2660 mm.
Resumiendo:
En la multiplicación o división el número de cifras significativas no será mayor que el
menor número de cifras significativas de cualesquiera de los factores.
En la suma o resta el resultado se limitará al lugar en que ambos números tienen cifras
significativas (ej: 2,50 - 0,00000001 = 2,50)
Múltiplos y submúltiplos de las unidades.
Factor Múltiplo Prefijo Símbolo
 10n
n=18
n= 15
n= 12
n= 9
n= 6
n= 3
n= 2
n= 1
n= -1
n= -2
n= -3
n= -6
n= -9
n= -12
n= -15
n= -18
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hecto
Deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
ato
E
P
T
G
M
K
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
Con estos prefijos podemos obtener los múltiplos y submúltiplos de las unidades fundamentales de
longitud y fuerza .Los mas usados son :
LONGITUD: Km., cm., mm.
FUERZA: Megagramo (tonelada métrica) y gramo.
Los múltiplos de la unidad de tiempo son el minuto y la hora:
1 m = 60 s 1 h = 60 m
Física Aplicada
8
Notación científica.
Para el manejo de números muy grandes o muy pequeños usaremos la notación científica, o sea,
potencias de 10. Así cualquier número se escribirá como un nº entre 1 y 10 - sin llegar a este último
valor - por una potencia de 10.
Ej: 0,00000000125 = 1,25 · 10 -9 ; 295.378.000 = 2,95378 · 10 8
1.7 UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Básicas:
Magnitud Unidad Símbolo
Longitud metro m
Tiempo segundo s
Masa kilogramo kg
Ángulo radián rad
Intensidad de corriente amperio A
Temperatura grado kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Derivadas:
Magnitud Unidad Símbolo Equivalencia
Fuerza Newton N Kg·m / s2
Presión Pascal Pa N/m2
Energía, trabajo, calor Julio J N·m
Potencia Watio W J/s
Carga eléctrica Culombio C A·s
Diferencia de potencial Voltio V J/C
Frecuencia Hertzio Hz s-1
Resistencia Ohmio Ω V/A
Alternativas
Fuerza Kilopondio kp (kgf) 9,81 N
Masa Tonelada tn 1000 kg
Ángulo Sexagesimal º π rad = 180º
Presión Atmósfera at 101,3 Pa
Calor Caloría cal 4,18 J
1.8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Los pasos a seguir serán:
1.- Planteamiento : dependiente de los objetivos, o sea, del aspecto a estudiar del
problema. Debe ser claro y contener toda la información precisa. Incluirá un dibujo
Física Aplicada
9
limpio donde se observen los cuerpos y fuerzas que actúan sobre ellos (diagrama de
cuerpo libre).
2.- Resolución : aplicando los principios fundamentales de la mecánica, relacionándolos
claramente con los diagramas de cuerpo libre. Se realizará este proceso tan limpio
como sea posible, la claridad del desarrollo estimula a pensar clara y ordenadamente.
3.- Comprobación : de errores de razonamiento (verificación de unidades de cada
magnitud). Comprobación de errores de cálculo, operando con ecuaciones que no se
hubieran usado. Comprobación genérica, observando los resultados con sentido
común, para determinar si parecen aceptables o no.
4.- Exactitud numérica : los datos rara vez se conocen con una exactitud mayor del 0.2%
por lo tanto usar 4 cifras significativas es mas que suficiente para obtener unos
resultados que mantengan ese margen de error. Por ej.: 20 kg. se leerá como 20,00 y
1,9469 se leerá como 1,947
Cuestiones y problemas:Si un cuerpo carece de aceleración, ¿puede llegarse a la conclusión de que no actúa
ninguna fuerza sobre él?
Si sólo actúa una fuerza sobre un cuerpo, ¿deberá acelerarse?
¿Es posible que un objeto describa una curva cualquiera sin que sobre él actúe
ninguna fuerza?
¿Se puede definir la masa como la propiedad intrínseca de los objetos que mide su
resistencia a la aceleración?
¿La masa de un cuerpo depende del lugar que ocupa en el espacio?, ¿y el peso?
 Ej.) Calcula la aceleración del siguiente cuerpo:
 Ej.) ¿Si se mantuviese constante su densidad, cual debería ser el nuevo radio de la Tierra, en
relación con el actual R, para que las unidades del S.T. coincidiesen con las del S.I.?
 Ej.) Si los dinamómetros de las siguientes figuras dan la medida en Newtones, decir cual será
la lectura de los mismos en cada caso.
 Ej.) Si en un litro hay 1,057 cuartos, 4 cuartos en un galón y 42 galones en un barril. ¿cuántos
litros tendrá un galón?, ¿cuántos m3 tiene un barril?
5 Kg
F = 10 Nw
10Kg 10Kg
12 Kg 10Kg
10Kg
10Kg
a) b) c) d)
Física Aplicada
10
 Ej.) Realiza las siguientes operaciones redondeando hasta el nº correcto de cifras significativas.
3,1415927654 · (35,4)2 = 3.940
7,25 · 3,1415927654 · 0,84 = 19
(2,10)7 · 3,141592765 = 46,2
 Ej.) Ídem. que el anterior, pero además expresando el resultado en notación científica.
2,27 · 8,16 · 104 = 1,85 · 105
3,56 · 10-7 - 4,31 · 10-8 = 3,13 · 10-7
12π / (2,45 · 5.600) = 2,75 · 10-3
Física Aplicada
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TEMA 2. MAGNITUDES ESCALARES Y
VECTORIALES
2.1 INTRODUCCIÓN
Hay magnitudes que quedan perfectamente definidas cuando se conoce el valor numérico que
representa su medida (Ej.: tiempo, longitud, volumen, masa,...). En cambio para otras
magnitudes es preciso conocer su magnitud y sentido (Ej: fuerza, velocidad, aceleración)
Las magnitudes vectoriales se representan por vectores que son segmentos rectilíneos que tienen:
origen... punto de aplicación (A).
dirección... recta (r) sobre la que actúa.
sentido... orientación del vector (de A a B).
magnitud... módulo (longitud A-B medida con una cierta escala)
El vector se representa por V o AB, y su módulo por |V| o |AB|
Tipos de vectores:
LIBRE o no localizado.
Representa magnitudes cuyo punto de aplicación puede ser cualquiera.
DESLIZANTE o localizado en una recta
Los que representan magnitudes pueden desplazarse a lo largo de una línea de
acción.
FIJO o localizado en un punto.
Es aquel cuyo punto de aplicación tiene que ser fijo.
Las fuerzas se asimilarán a un tipo u otro de vector según las características de las mismas.
2.2 VECTORES EQUIPOLENTES
Expresan una relación de equivalencia dentro de los distintos tipos de vectores.
libres... deberán tener el mismo módulo ,dirección y sentido.
deslizantes... ídem del anterior y además su punto de aplicación se halla en la
misma recta.
fijos... tiene que ser el mismo vector.
r A
B
Física Aplicada
12
2.3 COORDENADAS DE UN VECTOR:
Son las proyecciones del mismo sobre los tres ejes coordenados, que nos darán los tres valores
escalares x, y, z.
El vector se representa:
x = |V|·cos α
V (x,y,z)y = |V|·cos β
z = |V|·cos γ
El modulo de un vector es:
V = V = (x2 + y2 + z2)
Si tenemos como datos las coordenadas del origen (x0, y0, z0)
y las del extremo (x1, y1, z1), podemos obtener:
a) sus coordenadas:
x = x1 - x0
y = y1 - y0
z = z1 - z0
b) su módulo:
V = V = (x2 + y2 + z2)
c) sus cosenos directores:
cos α = x / |V|
cos β = y / |V|
cos γ = z / |V|
COROLARIO.
cos² α = x² / x²+y²+z² cos² β = y² / x²+y²+z² cos² γ = z² / x²+y²+z²
sumando:
cos² α + cos² β + cos² γ = x²+y²+z² / x²+y²+z² = 1 cos² α + cos² β + cos² γ = 1
2.4 VECTOR UNITARIO O VERSOR.
Es aquel cuyo modulo es igual a la unidad ( |v| = 1 ). Entonces:
x = cos α
y = cos β
z = cos γ
DATOS PRECISOS DE UN VECTOR
VECTOR LIBRE... nos basta con sus coordenadas (x, y, z)
DESLIZANTE... Precisaremos además un punto (x0, y0, z0) de su recta de acción.
