Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (48)

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6. Si el desarrollo de (x, X2 + X3 + X4 + Xjf admite 495 
términos, entonces determinar el número de térmi­
nos que posee el desarrollo de (x, + X2 + X3 + x j ^ :
R e s o lu c ió n :
En el desarrollo de: (x, + X2 + Xj + x̂ + X5)"
N.° de términos = = 495 => = 495
- ^ n T 4 = 12 == n= 8 ,
En el desarrollo de: (x, + X2 + X3 +
^•4-1 , ,
N.‘ de términos = =04 = 03
2
N " de términos = ^ = 351 X ̂ X J
7. En el desarrollo de (â + b - a )®, indicar el coefi­
ciente del término de la forma a'^b\ donde k es un 
número par no nulo.
R e s o lu c ió n
Por la fórmula de Leibniz, un término del desarrollo
de: {â + b - a)“ será:
8!
u!k!p! { a 'r b V a f A a + k + ¡3 =
_1)Hg2.-Pb^ A a + k
alklp!
Además: 2a + p = 10 A k es par; k ^ O 
Notar que p a a deben ser pares.
• a = O =í p = 10 (no puede ser)
• a. = 2 -i 3 = 6 A k - O (no puede ser)
• o. = 4 => p = 2Ak = 2
r { - 1)'a'°b^ = 420a’V41212!'
(no hay más posibilidades)
.-. Ei coeficiente es: 420
8. Hallar la suma de coeficientes de los cuatro prime­
ros términos del siguiente desarrollo;
1
R e s o lu c ió n :
1
1 + 3x + 3x
1
1 +3x + 3x ̂+ x̂ (1 +x)- 
1 - 3
= (1 +x)
/ -3 / - 3 \ 2 / -3 \
+1, x . ( X +1 21 \ 3
Se pide: 
( -3 
O
-3 / -3 
2 /^ ( 3
S = 1 + (-3 ) ( -3 )( -4 ) . ( -3 ) ( -4 ) ( -5 )
1x2
S = 1 - 3 + 6 -10 = -6
1 x2 x3
9. Determinar el valor del término independiente del 
desarrollo de la potencia:
1
R e s o lu c ió n
Por la fórmula de Leibniz;
5!
a!p!y!
5!
- I f ( 1 ) ' A a + p + y = 5
(-1)‘̂ x“ '^ A a + p + y = 5alpiyl
Además, como el término es independiente de x;
a - p = 0 » a = P=»2a+y=5
5!y = lA a = 2 A p = 2 
y = 3 A a = lA P = 1 =
y = 5 A a = 0Ap = 0 =
2 ! 2 1 1 !
1!1!3!'
5!
(-1)^ = 30 
-1 ) ’ = -20
O! O! 5!
El TI será: 30 - 20 + 1 = 11 
/x« q
10. Dado el polinomio; - 3x‘
indicar el valor de verdad de los siguientes enun­
ciados:
I. El número de términos del desarrollo es 11.
II. El desarrollo solo tiene un término central.
III- La suma de los coeficientes de todos los térmi- 
22nos es ^
R e s o lu c ió n :
I. El desarrollo tiene 23 términos. (F)
II. Como n = 22 es par, entonces hay un solo tér­
mino central. (V)
III. La suma de coeficientes de todos los términos
es parax= 1; =
FVF
ÍF)
11. Si el único término central del desarrollo de 
es 1120x''. Determinar el séptimo térmi­
no de dicho desarrollo.
R e s o lu c ió n :
Si x̂̂ - -^1 tiene un único término central, entonces 
n es par. Dicho término ocupa el lugar: + 1]
t , - t ( |+ l ) ^ C |( x ') ^ -2 x - ^ ) ^
- n - n
Comparando la variable = x^
Usando el dato: = x'“ =■ n = 8
El término pedido es: t? = +C®(x )̂̂ ( 2 x ' ^
Ct { 2 f X ® X 64x- t, = 1792X"
12. Una clinica tiene 25 empleados profesionales, 4 
de ellos cirujanos.¿De cuántas maneras puede for-
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marse grupos de tres profesionales donde por lo 
menos uno de ellos sea cirujano?
