Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (17)

Vista previa del material en texto

Multiplicación 
algebraica 
Productos notables
O
D
a
o
ü
A drien -M arie L e g en d re n a c ió el 
18 d e s e p t ie m b re d e 1752 y m u r ió 
el 10 d e e n e ro d e 1853, fu e u n d e s ­
ta c a d ís im o m a te m á t ic o fran cés.
H izo im p o r ta n te s c o n m b u c io n e s 
a la e s tad ís tic a , a ia te o r ía d e n ú ­
m ero s . al á lg eb ra a b s tra c ta y al 
an á lis is m a te m á tic o . In te rv in o 
e n g e o d e s ia y e n la c o m is ió n q u e 
e s ta b le c ió el m e tro c o m o u n id a d 
d e m e d id a in te rn a c io n a l. R ecib ió 
su e d u c a c ió n e n el C o llèg e M aza­
r ía e n París, y d e fe n d ió su tesis e n 
física y m a te m á tic a s e n 1770.
L eg en d re h izo u n a im p re s io n a n te 
c a n t id a d d e tra b a jo s so b re fu n c io ­
n e s e líp ticas , in c lu y e n d o la c la ­
s ificac ió n d e in teg ra le s e líp ticas, 
a u n q u e d e b e a N iels H en rib A bel 
la id e a d e e s tu d ia r las in v e rsa s d e 
las fu n c io n e s d e Jaco b i y así re s o l­
v e r c o m p le ta m e n te e l p ro b le m a .
T am b ién h izo u n tra b a jo p io n e ro
so b re la d is tr ib u c ió n d e n ú m e ro s p r im o s y so b re la a p lic a c ió n d e l an á lis is m a te m á t ic o e n la te o r ía 
d e n ú m e ro s .
T am bién le d e b e n su n o m b re los p o lin o m io s d e L eg en d re . so lu c io n e s a la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e 
L eg en d re , q u e se u tilizan c o n fre c u e n c ia e n a p l ic a c io n e s d e física e in g e n ie ría . En m e c á n ic a , es 
c o n o c id o p o r la t r a n s fo rm a d a d e L eg en d re . u tiliz ad a p a ra p a s a r d e ia fo rm u la c ió n ia g ra n g ia n a 
a la fo rm u la c ió n h a m ilto n ia n a d e la m e c á n ic a c lás ica . T am b ién se u sa e n te rm o d in á m ic a p a ra 
o b te n e r la e n ta lp ia d e las e n e rg ía s lib res d e H e lm h o ltz y d e G ibbs p a r t ie n d o d e la e n e rg ía in te rn a .
F u en te : W ífeipedia
Çranùa, 1752 - Francia, Í833
www.full-ebook.com
<4 MULTIPUCACIÓN ALGEBRAICA
Consiste en calcular una expresión denominada pro­
ducto a partir de dos o mas expresiones denominadas 
factores.
Casos que se presentan
Multiplicación de monomios. Para multiplicar mono­
mios, se multiplica primero los coeficientes según la ley 
de signos luego las partes literales de acuerdo a las 
leyes de exponentes.
Ejemplo:
A{x: y) = 3xV^ B(x; y) = -2x ' y' z®
^AB = (3x\^)(-2x'yV) = ~6x®ŷ z"
Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se
multiplica cada uno de los términos del polinomio con el 
monomio dado.
Ejemplo:
A(x: y) = 2x̂ y*
B(x; y) = 4xV^ - 5x"y + 2x^®
^ AB = (2x"/)(4xV) - (2xV)(5x"y) + (2xy)(2xV)
AB = 8x V - 10xV® + 4x^y”
Multiplicación de polinomios. Se completan y orde­
nan los polinomios con respecto a una sola letra. Luego 
se multiplica cada uno de los términos del multiplicando 
por los del multiplicador.
Ejemplo:
Multiplicar A(x) por 8(x). siendo:
A(x) := 2x" - x + 4 A B(x) = 3x̂ - 5x" - X + 2 
El procedimiento será el siguiente;
3x̂ - 5x' - X + 2
______2x̂ - X + 4
6x® - 10x " - 2x̂ + 4x^
- 3x''+5x^+ x^ -2 x
12x ̂- 20x ̂- 4x + 8
6x® - 13x" + 15x̂ - 15x' - 6x +
tm m m
1. El grado <tei producto ̂ ^ual a Is suma de los gra­
dos de cada uno de sus Actores.
