Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (82)

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43. Si {x-; X2} es el conjunto solución de la ecuación en 
x: 3x' - 2(8 + 2)x + 3{a - 1) = O, a c E 
Para cuántos valores enteros de a se verifica que:
X, + 3 a ■' Xj + 3
Resolución:
Sea f(x) = 3x̂ - 2(a + 2)x + 3(a - 1) / x, < a - 3 < x̂ 
Graficando se observa:
Resolviendo:
a ^ - 1 3 a + 3 6 - O a (a - 9)(a - 4) < O 
a e m A 4 < a < 9
Como a e S: a = {5; 6; 7, 81 5 valores
44. Dada la ecuación cuadrática en x: 
ax ̂+ bx = c. a: b; c e IR
Se afirma que son verdaderas las proposiciones:
I. Las raices son una positiva y una negativa 
ac O
If, Si. b̂ - 4ac = O =» las raíces son iguales.
Mí. Las raices son imaginarias conjugadas, si: 
b̂ + 4ac •' O
Resolución:
De la ecuación: ax ̂+ bx - c = O
I. x,x, = — <■ O » ac > O A A = b̂ + 4ac > O
II. Para que las raices sean iguales debe cumplir­
se a = b̂ + 4ac ~ O
lU. Para que las raíces sean imaginarias conjuga­
das debe cumplirse A ~b'^ + 4ac O 
I y II
45. Resolver: x'* - 2x ̂+ mx ̂+ 22x + n = O
Sabiendo que sus raíces están en PA. hallar la 
suma de las dos menores raices.
Resolución;
Sean:
a - 3r; a - r; a 4 r; a + 3r
X , X 2 X j X 4
S raíces = 2 (por Cardano), de donde: a = 1/2 
También por Cardano se cumple:
x,xjx, + X1X3X4 - XjX-iX̂ + XiX^Xi = -22
Agrupando convenientemente y reemplazando
xjx3(x, + x^) + XiX Í̂Xj + x-J = -22
(a' - i^)2a + (â - 9t^)2a = -22
2a ̂ - lOar' = -11, de donde: r = ±3/2
Reemplazando:
X, = -4 ; X2 = -1 ; X3 = 2; X4 = 5 X, + X2 = -5
46. Si: ^14 + 6V5 es una raíz de:
p(x) = I ax ̂+ cx + a - 6; a, c e Z, hallar el valor 
de: c - 2a
Resolución:
Vl4 + 6^ = Í14 + 2V9(5)
= J(9+ 5) + 2V9(5) = V9+-/5 = 3 + V5 
= 5 X, = 3 + V5 (pero en un polinomio de coeficien­
tes reales si x, = 3 + l5 , entonces tiene otra raíz 
que es la conjugada de x, =* X2 = (3 - ■/S)
Sea X3 la tercera raíz: x, + Xj + > 1
( 3 + / 5 ) + ( 3 - / 5 ) + X 3 = - a = í X 3 = - a -6
T u ’ - - ( a - 6)También: xix^x, = ----- ------
( 3 + - / 5 ) ( 3 - 7 5 ) ( - a - 6) = - a + 6 
4 (-a - 6) = - a + 6 = • - 4 a - 2 4 = - a + 6 
=5 - 3 0 = 3 a = > a = - 1 0
A d e m á s : x . x j + x , x , + = c
( 3 + - / 5 ) ( 3 - / S ) + X 3) ( X , + X 2) = c 
4 + 4 ( 6 ) = c ^ c = 2 8
N o s p i d e n : c - 2 a = 2 8 - 2 ( - 1 0 ) = 4 8
47. S i 4 y m s o n s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n :
x '* - 2 0 x ^ + 3 0 n + 4 = O ( m > 0 ) , h a l l a r e ! v a l o r d e 
m + n
Resolución:
D e : x " - 2 0 x ' + 3 0 n + 4 = O 
S i 4 y m s o n s o l u c i o n e s :
C o n X = 4 ^ ( 4 ) " - 2 0 ( 4 ) ' + 3 0 n + 4 = 0 ^ n = 2 
C o n : X = m
m " - 2 0 m ' + 3 0 ( 2 ) + 4 = 0 
m " - 2 0 m ^ + 6 4 = O 
- 1 6
m ^ - 4
( m ^ - 1 6 ) ( m ^ - 4 ) = O
( m + 4 ) ( m - 4 ) ( m + 2 ) ( m - 2 ) = O
C S = { - 4 ; - 2 : 2 : 4 }
Con m -■ Q ^ m = 2 ( p u e s l a otra raíz e s 4 )
. - . N o s p i d e n : m + n = 2 + 2 = 4
48. Si las raíces de la ecuación;
( p - 5 ) x " - ( 3 p - 2 3 ) x ' + 9 = O , p ^ 5 
e s t á n e n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a , h a l l a r e l m a y o r v a ­
l o r d e p .
