Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (6)

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28. Hallar el valor de x que satisface la igualdad;
8
Resolución:
8
x - 1 o x - 2
2»-i 2‘ -^
8 4 ^ _ 1 6 ^ 1 6
- =* 22 2* 2*2¿ 2*/2 2V2"
Luego: | l = p - (2*) ̂= 2’
^ 2^ = 2 ' ^ 2x = 7 X = 3,5
29. Determine el valor de (n + 1 f ‘ si se cumple que
3"-i + 3 -2 + 3"-3 + 3"-^ = 3240
Resolución:
Factorizamos el 3 con su menor exponente (n - 4) 
3"-'‘ (3 ̂+ 3̂ + a + 1) = 3240 
3"-“ (40) = 3240 « 3 ''-“ = 81 
n - 4 = 4 = » n = 8 
(n + 1)* = 81
30. Determíne el valor aproximado de S + T 
T = /2V54V2V54- A S = ¡2Á2Á2- 
Resolución:
T = =» = 2-/&4T
T
= * r = 4 x 5 4 T = » T = 6 
S = k V2V2 - =» S = V2S =» S* = 2S 
S
Como: S > 0 = » S = 2 S + T = 8
31. Hallar el equivalente de:
P = 16
P a ra : a ^ O,
Resolución:
Operando por separado:
.-'A
16
16 ( 4 T ^ f = ( 2 T ^ 1
• (256)4 = (leO” ^ = 416
• ( -3 2 )4 = ( - 2 f í = ( - 2 r = ^ = - l
Luego:
P =
P = O
1 +
2 16 16 \ 2 = 0®
32. SiseUeneque:
m-t-4 m -fZ rt + 5 n + 1
A = 3 - 3 y
3 2
Halle el valor de A - B.
Resolución:
Usamos los teoremas de potenciación:
m 4 m 2 n 5 n
3 x 3 - 3 x 3 y 0 ^ 2 x 2 - 2 x 2 
3"" 2 "x2 " ’
Simplificando obtenemos
A = 1 - - ^ =72 y B = = 60
 ̂ 2 
A - B = 12
3 ̂ 4̂
33. Si 16 = 8 , hallar x:
Resoiución:
(2“/ = (2"*/ = 4 X 3 ^ = 3X 4^=» ^ = 1
34. Al reducir la expresión:
ÜL
se obtiene x ' ' . Halle el valor de m.
Resolución:
Usamos k)s teoremas
E = (lx^“Vx)(^*‘Vx^'’®/x){®̂ Vx®'‘Vx)-''(®*'°Vx'°“ ’Vx)
1 1 1 1 1 1
g _ ^2^2x3 x3x4^4x5 ,.. ĵ SxIO
j^2 * 2 x 3 3 x 4 * 4x5'*■ '"*^9x10 " ^ lO -^
g _ j ( 2 2 3 3 4 4 5 10 11
_1_ 10 
E = x "^ ’ = x ’^
Por condición del problema tenemos;
Ifi SI
x ” = x ’ ’ m = lO
35. Resuelva la ecuación exponencial:
2*"' + 2“ ̂ + 2‘ + 2"- ’ + 2- - " = 248 
Calcule: 2“ ^ ' + 2* + 2 *" '
Resolución:
Descomponiendo;
2* X 2̂ + 2* X 2' + 2* + 2’ X 4 + 2' X 4 = 248 2 4
Factorizando 2*;
(4 + 2 + 1 + 1 + 1 )2 ' = 248 ( ^ ) 2 “ = 248
2" = 32 =» 2' = 2* =» X = 5
Nos piden: 2®*’ + 2® + 2 * - ’ = 112
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36. Simplifique:
1* = ab be ca
(¿ í i Si: b = V2
abe
(abe) S = ['V ? I"V ? =
V abe # o 
Resolución:
T = 
T =
^/(abc)’ (abc)*^
a*K£
(abe)*
abci
(a b c fi'" •••T=1
37. Hallar la suma de las soluciones de: 
64(2 *̂) + 1 = 65(2-)
Resolución:
64(2“)* - 65(2*) + 1 = O =» 2* = m
Cambio de variable:
64m ̂- 65m + 1 = 0 
64m -1
m -1
( 6 4 m - 1 ) ( m - 1 ) = 0
• 64m - 1 = 0
■"“ a 
2* = 2’ ®
x, = - 6
X, + X2 = - 6
m - 1 = 0 
m = 1 
2* = 2° 
xj = 0
38. Reducir:
-■Vñ
T =
»1
VT+ñ~' :n # 0
(n + 1)
.-'VF
Resolución:
Como; ""Vñ = Vñ 
Sea: a = Vñ
T =
- a n / .- ^ 1 +n 1 +n
(n + 1)a <-a)
j - n + 1 ^ n + 1 _ n + 1 
1 +n
[n + 1]^í..í>’- ’ 
T = n
1 + 1 n +1
n n
39. Efectuar:
S =
Resolución:
Sí: a = /̂2 =» a* = V2 
Reemplazando:
‘ JPS = •J2*
s = -8 x8xV5
40. SI ab # O, reducir:
-I18*b
P = x (f)’x
bP
Resolución:
Buscando bases iguales
l í V -
-’ = ( F r x ( f r x ( E r * ” x ( f r
P = (a b f - ( t í p = 1
41. Efectuar: T =
Resolución:
Análisis particulares:
• / 3 * = V 2 7 = - / ? ^ = 3 V J
4
) = ^
, 1
Luego:
a3_
t =
3
3-»