Física Aplicada
13
FIJO... Son necesarias sus coordenadas y las de su punto de aplicación.
 Ej.) Dado V =(2, -1, 0). Hallar su módulo y cosenos directores.
Módulo: |V| = (x²+y²+z²)1/2 = (5)1/2
cos α = x / |V| = 2 / (5)1/2 cos β = y / |V| = -1 / (5)1/2 cos γ = z / |V| = 0
2.5 SUMA DE VECTORES
Dados dos vectores A y B se denomina suma de vectores a un tercer vector C, que se obtiene
llevando por el extremo de A un vector equipolente al B y uniendo el origen del primero con el
extremo del segundo (es lo que se denomina regla del triángulo).
Cuando tengamos n vectores operamos de manera análoga: elegimos un punto cualquiera y vamos
disponiendo vectores equipolentes a los dados, con el origen de cada uno situado en el extremo del
anterior; la unión del primer origen con el último extremo nos dará el vector S buscado S = V1 + V2
+ V3 + ... + Vn y esto es lo que se conoce como regla del polígono.
Propiedades de la Suma.
La suma tiene estructura de GRUPO ABELIANO, pues cumple las propiedades:
1) asociativa... a + (b+c) = (a+b) + c
2) conmutativa... a + b = b + a
3) elemento opuesto... a, -a
4) elemento neutro.. 0
Diferenciación de vectores.
Se define la diferencia de dos vectores del siguiente modo:
A - B = A + (-B)
Física Aplicada
14
2.6 COMPONENTES DE UN VECTOR.
Las coordenadas de un vector se pueden considerar como 3 vectores x, y, z, situados sobre los
ejes coordenados respectivos, y cuya suma da el vector V.
V = x + y + z
Si tenemos n vectores V1, V2, ... , Vn, su suma se puede expresar como:
V = x1 + y1 + z1 +x2 + y2 + z2 +.....+ xn + yn + zn
O mas ordenadamente:
x= x1 + x2 +....+ xn
V y= y1 + y2 +....+ yn
z= z1 + z2 +....+ zn
Teorema de las proyecciones.
La proyección de un vector suma V sobre un eje cualquiera, es igual a la suma algebraica de las
proyecciones sobre los ejes de los vectores sumandos.
2.7 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NUMERO
REAL
El producto de un vector v1 por un numero n, es un vector que tiene la dirección de v1, el mismo
sentido si n>0 y contrario si n<0, y modulo igual a n·|v1|
De este modo los vectores x, y, z componentes de V, pueden considerarse como los productos de
los 3 números reales x, y, z coordenadas de dicho vector, por los 3 vectores unitarios i, j, k, elegidos
según los sentidos positivos de los 3 ejes coordenados X, Y, Z. O sea:
x = x · i
y = y · j
z = z · k
y por tanto:
V = x·i + y·j + z·k
Propiedades del producto por un escalar.
1) Asociativa... m·(n·a) = (m·n)·a
2) Elemento neutro... 1·a = a
Física Aplicada
15
3) Distributiva respecto a la suma de escalares... (m+n)·a = m·a + n·a
4) Distributiva respecto a la suma de vectores... n·(a+b) = n·a + n·b
Por tanto podemos decir que el conjunto de los vectores V constituye un espacio vectorial sobre R,
(V,R,+,·) puesto que se cumple:
I) (V,+) es un grupo conmutativo. Sus elementos se llaman vectores.
II) (R,+,·) es un cuerpo conmutativo. Sus elementos se llaman escalares.
III) Esta definida una operación externa, que se designa por el signo · , según la cual
el producto de un elemento de R por otro de V es un elemento de V
[Nota: Se advierte que en las operaciones anteriores sólo se usaron 2 signo, cuando en realidad
hay 4 tipos de operaciones representadas: - suma de vectores, - suma de escalares, - producto de
escalares, - producto de vectores por escalares]
2.8 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Dados 2 vectores libres v1 y v2 que forman un ángulo θ , se llama producto escalar o producto
interno de ambos, a la magnitud escalar obtenida multiplicando sus módulos por el coseno del
ángulo que forman.
v1·v2 = |v1|·|v2|·cos θ
Se puede definir también como el producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del
otro sobre el.
Según el valor de θ :
< 90 resultado positivo 
θ = 90 resultado cero
> 90 resultado negativo
Respecto a los vectores unitarios, tenemos:
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = j·k = k·i = 0
Propiedades del producto escalar.
1) Conmutativa... v1·v2 = v2·V1
2) Distributiva... v1·(v2+v3) = v1·v2 + v1·v3
3)Asociativa con un escalar... m·(v1·v2) = (m·v1)·v2 = v1·m·v2
Expresión analítica del producto.
Sean:
a (Xa, Ya, Za)
b (Xb, Yb, Zb)
a·b = (Xa·i + Ya·j + Za·k) · (Xb·i + Yb·j + Zb·k) = ... 
a·b = Xa·Xb + Ya·Yb + Za·Zb = nº
APLICACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
Proyección de un vector sobre una dirección r.
ε .- versor de la dirección r. 
V .- vector. 
Proy.V/r = V· ε = |V|·|ε|·cos θ =|V|·cos θ
Condición de ortogonalidad.
a·b = |a|·|b|·cos θ
cos θ = a·b / |a| · |b| ; cos θ = (Xa·Xb + Ya·Yb + Za·Zb) / |a| · |b|
cos θ = (Xa·Xb + Ya·Yb + Za·Zb) / (Xa²+Ya²+Za²)1/2 · (Xb²+Yb²+Zb²)1/2
Física Aplicada
16
Si θ = 90° ; cos θ = 0 ; a·b = 0 ; entonces:
Xa·Xb + Ya·Yb + Za·Zb = 0
2.9 PRODUCTO VECTORIAL
Dados dos vectores libres V1 y V2 que forman ángulo θ, se llama producto vectorial o producto
externo, a un vector V, perpendicular al plano determinado por V1 y V2, de sentido tal que el triedro
V1, V2, V sea directo y de módulo |V|=|V1|·1V2|·sen θ , igual al área del paralelogramo construido
tomando V1 y V2 como lados.
El producto se expresa V1^V2 o V1*V2
Obtención de la dirección:
Proyectar V2 sobre un plano π (ortogonal a V1) y girar 90° en sentido antihorario.
También se puede hacer por la regla de Maxwell o sentido de avance del sacacorchos
que gira de V1 a V2 por el camino más corto.
Propiedades.
1) No es conmutativo... V1^V2 no= V2^V1 ; (V1^V2) = -(V2^V1)
2) Distributiva... V1·(V2^V3) = V1^V2 + V1^V3
3) Asociativa con un escalar... m·(V1^V2) = (m·V1)^V2 = V1^(m·V2)
El producto de los vectores unitarios es el siguiente:
i^i = j^j = k^k = 0
i^j = k ; j^k = i ; k^i = j
j^i = -k ; k^j = -i ; i^k = -j
Expresión analítica.
V1^V2 = (x1·i + y1·j + z1·k) ^ (x2·i + y2·j + z2·k) = .... =
V2
V1
V
h
θ
Física Aplicada
17
= (y1·z2 - z1·y2)·i + (z1·x2 - x2·z1)·j + (x1·y2 - y1·x2)·k
que puede expresarse:
Condición de paralelismo.
V1∧V2 = 0; →
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
= 0 → x1
x2 = y1
y2 = z1
z2
2.10 PRODUCTO MIXTO
Dados 3 vectores libres V1, V2, V3 se llama producto mixto a la magnitud escalar:
(V1^V2)·V3 = superficie paralelogramo (V1-V2) por altura = volumen paralelepípedo V1-V2-V3
Propiedades.
1) Permutación circular: (V1^V2)·V3 = (V2^V3)·V1 = (V3^V1)·V2
IDENTIDAD DE LAGRANGE
Se conoce como identidad de Lagrange a la siguiente expresión:
(a^b)² + (a·b)² = a²· b²
 Ej.) Dados 3 vectores
a = Xa i + Ya j + Za k
b = Xb i + Yb j + Zb k
c = Xc i + Yc j + Zc k
aplicados en 3 puntos
d (Xd, Yd, Zd)
e (Xe, Ye, Ze)
f (Xf, Yf, Zf)
¿Que condición debe cumplirse para que sepamos que existe un plano cualquiera π al
cual son paralelos los 3 ?