Resolución:
S e a n l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n : 
a - 3 r ; a - r ; a + r ; a + 3 r , p o r e s t a r e n P A 
E r a í c e s = O => a = O
F o r m e m o s l a e c u a c i ó n e n f u n c i ó n d e s u s r a í c e s 
x '* - l O r ^ x ^ + 9 r ‘“ = O , i d e n t i f i c a n d o c o e f i c i e n t e s s e 
t i e n e :
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3 p - 2 3
p - 5
9
= l o r
= 9r‘
.(«}
.(P)p - 5
D i v i d i e n d o p o r p t e n e m o s : { 3 p - 2 3 f = 10 0 ( p - 5 ) 
R e s o l v i e n d o s e o b t i e n e q u e e l m a y o r v a l o r d e p e s 2 1 .
49. H a l l a r e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e i c o n j u n t o s o l u ­
c i ó n d e : - / x ^ - 4 x + ] x ^ - x ' - 4 x -t- 4 [ = O
Resolución:
R e c o r d a r :
S i a > O ^ . ' a > O 
S i a I R - - i a l 0
D e : 4 x + | x ^ - x " - 4 x + 4 | O
> 0 > 0 
L a ú n i c a p o s i b i l i d a d q u e 2 p o s i t i v o s s u m e n O 
- 4 x = 0 A [ x ^ - x " - 4 x + 4 | = O
V ( x | ( x + 2 ) ( x - 2 ) = O a |{ x - 1 ) ( X - 2 ) ( x i - 2 ) 1 = o 
C S , = { 0 : - 2 : 2 } A C S 3 = I I : - 2 : 2 }
C S = { - 2 : 2 } 
n . ” d e e l e m e n t o s : 2
= O /
50. S i l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s e n x :
+ a x ^ + 1 1 x + 6 = O 
x ^ b x " + 1 4 x 
t i e n e n 2 r a í c e s c o m u n e s q u e s o n e n t e r a s y 
n e g a t i v a s , c a l c u l a r : ( a + b )
Resolución:
D e l a s e c u a c i o n e s :
x ^ + a x ^ -H 1l x -1-6 = 0; p o s i b l e s r a í c e s e n t e r a s 
n e g a t i v a s : - 1 ; - 2 ; - 3 ; -6
x ^ + b x " + I 4 x + 8 = 0 ; p o s i b l e s r a í c e s e n t e r a s 
n e g a t i v a s ; - 1 , - 2 , - 4 , -8 
E n t o n c e s l a s r a í c e s c o m u n e s s o n ; — 1 , — 2 
R e e m p l a z a n d o e n l a s e c u a c i o n e s t e n e m o s ; 
a = 6; b = 7 = > a + b = 1 3
51. S i d o s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n e n x ;
x " - ( p 2 ) x ‘ + 4 = 0 
s e o b t i e n e n d e l a e c u a c i ó n : 
x " + p x + q = 0 / p , q c E A p / O 
C a l c u l a r ; p q
Resolución;
S e a n a ; p r a í c e s d e :
x’ + px + q = o ) " + P = - ' '
E n t o n c e s a ; p ; - a . - p ; s e r á n r a i c e s d e : 
x '^ - ( p + 2 ) x ^ + 4 = 0 ; f o r m e m o s l a e c u a c i ó n p e r o 
e n f u n c i ó n d e s u s r a f e e s p a r a i d e n t i f i c a r c o e f i c i e n ­
t e s x " - ( a " + p ^ ) x ^ + ( a p ) ^ = O
I d e n t i f i c a n d o c o e f i c i e n t e s :
u" + P" = p + 2 ^ J a " f P ^ = p + 2
( a P ) " = 4 [ q ^ =: 4 s o l o c u m p l e p a r a q = 2
R e s o l v i e n d o s i q = 2 ; p = 3 v p = - 2
= • p q = 6 p q = - 4
52. S i / 3 e s u n a r a í z d e l p o l i n o m i o :
p ( x ) = x ^ + n x " m x - 2m ; ( n , m e ® ) , h a l l a r l a 
s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e t o d a s s u s r a í c e s .
