Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (18)

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Resolución:
Agrupando a los trinomios en forma adecuada: 
y = [(a + b) + c] ̂+ [(a + b) - c f +
Legendre
[c + (b - a)f + [c - (b - a}] ̂
Legendre
y = 2[(a + b f + c^] + 2 [c ' + (b - a f l
y = 2[(a + b f + 2c^ + {b - a f ]
Pero: (b - a f = (a - b f
y - 2[(a + b f + 2c' + (a - b f ] =. y - 2(2a' + 2b' + 2c']
y = 4(a^ + b̂ + ĉ )
P R O B L E M A S RESUELTOS i B " “ "
1. S ix + y + z = 0 , reducir:
, x‘ y + f z + z*x + x 'z + z"y + y^x
2 2 PX + y + z
Resolución;
Agrupando en el numerador en forma adecuada y 
utilizando la condición :
x^(y + z) + y^z + X) + z^x + y)
x ̂+ y ̂+ z'
L = x * (-x ) + y '( - y ) + z ^ - z ) ^ -(x^ + y ̂+ ẑ :
2 9 7x + y + z 2 2 ? X + y + z
Se sabe que:
x ̂+ y ̂+ z^ \ / x̂ + / +z®\ _ X® + y® + z®
2 / \ 3 / 5
(Ver igualdades condicionales)
.5 . . ,5 , _ 5
= + y"* + Ẑ )x^+y^ + z ̂ 6 
Luego: L = ^ ( x ^ + y ̂+z^) ;O
Pero: x̂ + ŷ + ẑ = 3xyz
^ L = :^ (3 xyz ) . . L = ^ x y z
2. SI X y su inverso multiplicativo suman 3. calcular:
E = [ x" + ( 1 ) '] [x- + {3Í)-] 
Resoiución;
Por dato: x + = 3 =? |x + = 27
x = + i + 3 x ( l)(x + l ) = 27
= x' + -L + 3(3) = 27 ^ x ' + ^ = 18 
x ̂ x̂
Efectuando en la expresión pedida;
=» E = 18 + 2 E = 20 
3. Si: a" + b" + c" = 17 ^ a '+ b' + c" = 43
. 1 .
y (a + b f + (b + c f + (c + a f = 66 
calcular; LI _ a + b + c
1 , . 1 1a + b + c’
Resolución;
La expresión pedida puede escribirse:
^ _ (a + b + c)abc 
~ ab + ac + be 
Del tercer dato: 2(a' + b̂ + ĉ + ab + be + ca) = 66 
17
=» ab + be + ca = 16 
También;
{a + b + c f = â + + ĉ + 2(ab + be + ca)
17a + b + c = 7 16
Como; (a + b + cf = 3(a + b + c) (a ̂+ b' + c )̂ - 
343 7 ' 17
2(â + b̂ + c )̂ + 6abc 
43
Luego, tenemos: abe= 12 
Reemplazando en la expresión pedida:
L = (7)(12)
16
4. Dadas las condiciones:
a + b + c = 1 ; â + b^+ ĉ = 9 y a'̂ + + ĉ = 1
calcular: R = ^ + — + -% ; (abe ^ 0) be ca ab ' '
Resolución;
Transformando la expresión pedida: R= aVbVc'*
abe
Por la identidad:
(a + b + c) ̂= 3(a + b + c)(a' + b̂ + c )̂ - 
1 9
2(â + b̂ + c )̂ + 6abc
s
De aqui: abe = ~4
=* ( a + b + c f = a^ + b^ + c" + 2(ab + be + ac)
1 9
De donde: ab + be + ca = -4 
(ab + be + ca f = a V + b V + c V + 2abe(a + b + c)
-4 1
Luego: a^b ̂+ b V + c^a ̂= 24
Por último; ( + b̂ + ĉ f = a* + b'* + c"
81
+ 2(a^b"' + b̂ ê + c V '
a" + b" + c" = 33 R =
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5. Si (a - b f + (b - c f + (c - a f = 1. calcular:
S = {a - 2b + c)(b - 2c + a) + (b - 2c + aKc - 2a + b)+ 
(c - 2a + b)(a - 2b + c)
Resolución;
Escribiendo la expresión pedida en función de;
(a - b), (b - c) y (c - a);
Tenemos;
S = I(a - b) - (b - c)I(b - c) - (c - a)] +
((b - c) - (c - a)][(c - a) - (a - b)] + 
[(c - a) - (a - b)l((a - b) - (b - c)]