T = 9
i yo
42. SI: x* = - ^ , hallar el valor dex. 
Resolución:
Dándole una forma conocida.
■ (x* ^ ( 3 Í F
Por comparación: Vx = ^ ; Vx * 3” ’
( W f = (Z y X = 3 '“
43. Hallar los valores de x en: 2^ + 128 == 3 y 2* ^ 
Resolución:
Transformando y frasponiendo tenemos:
2<̂ »í - (3)(2*K2®) + 128 = 0:
(2*)* - 24(2*) + 128 = O
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Sea; T ~ a 
reemplazando;
- 24a + 128 = O 
a -16
a -8
De donde; a - 16 = 0; a = 16; 2* = 2*'; x = 4 
a - 8 = 0; a = 8; 2" = 2®; x = 3 
Los valores de x son; 4 y 3
44. Efectúe; P = 
Resolución:
Como; 8 = (2^)'^ = 2 '’ = ■!
Hagamos que; a = 1 + 72
P =
P=5 = 2J ...P =
45 . A partir de: nn' ”̂ = 5, hallar n
Resolución:
nn ’̂ ” '*' = 5 = » n x n ® = 5 
n® = 5 n =
46 . Calcularxen: x '* ”’ “̂ = Vj?. 
Resolución:
= M
De donde:
, 1̂ + x'*' _= M ; x’
x’*“ = M
=M
...(I)
= M
V 7 “ = M =» X " = M • •(II)
00 en (I);
xi*M = =. 1 + M = ^ =» M = 44
En(l); x’ ^ * = 4 x = ®V4
47. Hallar el valor de X en:
’•Í2x-3 'V 2x-3^y2x- ... = 2 
Resolución:
^2x - 3V2x - 3V2x - SVSir: = 2 
2
3V2x - 3(2) = 2 ^ 2 x - 6 = B x = 7
48 . Reducir a su mínima expresión; 
Resolución:
Transformando a exponente fraccionario
/2+1 3-JZ 1-5/Z B-V5
T = a ^ xa''^''^ x a ^ ^ ^ x a ^ ^ ^ ^
, 3-J2.1-5/? , e-fí 
J - Q í¡ ~T~ 2/2 *
4 ( / 2 T Í ) + 2 / 5 ( 3 - / 2 ) + 2 ( 1 - 5 / 5 ) + ^ ( 8 - ^ )
T = a
4/5+4 + 6/5-4+2-10^+8/2-2
T = a 4 f í
8/2
= a*^ T =
49 . Al efectuar T = (*^V3^) se obtiene: 
Resotución:
TransformarKio a exponente fraccionario;
5/íg”^
T = 3*« 3
4 .3 8 S t6 f38 -15
T = 3 = 32--------= 3"
T = 32“ = 3^ T = 81
50. Simplifique:
T _ /3 “^ ^ - 3 ’‘^ V 3 ^ f 2 '- ‘ + 3 '- ‘ i‘’ - '^ '
3 -2 _ 3 * - ’ + 3 '
Resolución:
Descomponiendo;
T =
T =
(3’‘)(3 ")-3 *(3 ) + 3 '
(3 *)(3 -*)-3*(3-’) + (3‘ )
2* 3*
11+21 
3 2
^ { 9 - 3 + 1 )
2Í3!^-k^
(2-)(3-)
2j:^^-Kf2*73
(3){2)
T = = 9 - 6 T = 3
9
51. Luego de resolver = 27
Calcule; T = (-x)*’ *^'
Resolución:
De la ecuación:
«/5x9(/?.i) /̂s-i}^ = 3* =* = 3" =» = 3’
• -+i» '<:» ^ —«—
33' . . /= 3'-?' 3^1
= 3 =» 3 = 3’
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De donde;
Evaluando;
x -1 X*-1
52. A partir de la igualdad: 4 * - 3 ̂ = 3 ^ - 2 ^ 
Hallar: x
Resolución:
Transponiendo los términos
4=“ + 2*
2^ + ^ = 3*(V3) + j -
2>-Íi 4 ) = 3 < (V 3 + ^
_ 3
22x- 1 -2^ 3 " 
22.-3 ^ ^2x-3
J _ \ _2__ _________
ñ ) ^ (2)(4) (3)(V3)
2 x -3
2^*-^ = 3 2
2 _ 
V3