Resolución:
p ( x ) = + n x " - m x - 2m
C o m o p { x ) t i e n e c o e f i c i e n t e r a c i o n a l e s
S i X . = - Í 3 => K.-¿ --- - Í Z ( c o n j u g a d o )
X 3 = ? ( r a c i o n a l )
I r a í c e s = = - n - 7 3 + ( - v ' 3 ) + X 3
X3 = - n
I p r o d u c t o s b i n a r i o s = x . X j + X i X , + X 2X 3 = m / l 
m = - 3
- ( - 2m )
P r o d u c t o d e r a i c e s = X i X j X ^ = 
x , = 2 ^ n = -2
1
N o s p i d e n :
x U x Í + x l = ( / 3 ) " + ( - v ^ f ^ ( 2 ) " = 1 0
53. A l r e s o l v e r l a e c u a c i ó n e n E ;
' V x " - 2 x - 1 5 + ' ' - í x " - 4 x - 5 = ' ' ^ 2x " - 6x -20 
C u á l ( e s ) d e l a s p r o p o s i c i o n e s n o e s ( s o n ) 
v e r d a d e r a ( s ) :
I . S u c o n j u n t o s o l u c i ó n e s { - 3 : 5 ; - 1 }
I I . E s u n a e c u a c i ó n i n c o m p a t i b l e .
I I I . S u c o n j u n t o s o l u c i ó n p o s e e 6 e l e m e n t o s
Resolución;
P a r a r e s o l v e r e s t a e c u a c i ó n e m p l e a r e m o s e l s i ­
g u i e n t e t e o r e m a ;
S i - 2- ' ' / A + 2'> • ’7 b = • ' I a V B , n e I N 
, A = O V B = O V A + B = O 
E n e l p r o b l e m a .
( x - 5 ) ( x + 3 ) ' O V ( X - 5 ) ( x -!- 1 ) = O 
V ( X - 5 ) ( x + 2 ) = O - C S = 1 5 ; - 3 : - 1 , - 2 }
. - . T o d a s s o n f a l s a s
54. S í l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n r e c í p r o c a ;
a x ‘ - 3 5 x ^ + 6 2 x " + b x + 6 = O , a O , a d m i t e 2
r a í c e s d e l a f o r m a ; ( m - 3 ) , 
m a y o r v a l o r d e m.
1
: m - 3 )
, d e t e r m i n a r e l
Resolución:
S i l a e c u a c i ó n r s r e c í p r o c a :
ax“ - 35x’ + 62x^ + bx + 6 = O
^ ■; T T
6x" - 35x ̂+ 62x" - 35x + 6 = O 
F a c to r iz a n d o p o r a s p a d o b le e s p e c ia l;
( 3 x - 1 ) ( x - 3 ) ( 2 x - l ) ( x - 2 ) = O , d e d o n d e l a s
r a í c e s s o n ; 1 / 3 ; 3 ; 1 / 2 ; 2
m - 3 = 3 . - . m = 6 mayor valor
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55. Si X , = 2 - 73 . X ; = -2 son raíces de la ecuación:
x ̂+ ax' + bx + c = O
determinar; (a + b - 2/3); si = 3 a c > 0
Resolución;
Del dato; c = 4/3 - 6 ̂ 0
Por Cardano: X1X2X3 = -c
Como: Xi = 2 - /3 : X2 = -2 ; x, = </3
También:
X, + X2 H- Xj - -a = O =■ a = O
X1X2 + X,X3 + X2X3 = b
-4 + 2V3 + 2V3 - 3 - 2V3 = b = b = -7 + 2/3 
a + b - 2V3 = -7
56. Si A es el conjunto solución de la ecuación 
2x ̂+ 2x - 3 Vx" + X + 3 = 3, hallar la suma de los 
elementos de A.
