Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (58)

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Números 
complejos a
o
ü
Lodovico Ferrari fue un mate­
mático italiano que nació en 
Bolonia (Italia) el 2 de febrero 
de 1522 y murió en la misma 
ciudad envenenado con trióxi­
do de arsénico por su hermana 
el 5 de octubre de 1565. Fue un 
estudioso de las matemáticas y 
en unión de otros colaborado­
res, siendo el más importante de 
ellos Cardano. llegó a ser uno de 
los mayores representantes de la 
escuela de Bolonia, que se dedi­
caba principalmente al estudio 
del álgebra; así descubrió la re­
solución algebraica de la ecua­
ción general de cuarto grado. 
Asimismo, demostró la fórmula 
para resolver ecuaciones de ter­
cer grado. \iaVm. 1522-Italia, J5B5
Lodovico Ferrari puso de m a­
nifiesto en su exposición lo que
hoy se conoce como números imaginarios. Cardano y Ferrari estudiaron la solución de las 
cúbicas que Tartaglia les había comunicado. Ellos resolvieron los problemas que Zuanne da Coi 
había propuesto y escribieron los casos en que podía presentarse una cúbica con coeficientes 
positivos. En este proceso. Ferrari descubrió también la solución general de la cuáriica en 1540. 
con un bello argum ento reducía el problema a resolver una cúbica por el m étodo de Tartaglia. 
Como Cardano había jurado a Tartaglia que no publicaría la solución de las cúbicas, estos no 
podían publicar tam poco las cuárticas que dependían de !a solución de aquellas.
Fuente: Wifeipedla
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<4 CANTIDADES IMAGINARIAS
Se originan al extraer raiz de Índice par a una cantidad 
negativa.
Así: J - 16; son cantidades imaginarias,
tn íd a d im ag inaria
La cantidad imaginaria es llamada unidad imagi­
naria. con esta definición, podemos representar a todas 
las cantidades imaginarias puras.
Notación: según la notación de Gauss, la unidad ima­
ginaria se representa por la letra i.
Se define:
i' = -1
E je m p lo :
Efectuar: E = x 
Resolución;
E = {JQ - í ^ ) = /8 i -/2i = •/Tèi'« E = 4(-1)
E = -4
<4 POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
= i i* = i î = i
= - 1 i® = - 1 - 1
_ _ j i^= - i i" = - i
= 1 i - 1 i’^= 1
Como se puede observar, los resultados de las poten­
cias de la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4 
en 4, y si los exponentes son múltiplos de 4 ei resultado 
es 1. Esto implica que estas potencias están goberna­
das por propiedades que veremos a continuación.
Propiedades de las potencias de ia unidad 
im ag inaria
1. i""=1
2,
3, i + î + î + i" = O 
Corolario:
i'' + i" ‘ ' + i" • ̂+ i" * ̂= O
E je m p lo s :
Calcular:
1. =
2 , = =
3. = =
4. Si i" = i + i' + + i“ + ... + î " ■ ' 
reducir: E = i‘" n e IN 
Resolución;
Sabemos por el corolario que:
i" + i" ■ ' + i" ■ ̂ + í'" ̂= o
En el problema:
r= i-r+p+r^j-+,„+¡«+...+j^" V i^ " - '+ r î i4n ¡̂4n.,
0 0 ^ 0 
i" = i“*" " entonces; n = 4 1
mparSe pide:
- I '
E - - - i
<4 NÚMERO COMPLEJO
Es un número que resulta de la unión de un número real 
más un número imaginario.
Sea el complejo:
bi
L
z = a
Parte real
Parte imaginaria
Siendo a y b números reales, nos indica que el comple­
jo esta formado por “a" unidades reales y "b" unidades 
imaginarias.
También se les define como el conjunto de pares or­
denados de números reales, donde la primera compo­
nente (abscisa) se le denomina parte real y la segunda 
componente (ordenada) parte imaginaria.