53. Halle el equivalente de: S =
Resolución:
Por partes:
2 - f
• 2
k i' fi I fi ^? 2 S 2 / 2
2 = ~ V 2 = “ ^2 =
*W'. r tF'i 2^
TRES
= 2 ' ..... = 4
Luego: S = 2* S = 4
54. Señalar el exponente final de X en:
kradicales
Resolución:
Hagámoslo por inducción, pero para que sea más 
sencillo, hagamos x’^ = a*, teniendo:
^i/a^Va” Va*... kradicales
2 3li!
• 1 rad: Va^ = a® ----------------- a
• 2 rad: - a" ___
I j— ^ 26
• 3 r a d : = a ^
• k radicales------------------
3̂ -1
3 > -1
3*
SI = x’' ̂= a* => a = x’'® 
Reponiendo en (I) se tiene:
1 / OK _
El exponente de x es: -;yf ’21
55. Sabiendo que: ^ - I ̂ ) = 2
Hallar el valor de: T =
Resolución:
Se puede escribir así:
. -b T l +a®xb* 
í ^ v r I / U 9 ) ^( a r ‘ + (b ^ r
Del dato: a" = 2 y b* « 1 /2 
Reemplazando se tiene:
T =
lT1+2xi
2‘ + l ^ f
2 ̂+( i
i i2
Efectuando las operaciones: 
(472+1)4T =
(4/2 + 1 )//J
= f .-.T = 8
56. Si: a^* = 3; a > 0. Calcular: (a“‘ ‘ ) ' 
Resolución:
Elevamos al cutx) la condición:
( a ^ f = 3^ ^ a®“' - 3"
=» de aquí: a® = 3 o también: a® = 73
Luego; = (a^)^ =íg®)
( a - T = 73
57. Si: S = (2"‘ ' ’f - ( 3 " “"T -,T =
Halle el valor de; V = T"
-2 ^ (S)
Donde: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = n 
Resolución:
Transformando S y T
S = 2*’’ - 3 ' “ = 2 - 3 ^ S = - 1
^ _ 2 ^ x 4 X é X ... * 14
J _ 2 ^ x 1 ) ( 2 x 2 ) ( 2 x 3 ) , . . ( 2 x 7 )
T = 2** ’* 2 X 2 X ... x 2 )(1 x 2 x 3 x ... X 7)
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Usando el dato, se tiene: T = 2*^''" ^ T" = 2̂ ^
r 2*'V V = __ - ___ 4—Luego: V = = 1 V = 1
- 2 '( S ) - 2 ' ( - 1 )
58. Hallar el valor de:
2»-i _j_ 2* "2 _|_ 2* "3 + 2*"*
Resolución:
En el numerador factorizamos 2 " ' y en el denomi­
nador 2'” ,̂ así:
2'‘ " ’ (1 + 2 + 2 ̂+ 2^)E =
2x-4(23 + 2 ' + 2+1)
De aquí: E = = 2® E = 32
59. Simplificar V x g Dí - {1}
S = V2’ + 3-’‘ + V 2 - + 3̂
Resolución:
Se puede escribir:
S =
V6Ñ H
, Í 1 ! ± I j . . Í3 Z 1 ! . ’“V F + l
Q _ V 3- V 2’'
V 6 Ñ ^ V eÑ H
Haciendo: ’V6’' + 1 = a
S =
a + 1
_ 3 2 5a
a 6a
60. Simplificar: T =
Resolución:
Sea; 2*" = x
« 2^*'' = — 2*""^ ̂— (2*"f = X®
. = 2^"^' = (2^”J = x̂
. 2̂ ^ ̂' = 2*^*" = = 2^^”'* 
2<22")’® ^ 2*'®
Reemplazando en el problema:
61. Hallar el equivalente de; P = /(3 l 9 f
Resolución:
Sea: V3^= Vsí = a
ax7^ 9xax7jjSP =
P “ 7y9xa (3*) x9 * = Tx9xa/J p = 1
62. Hallar el equivalente simplificado de:
M = -Vx9 ;x # o . 