Resolución:
2x' + 2x - 3 /x ‘ + X + 3 = 3
« 2 x ^ + 2 x - 3 - 3 / x ^ + x + 3 = O 
« 2 ( x ' + x + 3 ) - 9 - 3 / x ^ + x + 3 = O 
Como: x ' + x + 3 > 0 , v x e E 
Haciendo: / x ^ + x + 3 = t; t > O 
Luego en (1):
2t ̂- 3t - 9 = O
2t \ ^ 3 (2t + 3){t - 3) = 0; t > O
-3 ^ • = ^ t - 3 = 0 « t = 3
-(1)
f x
(2t + 3)(t - 3) = 0; t > O 
t — 3 = 0 e» t = 3 
Es decir; Vx' + x + 3 = 3 = ^ x ' + x - 6 = 0 
(X + 3)(x - 2) = O 
« x = - 3 V x = 2 
CS = { - 3 ; 2}
La suma es: -3 + 2 = -1
57. Dada la ecuación 2x ̂+ mx + 30 = O y x,, x̂ , sus 
raíces. ¿Para qué valores de m se cumple la rela­
ción ^ ^ . 1 ?
X 2 5
Resolución:
Como X , y X j son raíces de 2x' + mx + 30 = O
Xi + X2 = -m/2
x,x2 = 15
Observe que: x, O v 
Por dato:
— = 1 = X, = 3k: Xj = 5k
Luego:
8k = -m /2 = 
15k" = 15 =̂
De donde; 
m = -16 V
» m = -16k 
k = 1 V k = -1
m = 16 |m| = 16
58. Sabiendo que la ecuación:
x '' - 6x' - 6x® + 12x ̂ - 36x' ^ 1 = 0 
presenta una raiz de !a forma; VVa + W , 
a; b G Z’ , se puede afirmar:
I. La ecuación es incompatible
II. a + b = 5
III. La ecuación es compatible determinada. 
Resolución;
Reconstruyamos la ecuación con coeficientes en­
teros a partir de su raíz 
X = f/a +Vb (al cuadrado y ordenando) 
x' - Va = W , (al cubo: x® + 3x^a - b = Va (a + 3x') 
Al cuadrado:
x’' - 3ax® - 2bx® + 3aV - 6abx' + b̂ - â = O 
Comparando coeficientes:
3a = 6 A 2b = 6 => a = 2; b = 3 
.-. FW
59. Si A es el discriminante de la ecuación 
bx' + ax + c = O, b O tal que A > O, hallar la 
diferencia entre las raíces mayor y menor de esta 
ecuación.
Resolución:
Sea: bx ̂+ ax + c = O =• a' - 4bc > O 
D = x, - X2 =» D̂ = (x, + - 4x,X2
b
JE
Ib|
D' = a ̂- 4bc
60. El valor de x en la ecuación;
x - a ' b ' X - b^c' , x-c^a^■f" - o = â + b̂ + ĉ
a ̂+ b" b "+ c '
Resolución;
Agrupando convenientemente se tiene
' x - a ' b ' - c 'X - b'c
' 3“̂ + b“" / ' b*̂ + c
Efectuando se tiene
/ x - a ^ b ' - a ' c ' - b ' c ^ \
- a ‘ l + ' x-c^a 
ĉ + â
- b 'U o
a'+b^
Factorizando se tiene 
( x - a 'b '- a V - b V )
■ x - b ' c ' - a ' b ^ - a V
x - c ' a ' - b ^ c ^ - b ' a '
a^+b" c‘ + a"
= O
,= O
d ife re n te de ce ro 
2u2 , ^ 2̂2 , u .2̂2Luego se tiene x = ab + a c + b“̂ c
61. En una pista circular de 240 m de longitud, dos ji­
netes A y B partieron desde un mismo punto en 
direcciones opuestas. Se encontraron por vez pri­
mera 17 segundos después de la partida de A; 20
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segundos más tarde se encontraron por segunda 
vez. Sabiendo que B partió 6 segundos antes que 
A, hallar la velocidad de A en m/s.