Notación:
Donde;
Parte real;
Parte imaginaria:
z = (a; b) 
a; b G E 
Re(z) = a 
lm(z) = b
Luego, dado z = a + bi
Si a = O A b O =í z = bi es un número imaginario puro. 
Si a O A b = O =» 2 = a es un número real.
S ia = b = 0 « z = 0 es un número complejo nulo.
Complejos conjugados
Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales 
e iguales pero de signos contrarios sus partes imagi­
narias.
Sea; 2 = a + bi, su conjugado será; z = a - bi. 
Complejos opuestos
Son dos complejos que se caracterizan porque se di­
ferencian solo en el signo de la parte real e imaginaria, 
pero teniendo las mismas partes real e imaginaria (en 
valor absoluto).
Así, los complejos; 2, = a + bi a z.^= -a - bi 
son dos complejos opuestos.
Complejos iguales
Dos complejos son iguales si tienen iguales sus partes 
reales y sus partes imaginarias,
Si:a + b i = c + d i =5 a = C A b = d
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<1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS 
COMPLEJOS 
Representación cartesiana o geom étrica
Se realiza en el plano cartesiano en donde el eje "x” sir­
ve para representar los números reales y el eje “y" sirve 
para representar las cantidades imaginarias.
Ai plano formado por los ejes reai e imaginario se le 
llama plano de Gauss.
Afijo de un complejo: es un punto en el plano gaussia­
no que se representa por un par ordenado formado por 
la parte reai y el coeficiente de ia parte imaginaria que 
representan respectivamente la abscisa y ordenada del 
punto.
Representación po la r o tr igonom étrica
Toma como base las coordenadas polares, donde se 
conocen el origen (polo) y una semirrecta llamada eje 
polar. Para ubicar el afijo, se debe conocer la distancia 
del polo al afijo (módulo o radio vector) y el ángulo (argu­
mento) comprendido entre eí radio vector y el eje polar
eje polar
Donde; p: módulo o radio vector 
9: argumento
Relación existente entre la fo rm a cartesiana y 
la fo rm a po lar
Sea z = a + bi
En el gráfico 
Del AOAB:
senB = - =• b = psene; cos9 = - =» a = pcosB 
P P
Luego: z = (a; b) = a + bi = p(co90 + isenO) = pds6 = piii^
Representación Representación 
canesiana polar
Donde: = + = Izl = ja + bij
También: tanB = - a
Como se puede observar, la parte real está represen­
tada por pcose.
Ejemplos:
1. Expresar en su forma polar:
a) z = 3 + 4i
Resoiución:
Calculando el módulo: p = + 4̂ = 5
Luego el argumento: tanO = ,1 => 9 = 53° 
.-. z = 3 + 41 = 5cis53°
b) z = 4 - 3 i 
Resoiución:
El módulo será; p = </4 + 3̂ = 5 
— 3El argumento: tan9 =
lo que implica que: 0 = 360° - 37° = 323' 
z = 4 - 31 = 5cis323°
c) z = -2 - 2-/3Í 
Resolución;
El módulo estará dado por; i(-2)^+(-2V3)^ = 4 
El argumento: tanO = 73̂ =» 0 = 180" + 60° = 240° 
z = -2 - 2/31 = 4cis240°
2. Calcular el complejo en ta forma polar;
a) z = - 4cis30°
Resoiución;
z = - 4 cis30° = -4[cos30° + isenSO“] 
z = 4[-cos30° - isen30°] 
z = 4(cos(180° + 30°) + isen{180° + 30°)1 
.-. 2 = 4cis210°
b) z = 3[cos20° - isen20°]
Resolución:
z = 3[cos20° - isen20°] 
z = 3[cos(360° - 20°) + isen(360° - 20°)]
.-. z = 3cis340°
c) z = -3 + 3/3i 
Resoiución:
Hallando: p = ys^+(3/3)^ = 6 
3/3tanO = = -73 => 0 = 120°
z = 6 c is 1 2 0 ''
<4 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 
Suma y d ife rencia
Para sumar o restar números complejos, se suman o 
restan partes reales e imaginarias respectivamente.