Resoiución:
El N.“ total de maneras en que se pueden agrupar 
los 25 profesionales en grupos de 3 es C f .
El N.° total de maneras en que se puede los pro­
fesionales en grupos de 3 sin que participe ningún 
cirujano es C f .
Luego, ei N.° de maneras en que puede formarse 
grupos de 3, donde por lo menos uno de ellos sea 
cirujano es - C f = 970
13. Determinar el coeficiente del término en el 
desarrollo de (x̂ +
Resoiución:
Supongamos que el término en ocupa lugar 
k + 1,
De: (x̂ + y^)'“ == t,. , - C f ■■ (y )̂'
_ 4 _ r 2 0 „ 4 0 2k ,,3 k
=> i j -1 — X y
De aqui; 40 - 2k = 28 => 3k = 18 ^ k = 6 
Coeficiente pedido: C f
14. Los exponentes de x en el desarrollo <Jel binomio
1|x + -^^1 van disminuyendo de 8 en 8. el tér­
mino de lugar 13 es independiente de x. Hallar el 
número de términos de su desarrollo.
Resolución;
Desarrollando se tiene:
(X m ^ / 3 j n ^ ^ n (X )̂” ~ ̂ ( x ' + . . .
Exp. de X mn mn - m - Ô
Por dato: mn - (mn - m - y ] =8
-m + 3 - m - 6
El binomio es: (x® + x^)"
- t,3 - C Í^(xY '’ ̂( x " T - CÍ,x^"-^^-TI(x)
De aquí: 6n - 96 = O =» n = 16
.'. N.° de términos del desarrollo: 16+1 = 17
15. Si el término n contado a partir dei último término 
en el desarrollo de x̂̂ + es px'^ y ̂ hallar el 
valor de: T = np 
Resolución:
Dg: ( x ̂+ ^ [ ^ t^ = CÍ_,(x^)"-'(y-^)'
Luego: C",_,x^" ’ y'^ =
=» 3(n - 1) = 18 =» n = 7 
Cn_, = C "= n = p=s.p = T 
... T = 7 X 7 = 49
16. Si el décimo término del desarrollo del binomio 
(x'’ + x*")" es x’®. hallar el valor de (q + n).
Resolución;
De: (x̂ + xT ^
Por dato: t,o = x’' ^ t,o = C^x‘’‘" = x'"
De aquí: Cg = 1 =» n = 9
p(n - 9) + 9q = 18 =» q = 2 q + n = 11
17. Determinar el tio3 del desarrollo de:
Resolución:
De: (x* -
^ tio3^ CX(x')= (3/y)'“ (lugar impar)
, , _ p104 6 34- - ‘ 103 “ *̂ 102* y
18. En la expansión de (4x̂ + 3ŷ )"; la suma de los 
grados absolutos de todos los términos de su ex­
pansión es 275, determinar el valor de n.
Resolución:
Del desarrollo de (4x̂ + 3ŷ )" se tiene:
2 de grados de todos los términos: 
n(n + 1)
2
n(n +1)
= 275 (Dato)
= 55 =í n(n + 1) = 110
De donde: n(n + 1) = 10 x Ti 
n= 10
19. En el desarrollo del binomio (1 + y f^ ios coeficien­
tes de los términos de lugares 2m + 1 y m + 2 son 
iguales. Determinar dichos lugares.
Resoiución:
De: (1 + y) '̂
Por condición:
Posibilidades:
• 2m = m + 1 = m= 1 (Incorrecto)
Se trataría del mismo término.
• 2m + (m + 1) = 52 =» m = 17 (Correcto)
Los términos son de lugares 35 y 19.
20. Determinar el coeficiente de x® en el desarrollo de: 
(1 + 3x̂ - 2x")®
Resoiución:
Por la fórmula de Leibniz:
61
a l p l y !
6!