Resolución:
Como el primer encuentro ocurre 17 segundos 
después que partió A, luego vuelven a encontrarse 
a ios 20 segundos después {3 segundos más), se 
deduce que el espacio recorrido por B en 6 segun­
dos: entonces:
V , - Vr
 240 m
20 s = 12 m/s Vd = 6 m/s
62. La ecuación x“* - 12x - 5 = O, posee 2 raíces cuya 
suma es 2. Determine la suma de las inversas de 
las otras 2 raíces.
Resolución:
Sean a; b; c; d las raíces de: x'’ - 12x - 5 = O
Por dato: a + b = 2
Nos piden: 1 + 4 = = ?c d cd
Por Cardano y Viete:
a + b-!-c + d = 0 c + d = -2
ab + ac + ad + be + bd + cd = O
ab - 2(a + b) + cd = O
De aquí: ab + cd = 4 ...(1)
abe -H abd + acd + bcd = 12 
ab(-2) + cd(2) = 12
De aquí: -ab + cd = 6 ...(2)
(1) + (2); cd - 5
En lo pedido: 1 + 1 = ^ = - 0,4 
e d 5
63, Si el polinomio: P(x) = ax’ + bx ̂ - 6x -t- c; a O
n’° + i d'% 1admite como raíces: x, = -
1
p+ 1 P - P
Xj - donde p í - 1 ; 1; O}. Halle: c 
Resolución:
P(x) = ax ̂+ bx'̂ - 6x + c
Dato-x - P ^ ' x - P ^ - x - ■'
1 1 1 Observamos que: — + — + — = 3
X, X2 X3
Por propiedad, la ecuación de raíces es: 
cx ̂- 6x ̂+ bx + a = O
Por Cardano: ^ c = 2
64. Resolver la ecuación:
+ 10 ^ 4 7 3 F ^ + k + 25 + 6V3x - 6 =11/3 
R e s o lu c ió n :
Haciendo; J2x — 6 = y ^ 3x — 6 = y ^ ; y ' O
.(1)
Reemplazando;
y ^ + 1 0 + 4y + ^ + 25 + 6y = 11/3
y"+ 12y + 36 , y"+ 18y + 81
 3--------- + ¡̂--------3-------- - 11V3
^ ( y T e f + / ( y T W = 3 3 
ly + 6 1 + ly + 91 = 3 3
Como: y : - 0 , y + 6 + y + 9 = 3 3 : = y = 9 
y N 6 9 ̂+ 6En (1): X = 36 X = 29
65. Si Xq es !a solución de ia ecuación :
/ x + 7 + / x - 5 = / 2 x f 18 , halle el valor de: 
| 2 x , - x^/9|
Resolución:
De la ecuación:
{ ■ í x T T + = { ■ I 2 x + l 8 f
( X + 7) 2 i(x + 7 ) ( x -5 ) + (x - 5) = 2x 
2x - 35 = 64
18
Nos piden;
66. Resolver la ecuación: 
Resolución:
5 2 /xT ^ 5
Haciendo; /x + 5 = y 
X + 5 = ŷ
x - y ' - 5 ...(1)
Sustituyendo en la ecuación original; 
y ̂- 5 5 _ 6
f 2y 5
Eliminando denominadores:
10y ̂ - 50 + 25y = 12y ̂ => 2y ̂ - 25y + 50 = O 
( 2 y - 5 ) { y - 1 0 ) = 0 
y = 5/2; y = 10
Para y = 5/2 en (1 ): x = 25/4 - 5 =5/4 
Para y = 10 en (1); x = 100 - 5 = 95
CS = 95
67. Hallar el valor de m, para que la ecuación
2mx - 3 3mx - 2 - 2m + 3 se reduzca a una 
x - 1 x+1
ecuación de pnmer grado en x.