Haciendo; (a - b) = m; {b - c) = n; (c - a) = p
De donde; m + n + p = O 
S = (m - n)(n - p) + (n - p)(p - m) + (p - m)(m - n) 
S = mn - n̂ ~ mp + np + np - mn - p ̂+ mp + 
mp - - pn + mn
S = mn + pm + np - (m ̂+ n̂ + p̂ )
Del dato: + n̂ + p̂ = 1
Además; m + n + p = O
( m + n - h p f = + n ^ + p ^ + 2 ( m n + n p + p m )
O 1
=> mn + np + pm =
Reemplazando: S = - -
6. Si: x + y = J7xy, calcular: E = { - + 1 f + (-^ + 1)®
y X
Resolución;
Elevando el dato al cuadrado;
x̂ + / = 5xy=> - + ̂ = 5 ' ' y X
(£ + i ) + (y + 1) = 7Vy ' '■X '
Haciendo: - + 1 = a ; - + 1 = b
y X
Luego; a + b = 7 ...(I)
También; ab = = 7
Se pide: E = a® + b®
Elevando al cuadrado ia expresión (1);
a* + b̂ + 2ab = 49 => â + b" = 35 ... (II)
Elevando al cubo la expresión (I):
+ b" + 3ab(a + b) = 343 ^ = 196...(IJI)
(11) X (lll); a® + a^b ̂ + â b̂ + b® = (35)(196)
Agrupando: a® + b® + (ab)^{a + b) = (35) (196)
a® + b® = (35){196) - (ab)^{a + b)
a® + b® = (35)(196) - (7)'(7)
E = 6517
7. Si; a“ + b'* + c“ = 83; â b̂ + b̂ c'̂ + ^19 
A ab + be + ca = 7
a ̂+ b' + ê - 11calcular; E = abe + 3
Resolución:
Sabemos que;
(a"+ b̂ + c ^ f^ a* + b V ĉ + 2(a^b^-f c^a^+ b V ) 
83 19
=> + b̂ + ^ 11
• (a + b + c)̂ = â + b̂ + ĉ + 2(ab + be + ca)
_ - ̂ -
- a + b + e = 5
• â + b̂ + ĉ - 3abc =
(a + b + c)' -3(ab+ be+ ca)(a + b + e) = 20 
=9 a ' + b̂ + ĉ = 3abc + 20 
Reemplazando;
^ _ 3abe + 20 - 11 _ 3(abc -t- 3) . ^ = 3
abe + 3 (abe +3)
cón (as ccAvd^ion^ p»,e)wsof^: ^ .p fo t^
m á m ñ i t í M i a c i o : ' .
i : a = 3: b = í; ^ » 1
Como se cbser^ « i to le tein^^ns
8. Si: a + b + c = 0; que valor asume:
a + b , a + c , b + c 
c b a
Resolución:
Sea A el valor pedido:
A= ( í ± ! í + í ^ + ̂ 
: b a
_ ^ + _ ^ + _ 2 _ 
b + c a + c a + b
b + c a + c a + b,
De la condición: a + b + e = 0; se obtiene: 
a + b = - c ; a + c = -b ; b + c = -a 
Luego en A;
A = ( - 1 - 1 - 1 ) ( - 1 - 1 - 1 ) = ( - 3 ) ( - 3 )
A = 9
9. Si: a + b + e = 3; con a # 0 ;b í¿ 1 a c #2
a^ + (b -1 ) ' + ( c - 2 ) ' ca icuare lvabrde :------—-a (b -1 ) (c -2 )
Resolución:
De la condición; a + b + c = 3 =» a + b + c = 1 + 2 
=» a + (b - 1) + (e - 2) = O
Luego se cumple que;
a’ + (b - 1)̂ + (c - 2 f = 3a(b - 1)(c - 2)
Sea P el valor pedido: P = ^ ^a (b -1 ) (c -2 )
P = 3 a (b - 1 )(e -2 ) 
a (b -1 ) (c -2 )
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10. Si se cumple: - 3x + 1 = O
calcular el valor de; ^ - x + x
X®
Resolución:
Sea A el valor pedido, es decir: 
A _ X - X + X _ 2 < 1 _ 2 C ,e j: e “t" -
-O )A = x‘̂ - 1 + -!t =»A = x^ + - V - 1 
x““ x"
De la condición: -3 x + 1 = 0 ;
=. x' + 1 = 3x => = 3 « x + -= 3
X X
Elevando al cuadrado; x̂ + -^ = 7 ... (II)
X
Finalmente reemplazando (II) en (I) se tendrá:
A = 6
11. Hallar el equivalente de:
(x' + x - 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3).