2. El término bid^ndiente del producá es á1 
resultado de mtjitipiicar ic« términos independien­
tes de cada uno de sus factores. El coeficiente prin­
cipal del producto es igual al resillado de multípli- 
car los coeficientes principales de cada uno de sus 
factores.
Se denomina coeficiente principal de im pcdinomio 
al coeficiente del término de rrrayor grado.
Ejemplo:
Calcular el grado y el coeficiente principal del polinomio: 
P(x) = (2X“ - 3)"{nx® - 1)''(2x' - x - n f 
sabiendo que su término independiente es -72.
Resolución;
Por dato: TI = P(0) ^ -72 = ( -a H - lA -n )^
=» -3^2^ = -3"n^^ n = 2
Calculando el grado:
GA(P) = 4n + 5n +3n = 12n = 24
Coeficiente principal (P) = 2''n"2 ̂= 2̂ 2̂ 2̂ = 128
X4 PRODUCTOS NOTABLES
Son casos especiales que se presentan dentro de la 
multiplicación algebraica en los cuales se puede obte­
ner en forma directa el producto sin necesidad de efec­
tuar la operación. Presentándose los siguientes casos;
Binomio al cuadrado (trinom io cuadrado per­
fecto)
(a + b)̂ = â + 2ab +
• (a - b)̂ = â - 2ab +
Deducción de un trinomio cuadrado perfecto: 
â ± 2ab + b̂ = (a ± b)̂
n
2 a b
(a - bf" = (b - af"; donde n € Z 
Corolario; Identidades de Legendre: 
(a + b f + (a - b f = 2(â + b̂ ) 
(a + b f - (a - b f = 4ab
Suma por diferencia (diferencia de cuadrados)
• (a + b )(a - b ) = a^ -
• (a'" + b"’){a"’ - b"") = { a ^ ' - (b"^f = a"'" - b '"’ 
Binomio al cubo
• (a + b)^ = a^ + 3a^b + 3ab^ + b ̂ (forma desarrollada)
(a + b f = a^ + b^ + 3ab(a + b) (forma semidesarrollada)
• (a - b f = a^ - 3a^b + 3ab^ - 
(a - b f = a^ - b^ - 3 ab (a - b)
Suma o diferencia de cubos (suma por dife­
rencia)
• (a + b)(a^ - a b + b^) = a^ +
• (a - b)(a^ + a b + b^) = a^ - b^
Trinomio al cuadrado
(a + b + c f = a^ + b^ -I- c^ + 2ab -i- 2ac + 2bc
(forma desarrollada) 
(a + b + c) ̂ = + ĉ + 2(ab + ac + be)
(forma semldesarrollada) 
(a + b - c f = + c^ + 2 a b - 2 a c - 2 bc
www.full-ebook.com
(a - b + c f = a' + b' + - 2ab + 2ac - 2bc
(a - b - c)̂ = â + b' + - 2ab - 2ac + 2bc
T rinom io a l cubo
(a + b + c)̂ = + 3â b + 3a^c + 3b'c +
3ac ̂+ 3bc ̂+ 6abc 
{a + b + c)̂ = â + + 3{a + b)(a + c)(b + c)
( fo rm a s e m id e s a r ro lla d a )
Producto de binom ios con un té rm ino común
(x + a)(x + b) = + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x̂ + (a + b +c)x^ +
(ab + ac + bc)x + abe
identidades de La^ange
• (a ̂ + b^)(x^ + y^) = (ax + by)^ + (ay - b x f
h ^b ► y
(a' + b̂ + c^)(x' + ŷ + z') = (ax + by + cz)' +
(ay - bx) ̂+ (az + cx)̂ + (bz - cy)'
Identidades de Argand
• x " + x^"+ 1 = (x'*'+ x'‘ + 1) (x ^ * -x '+ 1)
. g4m ^ g 2m|32. ^ ( g j m ^ ^ ^
{a"" - a"’b" + b̂ ")
otras identidades auxiliares
a^+b^+c^-3abc = (a+b+c)(a' + b^+c^-ab-ac-bc) 
- ■̂ (a + b + c)[(a - b)' + {a - c f + (b - c)̂ ]
• (a + b + c)̂ + 2( + b̂ + ĉ } =
3(a + b + c)(a ̂+ b' + c') + 6abc
(a + b + c)̂ = + b̂ + +
3{a + b + c)(ab + be + ca) - 3abc
(a + b)‘ - (a - b)“ = 8ab(a' + b̂ )
(a + b)(b + c)(c + a) + abe = (a + b + e)(ab + ac + be)
A continuación se mostrarán más igualdades en las 
cuales intervienen directamente los productos nota­
bles.