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Asi. z, = a + bi 
Zj = c + di
z, + Z2 = (a - c) + (b + d)i 
z, - Zj = (a - c) + (b - d)i
Producto
A. Forma cartesiana
Sea z, = a + bi 
ẑ = c + di
^ z, Z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bei + bdi' 
Como î = -1
z, = (ac - bd) + (ad + bc)i
Ademas: (1 + i)(1 - i) = 2
B. Forma polar: se multiplican primero los módulos y 
luego se suman los argumentos:
Si: z, = p,(cos0i -*■ isenO,)
2̂ ~ PiícosBj + isen02)
=> Z1Z2 = P1P2 [cos(0, + Üj) + isen(0, + Ô )] 
z,Z2 = p,p2 cis(6, + 62)
Ejemplo:
Sean: z, = 2(cos10° + isen10°) 
z¡ = 3(cos13° + isen13°)
=? z^zj = 2)^3[cos(l0°+13°) + isen(10°+13”)5 
Z1Z2 = 6[cos23° + isen23°]
División
A. Forma cartesiana; para dividir complejos se multi­
plican numerador y denominador por la conjugada 
de este último, 
z, = a + bi 
Z2 = c + di
^ £1 _ a +bi (a + bí)(c~di) (ac + bd)(bc -ad)í 
^ Z2 “ c+di(c + di){c-di)
ac + bd be - ad-
c' + d'
Entonces: — = ,
Zz c' + d-
Propiedades;
B. Forma polar: para dividir complejos se dividen pri­
mero los módulos y luego se restan los argumentos, 
z, = pi(cos 9, + isenO,)
Zj = Psícos 02 + isenOj)
=> = ^[cos(0, - Oj) + isen(Oi - 62)]
— = -^cis(0,-e ,)
Z 2 P2 ^
Ejemplo:
Dados: z, = 5(cos24'" isen24°)
2Z= 3(cos10° + isenlO”)
Luego: — = ^[cos(24° - 10°) + isen(24° - 10°))Zt j
- -|cis14" 
ó
Potenciación
A. Forma cartesiana: la potencia deun complejo por 
esta forma solo resulta práctica cuando el expo- 
nen1e es pequeño, Para efectuar la operación se 
aplica el desarrollo del binomio de Newton; tenien­
do cuidado al reducir las potencias de i.
(a + bi)" por binomio de Newton 
Propiedades:
a) (1 + i) ' = 2i b){1 - \ Y ^ 2 i
Corolarios:
a) (1 + i)̂ = -4 b)(1 - i)̂ = -4
B. Forma polar
Sea: z = [p(cos0 + isenO)]''
=• z = p" [cos(nO) + isen(nO)] = p" cis(n0)
Ejemptos:
1. Sea: z = 2(cosl0° + isen10°). calcularz^ 
Resolución;
ẑ = [2(cos10° + isen10°j^
z® = 2*(cos50° + isen50°) = 32cis50°
2. Calcular: +
Resoiución:
Hallando el módulo: P
El argumento será: tan8=-/3 
=» e = (180" - 60°) = 120"
Del enunciado: z = (cis120°) ’̂ ̂= cis25 560°
^ z = cis25 560° = cis360(71 )
=> z = cisO" = cosO° + isenO° z = 1
Radicación
A. Forma cartesiana: la raiz enésima de un complejo 
es otro complejo, entonces:
Va + bi = X + iy = a -1- bi = ( x -1- yi)"
Por binomio de Newton 
Luego se igualan las partes reales e imaginarias 
entre si:
Ejemplo:
Hallar V-̂ 3 - 4i
Resolución;
De: V - 3-41 = 7 -3 -4 / '-1 = V-"3 - 2 ^
(~4){1)
Luego: / - 3 - 4i = ±(/T - ( ^ ) = ± ( ^ - 2i) 
V -3 -4 Í = 1 - 2i V -1 + 2i
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