(r)(3x7(-2x ‘ )'̂ A a + P + y = 6
(3)°(-2)'x^"'"^'* A a + p + y = 6
a ! p ! y !
Además: 2(p + 2y) = 8 ^ p + 2y = 4 
Se nota que p es par a p < 4
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p = 0 A Y = 2 A a = 4
6! r{3)°(-2)V = 60x®4! O! 2!'
• P = 2 A Y = lA a = 3:
- 3 íf^ (3 )V 2 )V --1 0 8 0 x ®
• p = 4 A Y=0 A a = 2:
El c o e f ic ie n te d e X® s e rá : 60-1080 + 1215 = 195
21. A qué exponente se debe elevar el binomio 
+ si el término de lugar 11 de su expan­
sión es de grado 20.
Resolución:
Supongamos que el exponente sea n: -h ■ l ' j
De aquí: t„ = C ío(x'r'’'’ ( ¿
^ G{t„) = 2(n - 10) - 10 
Por dato: 2(n - 10) - 10 = 20 
n = 25
22. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad:
1 + 2(2!) + 3(3!) + ... + n(n!) = 719
Resolución:
Tenga en cuenta que: [ al + a(al) - (a+1)l]
Sumemos 1 a ambos miembros en la igualdad 
dada, se tendrá:
1_+_1 + 2(21) + 3(3!) + 4(4!) + + n(n!) = 719+1
21 +2(21) + 3(3!) + 4(4!) + ,„ + n(n!) = 720 
3!
4!
(n + 1)l = 6!
n + 1 = 6 n = 5
23. Determinar la suma de los valores de n que verifi­
can la siguiente igualdad: = 80b(n!) — y
Resolución
Hagamos; n! = x = x(x - 321) = 80(5x - 9)
^ x' - 721x + 720 = O ^ (x - 720)(x - 1) = O 
De aquí:
Si X = 720 =̂ n! = 720 =» n = 6 
Six = 1 =>n! = 1 =>n = 0 v n = 1 
2 de los valores de n: 6 + O + 1 = 7
24. Determinar una expresión equivalente al simplificar:
2'‘[(2n)!f
(4n)!!(2n-1)ü
Resolución:
Aplicando en el problema; 
(4n)!!= 2 "̂(2n)!
(2n -1 )!l = - í 2 ^
2" \ n - 1)! 
Reemplazando nos queda:
2"[(2n)!f
2 - ( 2 n ) ! x - í 2 ; i ^
2 "- '(n -1 )l 
^ 2"(2n)!x2^~’(n -1 )!
2^"(2n-1)l 
^ 2”(2n)(2n-1)!x2^-’(n -1 )! 
2"'(2n - 1)!
2"x 2 x 2'’ '^x n(n - 1)! 2^"xn! = n!
25. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad: 
[3(3n'+ 10n + 8)](3n + 5)!(3n + 4)!
(3n + 5}!-(3n + 4)! 
Resolución;
Como; 3n̂ + lOn + 8 = (3n + 4)(n + 2) 
Reemplazando
= 108!
3(3n + 4)(n + 2)(3n + 5)!(3n + 4)
(3n + 5)(3n + 4 )!-(3n + 4)! 
(3n + 4)(3n + 6)(3n + 5)!(3n + 4)!
= 108!
= 108!(3n + 4)!(3n + 5 - 1)
=> (3n + 6)(3n + 5)1 = 1081
(3n + 6)! = 108! => 3n + 6 = 108
,•, n = 34
26. Determinar el coeficiente de x'® en el desarrollo de:
, , 1 »30
IX + - 1 , dar como respuesta la suma de sus cifras. 
Resolución:
Sea k + 1 el lugar del término que contiene a x’®. 
Entonces: t^., = C“ (x')’°“ (x')' = px'®
^ C f = px'® ^ 90 - 4k = 78 k - 3 
Luego, el coeficiente será-
P - C f - 1 x2 x3 
.'. Suma de cifras: 4 + 6=10
27. Determinar n + r, en:
C" + 3Ĉ1 + 3C"_2 + CP_3 37 — r 
C^, + 2C" 2 + C"_3 * r
Resolución:
Trabajemos por separado con el numerador (N) y 
denominador (D) de la 1 fracción.