Solución: a·(b^c) = 0
V1∧V2 =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
V1
V2
V3
V1 V2^
h ( V1∧V2) ⋅ V3 =
x1 i1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
Física Aplicada
18
2.11 DERIVADA DE UN VECTOR
Sea el vector V(t) cuyas coordenadas x(t), y(t), z(t) son funciones de una magnitud escalar t
variable.
V1 = V(t)
V2 = V(t+ ∆t)
∆V = V2 - V1
Derivada de V respecto de t es: 
V = dV
dt = lim
∆t→0
∆V
∆t
Sus coordenadas serán: x'= dx/dt ; y'= dy/dt ; z' = dz/dt
 Ej.) Hallar la suma de los siguientes vectores, el módulo de la misma y sus cosenos directores:
V1 ( 5, 4, 3) V4 ( 1,-5,-8)
V2 (-2, 1,-7) V5 (-2,-3,-4)
V3 (-4,-8, 3) V6 ( 4,-3, 6)
Sol:
x= 5-2-4+1-2+4= 2
V = y= 4+1-8-5-3-3= -14; V (2,-14,-7); |V|= (2²+14²+7²)1/2= 15.78
z= 3-7+3-8-4+6= -7
cos α = x / |V| = 2 / 15.78 = 0.126 => α = 82º 43'
cos β = y / |V| = -14 / 15.78 = -0.887 => β = 152º 30'
cos γ = z / |V| = -7 / 15.78 = -0.4436 => γ = 116º 20'
 Ej.) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por A(Xa,Ya,Za) y que tiene la dirección de
V(Xv,Yv,Zv)
Sol:
Sea P un punto genérico sobre la recta buscada, su vector de posición se puede expresar
como la suma siguiente, llamando O(0,0,0) al origen de coordenadas:
OP = OA + n·V
Sustituyendo por sus correspondientes valores:
OP = Xa·i + Ya·j + Za ·k + n·Xv·i + n·Yv·j + n·Zv·k
De donde obtenemos la ecuación paramétrica:
X= Xa+ n·Xv
OP Y= Ya+ n·Yv
Z= Za+ n·Zv
Despejando n en cada una de las tres ecuaciones:
V = dx
dt ⋅ i + dy
dt ⋅ j + dz
dt ⋅k
r
A P (x,y,z)
V
Física Aplicada
19
n = X−Xa
Xv n = Y−Ya
Yv n = Z−Za
Zv
De donde obtenemos la ecuación de la recta:
X−Xa
Xv = Y−Ya
Yv = Z−Za
Zv
 Ej.) Hallar la ecuación del plano que pasa por A(Xa,Ya,Za) y es perpendicular al vector V(a,b,c)
Sol:
Por definición AP · V = 0
Si llamamos O(0,0,0) al origen de coordenadas, entonces ( OP - OA ) · V = 0
[ (X-Xa)·i + (Y-Ya)·j + (Z-Za)·k ] · [ a·i + b·j + c·k ] = 0
(X-Xa)·a + (Y-Ya)·b + (Z-Za)·c = 0
a·X + b·Y + c·Z - ( a·Xa + b·Ya + c·Za ) = 0; y haciendo d= - ( a·Xa + b·Ya + c·Za )
Entonces 
 a·X + b·Y + c·Z + d = 0
Es por ello que al vector V (a,b,c) se le denomina vector director del plano.
Por ejemplo, si trabajamos con los datos numéricos: A(3,5,7) V(2,8,12)
Nos queda la ecuación: 2·X + 8·Y +12·Z + d = 0
La cual representa el haz de planos paralelos al que buscamos. Para hallar el valor de 'd'
sustituimos las coordenadas del punto A en la ecuación.
2·3 + 8·5 + 12·7 = -d > d = -130
Resultando entonces la ecuación:
2·X + 8·Y + 12·Z - 130 = 0
 Ej.) Demostrar que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Sol: x²+ y² = r²
Para que el ángulo sea recto AP·BP = 0
AP = (x+r)·i + y·j
BP = (x-r)·i + y·j
AP·BP = [(x+r)·i + y·j] · [(x-r)·i + y·j] = 
= (x+r)·(x-r) + y·y = x²-r²+y² = x²+y²-r² = r²-r² = 0 c.s.q.d.
A
O
P (x,y,z)
V (a,b,c)
A B
P
r
(x,y)
(r,0)(-r,0)
Física Aplicada
20
Cuestiones.
 Ej.) Hallar el área del triángulo de vértices A, B, C.
S = 1/2 | BA ^ BC |
S = | S |
 Ej.) Calcular el volumen de un paralelepípedo conociendo las coordenadas de un vértice A y
sus tres inmediatos B, C, D.
V = |AC · (AB ^ AD)|
 Ej.) Descomponer un vector a en tres direcciones u, v, w
Las componentes serán las proyecciones de a sobre las tres direcciones.
(Proy a)u = a · u / |u| ...
 Ej.) Deducir la ley de los cosenos de un triángulo de lados a, b, c, por medio del producto
escalar.
a + c = b ; a = b - c y elevando al cuadrado:
a2 = (b - c)2 ; a2 = c2 + b2 - 2·c·b
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos α
 Ej.) Deducir la ley de los senos de un triángulo de lados a, b, c, mediante la aplicación del
producto vectorial.
2·S = | a ^ b | = a · b · sen γ
2·S = | a ^ c | = a · c · sen β
2·S = | b ^ c | = b · c · sen α
igualando:
a · b · sen γ = a · c · sen β = b · c · sen α
y dividiendo por a·b·c:
sen α
a = sen β
b = sen γ
c
a b
c
β
α
γ
Física Aplicada
21
TEMA 3. ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
3.1 FUERZA.
Fuerza es la acción que un cuerpo ejerce sobre otro. Se caracteriza por su punto de aplicación,
magnitud, dirección y sentido. Estos cuatro elementos característicos de la fuerza son los mismos
que definen un vector, por lo que las fuerzas son magnitudes vectoriales y se representarán por
vectores.
UNIDAD = Newton (en el S.I.), kg-fuerza o kp (en el S.T.)
Clasificación de las fuerzas.
Según la zona sobre la que actúen, las fuerzas pueden clasificarse en:
 FUERZAS
Concentradas En un punto
Línea: Cables
Distribuidas Superficie: Empuje de tierras
Volumen: Peso propio
En la estática de partículas las únicas fuerzas que podremos considerar serán las puntuales .
Resultante de fuerzas concurrentes.
La fuerza resultante sobre el punto A se obtendrá sumando las fuerzas que actúan sobre él, tal y
como sumábamos los vectores:
Descomposición de una fuerza.
1) Conocida una de las componente: regla del triángulo
2) conocidas las 2 líneas de acción de las componentes:
dibujando rectas paralelas a las líneas de acción
por el extremo de F.
3.2 PARTÍCULA
En este caso no comprende sólo pequeños corpúsculos los sino que quiere decir que el tamaño y la
forma de los cuerpos no afectará de modo significativo a la solución de los problemas de este
capítulo, y que las fuerzas aplicadas en el cuerpo dado se supondrán aplicadas en un mismo punto.
Por tanto en este caso concreto las fuerzas serán vectores fijos.
Física Aplicada
22A A
F1
F2
F3
R
F1 F2
F3
F1
F2
F1
F2
F
F
Grados de libertad de una partícula.
En el plano... 2 desplazamientos posibles = 2 grados de libertad
En el espacio... 3 desplazamientos posibles = 3 grados de libertad
3.3 EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA.
PRIMERA LEY DE NEWTON:
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula mantendrá las condiciones
iniciales de velocidad. De esto se deduce que una partícula en equilibrio puede estar bién en reposo
o bién moviéndose en línea recta con velocidad constante.
O sea: R = Σ Fi = 0
En el plano: Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
En el espacio
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ Fz = 0
Diagrama de cuerpo libre.