Resolución:
Se pide m, luego:
5mx^ - mx - 5x - 1 = (2m + 3)(x ̂ - 1)
5mx^ - {m + 5)x - 1 = (2m + 3)x'' - 2m - 3
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(3m - 3)x‘ - (m + 5)x = -2m - 2 
Por dalo la ecuación es de primer grado:
3m - 3 = O m = 1
68. Halle la suma de los cuadrados de las inversas de 
las soluciones de la ecuación + bx + c = O, don­
de b, c e IR - {0}
Resolución:
De la ecuación: x̂ bx + c = O 
De raíces: x^xj
Por Cardano: x, + X2 = - b =» x,xj = c
Nos piden:
E == -L f J - = ^^2 (X, -I X jf - 2x,x,
Xi Xj X1X2
Reemplazando:
^ ( - b f - 2 c ,
E = ------- :-------= be ‘ 2c ' 
277
6 - /x 2 ix
69. Resolver la ecuación 
Resolución:
Haciendo un cambio de variables 
27x _ 6--ÍX _ 1
2/x y
E = c ’( b V - 2) 
e - J x 5
6 - - /7 = y:
En la ecuación original:
= I - 2yM 
5y + 2 = 0
y + l = | - 2 / + 2 = 5y
x : 'y
Para: y
2
2 /7
6 - / 7 
^ 2 / x = 6 - x = 9
= 5 i x = 6 => X — 3 6 / 2 5
y = 2; y = 1/2 
= 2 = / x = 6 - i x
47x = 6 - 7x
70. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones 
reales de; ^2x + / 6x̂ -i- 1 = x + 1 
Resolución:
/ 2x / 6x ̂+ 1 = x + 1
Restricción: 
i. 6x̂ + 1 > O
(+) > O (no hay restricción para x) 
2x + /e ? T l > O
» 6x"/6x
2x^
f 1 > - 2x 
1 > 0
1 >4x"
(4 ) (no hay restricción para x) 
x + 1 > 0 = »x> - 1
Operamos: 2x + / 6x ̂+ 1 = x̂ -t-2x + 1
/6x^+ 1 = x ̂+ 1 ^ 6x ̂+ 1 = x" + 2x' + 1
x" - 4x^ = O x"(x' - 4) = O
x^(x -I- 2)(x - 2) = O
=> X, = 0; X2 = 0; X3 = -2 ; x̂ = 2
Pero como x > -1
=» x e (0; 2} 2̂ = 4
71. Si x,, X2 son las soluciones reales de la ecuación 
reciproca simétrica;
ax" + (b - 3)x ̂- 10x ̂+ (5 - a)x + (b + 6) = O 
Hallar: E = (x, -f
Resolución:
Si es una ecuación recíproca: 
a - b + 6 ..,(1)
b - 3 = 5 - a
b = 8 - a ...(2)
(2) en (1); a = 8 - a + 6 ^ a = 7 ; b = 1
Reemplazando en la ecuación normal;
7x“ - 2x^ - 10x ̂ - 2x + 7 = O
Aplicando aspa doble especial:
7x' - 2x ̂- 10x ̂- 2x + 7 = O
7x ̂ ^
(7x ̂+ 12x + 7)(x^- 2x + 1) = O
• 7x' + 12x + 7 = 0 A = (+ 12 ) ' -4 (7 ) (7 )<0 
=> raices complejas
•x̂ - 2 x - t - 1 = 0 ; (X - 1 f = O => X, = X 2 = -1-1 
E = (1 + E = 2
72. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones;
x l T ^ a + b 
x - y a - b 
xy = ab(a^ + b̂ )
hallar el valor de; / 2 (x - y)
Resolución:
Elevando al cuadrado y aplicando proporciones la 
primera ecuación:
X + y _ (a -f b f ^ X _ +b^
y 2ab ...(a)
x - y ( a - b f 
Además: xy = ab(a^ + b )̂ ,..(p)
Multiplicando (a) a (P) miembro a miembro:
/2
Oe (p); y = /2ab 
Luego: 72(x - y) - 72| — 
(X - y) - (a - b f
73. Resolver la ecuación:
x - f / 3 X - / 3
/2
- 72 ab] = (a - b f
7 x + / x T 7 ^ / x - V x - / 3
= 77
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Resolución:
Racionalizando tiene:
(x + /3 ) ( / x - - /x T T f ) {x- /3 ) ( / x + / x - / 3 ) = /7
X - X - / 3 X - X + / 3
Efectuando:
- (x + - 'íx + Í f ) + íx - /S)!/]? + ) x - í f ) = /3x
- x /x - /3x + ( /x T T f f V x/x - /3x +(x - /3f'^ = /3x 
Reduciendo:
(x + / 3 r + ( x - / 3 r ^ 3 / 3 Í
Elevando al cuadrado
(x + / 3 f + 2{x^ - s r + (X - /3 f = 9(3x)
x ̂+ 3x^/3 + 9x + 3/3 + 2(x' - 3)"'^+ x' - 3x^/3 +
+ 9x + 3/3 = 27x 
x ̂+ 9x + 2(x^ - 3 f " + x̂ + 9x = 27x
Reduciendo: 2(x^ - 3)̂ '̂ = 9x - 2x̂
Elevando al cuadrado;
4(x^ - 3) ̂= (9x - 2x )̂"
4 x ® - 3 6 x ' 4 - 1 0 8 x ^ - 1 0 8 = 8 1 x ^ - 3 6 x " + 4 x ® 
2 7 x ^ = 1 0 8 = = 4
Como: x + / 3 > 0 : x > - / 3 = x = 2 
CS = {2}
74. Si (a + b) y (a - b) son soluciones de la ecuación 
x'* - 20x ̂ + 64 = O, donde > b^ hadar el valor 
de: 3a ̂- 2b^
Resolución;
En la bicuadrática: x" - 20x^ + 64 = O 
Con soluciones: x, = (a + b), x ̂= (a - b)
Se cumple:
{a + b)' + (a - b)' = 20 2(a' + b') = 20
^ a" + b" = 10 ...(1)
(a + D)'(a - b)' = 64 
^ â - = 8 .,.(2)
De(1)y (2); â = 9; b' = 1
Piden: E = 3a ̂- 2b̂
= E = 3(9)-2(1) E = 25
75. En la ecuación:
P(x) = 2ax ̂+ (3a - 1)x + (a + b) = O, calcular b, 
para que exista un solo valor de "a" que permita 
que las raíces de P(x) = O sean iguales.
Resolución:
Si las raíces de la ecuación son iguales, se deben 
cumplir: A = O
A = (3a - 1)̂ - 4(2a)(a + b) = O 
9a ̂ - 6a + 1 - 8a ̂- 8ab = O 
- (6 + 8b)a + 1 = 0
Como es una ecuación cuadrática en a debe existir 
un solo valor "a";
Si: A = (6 + 8b)' - 4(1)(1) = O
36 + 96b + 64b^ - 4 = 0 ^ 64b^ + 96b + 32 = O
2b ̂+ 3b + 1 = O 
2b- . ^ + 1
(b + 1)(2b + 1) = 0 
.-. CS = í - 1 ; 1/2}
b = -1 ; b = 1/2
76. Hallar la suma de las soluciones positivas de la 
ecuación: x“* + x ̂- lOx^ + x + 1 = O
Resolución:
Por aspa doble especial:
x“ + x-' - lOx" + X + 1 = O 
x̂ 
x'
Tengo: x̂ + x̂ = 2x^
Quiero: -lOx^
Me falta; -I2x^ ^ (-3x)(4x)
^ (x" - 3x + 1)(x" + 4x + 1) = O
_ 3 ± ; 9 ^ ^ _ - 4 ± / l 6 ^
Luego:
V _ 3± /5 X, - —2 ~
„ _ 3 - / 5
> O 
> 02
- 4 + /Í2
positivos
< 0 ; x .= ^ l ^ < : o2 ' 2 
Suma soluciones positivos; x, + X2 = 3
77. Resolver la ecuación; - T + ^V4x - 4 = 3. para 
raíces reales
Resolución:
Haciendo: V̂4x - 4 = y
4 x - 4 = y^=»x = y + 4
-.(1)
Reemplazando en ia ecuación;
2 | l ^ ) - 5 + y . 3
2y"’ + 8 - 20 + y = 3
/2y^- 12 + 2y = 6 
/ 2 y ^ - 1 2 = 6 - 2 y
- 12>0, y > V6 V y < - W 
6 - 2 y > 0 , - 2 y > - 6 v y <3 
=» Ve < y < 3 
Elevando al cuadrado:
2 y ^ - 1 2 = 3 6 - 2 4 y + 4 y ^
2 f - 4 / + 24y - 48 = O => y' - 2 / + 12y - 24 = O 
/ ( y - 2) + 12(y - 2) - O ^ (y - 2){y' + 12) - O 
ŷ + 12 = O raíces complejas 
y - 2 = 0; y = 2
E n ( l ) : x = ^ 8 + 4 CS = { 3 }
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