Igualdades condicionales
S i: a + b + e = O, se demuestra que: 
â + b̂ + c' = -2(ab + ac + be)
â + b' + ĉ = 3abc
a'* + b'* + €■* = 2(â b̂ + a'c^ + b̂ ĉ )
a® + b® + c® = -5abc(ab + ac + be)
(â + b̂ + c^)' = 2(a' + b' + c")
(ab + ac + be)' = a'b^ + a'c^ + bV
,a l+ b _ t£ , „ a , 
,a '+ b ^ + c‘ - i- b ^ +
Aplicaciones;
1, SI: 1 + 2 =
2x + y
evaluar: F = y ̂+ x + 3xy 
( y - x ) ' + (x + y)^
Resolución:
Efectuando en el primer miembro:
2x + y __ 8
xy ~ 2x + y
Efectuando en aspa:
(2x + y)^ = 8xy ==• 4x' + 4xy + y' = 8xy 
4x^ - 4xy + y ̂= O => (2x - y)' = O
t r in o m io c u a d ra d o p e r fe c to
Extrayendo raíz cuadrada miembro a miembro: 
2 x - y = 0 =» y = 2x
De donde:
P (2x)"- + x ̂+ 3x(2x) 4x^ + x^ + 6x' _ 11x̂
(2x -x )^ + (x + 2x)^ x ̂+ 9x' 10x'
■ F ^ l l
• 10
2, Si: (a + b + c + d) ̂= 4(a + b)(e + d) 
encontrar el vator de: L =
Resolución:
Nótese que seria dificultoso elevar al cuadrado el 
polinomio de cuatro términos en el primer miem­
bro; pero si analizamos ta igualdad hay 2 expre­
siones que se repiten (a + b) y (o + d), es más, 
también se presentan en ta expresión pedida. En 
consecuencia cuando se presenten expresiones 
repetidas dos o más veces en un mismo problema 
conviene hacer cambio de variable.
Haciendo:
a + b = m; c + d = n
Tenemos: (m + n)'= 4mn = m̂ + 2mn + n̂ = 4mn 
Luego: m ̂- 2mn + n' = O =s (m - n)' = O
Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro: 
m - n = 0=»m = n
Se pide: L = ^^343" = '/343 .-.1 = 7
3. Después de efectuar :
P(u) = (u + 2)(u - 2)(u^ + 4)(u“ + 16) se obtiene : 
Resolución;
P or d ife renc ia de cuadrados se tiene que:
P(U) - (U + 2)(U - 2)(Û + 4)(u' + 16)
P(u) - (Û - 4)(u^ + 4)(u' + 16)
P(u) = (u' - 16)(u'+ 16) = u' - 16'
P{u) = u“ - 256
www.full-ebook.com
4. Efectuar: F(a) = (a + 1)̂ - (a - 1)̂
Resolución:
1.* forma: Efectuando el binomio suma y diferencia 
al cubo;
F(a) = + 3a ̂+ 3a + 1 - (a^- 3a ̂+ 3a - 1)
Reduciendo términos semejantes;
F(a) = 6a ̂+ 2 F(a) = 2(3a^+1)
2.* forma; La expresión se podrá escribir como una 
diferencia de cubos ;
F(a)= [ ( a + 1 ) - ( a - 1 ) ] x
[{a + 1)' + (a + 1)(a - 1) + (a - 1)']
En el segundo corchete aplicamos la identidad de 
Legendre y la diferencia de cuadrados;
F(a) = [a +1 - a + 1][2(a^ + 1)(a ̂- 1)] 
Reduciendo términos semejantes;
F(a) = 2(3a2+ 1)
5. Efectuar:
y = (a + b + c - d f + (a + b - c + d) ̂ -
2(a - b + c + d f - 4(a + c)(b - d)
Resolución:
Desdoblando:
-2(a - b + c + d) ̂= -(a - b + c + d) ̂-
( a - b + c + d)̂
Agrupando en la forma indicada: 
y = (a + b + c - d f - (a - b + c + d) ̂+
(a + b - c + d)* - (a - b + c + d)^- 4(a + c){b - d) 