Un gran número de problemas de estructuras
pueden reducirse a problemas concernientes al
equilibrio de una partícula. Esto se hace eligiendo
una parte significativa del sólido y dibujando un
diagrama de dicha parte separado del resto del
cuerpo, que muestre a ésta y todas las fuerzas que
actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce con el
nombre de "Diagrama de cuerpo libre".
Para hacer este diagrama debemos ir aislando la parte que hemos elegido del resto del sólido.
Cada elemento físico que eliminemos debemos sustituirlo por la acción que produce en el punto de
estudio.
Cuando la partícula está en equilibrio bajo 3 fuerzas, el problema se resuelve utilizando un triángulo
de fuerzas; si el número de fuerzas es mayor será un polígono de fuerzas.
 Ej.) Un peso de 100 kg cuelga de un techo sujeto por dos cables, unos de los cuales forma 30º
con el techo y soporta una tensión de 115 kg. Calcular el ángulo que forma el otro cable
con el techo y la tensión que soporta.
 Ej.) Una percha sujeta a una pared está formada por una
cuerda horizontal y una barra que forma 30º con esta, si
se cuelga un chaquetón de 5 kg de peso, calcular la
fuerza que soporta cada una de las barras. Si la cuerda
puede soportar una tracción máxima de 28 kg y la barra
Física Aplicada
23
A
A
5 kg
una compresión máxima de 37 kg, calcular cual es el
máximo peso que se podría colgar.
 Ej.) Con los datos anteriores, si podemos cambiar una sola de las direcciones de los soportes,
¿cuál deberíamos cambiar y en qué dirección para que soporte el mayor peso posible?.
Calcular el peso máximo que se podría soportar entonces.
 Ej.) En el problema inicial, ¿qué dirección deberíamos darle a la cuerda para que la tensión que
soporte sea la menor posible?
 Ej.) Una furgoneta se ha estancado en terreno
fangoso. El conductor está solo y dispone de
una cuerda larga y fuerte, que ata a un árbol
y empuja de ella lateralmente según el
esquema de la figura. Si el conductor es
capaz de empujar con una fuerza de 100 kg,
¿Qué tensión está ejerciendo la cuerda sobre
la furgoneta y sobre el árbol
 Ej.) Un obrero de la construcción de 90 kg de peso se soporta en un andamio
según el esquema de la figura. ¿Qué fuerza debe estar ejerciendo el
obrero? (despreciar el peso del andamio y de la cuerda)
 Ej.) En los gráficos siguientes, calcular las tensiones en los cables que tienen una
interrogación:
Física Aplicada
24
3º 5º
F
A
B
C
D
?
?
?
924 kg
2
4 3
2
4x
y
z
x y
z
2
2
?
?
?
4
12
4
3
F=100 kg
x y
z
6
10
7
12
200 kg
?
??
?
A
B
C
TEMA 4. ESTÁTICA DEL SOLIDO RÍGIDO
4.1 INTRODUCCIÓN
No siempre es posible, como en el capítulo anterior, considerar un cuerpo como una partícula.
Entonces se deberá tener en cuenta el tamaño del cuerpo y que las fuerzas tienen distintos de
aplicación.
4.2 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS
Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos son de dos tipos:
1) FUERZAS EXTERNAS.- Son las acciones de otros cuerpos sobre ellos, serán los
responsables del comportamiento del cuerpo y causará que se mueva o permanezca
en reposo.
2) FUERZAS INTERNAS.- Son las que mantienen unidas las partículas del cuerpo.
En este capítulo consideramos sólo las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. 
4.3 HIPÓTESIS BÁSICAS
4.3.1 SOLIDO RÍGIDO.
Se denomina sólido rígido a un sistema de puntos materiales cuyas posiciones relativas entre si
permanecen invariables bajo la acción de un conjunto de fuerzas. Si el cuerpo rígido es plano se
denomina "chapa rígida". En la realidad no existen cuerpos rígidos puesto que los cuerpos se
deforman al aplicarles cargas, aunque estas deformaciones, en general, suelen ser pequeñas y no
afectan de forma apreciable a las condiciones de equilibrio de la estructura en consideración.
4.3.2 PRINCIPIO DE DOS FUERZAS IGUALES Y OPUESTAS.
El estado de un cuerpo rígido no se modifica si se aplican o suprimen dos fuerzas iguales y
opuestas que tengan la misma línea de acción.
F1
F2
Física Aplicada
25
4.3.3 TEOREMA DE LA TRASMISIBILIDAD.
El efecto que una fuerza ejerce sobre un cuerpo rígido no se modifica si se traslada la fuerza a un
punto cualquiera de su línea de acción con tal de que dicho punto esté rígidamente unido al cuerpo.
Demostración por el principio anterior:
Por tanto deberemos considerar que las fuerzas aplicadas sobre los sólidos rígidos serán vectores
deslizantes .
NOTAS:
A) Sólo vale para sólidos rígidos.
B) Sólo se pueden trasladar dentro del mismo sólido rígido.
C) Sistemas equivalentes desde el punto de vista de la fuerzas externas pueden dar
lugar a fuerzas internas muy diferentes.
4.3.4 PRINCIPIO DE LAS FUERZAS CONCURRENTES
(Ley del paralelogramo y del polígono)
El efecto que produce en un sólido rígido la aplicación de un sistema de fuerzas concurrentes en un
punto A es equivalente al de una fuerza única R aplicada en A, e igual a la suma de todos los
F
F'
F
F1=F
F2=-F
F
= =
F
F
-FF
-F
=
cuerpo en
equilibrio
Física Aplicada
26
vectores concurrentes.
4.4 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN
PUNTO.
El momento de una fuerza F respecto a un punto A, es la magnitud vectorial representada por el
vector M , ligado al punto A y definido por:
Ma = AB ^ F
Su módulo es: |M| = |AB|·|F|· sen θ = |F|·d donde d es la distancia de la recta de acción de F al
punto A.
Por tanto es independiente de la posición de F sobre su recta de acción 
Significado físico: La magnitud Ma mide la tendencia de la fuerza F a girar el sólido rígido alrededor
de un eje fijo situado en A y de dirección Ma.
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL MOMENTO (Producto vectoria l)
Pto. aplicación de la fuerza B (x1, y1, z1)
Pto. de cálculo del momento A (x0, y0, z0)
Coordenadas de la fuerza F (X , Y , Z )
R
F1 F2
F3
A
Ma
F
AB
B
A
d
θ
.
A
.
F
Física Aplicada
27
4.5 TEOREMAS APLICABLES
De la propiedad distributiva del producto vectorial se pueden deducir dos teoremas importantes:
TEOREMA 1) El momento de una fuerza F respecto a un punto cualquiera B es igual a
la suma de su momento Ma respecto a otro punto A más el momento respecto a B de
una fuerza igual a F aplicada en este punto A.
Mb = BP ^ F = (BA + AP) ^ F = (BA ^ F) + (AP ^ F) = (BA ^ F) + Ma
Mb = Ma + (BA ^ F)
COROLARIO: El lugar geométrico de los puntos de momento igual a
uno dado Ma es una recta paralela a F por A.
Demostración: Mb = Ma +(BA ^ F) => BA ^ F = 0 => BA || F
TEOREMA 2) Teorema de Varignon: El momento respecto a un punto A de la
resultante de un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos
respecto a A de todas las fuerzas del sistema.
R = F1 + F2 +...+ Fn
Ma = AB ^ R = AB ^ (F1 + F2 +...+ Fn ) =
= (AB ^ F1) + (AB ^ F2) +...+ (AB ^ Fn) = Ma1 + Ma2 + ... + Man
Unidad de momento: Momento = Fuerza x distancia
M = Kg. x m = m·Kg
4.6 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE
El momento de una fuerza F respecto a un eje r es la magnitud escalar Mr obtenida proyectando
sobre dicho eje el momento de la fuerza F respecto a un punto cualquiera del eje. 
Para que la definición se cumpla Mr debe ser independiente del punto elegido sobre el eje:
Ma=
i j k
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
X Y Z
F
Mb
Ma
B
A
P
Ma
F1 F2
Fn
A
B
R
Física Aplicada
28
Demostración: 
F
Ma
Mb
Mr
Mr
A
B
ε
P
r
s
Sea ε = versor sobre r. Del teorema anterior:
Mb = Ma + (BA ^ F); y multiplicando ambos términos por ε·Mb = ε·Ma + ε·(BA ^ F)
Por la propiedad del producto mixto, el segundo sumando se puede convertir en:
F·( ε ^ BA) = 0 ; y como ε || BA entonces: ε ^ BA = 0
Por tanto se cumplirá: ε·Mb = ε·Ma
O sea: Proy.Mb /r = Proy.Ma /r = Mr como queríamos demostrar.