Resolución;
Sea B el equivalente:
B = (x" + X - 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3)
Reacomodando la expresión para utilizar ta 1.®
equivalencia de Steven;
B = (x ̂+ X - 4) ̂- (X - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2)
B = (x' + X - 4) ̂- (x" + X - 6)(x' + X - 2)
Hagamos: x̂ + x = m =» B = (m - 4)̂ - (m - 6) (m - 2) 
B = m ̂- 8m + 16 - m" + 8m - 12 = 16 - 12 
.-.8 = 4
12. Si: 5a + 5c + ac = O, 
calcular el valor de 5ac
(a + 5)(5 + c)(a + c) 
Resolución:
Sea R el valor pedido; R = 5ac
(5 + a)(5 + c)(a + c)
Efectuando la multiplicación indicada;
R 5ac
(25 + 5a + 5c + ac) (a + c)
Como: 5a + 5c + ac = 0;
R = 5ac _ ac 
(25)(a + c) 5(a + c)
También del dato: ac = -5 (a + c)
5(a + 0)
13. Si: a = 2 + /3 ; b = 1 - 2/3 A c = Vs - 3, 
hallar el valor de:
a(a + 1)(a - 1) + b(b + 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) 
a(bc + 1) + b(ac + 1) + c(ab + 1) 
Resolución:
Sea S el valor pedido:
a(a + 1)(a - 1) + b(b+ 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) 
a(bc + 1) + b(ac+ 1) +c(ab+ 1)
Efectuando en el numerador y denominador:
S = (a ̂+ b ^+ c^ )-(a + b + c)
(3abc) + (a + b + c)
Del dato; a + b + c = 0; luego se cumple que: 
a ̂+ b̂ + = Sabe
(3abc) - (0) SabeS = (Sabe) + (0) Sabe
S = 1
14. Si; p - q - r = 2 a pq + pr = qr. hallar el valor de
T = p2 + q ̂+ r".
Resolución:
Datos; p - q - r = 2 ,..(l)
pq + pr - qr = O ,..(ll)
Elevando (I) al cuadrado; 
p' + q̂ + r̂ - 2pq - 2pr + 2qr = 4 
=. p̂ + q̂ + r̂ - 2(pq + pr - qr) = 4 
O
T = p̂ + q̂ + r̂ = 4
15. Si; X = hal lar el valor de:
■ •/s - i
R ^ (x' + 2 x+ 1 )‘‘ + (x '-2 x + 1 ) " 
(x ^+ 2 x + 1 )* -(x ^~ 2 x + 1 )*
Resolución:
R se puede escribir así:
p _ [ ( x + i ) ^ r + [ ( x - i ) ^ r _ ( x + i ) U ( x ~ i ) ^
[ ( x + 1 ) ' f - [ ( x - 1 ) ' f ( x + 1 )« - ( x -1 ) '
V3 + 1Del dato; - j =
V3 - 1
X +Por propiedad de proporciones: ^ ̂ ^
Nuevamente, propiedad de proporciones; 
( x + 1 )V (x -1 ) ^ 9 + 1
(x+ 1 )® -(x -1 )® 9 - 1
- p - 10 _ 5
EstoesR
16. Si; X + y + z = 2; x̂ + / + = 2.
hallar el valor de:
E = x"(x - 2) + y"(y - 2) + z"(z - 2) - Sxyz. 
Resolución;
Efectuando; E = x̂ + ŷ + - 2(x '+ y ' + z^) - Sxyz
2
=» E = (x ̂+ ŷ + z® - Sxyz) - 4
Sabemos que;
x̂ + ŷ + z ̂- Sxyz =
(x+ y + z)(x ̂+ / + z ̂- xy - xz - yz) ...(a)De los datos; x + y + z = 2 ...(I)
x̂ + / + z ̂= 2 ...(II)
Hallemos: xy + xz + yz 
Elevando (I) al cuadrado: 
x̂ + / + z ̂+ 2(xy + xz + yz) = 4 
2
= » xy + X Z + yz = 1 
En (a); x"+ /+z"-3xyz = (2K2 - 1) = 2 
E = 2 - 4 = -2www.full-ebook.com
17. S i ; - + -r + - = -:— i!— hallar el valor de:a b c a + b + c 
a + b + c)®- a® - b®- c®
a^b^ + b^c^ + a^c^
Resolución;
De: 1 + 1 + 1 = ^a b c a + b + c 
=> (be + ac + ab){a + b + c) = abe 
(a + b + c)(ab + be + ac) - abe = O 
conocido
Conocido: (a + b)( b + c)(c + a) = O 
Si asumimos: a + b = 0 = » a = - b
P = 2
-b ® + b "c^-b "c " -b®
Si se asume que: b + c = 0 v c + a = 0, se 
obtiene lo mismo (verificar).