Desdoblando se puede escribir:
N = C" + C"., + 2C"_i + 2C"_2 + C"_2 + Cí’_3
N = c r ' 2C^^' + C -̂;
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N = c "* ’ + c ":; + c^*,'+ c":-
N = c""" + c : : f =
D = Cf_, + Cf_2 + C"_ 2 -
D = c ":; +
Reemplazando 
C"
n + 3
37- r
D =
37- r
n + 3 37 - r r= 34r r
28. Determinar el valor de J = 3x + 7y, si se cumple: 
C*_, - CJ ; 4Cy - 5Cy_2
Resolución:
De C*.., = C’ ; única posibilidad: 
y - 1 + y = x « x = 2 y -1 ...(I)
De 4Cy = 5Cy,2Í reemplazando/;
4CJ^'’ = 5 C fV
De4Cy''’ ' = SCy^//; degradando:
^ 4(y+ 1 ) - 5 ( y - 1) y - 9 ...(U)
(II) en (l):x= 17
J = 3(17) + 7(9) = 114
29. Determinar el valor de x en el siguiente igualdad:
Cf., + Cr_, 19 
Cf.2 + Cf_2 16
Resoiución:
Por combinaciones complementarias:
C2x __K + 1 “ ^x-1 ’ ^* + 2 “ ^x-2
2Cf_, 19
16
Reemplazando tenemos;
2CÍ
Sabemos que; cr = n - k -t- 1
Aplicando en el numerador: 
(2x) - ( x -1 ) + 1^2x
X - 1 19
16
x + 2 
x - 1
19
16
X = 17
30. Se considera una baraja de 20 naipes repartida en 
cuatro colores, cada color se compone de 5 nai­
pes: as, rey, dama, valet, diez: se denomina mano 
a todo subconjunto de 5 naipes elegidos de esta 
baraja. Obtenga M + N, si:
M es el número de mano distintas.
N es el número de manos distintas que contienen 
dos ases-
Resolución:
M = Ni.® de m anos d is tin tas = C=°
N.° deben contener 2 ases
Son ases No son ases 
C ̂ X C f = N
Pertanto: 
M +
N
18 864
31. En el desarrollo del binomio
¿qué lugar ocupa ei término independiente de x? 
Resolución:
I ■, 1 \20De: ¡ X - - con n = 20
Sabemos que; tj,_, = C^(x^)"' ’'(l/x)*'
f _ r'20/v3\20 - U k * _ ^20 60 - 4k
- 1 ~ J ^ + 1 “ '- 'k
SI es término independiente, entonces el exponen­
te de X debe ser cero (0);
60 - 4k = O « 4k = 60 =» k = 15 
.-. t«,, =tig ^ Iugarl6
32. Hallar el término independiente del desarrollo de:
Resolución:
^ + 7 ) - = 
t, = t,_ ,-C Í(x ') " -^ (^
- C!’ x̂
Si t̂ ., 1 es independiente 
^ 2n - 4k = O = 20 = 4k => k = 5
('10;__10lt, = = 2525! X 5!
33. Hallar el octavo término en el desarrollo del bino­
mio (x' I- y ' Y -
Resolución:
Sabemos que: = Ck(x^)"” ''(y” )̂''
Si: k = 7; n = 10 ^ t^., = C °̂(x )̂’“ - V V 
tg = 120x®y'"’
34. Los coeficientes de 2‘’^ 3®' y 4." términos del desa­
rrollo del binomio (1 + x)" forman una progresión 
aritmética. La suma de los 10 primeros términos de 
esa progresión es
Resolución:
Desarrollando el binomio
(1 + x)" = CS + C"x + + C^x ̂+ ...
=> C,;C2;C3 forman una PA
Luego; 2C2 = Oí + Cj : n > 3
^ '** - n I
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