COROLARIO.
Mr = 0 si r y F están en el mismo plano, ya que entonces Ma será ortogonal a r
EXPRESIÓN ANALÍTICA.
Sean:
ε ( cos α , cos β , cos γ )
A ( Xa , Ya , Za )
P ( Xp , Yp , Zp )
F ( Fx , Fy , Fz )Mr = ε ·Ma = ε ·(AP ^ F) (producto mixto)
4.7 MOMENTO DE UN SISTEMA RESPECTO DE UN EJE
Sean:
Pi ( Xi , Yi , Zi )
Fi ( Fxi , Fyi , Fzi )
A ( Xa , Ya , Za )
ε ( cos α , cos β , cos γ )
Mr =
cos α cos β cos γ
Xp − Xa Yp − Ya Zp − Za
Fx Fy Fz
A
P1 P2
Pn
F1
F2
Fn
M1 M2 Mn
ε
X Y
Z
Física Aplicada
29
 Msist/ε = Σ
i=1
n
Mr i = Σ
i=1
n
ε ⋅ Mai = Σ
i=1
n
ε ⋅ (APi ∧ F) = Σ
i=1
n
cos α cos β cos γ
Xi − Xa Yi − Ya Zi − Za
Fx i Fyi Fzi
DEFINICIÓN.
Se definen como RECTAS DE MOMENTO NULO a aquellos que pasan por un punto del espacio A
y son ortogonales al momento que produce que produce el sistema en dicho punto.
M sist/ε = ε · Msist/a ; si ε ortogonal a M => M sist/ε = 0
4.8 TEOREMA DE LAS PROYECCIONES
La proyección de un vector sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de los vectores
componentes.
COROLARIO.
Del th. de Varignon y del th. de las proyecciones se deduce que el momento respecto a un eje de la
resultante R de un sistema de fuerzas concurrentes en un punto, es igual a la suma de los
momentos de todas las fuerzas del sistema respecto al eje.
4.9 SISTEMA DE FUERZAS
Es el conjunto de n fuerzas que actúan sobre un sólido rígido. Tendrán:
1) Fuerza resultante:
 , con una determinada recta de aplicación.
→
R = Σ
i=1
n →
F i
2) Momento resultante respecto a un punto:
→
Ma = Σ
i=1
n
(
→
F i ∧
→
d i)
4.10 SISTEMA DE FUERZAS EQUIVALENTES
Dados dos sistemas de fuerzas Fi (i=1...n) y Fj (j=1...m) se dice que ambos sistemas son
equivalentes cuando producen el mismo efecto en el cuerpo sobre el que actúan. Para ello deberá
verificar:
1) Tienen la misma resultante R
2) Su momento Ma respecto de cualquier punto del cuerpo rígido es el mismo.
NOTA:
Si se dan las dos condiciones anteriores se cumplirá la segunda para cualquier punto del
sólido. Comprobación:
Ri = Rj en cualquier caso.
El momento en otro punto B producido por cada sistema será:
Sistema i : Mb = Ma + (BA ^ Ri)
Sistema j : Mb' = Ma' + (BA ^ Rj)
R
Ma
F1
Fi
Fn
A
Física Aplicada
30
Por definición: Ma = Ma' , Ri = Rj por tanto Mb = Mb'
PROPIEDADES.
( ≅ equivalente)
a) reflexiva Si ≅ Si
b) simétrica Si ≅ Sj > Sj ≅ Si
c) transitiva Si ≅ Sj ; Sj ≅ Sk > Sk ≅ Si
4.11 CALCULO DE LA RESULTANTE
RESULTANTE = Sistema equivalente al conjunto de vectores. Por tanto será una fuerza, y como tal
tendrá una determinada línea de acción que será preciso conocer.
a) Sistema de fuerzas concurrentes:
F1
F2
Fn
R
A
R= Σ Fi, y pasa por el punto A (sino: MaR = Σ Mai )
b) Sistema de fuerzas coplanarias: = =
F1
F2
F3
R1,2
F3
R1,2,3
A B B
c) Sistema de fuerzas paralelas:
Por semejanza de los triángulos OAA1 - A1B1C1 y OAA2 - A2B2C2, se
deduce que:
A1A/OA = C1B1/A1B1 ; A2A/OA = C2B2/A2B2
A1A/OA = Q1 /F1 ; A2A/OA = Q2/F2
A1A · F1 = Q1· OA ; A2A · F2 = Q2 · OA
Puesto que:
Q1 = Q2 > A1A · F1 = A2A · F2
Entonces:
A1A
A2A
= F2
F1
O
A1
A
A2
B1
C1
B2
C2
Física Aplicada
31
Ecuación que determina analíticamente la posición del punto A,
situado en la línea de acción de la resultante. Gráficamente:
Sobre el punto de aplicación de una de las fuerzas se lleva el vector
igual a la otra, y sobre la segunda se lleva uno igual y opuesto a la
primera. La intersección de la recta que une sus orígenes con la que
une sus extremos da el punto A. 
4.12 PAR DE FUERZAS
Al sistema constituido por dos fuerzas de igual módulo, sentido contrario y rectas de acción
paralelas se le denomina par de fuerzas.
En este caso la resultante R es igual a 0. Pero ejercerán un momento, que respecto a un punto
cualquiera 0, será:
d
Mo
O
A1
A2
F1 F2
θ
Mo = (OA1 ^ F1 ) + ( OA2 ^ F2 ) siendo: F2 = -F1
Mo = (OA1 ^ F1 ) - ( OA2 ^ F1 )
Mo = ( OA1 - OA2 ) ^ F1
Mo = A2A1 ^ F1
Su módulo será Mo = F1 · A2A1 · sen θ = F1 · d
Siendo d la distancia entre dos fuerzas o el brazo del par. Según la ecuación anterior el momento
respecto a cualquier punto valdrá lo mismo, conservando la magnitud, dirección y sentido. Por lo
tanto, el momento de un par se puede considerar como un vector libre M.
F
F-
Física Aplicada
32
El momento de un par también puede representarse con la flecha curvada que indica su sentido de
giro:
4.13 PARES EQUIVALENTES
1) Por definición de par sabemos que la resultante será R = 0 en todos los casos.
2) Por tanto para que sean equivalentes los sistemas 1 y 2 : M1 = M2 ; o sea: F1 ^ d1 = F2 ^ d2
Por tanto deberá cumplirse:
a) |F1| · d1 = |F2| · d2
b) indican el mismo sentido de giro.
Posibles transformaciones de un par que conservan la equivalencia:
a) Traslación en la dirección de sus fuerzas 
b) Traslación en dirección perpendicular a la de las fuerzas.
c) Giro en su plano. 
Física Aplicada
33
d) Traslación a un plano paralelo:
e) Modificación del brazo y fuerzas: (Siempre que se cumpla la condición antes
mencionada: (F1·d = F1'·d')
4.14 COMPOSICIÓN DE PARES
Puesto que el único efecto que producen los pares es un momento, y éste, como veíamos, es un
vector libre, entonces la composición de los pares será un par cuyo momento sea igual a la suma
de los vectores momento M de los pares componentes: 
MR = M1 + M2 +...+ Mn
siendo MR también un vector libre.
Hallado MR basta buscar un par de fuerzas F1, F2 y un brazo d que produzca dicho momento.
(Nota: Si bien par de fuerzas y momento son dos conceptos tan intrínsecamente ligados que muchas veces se termina usando una u
otra denominación indistintamente, no debemos confundir ambos términos, pues mientras el par de fuerzas representa la causa, el
momento representa su efecto en un punto.)