y = (2a + 2c)(2b - 2d) + (2a + 2dX2b - 2c) - 4(a + c)(b - d) 
y = 4(a + c)(b - d) + 4(a + d)(b - c) - 4(a + c)(b - d) 
y = 4(a + d)(b - c)
6. Efectuar:
F = [(X + 1)(x - 1)(x ̂+ X + 1)(x ̂- X + 1) X
(x=* + /x^ + 1)(x" - /x^+ 1){x® - x̂ +1) + 1]''®
Resolución;
F = [(x + 1)(x - 1)(x̂ + X + 1)(x ̂- x + 1)
Argand
(X̂ + 7x^ + 1)(X̂ - ■/x^+ 1)(X® -X ^ + 1 )+ lf®
Argand
F = [(x^ - 1)(x" + X̂ + 1)(x® + X̂ + 1)(X® - X̂ + 1) + I ] ’ '®
diferencia de cubos Argand
F = [(x® - 1)(x’ ̂ + X® + 1) + 1]’'® = [x’® - 1 + 1]'
diferencia de cubos
F = x ^
7 . I n d i c a r l a r a i z c u a d r a d a d e l r e s u l t a d o ( a > 0 ; b > 0 )
L = ( a + b ) ^ ( a - b + c ) ( b + c - a ) +
{ a ( a + c ) + b ( b + c ) J [ a ( a - c ) + b ( b - c ) ) 
Resolución:
E f e c t u a n d o d e n t r o d e l o s c o r c h e t e s :
L = ( a + b ) ^ ( a - b + c ) ( b + c - a ) +
[ a ^ + a c + b ^ + b c ] [ a ^ - a c + b ^ - b e ]
A g r u p a n d o l o s t r i n o m i o s y l o s t é r m i n o s c o n t e n i d o s 
e n i o s c o r c h e t e s :
L = (a + b)̂ [c + (a - b)][c - (a - b)] + 
diferencia de cuadrados 
((a^+ b̂ ) + (ac + be)] [(â - b̂ ) - (ac + be)] 
diferencia de cuadrados
L = (a + b)̂ [ĉ - (a - b)̂ ] + (â + b̂ )̂ - (ac + be)̂ 
L (ac + bc)̂ - (â - b̂ )̂ + (â + b̂ )̂ - (ac + be)̂ 
L = (a^+ b Y - (a^- b")" ^ 4â b̂ K - 2ab 
Legendre
8 . E f e c t u a r :
A = (x̂ + x + 1)(x" + x + 2 ) - ( x ^ - x + 1)(x^-x + 2 )-
2x(2x + 1)(x + 3)
Resolución:
U t i l i z a n d o e l c r i t e r i o d e p r o d u c t o d e b i n o m i o s c o n 
u n t é r m i n o c o m ú n ;
A = (x ̂ + x)^ + 3{x^ + x) + 2 - ( x ^ - x ) ^ - 3(x^ - x) -
2 - 2x(2x^ + 7x + 3) 
A = (x ̂ + x)^ - (x^ - x)^ + 6x - 4x^ - 14x^ - 6x 
A = 4x^(x) + 6x - 4x^ - 1 4 x '- 6x A = -1 4 x '
9 . S e ñ a l a r l a r a í z c u a d r a d a d e :
L = 0,5(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) +
0,5(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) +
(x + 4)(x - 4) + 1
Resolución;
•1
F a c t o r i z a n d o ^ V a g r u p a n d o e n l a f o r m a i n d i c a d a :
r
L = 4 [ ( x + 1 ) { x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) +
L
i i
(X - 1)(x - 2){x + 3)(x + 4)] + (x ̂ - 15)
t__________ í
L = l[ {x ^ - 2x - 3)(x^ - 2x - 8) +
(x ̂+ 2x -3 ) (x ̂+ 2x - 8)] + x ̂ - 15
Utilizando el criterio de producto de binomios con 
un término común:
L = l [ ( x ' - 2x)' - 11 (x' - 2x) + 24 + (x^ + 2x)^ -
11(x' + 2x) + 24] + x ' - 15 
L = l [ x " - 4x’ + 4x' - 11x' + 22x + 24 + x" +
4x^+ 4x^ - 11x ̂ - 22x + 24 + 2x^ - 30]
L = x" - 6x" + 9 = (x' - 3)' /L = x ' - 3
10. Efectuar:
y = (a + b + c)̂ + {a + b - c)̂ + (b + c - a)̂ +
{c + a - b)̂
www.full-ebook.com