MATEMATICA 3M-C IBejar 06-07-20

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GUIA DE APRENDIZAJE N°3 
FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO 
Departamento de matemática 
Nombre del profesor(a): Ingrit Bejar H. 
 
Nombre del estudiante:……………………………………………………………………………….…Curso: 3° medio C 
Nombre de la Unidad: Funciones cuadráticas o de segundo grado 
Objetivo de aprendizaje: Resolver ejercicios de función cuadrática aplicando propiedades de sus elementos. 
Calculando vértice, ceros de la función, eje de simetría, máximo y mínimo. 
Tiempo de desarrollo: 100 minutos 
Dudas y consultas: i.bejar@coemco.cl 
Retroalimentación se hará online vía google meet con profesora en horario estipulado por U.T.P. 
Plazo de envío a mail o vía Classroom: Martes 14 de julio hasta las 18:00 hrs. 
 
 
RECORDAR QUE: El vértice V(h, k) de la parábola (gráfica de la función cuadrática de la forma 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄) se puede calcular mediante la fórmula: 𝑽 = (
−𝒃
𝟐𝒂
 ; 
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
) , en donde 
−𝒃
𝟐𝒂
 corresponde 
al eje de simetría de la parábola. 
 
 
MÁXIMO Y MÍNIMO: 
 
- Si a < 0: En este caso, la función alcanza un valor máximo (k), cuando la variable independiente toma 
el valor de h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Si a > 0: En este caso, la función alcanza un valor mínimo (k), cuando la variable independiente toma 
el valor de h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El vértice de la parábola es el punto más alto o el más bajo. La ordenada (k) del vértice da el máximo o el 
mínimo, mientras que la abscisa (h) indica dónde ocurre ese máximo o mínimo. 
Ejemplo: Dada la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓, con x en los números reales. ¿La función tiene mínimo o 
máximo? ¿Cuál es su valor? 
- Tiene mínimo ya que a > 0. 
- Se calcula mediante la fórmula: 
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
= 
𝟒∙𝟐∙𝟓−𝟒𝟐
𝟒∙𝟐
=
𝟒𝟎−𝟏𝟔
𝟖
=
𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑 
 
mailto:i.bejar@coemco.cl
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OTRA FORMA DE EXPRESAR LA FUNCIÓN CUADRÁTICA: 
 
Ya conocimos la forma general de una función cuadrática 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Veamos ahora otra forma de 
expresar una función cuadrática llamada Forma Canónica: 
Para eso graficaremos y compararemos las funciones siguientes: 
 
 1) f(x) = x2 y g(x)= x2 – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que las dos funciones tienen los mismos valores del eje x, en cambio, los valores del eje y para 
g(x) son 4 menos que en f(x). 
El vértice de f(x) está en el punto (0,0) y el de g(x) está en el punto (0,-4), es decir 4 unidades más abajo que 
f(x). 
Ambas parábolas tienen su eje de simetría en x = 0 
 
2) Ahora tracemos la gráfica de la parábola g(x)= (x - 4)2 y la comparamos con la gráfica de f(x)= x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que la gráfica de la función g(x)=(x - 4)2 es la misma que la gráfica de la función f(x)= x2, pero 
trasladada 4 unidades hacia la derecha. El vértice de g(x) está en el punto (4,0) y su eje de simetría es x = 4 
 
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FORMA CANÓNICA: Al desplazar el gráfico de la función f(x) = ax2 , h unidades en sentido horizontal y k 
unidades en sentido vertical, obtenemos el gráfico de la función: 
 f(x) = a(x – h)2 + k. Su vértice es el punto V(h, k) y su eje de simetría es la recta de ecuación x = h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Respecto de la función f(x) = (x – 4)2 + 3, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? 
 
a) La función toma un valor mínimo 
b) Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacia arriba 
c) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,16) 
d) El vértice de la parábola es el punto (4, 3) 
e) El eje de simetría de la gráfica de la función es la ecuación x = 4 
 
 
Ejemplo 2: Si la función real g definida por g(x) = 2x2 – 3mx – 4, alcanza su mínimo valor en x = -9, entonces el 
valor de m es: 
 