18. Si: - 3x + 1 = O, calcular: E = x® + -1
X®
Resolución:
Del dato: x̂ - 3x + 1 = O 
x^+ 1x" + 1 = 3x = 3 » x + — = 3X
1Al cuadrado: x + -^ + 2 = 9 
1
^ ~ = 7
x
Al cubo: X® + 4 + 3xV 4 Í íx^ + 4 \ = 7"
« X“ + ^ + 3(7) = r 
^ X® + ^ = 7" - 3(7) = 7(7 ̂- 3)
E = X« + 4 = 322
X®
19. Sia A be ffi - {0>; a + bí¿ O A 1 ~ ^a a+b a + b b
hallar el valor de: T = a^+b^a + 3a^b 
ab" + 3a^b + b'
Resolución:
a ;b e E -{0 } a a + b#0 a 1 - ^
1 + 1 =
3 1
a a + b a + b b 
(a + b) ̂= 4aba b a + b
=» + b̂ = 2ab =» 2ab + = O
=» (a - b) ̂= O =» a = b
j _ a^+ b^a 4 3a^b, j _ + 3a^
ab^ + 3a^b + b a + 3a + a
T = 1
20. Si: (X +y + 2+w)̂ + (x + y - z - w)̂ = 4(x + y){z + w). ha­
llar el valor de: S = ( —l w - y
X - w
2 - y
Resolución;
Dato:
(X + y + z + w)̂ + (x + y - z -- w)̂ = 4(x + y)(z + w) 
Por la segunda identidad de Legendre, se tiene: 
(X + y + z + w)̂ - (x + y - z - w)̂ = 4 (x + yXz + w)
De donde, sumando, resulta que:
(x + y - z-w /)^ = 0 => x + y - z - v̂ = 0 
De aquí: x - z = w - y a x - w = z - y
X - z '
w - y ,.
X - v>/'
z - y , = (1^+f)^ S =
21. Si: g-+ ^ . ^ + ^.+ ^ + -l = 4 ;a # 1 ,b # - 2 :
9 — I D
a“ - 4a^b + 6a^b ̂- 4ab ̂+ b* 
27
hallar el valor de:
_______ 54_______
â - b^- 3ab(a - b)
Resolución;
p g : a ^ L ^ + a + ^ = 4
a - 1 b + 2
a - 1 + b + 2 . a - 1 + b + 2 ^
a - 1 b + 2
1 + b + 2 , a - 1 
a - 1 ^ b + 2 + 1=4
b + 2 , a - 1 = 2 = a - 1 = b + 2a - 1 b + 2
=> a - b = 3 
Tenga en cuenta que:
- 3ab(a - b) = {a - b) ̂
a* - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b̂ = (a - b)*
T = 54
(a-b)^
(a - b)̂ 
27 T - f + I - 2 + 3 - 5
22. Si: ''ímñ + = 6 =» ‘-/m̂ ~n̂ - = 24
calcular: */mñ - donde; {p; q; m; n} c Ití* 
Resotución:
De los datos: (Vmn)^ - (*^M)^ = 24 
Por diferencia de cuadrados:
(Vrññ + - Vm) = 24
(6)(*Vrññ - “/ m ) = 24 “Vmñ - = 4
23. Reducir: (a + b)̂ + (a - b) ̂- 8a ̂+ 6a(a - b)(a + b)
Resolución;
Sea A la expresión dada, la cual se podrá escribir 
así:
A = (a + b)’ + (a - b) ̂+ 6a(a - b)(a + b) - 8a ̂
Reacomodando el segundo miembro;
A = (a + b)® + (a - b)̂ + 3(2a)( a - b)( a + b) - 8â
A = (a + b)̂ + (a - b)̂ +
3(a - b )(a + b)[(a + b) + (a - b)] - 8a^
Notar que la expresión de arriba fue obtenida por 
ser un binomio al cubo.
A = 1(3 + b) + (a - b)] ̂- 8a ̂ ^ A = [2af - 8a^
=5 A = 8a ̂- 0a ̂ A = owww.full-ebook.com