4.15 REDUCCIÓN DE SISTEMAS
Reducir un sistema S es encontrar otro S' más sencillo y que sea equivalente. Las dos reducciones
principales son:
1) CANÓNICA: O reducción a un punto. El sistema se reduce a una resultante R
(vector deslizante) aplicada en un punto A (que será el punto de reducción) y a un par
de fuerzas F,-F que generan un momento en A igual a MAR (momento del sistema en
A)
Ma
R
A
Física Aplicada
34
2) CONJUGADA: Se reduce a u sistema de dos fuerzas sobre dos rectas que no se
corten.
La mas usual es la canónica. Se puede pasar de la conjugada a la canónica fácilmente:
Se sitúa en una de ellas una recta de acción paralela a F2 y descomponemos F1 según
este vector (regla del triángulo)
F1 = Fa + FR ; con Fa = -F2
F1 = -F2 + FR
1) FR = F1 + F2
y Fa y F2 forman un par de valor:
2) M = F2 ^ d
4.16 REDUCCIÓN DE UN SISTEMA A UN PUNTO
Un sistema de fuerzas cualesquiera que actúa sobre un cuerpo rígido puede siempre reducirse a
una fuerza resultante aplicada en un punto elegido arbitrariamente y a un par resultante (vector
libre).
Demostración:
Para cada fuerza Fi se aplican en el punto elegido "O" dos fuerzas iguales y opuestas (Fi' y
Fi") de la misma dirección y magnitud que Fi, lo que no modifica el estado del cuerpo.
Entonces tenemos un par Fi-Fi",de resultante Ri = 0, y la fuerza Fi' aplicada en el punto
deseado "O". Generalizando para las n fuerzas, obtenemos en el punto "O":
Se observa que R será independiente (*) del punto elegido "O", mientras que en general M
variará según la localización del punto.
F1
F2
Fr
Fa
d
R= Σ
i=1
n
F i
M = Σ
i=1
n
M i = Σ
i=1
n
ε ⋅ (F i ∧ OAi)
Física Aplicada
35
(* Por eso, a veces, puede llegar a suponerse que R es un vector
libre, pero no, pues tendrá una recta de acción determinada para
cada momento M, y si se separa de ella produciráun momento que
habrá que sumar al anterior.)
4.17 TEOREMA DE VARIGNON GENERALIZADO
Si el sistema de fuerzas aplicado a un sólido rígido se reduce a una fuerza resultante R, sin ningún
momento, entonces la suma de los momentos respecto un punto cualquiera O, de todas las fuerzas
del sistema es igual al momento respecto al mismo punto O de la fuerza R resultante del sistema.
4.18 MOMENTO DE UN SISTEMA SOBRE UN PUNTO
El momento en un punto será el mismo para sistemas equivalentes, por tanto lo simplificaremos
para el caso de un sistema reducido a una fuerza R y un par de momento Ma.
 Mb = (BA ^ Ra) + Ma
Por tanto el momento Mb para cada punto dependerá únicamente del factor d, o sea, de la posición
relativa del punto respecto la recta de acción de la resultante, por tanto tendrán igual momento todo
aquellos puntos con igual vector BA, los cuales nos definen una recta paralela a R (como ya
veíamos en corolario anterior).
COROLARIO: REDUCCIÓN DE UN SISTEMA A OTRO PUNTO
Teniendo el sistema reducido para un punto B, podemos reducirlo a otro punto A haciendo: 
Rb = Ra = R
Mb = (BA ^ R) + Ma
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA REDUCCIÓN:
Fi (Fxi,Fyi,Fzi) 
Ai (Axi,Ayi,Azi) 
O (Oxi,Oyi,Ozi)
R ( X , Y , Z ) - resultante de las fuerzas
M ( Mx, My, Mz) - momento resultante
como recordaremos:
Física Aplicada
36
M i =
i j k
Ax i − Ox Ayi − Oy Azi − Oz
Fx i Fyi Fzi
⇒
Mx i = (Ayi − Oy) ⋅ Fzi − (Azi − Oz) ⋅ Fyi
Myi = (Azi − Oz) ⋅ Fx i − (Ax i − Ox) ⋅ Fzi
Mzi = (Ax i − Ox) ⋅ Fyi − (Ayi − Oy) ⋅ Fx i
Por tanto tendremos:
R=
X = Σ Fx i
Y = Σ Fyi
Z = Σ Fzi
M =
Mx = Σ(Ayi − Oy) ⋅ Fzi − Σ(Azi − Oz) ⋅ Fyi
My = Σ(Azi − Oz) ⋅ Fx i − Σ(Ax i − Ox) ⋅ Fzi
Mz = Σ(Ax i − Ox) ⋅ Fyi − Σ(Ayi − Oy) ⋅ Fx i
4.19 INVARIANTES DE LA REDUCCIÓN DE UN SISTEMA
A UN PUNTO
Son aquellas expresiones que permanecen constantes con independencia del punto en que se ha
efectuado la reducción. son:
1) Resultante de las fuerzas, R:
Como ya se ha visto anteriormente.
2) Automomento, M·R
Demostración:
Mb= Ma + BA ^ R y multiplicando por R:
R·Mb = R·Ma + R·(BA ^ R) => BA·(R ^ R) = 0
Entonces: R·Mb = R·Ma Para dos puntos cualesquiera del espacio.
3) Proyección de M sobre R:
Demostración:
Mr = R·M / |R| (M·R=constante) => Mr = constante
4.20 EJE CENTRAL
Es el lugar geométrico de los puntos del espacio en que el momento es mínimo. Ya que Mr = (Proy.
M/R) es una invariante, el momento mínimo será aquel cuyo módulo sea igual a |Mr| y por tanto
deberá ser paralelo a R.
Por corolario visto anteriormente, el lugar geométrico de los puntos de momento igual a uno dado,
es una recta que pasa por dicho punto y es paralela a la resultante R.
Por tanto, el eje central será una recta paralela a R que unirá los puntos de momento mínimo. Su
ecuación será:
Sabemos que el momento en un punto cualquiera es:
Ma = Mo + AO ^ R = Mo - OA ^ R
Siendo:
A ( Ax, Ay, Az) - pto. a calcular momento
O ( 0 , 0 , 0 ) - origen (para simplificar)
Ma (Max,May,Maz) - mto. en el punto A
R ( Rx , Ry , Rz ) - resultante
Mo (Mox,Moy,Moz) - mto. en el pto. O (origen)
Física Aplicada
37
Entonces:
Ma= Mo −
i j k
Ax Ay Az
Rx Ry Rz
Ma=


Mox − Ay Az
Ry Rz


 ⋅ i +


Moy − Az Ax
Rz Rx


 ⋅ j +


Moz − Ax Ay
Rx Ry


 ⋅ k
Para que dos vectores sean paralelos: X1/X2 = Y1/Y2 = Z1/Z2
Por tanto para que Ma sea paralelo a R impondremos dicha condición:
Mox− Ay Az
Ry Rz
Rx =
Moy− Az Ax
Rz Rx
Ry =
Mox− Ax Ay
Rx Ry
Rz
4.21 DISTRIBUCIÓN DEL CAMPO DE MOMENTOS DE
UN SISTEMA ALREDEDOR DEL EJE CENTRAL
Supongamos Eje Central = Eje z
Sabíamos que: Mb = Ma + BA ^ R ; Ma'= Ma + A'A ^ R ; Ma" = Ma'+ A"A ^ R
En cada punto la composición de momentos es:
Vemos que Ma = cte. y que el segundo componente ( An A ^ R ) depende de la distancia de An al
punto A, por tanto los puntos a la misma distancia del Eje Central tendrán la misma componente,
variando únicamente su orientación.
Física Aplicada
38
Por otra parte vemos que a mayor distancia mayor será la segunda componente, y por tanto mayor
el ángulo γ . Este variará desde 0° en el Eje Central a 90° en el infinito. Por tanto el resultado que
obtendremos será:
Para todos los puntos situado
sobre una superficie cilíndrica de
radio "d" el momento será el
mismo, girado respecto el Eje
Central.
Para un sistema dado, los vectores
momentos son tangentes a las
infinitas hélices de un cilindro; por
ello al campo de momentos se le
llama: CAMPO HELICOIDAL.
(Todo esto nos sugiere otra posible forma de hallar el Eje Central: Dada R
hallaremos un plano π perpendicular a ella. Calcularemos el momento respecto a dos
puntos pertenecientes a π tales como A' y A" y hallamos dos planos α y β que pasen
por A' y A" y sean perpendiculares a sus momentos. La intersección de π, α y β dará
un punto del Eje Central.)