Como a > 0 , entonces es cierto que la parábola tiene sus ramas abiertas hacia arriba, por lo tanto tiene un 
valor mínimo. 
El valor x = -9 corresponde a la abscisa del vértice que se traduce en: 
 
 𝒙 = 
−𝒃
𝟐𝒂
 
−𝟗 = 
−(−𝟑𝒎)
𝟐 ∙ 𝟐
 
 
−𝟗 = 
𝟑𝒎
𝟒
 
−𝟗 ∙ 𝟒 = 𝟑𝒎 
−𝟑𝟔 = 𝟑𝒎 
−𝟏𝟐 = 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
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ITEMES DE SELECCIÓN MÚLTIPLE:ENCIERRA EN UNA CIRCUNFERNCIA LA LETRA DE LA OPCIÓN CORRECTA 
 
1) Considere la función f(x) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función 
es: (Demre 2009) 
 
A) 5 
B) 3 
C) 2 
D) 0 
E) -1 
 
2) ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura? (Demre 2011) 
 
A) 𝒇(𝒙) = −(−𝒙 − 𝟐)𝟐 
B) 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟒𝟐 
C) 𝒉(𝒙) = (−𝒙 − 𝟐)𝟐 
D) 𝒎(𝒙) = −(𝟐 − 𝒙)𝟐 
E) 𝒏(𝒙) = (−𝒙 + 𝟐)𝟐 
 
 
3) Considere la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
(Demre 2006) 
 
I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje X 
II) Su valor mínimo es -1 
III) f(-3) > 0 
 
A) Sólo III 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
 
4) La ecuación del eje de simetría de la parábola 𝒇(𝒙) = 𝟑(𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟐 es: 
 
A) x – 3 = 0 
B) x – 5 = 0 
C) x – 2 = 0 
D) x + 3 = 0 
E) x + 5 = 0 
 
5) El vértice de la parábola 𝒇(𝒙) = −(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟐 es el punto de coordenadas 
 
A) (-1,-2) 
B) (1,-2) 
C) (-1, 2) 
D) (1, 2) 
E) (-2,-1) 
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6) Sea la función f definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏, con a≠0 y dominio el conjunto de los números reales. 
El valor de x donde la función alcanza su mínimo valor es: (Demre 2015) 
 
A) -1 
B) 𝟑𝒂𝟐 − 𝟏 
C) a 
D) −𝒂𝟐 − 𝟏 
E) −a 
 
7) El gráfico de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔, intersecta al eje Y en el (los) punto(s) de coordenada(s): 
 
A) (0, 6) 
B) (3, 0) y (-2, 0) 
C) (-6, 0) 
D) (0,-6) 
E) (
𝟏
𝟐
, 𝟎) 
 
8) Considere la función 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
(𝒙 − 𝟏)𝟐. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 
(Demre 2008) 
 
I) La parábola se abre hacia arriba 
II) Su vértice se encuentra en (1, 0) 
III) Su eje de simetría es x = 1 
 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
 
9) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con respecto a la función 𝒇(𝒙) = −(𝒙𝟐 − 𝟒), cuando x 
recorre todos los números reales? 
 
A) La función toma un valor mínimo 
B) Las ramas de la parábola asociada a la función se abren hacia abajo 
C) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,-4) 
D) La gráfica de la función intersecta al eje de las abscisas en los puntos (2, 0) y (-2, 0) 
E) El eje de simetría de la gráfica de la función es el eje Y. 
 
10) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función 𝒇(𝒙) = −(𝒙 + 𝟏)𝟐? 
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11) Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓, su gráfico es: 
 
 
12) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐? 
 
13) Considere la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la 
función es: 
 
A) -14 
B) -10 
C) -2 
D) 2 
E) 10 
 
14) Sea 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝟓 una función en los reales. Es posible determinar el valor numérico de m si: 
 
(1) f(2) = 13 
(2) f(-3) = f(1) 
 
A) (1) por sí sola 
B) (2) por sí sola 
C) Ambas juntas, (1) y (2) 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 
E) Se requiere información adicional 
 
15) Considere la función 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎, con x en los números reales. El mayor valor que alcanza la 
función es: 
 
A) -15 
B) -2,5 
C) 0 
D) 10 
E) Ninguno de los valores anteriores