Resolución:
Haciendo que; a = x~\ y reduciendo:'1
NU(*)
(x + y )x 3 ’' ' ’‘ = 2 
i^Jí/7Ty = 3V2 
calcular: x e y 
Resolución:
De (II); X + y = { 3 ^ 1 2 ] ' " '
(1)en (I): (3V2y'"^x3>'-’‘ = 2
...(II)
...(1)
= 2 3V2J = 2
(®V2r" = 2 =» 2'’'-''»^ = 2’
De donde:
ü i i = 1 ; x - y = 3
(2)en(1):
X + y = (3V2)® =» X + y = 54 
De: (2) y (3) se deduce que:
• x = ^ ' v = i l - * 2 ’ ^ 2
...(2)
...(3)
64. Reduzca; S = 
Resolución:
Sea: a = x"*"'
Como: 2*** = 2 'x2 ^
S =
Hallando: b = 2*’
... s = = X
65. Simplificar: M = (®̂ nía*̂ )
Resolución:
Efectuando;
M = -2*‘ .. .̂ 2,* I . .»•' xa" ■ = — va’
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66. Resolver; x
Resolución:
Transformemos así:
*■ "'"” = ( # = (!)■
De aquí, comparando:
Elevamos a la 1 /4, asi:
Luego, comparando tenemos:
Vx = X = 1 = 0,25
67. Detemilnar el valor de verdad de las proposicio­
nes:
I. VX61R:X® = 1 =»(-2)°= 1
II. Si; (x"’)(x") = X"*" « (3*)(3=') = 39
III. V X G m: ( -x)^ = X* A (-3)^ = -9
Resolución:
I. Analicemos por lógica proposicional:
V X e E;x ° = 1 =» (-2)® = 1
F V - (l)esV
II. (x")(x") = X" (3 )̂(3®) = 39
F ^ (II) es F 
Ili. V X e E: (-x)^ = X* V (-3)* = -9
V
V « (lll)esV 
.'. En consecuencia se tiene VFV.
68. Resolver la ecuación: x*“ * = 
Resolución:
Se tiene:
Ojo con el artifìcio en el 2.*’ miembro, la idea es 
buscar una cantidad elevada a ella misrha (como 
en el primer miembro).
( x y
I t e ) 
16;
Por comparación; (x’ '*) =
.-. Elevando al cuatírado; x = 1
256 = 4-
Elevamos a ta (1/2):
1« (x’°) -
Hagamos como se indica: (x ) =
69. Se tiene la siguiente igualdad: (V>?*){Vx)=r V â ^ 
Anunciar el valor de no verdad de las siguientes 
proposiciones:
I. Las expresiones quedan bien definidas, si; x e IB.
II. La igualdad se verifica si y solo sí a € IB'"; x = a.
III. Si X existe entonces a existe.
Resolución:
I. Para que las expresiones queden perfectamen­
te definidas; x e IB, pero además det» ser posi­
tivo (la proposición no lo dice), én caso contra­
río 7x ^ B.
=» (I) es F.
II. Es evidente que /a existe siempre que a > O 
pero cuando a = O np se puede establecer por 
comparación x = a = O porque se daría una 
indeterminación de la fonna V0®x0 por tanto a 
estrictamente es real positivo, siendo x - a .
=» (II) es V
III. Por la proposición anterior, x existirá siempre 
que a exista y defina perfectamente la expre­
sión.
=>(111) es V
.'. Luego, el valor de no verdad de las proposicio­
nes será: VFF
70. Si X* = 2; calcular el valor de; x * '**
Resolución
Verifique las transformaciones;
Reemf^eeando » 2, se ttene:
.-. 2*^” = 2 -̂̂ '= 2’®
71. De la igualdad x 
•1
calcular; x — - 
X
(K-lf == 2x + 1
Resolución:
De la igualdad se tiene: = 2x +1
Multiplicando ambos miembros por x^ ^
- = (x ^^ ’)(2x + 1)
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