4.22 CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS
Conocida la resultante R de un sistema, y el momento Ma que produce en un punto cualquiera A,
podemos saber de que tipo de sistema se trata. Los posibles resultados se recogen en la siguiente
tabla:
R R·Ma Ma DENOMINACION SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE
≠ 0
≠ 0 ≠ 0
Sistema HELICOIDAL Resultante R aplicada en A y un par de
momento Ma.
= 0
≠ 0 Sistema CIRCULAR.
Ma perpendicular al E.C.
Resultante R aplicada en el Eje Central
(par= 0)
= 0 Sistema CIRCULAR.
A pertenece al Eje Central
Idem anterior, Eje Central pasa por A
= 0 = 0
≠ 0
Sistema UNIFORME.
M= constate en todos los
puntos.
Un par de momento Ma
= 0 Sistema NULO. Dos vectores iguales y opuestos o nada
Ejercicios.
 Ej.) Dado un sistema de fuerzas coplanarias F1, F2 y F3 aplicadas en un cuerpo rígido, hallar el
momento que producen en un punto O.
Datos:
F1 = 1000 Kg. |OA1|=4m θ1 = 45°
F2 = 3000 Kg. |OA2|=5m θ2 = 30°
F3 = 2000 Kg. |OA3|=2m θ3 =-60°
Física Aplicada
39
Los momentos de las tres fuerzas respecto al punto O estarán ligados a dicho punto y su
dirección será perpendicular al plano en que se hallan. Por tanto nos basta conocer su
módulo
M1 = |OA1|·|F1|·sen θ1 = 4·1000·sen45° = 2828m·Kg
M2 = |OA2|·|F2|·sen θ2 = 5·3000·sen30° = 7500m·Kg
M3 = |OA3|·|F3|·sen θ3 = 2·2000·sen(-60°)= -3464m·Kg
Por tanto:
Mo = Σ Mi = M1 + M2 + M3 = 6864 m·Kg (positivo)
 Ej.) Calcular el momento de F respecto O.
B
A
5 m
4 m
3 m
Z
X
Y
|F| = 2000 Kg
Tenemos que hallar los componentes de F:
A (3,5,0) B (0,0,4)
El vector AB será = (-3,-5,4)
y su módulo |AB| = (3²+5²+4²)1/2 = (50)1/2 = 5·(2)1/2
por tanto sus cosenos directores: (versor director)
cos α = -3 / 5·(2)1/2 cos β = -5 / 5·(2)1/2 cos γ = 4 / 5·(2)1/2
y las coordenadas de F:
X = 2000·[ -3 / 5·(2)1/2 ] = -848.5 Kg Ox = 3
F : Y = 2000·[ -5 / 5·(2)1/2 ] = -1414 Kg y O: Oy = 0
Z = 2000·[ 4 / 5·(2)1/2 ] = 1131 Kg Oz = 0
@Indent 0@
Mo= OA ∧ R =
i j k
3 − 3 5 − 0 0 − 0
−848.5 −1414 1131
=
i j k
0 5 0
−848.5 −1414 1131
= 5655 ⋅ i + 4243⋅j
Módulo:
Mo = (5655²+4243²)1/2 = 7070 m·Kg 
Cosenos:
cos α = 5655 / 7070 = 0.80 ; cos β = 0 ; cos γ = 4243 / 7070 = 0.60
Por tanto:
α = 36°52'
β = 90°
γ = 53°8'
Física Aplicada
40
 Ej.) Hallar el momento de las fuerzas sobre el origen y el momento respecto al eje Z para:
F3x = F3y = 1000·[ (2)1/2 / 2 ] = 707.1 Kg
Entonces:
F1 ( 0 , 0 ,-2000)
F2 ( 0 , 500 , 0)
F3 (-707.1, 707.1, 0)
OA1 ( 0.15, -0.15, 3)
0A2 ( 0.15, -0.15, 2)
0A3 ( 0.15, -0.15, 1)
Los momentos respecto 0 serán:
Mo1 = OA1 ∧ F1 =
i j k
0.15 −0.15 3
0 0 −2000
= 3000 ⋅ i + 75 ⋅ j
Mo2= OA2 ∧ F2 =
i j k
0.15 −0.15 2
0 500 0
= −1000 ⋅ i + 75 ⋅ k
Mo3 = OA3 ∧ F3 =
i j k
0.15 −0.15 2
−707.1 707.1 0
= −707.1 ⋅ i + 75 ⋅ j
Mo = Σ Moi = -1407.1·i - 407.1·j + 75·k 
Entonces, para obtener el momento respecto del eje Z, basta con multiplicar el momento
Mo por el vector unitario asociado a Z: k(0,0,1) (pues O pertenece a Z)
Mz = Mo·k = 75 m·Kg
Otra forma de obtener Mz es observando que F1 y F3 no producen momento respecto al
eje Z, pues están en su mismo plano, por tanto sólo contaremos con F2, que producirá el
momento.Mz = F2·d = 500 · 0,15 = 75 m·Kg
1 m
1 m
1 m
0,3 m
0,3 m
F1
F2
F3
Física Aplicada
41
 Ej.) Sobre un cuerpo rígido actúa un sistema de 3 pares de fuerzas en el mismo plano. Calcular
el momento del par resultante.
F1 = 4000 Kg d1 = 1 m
F2 = 3000 Kg d2 = 4 m
F3 = 1500 Kg d3 = 6 m
Solución:
M1 = d1·F1 = 1·4000 = 4000 m·Kg
M2 = d2·F2 = 4·3000 = 12000 m·Kg
M3 =-d3·F3 =-6·1500 = -9000 m·Kg
M = M1 + M2 + M3 = 4000+12000-9000 = 7000 m·Kg
 Ej.) Hallar el momento resultante de los pares de fuerzas siguientes:
Datos: F1=4000 Kg ; F2=8000 Kg
Solución:
M1= 4000·3= 12000 mKg y su vector director será: (0,-1,0)
M2= 8000·2= 16000 mKg y su vector director será: (0,0,-1)
Por tanto:
M1 = (0,-12000,0)
M2 = (0,0,-16000)
M = M1 + M2 = (0,-12000,-16000)
|M|= (12000²+16000²)1/2 = (12²·1000²+16²·1000²)1/2 = 1000·(12²+16²)1/2 = 20000 m·Kg.
F1
F1
F2
F2
F3
F3
d2
d1
d3
1 m
3 m
3 m
F1
F2
F1
2 m
F2
Física Aplicada
42
 Ej.) Reducir el siguiente sistema al punto O.
F1 = 5000 Kg ; F2 = 3000 Kg ; F3 = 1000 Kg
Hallamos en primer lugar las componentes de los vectores fuerza:
F1x = F1·cos α = 5000·(0.3 / 0.5) = 3000 Kg.
F1z = F1·cos β = 5000·(-0.4 / 0.5)=-4000 Kg.
quedando:
F1 ( 3000, 0,-4000)
F2 ( 0,-3000, 0)
F3 ( 0, 0, 1000)
F4 (-3000, 0, 0)
la resultante será: R (0,-3000,-3000) 
Para hallar el momento respecto O hallaremos los momentos de las fuerzas respecto a los
3 ejes coordenados X,Y,Z y sumaremos vectorialmente los resultados: 
 
Mx1 = -4000.3 =-12000
Mx2 = 3000·0.2 = 600
Mx3 = 1000.2 = 2000
Mx4 = 0
My1 = 0
My2 = 0
My3 = -1000·0.15= -150
My4 = -3000·0.2 = -600
Mz1 = -3000·3 = -9000
Mz2 = -3000·0.15= -450
Mz3= 0
Mz4 = 3000.1 = 3000
Sumando: 
Mo =
Mx = -9400 m·Kg
My = -750 m·Kg
Mz = -6450 m·Kg
 Ej.) Determinar el eje central, el automomento y el momento mínimo del sistema de fuerzas
anterior.
La ecuación del eje central es: ( x, y, z.= coordenadas de un punto del Eje Central)
Mx− y z
Ry Rz
Rx =
My− z x
Rz Rx
Ry =
Mz− x y
Rx Ry
Rz
Obteniendose:
−9400 − (−y ⋅ 3000 + z ⋅ 3000)
0
= −750 − (0 + x ⋅ 3000)
−3000
= −6450 − (−x ⋅ 3000 − 0)
−3000
1 m 1 m 1 m
0,4 m
0,3 m
F1
F2
F3
F4
X
Y
Z
O
Física Aplicada
43
NOTA.- la relación anterior: Mx/Rx = My/Ry = Mz/Rz , se toma con el
significado Geométrico de la proporcionalidad de dos vectores
componente a componente. (si una es 0, la otra también lo tiene que
ser).
-9400 - ( -y·3000 + z·3000 ) = 0
-9400 + 3000·y - 3000·z = 0
y - z = 3'13
-750 - 3000·x = -6450 + 3000·x
6000·x = 6450 - 750
x = 0'95
el momento mínimo es:
Mmín = Mo ⋅ εr = Mo ⋅ R
R = (−9400)+(−750)⋅(−3000)+(−6450)⋅(−3000)
30002+30002
= 21600000
4243 = 5091m ⋅ Kg
en la dirección de R.
el automomento es: M·R = 21600000 m.Kg²
 Ej.) Dado el sistema de la figura, determinar la magnitud de F4 para que el sistema pueda
reducirse a una fuerza resultante única.
Para que el sistema pueda reducirse a una fuerza resultante única, tendremos una
distribución de momentos que definíamos como sistema circular, o sea, que sabemos que
R es ortogonal a M en cualquier punto del espacio y que además, y como consecuencia de
ello, el automomento R·M = 0, siendo:
R =
Rx = Σ Xi = 500 - F4
Ry = Σ Yi = 1000
Rz = Σ Zi = 2000
Mo=
Mx = -1000·2 = -2000
My = -2000·3 - 2·F4 = -6000 - 2·F4
Mz = 4·F4 - 500·4 = -2000 + 4·F
planteamos entonces el producto escalar de los vectores: R·Mo = 0 , resultando:
(500 - F4).(-2000) + 1000.(-6000 - 2.F4) + 2000.(-2000 + 4.F4) = 0
-11000 + 8.F4 = 0 > F4 = 1375 Kg F4 (-1375,0,0) Kg
 Ej.) Determinar el lugar geométrico de los ejes que pasan por un punto P(x,y,z) dado, sabiendo
que se trata de un sistema compuesto por una única fuerza F, |F| = 5 Kg.; sabiendo que la
distancia de P al vector F es de 2 m. y que el momento Mε de los ejes buscados debe valer
5 m·Kg.
Solución:
Mp = 5·2·sen 90° = 10 m·Kg.
4 m 2 m
3 m
F1
F2
F3
F4
X
Y
Z
= 5000 kg
= 2000 kg
= 500 kg
Física Aplicada
44
cos α = Mε/Mp =5/10 = 1/2 ; α = 60°
los ejes definen una superficie cónica de vértice P, y forman un ángulo de 60° con Mp.
 Ej.) La resultante de un sistema de vectores es R = i + j + k y el momento en A(3,2,0) es Ma = j
- k. Demostrar que el sistema equivale a un solo vector situado sobre la recta:
X = Y
Z = X - 2
Solución:
Un sistema es equivalente a un solo vector fuerza si se trata de un sistema CIRCULAR.
Para ello:
R·M = 0 ; R·M = 1 - 1 = 0
Entonces es reducible. Hallaremos ahora la ecuación del Eje Central:
el momento en un punto genérico es:
i j k
MO = Ma + (OA^R) = (j-k) + 3-X 2-Y -Z
1 1 1
= j - k + [(2-Y) + Z]·i - (3-X+Z)·j + (3-X-2+Y)·k =
= (2-Y+Z)·i + (-2+X-Z)·j + (-X+Y)·k
Ecuación del Eje Central:
(2-Y+Z)/1 = (-2+X-Z)/1 = (-X+Y)/1
Por tanto: 2-Y+Z = -2+X-Z
Y = 2·Z - X + 4
-2+X-Z = -X+Y
-2+X-Z = -X+2Z-X-4 ; 3Z = 3X-6 =>
Y = 2X-4-X+4 =>
Z = X - 2
Y = X
 Como queríamos
 demostrar.
OTRA POSIBILIDAD:
Visto que se trata de un sistema circular ( R.M = 0 ), basta imponer la condición de que Mp
= 0 . Hallamos un punto P en el que el momento sea cero, por tanto el sistema en dicho
punto se reducirá ala resultante:
i j k
Mp = Ma + (PA^R) ; Mp = (j-k) + 3-X 2-Y 0-Z =
1 1 1
F
Mp
P d = 2 m
Me = 5 m·kg
= 10 m·kg
= 5 kg
α
Física Aplicada
45
= j - k + (2-Y+Z)·i - (3-X+Z)·j + (3-X-2+Y)·k ;
Mp = 0 =>
Mx = 2-Y+Z = 0 =>
My = -2+X-Z = 0 =>
Mz = -X+Y = 0 =>
Z = Y - 2
Z = X - 2
X = Y
4.23 CONDICIONES DE EQUILIBRIO
FUERZAS INTERNAS.- Son las que ejercen los propios puntos del sistema entre sí.
Pueden ser las fuerzas que mantienen unidos las partículas del sólido.
O bien las que ejercen entre sí dos cuerpos pertenecientes al mismo sistema.
Estas fuerzas internas responden al principio de acción y reacción por lo cual se anularán
mutuamente entre sí, dos a dos, a la hora de hallar la resultante. 
FUERZAS EXTERNAS.- Son las que ejercen los puntos materiales de un sistema sobre los
puntos materiales de otro sistema.
EQUILIBRIO.- Para que un sistema de cuerpos sólidos rígidos este en equilibrio es preciso que
el sistema de fuerzas aplicadas al mismo sea equivalente a un sistema NULO. Puesto que las
fuerzas internas ya se anulan entre sí, entonces sólo es preciso que el sistema de fuerzas
externas sea equivalente a un sistema NULO.
O sea: R = 0 y M = 0
Según el tipo de sistema en que trabajemos tendremos unas determinadas condiciones de
equilibrio:
SISTEMA CONDICION DE EQUILIBRIO
 Colineal Σ Fx = 0
 Plano de F concurrentes Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
 Plano de F paralelas Σ Fx = 0
Σ Mz = 0
 Plano generico
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ Mz = 0
 Espacial de F concurrentes
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ Fz = 0
 Espacial de F paralelas
Σ Fx = 0
Σ My = 0
Σ Mz = 0
 Espacial generico
Σ Fx = 0 ; Σ Mx = 0
Σ Fy = 0 ; Σ My = 0
Σ Fz = 0 ; Σ Mz = 0
Física Aplicada
46
TEMA 5. ESTÁTICA GRÁFICA: FUERZAS
COPLANARIAS ACTUANDO EN SOLIDOS
RÍGIDOS
Los sistemas de FUERZAS COPLANARIAS son un caso particular de un sistema de fuerzas
genérico que actúa sobre un cuerpo, y se caracteriza por estar todas las fuerzas actuantes
contenidas en el mismo plano.
Presenta interés su estudio, pues hay un cierto número de estructuras que pueden ser estudiadas
considerándolas como un sistema plano. Al ser un sistema plano se nos reducirá de modo
importante el número de ECUACIONES E INCÓGNITAS posibles y además presenta la ventaja de
que pueden solucionarse de modo gráfico sin excesivas complicaciones.
5.1 REDUCCIÓN DE UN SISTEMA. COPLANARIO A UN
PUNTO "O"
CASO GENERAL
R =
X = Σ FXi
Y = Σ FYi
Mo = Σ Mi
 El sistema en el punto O es equivalente a una fuerza R y a un par de fuerzas de momento = Mo
5.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SIST. PLANO
Caso General:
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ Mo = 0
Si las fuerzas son concurrentes, basta con: Σ Fx=0
Σ Fy=0
Física Aplicada
47
5.3 TEOREMA DE LAS TRES FUERZAS
Si sobre un cuerpo rígido actúan 3 fuerzas coplanarias, la condición NECESARIA para que el
cuerpo este en equilibrio es que las tres fuerzas sean concurrentes.
Para el equilibrio es necesario